atem atic

o. d

eM

SEMEJANZA

as

CAP´ITULO 7

´ INTRODUCCION

ept

7.1.

uia

,D

Definici´ on 57. a. Raz´ on: se llama raz´on, al cociente de dos cantidades, expresadas en la misma magnitud, por ejemplo ab .

rsid ad d

eA

ntio q

b. Proporci´ on: se llama proporci´on a la igualdad de dos razones. Por ejemplo ab = dc , a los t´erminos a y d se les llama extremos y los t´erminos ¯ ¯ b y c se les llama medios, al t´ermino d se le llama cuarta proporcional ¯ ¯ ¯ entre a, b y c en este orden. ¯ ¯ ¯ En algunos textos de geometr´ıa se utiliza la notaci´on de proporci´on as´ı: a : b = c : d que se lee “a es a b como c es a d” ¯ ¯ ¯ ¯ Propiedades de las proporciones: a b

=

c d

entonces a · d = b · c

2. Si

a b

=

c d

y

3. Si

a b

=

c d

entonces

b a

4. Si

a b

=

c d

entonces

a±b b

5. Si

a b

=

c d

a b

=

c e

Un

ive

1. Si

entonces d = e

entonces

=

d c

=

a+b c+d

o

a c

c±d d

=

=

b d

o

a±b a

a−b c−d

o

o

d b

=

a+b a−b

201

=

c a

c±d c

=

c+d c−d

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

202 6. Si

a1 b1

=

a2 b2

=

a3 b3

= ... =

an bn

entonces

a2 a3 an a1 + a2 a1 + a2 + . . . + an a1 = = = ... = = = ... = b1 b2 b3 bn b1 + b2 b1 + b2 + . . . + bn

7.2.

atem atic

as

7. Si b es una magnitud tal que ab = db , entonces decimos que b es media ¯ ¯ proporcional entre a y d o lo que es lo mismo: b es media proporcional ¯ ¯2 ¯ entre a y d si y solo si b = a · d. ¯ ¯

PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD ←→

B

o. d

P

ept

A

eM

Definici´ on 58. 1. Un punto P ∈AB divide al segmento AB en una raz´on PA r si P B = r. Si r = 1 entonces P es el punto medio de AB.

,D

Figura 1.

←→

uia

←→

ntio q

2. Sean AB y CD y sean X ∈AB y Y ∈CD, decimos que X e Y dividen a AB y CD en segmentos proporcionales si

A Y

X

B

D

Un

ive

C

rsid ad d

eA

XA YC = XB YD

Figura 2.

El siguiente Lema, llamado el Teorema fundamental del paralelismo es en realidad una generalizaci´on del Teorema de la paralela media.

7.2. PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD

203

Lema 1 (Teorema fundamental del paralelismo). Si tres o m´as rectas paralelas determinan segmentos congruentes en una secante entonces determinan segmentos congruentes sobre cualquier otra secante.

E

B

l F

m

eM

E’ G

n

F’ H

ept

D

uia

b

ntio q

Figura 3.

r

,D

G’

a

o. d

C

atem atic

A

as

Demostraci´ on. (Ver Figura 3.)

←→

rsid ad d

←→

eA

Sean l, m, n, r cuatro rectas paralelas y a una secante que corta a estas paralelas en A, B, C, D tales que AB ∼ = BC ∼ = CD. Sea b otra secante que corta a las paralelas en E, F, G, H. Veamos que EF ∼ = FG ∼ = GH. ←→

Un

ive

Por Playfair, por E, F, G pasan EE ′ , F F ′ , GG′ paralelas a a, donde E ′ ∈ m, F ′ ∈ n, G′ ∈ r. Por la proposici´on 2., AB ∼ = = EE ′ , BC ∼ = F F ′ y CD ∼ = GG′ luego EE ′ ∼ ′ ′ ′ ′ ′ ∼ ∼ ∼ \ \ \ F F = GG y como los a´ngulos E EF = F F G = G GH por correspondientes ′F ∼ ′H y \ \ \ entre paralelas y por la proposici´on n´ umero 1, EE F ′G ∼ = F = GG por el criterio A-L-A, los siguientes tri´angulos son congruentes: △EE ′ F ∼ = △F F ′ G ∼ = △GG′ H, luego EF ∼ = FG ∼ = GH



CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

204

Teorema 90. Dado un n´ umero entero n y dado un segmento, existen puntos en el interior del segmento que lo dividen en n segmentos congruentes. Pn−1

A1

A2 Figura 4.

An−1 An

as

A

P2 l

atem atic

P1

Pn B

o. d

eM

Demostraci´ on. (Ver Figura 4.) umero entero, veamos que existen puntos P Sea AB un segmento y n un n´ que dividen al segmento en n segmentos congruentes. Sea l una semirrecta ←→

,D

ept

cualesquiera, con origen en A tal que l no est´e contenida en la recta AB. Sobre la semirrecta l, por el Axioma de continuidad de Arqu´ımedes, existen puntos A1 , A2 , . . . , An−1 , An tales que

ntio q

uia

AA1 ∼ = A1 A2 ∼ = . . . An−1 An

eA

Por Playfair, por A1 , A2 , . . . , An−1 pasan paralelas a An B, las cuales se intersectan con AB en P1 , P2 , . . . , Pn−1 , entonces por el lema anterior 

rsid ad d

AP1 ∼ = P1 P2 ∼ = . . . Pn−1 B

ive

Definici´ on 59 (Segmentos conmensurables e inconmensurables). Decimos que un segmento es conmensurable si su medida es un n´ umero racional y decimos que un segmento es inconmensurable si su medida es un n´ umero irracional.

Un

Teorema 91 (Teorema de Tales). Si tres o m´as paralelas cortan a dos o m´as secantes entonces los segmentos que determinan en ellas son proporcionales. Demostraci´ on. (Ver Figura 5.) ←→

←→

←→

Sean AD, BE y CF rectas paralelas que cortan las secantes a, b en los puntos A, D, B, E, C, F respectivamente.

7.2. PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD

205

D

A A1

D1 D2

A2

D3

A3

An−1

Dn−1

B

E

as

E1

B1

atem atic

E2

B2

Em

Bm

a

b

ept

o. d

Figura 5.

eM

F Em+1

C Bm+1

ntio q

uia

,D

AB EF Veamos que BC = DE o equivalentemente BC = DE EF AB EF e y = DE y veamos que x = y Llamemos x = BC AB Sea n un n´ umero entero cualesquiera, entonces por el Teorema 90., existen puntos A1 , A2 , . . . , An−1 que dividen al segmento AB en n segmentos congruentes:

eA

AA1 ∼ = A1 A2 ∼ = A2 A3 ∼ = ... ∼ = An−1 B,

AB = nAA1 . ←→

rsid ad d

Por Playfair, por A1 , A2 , . . . , An−1 pasan rectas paralelas a AD que cortan a b en D1 , D2 , . . . , Dn−1 , luego por el Lema 1. (Teorema fundamental del paralelismo), los segmentos: DE = nDD1 .

ive

DD1 ∼ = D1 D2 ∼ = D2 D3 ∼ = ... ∼ = Dn−1 E,

Un

Por el Axioma de Arqu´ımedes, existen puntos B1 , B2 , . . . , Bm , Bm+1 en la −−→ BC tales que BB1 ∼ = B1 B2 ∼ = B2 B3 ∼ = ... ∼ = Bm Bm+1 ∼ = AA1 , y C entre B, Bm+1 , por tanto BBm = mAA1 . Luego, BBm mAA1 m = = AB nAA1 n

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

206

←→

Por Playfair, por B1 , B2 , . . . , Bm , Bm+1 pasan paralelas a AD que cortan a −→ EF en los puntos E1 , E2 , . . . , Em , Em+1 y por el Lema 1. (Teorema fundamental del paralelismo), EE1 ∼ = E1 E2 ∼ = E2 E3 ∼ = ... ∼ = Em Em+1 ,

y F entre E y Em+1 , ya que C esta entre B y Bm+1 luego

o b.) x >

m n

(¿porque no ocurre el caso

eM

m n

o. d

Dos casos pueden ocurrir: a.) x = ?). x< m n a.) Si x = m , entonces n

atem atic

mDD1 m EEm = = DE nDD1 n

as

EEm = mDD1 .

ept

BC m mAA1 BBm =x= = = AB n nAA1 AB

entonces x =

y

BC AB

>

m n

o sea que

y mAA1 < BC < (m + 1)AA1

rsid ad d

BC m > nAA1 n

m n

eA

b.) Supongamos que x >

ntio q

uia

,D

y por lo tanto BC = BBm y como C y Bm est´an del mismo lado con respecto a B entonces por el axioma de construcci´on de segmento, C ≡ Bm , entonces EF m = EE = DE = y. F ≡ Em , luego m n DE

mDD1 < EF < (m + 1)DD1 por lo tanto

Un

ive

EF mDD1 m EF = > = . DE nDD1 nDD1 n m En resumen, hemos demostrado que si x > n entonces y > m . n m . De la misma manera se demuestra que si y > n entonces x > m n , si Hasta aqu´ı, hemos demostrado que para todo n´ umero racional m n m m m x > m entonces y > y rec´ ıprocamente, si y > entonces x > . En n n n n otras palabras, todo n´ umero racional a la izquierda de x esta tambi´en a la izquierda de y y todo n´ umero racional a la izquierda de y esta a la izquierda de x. Todo esto significa que no hay un n´ umero racional entre x e y, ya y=

7.2. PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD

207

que si hubiera un n´ umero racional entre x e y entonces estar´ıa a la izquierda de uno de ellos y a la derecha del otro, lo cual contradice lo demostrado; por lo tanto x = y, es decir: AB DE =  BC EF

as

Corolario 31 (Teorema de Tales en el tri´ angulo). Toda recta paralela a un lado de un tri´angulo y que corte a los otros dos lados, divide a estos lados en segmentos proporcionales.

eM

atem atic

A

F

o. d

E

,D

C

uia

Figura 6.

ept

B

luego

=

FA ; FC

por

EA FA = AE + EB AF + F C

eA

y

EA EB

rsid ad d

FA + FC EA + EB = EB FC

ntio q

Lo que afirma este corolario es que si EF ||BC entonces las propiedades de las fracciones

AB AC = AE AF

ive

AB AC = y EB FC esto demuestra el siguiente corolario.

Un

Corolario 32. Dos lados de un tri´angulo son proporcionales a los segmentos que en ellos determina cualquier recta paralela al tercer lado. El siguiente teorema es el rec´ıproco del Corolario 31 Teorema 92 (Rec´ıproco del Teorema de Tales en el tri´ angulo). Si una recta intercepta dos lados de un tri´angulo en segmentos proporcionales entonces la recta es paralela al tercer lado del tri´angulo.

