CAPITULO 6. Análisis Dimensional y Semejanza Dinámica Debido a que son pocos los flujos reales que pueden ser resueltos con exactitud sólo mediante métodos analíticos, el desarrollo de la mecánica de fluidos ha dependido de manera importante de los resultados experimentales. Las soluciones de los problemas reales generalmente involucran una combinación del análisis y la información experimental. De esta forma, es común inicialmente desarrollar un modelo matemático del problema a estudiar y resolverlo. Paralelamente, se prepara el experimento del problema a analizar y se comparan los resultados analíticos con aquellos experimentales. Sin embargo, el trabajo experimental en el laboratorio consume tiempo y es costoso, aunado a esto, existen ocasiones en las que la prueba experimental de un prototipo de tamaño natural es imposible o prohibitivamente costosa. En estos casos la prueba de modelos de laboratorio es la única solución factible. Si se va a predecir el comportamiento del prototipo a partir de mediciones en el modelo, es necesario establecer cuidadosamente las pruebas que van a ser efectuadas. El flujo sobre el modelo y el prototipo deben de relacionarse por las leyes de escalamiento conocidas.

6.1 Naturaleza del análisis dimensional La mayoría de los fenómenos de mecánica de fluidos mantienen una relación compleja con la geometría y las propiedades del fluido. Por ejemplo si se quiere estudiar la fuerza de arrastre, F, ejercida por un flujo uniforme a su paso sobre una esfera estacionaria es necesario especificar los parámetros que son importantes en la determinación de la fuerza de arrastre. Es de esperarse que la fuerza de arrastre dependa del tamaño de la esfera, que puede ser caracterizado por su diámetro, D, por la velocidad y viscosidad del fluido V y μ, respectivamente. Además la densidad del fluido, ρ, podría ser también importante. Así, se puede establecer, de forma simbólica, que la fuerza de arrastre puede expresarse por F  f ( D, V ,  ,  ) Aunque se han ignorado parámetros de los cuales depende la fuerza de arrastre, tales como la rugosidad de la superficie (o se han incluido algunos que no influyen en ella), se ha formulado el problema de la determinación de la fuerza de arrastre en términos de cantidades que son tanto controlables como adecuadas para medición en el laboratorio. Suponiendo que se requiere determinar la dependencia de F sobre las variables D, V, μ y ρ, después de construir una instalación experimental adecuada podría dar el inicio a los experimentos. Para obtener una curva de F contra V para valores fijos de los otros tres parámetros probablemente sería necesario hacer unas 10 pruebas para diferentes valores de V. Para explorar el efecto del diámetro cada prueba se repetiría para 10 esferas de diferentes diámetros. Si el procedimiento se repitiera para 10 valores de la densidad y la 55

viscosidad se llegaría a requerir de 104 pruebas para llevar al cabo el experimento. Aunado a eso aparecería la dificultad de hacer un enorme número de gráficas para cada caso. Una opción para evitar este problema de dimensiones gigantes y obtener los resultados adecuados es el empleo del análisis dimensional. Como se muestra un poco más adelante, todos los datos para la fuerza de arrastre sobre una esfera lisa pueden graficarse como una relación funcional entre dos parámetros no dimensionales de la forma  V D  F   f 1  2 2 V D    La forma de la función necesita aún ser determinada experimentalmente. Sin embargo, en lugar de requerirse 104 experimentos, se puede establecer la naturaleza de la función con efectuar unas 10 pruebas. El teorema Pi de Buckingham es un enunciado de la relación entre una función expresada en términos de parámetros dimensionales y una función relacionada en términos de parámetros adimensionales. 6.2 Teorema Pi (  ) de Buckingham Dado un problema de ingeniería donde se desea conocer el comportamiento de flujo e identificar las fuerzas aplicadas, a través de un análisis experimental, es necesario definir un número considerable de pruebas, sin embargo, existe una herramienta útil y poderosa que agrupa en parámetros dimensionales las variables que intervienen en el problema. Esta herramienta se conoce como el teorema  de Buckingham. La aplicación de este teorema implica seguir las siguientes etapas: 1. 2. 3. 4.

Hacer una lista de los parámetros involucrados. Seleccionar las dimensiones básicas (MLt). Representar los parámetros en función de sus dimensiones básicas. Seleccionar de la lista de parámetros un número de ellos igual al número de las dimensiones básicas (r = 3). 5. Combinar los parámetros seleccionados con los restantes para formar los números adimensionales. 6. Comprobar que son adimensionales los números  obtenidos.

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Figura 6.1 Número adimensionales . Después de obtener los parámetros , se puede aplicar las siguientes relaciones: 1. Si una magnitud es adimensional se constituye un número . 2. Si dos magnitudes físicas tiene las mismas dimensiones, su cociente es un número . 3. Cualquier número  se puede sustituir por una potencia del mismo, esto es,  = -1 ó 2. 4. Cualquier número  puede sustituirse por su producto por cualquier constante, esto es,  = 2 ó a. 5. Cualquier número  puede expresarse en función de otros números ´s, esto es, 1 = (2,3).

6.3 Similaridad Los tres propósitos del análisis dimensional son: 1. Generar parámetros adimensionales que ayuden en el diseño de experimentos y en el análisis de los resultados obtenidos. 2. Determinar leyes de escalamiento para observar el comportamiento del prototipo que se pueda predecir del modelo a escala. 3. Predecir la tendencia del comportamiento de los parámetros adimensionales obtenidos. Entonces, en la mayoría de los experimentos para ahorrar tiempo y dinero, es necesario desarrollar modelos de laboratorio que deben cumplir con las tres condiciones que se establecen en la similaridad para analizar fenómenos que se tiene bajo condiciones reales

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y que se comparar con los modelos de laboratorio, éstas son: similaridad geométrica, similaridad cinemática y similaridad dinámica. Similaridad geométrica La forma geométrica del modelo debe ser igual a la del prototipo, pero a un factor de escala.

Figura 6.2 Similaridad geométrica.

Similaridad cinemática. Establece que la velocidad en cualquier punto del campo de flujo en el modelo debe ser proporcional (de acuerdo al factor de escala) a la velocidad del punto correspondiente en el campo de flujo de prototipo. La similaridad geométrica es un prerequisito para la similaridad cinemática.

Figura 6.3 Similaridad cinemática.

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Similaridad dinámica Esta similaridad se alcanza cuando todas las fuerzas aplicadas en el modelo a escala corresponden a las fuerzas (de acuerdo al facto de escala) desarrolladas en el prototipo.

Figura 6.4 Similaridad dinámica.

La similaridad completa se logra cuando se cumplen las tres similaridades descritas anteriormente. Las fuerzas que actúan sobre un campo de flujo se definen como: 1. 2. 3. 4.

Fuerzas de presión; Fuerzas de inercia; Fuerzas de gravedad; Fuerzas de vuiscosidad;

Fp = (p)A FI =  u2 L2 Fg =  L3 g F = uL

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