Story Transcript
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
CAMPO MAGNÉTICO - RESUMEN
1. Magnetismo. Es la propiedad que presentan algunas sustancias, como la magnetita, de atraer pequeños trozos de hierro. Existen sustancias naturales que presentan esta propiedad llamándose imanes naturales, mientras que a aquellas otras que pueden adquirir el magnetismo de una manera artificial se les llama imanes artificiales. 2. Propiedades de los imanes. Todo imán, tanto natural como artificial, presenta la máxima atracción magnética en los extremos, que reciben el nombre de polos magnéticos. Entre los polos existe una zona neutra en donde el imán no ejerce ninguna atracción. Los dos polos de un imán se comportan de manera diferente, de ahí que reciban el nombre de polo norte y polo sur, según que se orienten hacia el polo Norte geográfico de la Tierra (es un polo sur magnético), o hacia el polo sur geográfico (es un polo norte magnético), pues la Tierra es en sí misma un imán natural. 3. Propiedades de los polos magnéticos. Algunas propiedades son semejantes a las de las cargas eléctricas. Así: • Polos de distinto signo se atraen entre sí, y polos del mismo signo se repelen. • La fuerza con que los polos interaccionan es inversamente proporcional al cuadrado de la distancia que los separa. • Sin embargo, existe una diferencia fundamental y es que, mientras que una carga eléctrica positiva o negativa puede ser aislada, no pueden aislarse monopolos magnéticos. Al dividir un imán por la mitad, cada una de las dos mitades se convierte en un nuevo imán, con sus polos norte y sur correspondientes. 4. Campo magnético. El magnetismo se explica admitiendo que un imán o una corriente eléctrica origina un campo magnético en el espacio que le rodea. Este campo magnético se pone de manifiesto por la fuerza que se ejerce sobre un imán o un trozo de hierro colocado en su proximidad, o cargas eléctricas en movimiento. “Campo magnético es la perturbación producida en una región del espacio (por imanes o corrientes eléctricas) por la cual se ejercen interacciones magnéticas sobre imanes o cargas eléctricas en movimiento”
El campo magnético se caracteriza mediante el r vector inducción magnética B . Este es un vector cuya dirección en un punto del campo magnético viene determinada por la dirección que adopta la brújula al colocarla en ese punto. Su sentido se corresponde con el eje S-N de la brújula. El campo magnético, al igual que los campos gravitatorio y eléctrico, se representa gráficamente mediante las líneas de fuerza que, en este caso, reciben el nombre de líneas de inducción magnética. La dirección del vector inducción magnética es tangente en cada punto a las líneas de inducción y su sentido corresponde con el del eje S-N de la brújula. A diferencia de las líneas de fuerza de los campos gravitatorio y eléctrico, las líneas de fuerza del campo magnético son cerradas: salen por el polo Norte y entran por el polo Sur. Dentro del imán las líneas de campo se cierran de Sur a Norte. La mayor o menor concentración de las líneas de fuerza en una región del espacio es un índice del valor del vector inducción magnética en esa región. 5. Fundamentos del Electromagnetismo. Tanto la electricidad como el magnetismo tienen un mismo origen: las cargas eléctricas. Es decir, las interacciones eléctricas y magnéticas son sólo dos manifestaciones diferentes de la misma propiedad de la materia: su carga eléctrica. La primera se pone de manifiesto cuando la carga eléctrica se encuentra en reposo y la segunda cuando se encuentra en movimiento. El primero en relacionar electricidad y magnetismo fue Oersted al observar que una corriente eléctrica ejercía una fuerza sobre un imán. Oersted dedujo que una corriente eléctrica produce un campo magnético lo mismo que un imán natural. Es decir, los campos magnéticos los producen no sólo los imanes sino también las corrientes eléctricas. Posteriormente Ampère comprobó que entre conductores por los que circula la corriente se ejercen entre sí interacciones de tipo magnético. Es decir, los fenómenos magnéticos proceden de fuerzas originadas entre cargas en movimiento. La fuerza magnética es una fuerza entre corrientes.
Física 2º Bachillerato - Campo Magnético
1
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
Según esto, las propiedades magnéticas de la materia debían de ser consecuencia de minúsculas corrientes atómica. Las propiedades magnéticas de los imanes naturales son consecuencia de cargas móviles. Un imán natural tiene una gran cantidad de átomos, en cada uno de los cuales existen electrones que giran alrededor del núcleo. Estos electrones se comportan como minúsculas corrientes eléctricas que producen minúsculos campos magnéticos cuya resultante puede producir un campo magnético exterior estable. 6. Acción de un campo magnético sobre una carga en movimiento. Ley de Lorentz. Si en el interior de un campo magnético se coloca una carga inmóvil, el campo no ejerce ninguna fuerza sobre ella; sin embargo si la carga posee una velocidad v, el campo magnético ejerce sobre ella una fuerza que viene expresada por:
7. Acción de un campo magnético sobre un conductor rectilíneo. Si un conductor rectilíneo de longitud L por el que circula una corriente eléctrica de intensidad I está dentro de un campo magnético, éste le ejerce una fuerza que viene dada por:
r r r F=I L×B
r
La dirección y sentido del vector L es el mismo que el de la corriente eléctrica. El módulo de la fuerza será:
F = I L B sen θ donde θ es el ángulo formado por el conductor y el campo magnético. La fuerza es perpendicular al conductor y al campo y su sentido es el de avance
r
r
r r r F=qv ×B
de un tornillo cuando se lleva L sobre B por el camino más corto.