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

208

A

F l E

F’

C

atem atic

Figura 7.

as

B

l′

AF AE = EB FC

o. d

l ∩ AB = {E}, l ∩ AC = {F },

eM

Demostraci´ on. (Ver Figura 7.) Sea el △ABC y l una recta tal que

luego

AF FC

=

AF ′ F ′C

uia

ntio q

AF ′ AE = ′ EB FC

,D

ept

Por Playfair, por E pasa l′ ||BC la cual intercepta a AC en F ′ , entonces por el Corolario 31 (Teorema de Tales en el tri´angulo), se tiene:

y por las propiedades de las fracciones

FC AF

=

F ′C AF ′

o sea que

que es lo mismo que

rsid ad d

eA

F ′ C + AF ′ F C + AF = AF AF ′

Un

ive

AC AC = AF AF ′ luego AF = AF ′ y por tanto AF ∼ = AF ′ y como F, F ′ est´an del mismo lado con respecto a A entonces por el axioma de construcci´on de segmento F ′ ≡ F y por lo tanto EF ||BC.  En forma similar se demuestran los siguientes rec´ıprocos: Corolario 33 (Rec´ıproco del Corolario 32). Si dos lados de un tri´angulo son proporcionales a los segmentos que en ella determina una recta que intercepta los dos lados, entonces la recta es paralela al tercer lado del tri´angulo.

7.2. PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD

209

A

F

B

C

atem atic

Figura 8.

as

E

o´

AB AC = EB FC

o. d

AB AC = AE AF

eM

Lo que afirma este corolario es que si en el △ABC (Ver Figura 8.)

,D

ept

entonces EF ||BC

ntio q

uia

Teorema 93 (Propiedades m´ etricas de la bisectriz de un tri´ angulo). La bisectriz de un a´ngulo de un tri´angulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados.

eA

Demostraci´ on. (Ver Figura 9.) b en el △ABC con V ∈ IntBC. Veamos que Sea AV bisectriz de A ←→

VB VC

=

AB . AC

ive

rsid ad d

Por Playfair, por C pasa l||AV ; sea {D} = l∩ BA, luego por alternos \ y por correspondientes entre parinternos entre paralelas, V[ AC ∼ = ACD [ ∼ \ pero como AV es bisectriz por hip´otesis, entonces alelas, BAV = ADC, [ ∼ BAV AC, luego = V[ \∼ \ ADC = ACD

Un

y por el teorema del tri´angulo is´osceles, se tiene que △ADC es is´osceles y por lo tanto AD ∼ = AC. Por el corolario 32 (Teorema de Tales en el tri´angulo), VB AB = , VC AD

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

210

l D

o. d ept

VB AB = . VC AC

,D

luego

C

V Figura 9.

uia

B

eM

atem atic

as

A



rsid ad d

eA

ntio q

Teorema 94 (Rec´ıproco del teorema anterior). Si una recta que pasa por el v´ertice de un tri´angulo divide al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados, entonces esta recta es bisectriz del ´angulo ubicado en el v´ertice por donde pasa la recta. Demostraci´ on. (Ver Figura 10.)

←→

ive

Supongamos que en el △ABC se tiene que AV con V ∈ IntBC, tal que VB b = AB . Veamos que AV es bisectriz de A. VC AC ←→

Un

Por Playfair, por C pasa l||AV ; sea {D} = l∩ BA. AB = AD , pero por hip´otesis Como l||AV , entonces por el corolario 32, VV B C VB AB = , VC AC entonces

AB AB = AC AD

7.2. PARALELISMO Y PROPORCIONALIDAD

211

l D

o. d

C

ept

V Figura 10.

,D

B

eM

atem atic

as

A

rsid ad d

eA

ntio q

uia

y por las propiedades de las fracciones AD = AC o sea que AD ∼ = AC, por lo tanto el △ADC es is´osceles y por el Teorema del tri´angulo is´osceles, \∼ \ ADC = ACD. \ y por Por otro lado, por alternos internos entre paralelas, V[ AC ∼ = ACD [ ∼ \ correspondientes entre paralelas, BAV = ADC. b [ ∼ Luego BAV AC, luego AV es bisectriz de A.  = V[

Un

ive

Teorema 95 (Propiedades m´ etricas de la bisectriz exterior de un tri´ angulo). La bisectriz de un a´ngulo exterior de un tri´angulo, que no sea paralela al lado opuesto, divide exteriormente al lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados. Demostraci´ on. (Ver Figura 11.)

←→

[ en el △ABC con V ′ ∈BC y Sea AV ′ bisectriz del a´ngulo exterior EAC V ′B AB ′ B − C − V . Veamos que V ′ C = AC . ←→

Por Playfair, por C pasa l||AV ′ ; sea {D} = l∩ BA, luego por alternos

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

212 E A

l

C

Figura 11.

V’

eM

B

atem atic

as

D

,D

ept

o. d

′ AC ∼ \ y por correspondientes entre painternos entre paralelas, V\ = ACD \ pero como AV ′ es bisectriz por hip´otesis, entonces \′ ∼ ralelas, EAV = ADC, ′ ′ \∼ CAV AE, luego = V\ \∼ \ ADC = ACD

ntio q

uia

y por el teorema del tri´angulo is´osceles, se tiene que △ADC es is´osceles y por lo tanto AD ∼ = AC.

eA

Por el corolario 32 (Teorema de Tales en el tri´angulo),

luego

rsid ad d

V ′B AB = , ′ V C AD



ive

V ′B AB = . V ′C AC

Un

El rec´ıproco de este teorema se deja como ejercicio. Teorema 96 (Rec´ıproco del Teorema anterior). Una recta que pase por el v´ertice de un tri´angulo y divida la prolongaci´on del lado opuesto en segmentos proporcionales a los otros dos lados del tri´angulo, es bisectriz del ´angulo exterior ubicado en este v´ertice.

7.3. SEMEJANZA DE POL´IGONOS

213

Definici´ on 60 (Divisi´ on arm´ onica). Si A y B son dos puntos distintos y ←→

/ AB, decimos que C, D dividen arm´onicaC ∈ IntAB y D ∈AB pero D ∈ mente a AB si CA DA = CB DB A

C

B

D

atem atic

as

Figura 12.

ept

o. d

eM

A los puntos C y D se les llama los conjugados arm´onicos con respecto a A y B. Los puntos A, B, C, D en este orden, se dice que forman una divisi´on arm´onica. Tambi´en, de acuerdo a la definici´on, podemos afirmar que A y B son conjugados arm´onicos con respecto a CD. Por los teoremas 93 y 95 y por la definici´on de conjugado arm´onico, podemos afirmar el siguiente teorema.

uia

,D

Teorema 97. La bisectriz de un a´ngulo de un tri´angulo y la bisectriz del ´angulo exterior adyacente, dividen al lado opuesto arm´onicamente.

7.3.

rsid ad d

eA

ntio q

Nota: de acuerdo a los teoremas anteriores, el lugar geom´etrico de los puntos A tales que la raz´on de las distancias a dos puntos fijos B y C sea una constante k, es una circunferencia de di´ametro V V ′ , donde V, V ′ son los conjugado arm´onicos de BC con raz´on k.

SEMEJANZA DE POL´IGONOS

Un

ive

Definici´ on 61 (Pol´ıgonos semejantes). Decimos que dos pol´ıgonos son semejantes si se puede establecer una correspondencia entre sus lados y sus a´ngulos de tal manera que: 1. Los lados correspondientes son proporcionales. A estos lados tambi´en los llamaremos lados hom´ologos. La raz´on r entre los lados hom´ologos la llamamos raz´on de semejanza. 2. Los a´ngulos correspondientes son congruentes. A los a´ngulos correspondientes congruentes, tambi´en se les llama ´angulos hom´ologos.

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

214

En particular, para los tri´angulos tenemos la siguiente definici´on. Definici´ on 62 (Tri´ angulos semejantes). Decimos que el △ABC es seme′ ′ ′ jante al △A B C , lo cual denotamos as´ı △ABC ∼ △A′ B ′ C ′ , si: AB BC AC = ′ ′ = ′ ′ ′ ′ AB BC AC

b∼ b′ , A =A

(∗),

b∼ c′ (∗∗) C =C

as

A

b∼ c′ , B =B

atem atic eM

B’

o. d

C

a

′

B

b

c′

b

c

A’

C’

,D

ept

Figura 13.

a′

rsid ad d

eA

ntio q

uia

En este caso decimos que los v´ertices A y A′ , B y B ′ , C y C ′ , los lados byA b′ , B b yB c′ , C b yC c′ AB y A′ B ′ , AC y A′ C ′ , BC y B ′ C ′ y los a´ngulos A son hom´ologos o correspondientes. Nota: 1. Con los teoremas que haremos m´as adelante, mostraremos que (*) implica (**) y rec´ıprocamente, (**) implica (*). 2. Por las propiedades de las fracciones, se puede demostrar que si dos tri´angulos son semejantes, entonces sus lados son entre si como sus per´ımetros, es decir, si △ABC ∼ △A′ B ′ C ′ entonces

ive

a b c p = ′ = ′ = ′ =r ′ a b c p

Un

donde p = a + b + c =per´ımetro del △ABC, p′ = a′ + b′ + c′ =per´ımetro del △A′ B ′ C ′ y r es la raz´on de semejanza. 3. La relaci´on de semejanza entre pol´ıgonos es una relaci´on de equivalencia, es decir, es reflexiva, sim´etrica y transitiva (Ejercicio). Definici´ on 63 (Pol´ıgonos congruentes). Decimos que dos pol´ıgonos semejantes, son congruentes si tienen sus lados hom´ologos congruentes.

