3

Capítulo 3 Integral definida

Módulo 12 Notación sigma (∑) y partición de un intervalo Módulo 13 Integral según Riemann Juicio final, detalle del panel derecho: el ángel hace sonar una trompeta y el condenado cae al infierno. Obra del pintor flamenco Hans Menling (c. 1435-1494). Museo Promorskie, Gdansk (Polonia). Scala/Art Resource, N.Y.

Módulo 14 Propiedades de la integral definida Módulo 15 Teorema del valor medio (TVM) para integrales

En geometría elemental se deducen fórmulas para las áreas de muchas figuras planas, pero escasamente se da una definición precisa de lo que significa área. En muchas ocasiones se define el área de una región como el número de cuadrados de lado unidad que caben en la región. Sin embargo, dicha definición sólo es aceptable para algunas regiones simples del plano. Así por ejemplo, el círculo de radio 1 tiene como área el número irracional π . Pero, ¿qué significa « π cuadrados» de área? En este capítulo iniciamos el estudio intentando definir el área de algunas regiones particulares R del plano, es decir, aquellas regiones limitadas superiormente por la gráfica de una curva y = f ( x) ≥ 0 en [a, b] , y lateralmente por las rectas verticales x = a y x = b. El número que se asigna como área de R recibe el nombre de integral definida de f sobre [ a, b] , aunque también la integral se definirá para funciones f para las cuales f ( x) ≤ 0 en [ a, b] . Se conocen fundamentalmente tres formas de acercarse a la definición de integral: a través de funciones escalonadas, a través de las sumas superiores e inferiores

Módulo 16 Los teoremas fundamentales del cálculo Módulo 17 Integrales impropias Ejercicios Módulos 12 al 17

Capítulo 3: Integral definida (sumas de Darboux) y a través de las llamadas sumas de Riemann. En este texto lo hacemos siguiendo la tercera forma, por ser la manera clásica en los textos de cálculo y la que menos exigencias tiene del análisis real para su comprensión.

116

12

Notación sigma ( Σ ) y partición de un intervalo Contenidos del módulo 12.1 La notación sigma (Σ) y propiedades de la sumatoria 12.2 Partición de un intervalo cerrado

Carl Friedrich Gauss

Objetivos del módulo 1. Recordar el sentido de la notación (Σ) y establecer algunas propiedades importantes de la sumatoria. 2. Definir la partición de un intervalo cerrado y en particular conocer la llamada partición regular.

Σ.

Preguntas básicas n

1. Demuestre que

∑k = k =1

n(n + 1) . 2

2. Demuestre que si P y Q son dos particiones de [a, b], y si Q es una partición más refinada (más fina) que P, entonces Q ≤ P .

Introducción Para indicar en forma compacta la suma de varios números, existe una notación que facilita la escritura. Expresiones tales como x12 + x22 + x32 + … + xn2−1 + xn2 se pueden escribir en forma simplificada utilizando la notación En el cálculo integral usaremos frecuentemente esta notación, así como también en el desarrollo de series de números reales. Otra noción importante en el desarrollo teórico de la integral definida es la partición de un intervalo cerrado y en particular la partición regular, la cual, conjuntamente con la sumatoria, ayuda a simplificar y obtener resultados difíciles de alcanzar usando otros medios. Por esta razón iniciamos el capítulo 3 presentando estos dos conceptos.

Carl Friedrich Gauss, matemático alemán conocido por sus muy diversas contribuciones al campo de la física, especialmente por sus estudios del electromagnetismo, nació el 30 de abril de 1777 en Brunswick y falleció el 23 de febrero de 1855 en Gotinga. Cuando Gauss tenía diez años de edad su maestro solicitó a la clase que encontrara la suma de todos los números comprendidos entre uno y cien. El maestro, pensando que con ello la clase estaría ocupada algún tiempo, quedó asombrado cuando su alumno levantó en seguida la mano y dio la respuesta correcta. Gauss reveló que encontró la solución usando el álgebra y el maestro se dio cuenta al instante de que el niño era una promesa en las matemáticas. Hijo de un humilde albañil, Gauss dio señales de ser un genio antes de que cumpliera los tres años. A esa edad aprendió a leer y hacer cálculos aritméticos mentales con tanta habilidad que descubrió un error en los cálculos que hizo su padre para pagar unos sueldos. Ingresó a la escuela primaria antes de que cumpliera los siete años; cuando tenía doce criticó los fundamentos de la geometría euclidiana; a los trece le interesaban las posibilidades de desarrollar la geometría no euclidiana; y a los quince entendía la convergencia y probó el binomio de Newton. El genio y la precocidad de Gauss llamaron la atención del duque de Brunswick, quien dispuso, cuando el muchacho tenía catorce años, costear tanto su educación secundaria como universitaria. Gauss, a quien también le interesaban los clásicos y los idiomas, pensaba que haría de la filología la obra de su vida, pero las matemáticas resultaron ser una atracción irresistible. Cuando estudiaba en Gotinga, descubrió que podría construirse un polígono regular de diecisiete lados usando sólo la regla y el compás. Enseñó la prueba a su profesor, quien se mostró un tanto escéptico, pero

Elementos básicos de cálculo integral y series

117

Capítulo 3: Integral definida Gauss demostró que tenía la razón. Posteriormente encontró la fórmula para construir los demás polígonos regulares con la regla y el compás. Gauss se graduó en Gotinga en 1798 y al año siguiente recibió su doctorado en la Universidad de Helmstedt. Pero las matemáticas no fueron el único tema que le interesó: fue también astrónomo, físico, geodesta e inventor. Hablaba con facilidad varios idiomas, e inclusive dominó el ruso a la edad de 60 años. En 1807 fue nombrado director del observatorio y profesor de astronomía en la Universidad de Gotinga. A principios del siglo XIX Gauss publicó sus Disquisiciones aritméticas, que ofrecían un análisis lúcido de su teoría de números y comprendían las complicadas ecuaciones que confirmaban su teoría y una exposición de una convergencia de una serie infinita. Gauss estudió la teoría de los errores y dedujo la curva normal de la probabilidad, llamada también «curva de Gauss», que todavía se usa en los cálculos estadísticos. En 1833 inventó un telégrafo eléctrico que usó entre su casa y el observatorio, a una distancia de unos dos kilómetros. Inventó también un magnetómetro bifilar para medir el magnetismo y, en compañía del físico alemán Wilhelm Eduard Weber, proyectó y construyó un observatorio no magnético. Tanto Gauss como el matemático Bernhard Riemann, que fue discípulo suyo, pensaban en una teoría electromagnética que sería muy semejante a la ley universal de la gravitación, de Newton. Sin embargo, la teoría del electromagnetismo fue ideada más tarde, en 1873, por Maxwell, aunque Gauss ya poseía los cimientos matemáticos para explicarla. En 1840, las investigaciones de Gauss sobre la óptica tuvieron especial importancia debido a sus deducciones relacionadas con los sistemas de lentes. Gauss falleció a la edad de 78 años. Se ha dicho que la lápida que señala su tumba fue escrita con un diagrama, que construyó el mismo Gauss, de un polígono de diecisiete lados. Durante su vida se reconoció que era el matemático más grande de los siglos XVIII y XIX. Su obra en las matemáticas contribuyó a formar una base para encontrar la solución de problemas complicadísimos de las ciencias físicas y naturales.

12.1 La notación sigma ( Σ ) y propiedades de la sumatoria Definición Sea f una función, y m, n y k enteros tales que m ≤ k ≤ n y pertenecientes al n

dominio de f . Entonces el símbolo

∑ f (k ) se define así:

k =m

n

∑ f (k ) = f (m) + f (m + 1) + … + f (n − 1) + f (n) ,

k =m

donde k se denomina índice de la sumatoria, m es el límite inferior y n es el límite superior. Observaciones n

i.

A veces se define

∑ f (k ) de la siguiente forma:

k =m

n

n −1

k =m

k =m

∑ f ( k ) = ∑ f ( k ) + f ( n)

(definición por recurrencia)

n

ii.

En

∑ f (k ) se puede sustituir el índice k por cualquier otro índice i que

k =m

no aparezca en ella, sin que se altere el valor de la sumatoria; así por ejemplo, n

n

k =m

i=m

∑ f (k ) = ∑ f (i) .

Ejemplo 1 4

5

i Calcule: a. ∑ 2 ;

b.

i =1

∑ j ( j + 1)( j + 2). j =1

Solución a.

Es este caso f (i ) = 2i ; luego 5

5

i =1

i =1

∑ f (i) =∑ 2

i

b.

= 21 + 22 + 23 + 24 + 25 = 62.

En este caso f ( j ) = j ( j + 1)( j + 2); luego 4

∑ j ( j + 1)( j + 2) = 1⋅ 2 ⋅ 3 + 2 ⋅ 3 ⋅ 4 + 3 ⋅ 4 ⋅ 5 + 4 ⋅ 5 ⋅ 6 = 210. j =1

118

Módulo 12: Notación sigma (∑ ) y partición de un intervalo

Ejemplo 2 Exprese utilizando la notación ∑ , la siguiente suma: a1b2 + a2b3 + a3b4 + a4b5 .

Solución Obsérvese que los subíndices de la letra a varían de 1 a 4 y los de b son una unidad mayor que los de a, luego cada término de la suma es de la forma ak bk +1 , en donde k recorre los valores 1, 2, 3 y 4. Entonces, 4

a1b2 + a2 b3 + a3b4 + a4 b5 = ∑ ak bk +1 . k =1

De otra manera, se puede observar que los subíndices de b varían de 2 a 5 y los de a son una unidad menor que los de b, luego cada término de la suma es de la forma ak −1bk , donde k recorre los valores 2, 3, 4 y 5. Entones, 5

a1b2 + a2 b3 + a3b4 + a4 b5 = ∑ ak −1bk . k =2

En general, existen muchas formas para expresar una misma suma.

Teorema 1: Propiedades de ∑ Sean f y g dos funciones, y m, n, k y p enteros pertenecientes al dominio de f y g, tales que m ≤ k ≤ n , y sea c una constante real. Entonces:

i.

ii.

n

n

n

k =m

k =m

k =m

∑ [ f ( k ) + g (k ) ] = ∑ f ( k ) + ∑ g ( k ) n

n

k =m

k =m

∑ cf (k ) = c ∑ f (k )

(propiedad aditiva sobre la función)

(propiedad distributiva generalizada)

n

iii.

∑ c = (n − m + 1) c

(sumatoria de una constante)

k =m

Si m ≤ n y m ≤ k ≤ p ≤ p + 1 ≤ n, entonces

iv.

v.

n

p

n

k =m

k =m

k = p +1

∑ f (k ) = ∑ f (k ) + ∑ n

n+ p

k =m

j =m+ p

∑ f (k ) = ∑

f (k )

(propiedad aditiva de los límites)

f ( j − p ) (desplazamiento del índice)

Vea el módulo 12 del programa de televisión Elementos básicos de cálculo integral y series

Elementos básicos de cálculo integral y series

119

Capítulo 3: Integral definida n

vi.

∑ [ f (k ) − f (k − 1)] = f (n) − f (m − 1)

(propiedad telescópica)

k =m

Demostración n

ii.

∑ cf (k )

k =m

= cf (m) + cf (m + 1) + … + cf (n)

(definición)

= c [ f (m) + f (m + 1) + … + f (n) ]

(factorizando)

n

= c. ∑ f (k ).

(definición)

k =m

vi. n

∑ [ f (k ) − f (k − 1)] = [ f (m) − f (m − 1)] + [ f (m + 1) − f (m)] + [ f (m + 2) − f (m + 1)]

k =m

+… + [ f (n − 1) − f (n − 2)] + [ f (n) − f (n − 1)] = − f (m − 1) + [ f (m) − f (m)] + [ f (m + 1) − f (m + 1)] +… + [ f (n − 1) − f (n − 1)] + f (n) = f (n) − f (m − 1).

La demostración de las partes i, iii, iv y v se deja como ejercicio para el lector. Presentamos ahora algunos ejemplos en los cuales se muestra la manera de aplicar las propiedades anteriores en una situación específica. Ejemplo 3 n

Demuestre que

∑k = k =1

n(n + 1) . 2

Solución n

Como

n

∑ (k + 1) =∑ (k 2

k =1

2

k =1

n

n

∑ (k + 1) =∑ k 2

k =1

k =1

2

+ 2k + 1), entonces,

n

n

k =1

k =1

+ 2∑ k + ∑ 1

(propiedades i y ii),

de donde n

n

n

n

n

n

2∑ k =∑ (k + 1) 2 − ∑ k 2 − ∑1 = ∑ ⎡( k + 1) − k 2 ⎤ − ∑ 1 . ⎣ ⎦ k =1 k =1 k =1 k =1 k =1 k =1

120

2

Módulo 12: Notación sigma (∑ ) y partición de un intervalo n

Como

∑ ⎡⎣(k + 1) k =1

2

− k 2 ⎤⎦ = (n + 1)2 − 1 (propiedad telescópica aplicada a f ( k ) = (k + 1) 2 )

n

y

∑1 = n k =1

(propiedad iii),

se tiene que n

2∑ k = (n + 1)2 − 1 − n = n 2 + n = n(n + 1) . k =1

Luego

n(n + 1) . 2

n

∑k = k =1

Ejemplo 4 3

5

Calcule: a.

∑ (2k − 1) ;

b.

k =1

∑ (2 j − 1) ; j =1

4

c.

∑ (2r + 1). r =3

Solución

a.

5

5

5

k =1

k =1

k =1

∑ (2k − 1) = 2∑ k − ∑1

(propiedades i y ii)

5(5 + 1) − 5 (ejemplo 3 y propiedad iii) 2 = 25. = 2.

b.

3

3

3

j =1

j =1

j =1

∑ (2 j − 1) = 2∑ j − ∑1 = 2.

3(3 + 1) − 3 = 9. 2

4

c.

∑ (2r + 1) = (2 ⋅ 3 + 1) + (2 ⋅ 4 + 1) = 16. r =3

Las fórmulas siguientes, numeradas para referencias posteriores, también son de gran utilidad. n

F.12.1.1

∑k =

F.12.1.2

∑k

k =1 n

=

k =1

n

F.12.1.3

2

n(n + 1) . 2

∑ k3 = k =1

n(n + 1)(2n + 1) . 6

n 2 (n + 1) 2 . 4

Elementos básicos de cálculo integral y series

121

Capítulo 3: Integral definida n

∑k

F.12.1.4

k =1

4

=

n(n + 1)(6n3 + 9n2 + n − 1) . 30

La fórmula F.12.1.1 fue demostrada en el ejemplo 3; las demás pueden demostrarse por inducción o directamente con el teorema 1 y con la ayuda de algunos artificios algebraicos.

12.2 Partición de un intervalo cerrado Definición Una partición P del intervalo [a, b] , con a < b , es un conjunto finito de puntos

P = { x0 , x1 , x2 , x3 ,… , xn −1 , xn } tales que a = x0 < x1 < x2 < … xn −1 < xn = b.

Utilizaremos las letras P, Q, R,… , etc., para denotar diferentes particiones del intervalo [a, b] .

Observaciones i.

Dos particiones P y Q de un mismo intervalo [ a, b] son diferentes si difieren por lo menos en un punto.

ii.

Toda partición de [a, b] contiene por definición al menos los puntos a y b; por tanto, siempre es un conjunto no vacío.

iii.

Toda partición P = { x0 , x1 ,… , xn −1 , xn } de [a, b] divide a dicho intervalo en n-subintervalos cerrados: I1 = [ x0 , x1 ]; I 2 = [ x1 , x2 ],… , I k = [ xk −1 , xk ];… ; I n = [ xn −1 , xn ] .

En la figura 12.1 aparece una partición P = { x0 ,…, xn } de [ a, b] y los subintervalos que ella determina.

Figura 12.1

122

Módulo 12: Notación sigma (∑ ) y partición de un intervalo Definiciones i.

La longitud del subintervalo I k = [ xk −1 , xk ] , denotada por Δxk , se define como Δxk = xk − xk −1 .

ii.

Sea P una partición de [ a, b] . La norma de la partición, denotada por || P || , se define como el mayor entre los siguientes valores: Δx1 , Δx2 ,… , Δxn .

iii.

Se dice que la partición Q de [a, b] es más refinada o más fina que la partición P de [ a, b] si Q contiene todos los puntos de P y por lo menos un punto más (figura 12.2).

Figura 12.2

iv.

Si Δx1 = Δx2 = Δx3 = … = Δxn = Δx =

b−a , entonces la partición se llama n

regular. Observaciones i.

Δxk > 0 para todo k = 1, 2,3,…, n , puesto que xk > xk −1 . En consecuen-

cia, || P || > 0 . ii.

Δxk ≤ || P || para todo k = 1, 2,…, n.

iii.

∑ Δx = ∑ ( x

n

k =1

n

k

k =1

k

− xk −1 )

= ( x1 − x0 ) + ( x2 − x1 ) + … + ( xn −1 − xn − 2 ) + ( xn − xn −1 ) = − x0 + xn = b − a.

iv.

Si P y Q son dos particiones de [ a, b] , y si Q es una partición más refinada que P, entonces || Q || ≤ || P || .

v.

Decir que || P || → 0 es equivalente a decir que n → +∞ . Elementos básicos de cálculo integral y series

123

Capítulo 3: Integral definida Ejemplo 1

Sea P = {−1, 0, 0.5, 2, 2.4, 3} una partición del intervalo [−1, 3] (figura 12.3).

Figura 12.3

Los subintervalos en los cuales P divide al intervalo [−1, 3] son:

I1 = [−1, 0]; I 2 = [0, 0.5]; I 3 = [0.5, 2]; I 4 = [2, 2.4]; I 5 = [2.4, 3] .

