CAPITULO 3.- Representaciones de Fourier para señales. 3.1 Introducción. 3.2 Señales periódicas en tiempo discreto: la serie de Fourier en tiempo discreto. 3.3 Señales periódicas en tiempo continuo: la serie de Fourier. 3.4 Señales no periódicas en tiempo discreto: la transformada de Fourier en tiempo discreto 3.5 Señales no periódicas en tiempo continuo: la transformada de Fourier 3.3.6 Propiedades de las representaciones de Fourier

3.1 Introducción. Análisis de Fourier : Representación de señales utilizando senoides complejas Senoides complejas y respuesta en frecuencia de sistemas LTI x(t ) = e jωt

senoidal compleja

y (t ) = H ( jω )e jωt y (t ) = H ( jω ) e

∞

; H ( jω ) = ∫ h(τ )e − jωτ dτ ⇒ resp. en frecuencia −∞

j (ωt + arg{H ( jω )})

x[n] = e jΩn y[n] = H (e jΩ )e jΩn y[n] = H (e ) e ( jΩ

; H (e jΩ ) =

{

j Ωn + arg H ( e jΩ )

})

∑ h[k ](e ) ∞

jΩ − k

k = −∞

1

Ejemplo

Circuito RC : Respuesta en frecuencia 1

h(t ) =

1 − RC t e u (t ) , ∀t ≥ 0 RC 1

1 RC = H ( jω ) = 1 jωRC + 1 jω + RC

ψ (t )

H ( jω ) =

1

RC ω + 1 RC 2

(

)

2

arg{H ( jω )} = − arctan (ωRC )

Figure 3.4 (p. 198) (a) General eigenfunction Ψ(t) or Ψ[n] and eigenvalue λ. (b) Complex sinusoidal eigenfunction ejωt and eigenvalue H(jω). (c) Complex sinusoidal eigenfunction ejΩn and eigenvalue H(ejΩ). λψ (t )

ψ [n]

λψ [n]

Función característica de H Función propia j ωt

ψ (t ) = e

Vector característico de A

ek

M

x(t ) = ∑ ak e jωk t k =1

Problema de valores característicos

H {ψ (t )} = λψ (t )

Valor característico Valor propio

H ( jω ) = λ Valor característico

Ae k = λk e k

λk

M

y (t ) = ∑ ak H ( yωk )e jωk t k =1

2

Representaciones de Fourier para cuatro clases de señales

Propiedad de tiempo

Periódica

No periódica

Continua

Serie de Fourier (FS)

Transformada de Fourier (FT)

Discreta

Serie de Fourier en Transformada de tiempo discreto Fourier en tiempo (DTFS) discreto (DTFT)

Señales periódicas: representaciones mediante las series de Fourier DTFS : Periodo fundamental de x[n] : N FS : Periodo fundamental de x(t) : T

⇒ Ω 0 = 2π N

⇒ ω0 = 2π T

3

3.2 Señales periódicas en tiempo discreto: la serie de Fourier en tiempo discreto (DTFS).

∑ X [k ]e

x[n] =

jkΩ 0 n

X [k ] =

k= N

1 N

∑ x[n]e

− jkΩ 0 n

n= N

DTFS :Ω 0

x[ n] ↔ X [k ] Ω0 =

2π N

X[k],x[n] : par DTFS N =−

N = 0,1,..., N − 1

N N ,..., − 1 2 2

Representación en el dominio de la frecuencia Espectro de magnitud de x[n] arg{X [k ]} Espectro de fase de x[n] X [k ]

X [k ]

X [k + N ] =

1 N

∑ x[n]e

− j ( k + N )Ω0n

=

n= N

1 N

∑ x[n]e

− jNΩ 0 n − jkΩ 0 n

e

=

n= N

1 N

∑ x[n]e

− jkΩ 0 n

= X [k ]

n= N

X[k] y x[n] : evaluar en computadora (únicas)

Problema 3.48

Utilice la definición de los coeficientes de la DTFS para evaluar la representación DTFS para la señal : π⎞ ⎛ 6π x[n] = cos⎜ n+ ⎟ 3⎠ ⎝ 17

x[n] =

2π N = 17, Ω 0 = 17

X [k ] =

∑ X [k ]e

jkΩ 0 n

k= N

1 N

8

∑ x[n]e

− jkΩ 0 n

k = −8

⎛ 6π π ⎞ ⎛ 6π π ⎞ π π 2π 2π 1 ⎛ j ⎜ n + ⎟ − j ⎜ n + ⎟ ⎞ ⎡ 1 j ⎤ j (3) n ⎡ 1 − j ⎤ j ( −3) 17 n x[n] = ⎜ e ⎝ 17 3 ⎠ + e ⎝ 17 3 ⎠ ⎟ = ⎢ e 3 ⎥ e 17 + ⎢ e 3 ⎥ e ⎟ ⎣2 2 ⎜⎝ ⎦ ⎣2 ⎦ ⎠ π