7.3. SEMEJANZA DE POL´IGONOS

215

Teorema 98. Dos pol´ıgonos semejantes son congruentes si un lado de uno de ellos es congruente con su hom´ologo. A continuaci´on veremos tres criterios de semejanza de tri´angulos.

as

Teorema 99 (Primer criterio de semejanza: Angulo-Angulo (A-A)). Si dos a´ngulos de un tri´angulo son congruentes con dos ´angulos de otro tri´angulo, entonces los dos tri´angulos son semejantes.

atem atic

A

eM

A’

F

C

B’

C’

ntio q

Figura 14.

uia

,D

B

E

ept

D

o. d

l

AC AB = , AD AE

Un

ive

rsid ad d

eA

Demostraci´ on. (Ver Figura 14.) Supongamos que en los tri´angulos △ABC ′ ′ ′ b∼ c′ , C b∼ c′ , entonces por el teorema de la suma y △A B C se tiene que B =B =C b∼ b′ . de los a´ngulos interiores de un tri´angulo, A =A −→ Por el axioma de construcci´on de segmento, existe un punto D ∈ AB y −→ E ∈ AC tales que AD ∼ = A′ B ′ y AE ∼ = A′ C ′ ; unamos D con E, entonces por el criterio L-A-L, el △ADE ∼ = B′C ′, = △A′ B ′ C ′ , por lo tanto DE ∼ c′ , pero por hip´otesis B c′ ∼ b por lo tanto ADE b y por el \ ∼ \ ∼ ADE = B = B, = B teorema de alternos internos (Teorema 31), DE||BC y por el corolario 32, o sea ←→

AB AC = ′ ′ ′ ′ AB AC

(∗)

←→

Por Playfair, por D pasa l|| AC, sea {F } = l∩ BC y por la proposici´on n´ umero 2, DE ∼ = F C y como DE ∼ = B ′ C ′ entonces F C ∼ = B ′ C ′ ; por otro

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

216 lado, por el corolario 32, BC AB = , AD FC

o sea

AB BC = ′ ′ ′ ′ AB BC

(∗∗)

de (*), (**) AB AC BC = ′ ′ = ′ ′, ′ ′ AB AC BC

atem atic

as

hemos mostrado que los tres pares de a´ngulos son congruentes y los tres pares de lados respectivos son proporcionales, por lo tanto △ABC ∼ △A′ B ′ C ′

eM

Se deja como ejercicio los siguientes corolarios.



ept

o. d

Corolario 34 (Paralela a un lado de un tri´ angulo). Una paralela a un lado de un tri´angulo determina otro tri´angulo semejante al primero.

uia

,D

Corolario 35. Si dos tri´angulos rect´angulos tienen un par de ´angulos agudos respectivamente congruentes, entonces son semejantes.

ntio q

Corolario 36. Si dos tri´angulos tienen sus lados respectivamente paralelos o respectivamente perpendiculares, entonces los dos tri´angulos son semejantes.

rsid ad d

eA

Corolario 37. Las alturas y las bisectrices hom´ologas de dos tri´angulos semejantes est´an en la misma raz´on que sus lados hom´ologos. Corolario 38. Dos tri´angulos is´osceles son semejantes si tienen un par de a´ngulos congruentes.

Un

ive

Corolario 39. Todos los tri´angulos equil´ateros son semejantes. Teorema 100 (Segundo criterio de semejanza: P-A-P). Si un a´ngulo de un tri´angulo es congruente con otro a´ngulo de otro tri´angulo y los lados que comprenden al ´angulo en el primer tri´angulo son respectivamente proporcionales a los lados que comprende al a´ngulo en el segundo tri´angulo, entonces los dos tri´angulos son semejantes.

7.3. SEMEJANZA DE POL´IGONOS

217

A A’

B

E C

B’

C’

as

D

atem atic

Figura 15.

uia

,D

ept

o. d

eM

b∼ b′ y Demostraci´ on. (Ver figura 15.) Tomemos por hip´otesis que A =A AC AB = A′ C ′ . Veamos que △ABC ∼ △A′ B ′ C ′ . A′ B ′ −→ −→ Por el axioma de construcci´on de segmento, existen D ∈ AB y E ∈ AC tales que AD ∼ = A′ B ′ y AE ∼ = A′ C ′ , por lo tanto, por el criterio L-A-L, ′ ′ ′ ∼ △ADE = △A B C . AC AB AC Por otro lado, como AAB ′ B ′ = A′ C ′ entonces AD = AE y por el corolario 33 (rec´ıproco del corolario 32), DE||BC

ntio q

Por lo tanto, por el corolario 34, △ADE ∼ △ABC y por transitividad △ABC ∼ △A′ B ′ C ′

eA



rsid ad d

Corolario 40. Dos tri´angulos rect´angulos son semejantes si sus catetos son respectivamente proporcionales. Corolario 41. Las medianas hom´ologas de dos tri´angulos semejantes, estan en la misma raz´on que sus lados hom´ologos.

Un

ive

Teorema 101 (Tercer criterio de semejanza:P-P-P). Si los tres lados de un tri´angulo son respectivamente proporcionales a los tres lados de otro tri´angulo, entonces los dos tri´angulos son semejantes. Demostraci´ on. (Ver Figura 16.) Tomemos por hip´otesis que AC BC AB = ′ ′ = ′ ′ ′ ′ AB AC BC

(∗)

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

218 A

A’

E

B

C

B’

C’

as

D

atem atic

Figura 16.

AC AB = AD AE

,D uia

DE||BC

ept

y por el corolario 33 (rec´ıproco del corolario 32),

o. d

eM

−→ −→ Por el axioma de construcci´on de segmento, existen D ∈ AB y E ∈ AC tales que AD ∼ = A′ B ′ y AE ∼ = A′ C ′ , sustituyendo en (*),

o sea que

AB BC = ′ ′ AB DE

(∗∗),

eA

BC AB = AD DE

ntio q

Por lo tanto, por el corolario 34, △ADE ∼ △ABC, de esta semejanza se concluye que

pero por hip´otesis

rsid ad d

AB BC = ′ ′ (∗ ∗ ∗) ′ ′ AB BC de (**) y (***) y por las propiedades de las fracciones: DE = B ′ C ′ o sea que

ive

DE ∼ = B′C ′

Un

y por lo tanto, por el tercer criterio de congruencia de tri´angulos L-L-L: △ADE ∼ = △A′ B ′ C ′ y como △ADE ∼ △ABC, entonces por transitividad, △ABC ∼ △A′ B ′ C ′ .



Corolario 42. Si las bases de dos tri´angulos is´osceles son entre si como sus otros lados, entonces los tri´angulos son semejantes.

´ ´ 7.4. SEMEJANZA EN EL TRIANGULO RECTANGULO

7.4.

219

´ SEMEJANZA EN EL TRIANGULO ´ RECTANGULO

Los resultados de aplicar los conceptos de semejanza al tri´angulo rect´angulo son de mucha importancia, pues obtendremos el teorema de Pit´agoras y aplicaciones al tri´angulo y a los cuadril´ateros, a las a´reas, etc.

atem atic

as

Definici´ on 64. a. La proyecci´on ortogonal de un punto exterior a una recta, es el punto de intersecci´on de una recta perpendicular desde el punto a la recta.

eM

b. La proyecci´on ortogonal de un segmento sobre una recta es el segmento determinado por las proyecciones ortogonales de los extremos del segmento sobre la recta.

A

,D

A’

l

B

B’

ntio q

uia

P’

ept

o. d

P

eA

Figura 17.

rsid ad d

En la Figura 17., la proyecci´on ortogonal del punto P sobre la recta l es −−→ −−→ el punto P ′ , ya que l ⊥ P P ′ y {P ′ } = l ∩ P P ′ .

Un

ive

La proyecci´on ortogonal del segmento AB sobre la recta l es el segmento donde A′ y B ′ son las proyecciones ortogonales sobre l de A y B respectivamente. A′ B ′ ,

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

220

Teorema 102 (Proporcionalidad en el tri´ angulo rect´ angulo). Si en un tri´angulo rect´angulo se traza la altura correspondiente a la hipotenusa, entonces: a. Los dos nuevos tri´angulos que resultan, son semejantes entre si y semejantes al tri´angulo original.

atem atic

as

b. La altura es media proporcional entre los segmentos que ella determina sobre la hipotenusa. c. Cada cateto es media proporcional entre la hipotenusa y la proyecci´on del cateto sobre la hipotenusa.

B

ntio q

D Figura 18.

uia

A

,D

ept

o. d

eM

C

eA

Demostraci´ on. (Ver Figura 18.)

rsid ad d

a. Sabemos por el corolario 35, que si dos tri´angulos rect´angulos tienen un a´ngulo agudo congruente, entonces los dos tri´angulos son semejantes, por lo tanto

y por transitividad

△CDB ∼ △ABC

ive

△ADC ∼ △ABC,

Un

△ADC ∼ △ABC ∼ △CDB \∼ \ y ACD \∼ \ entonces la b. Como △ADC ∼ △CDB y CAD = DCB = CBD relaci´on entre los lados hom´ologos del △ADC con los lados hom´ologos del △CDB es △ADC AD AC DC : = = △CDB CD CB DB

´ ´ 7.4. SEMEJANZA EN EL TRIANGULO RECTANGULO

221

luego CD2 = AD · DB o sea que CD es media proporcional entre AD y DB. b es com´ \ ∼ [ y el a´ngulo A c. Como △ADC ∼ △ABC y ACD un, = CBA entonces la relaci´on entre los lados hom´ologos del △ADC con los lados hom´ologos del △ABC es AD AC DC = = AC AB CB

as

△ADC : △ABC

atem atic

luego AC 2 = AD · AB o sea que AC es media proporcional entre AD y AB. b es com´ \ ∼ [ y el ´angulo B Como △CDB ∼ △ABC, BCD un, se = CAB demuestra en forma similar que

eM

CB 2 = AB · DB

o. d

o sea que CB es media proporcional entre AB y DB.



rsid ad d

D Figura 19.

uia B

ive

A

eA

ntio q

C

,D

ept

Teorema 103 (Teorema de Pit´ agoras). El cuadrado de la medida de la hipotenusa en un tri´angulo rect´angulo es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los catetos.

Un

Demostraci´ on. (Ver Figura 19.) Sea △ABC un tri´angulo rect´angulo en C y sea CD la altura relativa a la hipotenusa, entonces por la parte c. del anterior teorema: AC 2 = AD · AB,

CB 2 = AB · DB

y sumando estas dos expresiones, tenemos AC 2 + CB 2 = AD · AB + AB · DB = AB(AD + DB) = AB · AB = AB 2 

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

222

Teorema 104 (Rec´ıproco del teorema de Pit´ agoras). Si en un tri´angulo el cuadrado de la medida de un lado es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados, entonces el tri´angulo es rect´angulo. m A

C

B’

l C’

o. d

B

eM

atem atic

as

A’

ept

Figura 20.

rsid ad d

eA

ntio q

uia

,D

Demostraci´ on. (Ver Figura 20.) Sea el △ABC tal que AC 2 = AB 2 + BC 2 . Veamos que el △ABC es rect´angulo en B. Para ello, construyamos un tri´angulo △A′ B ′ C ′ rect´angulo en B ′ , as´ı : en una recta l fijo un punto B ′ , por el axioma de construcci´on de segmento, existe un punto C ′ en una de las semirrectas determinadas por B ′ en l, tal que B ′ C ′ ∼ = BC; por el teorema de la perpendicular por un punto de una recta, por B ′ pasa m ⊥ l, por el axioma de construcci´on de segmento, existe un punto A′ en una de las semirrectas determinadas por B ′ en m, tal que B ′ A′ ∼ = BA, por lo tanto el △A′ B ′ C ′ es ′ rect´angulo en B . Por el teorema de Pit´agoras A′ C ′2 = A′ B ′2 + B ′ C ′2 .

ive

Pero por hip´otesis AC 2 = AB 2 + BC 2 , luego A′ C ′2 = AC 2 y por tanto

Un

A′ C ′ = AC

En los tri´angulos △ABC y △A′ B ′ C ′ se tiene: AC = A′ C ′ ,

AB = A′ B ′ ,

luego, por el criterio L-L-L, se tiene que △ABC ∼ = △A′ B ′ C ′

BC = B ′ C ′

´ 7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

223

′ B ′ C ′ y como A ′ B ′ C ′ es recto, entonces △ABC es rect´ [ ∼ \ luego ABC angulo = A\ en B. 