Esta es la llamada ley de Lorentz. El módulo de la fuerza es F = q v B sen θ , donde θ es el ángulo
La fuerza será máxima cuando el conductor sea perpendicular al campo magnético y, en este caso, valdrá .
que forma la velocidad con el campo magnético. Las características de esta fuerza son:
r r • Es perpendicular al plano formado por v y B . El sentido, para una carga positiva, es el de avance de r un tornillo que gira como cuando v se lleva sobre
r B por el camino más corto. Si la carga es negativa
8. Acción de un campo magnético sobre una espira. Si consideramos un conductor cerrado de forma rectangular por el que circula una corriente eléctrica y que está inmerso en un campo magnético.
su sentido es contrario al anterior. • Si la velocidad tiene la dirección del campo no aparece fuerza alguna. • La fuerza es máxima cuando la velocidad es perpendicular al campo.
F1 F4
A partir de la ley de Lorentz se define la unidad de inducción magnética en el S.I., el Tesla. Si la velocidad y el campo son perpendiculares, la fuerza es máxima y, por lo tanto, podemos expresar que:
B=
Fmax qv
S F3 F2 Las fuerzas sobre la espira son las representadas en la figura. Al ser F1 igual en módulo a F2 , al igual que ocurre con F3 y F4, estas fuerzas se anulan o no producen un desplazamiento neto de la espira. Sin embargo, las fuerzas F3 y F4 constituyen un par de fuerzas que ejercen un momento sobre la espira haciéndola girar sobre el eje vertical hasta situarla en dirección perpendicular al campo magnético. El momento del par de fuerzas que actúa sobre la espira tiene de valor:
y: “Un campo magnético es de 1 Tesla si ejerce una fuerza de 1 newton sobre una carga de 1 culombio que entra en dirección perpendicular al campo con una velocidad de 1 m/s”. Es decir:
1T =
B
θ
I
Cuando una carga se mueve en una región donde hay un campo eléctrico y uno magnético, la fuerza neta es la resultante de la debida a ambos campos, es decir:
r r r r F=qE+qv ×B
I
1N 1C •1m/ s
r r r M=IS×B
r
donde I es la intensidad que circula por la espira S , es el vector superficie de la espira cuya dirección es perpendicular a la espira y sentido el de avance de un sacacorchos cuando lo hacemos girar en el
Física 2º Bachillerato - Campo Magnético
2
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química r
sentido de la corriente que circula por la espira y B es el vector inducción magnética. El módulo del momento de fuerzas será:
lo que nos indica que cuanto mayor sea la carga menor será el radio y que, partículas de diferente masa describirán círculos de distinto radio tanto mayor cuanto mayor sea su masa.
M = I S B sen θ r r donde θ es el ángulo que forma S y B .
La velocidad angular del movimiento circular será:
ω=
Si denominamos momento magnético de la espira
r
r
al vector m = I S , cuya unidad en el S.I. será el A.m2, entonces el momento del par de fuerzas vendrá expresado como:
y el período de revolución vendrá dado por:
T=
r r r M =m× B
r
qB m
2π m qB
el vector momento magnético de la espira m tiene la
B) Partículas que inciden oblicuamente al campo magnético.
Al analizar esta expresión tendremos que:
En este caso, la velocidad de entrada se descompone en una componente en la dirección del campo y en otra perpendicular al campo magnético.
r misma dirección y sentido que el vector S .
r r B tengan la misma dirección, es decir, si el plano
• La espira no girará si se coloca de modo que m y de la espira es perpendicular al campo. • Si el plano de la espira forma cualquier otro ángulo con el campo magnético, la espira girará hasta colocarse perpendicular al campo magnético.
La componente paralela al campo no experimenta ninguna fuerza por lo que se mantendrá constante produciendo un movimiento rectilíneo uniforme en la dirección del campo. La componente perpendicular al campo experimentará un movimiento circular uniforme.
Si en lugar de una espira existe un arrollamiento de N espiras, llamado bobina, entonces el momento
Como composición de estos dos movimientos la partícula describirá un movimiento helicoidal.
9. Movimiento de partículas cargadas en campos magnéticos.
El movimiento de partículas sometidas a campos eléctricos y magnéticos tiene aplicación al caso del ciclotrón, el selector de velocidades y el espectrógrafo de masas.
r r magnético del conjunto de espiras será m = N I S .