1 j3 e k =3 2 π 1 −j3 e k = −3 2 0 otros k ,−8 ≤ k ≤ 8

{

X [k ] =

4

Problema 3.2 Encontrar la representación en el dominio de la frecuencia de la señal descrita en la figura

x[-n]=-x[n] : simetría impar ; X [k ] =

N=5

, Ω0=2π/5

{

1 2 1 x[n]e − jk 2π n 5 = x[−2]e jk 4π 5 + x[ −1]e jk 2π 5 + x[0]e j 0 + x[1]e − jk 2π 5 + x[2]e − jk 4π ∑ 5 n = −2 5

5

}

1 ⎧1 1 ⎫ 1 X [k ] = ⎨ e jk 2π 5 + 1 − e − jk 2π 5 ⎬ = {1 + j sen(k 2π 5)} 5 ⎩2 2 ⎭ 5 1 sen(4π 5) 1 sen( 2π 5) X [ − 2] = − j = 0,232e − j 0,531 ; X [−1] = − j = 0,276e − j 0, 760 5 5 5 5 1 X [0] = = 0,2e j 0 5 sen(2π 5) sen(4π 5) 1 1 X [1] = + j = 0,276e j 0 ,760 ; X [ 2] = + j = 0,232e j 0,531 5 5 5 5

Problema 3.2 (cont.) X [−2] = 0,232e − j 0,531 ; X [1] = 0,276e j 0, 760

;

X [−1] = 0,276e − j 0,760

;

X [0] = 0,2e j 0

X [2] = 0,232e j 0,531

5

Ejemplo 3.5 (Inversa de DTFS) Determine la señal en el dominio del tiempo x[n] a partir de los coeficientes DTFS descritos en la figura :

N=9 , Ω0=2π/9 x[n] =

4

∑ X [k ]e

jk 2πn 9

= e j 2π 3e − j 6πn 9 + 2e jπ 3e − j 4πn 9 − 1 + 2e − jπ 3e j 4πn 9 + e − j 2π 3e j 6πn 9

k = −4

x[n] = 2 cos(6πn 9 − 2π 3) + 4 cos(4πn 9 − π 3) − 1

3.3 Señales periódicas en tiempo continuo: la serie de Fourier a) FS exponencial

FS : Periodo fundamental de x(t) : T ⇒ ω0 = 2π T FS exponencial

x(t ) =

∞

∑ X [k ]e

jkω0t

;

X [k ] =

k = −∞

FS ;ω0

x(t ) ↔ X [k ] X [k ] X [k ] arg{X [k ]}

1 T

∫

T

0

x(t )e − jkω0t dt ;

X[k],x[n] : par FS

Representación en el dominio de la frecuencia Espectro de magnitud de x[n] Espectro de fase de x[n]

6

Ejemplo 3.9 (Cálculo directo de coeficientes FS) Determine los coeficientes FS para la señal x(t) descrita en la figura : ω0 = 2π T = 2π 2 = π

1 2 − 2t − jkπ t 1 2 −1 e e dt = ∫ e −( 2+ jkπ ) t dt = e −( 2+ jkπ )t ∫ 0 0 2 2 2(2 + jkπ ) 1 X [k ] = (1 − e − 4 e − jk 2π ) 4 + jk 2π ) X [k ] =

X [k ] =

|

2 0

1 − e−4 4 + jk 2π )

Ejemplo 3.12 (Inversa FS) Encuentre la señal en el dominio del tiempo x(t) correspondiente k a los coeficientes FS : X [k ] = 1 e jkπ 20 2 Suponiendo que el periodo fundamental es T=2 ⇒ ω0 = 2π T = π

( )

∞

( 2) e

jkπ 20

( 2) e

jkπ 20

x(t ) = ∑ 1 k =0 ∞

x(t ) = ∑ 1 k =0

k

k

−∞

( 2)

e jkπ 20 e jkπt

( 2) e

− jlπ 20 − jlπt

e jkπt + ∑ 1

−k

k = −1 ∞

e jkπt + ∑ 1 l =1

l

1 1 + j (πt +π 20 ) 1 − (1 / 2)e 1 − (1 / 2)e − j (πt +π 3 x(t ) = 5 − 4 cos(π t + π / 20) x(t ) =

e

20 )