7.5.

APLICACIONES DEL TEOREMA DE ´ PITAGORAS

atem atic

as

Con los siguientes teoremas se demuestra la ley de cosenos en trigonometr´ıa. Teorema 105 (Ley de cosenos).

o. d

eM

a. En un tri´angulo obtus´angulo, el cuadrado de la medida del lado opuesto al a´ngulo obtuso es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados, m´as el doble producto de la medida de uno de estos lados por la proyecci´on del otro sobre ´el.

ntio q

uia

,D

ept

b. En un tri´angulo cualquiera, el cuadrado de la medida del lado opuesto al a´ngulo agudo es igual a la suma de los cuadrados de las medidas de los otros dos lados, menos el doble producto de la medida de uno de estos lados por la proyecci´on del otro sobre ´el.

Demostraci´ on. a.) (Ver Figura 21.(a)) Supongamos que en el △ABC el ←→ [ es obtuso y sea BH la proyecci´on de AB sobre BC y sea BH1 a´ngulo ABC

eA

←→

rsid ad d

la proyecci´on de BC sobre AB, por el Teorema 36, H − B − C y A − B − H1 ; veamos que AC 2 = AB 2 + BC 2 + 2 · BC · BH

y AC 2 = AB 2 + BC 2 + 2 · AB · BH1

Un

ive

Demostremos la primera expresi´on, la otra se hace en forma similar. Por el teorema de Pit´agoras en el △AHB se tiene AB 2 = AH 2 + HB 2

(∗)

Por el teorema de Pit´agoras en el △AHC se tiene AC 2 = AH 2 + HC 2

(∗∗)

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

224 A

A

H1

C

H

B

C

atem atic

H1

H

as

B

(a)

(b)

o. d

eM

Figura 21.

ept

restando (**) y (*): AC 2 −AB 2 = HC 2 −HB 2 (∗∗∗), pero como H −B −C, entonces HC = HB + BC y sustituyendo en (***) y despejando

ntio q

uia

,D

AC 2 = AB 2 + (HB + BC)2 − HB 2 = AB 2 + HB 2 + BC 2 + 2 · HB · BC − HB 2 = AB 2 + BC 2 + 2 · BC · HB

eA

[ es b.) (Ver Figura 21.(b)). Supongamos que en el △ABC el ´angulo ABC ←→

agudo y sea BH la proyecci´on de AB sobre BC y sea BH1 la proyecci´on de ←→

rsid ad d

BC sobre AB, por el Teorema 36, B − H − C y B − H1 − A; veamos que AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 · BC · BH

y AC 2 = AB 2 + BC 2 − 2 · AB · BH1

Un

ive

Demostremos la primera expresi´on, la otra se hace en forma similar. Por el teorema de Pit´agoras en el △AHB se tiene AB 2 = AH 2 + HB 2

(∗)

Por el teorema de Pit´agoras en el △AHC se tiene AC 2 = AH 2 + HC 2

(∗∗)

´ 7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

225

restando (**) y (*): AC 2 −AB 2 = HC 2 −HB 2 (∗∗∗), pero como B −H −C, entonces HC = BC − HB y sustituyendo en (***) y despejando AC 2 = AB 2 + (BC − HB)2 − HB 2 = AB 2 + BC 2 + HB 2 − 2 · BC · HB − HB 2 = AB 2 + BC 2 − 2 · BC · HB

as

Teorema 106 (Teorema de Stewart).



atem atic

En el △ABC, D ∈ IntBC. Si BD = m, DC = n, AD = d, entonces d2 a = b2 m + c2 n − amn

c

b

a

,D

m

H n

uia

D

C

ntio q

B

ept

d

o. d

eM

A

rsid ad d

eA

Figura 22.

Un

ive

Demostraci´ on. (Ver Figura 22.) Sea D ∈ BC en el △ABC, sea DH la ←→ \ pueden suceder tres casos: i. que proyecci´on de AD sobre BC; con el ADB sea obtuso, ii. que sea recto, iii. que sea agudo. Mostremos el primer caso, los otros casos son similares. \ es obtuso, entonces por el Teorema 36 B − D − H y ADC \ es Como ADB agudo y BD + DC = BC; por el teorema anterior (ley de cosenos) en el △ADB y en el △ADC: AB 2 = AD2 + BD2 + 2 · BD · DH

(∗)

AC 2 = AD2 + DC 2 − 2 · DC · DH

(∗∗)

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

226

multiplicando (*) por DC y (**) por BD y luego sumando: AB 2 · DC + AC 2 · BD = AD2 · (DC + BD) + BD2 · DC + DC 2 · BD = AD2 · BC + BD · DC(DC + BD) = AD2 · BC + BD · DC · BC luego AD2 · BC = AB 2 · DC + AC 2 · BD − BD · DC · BC es decir, 

atem atic

as

d2 a = b2 m + c2 n − amn.

ept

o. d

eM

Teorema 107. a.) La suma de los cuadrados de las medidas de dos lados de un tri´angulo es igual a dos veces el cuadrado de la medida de la mediana del tercer lado m´as la mitad del cuadrado de la medida del tercer lado. b.) La diferencia de los cuadrados de las medidas de dos lados de un tri´angulo es igual a dos veces el producto de la medida del tercer lado por la proyecci´on de la mediana correspondiente a este lado.

M

b

ntio q

B

ma

H

C

rsid ad d

a

eA

c

uia

,D

A

ive

Figura 23.

Un

Demostraci´ on. (Ver Figura 23.) En el △ABC, sea M el punto medio de BC, ma la mediana relativa al lado BC y M H la proyecci´on de la mediana ←→ \ B AM = ma sobre BC, supongamos que AB > AC. Con el ´angulo AM pueden suceder tres casos: i. es obtuso, ii. es recto, iii. es agudo. Tomemos el caso i. y veamos que a.) c2 + b2 = 2 · m2a + 12 a2 b.) c2 − b2 = 2 · a · M H.

´ 7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

227

\ \ En efecto, como AM B es obtuso entonces AM C es agudo, luego por el teorema de la ley de cosenos en el △AM B y en el △AM C: AB 2 = AM 2 + BM 2 + 2 · BM · M H

(∗)

AC 2 = AM 2 + M C 2 − 2 · M C · M H

(∗∗)

as

sumando (*) y (**) y teniendo en cuenta que M es punto medio, o sea que M B = M C, entonces

o. d

eM

atem atic

AB 2 + AC 2 = 2 · AM 2 + BM 2 + M C 2  BC 2  BC 2 = 2 · AM 2 + + 2 2  BC 2 1 = 2 · AM 2 + 2 = 2 · AM 2 + BC 2 2 2 1 2 2 2 2 c + b = 2 · ma + · a 2

,D

ept

restando (*) y (**) y teniendo en cuenta que M es punto medio, o sea que M B = M C,:

ntio q

uia

AB 2 − AC 2 = 4 · M B · M H  BC  · M H = 2 · BC · M H =4 2 c 2 − b2 = 2 · a · M H



Un

ive

rsid ad d

eA

Teorema 108 (Altura en funci´ on de los lados). En un △ABC cuyos lados miden: BC = a, AC = b, AB = c; las alturas miden: 2p ha = p(p − a)(p − b)(p − c) a 2p p(p − a)(p − b)(p − c) hb = b 2p hc = p(p − a)(p − b)(p − c) c =semi-per´ımetro. donde p = a+b+c 2 Demostraci´ on. (Ver Figura 24.)Sea ha = AH la altura relativa al lado BC, con H pueden ocurrir los siguientes casos i. B − H − C, ii. B − C − H o

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

228

A

c

b

ha H

B

C

as

a

atem atic

Figura 24.

ept ,D

c2 = h2a + BH 2 b2 = h2a + CH 2

o. d

eM

H − B − C, iii. H ≡ B o H ≡ C. Mostremos el caso i. y supongamos que c > b (ver la Figura 24.), el caso c < b es similar, el caso c = b se deja como ejercicio; como los tri´angulos △AHB y △AHC son rect´angulos, entonces por el teorema de Pit´agoras: (7.1) (7.2)

ntio q

uia

Como B − H − C entonces HC = a − BH, sustituyendo en 7.2 b2 = h2a + (a − BH)2 = h2a + a2 + BH 2 − 2aBH

rsid ad d

eA

y por 7.1 en la expresi´on anterior

(7.3)

b2 = h2a + a2 + c2 − h2a − 2aBH = a2 + c2 − 2aBH

ive

como a 6= 0, ya que A, B, C son tres puntos distintos no colineales, despejando BH en la expresi´on anterior

Un

BH =

a2 + c 2 − b 2 2a

y sustituyendo en 7.1 c2 = h2a +

a2 + c 2 − b 2 2a

!2

´ 7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

229

despejando h2a 2

h2a

2

=c −

2

a +c −b 2a

2

!2

(a2 + c2 − b2 )2 4a2 c2 − (a2 + c2 − b2 )2 =c − = 4a2 4a2 2

(2ac + a2 + c2 − b2 )(2ac − a2 − c2 + b2 ) ((a + c)2 − b2 )(b2 − (a − c)2 ) = 4a2 4a2 (a + c + b)(a + c − b)(b + a − c)(b − a + c) = 4a2 (a + b + c)(a + c − b)(a + b − c)(b + c − a) (7.4) = 4a2 a+b+c 2

entonces a + b + c = 2p y tambi´en

p−a=

a + b + c − 2a b+c−a a+b+c −a= = 2 2a 2

eM

Como p =

atem atic

as

=

ept

o. d

por lo tanto b + c − a = 2(p − a) Similarmente a + b − c = 2(p − c) y a + c − b = 2(p − b), sustituyendo en 7.4 2p · 2(p − a) · 2(p − b) · 2(p − c) 4 = 2 · p · (p − a) · (p − b) · (p − c) 2 4a a por lo tanto 2p p · (p − a) · (p − b) · (p − c).  ha = a

´ CONSTRUCCIONES BASICAS

eA

7.5.1.

ntio q

uia

,D

h2a =

rsid ad d

1. Dividir un segmento en n segmentos congruentes, con n entero positivo.

Un

ive

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos (Ver Figura 25.). −−→ • Por A trazo una semirrecta AX cualesquiera, tal que A, B y X sean tres puntos distintos no colineales. −−→ • Con centro en A y radio cualesquiera, trazo arco que corta a AX en A1 . −−→ • Con centro en A1 y el mismo radio, trazo arco que corta a AX en A2 de tal manera que A − A1 − A2 ; similarmente se hallan los puntos A3 , . . . , An−1 , An .