Consideraremos solo el caso de campos magnéticos uniformes. El movimiento resultante de la partícula depende del ángulo de incidencia de la partícula con respecto al campo magnético. Si la partícula incide paralela al campo magnético no experimenta ninguna fuerza y por lo tanto no modificará su trayectoria. A) Partículas que inciden perpendicularmente al campo magnético. Sobre la partícula aparece una fuerza de valor constante y que es perpendicular a la velocidad y al campo magnético. Al ser perpendicular a la velocidad, constituye una fuerza centrípeta que originará una variación en la dirección de la velocidad pero no de su módulo. Por lo tanto, la partícula describirá una movimiento circular uniforme. Las cargas positivas giran en un sentido y las negativas en el sentido contrario. El radio de la trayectoria circular que experimentan viene dado por:
r=
mv qB
10. Fuerza magnética entre corrientes paralelas. Si se tienen dos alambres rectilíneos por lo que circula una corriente eléctrica, Ampère comprobó que aparece entre ellos unas fuerzas magnéticas. Las características de estas fuerzas son: • Las fuerzas de interacción que actúan sobre cada uno de los alambres son iguales y de sentidos, cumpliendo por lo tanto con la 3ª ley de Newton. • Actúan en dirección radial, es decir, son perpendiculares a los alambres que transportan la corriente. • Su valor depende del medio que rodea a los alambres. • Son atractivas si las corrientes circulan en el mismo sentido y repulsivas si circulan en sentidos contrarios. La expresión matemática que representa a estas fuerzas es:
r r µ I I L r F21 = − F12 = 0 1 2 ur d 2π Física 2º Bachillerato - Campo Magnético
3
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
donde I1 e I2 son las corrientes que circulan por los alambres, L es la longitud de los alambres, d es la distancia que los separa y µ0 es una constante que depende del medio, llamada permeabilidad magnética del vacío, cuyo valor en el caso del vacío -7 2 es 4π.10 N/A .
En el caso de tener N espiras circulares por las que circula la misma corriente y si la longitud de las espiras es despreciable frente al radio de las mismas, entonces el campo magnético que generan en el centro de ellas vale:
r µ N I r B= 0 ue 2r
A partir de este fenómeno se define la unidad de intensidad de corriente, el amperio como: “ Un amperio es la intensidad de corriente que, circulando por dos conductores paralelos separados entre sí 1 m de distancia, produce sobre -7 cada uno de ellos una fuerza de 2.10 N por cada metro de longitud del conductor”. 11. Campo magnético producido corriente rectilínea indefinida.
por
una
Si por un conductor rectilíneo circula una corriente, éste genera a su alrededor un campo magnético cuyas características son: • Las líneas de fuerza del campo magnético son circunferencias concéntricas al cable y perpendiculares a él. • La dirección del vector inducción magnética es tangencial al plano perpendicular a la corriente y su sentido el que nos da la regla de la mano derecha.
13. Campo magnético en el interior de un solenoide. Un solenoide es un circuito arrollado en espiral, considerando que su longitud es bastante más grande que su radio. Éste genera un campo magnético cuando por él circula una corriente eléctrica. Las características de dicho campo son: • El campo magnético en el interior del solenoide se puede considerar prácticamente uniforme. • El campo magnético en el exterior del solenoide es muy débil. • La dirección del campo magnético en el interior es la del eje del solenoide y su sentido es el de avance de un tornillo cuando se le hace girar en el sentido de la corriente que circula por el solenoide. • El valor del campo en el interior del solenoide es:
El valor del campo magnético viene dado por la expresión:
r µ I r B = 0 ut 2π d por
una
Si tenemos un conductor de forma circular (espira) por el que circula una corriente eléctrica, éste genera un campo magnético cuyo valor en el centro de la espira viene dado por: I
B d
B
B
µ0 N I L
donde N es el número de vueltas que presenta el solenoide y L es su longitud.
12. Campo magnético producido corriente circular en su centro.
B
B=
• El solenoide se comporta prácticamente igual que un imán, teniendo en una de sus caras un polo norte y en la otra un polo sur. 14. Teorema de Ampère. Relaciona la “circulación del campo” a lo largo de cualquier línea cerrado con la intensidad que atraviesa la superficie limitada por dicha línea cerrada. Su expresión matemática es:
r µ I r B = 0 ue 2r donde r es el radio r de la espira y u e es
un vector unitario en dirección del eje. Las características de este campo magnético son: • En el centro de la espira la dirección es la del eje de la misma y su sentido es el de avance de un sacacorchos cuando lo hacemos girar en el sentido de la corriente que circula por la espira.
∫
r r B • dL = µ 0 I
esto es válido siempre y cuando la intensidad I sea estacionaria. Este teorema es útil para calcular campos magnéticos sólo para configuraciones geométricas de corriente que presenten un alto grado de simetría. Consecuencia de este teorema es que la circulación del campo magnético a lo largo de una línea cerrada es distinta de cero, lo que implica que el campo magnético no es conservativo.
• Cuanto menor sea el radio de la espira mayor es el campo magnético que produce en su centro.
Física 2º Bachillerato - Campo Magnético
4
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
CAMPO MAGNÉTICO - CUESTIONES Y EJERCICIOS
CUESTIONES
► ¿Cómo deben ser las direcciones y sentidos de un campo eléctrico y otro magnético uniformes para que la fuerza resultante sobre r una carga con velocidad v sea cero?. ¿Cuál ha de ser la relación entre sus módulos? Razona la respuesta. PAU País Vasco - 1999. Supongamos que la carga es positiva. Un campo eléctrico ejerce fuerza sobre la carga en la dirección y sentido del campo, mientras que el campo magnético ejerce una fuerza que es siempre perpendicular al campo y a la velocidad de la carga. Para que la fuerza total sobre la carga sea cero, las dos fuerzas deben ser iguales y de sentidos contrarios. Por lo tanto, el campo eléctrico y el magnético deben ser perpendiculares entre sí. B Fm
► Por dos conductores rectilíneos, paralelos e indefinidos circulan corrientes de intensidades I1 e I2 en sentidos opuestos. Si I1 = 2 I2 determina en qué puntos el campo magnético resultante es nulo. La situación es la representada en la figura. I1
I2
B1
B1
B2
B2
Fe
E
El campo magnético que crea una corriente rectilínea en un punto situado a una distancia d viene dado por: B=
; Fm = qvB
Si la fuerza total debe ser nula, los módulos de las fuerzas eléctrica y magnética deberán ser iguales, es decir:
Luego, la única zona posible sería la zona C, y los puntos posibles serían: I1
qE = qvB
⇒
µ0 I 2πd
Ahora bien, como I1 es mayor que I2 y los puntos de la zona A están más cerca del conductor 1 que del 2, en dicha zona el campo B1 sería siempre mayor que B2 y, por lo tanto, nunca podría anularse.