−1

7

Ejemplo 3.13 (FS para una onda cuadrada) Determine la representación FS de la onda cuadrada x(t) descrita en la figura :

X [k ] =

1 T /2 1 T0 − 1 − jkω0t x(t )e − jkω0t dt = ∫ e − jkω0t dt = e ∫ T −T / 2 T −T0 Tjkω0

X [k ] =

2 ⎛ e jkω0T0 − e − jkω0T0 ⎜ 2j Tkω0 ⎜⎝

X [k ] =

2 sen(kω0T0 ) Tkω0

|

T0 −T0

, k≠0

⎞ 2sen(kω0T0 ) ⎟⎟ = , k ≠0 Tkω0 ⎠ 1 T0 2T 2sen(kω0T0 ) 2T0 ; lim k = 0 ⇒ X [k ] = ∫ dt = 0 = k →0 T −T0 T Tkω0 T

ω0 =

2π T

⇒

X [k ] =

Ejemplo 3.13 (cont.)

2sen(k 2πT0 / T ) 2T0 ⎛ 2T ⎞ senc⎜ k 0 ⎟ = k 2π T ⎝ T ⎠

X [k ], − 50 ≤ k ≤ 50

T0/T=1/4

La energía en la representación FS esta distribuida en un ancho intervalo de frecuencias El primer cruce por cero : T0/T=1/16 T0/T=1/4 k=2 T0/T=1/16 k=8 T0/T=1/64 k=32 Al decrecer T0/T la energía en T0/T=1/64 cada periodo de la señal onda cuadrada se concentra alrededor de un estrecho intervalo de tiempo.

8

3.3

Con bastante frecuencia en el análisis de Fourier aparece la forma funcional :

senc(u ) =

sen(π u ) πu

senc(0) = 1 senc(ku ) = 0 , k ≠ 0 El máximo de la función es la unidad en u=0 El cruce por cero ocurre en los valores enteros de u Lóbulo principal de la función senc : parte de la función entre los cruces por cero en u=+1 y u=-1 Lóbulos laterales : resto de lóbulos

3.3 Señales periódicas en tiempo continuo: la serie de Fourier b) FS trigonométrica X [−k ] = X [k ] x(t ) =

∞

∞

k = −∞

m =1

(

)

∑ X [k ]e jkω0t = X [0] + ∑ X [m]e jmω0t + X [−m]e − jmω0t = ∞

∞ e jmω0t + e − jmω0t =X [0] + ∑ 2 X [m] cos(mω0t ) 2 m =1 B[k ] = 2 X [k ], k ≠ 0, entonces

x(t ) = X [0] + ∑ 2 X [m] m =1

si B[0] = X [0] y ∞

x(t ) = ∑ B[k ] cos(kω0t ) k =0

9

3.3 Señales periódicas en tiempo continuo: la serie de Fourier b) FS trigonométrica ∞

x(t ) = B[0] + ∑ { B[k ]cos(kω0t ) + A[k ]sen(kω0t )} k =1

1 T x(t )dt T ∫0 2 T k ≠ 0, B[k ] = ∫ x(t ) cos(kω0t )dt = T 0 2 T A[k ] = ∫ x(t ) sen(kω0t )dt = T 0 B[0] =

exponencial : x(t ) =

∞

∑ X [k ]e

jkω0t

;

X [k ] =

k = −∞

X [k ] + X [− k ] j ( X [k ] − X [− k ]) 1 T

∫

T

0

x(t )e − jkω0t dt ;

Ejemplo 3.13 (FS trigonométrica para una onda cuadrada) ω0 = 2π T

T 1 T 1 ⎡ T0 2T x ( t ) dt 1 dt 1dt ⎤ = 0 = + ∫ ∫ ∫ ⎢ ⎥ − 0 0 T T 0 ⎦ T T T⎣ 2 T 2 sen(k 2πT0 / T ) k ≠ 0, B[k ] = ∫ x(t ) cos(kω0t )dt = T 0 kπ 2 T A[k ] = ∫ x(t ) sen(kω0t )dt = 0 T 0

B[0] =

∞

j

x(t ) = ∑ B[k ]cos(kω0t ) ; xˆ j (t ) = ∑ B[k ]cos(kω0t ) k =0

k =0

T = 1 ; ω0 = 2π T ; T0 / T = 1 / 4

10

Figure 3.25b-3 (p. 226) (b) J = 3. (c) J = 7. (d) J = 29.

(e) J = 99.