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

230

X

An An−1 A2 A1 C1

B

C2 Cn−1 Figura 25.

atem atic

as

A

eM

• Uno An con B y por An−1 , An−2 , . . . , A2 , A1 trazo paralelas a An B las cuales cortan a AB en Cn−1 , Cn−2 , . . . , C2 , C1 . • AC1 ∼ = C1 C2 ∼ = ··· ∼ = Cn−1 B Justificaci´ on. Como

o. d

AA1 ∼ = A1 A2 ∼ = ··· ∼ = An−1 An

ept

y

,D

BAn k Cn−1 An−1 k · · · k C1 A1

uia

entonces por el Teorema fundamental del paralelismo (Lema 1),

ntio q

AC1 ∼ = C1 C2 ∼ = ··· ∼ = Cn−1 B

rsid ad d

eA

2. Dividir un segmento dado en una proporci´on dada pq , donde p, q son enteros positivos. X

A

Un

ive

P

Q

C

B

Figura 26.

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos (Ver Figura 26.).

´ 7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

231

−−→ • Por A trazo una semirrecta AX cualesquiera, tal que A, B y X sean tres puntos distintos no colineales. −−→ • Con centro en A y radio cualesquiera, trazo arco que corta a AX en A1 , este procedimiento lo efect´ uo p veces hasta completar un segmento AP de longitud pAA1 , a continuaci´on de este segmento y utilizando la misma medida AA1 construyo el segmento P Q de longitud qAA1 .

atem atic

as

• Uno Q con B y por P trazo paralela a QB la cual corta a AB en C. • el punto C es el punto pedido.

o. d

ept

CA p pAA1 = = CB qAA1 q

eM

Justificaci´ on. Como QB k P C, entonces por el Corolario 31 (Teorema de Tales en el tri´angulo)

,D

3. Hallar la cuarta proporcional de tres segmentos dados: a, b, c.

Figura 27.

B

X

ive

C

rsid ad d

eA

P A

Y

ntio q

uia

Q

Un

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos (Ver Figura 27.). −−→ • Trazo una semirrecta AX cualesquiera, −→ • Trazo una semirrecta AY cualesquiera, que no este contenida en ←→

la recta AX

−→ • Con centro en A y radio a, trazo arco que corta a AY en P .

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

232

−→ • Con centro en P y radio b, trazo arco que corta a AY en Q, tal que A − P − Q. −−→ • Con centro en A y radio c, trazo arco que corta a AX en C. −−→ • Uno P con C y por Q trazo paralela a P C la cual corta a AX en B. • el segmento CB es el segmento pedido.

o sea

a c = b CB

eM

AC AP = PQ CB

atem atic

as

Justificaci´ on. Como P C k QB, entonces por el Corolario 31 (Teorema de Tales en el tri´angulo)

o. d

4. Dado C ∈ AB, hallar el conjugado arm´onico de C con respecto a AB.

ept

P

C

B

D

eA

ntio q

A

uia

,D

Q

rsid ad d

Figura 28.

ive

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos (Ver Figura 28.).

Un

• Trazo circunferencia de centro A y radio AC.

• Trazo circunferencia de centro B y radio BC.

• En la circunferencia C(A, AC), trazo un radio cualesquiera AP no paralelo a AB.

• Por B trazo, en la circunferencia C(B, BC), el radio BQ tal que BQ k AP

´ 7.5. APLICACIONES DEL TEOREMA DE PITAGORAS

233

←→

• Uno P con Q y prolongo hasta cortar la recta AB en D . • el punto D es el conjugado de C con respecto a AB.

atem atic

as

Justificaci´ on. Como BQ k AP entonces △ADP ∼ △BDQ entonces, teniendo en cuenta que AP y BQ son radios en las respectivas circunferencias, AP DA CA DA = o sea = BQ DB CB DB

eM

5. Dado AB y dada la proporci´on pq , donde p, q son enteros positivos. HaCA DA llar C, D conjugados arm´onicos de AB tal CB = DB = pq .

X

o. d

P Y

,D

C

B

D

uia

A

ept

Q

ntio q

R Z

rsid ad d

eA

Figura 29.

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos (Ver Figura 29.).

Un

ive

←→ −−→ • Trazo una semirrecta cualquiera AX que no este contenida en AB. −−→ −−→ −−→ • En el mismo semiplano, trazo la semirrecta BY tal que BY k AX −→ −−→ y trazo tambi´en la semirrecta BZ opuesta a la semirrecta BY . −−→ • Sobre la semirrecta AX y con la misma unidad de medida α, trazo el segmento AP tal que AP = p · α. −−→ • Sobre la semirrecta BY y con la misma unidad de medida α, trazo el segmento BQ tal que BQ = q · α.

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

234

−→ • Sobre la semirrecta BZ y con la misma unidad de medida α, trazo el segmento BR tal que BR = q · α. ←→

• Uno P con Q y prolongo hasta cortar la recta AB en D . • Uno P con R el cual corta a AB en C .

as

• Los puntos C y D son conjugados arm´onicos con respecto a AB bajo la raz´on pq .

△AP D ∼ △BQD o sea

DA p·α p = = DB q·α q

AP CA = CB BR

o sea

CA p·α p = = CB q·α q

luego

o. d

eM

DA AP = DB BQ

uia

DA CA = CB DB

ept

y tambi´en

y △AP C ∼ △BRC

,D

entonces,

atem atic

Justificaci´ on. Como AX k Y Z entonces

ntio q

6. Hallar la media proporcional de dos segmentos a y b dados.

D

O B Figura 30.

C

l

Un

A

ive

rsid ad d

eA

X

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos (Ver Figura 30.). • Sobre una recta l fijo un punto A.

7.6. APLIC. DE LA SEMEJANZA A LA CIRCUNFERENCIA

235

• Con centro en A y radio a trazo arco que corta a l en B.

• Con centro en B y radio b trazo arco que corta a l en C, tal que A − B − C. −−→ • Por B trazo BX ⊥ l. • Hallo O punto medio de AC.

as

• Trazo semicircunferencia de centro O y radio OA, la cual corta a −−→ BX en D.

atem atic

• El segmento BD es media proporcional entre a y b.

o. d

BD2 = BA · BC = a · b

eM

Justificaci´ on. Como AC es di´ametro, entonces △ACD es rect´angulo y como DB es altura relativa a la hipotenusa en dicho tri´angulo, entonces, por el Teorema 102 (Proporcionalidad en el tri´angulo rect´angulo)

,D

APLICACIONES DE LA SEMEJANZA A LA CIRCUNFERENCIA

ntio q

uia

7.6.

ept

es decir BD es media proporcional entre a y b.

rsid ad d

eA

Teorema 109 (Teorema de Tolomeo). En un cuadril´atero c´ıclico, el producto de las medidas de las diagonales es igual a la suma de los productos de las medidas de los lados opuestos. Demostraci´ on. (Ver Figura 31.) Por el axioma de construcci´on de ´angulo, −→ existe una semirrecta AF ⊂ ←→ con F sobre la circunferencia, tal que AB: C \∼ [ , sea {E} = AF ∩ DB y como CAF [ ∼ [ entonces por el DAC = BAF = CAF \∼ [ axioma de suma (o resta) de a´ngulos congruentes, DAF = BAC \ ∼ [ y DCA \ ∼ [ (por En los △ADC y △AEB se tiene: DAC = ABE = BAF Teorema del a´ngulo inscrito), entonces por el criterio A-A:

Un

ive

π

△ADC ∼ △AEB luego

△ADC : △AEB

AD AC DC = = AE AB EB

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

236

A d a

D c

E

C

B

atem atic

as

b F

eM

Figura 31.

luego

o. d

AC · EB = DC · AB

(∗)

,D

ept

\ ∼ [ y ADE \ ∼ [ (por En los △DAE y △ABC se tiene: DAE = BAC = ACB Teorema del a´ngulo inscrito), entonces por el criterio A-A:

luego

ntio q

△DAE : △ABC

DA DE AE = = AC BC AB

eA

luego

uia

△DAE ∼ △ABC

sumando (*) y (**):

rsid ad d

DA · BC = DE · AC

(∗∗)

es decir,

ive

DC · AB + DA · BC = AC · EB + DE · AC = AC(EB + DE) = AC · BD

Un

AC · BD = a · c + b · d.



Teorema 110. Si dos cuerdas se interceptan en el interior de una circunferencia entonces el producto de las medidas de los segmentos determinados por el punto de intersecci´on en una de las cuerdas es igual al producto de las medidas de los segmentos determinados en la otra cuerda.

7.6. APLIC. DE LA SEMEJANZA A LA CIRCUNFERENCIA

237

C A

X

O

D

as

B

atem atic

Figura 32.

,D

luego

ept

△AXC ∼ = △BXD

o. d

eM

Demostraci´ on. (Ver Figura 32.) Sean AB y CD cuerdas tales que {X} = AB ∩ CD y A − X − B y C − X − D. En los △AXC y △BXD se tiene \∼ \ y por el Teorema del ´angulo que: por opuestos por el v´ertice AXC = BXD \∼ \ luego por el criterio A-A, inscrito CAX = XDB,

rsid ad d

eA

ntio q

uia

XA AC XC △AXC : = = △BXD XD BD XB o sea que XA · XB = XC · XD Nota: 1.) Obs´ervese que si por ejemplo el punto X ≡ A ≡ C, es decir, los dos segmentos se cortan sobre la circunferencia, entonces tambi´en se cumple que XA · XB = XC · XD = 0. 2.) El resultado de este teorema nos muestra que para cualquier cuerda que pase por el punto X se cumple que XA · XB permanece constante o sea que este producto no depende de la cuerda, sino del punto X. 

Un

ive

El siguiente teorema se deja como ejercicio, es el rec´ıproco del teorema anterior. Teorema 111. Si dos segmentos se interceptan en un punto que esta en el interior de los dos segmentos y el producto de las medidas de los segmentos determinados por el punto de intersecci´on en el primer segmento es igual al producto de las medidas de los segmentos determinados por el punto en el segundo segmento, entonces los extremos de los segmentos est´an sobre una circunferencia.

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

238

Teorema 112. Si desde un punto X exterior a una circunferencia se trazan dos semirrectas secantes l y m que cortan a la circunferencia en A, B y C, D respectivamente, entonces XA · XB = XC · XD

atem atic

as

A

B

eM

O

C

X

o. d

D

uia

,D

ept

Figura 33.

luego

luego

XA XD AD = = XC XB BC

ive

△XAD : △XBC

rsid ad d

eA

ntio q

\∼ Demostraci´ on. (Ver Figura 33.) Por el Teorema del a´ngulo inscrito BAD = b \ BCD y el X es com´ un para los △XAD y △XBC entonces por el criterio A-A △XAD ∼ △XBC

Un

XA · XB = XC · XD Nota: El resultado de este teorema nos muestra que para cualquier semirrecta que pase por el punto X se cumple que XA · XB permanece constante o sea que este producto no depende de la semirrecta, sino del punto X.  El rec´ıproco del anterior teorema tambi´en es cierto, se deja como ejercicio.