Las longitudes de cada subintervalo son: Δx1 = 0 − (−1) = 1; Δx2 = 0.5 − 0 = 0.5; Δx3 = 2 − 0.5 = 1.5; Δx4 = 2.4 − 2 = 0.4; Δx5 = 3 − 2.4 = 0.6.

Además, || P || es el mayor valor entre: 1, 0.5, 1.5, 0.4 y 0.6; es decir, || P ||= 1.5 Ejemplo 2 Efectúe una partición regular P de [ a, b] .

Solución Δx =

longitud delintervalo[a, b] b − a = . n n

Entonces la partición P de [ a, b] será P = { x0 , x1 , x2, … , xn } , en donde x0 = a, x1 = a + Δx = a +

b−a . n

x2 = a + 2Δx = a + 2

124

b−a , n

Módulo 12: Notación sigma (∑ ) y partición de un intervalo x3 = a + 3Δx = a + 3

b−a , n

xk = a + k Δx = a + k

b−a , n

xn = a + nΔx = a + n

b−a = b. n

Ejemplo 3 n

∑ Δxk . Evalúe el siguiente límite: lim P →0 k =1

Solución n

Como

∑ Δx k =1

k

= (b − a) es una constante, se sigue entonces que

n

lim ∑ Δxk = lim (b − a) = (b − a). P →0

k =1

P →0

Elementos básicos de cálculo integral y series

125

126

13

Integral según Riemann Contenidos del módulo

13.1 Área bajo una curva a través de sumas superiores e inferiores 13.2 Sumas de Riemann Georg Friedrich Bernhard Riemann

Objetivos del módulo 1. Introducir por medio de la idea intuitiva de área y de las llamadas sumas aproximantes, la integral definida según Riemann. 2. Ilustrar con ejemplos la definición de integral definida.

Preguntas básicas 1. Demuestre las siguientes fórmulas: a.

∫

b.

∫

c.

∫

b a b a

b a

C dx = C (b − a) x dx =

b2 a2 − 2 2

x 2 dx =

b3 a 3 − 3 3

Introducción En este módulo nos ocuparemos del concepto de integral definida de una función acotada en un intervalo cerrado [a, b]. Se parte de un problema particular, como es el problema del área de una región plana, el cual dio origen al cálculo integral. El método expuesto, conocido como «método de los recubrimientos», se debe a Arquímedes, el más grande de los matemáticos griegos y uno de los mayores de toda la historia de la humanidad, quien determinó el área de un segmento parabólico por este método, que aún hoy, después de conocer los modernos métodos infinitesimales, resulta laborioso.

Bernhard Riemann nació en la ciudad alemana de Breselenz el 17 de septiembre de 1826. Durante sus estudios universitarios en Gotinga y en Berlín se interesó por las teorías de los números primos, las funciones elípticas y la geometría, que relacionó con las teorías más avanzadas de la física. En Berlín fue discípulo de los famosos matemáticos Jakob Steiner, Karl Jacobi y Peter Dirichlet. Se doctoró en 1851 en Gotinga con una tesis sobre los fundamentos de una teoría general de funciones en la que establecía las relaciones existentes entre los números complejos bajo las leyes de la geometría. Su definición de superficie multiestrato (riemanniana), que asociaba una función de variable compleja múltiple a una función de un solo valor, contribuyó notablemente al desarrollo de la topología. Fueron muchas las contribuciones que Riemann aportó a las matemáticas, pero probablemente la más conocida es la que presentó en 1854 en su disertación para ingresar como profesor asistente en la Facultad de Filosofía de la Universidad de Gotinga. Cuando estuvo a punto de dar su conferencia sometió a consideración, según la tradición, tres posibles temas. Gauss, bajo cuya dirección estudió Riemann en esa universidad, pasó por alto los dos primeros y pidió que expusiera el tercero. Este tema era nuevo, repleto de controversias y de peligros, y basado en una geometría no inspirada en los antiguos postulados euclidianos de la línea recta y el paralelismo. Pero después de un trabajo intensivo Bernhard Riemann ofreció una conferencia en la que, sin utilizar ni una figura o fórmula, presentó su hipótesis de la curvatura del espacio, en términos que podían entender incluso quienes no estaban familiarizados con las matemáticas de alto nivel.

Elementos básicos de cálculo integral y series

127

Capítulo 3: Integral definida Riemann pudo visualizar el significado físico de esta generalización de la geometría euclidiana. Entre las geometrías no euclidianas definidas a lo largo del siglo XIX, la riemanniana tuvo una enorme trascendencia en los conceptos de la física teórica del siglo XX. Años después se desarrolló el cálculo tensorial, principalmente por los matemáticos italianos Ostilio Ricci y Tullio Levi-Civita. La geometría riemanniana, así como es difícil de apreciar en términos visuales, es bastante fácil de concebir como una posibilidad abstracta, es decir, como una simple progresión a partir de una línea en el espacio unitario de la longitud, a un plano en el espacio bidimensional de anchura y longitud, a un sólido en el espacio tridimensional de altura, anchura y profundidad, y de aquí a espacios de más dimensiones –por ejemplo, de altura, anchura, profundidad y tiempo–. Riemann generalizó las propiedades de las curvas y superficies de forma tal que pudieran aplicarse a los espacios. Por ejemplo, referente a la propiedad geométrica de la curvatura, ésta se define como la proporción en que varía una línea. Una medida de esta proporción es la medida del círculo oscilador en un punto; si el círculo que más se acerca a la línea curva en este punto es muy pequeño, entonces la curva se cierra poco a poco y se dice que tiene una curvatura pequeña. La curvatura de una superficie se define casi de la misma forma que la curvatura de una línea, excepto que ésta no tiene por que ser la misma en todas direcciones. Gauss había averiguado que la curvatura en un punto cualquiera de una superficie puede definirse útilmente como el producto de las curvaturas mayor y menor de todas las líneas que constituyen la superficie en dicho punto (curvatura gaussiana). Así, una superficie de curvatura positiva es una que siempre da vueltas para encontrarse a sí misma, como la cáscara de un huevo, mientras que una superficie de curvatura negativa sería, por ejemplo, una silla de montar, en donde el producto de una curvatura positiva y una negativa resulta negativa. Gauss había encontrado también que la curvatura de una superficie puede definirse no sólo en términos de una persona que mira a la superficie desde el exterior sino equivalente en términos de mediciones realizadas dentro de la delgada superficie. Riemann amplió esta idea hasta dar una descripción matemática exacta de la curvatura del espacio. En el sistema cartesiano, las líneas de referencia son líneas rectas en un plano; en el globo terrestre, las líneas de referencia son las de

128

13.1 Área bajo una curva a través de sumas superiores e inferiores Partiremos de una idea intuitiva de lo que entendemos por área y profundizaremos luego para llegar a una definición apropiada de la integral (según Riemann). Supongamos que f es una función continua en [ a, b] y tal que f ( x) ≥ 0 para todo x perteneciente al intervalo [a, b] . Deseamos determinar, en una forma razonable, la manera de asignar un valor al área de la región R limitada por las rectas x = a, x = b , el eje x y la curva y = f ( x) (figura 13.1).

Figura 13.1

Sea A el área de la región R. Lo que hacemos es aproximarnos a este valor mediante rectángulos cuyas áreas se calculan fácilmente y usaremos luego un cierto tipo de paso al límite para llegar al resultado deseado. Sea P = { x0 , x1 , x2 ,… , xn } una partición cualquiera de [a, b] . En cada uno de los subintervalos [ xi −1 , xi ] levantamos un rectángulo Ri cuya base es Δxi = xi − xi −1 y su altura el valor mínimo de la función en [ xi −1 , xi ] , el cual existe ya que f es continua en [a, b] (figura 13.2).

Figura 13.2

Módulo 13: Integral según Riemann Si mi es el valor mínimo de f en [ xi −1 , xi ], entonces el área de Ri es mi Δxi para todo i = 1, 2,3,… , n, y el área de todos los rectángulos es: n

m1Δx1 + m2 Δx2 + … + mn Δxn = ∑ mi Δxi . i =1

En este caso, la suma de las áreas de los rectángulos es menor o igual al área de la región R, o sea: n

A ≥ ∑ mi Δxi . i =1

Siguiendo un procedimiento similar al anterior, pero tomando como altura de cada rectángulo el valor máximo de la función en [ xi −1 , xi ], obtenemos que la suma de las áreas de los rectángulos es mayor o igual que el área de la región R (figura 13. 3). Es decir, n

A ≤ ∑ M i Δxi . i =1

donde M i es el máximo de f en [ xi −1 , xi ] . De lo anterior podemos concluir entonces que n

∑ m Δx i =1

i

i

n

≤ A ≤ ∑ M i Δxi .

(1)

i =1

latitud y longitud; en un huevo, pudieran ser círculos en una dirección y óvalos en otra perpendicular; en el reflector de un faro, pudieran ser círculos en una dirección y parábolas en otra perpendicular a ésta. Riemann se dio cuenta de que toda superficie o espacio de su geometría superior podía trazarse por medio de distintas redes de curvas de referencia y halló que las ecuaciones escritas en términos de un sistema de coordenadas a menudo podían ser ampliamente simplificadas al escribirse en términos de un conjunto distinto de curvas de referencia. Uno de los más prácticos conjuntos de curvas de referencia está formado por las llamadas geodésicas. Una geodésica es el camino de la distancia más corta entre dos puntos: en un espacio plano es un segmento de línea recta; en una esfera es un arco de un círculo máximo análogo al que siguen los viajes aéreos intercontinentales; en una superficie irregular en forma de lámpara o en un espacio curvo, puede ser cualquier tipo de curva. Al manipular ecuaciones diferenciales elaboradas para minimizar las distancias, Riemann encontró que podía trazar redes geodésicas de líneas de referencia y seguir la curvatura de cualquier espacio desde tres dimensiones hasta n dimensiones. El prestigio y la calidad de sus trabajos, que llevaron a la posteridad a aplicar su nombre a innumerables teoremas matemáticos, le valieron la obtención de la cátedra de Gotinga en 1859. En 1860, en una memoria sobre la propagación del sonido, Riemann presentó un método, actualmente clásico, para la integración de una clase de ecuaciones diferenciales de primer orden en derivadas parciales. Debe mencionarse también el éxito que obtuvo de su exposición rigurosa del concepto de integral definida (integral según Riemann). Riemann trabajó hasta el día anterior a su muerte, la cual se produjo el 20 de julio de 1866, en Selasca, Italia, por tuberculosis adquirida pocos años antes a causa de su débil constitución física. Su último trabajo, que trataba sobre la teoría de la transferencia del sonido desde un enfoque de principios hidráulicos, quedó inconcluso.

Figura 13.3

Ejemplo 1 Sea f ( x ) = x 2 definida en [0, 2] y P = { x0 , x1 ,… , xn } una partición regular de

[0, 2] . Si M i es el valor máximo de f en [ xi −1 , xi ] , i = 1, 2,3,… , n y mi es el valor

Vea el módulo 13 del programa de televisión Elementos básicos de cálculo integral y series

Elementos básicos de cálculo integral y series

129

Capítulo 3: Integral definida mínimo de f en [ xi −1 , xi ] e i = 1, 2,3,… , n, halle n

n

∑ M Δx i =1

i

i

y

∑ m Δx . i =1

i

i

Figura 13.4

Solución Puesto que f ( x ) = x 2 es creciente en [0, 2] (figura 13.4), también lo es en cada subintervalo [ xi −1 , xi ] en los cuales P divide al intervalo [ a, b] , y por tanto: M i = f ( xi ) = xi2 y mi = f ( xi −1 ) = xi2−1 .

Puesto que la partición es regular,

Δxi =

2−0 2 = , i = 1, 2,3,… n y n n

x0 = 0, x1 =

2 ⎛2⎞ , x2 = 2 ⎜ ⎟ ,… n ⎝n⎠

2 2 xi −1 = (i − 1) , xi = i , n n

, xn = 2,

entonces n 2 n ⎛ 2i ⎞ ⎛2⎞ 2 n M i Δxi = ∑ xi2 ⎜ ⎟ = ∑ ( xi2 ) = ∑ ⎜ ⎟ ∑ n i =1 ⎝ n ⎠ ⎝ n ⎠ n i =1 i =1 i =1 n 8 8 n(n + 1)(2n + 1) , = 3 ∑ i2 = 3 6 n i =1 n n

130

2

(F.12.1.2)

Módulo 13: Integral según Riemann de donde n

∑ M Δx i

i =1

i

=

8n(n + 1)(2n + 1) . 6n 3

(1)

Ahora,

n

2 n ⎡ 2⎤ ⎛2⎞ 2 n 2 ⎜ ⎟ = ∑ xi −1 = ∑ ⎢(i − 1) ⎥ n i =1 ⎣ n⎦ ⎝ n ⎠ n i =1 i =1 n 1 ( )(2 1) n n n − − ) 8 8 ( , = 3 ∑ (i − 1) 2 = 3 . 6 n i =1 n n

∑ m Δx = ∑ x i

i =1

i

2

2 i −1

(F.12.1.2)

de donde n

∑ m Δx i =1

i

i

=

8n(n − 1)(2n − 1) . 6n3

(2)

De (1) y (2), y teniendo en cuenta que el área bajo la curva está entre estas dos sumas, tenemos que: 8n( n − 1)(2n − 1) 8n(n + 1)(2n + 1) ≤ A≤ . 6n3 6n 3

Tomando límites en los lados de esta desigualdad y teniendo en cuenta que A es un número fijo, obtenemos:

lim

n →∞

8n(n − 1)(2n − 1) 8n( n + 1)(2n + 1) ≤ A ≤ lim . 3 n →∞ 6n 6n 3

Luego, por el teorema del sánduche,

8 8 8 ≤ A ≤ , es decir, A = . 3 3 3

Encontramos una manera muy elegante de hallar el área comprendida entre

x = 0, x = 2 e y = 0 (eje x) bajo la curva y = x 2 . Observación Si elegimos como altura del rectángulo Ri el valor que asume la función en un punto ti cualquiera del intervalo [ xi −1 , xi ] (figura 13.5), la suma de las áreas de n

estos rectángulos es

∑ f (t ) Δx . i =1

i

i

Elementos básicos de cálculo integral y series

131

Capítulo 3: Integral definida

Figura 13.5

Tendremos en cuenta la discusión hecha hasta ahora para definir el área bajo una curva, pero antes daremos algunas definiciones que nos llevan a precisar la definición de la integral de Riemann y, con base en ella, definir el área bajo una curva.

13.2 Sumas de Riemann Definición 1 Sea f una función definida en [ a, b] y tal que f ( x) ≤ M para todo x de [a, b] y cierto M real positivo (función acotada en [a, b] ); sea P = { x0 , x1 ,… , xn } una partición de [ a, b] y sean t1 , t2 ,… , tn puntos tales que xi −1 ≤ ti ≤ xi para cada i = 1, 2,… , n . n

La expresión

∑ f (t ) Δx i

i =1

i

se llama suma de Riemann para f en [a, b] .

Ejemplo 2 Sea f ( x) = c definida en [ a, b] . Halle una suma de Riemann para f ( x). Solución Sea P = { x0 , x1 ,… , xn } una partición cualquiera de [a, b] . En consecuencia, Δxi = xi − xi −1 , f (ti ) = c, para todo i = 1, 2,3,… , n .

Entonces, n

n

∑ f (t ) Δx = ∑ cΔx i =1

132

i

i

i =1

i

n

= c∑ Δxi = c (b − a). i =1

Módulo 13: Integral según Riemann Obsérvese que para la función constante f ( x) = c, todas las sumas de Riemann son iguales a c (b − a) . Ejemplo 3 Sea f una función monótona creciente en [a, b] y sea P = { x0 , x1 ,… , xn } una parn

tición de [a, b] . Demuestre que f (a)(b − a) ≤ ∑ f (ti ) Δxi ≤ f (b)(b − a) . i =1

Solución Si ti está en [ xi −1 , xi ] , entonces por ser f creciente f (a ) ≤ f (ti ) ≤ f (b), y puesto que Δxi > 0, se concluye que f (a ) Δxi ≤ f (ti ) Δxi ≤ f (b) Δxi .

(1)

Si en (1) efectuamos la suma variando i desde 1 hasta n, obtenemos: n

n

n

∑ f (a) Δx ≤ ∑ f (t ) Δx ≤ ∑ f (b) Δx . i

i =1

i =1

i

i

i

i =1

Luego n

n

n

i =1

i =1

i =1

f (a) ∑ Δxi ≤ ∑ f (ti ) Δxi ≤ f (b)∑ Δxi (puesto que f (a) y f (b) son constantes) y simplificando obtenemos finalmente n

f (a)(b − a) ≤ ∑ f (ti ) Δxi ≤ f (b)(b − a). i =1

Definiremos ahora la integral definida de una función sobre un intervalo cerrado [a, b] .

Definición 2 Sea f una función definida en el intervalo [ a, b] . Se dice que f es integrable en [ a, b] (según Riemann) si existe un número real L que satisface la siguiente propiedad:

Escuche el audio Nota histórica: Riemann en su multimedia de Elementos básicos de cálculo integral y series.

Elementos básicos de cálculo integral y series

133

Capítulo 3: Integral definida

Para cada ∈ > 0 , existe un δ > 0 tal que n

∑ f (t ) Δx i =1

Vea la animación Construcción de las sumas de Riemann en su multimedia de Elementos básicos de cálculo integral y series

i

i

−L 0, existe δ > 0 tal que

∑ f (t ) Δx − 0 < ∈ para i =1

i

cualquier partición P con || P ||< δ .

b.

i

(1)

Si alguno de los ti es igual a 1, por ejemplo t j = 1, 1 ≤ j ≤ n , entonces f (t j ) = 1 , y como los demás ti son diferentes de 1, se tiene que para

éstos ti f (ti ) = 0. Por tanto, n

∑ f (t ) Δx i =0

i

i

= f (t1 )Δx1 + f (t2 )Δx2 + … + f (t j )Δx j + f (t j +1 )Δx j +1 + … + f (tn )Δxn = 0Δx1 + 0Δx2 + … + 1Δx j + 0Δx j +1 + … + 0Δxn .