3.4 Señales no periódicas en tiempo discreto: La transformada de Fourier en tiempo discreto (DTFT) De manera intuitiva deduciremos DTFT a partir de DTFS, describiendo una señal no periódica como el límite de una señal periódica cuyo periodo N se acerca a infinito. DTFT 1 π jΩ jΩn ( ) x[n] = X e e d Ω x [ n ] ↔ X e jΩ 2π ∫−π

( )

( ) ∑ x[n] e

X e jΩ =

∞

− jΩn

Representación en el dominio de la frecuencia

n = −∞

Si x[n] duración infinita, ha de ser absolutamente sumable para que exista la DTFT :

∞

∑ x[n] < ∞

n = −∞

∞

2

Si x[n] no es absolutamente sumable, pero tiene energia ∑ x[n] < ∞ n = −∞ finita, la DTFT converge en un sentido de error cuadrático medio, pero no converge puntualmente La señal escalón unitario u[n] no cumple las condiciones anteriores

11

Ejemplo 3.17 Secuencia exponencial Encuentre la DTFT de la secuencia x[n]=αnu[n]

( ) ∑ x[n] e ∞

X e jΩ =

− jΩn

n = −∞

( ) ∑α ∞

X e jΩ =

n = −∞

n

( )

si α es real : X e jΩ =

( )

X e jΩ =

(

∞

∞

n =0

n=0

u[ n] e − jΩn = ∑ α n e − jΩn = ∑ αe − jΩ

n

=

1 , 1 − α e − jΩ

α ≤TT 0

0

0

sen(ωT0 )

Si T0=1. Calcular la Transformada de Fourier de y(t)=x(t/2) . x(t ) =

{01,,

t 1

y (t ) =

{10,,

t 2

⎛ ω ⎞ 1 ⎟ = 2 X ( j 2ω ) = 2 2 sen(2ω ) = 2 sen(2ω ) Y ( jω ) = X⎜ j ⎜ ⎟ 1 1 2ω ω 2 ⎝ 2⎠

20

Figure 3.71 (p. 301) Application of the FT scaling property in Example 3.48. (a) Original time signal. (b) Original FT. (c) Scaled time signal y(t) = x(t/2). (d) Scaled FT Y(jω) = 2X(j2ω).

3.6.4 Escalamiento : FS si x(t) tiene periodo fundamental T (ω0), z(t) tiene periodo fundamental T/a (aω0)

x(t ) x(at ) = z (t )

FS ;ω0

↔

FS ; aω0

↔

X [k ] Z [k ] = X [k ]

La operación de escalamiento cambia simplemente el espaciamiento armónico de (ω0) a (a ω0)

21

3.6.4 Escalamiento : DTFT , DTFS

z[n] = x[ pn], ∀p ∈ Z

p > 1 ⇒ perdida de información

;

x z [n] = 0, a menos que

n ∈Z p DTFT

x z ( pn) ↔ X z (e jΩ / p ) x z ( pn)

DTFS ; pΩ 0

↔

p X z [k ]

Problema 3.80 Dada la señal de la figura :x z [n] = 0, a menos que

n ∈Z p

; p=3

jΩ

a) Demostrar que la DTFT de z[n]=xz[pn] es : Z [e jΩ ] = X z [e p ] b) De la DTFT de w[n] y prop. escalamiento, calcule la DTFT de f[n] c) Si xz[n] es periódica (N), z[n]=xz[pn] es periódica (N/p) demostrar : Z [k ] = pX z [k ]

22

Problema 3.80 (cont.) a) X z [e b)

jΩ

p

∑ xz [n]e

]=

−j

Ω n n = pr p

∞

suma r impar

∑ xz [ pr ]e − jΩr =

=

n = −∞

r = −∞

DTFT

n

n par {w0[n ,2n] ,impar

1 Z [k ] = N

N −1 p

∑ z[n]e p

1 Z [k ] = p N

− jknΩ '0

n=0

N −1 p

∑ x [ pn]e n =0

DTFT

↔ F (e j 2 Ω ) =

; Ω '0 =

− jknpΩ 0

z

∞

∑ x [ pn]e

n = −∞

− jΩn

z

=Z [e jΩ ]

1 1 − 0 .9 e − j Ω

w[n] = (0.9 ) u[n] ↔ W (e jΩ ) = f [n] =

c)

∞

1 1 − 0 .9 e − j 2 Ω

2π = pΩ 0 N p

l = pn

=

1 N −1 ∑ xz [l ]e − jklΩ0 N n =0 Z [k ] = pX z [k ] =p

Tiempo

No periódica (t,n)