7.6. APLIC. DE LA SEMEJANZA A LA CIRCUNFERENCIA

239

Teorema 113 (Rec´ıproco). Si desde un punto X se trazan dos semirrectas l y m y A, B son puntos de l y C, D son puntos de m, tales que XA · XB = XC · XD, entonces los puntos A, B, C, D est´an sobre una circunferencia.

eM

atem atic

as

Teorema 114. Si desde un punto exterior a una circunferencia se trazan dos semirrectas, una tangente y la otra secante, entonces el segmento entre el punto y el punto de tangencia es media proporcional entre los segmentos determinados entre el punto exterior y los puntos de intersecci´on de la secante con la circunferencia.

ept

o. d

A

B

uia

,D

O

ntio q

M

C

X

rsid ad d

eA

Figura 34.

ive

Demostraci´ on. (Ver Figura 34.) Como por el teorema del ´angulo semi⌢ b es com´ \ = 1 CM B y X inscrito el BCX un para los △XAC y △XBC, en2 tonces por el criterio A-A, luego

luego

Un

△XAC ∼ △XBC,

△XAC : △XBC

XA XC AC = = XC XB BC

XA · XB = XC · XC = XC 2 .



CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

240

7.7.

EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES

Definici´ on 65 (Potencia de un punto con respecto a una circunferencia). La potencia de un punto X con respecto a una circunferencia C(O, r) es el producto XA · XB, donde A y B son los puntos de intersecci´on de la circunferencia con una recta que pasa por X.

atem atic

as

Notaci´ on: la potencia del punto X con respecto a la circunferencia C(O, r) se denota por pX;O , es decir, pX;O = XA · XB

o. d

eM

Nota a.) De acuerdo a los teoremas 110 y 112, todas las rectas que pasan por el punto X tienen igual potencia, por lo tanto, la potencia depende solamente del punto y la circunferencia. b.) Si X es un punto exterior a la C(O, r) y d es la distancia del punto X al centro O de la circunferencia, entonces (ver la Figura 35.)

,D

ept

pX;O = XA · XB = (XO + OA)(XO − OB) = (d + r)(d − r) = d2 − r2 ←→

B

X

Un

ive

A

rsid ad d

O

eA

ntio q

uia

donde A, B son los puntos de intersecci´on de la recta XO con la C(O, r). En este caso pX;O > 0, ya que d > r

Figura 35.

c.) Con el punto X y la circunferencia C(O, r) pueden suceder tres casos: 1. X ∈ ExtC(O, r), en este caso vimos que pX;O > 0, ya que d > r 2. X ∈ IntC(O, r), en este caso pX;O = d2 − r2 < 0, ya que d < r

7.7. EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES

241

3. X ∈ C(O, r), en este caso pX;O = d2 − r2 = 0, ya que d = r En resumen, la potencia es positiva en el exterior de la circunferencia, negativa en el interior de la circunferencia y es cero cuando el punto esta sobre la circunferencia.

as

d.) Si X ≡ O, entonces d = 0 y por tanto pX;O = d2 − r2 = −r2 , este es el valor m´ınimo de la potencia, ya que d = 0 es el valor m´ınimo de d.

eM

atem atic

e.) Por el teorema 114, la potencia de un punto exterior a una circunferencia es igual al cuadrado de la medida del segmento tangente desde el punto X a la circunferencia C(O, r), es decir, pX;O = XT 2 , donde T es el punto de tangencia.

o. d

f.) La potencia de un punto interior a una circunferencia es negativa e igual al cuadrado de la semi-cuerda perpendicular al di´ametro que pasa por el punto.

,D

ept

C

uia

O

X

B

eA

ntio q

A

D

rsid ad d

Figura 36.

Un

ive

(Ver Figura 36.) En efecto, sea AB di´ametro y X ∈ AB y sea CD una cuerda tal que CD ∩ AB = {X} y AB⊥CD, por tanto X es punto medio de CD, entonces 2  CD 2 2 pX;O = −XA · XB = −XC · XD = −XC = −XD = − 2

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

242

Teorema 115 (Teorema del eje radical). El lugar geom´etrico de los puntos de igual potencia con respecto a dos circunferencias no conc´entricas, es una recta perpendicular a la recta que pasa por los centros. Demostraci´ on. (Ver Figura 37.) Sean las circunferencias C(O, r) y C(O′ , r′ ), sea M el punto medio de OO′ y sea X un punto tal que pX;O = pX;O′ (∗), sea ←→ ←→

as

H la proyecci´ on de X sobre OO′ , veamos que cualquiera que sea el punto

atem atic

X con la propiedad (*), tendr´a como proyecci´on sobre OO′ el punto H.

o. d

eM

X

H M

O’

ntio q

Figura 37.

uia

,D

ept

O

rsid ad d

eA

En efecto, por la hip´otesis, por la propiedad b.) hecha en la nota anterior y por el Teorema 107 b), se tiene pX;O = pX;O′

(XO) − (r)2 = (XO′ )2 − (r′ )2 por la propiedad b) (XO)2 − (XO′ )2 = (r)2 − (r′ )2 2 · OO′ · M H = (r)2 − (r′ )2 por el Teorema 107 b) (r)2 − (r′ )2 luego M H = 2 · OO′

Un

ive

2

como r, r′ , OO′ son constantes y OO′ 6= 0, entonces M H es constante y como M es fijo entonces H es fijo, cualquiera sea el punto X, por lo tanto los puntos X que cumplen con la propiedad (*) est´an sobre una recta perpendicular a ←→

OO′ .



7.7. EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES

243

La recta cuya existencia esta garantizada por el anterior teorema, le damos el siguiente nombre: Definici´ on 66 (Eje Radical). La recta cuyos puntos tienen igual potencia con respecto a dos circunferencias, se le llama Eje Radical. Propiedades del Eje Radical.

atem atic

as

1. Si las dos circunferencias se interceptan, entonces el eje radical pasa por los puntos de intersecci´on, ya que cada punto de intersecci´on tiene potencia igual a cero con respecto a las dos circunferencias.

,D

ept

o. d

eM

2. Si las dos circunferencias son tangentes, entonces el eje radical es la tangente com´ un a ambas circunferencias, ya que la potencia en el punto de tangencia es cero con respecto a las dos circunferencias y la tangente com´ un es perpendicular a la recta que pasa por los centros de las dos circunferencias.

uia

3. Si las dos circunferencias son conc´entricas y distintas, entonces no hay eje radical, ya que d2 − r2 6= (d′ )2 − (r′ )2

ntio q

Teorema 116 (Propiedades del Eje Radical).

rsid ad d

eA

a.) Las tangentes desde un punto del Eje Radical a las dos circunferencias, son congruentes.

Un

ive

b.) Los Ejes Radicales de tres circunferencias, cuyos centros son no colineales, tomados de dos en dos, son concurrentes, (este punto de concurrencia se le llama Centro Radical). Demostraci´ on. a.) (ver Figura 38.) Sea X un punto del Eje Radical y sean XT y XT1 tangentes a las circunferencias C(O, r) y C(O′ , r′ ) en T y T1 respectivamente, entonces por el Teorema 114 pX;O = XT 2 y pX;O′ = XT12 y como X pertenece al Eje Radical, entonces pX;O = pX;O′ luego XT 2 = XT12

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

244

X T T1

H O

atem atic

as

O’

eM

Figura 38.

o. d

luego XT = XT1 , o sea que XT ∼ = XT1 b.)(ver Figura 39.) Sea l el Eje Radical de C(O, r) y C(O′ , r′ ) y sea l′ el ←→

←→

,D

ept

Eje Radical de C(O′ , r′ ) y C(O′′ , r′′ ) por lo tanto l ⊥OO′ y l′ ⊥O′ O′′ .

O’

ntio q

uia

l

O

rsid ad d

eA

X

l′

l′′

ive

O”

Un

Figura 39.

Como O, O′ , O′′ son no colineales, entonces l y l′ se interceptan, sea {X} = l ∩ l′ .

7.7. EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES

245

Veamos que X ∈ l′′ . En efecto, como X ∈ l entonces

y como X ∈ l′ entonces

pX;O = pX;O′

(∗)

pX;O′ = pX;O′′

(∗∗)

as

entonces de (*) y (**)

atem atic

pX;O = pX;O′′ luego X ∈ l′′ .



o. d

eM

Observaci´ on. De la parte b.) del teorema anterior se concluye que: 1. Si las tres circunferencias son secantes dos a dos, entonces las cuerdas comunes son concurrentes.

,D

ept

2. Si las tres circunferencias son tangentes dos a dos, entonces las tangentes comunes son concurrentes.

uia

Con el Eje Radical se pueden hacer construcciones de circunferencias.

eA

ntio q

Ejemplo. Construir una circunferencia que pase por dos puntos y sea tangente a una recta dada. Demos el problema por construido. Supongamos que los puntos dados son ←→

A, B y la recta dada es l, se presentan dos situaciones: a) AB ∩l 6= ∅, ←→

←→

rsid ad d

←→

b) AB ∩l = ∅.

a) Si AB ∩l 6= ∅, sea {X} =AB ∩l 6= ∅, sea C(O, r) la circunferencia buscada y sea C(O′ , r′ ) una circunferencia cualesquiera que pase por A y B, ←→

Un

ive

entonces AB es el Eje Radical de estas dos circunferencias, por lo tanto las tangentes desde el punto X a las dos circunferencias son congruentes; si XT ′ es la tangente a la C(O′ , r′ ) y XT es la tangente a la circunferencia buscada C(O, r), entonces XT = XT ′ . Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos (Ver Figura 40.). Uno A con B y prolongo hasta cortar l en X.

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

246

m T’

O’

B

as

O

atem atic

A

T1

X

T

o. d

eM

Figura 40.

ept

Trazo m la mediatriz de AB.

uia

,D

Por un punto cualesquiera O′ de m, trazo una circunferencia que pase por A, B.

ntio q

Desde X trazo XT ′ tangente a la circunferencia de centro O′

eA

Con centro en X y radio XT ′ trazo arcos que cortan a l en T y T1 .