Los valores de dichas fuerzas son:
⇒
B2
En ella se representan, para las tres zonas diferentes, el sentido de los campos magnéticos que crean cada una de las corrientes eléctricas.
En la figura se muestran las direcciones y sentidos de los campos eléctrico y magnético y de las fuerzas eléctrica y magnética sobre la carga positiva.
Fe = Fm
B1
Para que el campo magnético resultante sea nulo, los campos magnéticos de cada una de las corrientes deben tener sentidos contrarios. Luego, las zonas donde puede anularse serían la A y C.
V
Fe = qE
C
B
A
I2
E =v B
Luego la relación entre el campo eléctrico y el magnético debe ser igual a la velocidad con la que penetra la partícula cargada. Si la carga fuese negativa, lo único que cambiaría es que el campo magnético debería ser saliente del papel.
µ0 I1 µ I = 0 2 2 π ( x + d) 2 π d
C B1
B2
Donde x es la distancia que separa los cables y d la distancia al cable 2 de los puntos donde se anularían los campos magnéticos. X
d
Como I1=2 I2 tendremos que:
--------------- 000 --------------Física 2º Bachillerato - Campo Magnético
5
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA µ0 2 I2 µ I = 0 2 2 π ( x + d) 2 π d
⇒
Dpto. Física y Química
2 1 = x+d x
⇒
d=x
Luego, se anularán a una distancia del cable 2 igual a la distancia de separación entre cables. --------------- 000 --------------PROBLEMAS
velocidades v1>v2>v3 serían las representadas en la figura. b) Para que atraviesa la zona como mínimo el radio de la trayectoria circular deberá ser igual a 2 m. Por lo tanto, la velocidad correspondiente debe ser: v=
qBr 3,2 ⋅ 10 −19 C ⋅ 10 −3 T ⋅ 2 m = = 95522,38 ms −1 m 6,7 ⋅ 10 −27 kg
c) La partícula tiene el doble de carga que la del protón, por lo tanto, podría tratarse de un núcleo de helio.
-19 ► Una carga eléctrica, q=3,2.10 C y de masa -27 6,7.10 kg, entra en una zona con campo
r B,
dirigido magnético uniforme perpendicularmente a la hoja y hacia dentro del papel. La anchura de la zona es de 2 m (vease la figura). a) Indica dos o tres trayectorias posibles para la carga dentro de esta zona según el módulo de la
d) Si la carga fuese negativa, la fuerza magnética iría ahora dirigida verticalmente hacia abajo y, por lo tanto, la trayectoria sería hacia abajo. Lo demás sería exactamente igual. --------------- 000 ---------------
r r r v con la que entra ( v es perpendicular a B ).
-3 b) Si el módulo de B vale 10 T, ¿cuál es la velocidad mínima que debe tener la carga para que atraviese toda la zona?. c) ¿Qué tipo de partícula podría ser esta carga? Si cambiásemos el signo de la carga, ¿qué cambiaría en los apartados anteriores?.
B
v
Q, m
► Un alambre recto horizontal transporta una corriente de 16 A de oeste a este en el campo
r
magnético terrestre en un lugar donde B es paralelo a la superficie, apunta hacia el norte y tiene un valor de 0,04 mT. a) Calcula la fuerza magnética sobre 1 m de ese alambre. b) Si la masa de ese trozo de alambre es de 50 g, ¿qué corriente debe transportar para quedar suspendido de forma que su peso sea compensado por la fuerza magnética?. PAU La Rioja - 1999 a) La situación sería la de la figura:
d=2 m
La fuerza que el campo magnético terrestre ejerce sobre el cable viene dada por:
. PAU Islas Baleares - 1999.