136

Módulo 13: Integral según Riemann n

∑ f (t ) Δx i =1

i

= Δx j .

i

n

Puesto que Δx j ≤ || P || , se tiene que

∑ f (t ) Δx i =1

i

i

≤ || P || .

Es decir, dado ∈ > 0, elijamos la partición P de [a, b] tal que || P || < ∈ , luego tomando δ = ∈ se verifica que para cada ∈ > 0 existe un δ > 0 tal que n

∑ f (t ) Δx i =1

i

i

− 0 < ∈ para toda partición P de [−2,3] con || P ||< δ .

(2)

De (1) y (2) se concluye que f es integrable en [−2,3] y además L = 0. Es decir,

∫

3

−2

f ( x) dx = 0.

Observaciones i.

El ejemplo anterior presenta una función igual a cero en todos los puntos de [−2,3] excepto en x = 1, es decir, una función discontinua en x = 1. Se puede demostrar que si f ( x) = 0 salvo en un número finito de puntos de [a, b] , entonces f es integrable en [a, b] y además

ii .

∫

b a

f ( x) dx = 0.

Cuando la función es continua y no negativa tomaremos los ti ∈ [ xi −1 , xi ] de tal forma que f (ti ) coincida con el máximo absoluto M i o con el mínimo absoluto mi de la función en el i-ésimo subintervalo [ xi −1 , xi ] . Además, para simplificar los cálculos asumiremos que las particiones son regulares y así escribiremos:

∫

b a

⎡ n ⎤ f ( x ) dx = lim ⎢ ∑ f (ti ) Δxi ⎥ P →0 ⎣ i =1 ⎦ ⎡ n ⎤ = lim ⎢ ∑ M i Δxi ⎥ n →+∞ ⎣ i =1 ⎦

⎡ n ⎤ = lim ⎢ ∑ mi Δxi ⎥ . n →+∞ ⎣ i =1 ⎦

Teniendo en cuenta además que:

„

⎧ mk = f ( xk −1 ) Si f es creciente en [a, b] , ⎨ M = f ( x ) k ⎩ k

(rectángulos inscritos) (rectángulos circunscritos)

Elementos básicos de cálculo integral y series

137

Capítulo 3: Integral definida „

⎧mk = f ( xk ) (rectángulos inscritos) Si f es decreciente en [ a, b] , ⎨ M = f ( x ) (rectángulos circunscritos) k −1 ⎩ k

Ejemplo 6 Use la definición de la integral definida (según Riemann) para calcular

∫

b a

x dx,

haciendo una partición regular y tomando rectángulos circunscritos. Solución En este caso f ( x) = x, y consideremos la partición regular P = { x0 , x1 , x2 ,..., xn } para la cual: Δx1 = Δx2 =

= Δxn =

b−a , n

x0 = a, x1 = a +

b−a ⎛b−a⎞ , x2 = a + 2 ⎜ ⎟ ,… n ⎝ n ⎠

xi −1 = a + (i − 1)

b−a b−a , xi = a + i , n n

, xn = b.

En la figura 13.8 aparece la gráfica de f ( x) = x, la partición P de [ a, b] y el elemento representativo de área.

Figura 13.8

También, M i = f ( xi ) = xi = a + i

138

b−a (tomando rectángulos circunscritos). n

Módulo 13: Integral según Riemann Así que:

∫

b a

⎡ n ⎤ x dx = lim ⎢ ∑ M i Δxi ⎥ n →+∞ ⎣ i =1 ⎦ ∞ b−a⎤ b−a ⎡ = lim ∑ ⎢ a + i n →+∞ n ⎥⎦ n i =1 ⎣ b−a ∞ ⎡ b−a⎤ a+i ∑ ⎢ n →+∞ n i =1 ⎣ n ⎥⎦

= lim

b−a ⎡ n b−a n ⎤ + a ∑ ∑ i (propiedad i, teorema 1, sección 12.1) n →+∞ n ⎢⎣ i =1 n i =1 ⎥⎦

= lim

= lim

n →+∞

b−a ⎡ (b − a ) n(n + 1) ⎤ na + (propiedades ii, iii y F.12.1.1, ⎢ n ⎣ n 2 ⎥⎦ sección 12.1)

= a (b − a ) +

(b − a ) b a = − . 2 2 2 2

2

2

De esta forma,

∫

b a

x dx =

b2 a2 − . 2 2

Razonamientos similares al anterior nos permiten deducir que

Los cálculos de

∫

b a

x dx y

∫

b a

∫

b a

x 2 dx =

b3 a 3 − . 3 3

x 2 dx hacen pensar que el cálculo con integrales

definidas es generalmente difícil. De hecho, las integrales definidas de la mayor parte de las funciones es imposible determinarlas con exactitud; sin embargo, como vimos en el capítulo 2, la integral de muchas funciones puede calcularse fácilmente. Este hecho, conjuntamente con el segundo teorema fundamental del cálculo que presentaremos en el módulo 16, nos facilitarán las cosas para calcular la integral definida de un gran número de funciones.

Elementos básicos de cálculo integral y series

139

140

14

Propiedades de la integral definida Contenidos del módulo 14.1 Álgebra de funciones integrables 14.2 Relación entre la integral y la continuidad de una función de variable real Thomas Simpson

Objetivos del módulo 1. Destacar la relación existente entre continuidad e integrabilidad mediante un teorema que proporciona una gran familia de funciones integrables. 2. Enunciar y analizar las propiedades más importantes de la integral definida.

Preguntas básicas 1. Si a < b < c < d, y f es integrable sobre [a, d], demuestre que f es integrable sobre [b, c]. 2. Si f y g son integrables en [a, b], y f ( x) ≥ g ( x) para todo x de [a, b], entonces

∫

b a

b

f ( x) dx ≥∫ g ( x) dx. a

Introducción Aunque la mayor parte de las integrales definidas no pueden ser calculadas exactamente, es importante por lo menos saber cuándo una función es integrable sobre [a, b], y ésta es la información más importante que proporciona el teorema 2 de este módulo. Igualmente, en el teorema 1 se presentan otras propiedades importantes de las funciones integrables y de esta forma se simplifican resultados que son difíciles de demostrar recurriendo directamente a la definición de integral definida.

Thomas Simpson, matemático inglés nacido en Market Bosworth en 1710 y fallecido en la misma ciudad en 1761, es conocido principalmente por su trabajo en interpolación y métodos numéricos de integración (regla de Simpson) y por haber ideado un método para calcular, por aproximación, una integral definida. También trabajó la teoría de la probabilidad y en 1740 publicó Naturaleza y leyes de probabilidad. Parte de su investigación en esta área se basó en las ideas del matemático francés y pionero de la teoría de la probabilidad y la trigonometría, Abraham de Moivre. Trabajó, igualmente, en la «teoría de errores» y probó que la media aritmética era más importante que una simple observación. La justificación de esta afirmación apareció en su memoria de 1757 titulada «Un intento de mostrar la ventaja de tomar la media de varias observaciones en astronomía práctica». En esta ciencia también abordó otros problemas, tales como la precesión de los equinoccios, que dejó plasmados en su obra Folletos misceláneos. Sus dos volúmenes de Doctrina y aplicación de las fluxiones son considerados por muchos como el mejor trabajo sobre la versión del cálculo de Newton que fue publicada en el siglo XVIII.

Elementos básicos de cálculo integral y series

141

Capítulo 3: Integral definida

14.1 Álgebra de funciones integrables Antes de enunciar e ilustrar el teorema que recoge las propiedades más importantes de la integral definida se da la siguiente definición. Definición Vea el módulo 14 del programa de televisión Elementos básicos de cálculo integral y series

Si f es integrable en [a, b], entonces definimos: a

i.

∫

a

ii.

∫

a

b

f ( x) dx = 0. a

f ( x) dx = − ∫ f ( x) dx . b

Teorema 1: Propiedades de la integral definida Sean f y g dos funciones integrables en [a, b], k una constante real y a < c < b . Entonces:

∫

b

b

kf ( x) dx = k ∫ f ( x) dx.

i.

kf es integrable en [a, b] y

ii.

( f + g) es integrable en [a, b] y ∫ a [ f ( x) + g ( x)] dx = ∫ a f ( x) dx + ∫ a g ( x) dx.

iii.

Si f ( x) ≥ 0 para todos x de [a, b], entonces

iv.

f es integrable en [a, c] y en [c, b] y

v.

Sean f y g dos funciones definidas en [a, b]. Si f es integrable en [a, b] y

a

a

b

b

∫

b a

∫

b a

b

f ( x) dx ≥ 0. c

d

a

c

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx.

g ( x) = f ( x) para todo x de (a, b), entonces

∫

b a

b

g ( x) dx = ∫ f ( x) dx. a

Demostración La demostración de las partes i, ii e iii pueden hacerse usando la definición de función integrable presentada en el módulo 13, pero considero que no tiene mucho interés demostrarlas en un primer curso de cálculo integral. iv.

Para este numeral sólo hacemos una interpretación geométrica. Como se ilustra en la figura 14.1, el área de la región sombreada se puede descomponer en dos regiones de tal manera que el área de la región entre a y b sea igual a la suma de las áreas entre a y c y entre c y b.

142

Módulo 14: Propiedades de la integral definida

Figura 14.1

v.

Sea c un punto en (a, b), y puesto que f es integrable en [a, b], entonces f es integrable en [a, c] y en [c, b] (propiedad iv). Veamos que

∫

c a

c

g ( x) dx = ∫ f ( x) dx y a

∫

b c

b

g ( x) dx = ∫ f ( x) dx . c

Sea h( x) = g ( x) − f ( x) para todo x de [a, c]. Puesto que f y g difieren ⎧ 0 si x ≠ a sólo en el punto x = a, entonces podemos escribir h( x) = ⎨ ⎩ k si x = a

Y teniendo en cuenta el ejemplo 4 del módulo 13, h así definida es integrable en [a, c] y además

∫

c a

h( x) dx = 0; entonces, por la propiedad ii, h( x) + f ( x)

es integrable y por tanto g(x) es integrable en [a, c] ya que

h( x ) + f ( x ) = ( g ( x ) − f ( x ) ) + f ( x ) = g ( x ) y además

∫ [ h( x) + f ( x)] dx = ∫ c

c

a

a

c

h( x) dx + ∫ f ( x) dx a

c

c

a

a

= 0 + ∫ f ( x) dx = ∫ g ( x) dx. El caso entre c y b es similar (figura 14.2)

Figura 14.2

Elementos básicos de cálculo integral y series

143

Capítulo 3: Integral definida Observaciones i.

La propiedad ii del teorema 1 se puede generalizar así:

∫ [ f ( x) + f b

a

1

2

( x) + … + f n ( x) ] dx = ∫ f1 ( x) dx + ∫ f 2 ( x) dx + b

b

a

a

b

… + ∫ f n ( x) dx. a

ii.

En la propiedad iv del teorema si a < c1 < c2 < … < cn < b, entonces

∫ iii.

b a

f ( x) dx = ∫

c1 a

f ( x) dx + ∫

c2 c1

b

f ( x) dx + … + ∫ f ( x) dx. cn

Teniendo en cuenta la definición dada al principio se puede concluir que

∫

b a

c

b

a

c

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx

para toda terna a, b, c de números reales que pertenezcan al intervalo donde la función es integrable. iv.

De la propiedad iii del teorema podemos deducir las siguientes propiedades adicionales: Si f y g son integrables en [a, b] y f ( x) ≥ g ( x) para todo x de [a, b], entonces

a.

∫

b a

b

f ( x) dx ≥∫ g ( x) dx. a

Si f es integrable y m1 ≤ f ( x) ≤ M 1 para todo x de [a, b], entonces

b.

b

m1 (b − a) ≤ ∫ f ( x) dx ≤ M1 (b − a). a

Ejemplo 1

Sean f y g dos funciones tales que

∫

4 1

f ( x) dx = 3,

∫

7 4

f ( x) dx = −2 y

∫

7 1

g ( x) dx = 6.

∫ [5 f ( x) + g ( x)] dx. 1

Calcule

7

Solución

∫ [5 f ( x) + g ( x)] dx = ∫ 144

1

1

7

7

1

5 f ( x) dx + ∫ g ( x) dx 7

(teorema 1, parte ii)

Módulo 14: Propiedades de la integral definida 1

1

7

7

= 5∫ f ( x) dx + ∫ g ( x) dx

(

)(

7

(teorema 1, parte i)

7

= 5 − ∫ f ( x) dx + − ∫ g ( x) dx = −5

1

(∫

4 1

1

7

)

)

(definición 14.1, parte ii)

f ( x) dx + ∫ f ( x) dx + (−6) (teorema 1, parte iv) 4

= −5(3 − 2) − 6 = −11. Ejemplo 2 5

Calcule ∫−2 x − 3 dx. Solución Note en primer lugar que ninguna de las propiedades establecidas hasta ahora permite evaluar directamente la integral; sin embargo, de acuerdo con la definición de valor absoluto podemos escribir: ⎧ x − 3 si x ≥ 3 x−3 = ⎨ ⎩3 − x si x < 3

(1)

La gráfica de la función f ( x) = x − 3 en el intervalo [−2, 5] aparece en la figura 14.3.

Figura 14.3

De otro lado,

∫

5

−2

3

5

−2

3

x − 3 dx = ∫ x − 3 dx + ∫ x − 3 dx 3

5

−2

3

= ∫ (3 − x) dx + ∫ ( x − 3) dx

(teorema 1, parte iv) (reemplazando (1))

Elementos básicos de cálculo integral y series

145

Capítulo 3: Integral definida 3

3

5

5

−2

−2

3

3

= ∫ 3 dx − ∫ x dx + ∫ x dx − ∫ 3 dx ⎛ 32 (−2) 2 = 3(3 − (−2)) − ⎜ − 2 ⎝ 2

(teorema 1 partes i y ii)

⎞ ⎛ 52 32 ⎞ ⎟ + ⎜ − ⎟ − 3(5 − 3) (ejemplos 4 ⎠ ⎝ 2 2⎠

y 6 de la sección 13.2) =

29 . 2

Ejemplo 3 Sea f ( x) =

1 definida en [1, 2]. Encuentre m y M tales que x

m(2 − 1) ≤ ∫

2 1

1 dx ≤ M (2 − 1). x

Solución La función f ( x) =

1 es decreciente para todo x > 0 ya que su derivada es negativa; x

por tanto, en el intervalo [1, 2] el máximo absoluto es f (1) = 1 y el mínimo absoluto es f (2) = 1/ 2 . Entonces se puede tomar como m cualquier número menor o igual a 1/2 y como M cualquier número mayor o igual que 1.

14.2 Relación entre la integral y la continuidad de una función de variable real A continuación enunciamos un teorema que nos proporciona una gran familia de funciones integrables, pero no lo demostraremos porque se sale del alcance de este libro. Teorema 2 Si f es continua en [a, b], entonces f es integrable en [a, b]. Obsérvese que el recíproco de este teorema no siempre se cumple (vea el ejemplo 4, módulo13). No obstante que el teorema anterior nos garantiza la integrabilidad de un gran número de funciones, el teorema no proporciona la manera de hallar el valor de la integral. Más adelante presentaremos el teorema fundamental del cálculo que nos permitirá hallar el valor exacto de la integral sin recurrir a la definición. Ejemplo 4 Sabiendo que

∫

2 0

3x 2 dx = 8 y

∫ ( 2 x + 1) dx = 24 , halle 5

2

⎧3x 2 si x ∈ [0, 2] h( x ) = ⎨ h ( x ) dx si ∫0 ⎩ 2 x + 1 si x ∈ [2,5] 5

146

(figura 14.4)

Módulo 14: Propiedades de la integral definida

Figura 14.4

Solución Sea f ( x) = 2 x + 1 con x en [2, 5]. Ya que h (x) en el intervalo [2, 5] difiere de f en el punto x = 2, y puesto que

∫

5 2

f ( x) dx = 24 , entonces por la propiedad v se tiene

que:

∫

5 2

5

h( x) dx = ∫ (2 x + 1) dx = 24. 2

∫

Además,

2 0

h( x) dx = 8 .

Luego empleando la propiedad iv tenemos que:

∫

5 0

2

5

0

2

h( x) dx = ∫ h( x) dx + ∫ h( x) dx = 8 + 24 = 32.

Nótese que h es integrable [0,5]; sin embargo, no es continua allí.

Elementos básicos de cálculo integral y series

147

148

15

Teorema del valor medio (TVM) para integrales Contenidos del módulo 15.1 Teorema del valor intermedio 15.2 Teorema del valor medio (TVM) para integrales

Eudoxio de Cnido

Objetivos del módulo 1. Conocer los dos teoremas básicos para la demostración de los teoremas fundamentales del cálculo, del próximo módulo. 2. Relacionar el área bajo una curva con el área de un rectángulo.

Preguntas básicas La temperatura de un caldo que se saca del refrigerador (a 5 ºC) y se pone al fuego durante 10 minutos, puede modelarse mediante la función 1 f (t ) = 5 + t (t + 1), 2 siendo f(t) la temperatura a los t minutos de haberse puesto al fuego.

1. Calcule la temperatura promedio que tuvo el caldo durante los 10 minutos en que se calentó. 2. ¿A qué temperatura llegó a los 10 minutos? 3. ¿En qué instante de los 10 minutos de calentamiento tuvo el caldo la temperatura promedio?