Serie de Fourier

Tranformada de Fourier

x(t ) =

∞

∑ X [k ]e

jkω0t

x(t ) =

k = −∞

1 T

X [k ] =

∫

T

0

x(t )e − jkω0t dt

1 2π

∫

∞

−∞

X ( jω )e jω t dω ∞

X ( jω ) = ∫ x(t )e − jω t dt −∞

x(t) periodo T ⇒ ω0 = 2π T

x[n] =

∑ X [k ]e

jkΩ 0 n

x[n] =

k= N

X [k ] =

1 N

∑ x[n]e

π

jΩ

2π N

( )

X e jΩ

jΩ n

−

X e jΩ =

n= N

Discreta (k)

∫ π X (e )e

( ) ∑ x[n] e

− jkΩ 0 n

x[n] y X[k] periodo N ⇒ Ω 0 =

1 2π

∞

dΩ

− jΩ n

n = −∞

tiene periodo 2π

Continua (ω,Ω)

Periódica (k,Ω)

Discreta [n]

Serie Fourier Tiempo Discr. Tranf. Fourier Tiempo Discr.

No periódica (k,ω)

Continua (t)

Periódica (t,n)

Frecuencia

23

3.6.5 Diferenciación e integración, sumatoria y diferencia Diferenciación en el tiempo FT: x(t ) =

1 2π

∫

∞

−∞

d 1 x(t ) = jω dt 2π

X ( jω )e jω t dω ;

∫

∞

−∞

X ( jω )e jω t dω = jω X ( jω )

FT d x(t ) ↔ jω X ( jω ) dt La diferenciación destruye cualquier componente dc de x(t): j 0 X ( j 0) = 0

No periódica :

FS:

x(t ) =

∞

∑ X [k ]e

jkω0t

∞ d x(t ) = jkω0 ∑ X [k ]e jkω0t = jkω0 X [k ] dt k = −∞

;

k = −∞

Periódica :

FS ;ω0 d x(t ) ↔ jkω0 X [k ] dt

El valor promedio de la señal diferenciada sea cero : j 0 ω0 X (0) = 0

3.6.5 Diferenciación e integración, sumatoria y diferencia (cont.1) Diferenciación en frecuencia ∞

FT: X ( jω ) = ∫ x(t )e − jω t dt −∞

;

∞ d X ( jω ) = ∫ (− jt x(t ) )e − jω t dt −∞ dω

FT d No periódica : − jt x(t ) ↔ dω X ( jω ) La diferenciación no se aplica a cantidades de valor discreto: FS, DTFS

DTFT: X (e jΩ ) =

∞

∑ x[n] e

n = −∞

− jΩ n

( )

∞ d X e jΩ = ∑ (− jn x[n]) e − jΩ n dΩ n = −∞

DTFT

No periódica : − jn x[ n] ↔

d X ( e jΩ ) dΩ

24

3.6.5 Diferenciación e integración, sumatoria y diferencia (cont.2) x(t ) =

Sumatorio y diferencia

d y (t ) ↔ x[n] = y[ n] − y[n − 1] dt t

y (t ) = ∫ x(τ )dτ ↔ y[n] = −∞

DTFT

jΩ

(

x[n] ↔ X (e ) = 1 − e

− jΩ

)Y (e

jΩ

n

∑ x[k ]

k = −∞

)

X ( e jΩ ) + πX (e j 0 )δ (Ω), − π < Ω < π − jΩ 1− e ∞ ∞ DTFT X (e jΩ ) j0 + π X e δ (Ω − k 2π ) x[k ]= y[n] ↔ ( ) ∑ ∑ 1 − e − jΩ k = −∞ k = −∞ DTFT