F
a) La fuerza que ejerce el campo magnético sobre la carga viene dada por:
I=16 A
r r r F = q v ×B
Luego en este caso, la fuerza irá dirigida en sentido vertical hacia arriba y, por lo tanto, la carga describirá una circunferencia en ese sentido. El radio de la trayectoria circular viene dado por: B Fm
2
3 Q, m
mv r= qB
v
1
Cuanto mayor sea la velocidad con la que entra mayor será el radio. Por lo tanto, tres trayectorias posibles para
B
r r r F = I L ×B
Por lo tanto la fuerza iría dirigida vertical hacia arriba y su valor numérico sería:
F = 16 A ⋅ 1m ⋅ 4 ⋅ 10 −5 T = 6,4 ⋅ 10−4 N
b) Si el peso es compensado por la fuerza magnética deberá cumplirse que: ILB = mg
⇒
I=
mg 0,05kg ⋅ 9,8ms −2 = = 12250 A LB 1m ⋅ 4 ⋅ 10−5 T
--------------- 000 ---------------
Física 2º Bachillerato - Campo Magnético
6
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
► Un electrón penetra en una zona con un campo magnético uniforme de 10-3 T y lleva una velocidad de 500 m/s perpendicular al campo magnético. Determina las siguientes magnitudes del electrón en la zona con campo magnético: a) velocidad angular. b) módulo de la fuerza que experimenta. Datos: e=1,6.10-19 C , me=9,1.10-31 kg. PAU Murcia - 1999 a) Cuando una carga penetra perpendicularmente a un campo magnético describe una trayectoria circular. La velocidad angular viene dada por: ω=
qB 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 10 −3 T = 1,75 ⋅ 108 rad / s = m 9,1⋅ 10 −31kg
b) El módulo de la fuerza es:
Si el campo magnético tuviese valor doble, el radio se reducirá a la mitad al igual que el periodo ya que los valores de estas magnitudes son inversamente proporcionales al campo magnético. --------------- 000 ---------------
► Un protón se desplaza con rapidez v = 2.106 m/s y penetra dentro de un campo magnético -5 uniforme B = 3.10 T perpendicularmente a él. Calcular la fuerza magnética que experimenta y compararla con el peso del protón. -27 -19 Datos: mp = 1,67.10 kg , q = 1,6.10 C , g = 9,8 2 m/s . La fuerza magnética valdrá:
F = qvB = 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 500ms −1 ⋅ 10 −3 T = 8 ⋅ 10−20 N
--------------- 000 ---------------
F = qvB = 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 2 ⋅ 106 ms −1 ⋅ 3 ⋅ 10−5 T = 9,6 ⋅ 10−18 N
El peso valdrá: P = mg = 1,67 ⋅ 10−27 kg ⋅ 9,8ms −2 = 1,63 ⋅ 10−26 N
► Un electrón penetra con una velocidad de 5.106 m.s-1 en un campo magnético de 12 T perpendicular a dicha velocidad. a) Dibuje en un esquema la fuerza que actúa sobre la partícula así como la trayectoria seguida, y justifique el tipo de trayectoria. b) Calcule el radio de la trayectoria y el tiempo que tarda en dar una vuelta completa y comente cómo variarían dichos resultados si el campo magnético fuera de valor doble. Datos: me = 9,1.10-31 kg , e = 1,6.10-19 C. PAU Universidades Andaluzas - 1998 a) La fuerza es perpendicular a la velocidad y al campo magnético y, como en todo momento la fuerza es perpendicular a la velocidad del electrón su trayectoria será una circunferencia, ver figura. Al ser la carga negativa la fuerza será inicialmente vertical hacia abajo.
B v Fm
r=
--------------- 000 ---------------
► Un campo magnético uniforme B = 0,8 T, dirigido en el sentido positivo del eje Z (vertical y hacia arriba) actúa sobre un protón que se desplaza siguiendo el eje Y en sentido positivo,
r
r
con velocidad v = 5 • 10 6 j m / s . Calcular la fuerza magnética que se ejerce sobre dicha partícula (módulo, dirección y sentido). La fuerza será: r r r r r r F = qv × B = 1,6 ⋅ 10−19 C ⋅ 5 ⋅ 106 j × 0,8 k T = 6,4 ⋅ 10−13 i N
--------------- 000 ---------------
v
b) El radio de la trayectoria viene dado por:
−31
6
Fm
Si dividimos una entre otra obtenemos que la fuerza magnética es 5,88·108 veces mayor que el peso.
m v 9,1⋅ 10 kg ⋅ 5 ⋅ 10 ms = qB 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 12T
−1
= 2,36 ⋅ 10 − 6 m
El período, tiempo que tarda en dar una vuelta, viene dado por: 2 π m 2 ⋅ π ⋅ 9,1⋅ 10−31kg T= = = 2,97 ⋅ 10−12 s qB 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 12T
► Un electrón penetra perpendicularmente dentro de un campo magnético de 0,02 T con 5 velocidad de 10 m/s. Deducir la trayectoria que describe y el tiempo (período) que tarda en recorrerla. La trayectoria es circular ya que la fuerza magnética en todo momento en perpendicular a la velocidad y se trata entonces de una fuerza centrípeta. El radio de la trayectoria será:
Física 2º Bachillerato - Campo Magnético
7
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
r=
−31
Dpto. Física y Química −1
5
m v 9,1⋅ 10 kg ⋅ 10 ms = qB 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 0,02T
= 2,84 ⋅ 10 −5 m
2 π m 2 ⋅ π ⋅ 1,67 ⋅ 10 −27 kg = = 1,31⋅ 10 −7 s qB 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 0,5T
b) A partir de la expresión del radio de la trayectoria obtenemos que:
El periodo viene dado por: T=
T=
2πm 2 ⋅ π ⋅ 9,1⋅ 10 −31kg = = 1,78 ⋅ 10 −9 s qB 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 0,02T
r=
mv qB
⇒
v=
rqB 0,8 m ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 0,5T = = m 1,67 ⋅ 10 −27 kg
= 3,83 ⋅ 107 ms −1
--------------- 000 ---------------
► En un campo magnético uniforme de valor 12 T, que penetra perpendicularmente al plano del 6 papel, entra un electrón con velocidad v0 = 4.10 m/s perpendicular a . Se pide: a) La aceleración que adquiere el electrón. b) El radio de la trayectoria que describe. c) La frecuencia del movimiento. -31 -19 Datos: me = 9,1.10 kg , e = 1,6.10 C.