Introducción A pesar de que los dos teoremas básicos de este módulo tienen múltiples aplicaciones en la vida diaria, nuestro interés está centrado en el uso que se hará de ellos en la demostración del primer teorema fundamental del cálculo que presentaremos con todo detalle en el módulo 16, el cual, conjuntamente con las técnicas de integración del capítulo 2, nos permitirá determinar el valor de muchas integrales definidas y que son el soporte básico para las aplicaciones que esperamos desarrollar en el capítulo 4.

El matemático astrónomo, médico, geógrafo y retórico griego Eudoxio de Cnido nació en el año 408 a.C. y murió en el 355. Alumno del gran filósofo Platón, fue el inventor del método de la exhaución , consistente en calcular las áreas planas delimitadas por curvas agotando el espacio disponible por medio de áreas más sencillas de calcular cada vez más pequeñas, que es precisamente lo que ocurre en el cálculo integral, por lo que podríamos decir que Eudoxio fue el precursor de esta rama de la matemática. Sin embargo, su método era muy tosco. Quien verdaderamente usó adecuadamente y perfeccionó dicho método fue Arquímedes y con él calculó el área de la parábola y el círculo, además de elipses (obtuvo la fórmula para medir el área de esta cónica), sectores parabólicos y sectores de espiral. Se cree que el primer teorema demostrado por Eudoxio desde este punto de vista sea la proporcionalidad entre dos círculos y los cuadrados construidos sobre sus diámetros. A Eudoxio se debe también uno de los primeros sistemas geocéntricos, adoptado y ampliado después por Aristóteles (384322 a.C.). En el sistema de Eudoxio, llamado también de las esferas homocéntricas (es decir, con un centro común), el planeta Tierra estaba en el centro del universo y los siete cuerpos celestes conocidos en aquella época estaban fijados a siete grupos de esferas de dimensiones crecientes. El primer grupo, formado por tres esferas, pertenecía a la Luna; el segundo, formado por otras tres esferas, al Sol; los otros planetas conocidos en ese entonces (Mercurio, Venus, Marte, Júpiter y Saturno) ocupaban cada uno un grupo de cuatro esferas. Cada cuerpo celeste se creía que estaba fijado a la esfera más interna del propio grupo y las esferas de cada grupo estaban conectadas entre sí mediante un sistema de ejes polares desfasados. Todo este complicado meca-

Elementos básicos de cálculo integral y series

149

Capítulo 3: Integral definida nismo era necesario para justificar los movimientos aparentes de los planetas que, como se sabe, parecían tener según los periodos del año movimiento directo, retrógrado o estacionario. Indudablemente la obra de Eudoxio es una muestra de la madurez teórica y el rigor lógico alcanzado por la geometría en su época, que creó las condiciones previas para lo que sería la época de mayor esplendor de la matemática griega.

15.1 Teorema del valor intermedio Antes de demostrar el teorema básico de este módulo enunciaremos sin demostrar una propiedad muy importante que tienen las funciones continuas en un intervalo cerrado.

Teorema 1: Teorema del valor intermedio Sea f una función continua en [a, b]. Si f (a) ≠ f (b), entonces para cualquier número r entre f ( a ) y f (b) existe al menos un número c entre a y b tal que f (c ) = r .

Como la demostración de este teorema requiere algunos conocimientos más avanzados, no la incluiremos en este libro. Presentaremos sin embargo la interpretación geométrica.

En la figura 15.1, f (a) < f (b) y f (a) ≤ r ≤ f (b). El punto (0, r ) es un punto cualquiera entre (0, f (a )) y (0, f (b)). El teorema establece que la recta y = r corta la curva de f ( x) al menos en un punto (c, r ). La hipótesis de continuidad en un intervalo cerrado es esencial ya que si f es

discontinua en [a, b] no siempre existe c tal que f (c) = r , como lo ilustra el siguiente ejemplo.

Figura 15.1

Sea

150

⎧2 x + 1 f ( x) = ⎨ ⎩x

si x ≥ 1 si x < 1

en el intervalo [−2, 2].

Módulo 15: Teorema del valor medio (TVM) para integrales

Figura 15.2

Esta función es discontinua en x = 1 . Ahora, si r es cualquier número entre 1 y 3, no existe ningún c en [−2, 2] tal que f (c) = r . Es decir, la recta y = r no corta la curva en ningún punto (figura 15.2).

15.2 Teorema del valor medio (TVM) para integrales Si f es continua en [a, b], entonces existe al menos un c tal que a ≤ c ≤ b y tal que:

∫

b a

f ( x ) dx = f (c)(b − a ) ⇔ f (c) =

b 1 f ( x) dx . ∫ b−a a

Al valor f (c) se le conoce como valor medio de la función en [a, b].

Geométricamente, cuando la función es no negativa, se puede interpretar el teorema de la manera siguiente: el valor de la integral entre a y b es igual al área del rectángulo cuya base es (b − a) y su altura es f (c) (figura 15.3).

Vea el módulo 15 del programa de televisión Elementos básicos de cálculo integral y series

Elementos básicos de cálculo integral y series

151

Capítulo 3: Integral definida Un factor que desempeña un gran papel en el desarrollo de la matemática es la solución de problemas que durante siglos desafiaron la capacidad de las mejores mentes. Un ejemplo de lo anterior es el famoso quinto postulado que con clarividencia no trató de demostrar Euclides y que durante 22 siglos mantuvo ocupados a muchos matemáticos hasta que se crearon las geometrías no euclidianas. A continuación se presentarán algunos de esos problemas.

Figura 15.3

Los tres problemas clásicos de la matemática griega

Demostración

Para el filósofo Platón los entes geométricos ideales eran la recta y la circunferencia. Por lo anterior, la geometría habría que limitarla a las construcciones con regla y compás (con la aclaración de que la regla sólo se utiliza para trazar rectas y por tanto no es metrizada). Problemas de esta clase se resolvieron después utilizando otros instrumentos y permitieron encontrar respuestas adecuadas a los tres problemas clásicos de la matemática griega: la duplicación del cubo, la trisección del ángulo y la cuadratura del círculo. Comentémoslos brevemente:

i.

Si f es constante, el teorema se cumple trivialmente.

ii.

Si f no es constante, como f es continua en el intervalo cerrado, entonces f alcanza un máximo absoluto y un mínimo absoluta en [a, b].

1. Duplicación del cubo. Se trata de resolver el siguiente problema: construir, utilizando solamente regla y compás, la arista de un cubo que duplique el volumen de un cubo conocido.

Sea f (c1 ) = M el máximo absoluto y f (c2 ) = m el mínimo absoluto de f en [a, b]. Entonces, m ≤ f ( x) ≤ M , y por la observación iv (parte b) del teorema 1 del módulo 14, tenemos que b

m(b − a) ≤ ∫ f ( x) dx ≤ M (b − a). De donde

∫ m≤

El problema de la duplicación del cubo se caracteriza por la ecuación

x = 2a , en donde a es la arista del cubo conocido y x es la arista que tendrá el cubo de volumen doble. 3

b a

f ( x) dx b−a

≤ M.

3

Un simple análisis de construcción con regla y compás revela, empleando algunas nociones de geometría analítica, que los segmentos construidos a partir de otros segmentos dados son expresables por raíces cuadradas y al iterar esas construcciones aparecen nuevamente sólo raíces cuadradas y nunca de otro índice.

Como f es continua en [a, b], entonces por el teorema del valor intermedio (sección 15.1) f toma todos sus valores entre m y M. Por tanto,

∫

b a

f ( x) dx

b−a corresponde a uno de dichos valores funcionales. Es decir, existe c en [a, b] tal que

∫ f (c ) =

b a

f ( x) dx b−a

,

de donde

∫ 152

(1)

a

b a

f ( x) dx = f (c)(b − a).

Módulo 15: Teorema del valor medio (TVM) para integrales Ejemplo 1 Sea f ( x ) = x 2 definida en [0, 1]. Encuentre el valor de c que satisface las condiciones del TVM para integrales.

Ahora, en el problema de la duplicación del cubo, el elemento de solución no es expresable por raíces cuadradas de las que pueden construirse con regla y compás,

Solución

ya que como x = 2a , entonces x = 3 2 a,

Como f ( x ) = x 2 es continua en [0, 1], entonces de acuerdo con el TVM para

y 3 2 no puede construirse sólo con estos dos instrumentos.

3

integrales existe por lo menos un c ∈ [0,1] tal que:

∫

1 0

2. Trisección del ángulo. El problema se enuncia del siguiente modo: divida un ángulo dado en tres ángulos parciales iguales, usando sólo regla y compás.

1

x 2 dx = f (c)(1 − 0) ⇔ f (c) = ∫ x 2 dx . 0

En primer lugar, se sabe que

∫ f (c ) =

∫

1 0

x 2 dx =

Se puede demostrar que el problema anterior equivale a hallar un x tal que x 3 – 3 x – 1 = 0; pero el x hallado sólo es expresable como una raíz cúbica que no es construible con tales instrumentos.

1 . Así que: 3

1 1 =3= , 1− 0 1 3 1

0

3. Cuadratura del círculo. El problema de la cuadratura del círculo es aún más profundo, ya que implica una irracionalidad de naturaleza enteramente diferente a las de las anteriores.

x 2 dx

2 y como f (c) = c2 , se tiene c =

3

El problema se enuncia así: determine, utilizando solamente regla y compás, el lado de un cuadrado de área equivalente al área de un círculo de radio dado.

1 1 , de donde c = . 3 3

Ejemplo 2 Verifique la validez del TVM para integrales, con la función f ( x) = 4 − x 2 en el intervalo [0, 2]. Solución

La solución del problema de la cuadratura conduce a la ecuación que tiene como variable la medida del lado del cuadrado de área equivalente al área del círculo de radio unidad. Esta ecuación es x 2 = π , en la cual el coeficiente π del término independiente no es algebraico y por tanto no puede ser raíz de una ecuación algebraica con coeficientes racionales.

Figura 15.4

La gráfica de la función f ( x ) = 4 − x 2 en el intervalo [0, 2] determina la porción del círculo x 2 + y 2 = 4 en el primer cuadrante (figura 15.4), y cuya área es π . De Elementos básicos de cálculo integral y series

153

Capítulo 3: Integral definida esta forma,

∫

2 0

f ( x) dx = ∫

2 0

4 − x 2 dx = π .

Ahora, como f ( x ) = 4 − x 2 es continua en el intervalo [0, 2], el TVM para integrales garantiza la existencia de por lo menos un c ∈ [0, 2] tal que:

∫ f (c ) =

Es decir, c=

2 0

4 − c2 =

4 − x 2 dx 2−0

π 2

=

π 2

.

, y resolviendo para c se obtiene:

16 − π 2 ∈ [0, 2] . 2

¿Cómo interpreta geométricamente el resultado?

154

16

Los teoremas fundamentales del cálculo Contenidos del módulo 16.1 Primer teorema fundamental del cálculo: derivada de una integral 16.2 Segundo teorema fundamental del cálculo 16.3 Algunas propiedades que ayudan a simplificar los cálculos en algunas integrales

Objetivos del módulo 1. Enunciar y demostrar los dos teoremas fundamentales del cálculo. 2. Establecer la relación entre derivación y primitivación.

Preguntas básicas La función logaritmo natural de x, denotada por ln x, se define como ln x = ∫

x 1

1 dt , t

x > 0. A⋅ B

B1 1 dt = ∫ dt. 1 t A t 2. Use la definición dada de ln x y la parte 1 para deducir las propiedades de los logaritmos.

1. Dados A y B números reales positivos, pruebe que

∫

Introducción Hasta ahora sólo hemos encontrado el valor de pocas integrales definidas. Sabemos de muchas funciones que son integrables, como las funciones continuas, pero no hemos encontrado su valor; además, no hemos utilizado los poderosos instrumentos desarrollados anteriormente, como son las técnicas de integración. Mostraremos ahora que las operaciones de derivación y de integración están íntimamente relacionadas mediante un teorema que muestra cómo la derivada «deshace» la acción de la integral de una función f (t). Posteriormente se presenta el tan esperado segundo teorema fundamental del cálculo para poder completar así los fundamentos teóricos del cálculo integral, cuyas herramientas básicas emplearemos en el próximo capítulo de las aplicaciones.

Galileo Galilei El famoso astrónomo Galileo Galilei nació el 15 de febrero de 1564 en Pisa y falleció el 8 de enero de 1642 en Arcetri (cerca de Florencia). Tenía 79 años de edad y su cabello y su barba eran tan blancos como la espuma. Sus ojos, que miraron al cielo a través de sus telescopios y observaron más que cualquier ser humano desde el principio de los tiempos, estaban apagados por la edad. Su reputación de ser uno de los más brillantes científicos de su tiempo fue la razón de que reyes y reinas disputaran sus servicios. Ahora estaba arrodillado ante el temido tribunal de la Inquisición, obligado a confesar públicamente un error que no era error: «Yo, Galileo Galilei..., abandono la falsa opinión... de que el Sol es el centro (del universo) y está inmóvil... Abjuro, maldigo y detesto los dichos errores». Algunos dicen que cuando el anciano se puso de pie murmuró para sus adentros: «E pur si mueve» [Y sin embargo (la Tierra) se mueve (alrededor del Sol)]. Galileo nació en una familia de siete hijos, con un padre que era un talentoso músico y un hombre de considerable cultura. A temprana edad, Galileo prometía mucho tanto mental como manualmente. Tenía diecisiete años cuando ingresó a la Universidad de Pisa, donde se especializó en medicina y estudió también matemáticas y ciencias físicas. Una vez, cuando todavía estudiaba en Pisa, observó la regularidad con que oscilaba una lámpara en la catedral. Apenas pudo esperar hasta que volvió a su casa para experimentar con bolitas de plomo atadas a hilos de diferentes longitudes. Descubrió que, cualquiera que fuese la magnitud de la oscilación o el peso del plomo, la bolita necesitaba el mismo tiempo para completar un viaje de ida y vuelta. Sólo el cambio de la

Elementos básicos de cálculo integral y series

155

Capítulo 3: Integral definida longitud afectaba el tiempo de la oscilación (periodo de vibración). Esta observación condujo al invento del péndulo, usado en los relojes y otros instrumentos para medir con precisión el tiempo. Leyó las obras de Arquímedes y usó las matemáticas para probar algunos de los experimentos de este último con líquidos y aleaciones.

16.1 Primer teorema fundamental del cálculo: derivada de una integral

Creó el concepto de la aceleración que se usa en la física moderna y el concepto moderno de la fricción y la inercia con respecto a los objetos en movimiento. Analizó los componentes de la fuerza, demostrando, por ejemplo, que las fuerzas que afectan a la trayectoria de una bala son hacia abajo y hacia adelante, de tal manera que pueden medirse sistemáticamente. Estos experimentos, iniciados antes de 1590, fueron perfeccionados y publicados en 1638 en su obra Diálogos sobre dos nuevas ciencias (movimiento y mecánica). La obra de Galileo, que inició la comprensión de estas ciencias, llevó a la formulación de las leyes de movimiento de Newton, más precisas, y al perfeccionamiento que de esas leyes hicieron más tarde otros científicos.

del módulo 14, f es también integrable sobre el intervalo [a, x] con a ≤ x ≤ b, y

Estableció un taller para fabricar instrumentos como brújulas magnéticas, termómetros y telescopios. También llegó a ser un experto en la construcción de fortificaciones militares. A principios del siglo XVII escuchó que un óptico holandés había logrado unir una lente cóncava y otra convexa, de tal manera que hacía que los objetos distantes parecieran más cercanos. Usando esa idea construyó un telescopio que ampliaba los objetos treinta veces, y en 1609 dio una demostración pública de su uso. Cuando Galileo volvió su telescopio hacia el cielo, por la noche, abrió nuevos campos de conocimiento que describió en su libro Mensajero de las estrellas. En él dice: «Doy gracias a Dios, que ha tenido a bien hacerme el primero en observar las maravillas ocultas a los siglos pasados. Me he cerciorado de que la Luna es un cuerpo semejante a la Tierra... He contemplado una multitud de estrellas fijas que nunca antes se observaron... Pero la mayor maravilla de todas ellas es el descubrimiento de cuatro nuevos planetas (cuatro satélites de Júpiter). He observado que se mueven alrededor del Sol». Descubrió que la Vía Láctea consistía en una miríada de estrellas; que el Universo no era fijo ni inmutable, como creían sus contemporáneos, pues aparecían ante su vista nuevas estrellas que luego desaparecían; y que los planetas Venus y Mercurio se movían también alrededor del Sol y que el Sol mismo giraba sobre su eje. Su libro Diálogo sobre los dos principales sistemas del mundo es una brillante sátira que

156

Antes de mostrar dicha relación estudiaremos algunos resultados previos. Sea f una función integrable en el intervalo [a, b]. Por la propiedad iv del teorema 1

puesto que para cada x de [a, b] el valor de la integral

∫

x a

f (t ) dt es único, entonces

podemos definir la siguiente función: x

F ( x) = ∫ f (t ) dt con x en [a, b]. a

Según vimos antes, si f ( x) ≥ 0 en [a, b], entonces la función F ( x) definida anteriormente representa geométricamente el área de la región comprendida entre a y x y bajo la curva de la función f (figura 16.1). Obsérvese que a

F (a) = ∫ f (t ) dt = 0 y F (b) = ∫ f (t ) dt. a a b

Figura 16.1

Teorema 1 Si f es integrable en [a, b] y F está definida por x

F ( x) = ∫ f (t ) dt , con x en [a, b], entonces F es continua en [a, b]. a

Demostración Sea C un punto cualquiera de (a, b) y h tal que a ≤ C + h ≤ b. Demostraremos que F es continua en C, es decir, demostraremos que lim F (C + h) = F (C ). h→0

Módulo 16: Los teoremas fundamentales del cálculo Por la definición de F se tiene que

F (C + h) = ∫

C+h a

demostraba por medio del diálogo las fallas del sistema geocéntrico tolomeico en comparación con el sistema heliocéntrico copernicano.