←→

←→

rsid ad d

Las circunferencias que pasan por A, B, T y por A, B, T1 son las circunferencias pedidas (dos soluciones). b) Si AB ∩l = ∅, luego ABk l. Sea C(O, r) la circunferencia buscada y sea T el punto de tangencia entre la C(O, r) y l, por lo tanto OT ⊥ l, pero como ←→

←→

←→

Un

ive

ABk l, entonces OT ⊥ AB, luego OT es mediatriz de AB

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos. Uno A con B . Trazo m la mediatriz de AB que corta a l en T .

7.7. EJE RADICAL Y SUS PROPIEDADES

247

Trazo circunferencia que pasa por A, B, T , que es la circunferencia pedida.

atem atic

as

Ejemplo. Construir una circunferencia que pase por dos puntos y sea tangente a una circunferencia dada. Demos el problema por construido. Supongamos que los puntos dados son A, B y la circunferencia dada es C(O′ , r′ ) y sea m la mediatriz de AB, se presentan dos casos: a) O′ ∈ / m, b) O′ ∈ m m

O

eM

A

o. d

B

ept

O”

X

uia

D

O’

ntio q

C

,D

T

l

rsid ad d

eA

T1 Figura 41.

a) O′ ∈ / m, sea C(O′′ , r′′ ) una circunferencia que pase por A, B e inter←→

Un

ive

cepte a la circunferencia dada C(O′ , r′ ) en los puntos C, D, por lo tanto CD es el Eje Radical de estas dos circunferencias, como la circunferencia buscada C(O, r) y la circunferencia dada C(O′ , r′ ) son tangentes, entonces la tangente l com´ un a estas dos circunferencias es el Eje Radical de ambas y ←→

como O′ ∈ / m, entonces l y CD se interceptan en un punto X; como los Ejes Radicales de tres circunferencias cuyos centros no son colineales son concurrentes, entonces X es el centro radical de las tres circunferencias, luego las tangentes desde X a las tres circunferencias son congruentes.

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

248

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos (Ver Figura 41.). Uno A con B . Trazo m la mediatriz de AB .

as

Por un punto O′′ de m trazo circunferencia que pasa por A, B y que corte a la circunferencia dada C(O′ , r′ ) en los puntos C, D.

atem atic

←→

Uno C con D y prolongo hasta cortar AB en X.

eM

Desde X trazo trazo XT y XT1 tangentes a la circunferencia dada C(O′ , r′ ).

o. d

Las circunferencias que pasan por A, B, T y A, B, T1 son las circunferencias pedidas (dos soluciones).

,D

ept

b) Si O′ ∈ m. Sea {T } = m ∩ C(O′ , r′ ), en este caso, O, T, O′ son colineales y por tanto T es el punto de tangencia.

ntio q

uia

Construcci´ on. Para la construcci´on, haremos los siguientes pasos consecutivos. Uno A con B .

rsid ad d

eA

Trazo m la mediatriz de AB, la cual intercepta a la circunferencia dada C(O′ , r′ ) en T .

Un

ive

Trazo circunferencia que pase por los puntos A, B, T y esta es la circunferencia pedida.

7.8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SEMEJANZA

7.8.

249

Ejercicios y Problemas de Semejanza

1. Sea M N P A un paralelogramo dado, entonces para cualquier semirrecta con origen en M y que corta a N P en B y a AP en C se cumple que N B · AC es constante. B

atem atic

as

\ ∼ 2. En la figura, si ABD = \ ∼ \ DBE EBC, entonces = AB·BD AD = . EC BE·BC A

L N

K

,D

M D

C

ntio q

uia

H

3. Si ABCD es un paralelogramo y M N k AB, AB = 12, DM = 4, DE = 6, KB = 2KH. Hallar: a) AM , b) DH, c) DC, d) KL, d) LM , e) M N .

o. d

B

ept

A

C

E

eM

D

E

rsid ad d

eA

−−→ 4. Sea ∆ABC un tri´angulo rect´angulo en C y BD cualquier semirrecta con origen en B y D ∈ AC, probar que BD2 + AC 2 = AB 2 + DC 2

Un

ive

5. Demostrar que el cuadrado de la medida de la bisectriz AE de un a´ngulo exterior de un ∆ABC es igual al producto de las medidas de los segmentos que la bisectriz determina sobre la recta que contiene al lado opuesto, menos el producto de las medidas de los otros dos lados. (Ayuda: siendo C(O, r) la circunferencia que circunscribe al tri´angulo ←→

y {D} = C(O, r)∩ AE, observar los ∆DAC y ∆ABE).

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

250

6. Se tiene un cuadrado ABCD de lado a. Se traza una circunferencia que pasa por el v´ertice A y por los puntos medios de los lados AB y AD. Probar que la medida de una tangente a dicha circunferencia trazada desde el punto C es igual a a.

as

7. Construir un tri´angulo dadas las raz´on entre los lados c y b (es decir, dado cb = pq ), la mediana ma y el lado a ( cb = pq , ma , a)

atem atic

8. Por un punto D del lado AB de un △ABC se traza DE k AC (E sobre BC), de tal manera que DB = e, CE = 2e, BE = 2AD. Calcular los lados AB y BC del tri´angulo.

eM

9. Demostrar que en un mismo tri´angulo las alturas son inversamente proporcionales a sus respectivos lados.

,D

ept

o. d

10. Considere la C(O, r). Sea AB un di´ametro. Se traza por B una tangente y por A una secante cualesquiera que corta a la C(O, r) en M y a la tangente en N . Probar que AM.AN = 4r2 .

eA

ntio q

uia

11. Sea ∆ABC un tri´angulo rect´angulo en A, si desde B y C se trazan semirrectas n y m que bisectan los lados opuestos AC y AB en N y M respectivamente y si l||BC por A tal que n ∩ l = {D} y m ∩ l = {E} entonces BD2 + CE 2 = 5BC 2

ive

rsid ad d

12. Sea C(O, r), se traza una cuerda CD, O′ el punto medio de CD, se traza la circunferencia de centro O′ y di´ametro CD, sea AB di´ametro de C(O, r) perpendicular a CD; se trazan AT y AT ′ tangentes a la C(O′ ), la cuerda T T ′ corta a AB en F . Demostrar que O′ es punto medio de BF .

Un

13. En △ABC rect´angulo en A la hipotenusa mide a y la altura relativa a la hipotenusa mide h, se inscribe un cuadrado con un lado sobre la hipotenusa. Calcular el lado del cuadrado en t´erminos de a y h. 14. En una circunferencia de di´ametro 40cm. , hallar la medida de la mayor y la menor cuerda que puede trazarse por un punto situado a 12cm. del centro. Explicar porque es la mayor y la menor.

7.8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SEMEJANZA

251

15. Desde el punto medio D del lado AB del △ABC, rect´angulo en A, se traza DE ⊥ BC, con E ∈ BC. Demostrar la relaci´on EC 2 − EB 2 = AC 2

atem atic

as

16. Demostrar que el cuadrado de la bisectriz de un a´ngulo exterior de un tri´angulo es igual al producto de los segmentos que la bisectriz determina en el lado opuesto menos el producto de los otros dos lados (Ayuda: si CD es la bisectriz exterior en el △ABC y C(O, r) es la circunferenT ←→ cia que circunscribe al tri´angulo y F ∈ C(O, r) CD, demuestre que △ADC ∼ △F BC).

eM

17. En un △ABC is´osceles con AB = AC, se traza CD ⊥ AB. Demostrar la relaci´on

o. d

AB 2 + BC 2 + CA2 = BD2 + 2DA2 + 3CD2

ntio q

uia

,D

ept

18. Si el tri´angulo del ejercicio anterior fuera un tri´angulo equil´atero, mostrar que las suma de los cuadrados de las medidas de los lados es igual a cuatro veces el cuadrado de la medida de la altura. −−→ b con 19. El △ABC esta inscrito en una C(O, r), sea AD la bisectriz de A −−→ D ∈ C(O, r) y sea E ∈ BC ∩ AD. Mostrar que: a) BD2 = AD.ED, b) △BED ∼ △AEC. ←→

←→

←→

eA

20. LM N T es un paralelogramo, LT = 15, LM = 8, RN = 12, N R⊥LR, ←→

←→

rsid ad d

T H⊥M N , H ∈ M N . Hallar T H.

←→

21. Dado el △ABC, sea AN k BC y M punto medio de BC, sea P ∈N M ←→

←→

←→

∩ AB y Q ∈N M ∩ AC . Demostrar que

Un

ive

PN QN = PM QM

22. Dado un △ABC is´osceles con CA ∼ = CB y la circunferencia tangente a los lados congruentes en A y B. Desde un punto M del arco de la circunferencia en el interior del tri´angulo, se traza M D ⊥ AB, M F ⊥ CB y M E ⊥ CA. Mostrar que M D2 = M E.M F

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

252

23. Sean AA′ , BB ′ , CC ′ las alturas de un △ABC; estas alturas se cortan en el punto H. Demostrar que: AA′ .A′ H = A′ C.A′ B, BB ′ .B ′ H = B ′ A.B ′ C, CC ′ .C ′ H = C ′ B.C ′ A 24. Se d´a una circunferencia de centro O y di´ametro AB, por un punto M sobre la prolongaci´on de AB, se trazan las tangentes M N y M P a la circunferencia, la cuerda N P corta al di´ametro en C. Demostrar que:

atem atic

as

CA MA = CB MB

eM

25. Demostrar que si dos tri´angulos tienen sus lados respectivamente paralelos o respectivamente perpendiculares, entonces dichos tri´angulos son semejantes.

o. d

26. Dado un paralelogramo ABCD, tal que: DC = 32, AD = 17, AC = 28. Hallar DB. AB =

,D

ept

27. Sea ∆ABC con CE, BD, AF bisectrices. Si CA = 32, 20, CB = 36. Hallar AE, CF, AD.

ntio q

uia

28. Demostrar que la suma de las longitudes de los catetos de un tri´angulo rect´angulo, no excede la longitud de la diagonal de un cuadrado construido sobre la hipotenusa del tri´angulo como lado.

eA

29. Demostrar que en un paralelogramo la suma de los cuadrados de los lados es igual a la suma de los cuadrados de las diagonales.

ive

rsid ad d

30. Sea un tri´angulo rect´angulo ABC (recto en A), donde: AB = 8, AC = 15 . Calcular BC, la altura AH y los segmentos BH y HC. Se traza por B una paralela a AC que corta la altura AH en I. Evaluar AH, HI y BI.

Un

[ se toman dos puntos D y E y 31. Sobre el lado AB de un ´angulo BAC, por esos puntos se trazan dos paralelas que cortan al lado AC en F y G respectivamente; se trazan F E y por el punto G, una paralela a F E que corta a AB en H. Demostrar que AE 2 = AD.AH. 32. Dado un cuadril´atero ABCD, sea O el punto de intersecci´on de sus diagonales. Por el punto O se traza una paralela a BC que corta a AB en E; luego se traza por O una paralela a CD que corta a AD en F .

7.8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SEMEJANZA AE a. Mostrar que AB = una misma raz´on).