a) La fuerza a la que se ve sometido el electrón será: F = qvB = 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 4 ⋅ 106 ms −1 ⋅ 12 T = 7,68 ⋅ 10 −12 N
c) La energía cinética será: Ec =
2 1 1 mv 2 = 1,67 ⋅ 10−27 kg ⋅ ⎛⎜ 3,83 ⋅ 107 ms −1 ⎞⎟ = 1,22 ⋅ 10 −12 J ⎝ ⎠ 2 2
--------------- 000 ---------------
► Un electrón, de energía cinética 25 KeV, se mueve en una órbita circular en el interior de un campo magnético de 0,2 Teslas. a) Hallar el radio de la órbita. b) Hallar la frecuencia angular y el período del movimiento. Datos: me = 9,1.10-31 kg , e = 1,6.10-19 C.
La aceleración será: a) La velocidad del electrón sería: F 7,68 ⋅ 10 −12 N = 8,43 ⋅ 1018 ms −2 a= = m 9,1⋅ 10 −31kg
v=
2Ec = m
2 ⋅ 25000 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 J 9,1⋅ 10 −31kg
= 9,37 ⋅ 107 ms −1
b) El radio de la trayectoria circular viene dado por: m v 9,1⋅ 10 −31kg ⋅ 4 ⋅ 106 ms −1 = 1,89 ⋅ 10 −6 m r= = qB 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 12T
c) La frecuencia viene dada por: qB 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 12 T f= = = 3,35 ⋅ 1011Hz 2πm 2 ⋅ π ⋅ 9,1⋅ 10−31kg
--------------- 000 ---------------
Y el radio de la órbita: r=
m v 9,1⋅ 10 −31kg ⋅ 9,37 ⋅ 107 ms −1 = = 2,66 ⋅ 10 −3 m qB 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 0,2T
b) La frecuencia sería: f=
qB 1,6 ⋅ 10−19 C ⋅ 0,2 T = = 5,59 ⋅ 109 Hz 2πm 2 ⋅ π ⋅ 9,1⋅ 10−31kg
El período sería: T=
► Un protón se mueve en una órbita circular, de radio 80 cm, perpendicular a un campo magnético uniforme de 0,5 T. a) ¿Cuál es el período de este movimiento?. b) ¿Cuál es la velocidad del protón?. c) ¿Cuál es la energía cinética del protón?. Datos: e = +1,6.10-19 C , mp = 1,67.10-27 kg a) El período del movimiento circular viene dado por:
1 1 = = 1,78 ⋅ 10 −10 s f 5,59 ⋅ 109 Hz
--------------- 000 ---------------
► A lo largo de dos conductores rectilíneos y paralelos, separados por una distancia de 3 m, circulan intensidades de corriente I1 e I2 en la misma dirección y sentido. Determinar en qué región (1, 2 ó 3) y a qué distancia del conductor 1, el campo magnético total vale cero.
Física 2º Bachillerato - Campo Magnético
8
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química Si nos centramos en el primer cuadrante y suponemos que el punto en el que se anulan sea P(x,y) tendríamos que:
I2
I1
I2
3
2
1
x
d=3m
P(x,y)
y I1
-2
Datos: I1 = 2.10 2 N/A .
-2
A , I2 = 4.10
-7
A , µ0 = 4π.10
La dirección y sentido de los campos magnéticos en cada una de las regiones serían los siguientes:
1
I1
I2
2
B1
B1
B2 d=3m
3
B1
⇒
µ0 I µ I = 0 2πy 8πx
B2 --------------- 000 ---------------
I1 I = 2 x 3−x
⇒
Sustituyendo valores tendremos que:
Luego deberá cumplirse que y = 4 x. Por lo tanto, el campo total se anula en todos los puntos de la recta y=4x que incluye a los puntos del tercer cuadrante donde también se anula.
Por lo tanto, el campo magnético total sólo podrá anularse en la región 2 donde son de sentidos contrarios los campos creados por cada una de las corrientes. En el punto donde se anulen deberán ser iguales los módulos de los dos campos. Si en punto está situado a una distancia x del conductor 1, se deberá cumplir que: µ0 I1 µ0 I2 = 2 π x 2 π (3 − x )
µ0 I1 µ0 I2 = 2πy 2πx
⇒
2 4 = x 3−x
⇒
x = 1m
► Una bobina circular, formada por 50 espiras, tiene un diámetro de 10 cm y una sección despreciable. Calcular el campo magnético en el centro de la bobina cuando circula por ella una corriente de 20 A. El campo magnético que crea la bobina en su centro tiene de valor: µ NI 4π ⋅ 10 −7 NA −2 ⋅ 50 ⋅ 20 A B= 0 = = 1,25 ⋅ 10 −2 T 2r 0,1m
--------------- 000 ----------------------------- 000 --------------► Un conductor aislado infinitamente largo está situado sobre el eje de las X y transporta una corriente de intensidad I en el sentido positivo. Un segundo conductor largo y aislado está sobre el eje Y y transporta una corriente de intensidad I/4 en el sentido positivo. ¿En qué punto del plano XY el campo magnético resultante es cero?.