C

f (t ) dt y F (C ) = ∫ f (t ) dt. a

El trabajo experimental y teórico de Galileo sobre el movimiento de los cuerpos, junto con los trabajos de Kepler y René Descartes, fue el inicio de la mecánica clásica desarrollada por Sir Isaac Newton. Galileo fue el pionero, al menos en la tradición europea, en desarrollar experimentos rigurosos insistiendo en la descripción matemática de las leyes de la naturaleza. Entre sus aportes fundamentales están la transformación de Galileo entre sistemas de referencia inerciales y el desarrollo del concepto de inercia.

Luego C+h

F (C + h) − F (C ) = ∫

a

=∫

C

C +h

C

C +h

a

a

f (t ) dt − ∫ f (t ) dt = ∫

a

f (t ) dt + ∫ f (t ) dt C

f (t ) dt .

Es decir,

F (C + h) − F (C ) = ∫

C+h C

f (t ) dt (figura 16.2).

Puesto que f es acotada en [a, b] (por ser f integrable), entonces existe M ≥ 0 tal que f (t ) ≤ M para todo t de [a, b]. Luego − M ≤ f (t ) ≤ M .

(1)

Uno de los mitos más famosos sobre Galileo es aquel en que tira objetos de diferentes masas desde lo alto de la Torre de Pisa, con el fin de demostrar que la velocidad de descenso era independiente de la masa. Esto contradecía el pensamiento de Aristóteles de que los objetos pesados caerán más rápido que los ligeros, en forma directamente proporcional a su peso. La historia de la torre aparece en una biografía de uno de sus alumnos, Vicenzo Viviani, pero es considerada falsa. En realidad Galileo nunca realizó, que se sepa, este experimento de esta forma y de haberlo hecho su resultado sería el opuesto, como él sabía. La fuerza de resistencia del aire depende no sólo de la forma del objeto sino indirectamente también en parte de su masa, de donde se originó la idea aristotélica. Sin embargo, Galileo realizó experimentos que implicaban el deslizamiento de objetos sobre planos inclinados, para hacer más lenta la caída, reduciendo los efectos de la resistencia del aire que dependen de la velocidad, aislando así la acción de la gravedad y probando que la caída o deslizamiento «libres» son acelerados independientemente de la masa. Sobre los años 1606-1607 (posiblemente antes), Galileo construyó un termómetro usando la expansión y contracción del aire en un recipiente de cristal para mover el agua de un tubo adjunto. Y en 1609 estuvo entre los primeros en usar el telescopio refractor como instrumento para observar las estrellas, planetas y lunas. En 1610 utilizó un telescopio como microscopio compuesto, e hizo mejoras en los microscopios de 1623 en adelante.

Figura 16.2

Analicemos dos casos: cuando h ≥ 0 y cuando h < 0. Primer caso Si h ≥ 0, entonces, aplicando en (1) el teorema 1 módulo14 (observación iv), obtenemos:

Lamentablemente, a la edad de 74 años, Galileo quedó ciego. Cuando murió, venerado por los ciudadanos y muchos hombres principales de la Iglesia y de los seglares, la Inquisición se negó a permitir la realización de un funeral público

Elementos básicos de cálculo integral y series

157

Capítulo 3: Integral definida

∫

C +h C

− M dt ≤ ∫

− Mh ≤ ∫

C +h C

C +h C

f (t ) dt ≤ ∫

C+h C

M dt

f (t ) dt ≤ Mh.

O sea que Escuche el audio En un tono menos serio: el problema del pintor matemático en su multimedia de Elementos básicos de cálculo integral y series.

− Mh ≤ F (C + h) − F (C ) ≤ Mh.

Si tomamos límite a esta expresión cuando h tiende a cero por la derecha, obtenemos:

lim (− Mh) ≤ lim+ [ F (C + h) − F (C )] ≤ lim+ ( Mh),

h → 0+

h →0

h →0

y puesto que lim+ ( − Mh) = 0 y lim+ ( Mh) = 0 , se concluye, por el teorema del h →0

h →0

sánduche, que

lim [ F (C + h) − F (C )] = 0,

h → 0+

F (C + h) = F (C ). y por tanto hlim → 0+

(2)

Segundo caso Si h < 0, entonces C + h < C , luego aplicando a (1) el teorema 2 del módulo 14 (observación iv) se obtiene:

− M ( − h) ≤ ∫

C C +h

f (t ) dt ≤ M (−h) .

Entonces:

Mh ≤ −∫

C +h C

f (t ) dt ≤ − Mh.

Al multiplicar esta desigualdad por (−1) resulta:

Es decir, − Mh ≥ F (C + h) − F (C ) ≥ Mh.

Si tomamos límite a esta última expresión cuando h tiende a 0 por la izquierda, obtenemos por el teorema del sánduche que

158

−M

Módulo 16: Los teoremas fundamentales del cálculo

lim [ F (C + h) − F (C )] = 0.

h → 0−

Luego lim F (C + h) = F (C ).

(3)

h → 0−

De (2) y (3) podemos concluir que lim F (C + h) = F (C ).

(4)

h →0

Hemos probado así que F es continua en todo C de (a, b). Cuando C = a ó C = b la demostración es similar pero considerando límites laterales. El teorema anterior significa que, dada una función f ( x) integrable en [a, b], la x

función F ( x) = ∫ f (t ) dt con a ≤ x ≤ b siempre es continua en [a, b]. a

Ejemplo 1 ⎧ 2 Sea f ( x ) = ⎨ ⎩−4

si

x ≥1

si

x 0, V ( x) = 2 x y U ( x) = x son t derivables. Entonces

Como h(t ) =

F ′( x) =

d 2x 1 1 d 1 d 1 1 dt = (2 x) − ( x) = ⋅ 2 − ⋅1 = 0. ∫ x dx t 2 x dx x dx 2x x

Es decir, F ′( x) = 0 para todo x > 0 , y de aquí F es una constante (ejercicio 19, módulos 20-28, Elementos básicos de cálculo diferencial).

Ejemplo 8 Determine los intervalos donde crece y decrece la siguiente función, así como también sus extremos relativos: f ( x) = ∫

1− x 2 3

t dt. 1+ t2

Solución Los intervalos donde crece y decrece una función, así como los extremos relativos, los determina el signo de la primera derivada. Así que si f ( x) = ∫

entonces

164

1− x 2 3

t dt , 1+ t2

Módulo 16: Los teoremas fundamentales del cálculo f ′( x) =

d 1− x2 t (1 − x 2 ) ( −2 x ) . dt = dx ∫ 3 1 + t 2 1 + (1 − x 2 ) 2

f ′( x) =

−2 x (1 − x) (1 + x) . 1 + (1 − x 2 ) 2

Esto es,

El signo de f ′( x) depende del signo de los factores −2 x, (1 − x) y (1 + x), como se ilustra en el siguiente diagrama (figura 16.5):

Figura 16.5

Del diagrama anterior se deduce que:

f (x) decrece en: (−∞, −1] ∪ [0,1]. f (x) crece en: [−1, 0] ∪ [1, +∞). x = −1 corresponde a un mínimo relativo. Entonces:

⎛ Pm1 (−1, f (−1)) = Pm1 ⎜ −1, ⎝

∫

0 3

t 1 ⎞ ⎛ ⎞ dt ⎟ = Pm1 ⎜ −1, − ln10 ⎟ . 2 1+ t 2 ⎠ ⎝ ⎠

x = 0 corresponde a un máximo relativo. Entonces:

⎛ PM1 (0, f (0)) = PM1 ⎜ 0, ⎝

∫

1 3

t 1 ⎞ ⎛ ⎞ dt ⎟ = PM1 ⎜ 0, − ln 5 ⎟ . 2 1+ t 2 ⎠ ⎝ ⎠

x = 1 corresponde a un mínimo relativo. Entonces:

⎛ Pm2 (1, f (1)) = Pm2 ⎜1, ⎝

∫

0 3

t ⎞ dt ⎟ = Pm2 1+ t2 ⎠

1 ⎛ ⎞ ⎜1, − ln10 ⎟ . 2 ⎝ ⎠

Elementos básicos de cálculo integral y series

165

Capítulo 3: Integral definida

16.2 Segundo teorema fundamental del cálculo Teorema 3 : Segundo teorema fundamental del cálculo Sea f una función continua en un intervalo cerrado [a, b] y F una función tal que F ′( x) = f ( x) para todo x en [a, b]. Entonces,

∫

b a

f (t ) dt = F (b) − F (a).

(1)

Demostración x

Como f es integrable en [a, b], sea G ( x) = ∫ f (t ) dt , a ≤ x ≤ b. En consecuencia, a

G ′( x) = f ( x), y como por hipótesis F ′( x) = f ( x), entonces F y G difieren en una

constante, es decir, G ( x) = F ( x) + C. Esto es, x

G ( x) = ∫ f (t ) dt = F ( x) + C a

Por tanto, a

G (a) = ∫ f (t ) dt = 0 = F (a) + C , a

de donde F (a) = −C. Además, b

G (b) = ∫ f (t ) dt = F (b) + C = F (b) − F (a). a

Luego

∫

b a

f (t ) dt = F (b) − F (a).

Observaciones i.

En el trabajo con integrales, la expresión F (b) − F (a) se denota por [ F ( x ) ]b , a

que se lee: « F ( x) entre a y b». Con esta notación podemos escribir entonces F ( x) una primitiva de f.

166

∫

b a

f (t ) dt = [ F ( x)]a , siendo b

ii.

Módulo 16: Los teoremas fundamentales del cálculo En muchas aplicaciones la conclusión del segundo teorema fundamental del cálculo se escribe en la forma siguiente:

∫ iii.

b

f ′(t ) dt = f (b) − f (a).

a

∫

Si al evaluar

b a

f (t ) dt no podemos encontrar en forma directa una primiti-

va F ( x) de f, la regla de sustitución puede emplearse en este caso en la forma siguiente: Si u = g ( x), donde g ( x) y g ′( x) son continuas en el intervalo

[ g (a), g (b)] , y si

f ( g ( x)) está definida y es continua en [ g (a), g (b)],

entonces

∫ f ( g ( x) ) g ′( x)dx = ∫ b

g (b )

a

g (a)

f (u ) du.

Nótese que al calcular la integral definida por la fórmula anterior no necesariamente regresamos a la variable original sino que se halla una primitiva de f (u ) y la evaluamos desde g (a) hasta g (b). iv.

La fórmula de integración por partes también puede usarse para el cálculo de integrales definidas. En este caso se tiene que si U ( x) y V ( x) son dos funciones derivables en [a, b], entonces:

∫

b a

U ⋅ dV = [U ( x) ⋅ V ( x)] a − ∫ V ⋅ dU . b

b

a

Ejemplo 9 Calcule el valor de las siguientes integrales definidas. b

a.

∫

a

b.

∫

1

c.

∫

3

3 0

n ≠ −1, n real.

x n dx, x dx

( 3x

2

− 1)

x3 9 + x2

3

.

dx.

Solución

a.

∫

b a

⎡ x n +1 ⎤ b n +1 a n +1 + C⎥ = +C − − C. x n dx = ⎢ n +1 ⎣ n +1 ⎦ n +1

Elementos básicos de cálculo integral y series

167

Capítulo 3: Integral definida Luego

∫

b

b n +1 − a n + 1 , ( n + 1)

x n dx =

a

n ≠ − 1, n real.

Nótese que en el proceso de evaluación de la integral, la constante C desaparece. En adelante y por simplicidad omitiremos la escritura de ésta.

b.

Para evaluar dicha integral, aplicamos la regla de sustitución. Sea u = g ( x ) = 3 x 2 − 1.

(1)

De aquí, du = 6 x dx, de donde x dx =

du . 6

Ahora, g (1) = 2 y g (3) = 26. Por tanto,

∫

3 1

x dx = (3x 2 − 1)3

∫

26 2

26

du ⎡ −u ⎤ =⎢ ⎥ 6u 3 ⎣ 12 ⎦ 2 −2

1⎤ ⎡ 1 ⎢⎣ 262 − 22 ⎥⎦ 7 . =− = 12 338

Podemos evaluar también dicha integral aplicando la regla de sustitución, pero escribiendo el resultado en términos de la variable x. Así: Sea u = 3x 2 − 1 .

(2)

Entonces du = 6 x dx, de donde x dx =

du . 6

Por tanto, x dx du −u −2 −1 −1 = ∫ (3x 2 − 13 ∫ 6u 3 = 12 = 12u 2 = 12(3x 2 − 1)2 .

Ahora, 3

∫

3 1

⎡ ⎤ x dx −1 ⎢ ⎥ = (3 x 2 − 1)3 ⎢12 ( 3 x 2 − 1)2 ⎥ ⎣ ⎦1

⎡ −1 1 ⎤ 7 =⎢ + . ⎥= 2 2 ⎢⎣12 ( 26 ) 12 ( 2 ) ⎥⎦ 338

c.

168

∫

3 0

x3 9 + x2

dx = ∫

3

x2 ⋅ x

0

9 + x2

dx .

Módulo 16: Los teoremas fundamentales del cálculo Sea u 2 = 9 + x 2 .

(3)

Entonces, 2u du = 2 x dx ⇔ u du = x dx.

u = 9 + x2 . ⎧⎪cuando x = 0, u = 3 De aquí se tiene que ⎨ ⎪⎩cuando x = 3, u = 18 = 3 2

Así que,

∫

x3

3

9 + x2

0

dx = ∫

3

x2 ⋅ x

0

9 + x2

3 2

dx = ∫

3 2 3

⎤ (u 2 − 9)u du ⎡ u 3 = ⎢ − 9u ⎥ u ⎣3 ⎦3

⎡ (3 2)3 ⎤ 33 =⎢ − 9(3 2) − + 27 ⎥ = 18 − 9 2. 3 3 ⎣ ⎦

Se pide al estudiante calcular la integral anterior, haciendo la sustitución x = 3 tan θ . Ejemplo 10 Demuestre que

π

∫ π sen −

2

nx dx = π , siendo n ∈ .

Solución

π

∫ π sen −

2

nx dx = ∫

π

−π

1 − cos 2nx dx 2 π

1 ⎡1 ⎤ ⎡π 1 ⎤ ⎡ −π 1 ⎤ = ⎢ x − sen 2nx ⎥ = ⎢ − sen 2nπ ⎥ − ⎢ − sen (−2nπ ) ⎥ n n n 2 4 2 4 2 4 ⎣ ⎦ −π ⎣ ⎦ ⎣ ⎦ =

π 2

+

π 2

= π.

Ejemplo 11 Una función g(x) satisface las siguientes condiciones:

ii.

g(x) está definida en todo x ∈ ℜ . g ′′( x) es continua.

iii.

g (0) = g (2) .

iv.

g ′(2) = 3.

i.

Elementos básicos de cálculo integral y series

169

Capítulo 3: Integral definida

∫

Demuestre que

2 0

x ⋅ g ′′( x) dx = 6.

Solución Sea

dV = g′′(x) dx. V(x) = g′(x)

u(x) = x du = dx

(V existe por ii).

Aplicando entonces integración por partes, se tiene:

∫

2 0

x ⋅ g ′′( x) dx = [ x ⋅ g ′( x)]0 − ∫ g ′( x) dx. 2

2

0

Pero,

[ x ⋅ g ′( x)]0 = [ 2 ⋅ g ′(2) − 0 ⋅ g (0)] = 2 ⋅ 3 = 6 2

(condición iv).

También,

∫

2 0

g ′( x) dx = g (2) − g (0)

(2° TFC)

= 0 (condición iii). Así que:

∫

2 0

x ⋅ g ′′( x) dx = 6 − 0 = 6.

16.3 Algunas propiedades que ayudan a simplificar los cálculos en algunas integrales El conocimiento de la simetría que presenta el integrando en un intervalo de longitud 2a ayuda a simplificar los cálculos, como se muestra a continuación. i.

Si f es una función par ( f (− x) = f ( x)) , esto es, si f es simétrica con respecto al eje y, entonces

∫

a

−a

ii.

0

Si f es una función impar ( f (− x) = − f ( x)), esto es, si f es simétrica con respecto al origen, entonces

∫

a

−a

170

a

f ( x) dx = 2∫ f ( x) dx (figura 16.6a).

f ( x) dx = 0 (figura 16.6b).

Módulo 16: Los teoremas fundamentales del cálculo

Figura 16.6

Así por ejemplo, en la integral

x3 x3 f ( x) = dx , el integrando es ∫−1 (1 + x 2 )4 (1 + x 2 ) 4 1

una función impar, puesto que f (− x) =

(− x)3 x3 = − = − f ( x) . (1 + (− x) 2 ) 4 (1 + x 2 ) 4

En consecuencia, x3 dx = 0. −1 (1 + x 2 ) 4

∫

1

La integral

∫

2

∫

2

−2

(1 + x + x 2 + x 3 ) dx puede escribirse en la forma: 2

−2

(1 + x + x 2 + x 3 ) dx = ∫ 1dx + −2

∫

2

−2

2

2

−2

−2

x dx + ∫ x 2 dx + ∫ x 3 dx.