AF AD

253

(comparar cada una de estas razones con

b. Mostrar que EF k BD.

c. Se traza OG k AB y cortando BC en G y OH k AD, corta a DC en H. Mostrar que CG.DH = BG.CH.

atem atic

as

33. Demostrar que las paralelas a los lados de un tri´angulo ABC, trazadas por el punto G de concurrencia de las medianas, dividen cada lado en tres partes iguales. ←→

←→

34. Sea ABCD un cuadril´atero, sea F sobre AC y E sobre DB tales que F B||DC y EC||AB. Mostrar que AD||F E.

o. d

eM

35. El per´ımetro de un tri´angulo mide 90 cm.. Sabiendo que las medidas de los lados est´an en la relaci´on 1 : 2 : 3. Calcular la medida de cada lado.

,D

ept

36. Demuestre que en tri´angulos semejantes las alturas hom´ologas, las medianas hom´ologas y las bisectrices hom´ologas son proporcionales a los lados hom´ologos. A

ntio q

uia

37. En la figura, la C(O, x) esta inscrita en el [ = 60o , hasector circular ABC. Si m(ABC) llar x en funci´on de r. (Rta.: 3r ) .

x

rsid ad d

eA

O

B

C r

Un

ive

38. Si en un tri´angulo rect´angulo, X y Y son las medidas de los catetos y Z es la medida de la altura correspondiente a la hipotenusa, demuestre que: 1 1 1 + = X2 Y 2 Z2 39. Los catetos AB y AC de un tri´angulo rect´angulo ∆ABC miden respectivamente 4a y 3a. Por el punto medio M de AB se traza hacia el exterior del tri´angulo, un segmento M N perpendicular a AB e igual a su mitad. Hallar la medida de N C.

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

254

40. Los lados de un tri´angulo miden 10, 12 y 18. Si el per´ımetro de un tri´angulo semejante a ´el mide 1,200, cuales son las medidas de los lados del segundo tri´angulo? Cu´anto miden las tres alturas, las tres medianas y las tres bisectrices del √ primer tri´ √ angulo?√ (Rta.: 300, 360, 540, 30 41, 30 176, 30 209) A B

D

F

E

C

atem atic

as

41. Si ABCD es un rect´angulo de lados a y 3a. Demostrar que \ = m(BF \ m(BEC) C) + m(BDC)

eM

42. a1 , b1 , c1 son puntos medios de los lados del tri´angulo ∆ABC. Demuestre: ∆ABC ∼ ∆a1 b1 c1 ∼ ∆Ac1 b1 ∼ ∆Bc1 a1 ∼ ∆Cb1 a1

ept

o. d

43. ABCD es un paralelogramo O ∈ AC, OX ⊥ AD, OY ⊥ AB. DeAB = AD mostrar que OX OY 44. Dos circunferencias son tangentes interiormente en el punto A. Del ←→

←→

ntio q

uia

,D

punto A, se trazan las secantes AC y AE. B y D pertenecen a la circunferencia interior. C y E pertenecen a la circunferencia exterior. Demuestre que ∆ABD ∼ ∆ACE.

eA

45. Sea AB un di´ametro en la C(O, r), por B se traza una tangente a la circunferencia y por A se traza una secante cualquiera que intercepta la circunferencia en M y a la tangente en N . Demostrar que

rsid ad d

AM · AN = 4r2

ive

46. Demostrar que en un trapecio el segmento paralelo a las bases que pasa por el punto de intersecci´on de las diagonales, es bisecado por dicho punto.

Un

47. Dos tri´angulos rect´angulos son semejantes. Si los catetos hom´ologos miden a y a′ , b y b′ y las hipotenusas hom´ologas miden c y c′ , demostrar que aa′ + bb′ = cc′ . 48. Sean AB y CD dos cuerdas perpendiculares de una circunferencia de radio r y sea {X} = AB ∩ CD. Demostar que XA2 + XB 2 + XC 2 + XD2 = 4r2

7.8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SEMEJANZA

255

49. Las bases mayor y menor de un trapecio miden a y b respectivamente. Por un punto de uno de los lados no paralelos se traza un segmento paralelo a las bases. El segmento divide al lado en la relaci´on m : n. Calcular la longitud del segmento. 50. Dado el △ABC, se consideran los puntos D, E, F sobre las rectas ←→

←→

←→

←→

←→

←→

atem atic

as

BC, AC, AB respectivamente. Si las rectas AD, BE y CF pasan por el centro O de la circunferencia circunscrita del △ABC, cuyo radio es R, mostrar que 1 1 1 2 + + = AD BE CF R

eM

51. En un tri´angulo el punto de concurrencia de: las alturas, el de las medianas y el de las mediatrices est´an alineados (Recta de Euler ).

o. d

52. Demostrar que en todo tri´angulo, la bisectriz se encuentra entre la mediana y la altura trazadas desde el mismo v´ertice.

,D

ept

53. Las bases de un trapecio miden 20 y 12 y los lados no paralelos miden 10 y 12. Calcular la medida de las diagonales y de las alturas y los lados del tri´angulo que se forma al prolongar los lados no paralelos.

ntio q

uia

54. ABCD es un cuadril´atero. AB = a, BC = b, CD = c, DA = d, CE = EA = m, BF = F D = n, EF = r. Demuestre: a2 + b2 + c2 + d2 = (2m)2 + (2n)2 + 4r2 .

rsid ad d

eA

55. Sea P un punto cualesquiera en uno de los lados de un rect´angulo. Probar que la suma de las medidas de los segmentos perpendiculares desde P a las diagonales del rect´angulo es constante. 56. Constru´ır un tri´angulo ABC, conociendo

ive

[ y BN que es la altura desde B, (a, β, hb ). a) BC, ABC

Un

b) BC, AM y AH que son la mediana y la altura correspondientes a BC, (a, ma , ha ). c) BC, y la altura y la bisectriz BH y CD, (a, hb , vc ). d ) BC y las alturas BH y CP , (a, hb , hc ). e) BC, AC y la altura BH, (a, b, hb ). [ y la mediana AM , (a, α, ma ). f ) BC, BAC

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

256

[ y la altura BH, (a, α, hb ). g) BC, BAC h) Los pies de las tres medianas. i ) Las tres medianas: ma , mb , mc . [ ACB [ y el per´ımetro , (β, γ, p; donde p = a + b + c). j ) ABC,

as

57. Construir un tri´angulo equil´atero, conociendo el radio de la circunferencia inscrita.

atem atic

58. Construir un tri´angulo equil´atero, conociendo su per´ımetro.

eM

59. Construir un tri´angulo is´osceles conociendo el per´ımetro y la medida de la altura correspondiente a la base.

o. d

60. Construir una circunferencia que pase por dos puntos A y B y que sea tangente a una recta l; con A y B del mismo lado con respecto a l.

ept

a) AB k l , b)AB ∩ l = {P }.

uia

,D

61. Construir una circunferencia que sea tangente a dos rectas paralelas dadas y que pase por un punto dado.

ntio q

62. Construir una circunferencia que sea tangente a dos rectas que se cortan y pase por un punto en el interior del a´ngulo entre las dos rectas.

eA

63. Dado un punto en el interior de una circunferencia, construir una cuerda tal que el punto dado sea punto medio de dicha cuerda.

rsid ad d

64. Sea AB di´ametro de una circunferencia, A, B, M colineales con B entre A y M , M N tangente en N y N C ⊥ AB, C entre A y B. Mostrar que

ive

CA MA = CB MB

Un

−−→ \ con M ∈ DB y 65. Sea ABCD un paralelogramo, AM bisectriz de DAB −−→ \ con N ∈ AC. Probar que M N ||AD. DN bisectriz de ADC \ , trazar por 66. Dado un a´ngulo XOY y un punto A en el interior de XOY −−→ −−→ A una recta que corte a OX en M y a OY en N , de tal forma que A sea punto medio de M N .

7.8. EJERCICIOS Y PROBLEMAS DE SEMEJANZA

257

67. Dos circunferencias de centros O y O1 y de radios diferentes son secantes en A. Trazar por A una cuerda BC, de tal forma que A sea el punto medio de BC. (B ∈ C(O) y C ∈ C(O1 ) ). 68. Constru´ır un tri´angulo conociendo dos ´angulos y la suma de las medidas de dos de sus lados.

atem atic

as

[ for69. Construir un rect´angulo ABCD conociendo AB y el a´ngulo AOB mado por las diagonales. 70. Construir un tri´angulo ABC, rect´angulo en A, conociendo la suma de b las medidas de los catetos y el ´angulo C.

eM

71. Construir un rect´angulo conociendo su per´ımetro y su diagonal.

o. d

72. Construir un trapecio conociendo sus bases y sus diagonales. 73. Construir un cuadril´atero conociendo sus lados y una de sus diagonales.

,D

ept

74. Construir un cuadril´atero inscriptible conociendo BD, y AC que son b y el lado AB. sus diagonales, el ´angulo A

ntio q

uia

75. Dados dos segmentos de longitud a cm. y b cm., construir con regla y comp´as: a) un segmento de longitud ab cm., b) un segmento de longitud ab cm.

rsid ad d

eA

76. Construir una circunferencia que sea tangente a dos rectas dadas y cuyo centro est´e sobre una recta dada. 77. Trazar una recta tangente a una circunferencia dada y paralela a una recta dada.

ive

78. Construir un tri´angulo conociendo:

Un

a) Los pies E, F, D de las tres alturas. b) Un lado BC, el a´ngulo opuesto α , y la suma o la diferencia de los otros dos lados (a, α, c − b), (a, α, c + b). c) Un a´ngulo β y las alturas opuestas AD y CF . (β, ha , hc ).

d ) Un a´ngulo β , la altura BE y la altura AD, (β, hb , ha ). e) Un lado BC, un a´ngulo β , y la mediana AD (a, β, ma ).

CAP´ITULO 7. SEMEJANZA

258

f ) El per´ımetro, un a´ngulo y la altura bajada desde el v´ertice del a´ngulo: (p, α, ha ). g) La altura y bisectriz bajadas del mismo v´ertice y el radio de la circunferencia inscrita (vc , hc , r). h) La altura y la mediana bajadas desde el mismo v´ertice y el radio de la circunferencia circunscrita (ma , ha , R).

atem atic

as

79. Construir un tri´angulo conociendo:

a) Dos lados y la longitud de la bisectriz del ´angulo comprendido (a, c, vb ).

eM

b) La base AB , el a´ngulo opuesto y la suma de las medidas de los lados que comprenden este ´angulo (c, γ, a + b).

Un

ive

rsid ad d

eA

ntio q

uia

,D

ept

o. d

80. Por un punto P exterior a una circunferencia trazar una secante P AB, PA =m donde m, n son dos n´ umeros naturales dados. tal que AB n