B2
B1
I2 B2 B1
I1
B2 B1
B2
B1
La situación sería la mostrada en la figura. A la vista de ella, el campo magnético resultante sólo puede anularse en el 1 o 3 cuadrante.
► Un solenoide de 400 vueltas tiene una longitud 2 de 2,5 cm y una sección de 2 cm . Si por el solenoide circula una corriente de 3 A, calcular el campo magnético en su interior. El campo magnético en el interior de un solenoide viene dado por: µ NI 4π ⋅ 10 −7 NA −2 ⋅ 400 ⋅ 3 A B= 0 = = 0,06T L 0,025m
--------------- 000 ---------------
Física 2º Bachillerato - Campo Magnético
9
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
► a) Un conductor rectilíneo infinitamente largo, AB, por el que circula una corriente de intensidad I1, crea en todo su alrededor un campo magnético. Determinar el módulo, dirección y sentido de las fuerzas que dicho campo magnético ejerce sobre los cuatro lados del conductor rectangular de la figura, por el que pasa una corriente I2 y dispuesto de tal forma que sus lados mayores, de longitud “L”, son paralelos al conductor. Los sentidos de las corrientes I1 e I2 vienen indicados por las flechas correspondientes. b) Particularizar la expresión anterior al caso en que I1 = 50 A , I2 = 20 A , L = 20 cm , a = 10 cm y b = 20 cm.
I1
B
2 I2 1
3
a
L
4
A b
La dirección y sentido de las fuerzas sobre los cuatro lados serían
I2
r r r F = I L ×B
donde B es el campo magnético creado, en este caso, por el conductor AB en la zona donde se encuentran cada uno de los lados. El campo magnético que crea dicho conductor viene dado por: B=
µ0 I 2πd
donde d es la distancia entre el conductor AB y los diferentes lados del segundo conductor. En esta zona el campo magnético creado por el conductor AB es entrante en el papel. Como todos los puntos de los lados de longitud L, lados 1 y 3, están a la misma distancia del conductor 1, en ellos el campo que crea el conductor 1 será constante y de valor en cada caso igual a: B1 =
µ0 I 2πa
; B3 =
µ0 I 2πb
Como en estos lados la intensidad y el campo son perpendiculares, la fuerza sobre cada uno de los lados valdrá: µ I µ II L F1 = I2L 0 1 = 0 1 2 2πa 2πa
µ II L ; F3 = 0 1 2 2πb
F2
F1
F3
B
A
F4
El cálculo de las fuerzas sobre los lados 2 y 4 es más complejo ya que en cada uno de los puntos de estos lados el campo magnético creado por el conductor AB no es igual al estar a diferente distancia. Por lo tanto, tendremos que recurrir a la integración para poder calcular la fuerza sobre estos lados. El módulo de las fuerzas sobre el lado 2 y 4 será lógicamente igual por simetría. Si elegimos una longitud infinitesimal, dx, situada a una distancia x del conductor AB, la fuerza elemental sobre este elemento de corriente será: I1
a) La fuerza que un campo magnético ejerce sobre una corriente rectilínea viene dada por:
B
I1
B
µ I µ I I dx dF = I2 dx 0 1 = 0 1 2 2πx 2π x
dx x
La
fuerza total la obtendremos integrando a lo largo de todo el lado 2, es decir, B A la distancia x variará desde el valor a hasta el valor b, luego: I2
F2 =
b µ I I dx µ I I b dx µ0I1I2 µ II b 0 12 = 0 12 = ln x ba = 0 1 2 ln 2 π x 2 π x 2 π 2 π a a a
∫
∫
[ ]
b) Si sustituimos en las expresiones anteriores los valores correspondientes obtenemos de valores: F1 = 4.10-4 N , F3 = 2.10-4 N , F2 = F4 = 1,386.10-4 N. --------------- 000 ---------------
► Dos alambres muy largos, rectilíneos y paralelos por los que circulan intensidades de corriente de 2 A y 3 A en sentidos opuestos, están separados 20 cm. Calcula la inducción magnética en un punto situado entre los dos hilos, en el plano definido por ambos y a 7 cm del primero. El campo magnético creado en la zona entre los dos hilos es entrante en el papel para los dos conductores rectilíneos, por lo tanto, el campo
Física 2º Bachillerato - Campo Magnético
10
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
magnético total será también entrante y de valor la suma de los módulos de cada uno de los campos.
I2
I1 0,07m
0,13m
B1
B2 d=0,2m
a) Los deuterones son núcleos de deuterio, átomo de hidrógeno con un protón y un neutrón en su núcleo. Por lo tanto, la masa y la carga de los deuterones será:
Luego: B=
► Un ciclotrón cuyas “des” tienen un radio de 90 cm se utiliza para acelerar deuterones. Si la frecuencia de resonancia del ciclotrón es de 6 1,7.10 Hz, calcula: a) El campo magnético en el interior del ciclotrón. b) La velocidad máxima de los deuterones acelerados por el ciclotrón. -19 -27 Datos: e = +1,6.10 C , mp = 1,67.10 kg , mn = -27 1,67.10 kg.