y[n] ↔ Y (e jΩ ) =

Integración

∫

FT

t

−∞

x(τ )dτ ↔

1 X ( jω ) + π X ( j 0)δ (ω ) jω

3.6.5 Diferenciación e integración, sumatoria y diferencia (resumen) FT d x(t ) ↔ jω X ( jω ) dt

FS ;ω0 d x(t ) ↔ jkω0 X [k ] dt

FT

d X ( jω ) dω

DTFT

d X ( e jΩ ) dΩ

− jt x(t ) ↔ − jn x[n] ↔

∫

t

−∞

FT

x(τ )dτ ↔ ∞

DTFT

∑ x[k ] ↔

k = −∞

1 X ( jω ) + π X ( j 0)δ (ω ) jω ∞ X ( e jΩ ) j0 + π X e ( ) ∑ δ (Ω − k 2π ) 1 − e − jΩ k = −∞

25

3.6.6 Convolución y modulación Convolución de señales no periódicas ∞

y (t ) = h(t ) * x(t ) = ∫ h(τ ) x(t − τ )dτ −∞

∞

y (t ) = ∫ h(τ ) −∞

y (t ) =

1 2π

1 2π

∫

∞

; x(t − τ ) =

X ( jω )e jω t e − jωτ dω dτ =

−∞

1 ω ∫ [H ( jω ) X ( jω )]e dω = 2π ∫ ∞

j t

−∞

∞

−∞

1 2π

1 2π

∫ ⎡⎢⎣∫

∫

∞

X ( jω )e jω (t −τ ) dω

−∞

∞

∞

−∞

−∞

h(τ )e − jωτ dτ ⎤ X ( jω )e jω t dω ⎥⎦

Y ( jω )e jω t dω

FT

y (t ) = h(t ) * x(t ) ↔ Y ( jω ) = H ( jω ) X ( jω ) DTFT

x[n] ↔ X (e jΩ ) DTFT

h[n] ↔ H (e jΩ )

⇒

DTFT

y[n] = x[n] * h[n] ↔ Y (e jΩ ) = X (e jΩ ) H (e jΩ )

3.6.6 Convolución y modulación (cont. 1) Modulación , señales no periódicas

1 2π 1 z (t ) = 2π

x(t ) =

∫

∞

∫

∞

−∞

−∞

X ( jυ ) e jυ t d υ Z ( jη )e jη t dη

FT y (t ) = x(t ) z (t ) ←⎯→ Y ( jω ) =

1 X ( jω ) * Z ( jω ) 2π

DTFT

x[n] ↔ X (e jΩ ) DTFT

jΩ

z[n] ↔ Z (e )

⇒

DTFT ⎯→ Y (e jΩ ) = y[n] = x[n]z[n] ←⎯

convolución periódica (2π ) ⇒

X (e jΩ ) ⊗ Z (e jΩ ) = ∫

2π

1 X ( e jΩ ) ⊗ Z ( e jΩ ) 2π X (e jθ ) Z (e j ( Ω −θ )dθ

26

3.6.6 Convolución y modulación (cont. 2) Convolución , señales periódicas y (t ) = x(t ) ⊗ z (t ) = ∫ x(τ ) z (t − τ ) dτ T

FS ; 2π / T

y (t ) = x(t ) ⊗ z (t ) ←⎯ ⎯ ⎯→ Y [k ] = T X [k ] Z [k ] y[n] = x[n] ⊗ z[n] =

∑ x[k ]z[n − k ]

K= N

DTFS ; 2π / N y[n] = x[n] ⊗ z[n] ←⎯ ⎯⎯ ⎯→ Y [k ] = N X [k ] Z [k ]

Modulación , señales periódicas FS ; 2π / T y (t ) = x(t ) z (t ) ←⎯ ⎯ ⎯→ Y [k ] = X [k ] * Z [k ]

X [k ] * Z [k ] =

∞

∑ X [m]Z [k − m]

m = −∞

DTFS ; 2π / N y[n] = x[n]z[n] ←⎯ ⎯⎯ ⎯→ Y (k ) = X (k ) ⊗ Z (k )

X (k ) ⊗ Z (k ) =

∑ X [m]Z [k − m]

m= N

3.6.6 Convolución y modulación (resumen) Convolución FT

h(t ) * x(t ) ↔ H ( jω ) X ( jω ) FS ;ω

x(t ) ⊗ z (t ) ←⎯⎯→ T X [k ] Z [k ] DTFT

x[n] * h[n] ↔ X (e jΩ ) H (e jΩ )

Modulación FT x(t ) z (t ) ←⎯→

1 X ( j ω ) * Z ( jω ) 2π

FS ;ω0 x(t ) z (t ) ←⎯ ⎯→ X [k ] * Z [k ]

DTFT x[n]z[n] ←⎯ ⎯→

1 X (e jΩ ) ⊗ Z (e jΩ ) 2π

DTFS ;Ω 0 DTFS ;Ω 0 x[n] ⊗ z[n] ←⎯ ⎯⎯→ N X [k ] Z [k ] x[n]z[n] ←⎯ ⎯⎯→ X (k ) ⊗ Z (k )

27

3.6.7 Filtrado. Modulación en el dominio de la frecuencia Filtros : pasa baja, pasa alta, pasa banda y atenua banda FT

y (t ) = h(t ) * x(t ) ↔ Y ( jω ) = H ( jω ) X ( jω ) X ( jω ) =

20 log H ( jω ) dB

1 Y ( jω ) = H inv ( jω ) Y ( jω ) H ( jω )

Espectro de energía :