Pero,

∫

2

−2

2

x dx = 0 = ∫ x 3 dx (por ser el integrando funciones impares). −2

También,

∫

2

∫

2

∫

2

−2

2

1 dx = 2 ∫ 1 dx = 4 0

y 2

−2

x dx = 2∫ 2

2 0

⎡ x3 ⎤ 16 (por ser el integrando funciones pares). x dx = 2 ⎢ ⎥ = ⎣ 3 ⎦0 3 2

Luego −2

(1 + x + x 2 + x 3 ) dx = 4 +

16 28 = . 3 3

Elementos básicos de cálculo integral y series

171

172

Integrales impropias

17

Contenidos del módulo 17.1 Integrales impropias tipo I 17.2 Integrales impropias tipo II

Objetivos del módulo

Pierre-Simon Laplace

1. Extender la noción de integral para funciones no acotadas y que no están definidas en todos los puntos de integración. 2. Dar sentido a integrales de las formas o de la forma

∫

b a

∫

+∞ a

f ( x) dx,

∫

b

−∞

f ( x ) dx y

∫

+∞

−∞

f ( x ) dx,

f ( x) dx, donde f (x) presenta una discontinuidad infinita en

[a, b], es decir, f (x) se hace infinita en algún punto del intervalo [a, b].

Preguntas básicas 1. ¿Por qué

∫

+∞

−∞

1 dx existe? 1 + x2

2. ¿Por qué no existe 3. Demuestre que si

∫

igual a

+∞

−∞

∫

+∞

−∞

∫

+∞

−∞

x dx, a pesar de que lim ∫ N →∞

N

−N

x dx sí existe?

f ( x ) dx existe, entonces existe lim ∫

N

N →∞ − N

f ( x) dx, y es

f ( x ) dx.

Introducción En el módulo anterior de este mismo capítulo se hizo el estudio de la integral definida

∫

b a

f ( x) dx para una función f definida y acotada en el intervalo cerrado [a, b].

En este módulo se extenderá la noción de integración a funciones no acotadas y funciones que no están definidas en todos los puntos del intervalo de integración. Además se le dará sentido a integrales de las formas:

∫

+∞ a

f ( x) dx ,

∫

b

−∞

f ( x ) dx y

∫

+∞

−∞

f ( x ) dx,

Pierre-Simon Laplace nació el 28 de marzo de 1749 en Beaumont-en-Auge, Francia, y falleció el 5 de marzo de 1827 en París. A la edad de dieciocho años, Laplace sobresalía como maestro y matemático en la escuela militar de su pueblo natal. No obstante, para él, París era la única ciudad por la que entraría en el gran mundo de la ciencia. Consiguió cartas de recomendación y, en 1767, partió hacia allí a solicitar la ayuda del distinguido matemático francés Jean D’Alembert. Cuando se presentó en la casa de éste fue recibido con corteses excusas, pero lo despidieron sin que pudiera entrevistarlo. Pasaron las semanas y Laplace seguía sin obtener audiencia. Persistente en su ambición, decidió entonces usar un método distinto. Como no surtieron efecto las cartas de recomendación, trató de comunicarse por medio del lenguaje de la ciencia. Escribió una disertación sobre los principios de la mecánica y se la envió a D’Alambert con la solicitud de que le concediera una audiencia. Era un lenguaje que podía entender y apreciar un matemático. D’Alambert quedó tan impresionado con el talento de Laplace, que mandó llamarlo en seguida y le dijo: « No necesitáis más presentación que la recomendación de vuestro trabajo». Con su ayuda, Laplace obtuvo más tarde el nombramiento de profesor de matemáticas en la Escuela Militar de París y quedó asegurado su ingreso en el mundo de la ciencia. El primer trabajo científico de Laplace fue su aplicación de las matemáticas a la mecánica celeste. A Newton y otros astrónomos les había sido imposible explicar las desviaciones de los planetas de sus órbitas, predichas matemáticamente. Así por ejemplo, se determinó que Júpiter y Saturno se adelantaban o retrasaban a veces con respecto a las posiciones que debían ocupar en sus órbitas. Laplace ideó

Elementos básicos de cálculo integral y series

173

Capítulo 3: Integral definida entonces una teoría, apoyada en pruebas matemáticas, que postulaba que las variaciones eran normales y se corregían solas en el transcurso de largas etapas de tiempo. Esta teoría, de gran importancia para entender las relaciones de los cuerpos celestes en el universo, ha soportado la prueba del tiempo sin sufrir más que correcciones relativamente secundarias. Los siguientes años fueron de exitosas investigaciones para Laplace, que fue aclarando los conocimientos científicos sobre las fuerzas elementales de la naturaleza y el universo. Escribió artículos acerca de la fuerza de gravedad, el movimiento de los proyectiles, el flujo y reflujo de las mareas, la precesión de los equinoccios, la forma y rotación de los anillos de Saturno y otros fenómenos. También estudió el equilibrio de una masa líquida en rotación e ideó una teoría de la tensión superficial que era semejante al moderno concepto de la atracción o cohesión molecular dentro de un líquido. Trabajando con el químico francés Lavoisier, estudió el calor específico y la combustión de diversas sustancias y puso los cimientos para la moderna ciencia de la termodinámica. Inventó un instrumento, conocido con el nombre de calorímetro de hielo, para medir el calor específico de una sustancia. El calorímetro medía la cantidad de hielo fundido mediante el peso dado de una sustancia caliente cuya temperatura se conocía. Entonces, podía calcularse matemáticamente su calor específico. Al estudiar la atracción gravitacional de un esferoide sobre un objeto externo, Laplace ideó lo que se conoce hoy como «ecuación de Laplace», que se usa para calcular el potencial de una magnitud física en un momento dado mientras está en movimiento continuo. Esta ecuación no sólo tiene aplicación en la gravitación, sino también en la electricidad, la hidrodinámica y otros aspectos de la física. Entre 1799 y 1825, Laplace reunió sus escritos en una obra de cinco volúmenes, titulada Mecánica celeste , en la que se propuso dar una historia de la astronomía sistematizando la obra de generaciones de astrónomos y matemáticos, y ofreciendo una solución completa a los problemas mecánicos del sistema solar. Más tarde publicó un volumen titulado El sistema del mundo, y luego, en 1812, su Teoría analítica de las probabilidades. Laplace vivió hasta la avanzada edad de 78 años. En vida aún, fue elegido para ser parte del selecto grupo de los «Cuarenta inmortales de la Academia Francesa».

174

o de la forma

∫

b a

f ( x) dx,

donde f (x) presenta una discontinuidad infinita en [a, b], es decir, f (x) se hace infinita en algún punto del intervalo [a, b]. A todas estas integrales se les denomina integrales impropias. A continuación se definirán estos dos tipos de integrales impropias.

Módulo 17: Integrales impropias

17.1 Integrales impropias tipo I Definiciones i.

Sea f una función integrable en [ a , + ∞ ). Si lim

∈→+∞

∫

que la integral impropia

+∞ a

∫

∈ a

f ( x) dx existe, se dice

f ( x) dx es convergente y en este caso se

escribe:

∫

+∞ a

∈

∫

f ( x) dx = lim

∈→+∞

a

f ( x) dx.

Si el límite no existe, se dice que la integral impropia es divergente. ii.

Sea f una función integrable en (−∞, b]. Si lim

∈→−∞

que la integral impropia

∫

b

−∞

∫

b ∈

f ( x) dx existe, se dice

f ( x ) dx es convergente y en este caso se

escribe:

∫

b

−∞

f ( x) dx = lim

∈→−∞

∫

b ∈

f ( x) dx.

Si el límite no existe, se dice que la integral impropia es divergente.

iii.

Si f es integrable en (−∞, +∞) , y c ∈ ℜ, entonces

∫

+∞ −∞

f ( x) dx =

∫

c

−∞

f ( x) dx +

∫

+∞ c

f ( x) dx.

Observaciones i.

El significado de la definición iii es el siguiente: si las integrales impropias

∫

c

−∞

f ( x) dx y

∫

+∞ c

f ( x) dx son convergentes, siendo c cualquier número

real, entonces la integral impropia

∫

+∞ −∞

f ( x) dx es convergente y su valor es

la suma de las dos integrales impropias; pero si al menos una de las dos integrales impropias de la derecha es divergente, entonces la integral

∫

+∞

−∞

ii.

f ( x ) dx es divergente.

Cuando f ( x) ≥ 0 y la integral impropia ∫

+∞ a

f ( x) dx es convergente, en-

tonces el valor de dicha integral corresponde al área de la región acotada por la curva y = f (x), el eje x y la recta x = a.

Elementos básicos de cálculo integral y series

175

Capítulo 3: Integral definida Ejemplo 1 Analice la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias:

a.

∫

+∞ 0

1 dx 1 + x2

b.

∫

0

−∞

1 dx 1 + x2

c.

∫

+∞

−∞

1 dx 1 + x2

Solución a.

De acuerdo con la definición i,

∫

+∞ 0

∈ 1 1 dx = lim ∫ dx, si dicho límite existe. 2 0 ∈→+∞ 1 + x 1 + x2

Pero

∫

∈ 0

1 dx = tan −1 x]∈0 = tan −1 ∈ − tan −1 0 = tan −1 ∈. 1 + x2

De esta forma,

∫

+∞

0

∈ 1 1 π dx = lim ∫ dx = lim (tan −1 ∈) = . 2 2 0 ∈→+∞ ∈→+∞ 2 1 + x 1 + x

Esto significa que la integral impropia es convergente y se puede escribir:

∫ b.

+∞ 0

1 π dx = . 2 2 1 + x

De acuerdo con la definición ii, 0 1 1 dx = lim ∫ dx, si dicho límite existe. 2 −∞ 1 + x ∈→−∞ ∈ 1 + x 2

∫

0

Pero

∫

0 ∈

1 dx = tan −1 x]∈0 = tan −1 0 − tan −1 ∈ = − tan −1 ∈. 1 + x2

De esta forma,

∫

0

−∞

0 1 1 dx = lim ∫ dx 2 ∈ ∈→−∞ 1 + x 1 + x2

π ⎛ π⎞ . = lim (− tan −1 ∈) = − ⎜ − ⎟ = ∈→+∞ 2 ⎝ 2⎠

176

Módulo 17: Integrales impropias Esto significa que la integral impropia es convergente y se puede escribir:

∫

0

−∞

c.

1 π dx = . 2 2 1 + x

De acuerdo con la definición iii,

∫

+∞

−∞

1 dx = 1 + x2

∫

0

−∞

1 dx + 1 + x2

∫

+∞ 0

1 π π dx = + = π. 2 2 2 1 + x

El siguiente ejemplo será de gran utilidad en el trabajo con series numéricas ya que ⎛ ∞ 1 ⎞ permite determinar los valores para los cuales la llamada serie-p ⎜ ∑ p ⎟ es con⎝ n =1 n ⎠ vergente o divergente.

Ejemplo 2 Determine los valores de p para los cuales la integral impropia ∫

+∞ 1

1 dx converge. xp

Solución De acuerdo con la definición i,

∫

+∞ 1

∈ 1 1 dx = lim ∫ p dx. p 1 ∈→+∞ x x

Pero

∫

∈ 1

⎧ 1 (∈1− p − 1) 1 ⎪ 1 − p = dx ⎨ xp ⎪ln ∈ ⎩

si

p ≠1 p =1

Así que: 1.

Si p = 1, entonces

∫ 2.

+∞ 1

∈ 1 1 dx = lim ∫ p dx = lim (ln ∈) = + ∞ . p 1 ∈→+∞ ∈→+∞ x x

Si p > 1, entonces

∫

+∞ 1

∈ 1 1 1 1 (∈1− p − 1) = dx = lim ∫ p dx = lim p ∈→+∞ 1 x ∈→+∞ 1 − p x p − 1 , puesto que

lim ∈1− p = 0 . (Como p > 1 , 1 − p < 0 y ∈1− p → 0. cuando ∈ → +∞)

Vea el módulo 17 del programa de televisión Elementos básicos de cálculo integral y series

∈→+∞

Elementos básicos de cálculo integral y series

177

Capítulo 3: Integral definida 3.

Si p < 1, entonces

∫

+∞

∈ 1 1 1 (∈1− p − 1) = + ∞, puesto que dx = lim ∫ p dx = lim p 1 ∈→+∞ ∈→+∞ 1− p x x

1

lim ∈1− p = + ∞ . (Como p < 1 , 1 − p > 0 y ∈1− p → +∞ , cuando ∈ → +∞)

∈→+∞

Del análisis anterior se puede concluir que la integral impropia

∫

+∞ 1

1 dx converge xp

para p >1, y en los demás casos diverge. El siguiente teorema y su corolario, que se enuncian sin demostración, son útiles porque en muchos casos permiten decidir si una integral impropia es convergente o no. Teorema 1 Sean f y g dos funciones integrables en su dominio, tales que 0 ≤ f ( x) ≤ g ( x) para todo x ≥ a. Por tanto, 1.

Si

∫

más

2.

Si

∫

+∞ a

∫

+∞ a

+∞ a

g ( x) dx converge, entonces f ( x) dx ≤

∫

+∞ a

∫

+∞ a

f ( x) dx también converge, y ade-

g ( x) dx.

f ( x) dx diverge, entonces

∫

+∞ a

g ( x) dx también diverge.

La parte 1 de este teorema puede interpretarse geométricamente así: si el área de la región bajo la gráfica de g(x) es un valor finito, también tomará un valor finito el área de la región bajo la gráfica de f (x). Corolario Sean f y g dos funciones integrables en su dominio, tales que f ( x) ≥ 0 , g ( x) ≥ 0 para todo x ≥ a, y además lim

x →+∞

1.

Si C ≠ 0, las integrales

∫

f ( x) = C. Entonces: g ( x) +∞ a

f ( x) dx y

∫

+∞ a

g ( x) dx ambas convergen o

ambas divergen. 2.

Si C = 0 y la integral también converge.

178

∫

+∞ a

g ( x) dx converge, entonces la integral

∫

+∞ a

f ( x) dx

Módulo 17: Integrales impropias Ejemplo 3 Analice la convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia:

∫

+∞ 1

1 dx. x (1 + x 2 e x ) 2

Solución Para x ≥ 1 , e x ≥ 1 , así que 0 ≤ x 2 ≤ 1 + x 2 e x , lo cual implica que 0 ≤ x 4 ≤ x 2 (1 + x 2 e x ),

de donde 1 1 ≤ 4. x 2 (1 + x 2 e x ) x

0 ≤

Ahora,

∫

+∞ 1

1 1 dx = (ejemplo 2, parte 2). 3 x4

Entonces, de acuerdo con la parte 1 del teorema 1, se puede concluir que

∫

+∞ 1

1 dx converge, y además 0 ≤ x 2 (1 + x 2 e x )

∫

+∞ 1

1 1 dx ≤ . 3 x 2 (1 + x 2 e x )

Ejemplo 4 Demuestre que para cada s ∈ ℜ la integral impropia

∫

+∞ 1

e − x x s dx es convergente.

Solución Para la demostración se utiliza el corolario del teorema 1 en su parte 2. Sea g ( x ) = x −2 y f ( x ) = e − x x s para x ≥ 1. Pero,

xs+2 = 0. x →+∞ e x lim

En efecto, lim

x →+∞

f ( x) e− x x s xs+2 = lim = lim x − 2 x →+∞ x x →+∞ e g ( x)

(1)

Elementos básicos de cálculo integral y series

179

Capítulo 3: Integral definida

xs+2 = 0. ex

„

Si s ≤ −2, entonces xlim →+∞

„

Si s > −2, entonces el límite xlim →+∞

xs+2 ∞ es de la forma indeterminada . ex ∞

Como s + 2 es un real fijo, se puede aplicar reiteradamente la regla de L´Hopital hasta que el exponente de x sea negativo o cero. En ese momento el numerador es una constante y el denominador tiende a infinito. En consecuencia,

lim

x →+∞

xs+2 = 0. ex

(2)

De (1) y (2) se concluye que lim

x →+∞

f ( x) = 0. g ( x)

Además, +∞

+∞

+∞

1 dx = 1 (convergente), x2 y por el corolario del teorema 1 (parte 2) se puede concluir finalmente que la integral

∫

1

impropia

∫

g ( x) dx =

+∞ 1

∫

1

x −2 dx =

∫

1

e− x x5 dx es convergente para todo s ∈ ℜ.

A continuación se definirá el segundo tipo de integrales impropias. La particularidad de este tipo de integrales es la discontinuidad infinita que presenta el integrando en algún punto del intervalo cerrado [a, b].

17.2 Integrales impropias tipo II A este tipo pertenecen integrales de la forma

∫

b a

f ( x) dx, donde f (x) presenta una

discontinuidad infinita en [a, b], es decir, f (x) se hace infinita en algún punto del intervalo [a, b]. Se presentan varios casos, dependiendo del punto donde el integrando se hace discontinuo. Caso 1. La función f presenta discontinuidad infinita en x = a ⇔ lim+ f ( x ) = ∞ x→a

(figura 17.1a) .

180

Módulo 17: Integrales impropias

Figura 17.1

Definición b

Si lim+ ∫ f ( x) dx = lim+ ∫ ∈

∈→ a

∫

b a

∈→ 0

b a +∈

f ( x) dx existe, se dice que la integral impropia

f ( x) dx es convergente, y en este caso se puede escribir:

∫

b

b

f ( x) dx = lim+ ∫ f ( x) dx = lim+ ∫ ∈→ a

a

∈

∈→ 0

b a +∈

f ( x) dx.

Si el límite no existe, se dice que la integral impropia es divergente.

Caso 2. La función f presenta discontinuidad infinita en x = b ⇔ lim− f ( x) = ∞ x →b

(figura 17.1b) .

Definición ∈

Si lim− ∫ f ( x) dx = lim+ ∫ ∈→b

∫

b a

a

∈→ 0

b −∈ a

f ( x) dx existe, se dice que la integral impropia

No siempre

f ( x) dx es convergente, y en este caso se puede escribir:

∫

b a

∈

f ( x) dx = lim− ∫ f ( x) dx = lim+ ∫ ∈→b

a

∈→ 0

b −∈ a

Precaución sobre integrales impropias

∫

+∞

−∞

ε

f ( x) dx = lim ∫ f ( x) dx ε →∞ − ε

aunque es muy tentador escribirlo. En algunas ocasiones el límite de la derecha existe para algunas integrales impropias divergentes como sucede por ejemplo con la función f (x) = x.

f ( x) dx.