4π ⋅ 10−7 NA −2 ⋅ 2A 4π ⋅ 10−7 NA −2 ⋅ 3A + = 1,03 ⋅ 10−5 T 2π ⋅ 0,07 m 2π ⋅ 0,13 m
--------------- 000 ---------------
q = 1,6 ⋅ 10 −19 C ; m = 3,34 ⋅ 10−27 kg
A partir de la frecuencia se puede obtener el valor del campo magnético: f=
► Las partículas alfa son núcleos de helio formados por dos protones y dos neutrones. Una partícula alfa es acelerada mediante una 3 diferencia de potencial de 2.10 V y penetra perpendicularmente en un campo magnético uniforme de 0,4 T. Calcula: a) La velocidad de la partícula alfa. b) El radio de la circunferencia que describe. Datos: e = +1,6.10-19 C , mp = 1,67.10-27 kg , mn = -27 1,67.10 kg.
qB 2πm
⇒
B=
2πmf 2π ⋅ 3,34 ⋅ 10 −27 kg ⋅ 1,7 ⋅ 106 Hz = = q 1,6 ⋅ 10−19 C
= 0,22 T
b) La velocidad máxima corresponderá a la trayectoria circular de mayor radio que corresponderá a la del radio de las “des”, por lo tanto: r=
mv qB
⇒
v=
rqB 0,90 m ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 0,22T = = m 3,34 ⋅ 10 −27 kg
= 9,48 ⋅ 106 ms −1
a) La masa y la carga de las partículas alfa será: --------------- 000 ---------------
q = 2 ⋅ 1,6 ⋅ 10−19 C = 3,2 ⋅ 10 −19 C m = 2 ⋅ 1,67 ⋅ 10 −27 kg + 2 ⋅ 1,67 ⋅ 10 −27 kg = 6,68 ⋅ 10−27 kg
La energía cinética que adquiere la partícula alfa al ser acelerada por la diferencia de potencial es: Ec = q∆V = 3,2 ⋅ 10 −19 C ⋅ 2 ⋅ 103 V = 6,4 ⋅ 10−16 J
Luego, la velocidad que adquiere será: v=
2Ec = m
2 ⋅ 6,4 ⋅ 10 −16 J 6,68 ⋅ 10 − 27 kg
= 4,37 ⋅ 105 ms −1
b) El radio de la trayectoria circular que describen viene dado por: r=
► Un protón tras ser acelerado por una diferencia de potencial de 25.000 V, penetra perpendicularmente en un campo magnético y describe una trayectoria circular de 40 cm de radio. Determina: a) la inducción magnética. b) el radio de la trayectoria para un valor doble de la inducción magnética. -19 -27 Datos: e = +1,6.10 C , mp = 1,67.10 kg
m v 6,68 ⋅ 10 −27 kg ⋅ 4,37 ⋅ 105 ms −1 = 0,022 m = qB 3,2 ⋅ 10 −19 C ⋅ 0,4T
a) La energía cinética que adquiere el protón al ser acelerado por la diferencia de potencial es: Ec = q∆V = 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 25000 V = 4 ⋅ 10 −5 J
Luego, la velocidad que adquiere será: v=
--------------- 000 ---------------
2Ec 2 ⋅ 4 ⋅ 10−5 J = = 2,18 ⋅ 1011ms −1 m 1,67 ⋅ 10− 27 kg
Física 2º Bachillerato - Campo Magnético
11
I.E.S BEATRIZ DE SUABIA
Dpto. Física y Química
Y el valor del campo magnético a partir del radio de la trayectoria será: r=
mv qB
⇒
B=
−27
11
mv 1,67 ⋅ 10 kg ⋅ 2,18 ⋅ 10 ms = rq 0,4 m ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 C
−1
ω=
=
= 5688,43T
qB 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 0,05T = = 8,79 ⋅ 109 rad / s m 9,1⋅ 10 −31kg
El período será: T=
b) El radio sería: r=
La frecuencia angular será:
m v 1,67 ⋅ 10 −27 kg ⋅ 2,18 ⋅ 1011ms −1 = = 0,2 m qB 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 2 ⋅ 5688,43T
1 1 = = 7,14 ⋅ 10 −10 s f 1,399 ⋅ 109 Hz
--------------- 000 ---------------
--------------- 000 ---------------
► Un electrón describe una órbita circular en un campo magnético de 0,05 T con una energía 3 cinética igual a 2,4.10 eV. a) Representa en un esquema los vectores velocidad, campo magnético y fuerza. b) Calcula la fuerza magnética, el radio de la órbita, la frecuencia angular y el período. Datos: me = 9,1.10-31 kg , e = 1,6.10-19 C.
a) Si suponemos que el campo magnético es entrante en el papel, la figura representa cada uno de los vectores.
B v v Fm
Fm
b) La velocidad del electrón será: 2Ec = m
v=
2 ⋅ 2,4 ⋅ 103 ⋅ 1,6 ⋅ 10 −19 J 9,1⋅ 10 −31kg
= 2,9 ⋅ 107 ms −1
La fuerza magnética será: F = qvB = 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 2,9 ⋅ 107 ms −1 ⋅ 0,05 T = 2,32 ⋅ 10 −13 N
El radio de la trayectoria será: r=
m v 9,1⋅ 10 −31kg ⋅ 2,9 ⋅ 107 ms −1 = = 0,0032 m qB 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 0,05T
La frecuencia será: f=
qB 1,6 ⋅ 10 −19 C ⋅ 0,05 T = = 1,399 ⋅ 109 Hz 2πm 2 ⋅ π ⋅ 9,1⋅ 10 −31kg
Física 2º Bachillerato - Campo Magnético
12