2

2

Y ( jω ) = H ( jω ) X ( jω )

2

2

1 1 2 2 2 H ( jω c ) X ( jω c ) = H ( jω c ) X ( jω c ) 2 2 1 1 20 log H ( jω ) dB = 20 log dB + 20 log H ( jω ) dB = −3dB + 20 log H ( jω ) dB 2 2 2

Y ( jω c ) =

DTFT

x[n] * h[n] ↔ X (e jΩ ) H (e jΩ ) 1 X ( e jΩ ) = Y (e jΩ ) = H inv (e jΩ ) Y (e jΩ ) H ( e jΩ )

20 log H (e jΩ ) dB

Figure 3.53 (p. 263) Frequency response of ideal continuous- (left panel) and discretetime (right panel) filters. (a) Low-pass characteristic. (b) High-pass characteristic. (c) Band-pass characteristic.

28

Figure 3.54 (p. 264) RC circuit with input x(t) and outputs yc(t) and yR(t). t

1 − RC e u (t ) RC y R (t ) = x(t ) − yC (t )

hc (t ) =

hR (t ) = δ (t ) −

t

1 − RC e u (t ) RC

Dibujar la respuesta en frecuencia de ambos sistemas H C ( jω ) =

1 jωRC ; H R ( jω ) = jωRC + 1 jωRC + 1

Figure 3.55a&c (p. 265) RC circuit magnitude responses as a function of normalized frequency ωRC. (a) Frequency response of the system b) Frequency response of the system corresponding to yC(t), linear scale. corresponding to yR(t), linear scale. c) Frequency response of the system (d) Frequency response of the system corresponding to yC(t), dB scale. corresponding to yR(t), dB scale, shown on the range from 0 dB to –25 dB.

29

Figure 3.55b&d (p. 265)

3.6.8 Relación de Parseval La energía o potencia se conserva en le representación de Fourier

Energía de una señal no periódica x(t) : 2

∞

E x = ∫ x(t ) dt ; −∞

∫

∞

−∞

2

x(t ) dt =

1 2π

∫

∞

−∞

2

x(t ) = x(t ) x* (t ) ; 2

X ( jω ) dω : Teorema de energía de Rayleigh

normalizado por 2π 2

H ( jω ) ⇒ espectro de energía de la señal

Energía : señales no periódicas en el dominio del tiempo Potencia : señales periódicas en el dominio del tiempo ( sobre un periodo normalizado)

30

3.6.8 Relación de Parseval (cont.)

FT

∫

FS

1 T

DTFT

∑

DTFS

1 N

Tiempo

2

∞

x(t ) dt =

−∞

∫

1 2π

∫

x(t ) dt = ∑k = −∞ X [k ]

∞

∞

1 x[n] = 2π 2

n = −∞

∑

2

X ( j ω ) dω

−∞

2

T

∞

∫π 2

2

jΩ

X ( e ) dΩ

x[n] =∑k = N X [k ] 2

n= N

No periódica (t,n)

Serie de Fourier

Tranformada de Fourier

x(t ) =

∑ X [k ]e

jkω0t

x(t ) =

k = −∞

1 T

X [k ] =

∫

T

0

x(t )e − jkω0t dt

1 2π

∫

∞

−∞

2

X ( jω )e jω t dω ∞

X ( jω ) = ∫ x(t )e − jω t dt −∞

x(t) periodo T ⇒ ω0 = 2π T

x[n] =

∑ X [k ]e

jkΩ 0 n

x[n] =

k= N

X [k ] =

1 N

∑ x[n]e

π

jΩ

2π N

( )

X e jΩ

jΩ n

−

X e jΩ =

n= N

Discreta (k)

∫ π X (e )e

( ) ∑ x[n] e

− jkΩ 0 n

x[n] y X[k] periodo N ⇒ Ω 0 =

1 2π

∞

dΩ

− jΩ n

n = −∞

tiene periodo 2π

Continua (ω,Ω)

Periódica (k,Ω)

Discreta [n]

Serie Fourier Tiempo Discr. Tranf. Fourier Tiempo Discr.

No periódica (k,ω)

Continua (t)

Periódica (t,n) ∞

2

Frecuencia

31

3.6.9 Dualidad

Dualidad de FT

FT

δ (t ) ↔ 1 ; − ∞ < ω < ∞ FT

1 ↔ 2πδ (ω )

Figure 3.73 (p. 307) Duality of rectangular pulses and sinc functions.