ε

x dx = 0, Se puede probar que lim ε →∞ ∫− ε

Si el límite no existe, se dice que la integral impropia es divergente.

sin embargo la integral impropia

Caso 3. La función f presenta discontinuidad infinita en x = a y en x = b ⇔ lim+ f ( x ) = ∞ ∧ lim− f ( x ) = ∞ (figura 17.2a). x→a

x →b

ε

∫ ε x dx −

diverge. (Tomado de «La precaución sobre integrales impropias», página 526 del texto Cálculo de Smith y Minton)

Elementos básicos de cálculo integral y series

181

Capítulo 3: Integral definida En este caso, y de acuerdo con las propiedades de la integral definida, la integral

∫

impropia

∫

b a

b a

f ( x) dx puede escribirse en la forma: c

b

a

c

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + ∫ f ( x) dx ,

(1)

siendo c un número real tal que a < c < b, transformando así la integral inicial en la suma de dos integrales impropias cuya convergencia o divergencia corresponde, respectivamente, a las definiciones de los casos 1 y 2 inmediatamente anteriores. Si alguna de las integrales impropias de la derecha de (1) es divergente, entonces la integral impropia

∫

b a

f ( x) dx es divergente.

Figura 17.2

Caso 4. La función f presenta discontinuidad infinita en x = c, con c ∈ ℜ, tal que a < c < b ⇔ lim f ( x) = ∞ (figura 17.2b). x→c

En este caso, y de acuerdo con las propiedades de la integral definida, la integral

∫

impropia

∫

b a

b a

f ( x) dx puede escribirse en la forma: c

f ( x) dx = ∫ f ( x) dx + a

∫

b c

f ( x) dx,

(2)

transformando así la integral inicial en la suma de dos integrales impropias cuya convergencia o divergencia corresponde, respectivamente, a las definiciones de los casos 2 y 1 inmediatamente anteriores. Si alguna de las integrales impropias de la derecha de (2) es divergente, se dice entonces que la integral impropia

182

∫

b a

f ( x) dx es divergente.

Módulo 17: Integrales impropias Observación Si la función f presenta un número finito de discontinuidades infinitas en los pun, cn −1 , cn , donde a < c1 < c2 <

tos c1 , c2 , propia

b

∫

a

< cn −1 < cn < b, entonces la integral im-

f ( x) dx se transforma en una suma finita de integrales impropias, a sa-

ber:

∫

b a

f ( x) dx = ∫

c1 a

f ( x) dx + ∫

c2 c1

f ( x) dx +

+∫

cn cn−1

b

f ( x) dx + ∫ f ( x) dx, (3) c n

cuya convergencia o divergencia se analiza de acuerdo con el caso 1, 2, 3 y 4 que corresponda de los mencionados anteriormente. Si al menos una de las integrales impropias de la derecha de (3) es divergente, se dice entonces que la integral impropia

∫

b a

f ( x) dx es divergente.

Ejemplo 5 Analice la convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia:

∫

1 −1

1 dx. x2

Solución Como en x = 0 (punto interior del intervalo [−1,1] ) la función f ( x) =

1 se hace x2

infinita, se tiene, de acuerdo con el caso 4, que

∫

1 −1

0 1 1 1 1 dx = ∫ dx + ∫ 2 dx. 2 2 1 0 − x x x

Pero

∫

0

−1

∈

∈ 1 1 ⎡ 1⎤ ⎡ 1 ⎤ dx = lim− ∫ dx = lim− ⎢ − ⎥ = lim− ⎢ − + 1⎥ = +∞. 2 2 1 − 0 0 0 ∈→ ∈→ ∈→ x x ⎣ x ⎦ −1 ⎣ ∈ ⎦

Igualmente,

∫

1 0

1

1 1 1 1⎤ ⎡ 1⎤ ⎡ dx = lim+ ∫ 2 dx = lim+ ⎢ − ⎥ = lim+ ⎢ −1 + ⎥ = +∞. 2 ∈ ∈→ ∈→ ∈→ 0 0 0 ∈ x x x ⎣ ⎦∈ ⎣ ⎦

Elementos básicos de cálculo integral y series

183

Capítulo 3: Integral definida

Es decir, ambas integrales divergen a +∞, y en consecuencia la integral impropia dada diverge. Obsérvese que si no se tiene en cuenta la discontinuidad de la función en x = 0 y se evalúa la integral directamente, se obtiene:

∫

1 −1

1

1 ⎡ 1⎤ dx = ⎢ − ⎥ = −2, 2 x ⎣ x ⎦ −1

lo que es un absurdo puesto que si f ( x) =

∫

1 −1

1 > 0, entonces, x2

1 dx > 0. x2

Ejemplo 6 Analice la convergencia o divergencia de la siguiente integral impropia:

∫

1 0

1 1 − x2

dx.

Solución 1

Como en x = 1 la función f ( x) =

se hace infinita, se tiene, de acuerdo con

1 − x2

la definición del caso 2, que

∫

1

1

0

1− x

2

dx = lim− ∫ ∈→1

∈ 0

∈ π dx = lim− ⎡⎣sen −1 x ⎤⎦ = sen −1 1 = , 0 ∈→1 2 1− x

1

2

lo cual indica que la integral impropia es convergente.

Ejemplo 7 Demuestre que para cada s > 0 la integral

∫

1 0

e − t t s −1 dt es convergente.

Solución Nótese, en primer lugar, que la integral −t s −1 que la función f (t ) = e ⋅ t =

184

∫

1 0

e − t t s −1 dt es una integral impropia puesto

e−t se hace infinita en t = 0. t1− s

Módulo 17: Integrales impropias

∫

Considérese entonces la integral cambio de variable t =

∫

1 x

e −t t s −1 dt = ∫

x

e − t t s −1 dt , con x > 0, y en la cual al hacer el

1 , se obtiene: u

1/ x 1

1

e−1/ u ⋅ u − s −1 du (compruebe el resultado).

Analícese entonces la integral impropia Como e

−

1 u

∫

+∞ 1

≤ 1 para u ≥ 1, entonces 0 ≤ e

sabe que la integral impropia

∫

+∞ 1

−

1 u

e −1/ u ⋅ u − s −1 du. ⋅ u − s −1 ≤ u − s −1 , y por el ejemplo 2 se

1 du converge para (s + 1) > 1, es decir, u s +1

converge para s > 0.

De esta forma, de acuerdo con la parte 1 del teorema 1, se deduce que la integral

∫

impropia

+∞ 1

e

−

1 u

⋅ u − s −1 du también converge para s > 0, y en consecuencia su

integral impropia equivalente

∫

1 0

e − t t s −1 dt converge para s > 0.

Observación Como

∫

1 0

e −t t s −1 dt converge para s > 0 y la integral

∫

+∞ 1

e−t t s −1 dt converge para

todo s ∈ ℜ (ejemplo 4), se concluye que la integral impropia

∫

+∞ 0

e− t t s −1 dt converge

para s > 0. A esta integral se le conoce como función gamma y se denota por Γ( s ); es decir, Γ( s ) =

∫

+∞ 0

e −t t s −1 dt , s > 0.

Ejemplo 8 Use la definición de la función gamma para demostrar las siguientes propiedades concernientes a ella. a.

Γ(1) = 1.

b.

Γ( s + 1) = s ⋅ Γ( s ), s > 0.

c.

Γ(n + 1) = n !, para n ∈ N.

Elementos básicos de cálculo integral y series

185

Capítulo 3: Integral definida Solución a.

De acuerdo con la definición de la función gamma, se tiene:

Γ(1) = ∫

b.

Γ( s + 1) = ∫

+∞ 0

+∞ 0

+∞

∈

e −t t1−1 dt = ∫ e−t dt = lim ∫ e−t dt = lim ⎡⎣1 − e−∈ ⎤⎦ = 1. 0 ∈→+∞ 0 ∈→+∞

e−t t ( s +1) −1 dt = ∫

+∞ 0

∈

e−t t s dt = lim ∫ e−t t s dt. ∈→+∞ 0

Para calcular la última integral se usa integración por partes, esto es, sea u = t s y dv = e − t dt. Entonces du = st s −1 dt y v = −e− t . De esta forma,

∫

∈ 0

∈

∈

0

0

e −t t s dt = ⎡⎣ −e−t ⋅ t s ⎤⎦ + s ⋅ ∫ e−t t s −1 dt. ∈

−t −∈ s s lim ⎡⎣ −e−∈ ⋅∈s ⎤⎦ = 0 (usando la regla de Como ⎡⎣ −e ⋅ t ⎤⎦ 0 = −e ⋅∈ y ∈→+∞

L´Hopital), se tiene entonces que:

lim

∈→+∞

∫

∈ 0

(

∈

e − t t s dt = lim −e −∈ ⋅∈s + s ⋅ ∫ e − t t s −1 dt ∈→+∞

= 0 + s ⋅ lim

∈→+∞

0

∫

∈ 0

)

e − t t s dt = s ⋅ Γ( s ).

En consecuencia, Γ( s + 1) = s ⋅ Γ( s ). c.

Al reemplazar n por s en la conclusión de la parte b se obtiene Γ(n + 1) = n ⋅ Γ(n).

Al utilizar en forma reiterada en la última igualdad la conclusión de la parte b, se puede escribir entonces: Γ(n) = Γ((n − 1) + 1) = (n − 1) ⋅ Γ(n − 1). Γ(n −1) = Γ((n − 2) +1) = (n − 2) ⋅Γ(n − 2),..., Γ(3) = 2⋅Γ(2) = 2⋅Γ(1+1) = 2⋅1.

Luego Γ(n + 1) = n(n − 1)(n − 2) ⋅⋅⋅ 2 ⋅1 = n !

Teniendo en cuenta b se deduce que:

∫ 186

+∞ 0

e − x x n dx = n !

Módulos 12 al 17 I.

Notación sigma En los ejercicios 1 a 5 escriba en forma de sumatoria la suma dada. 1.

4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4 + 4.

2.

1 + 5 + 9 + 13 + 17.

3.

1 1 1 1 1 + + + + . 4 5 6 7 8

4.

ln 4 + ln 6 + ln 8 + ln 10.

5.

1 + 3 2 + 4 3 + 5 4 + 6 5.

6.

Suponga que

10

10

10

i =1

i =1

i =1

∑ f (i) = 8, ∑ g (i) = 3 y ∑ h(i) = 5.

Calcule el valor de la expresión indicada en los ejercicios a-e. 10

a.

7.

10

∑ [ f (i) + g (i) + h(i)].

b.

i =1

10

10

i =1

i =1

c.

3∑ [ f (i ) + 2g (i )] − 3∑ [2 g (i ) + h(i )].

e.

∑ [ f (i) + 2g (i)] +∑ [2 g (i) − h(i)] + 2∑ [h(i) − f (i)] .

d.

10

10

10

i =1

i =1

i =1

∑[−2 f (i) + 3g (i) − 3h(i)]. i =1 10

10

i =1

i =1

∑[ f (i) − 2g (i)] + ∑ 4h(i).

Calcule el valor de las sumas dadas en los ejercicios a-g. 5

a.

∑ (8 + 3i).

d.

∑2

i =1

10

3 m

m +1

∑ (a k =3

k

∑ (8 + k

e.

∑ ⎜⎝ 4

5

2

).

k =1

5

.

m=1

g.

7

b.

i=2

⎛1 i

⎞ + i + i 2 ⎟. ⎠

c.

∑ (1 + i) .

f.

∑ ⎢⎣ k − k + 1⎥⎦ .

3

i =1

40

⎡1

1 ⎤

k =1

− ak −1 ). Elementos de cálculo integral y series 187 Capítulo 3: básicos Integral definida

8.

Demuestre la siguiente fórmula: n

∑r

i

=

i =1

r − r n +1 ; r ≠ 1. 1 − r n

∑r

(Ayuda: llame S =

i

= r + r 2 + r 3 + ... + r n y considere la diferencia S − rS ).

i =1

9.

En los literales a-f evalúe las sumas dadas. 4

3

a.

∑ (k + k

2

).

b.

k =−2

7

d. 10.

∑ (2

j =−2

5

∑ (i + 1) . 2

e.

i =1

∑ (2

r −1

(−1) k +1 . k k =1 7

j − 1).

c.

∑

f.

∑ ⎜⎝ ∑ 2 3

3

− 2r ).

r =1

j =1

⎛

3

i

i =1

j

⎞ ⎟. ⎠

Determine para cuál(es) de los literales a-d se verifica la igualdad: n+3

n

a.

c.

∑ (i + 3) = ∑ i. i =1

i=4

5

5

k =0

k =1

n

n

j =1

j =1

b.

∑ (2 + j ) = 2 + ∑ j.

d.

⎛ n ⎞ ar2 = ⎜ ∑ ar ⎟ . ∑ r =1 ⎝ r =1 ⎠

2

n

∑ ak = ∑ ak .

11.

⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ a b Demuestre que ∑ ⎜ ∑ i j ⎟ = ⎜ ∑ ai ⎟ . ⎜ ∑ b j ⎟ . j =1 ⎝ i =1 ⎠ ⎝ i =1 ⎠ ⎝ j =1 ⎠

12.

a.

m

n

Si

n

∑ (k + 1) = ∑ (k 3

k =1

n

2

=

k =1

n +1

n

∑ (k + 1) = ∑ k 3

k =1

n

k =1

, demuestre que

k =2

n(n + 1)(2n + 1) . 6 n

n

k =1

k =1

2

=

n(n + 1)(2n + 1) . 6

Demuestre las partes i, iii, iv y v del teorema 1 del módulo 12.

Ejercicios de los módulos 12 al 17

188

3

3 3 2 Partiendo de la igualdad ∑ [k − (k − 1) ] = ∑ [3k − 3k + 1] demuestre que

∑k 13.

+ 3k 2 + 3k + 1), y si además

k =1

∑k b.

3

II.

Partición de un intervalo 1.

Dadas las siguientes particiones:

P1 = {0, 1 2, 5 4, 9 4, 3} una partición de [0,3] ; P2 = {1,5 3,9 4,8 3,3} una partición de [1,3] ;

P3 = {0, 1 2, 3 4, 5 4, 3 2, 9 4, 3} una partición de [0,3]; P4 = {−1, − 1 3, 1 2, 1,5 4, 2} una partición de [−1, 2] : a.

Determine los subintervalos en los cuales cada partición divide al intervalo dado. Encuentre

P1 , P2 , P3 y P4 . b. 2.

Seleccione dos particiones del intervalo [0,3] , tales que una de ellas sea más refinada que la otra.

Sea la función f ( x) = x definida en el intervalo [0,1] y sea P = {0, 1 4, 1 3, 1 2, 2 3, 3 4, 1} una partición de [0,1] . a.

Halle los subintervalos en los cuales P divide al intervalo [0,1] . ¿Cuál es la norma de la partición?

b.

Si M k y mk representan el máximo y mínimo valor de f ( x) en el k-ésimo subintervalo, respectivamente, halle 6

∑M k =1

3.

III.

k

Δxk y

6

∑ m Δx . k =1

k

k

Sea P = { x0 , x1 , x2 ,…, xn } una partición de [ a, b] . Demuestre que: a.

P1 = { x0 + c, x1 + c,… , xn + c} una partición de [a + c, b + c].

b.

P2 = {kx0 , kx1 ,… , kxn } una partición de [ka, kb], si k > 0.

Integral de Riemann En los ejercicios 1 a 7 use la definición de la integral definida (según Riemann) para calcular

∫

b a

f ( x) dx, siendo f (x) la

función dada, tomando una partición regular del intervalo [a, b] y eligiendo las ti como se enuncia en cada caso. 1.

f ( x) = x en el intervalo [1, 3] ; ti : extremo derecho del i-ésimo subintervalo (rectángulos circunscritos).

2.

f ( x) = 2x + 1, en el intervalo [0, 5]; ti : extremo izquierdo del i-ésimo subintervalo (rectángulos inscritos).

Elementos de cálculo integral y series 189 Capítulo 3: básicos Integral definida

3.

f ( x) = x2 , en el intervalo [1, 4]; ti : extremo derecho del i-ésimo subintervalo.

4.

f ( x) = 2x + 3, en el intervalo [0, 4]; ti =

5.

f ( x ) = x 2 − 1, en el intervalo [ 2]; ti = − 1 +

6.

f ( x) = 6 − x, en el intervalo [1, 4]; ti : extremo derecho del i-ésimo subintervalo (rectángulos inscritos).

7.

f ( x) = 6 − x, en el intervalo [0, 4]; ti : extremo izquierdo del i-ésimo subintervalo (rectángulos circunscritos).

8.

Demuestre, usando la definición de la integral definida, que:

∫

b a

4i . n 3i . n

e x dx = eb − e a .

(Ayuda: tome una partición regular del intervalo [a, b], ti : extremo izquierdo del i-ésimo subintervalo. Use para la suma el ejercicio número 8 del apartado I «Notación sigma» y en el límite use la regla de L´Hopital.)

IV.

Propiedades de la integral definida y teorema del valor medio 1.

En los literales a-i coloque una V o una F según sea verdadero o falso el enunciado correspondiente. Justifique su respuesta. a. ______ Si f ( x) y g ( x) son integrables en [a, b], entonces su suma es integrable en [a, b], y la integral de la suma es la suma de las integrales de cada función. b. ______ Si f ( x) y g ( x) son integrables en [a, b], entonces su producto es integrable en [a, b], y la integral de su producto es el producto de las integrales de cada función. c. ______ Si f ( x) y g ( x) son integrables en [a, b], entonces su cociente es integrable en [a, b], y la integral de su cociente es el cociente de las integrales de cada función. d. ______ Si f ( x) y g ( x) son integrables en [a, b] y f ( x) ≥ g ( x) para todo x ∈ [a, b] , entonces

∫

b a

f ( x) dx ≥

∫

b a

g ( x) dx.

e. ______ Si f ( x) es continua y f ( x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b] , entonces

∫

b a

f ( x) dx ≥ 0.