32

3.6.9 Dualidad (resumen) FT

FT f (t ) ←⎯→ F ( jω )

FT F ( jt ) ←⎯→ 2π f (−ω )

DTFS ; 2π / N x[n] ←⎯ ⎯⎯ ⎯→ X [k ]

DTFS

DTFT y FS

DTFS ; 2π / N X [n] ←⎯ ⎯⎯ ⎯→

DTFT x[n] ←⎯ ⎯→ X (e jΩ )

1 x[−k ] N

FS ;1 X (e jΩ ) ←⎯ ⎯→ x[− k ]

3.6.10 Producto tiempo-ancho de banda

Ancho de banda :¿contenido de frecuencia significativa de la señal? “frecuencia a la cual el espectro de magnitud es 1 / 2 veces su valor de pico”. Si x(t) está centrada en el origen y es paso bajas : Duración de una señal = Td Ancho de banda = Bw ∞

Td =

∫ ∫

2

2

t x(t ) dt

−∞ ∞

−∞

2

x(t ) dt

1

2

Bw =

∫

∞

ω X ( j ω ) dω

−∞ ∞

∫

2

−∞

2

2

X ( j ω ) dω

1

2

1 2 principio de incertidumbre Td Bw ≥

33

Problema 3.48 Calcule los coeficientes del DTFS de la señal :

Por inspección

Problema 3.49 Dado los coeficientes del desarrollo DTFS, generar la señal

Por inspección

34

Problema 3.50 Calcule los coeficientes del FS de la señal :

Por inspección

Problema 3.51 Dado los coeficientes del desarrollo FS, generar la señal

35

Problema 3.52 Calcular la DTFT de la señal :

Problema 3.52 (cont.)

36

Problema 3.53 Calcular la la inversa de X ( e Ω ) a)

c)

Problema 3.54 Calcular la TF de la señal :

37

Problema 3.55 Calcular la inversa FT de X(jω) a)

b)

Tiempo

No periódica (t,n)

Serie de Fourier

Tranformada de Fourier

x(t ) =

∞

∑ X [k ]e

jkω0t

x(t ) =

k = −∞

1 T

X [k ] =

∫

T

0

x(t )e − jkω0t dt

1 2π

∫

∞

−∞

X ( jω )e jω t dω ∞

X ( jω ) = ∫ x(t )e − jω t dt −∞

x(t) periodo T ⇒ ω0 = 2π T

x[n] =

∑ X [k ]e

jkΩ 0 n

x[n] =

k= N

X [k ] =

1 N

∑ x[n]e

π

jΩ

2π N

( )

X e jΩ

jΩ n

−

X e jΩ =

n= N

Discreta (k)

∫ π X (e )e

( ) ∑ x[n] e

− jkΩ 0 n

x[n] y X[k] periodo N ⇒ Ω 0 =

1 2π

∞

dΩ

− jΩ n

n = −∞

tiene periodo 2π

Continua (ω,Ω)

Periódica (k,Ω)

Discreta [n]

Serie Fourier Tiempo Discr. Tranf. Fourier Tiempo Discr.

No periódica (k,ω)

Continua (t)

Periódica (t,n)

Frecuencia

38

Problema 3.57a) Calcular la señal en el dominio del tiempo a partir de su representación en el dominio de la frecuencia.

Periodo fundamental en el dominio del tiempo T=1 discreto y no periódico

FS ; 2π ←⎯ ⎯→ periódico y continuo

Problema 3.58b) Calcular la señal en el dominio del tiempo a partir de su representación en el dominio de la frecuencia. DTFS ; 2π / 5 ⎯ ⎯→ discreto y periódico ←⎯

discreto y periódico

39

Problema 3.58c) Calcular la señal en el dominio del tiempo a partir de su representación en el dominio de la frecuencia.

DT → continuo y no periódico continuo y no periódico ←⎯

Problema 3.58 Utilice la tabla de transformadas y las propiedades para calcular la FT

40

Problema 3.60 Utilice la tabla de transformadas y las propiedades para calcular la DTFT

Problema 3.68b Determine la respuesta en frecuencia y la respuesta al impulso para el sistema definido por la siguiente ecuación diferencial :

41

Problema 3.68c Determine la respuesta en frecuencia y la respuesta al impulso para el sistema definido por la siguiente ecuación diferencial :

Problema 3.73 Utilizar la descomposición en fracciones simples para calcular la transformada inversa de Fourier de :

42

Problema 3.74 Utilizar la descomposición en fracciones simples para calcular la transformada inversa de Fourier en tiempo discreto de :

43