Ejercicios de los módulos 12 al 17

190

b

f. ______ Si

∫

a

g. ______ Si

∫

a

b

f ( x) dx ≥ 0, entonces f ( x) ≥ 0 para todo x ∈ [a, b]. f ( x) dx = 0, entonces f ( x) = 0 para todo x ∈ [a, b] .

∫

h. ______ Si f ( x) ≥ 0 y

i. ______ Si

∫

b a

b

f ( x) dx = 0, entonces f ( x) = 0 para todo x ∈ [a, b].

a

∫

f ( x) dx ≥

b a

g ( x) dx, entonces

∫

b a

[ f ( x) − g ( x)] dx ≥ 0.

En los ejercicios 2 a 11 suponga que f (x) y g (x) son funciones continuas en ℜ y que además:

∫

3 1

∫

f ( x) dx = 4;

5 3

f ( x) dx = 3 ;

∫

5 1

g ( x) dx = −2.

Calcule el valor de la expresión indicada: 1

2.

∫

3.

∫

4.

∫

5.

∫

6.

4∫ f ( x) dx + ∫ 4 f ( x) dx − ∫ 2 g ( x) dx.

f ( x) dx.

1 5 1 1

−2 f ( x) dx.

3

1 5

[ f ( x) − 4 g ( x)] dx.

[ f ( x) + g ( x)] dx. 3

7. 8. 9. 10.

2

2

∫ ∫ ∫

∫

3 1 5 1 3 1

5 3 3

5

1

1

3

f ( x) dx + ∫ 4 f ( x) dx. 5

5

2

f ( x) dx + 3∫ g ( x) dx + ∫ 3g ( x) dx. 2

1

5

[2 f ( x) + g ( x)] dx + ∫ g ( x) dx. 3

3

[−3 f ( x) + 4 g ( x)] dx + ∫ 4 g ( x) dx. 1

5

11.

∫

12.

Sean f ( x) y g ( x) dos funciones tales que

1

[2 f ( x) + 7g ( x)] dx − ∫ [4 f ( x) − 7 g ( x)] dx.

Calcule

3

∫

1 7

∫

4 1

f ( x) dx = 3,

∫

7 4

7

f ( x) dx = − 2 y ∫ 3g ( x) dx = 6. 1

[5 f ( x) + g ( x)] dx.

Elementos de cálculo integral y series 191 Capítulo 3:básicos Integral definida

13.

a.

b. 14.

∫

Calcule

5 0

si 0 ≤ x < 1 ⎧ x ⎪ f ( x) = ⎨ 1 si 1 ≤ x ≤ 3 ⎪ x − 4 si 3 < x ≤ 5 ⎩ ⎧ x + 2 si 0 ≤ x < 2 f ( x) = ⎨ ⎩ 6 − x si 2 ≤ x ≤ 5

En los literales a-f halle el valor de cada una de las siguientes integrales definidas: 2

a.

∫

d.

∫ (x

−2 3

15.

f ( x) dx en cada uno de los siguientes casos:

−3

x dx. −

x

) dx

5

b.

∫

−3

e.

∫

0

4

c.

∫

x − 1 dx.

f.

∫ (2

7

a.

∫

6

c.

∫

−3

e.

∫

4

−2

0

b a

x dx. x − 3 x ) dx .

f ( x) dx ≤ M (b − a).

5

b.

∫

−1

(x3 + 8 x 2 − 5 x + 3) dx.

d.

∫

0

(3x 2 + 4 x − 7) dx.

f.

∫

4 x dx.

−1

2

∫

∫

b

1

3 0

x 2 + 3 dx. x −1 dx. x−2

( x 2 + 3)1 3 dx.

f ( x) dx ≤ ∫

b

f ( x) dx (sugerencia: − f ( x) ≤ f ( x) ≤ f ( x) ).

16.

Si f es continua en [a, b] , demuestre que

17.

Encuentre el valor de c que satisface el teorema del valor medio para integrales si:

a.

∫

2 1

x 2 dx =

7 . 3

b.

a

∫

0 −2

a

x 3 dx = −4.

c.

∫

2 0

( x 2 + 3 x + 1) dx =

32 . 3

Para los literales a-e verifique la validez del teorema del valor medio para integrales y determine el valor (s) de C de la conclusión: a.

f ( x) = x 2 + 1 en [0, 1].

b.

f ( x ) = x 2 + x + 2 en [ −1, 1].

c.

f ( x ) = 4 − 3 x 2 en [ −1, 1].

Ejercicios de los módulos 12 al 17

192

−3

En los literales a-f siguientes encuentre un par de valores M y m tal que

m(b − a) ≤

18.

3

x − 3 dx.

d.

f ( x ) = e x en [0, 1].

e.

f ( x) = 9 − x 2 en [0, 3].

19.

Demuestre que el teorema del valor intermedio garantiza que la ecuación x3 − 4 x 2 + x + 3 = 0 tiene una raíz entre 1 y 2.

20.

Dé un ejemplo de una función para la cual f ( x) ≥ 0 para todo x de [ a, b] , f ( x) > 0 para algún x de [ a, b]

∫

y además 21.

b a

f ( x) dx = 0.

Supóngase que f es una función para la cual 0 ≤ f ( x) ≤ 1 si 0 ≤ x ≤ 1. Demuestre que existe al menos un número c en [0,1] tal que f (c) = c (sugerencia: haga g ( x) = f ( x) − x ).

V.

Teoremas fundamentales del cálculo En cada uno de los ejercicios 1 a 6 utilice el primer teorema fundamental del cálculo para calcular la derivada que se indica. 2x

1.

Dx ∫

3.

Dx ∫

5.

Dx ∫

7.

2

2.

Dx ∫ 3 t + 2 dt.

(t 2 + 1) dt.

4.

Dx ∫

3 + t dt.

6.

Dx ∫

4 + t 2 dt.

1

1+ x 2 5x −7

x+2 x +2x 3

x

x − x2 + 2 2 x2 8 x2

(t + 2) dt.

1 dt , t > 0. t

Una función F está definida para todo x real por la fórmula F ( x) = 3 + ∫

x 0

t dt. Halle un polinomio t +1 2

cuadrático P ( x ) = ax 2 + bx + c tal que: P (0) = F (0), P ′(0) = F ′(0) y P ′′(0) = F ′′(0).

8.

Encuentre una función f y un valor de la constante c, tal que:

∫

x c

f (t ) dt = cos x −

1 para todo x ∈ ℜ. 2

En los ejercicios 9 a 22 calcule la derivada de la función F(x) dada. 9.

F ( x) =

∫

11.

F ( x) =

∫

13.

F ( x) =

∫

5 1

1 x

3

1 + t + t 2 dt.

x

10.

F ( x) =

∫

12.

F ( x) =

∫

14.

F ( x) = x ⋅ ∫ et dt.

x

sen 2 t dt + ∫ cos 2 t dt.

x 2

(sen 4 t 2 ) dt.

1

x 4

(sen t 2 ) 4 dt.

e−4t dt. x

4

Elementos de cálculo integral y series 193 Capítulo 3:básicos Integral definida

15.

17.

F ( x) =

19.

F ( x) =

21.

∫

F ( x) =

∫

x2

1 + t 2 dt .

2

x x2

2

cos u du.

4

∫

∫ ∫

F ( x) =

x3 3

x2 2 3 x2

16.

e

.

−t 2

∫

F ( x) =

1+ x 1− x

∫

3

xet dt.

3x

u 3 + 2 du

18.

F ( x) =

20.

F ( x) =

x . 1 ∫ 3 x2 1 + u 4 dt

22.

F ( x) =

∫ g (t ) dt f (t ) dt. ∫1

2x

x2 + 1

.

3

dt

3

tet dt

x

. t 2 et dt

1

En los ejercicios 23 a 28 calcule el límite indicado usando la regla de L´Hopital.

23.

25.

lim

∫

x 0

x →0

lim x →0

sen t dt t . x 3x

∫

x 0

e − u du 2

.

24.

∫ lim

26.

∫ lim

28.

∫ lim

x

1 + t 2 dt

1

.

x2 − 1

x →1

x 1

x 1 + t 2 dt .

x2 −1

x →1

27.

∫ lim

29.

Determine los intervalos donde crece y decrece, así como también los extremos relativos, de la función:

x 0

t 1 + t 3 dt

x →0

8x

f ( x) = ∫

30.

.

1− x 2 3

x 0

(1 − cos t ) dt .

x3

x →0

t dt. 1+ t2

Determine los intervalos de concavidad de la gráfica, así como los puntos de inflexión, de la función: x

f ( x) = ∫ (t 2 − 2t + 1)et dt. 1

31.

En los literales a-t evalúe cada una de las siguientes integrales definidas: 5

a.

∫

0

d.

∫

−2

g.

∫

−1

2

3

3

b.

∫

−1

x − 3 dx.

e.

∫

−1

dy . ( y + 2)3

h.

∫

1

(3x 2 + 5 x − 1) dx.

1

3

dy . ( y + 2)3

x − x dx. x dx . (3 x 2 − 1)3

∫

1

f.

∫

0

i.

∫

Ejercicios de los módulos 12 al 17

194

3

c.

5

x dx . (3x 2 − 1) 3

(3x 2 + 5x − 1) dx. 5

0

x 9 − x 2 dx.

32.

1

∫

0

n.

∫

1

∫

m.

∫

p.

∫

1

q.

∫

1

∫

1

r.

3

0

4+ x

∫

5

s.

2

x dx , haciendo w = 3x + 1. (3x + 1) 2

∫

7

t.

4

−1

5 + 4x + 9

0

x sen (π x 2 ) dx.

π 6

0

e 4 sen 3 x ⋅ cos 3 x dx.

2

5

3 + x −1

1

1

k.

j.

8

t ( t + 1)3

dt.

1 dx. x (3ln x + 4)

2

l.

∫

1

o.

∫

0

4

2

⎛ 1⎞ ⎛ 1 ⎜1 + ⎟ ⎜ 2 ⎝ t ⎠ ⎝t

⎞ ⎟ dt. ⎠

⎛ dx ⎞ e4 x ⎜ ⎟. ⎝ x⎠

dx , haciendo t 2 = x − 1.

3x + 1 dx , haciendo u = 7 x + 8. 7x + 8

3

dx , haciendo

x = u.

dx , haciendo

4 x + 9 = u.

La ley de acción de masa en química resulta de la ecuación diferencial: dx = k (a − x)(b − x); k > 0, a < 0, b > 0, dt

donde x es la cantidad de sustancia en el momento t que resulta de la reacción de otras dos. Suponga que x = 0 cuando t = 0.

33.

i.

Resuelva esta ecuación diferencial en el caso en que b > a.

ii.

Demuestre que lim x(t ) = a (si b > a).

iii.

Suponga que a = 2 y b = 4 y que se forma 1 g de la sustancia en 20 minutos. ¿Cuánto habrá en 1 hora?

iv.

Resuelva la ecuación diferencial si a = b.

t →∞

En muchos problemas de crecimiento de la población hay una cota superior que no puede rebasarse. Supongamos que la Tierra no soporta una población de mas de 16.000 millones y que había 2000 millones de habitantes en 1925 y 4000 millones en 1975. Entonces, si y (t ) es la población en t años después de 1 9 2 5 , un modelo apropiado para ésta es la ecuación diferencial: dy = Ky(16 − y). dx

Elementos de cálculo integral y series 195 Capítulo 3:básicos Integral definida

34.

i.

Resuelva esta ecuación diferencial.

ii.

Encuentre la población en el año 2015.

iii.

¿Cuándo la población será de 9000 millones?

Los bioquímicos han propuesto el modelo dy = k ( A − y )( B + y ) dx

como un modelo para la producción de la tripsina a partir del tripsinógeno en la digestión, donde k > 0, A es la cantidad inicial de tripsinógeno y B es la cantidad inicial de tripsina. Resuelva la ecuación diferencial. 35.

La ecuación diferencial dy = k ( y − m)( M − y ), con k > 0; 0 ≤ m < y0 < M , dx

ha sido utilizada para modelar algunos problemas de crecimiento. Resuelva esta ecuación diferencial y y (t ) . encuentre lim t →∞

36.

Si m, n son enteros positivos, demuestre que: ⎧ 0 si n ≠ m si n = m

π

∫ π sen mx ⋅ sen nx dx = ⎨⎩π −

π

∫ π cos mx ⋅ cos nx dx ; m ≠ n.

37.

Calcule

38.

Sea f ( x) = ∑ an sen (nx) . Utilice el ejercicio 36 para comprobar cada una de las siguientes integrales:

−

N

n =1

a.

b.

1

⎧ am

π

f ( x) sen ( mx) dx = ⎨ π∫π ⎩0 −

1

π

π

∫π −

si m ≤ N si m > N

N

f 2 ( x) dx = ∑ an 2 . n =1

Las integrales de este tipo aparecen en las llamadas series de Fourier, que tienen aplicaciones en el calor, la vibración de una cuerda y otros fenómenos físicos. Recuerde que: 1 sen α ⋅ sen β = [cos (α − β ) − cos (α + β )], 2 1 cos α ⋅ cos β = [cos (α + β ) + cos (α − β )]. 2

Ejercicios de los módulos 12 al 17

196

39.

Teorema de Pitágoras para integrales definidas Sean f, g y h tres funciones que satisfacen las siguientes condiciones:

g ( x) =

a ⎛c ⎞ b ⎛c ⎞ f ⎜ x ⎟ y h( x ) = f ⎜ x ⎟ , c ⎝a ⎠ c ⎝b ⎠

siendo a, b, c enteros positivos que cumplen a 2 + b 2 = c 2 . Demuestre que:

∫

a 0

b

c

0

0

g ( x) dx + ∫ h( x) dx = ∫ f ( x) dx.

Esto indica que las áreas de regiones similares construidas en dos catetos de un triángulo rectángulo es igual al área construida sobre la hipotenusa. Geométricamente es como se muestra en la figura 1:

Figura 1

V.

Integrales impropias 1.

Analice la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias (a-n). Para las convergentes determine su valor. +∞

a.

∫

d.

∫

g.

∫

j.

∫

−∞

m.

∫

0

1

∫

4

e.

∫

−∞

h.

∫

dx.

k.

∫

−∞

e − x sen x dx.

n.

∫

0

+∞

x dx

3

9+ x

+∞

2

+∞

+∞

+∞

b.

x 2 e− x dx.

2

.

dx x(ln x) 2 x x +4 2

0

−2

xe− x dx.

c.

∫

−∞

e3 x dx.

f.

∫

1

dx x(ln x)

i.

∫

−∞

x dx. ( x + 9) 2

l.

∫

−∞

+∞

2

+∞

+∞

2

2

+∞

0

+∞

dx . x5

dx 3x

.

dx . (2 x − 1)3 1 dx. x + 2x + 5 2

( x sen x) dx.

Elementos de cálculo integral y series 197 Capítulo 3:básicos Integral definida

2.

3.

Analice la convergencia o divergencia de las siguientes integrales impropias del tipo II. Para las convergentes determine su valor. 2

a.

∫

1

d.

∫

2

g.

∫

4

dx . ( x − 1)1 3

∫

1

dx

b.

0

1− x

dx . (3 − x) 2 3

e.

∫

−3

∫

2

dx

h.

0

2x − x

dx . −1 x 4 1

.

x dx . ( x − 4) 2 3 2

2

.

3

c.

∫

0

f.

∫

0

i.

∫

1

2

x dx. 9 − x2 3 dx. x + x−2 2

+∞

dx x x2 −1

.

La función gamma (Γ ) está definida por:

∫

Γ( x) =

4.

0

2

+∞

e −u ⋅ u x −1 du; x > 0 .

0

∫

+∞

e−u u x dx.

a.

Demuestre que Γ( x + 1) =

b.

Integrando por partes, muestre que Γ( x + 1) = xΓ( x).

c.

Demuestre que Γ(1) = 1.

d.

Usando los resultados b y c demuestre que si n ∈

0

+

, entonces Γ(n + 1) = n !

Usando la función gamma calcule las siguientes integrales impropias: a.

∫

+∞ 0

e− x dx. 3

∫

b.

+∞

x n e− h x

2 2

∫

+∞ 0

xe− x dx. 3

c.

∫

+∞ 0

e − h x dx (h constante). 2 2

⎛ n + 1⎞ Γ⎜ ⎟ 2 dx = ⎝ n +1 ⎠ ; n > −1 . 2h

5.

Demuestre que

6.

En la teoría electromagnética, el potencial magnético u de un punto sobre el eje de una bobina circular está dado por: u = Ar ∫

∞ a

0

dx , ( r + x 2 )3 2 2

donde A, r y a son constantes. Evalúe u.

Ejercicios de los módulos 12 al 17

Demuestre que la integral impropia

∫

+∞

7.

Demuestre que la integral impropia

∫

+∞

8.

9.

Pruebe que

10.

Discuta la verdad o falsedad de la siguiente igualdad. Razone su respuesta.

∫

+∞

−∞

∫

R

−R

−∞

−∞

x 3 dx diverge, pero lim

∫

∈

∈→+∞ −∈

x 3 dx = 0.

x e − x dx converge a 0 (cero). 2

x e − x dx = 0 para todo R ≥ 0. 2

f ( x) dx = lim ∫

R

R →∞ − R

f ( x) dx.

Capítulo 3: Integral definida