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Capitulo V: Relaciones Relaciones Binarias: Consideremos dos conjuntos A y B no vacíos, llamaremos relación binaria de A en B o relación entre elementos de A y B a todo subconjunto R del producto cartesiano A x B, esto es: Re es una relación de A en B ⇔ R < A x B Ejemplo: Sea A = { 1, 2, 3 } y B = { 2, 4, 5, 6 } dos conjuntos; entonces las siguientes son relaciones entre A y B por ser subconjuntos de A x B. R1 R2 R3 R4 ƒ

= = = =

{ { { {

(1,4), (2,5), (2,6) } ⊂ A x B (2,2), (3,4) } ⊂ A x B (x,y) ∈ A x B/ 2x + y < 6 } = { (1,2), (1,4), (2,2) } ⊂ A x B (x,y) ∈ A x B/ x + y = 7 } = { (1,6), (2,5), (3,4) } ⊂ A x B

Dominio de una Relación: Se llama dominio de una relación R de A en B al conjunto de todas las primeras componentes de los pares ordenados de la Relación. Se denota Dom(R) y se simboliza: R: A → B, entonces: Dom(R) = { x ∈ A / ∃ y ∈ B, (x,y) ∈ R } Es decir: x ∈ Dom(R) ↔ ∃ y ∈ B / (x,y) ∈ R

ƒ

Rango de una Relación: Se denomina rango de una relación R de A en B al conjunto de todas las segundas componentes de los pares ordenados de la Relación. Se denota Ran(a) y se simboliza: R: A → B, entonces: Ran(R) = { y ∈ B / ∃ x ∈ A, (x,y) ∈ R } Es decir: x ∈ Ran(R) ↔ ∃ x ∈ A / (x,y) ∈ R’

Ejemplo: Hallar el Dominio y Rango de las Relaciones en A, siendo: A = { 1, 2, 3, 4, 5 } R1 = { (x,y) ∈ A x A / x + y = 7 } R2 = { (x,y) ∈ A x A / x + y < 4 } R3 = { (x,y) ∈ A x A / x < 2y } → ( x < 2y ↔ x > 2y ) Solución: R1 = { (2,5), (3,4), (5,2), (4,3) } ⊂ A x A R2 = { (1,1), (1,2), (1,3), (2,1), (2,2), (3,1) } ⊂ A x A R3 = { (2,1), (3,1), (4,1), (4,2), (5,1), (5,2) } ⊂ A x A Dom R1 = { 2, 3, 4, 5 } Dom R2 = { 1, 2, 3 } Dom R3 = { 2, 3, 4 }

Ran R1 = { 2, 3, 4, 5 } Ran R2 = { 1, 2, 3 } Ran R3 = { 1, 2 }

Ejemplo: Determinar el Rango y Dominio de la siguiente relación: R = { (x,y) ∈ R x R / x2 + y2 + 10y – 75 = 0 }

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UNIVERSIDAD PRIVADA DE MOQUEGUA “JOSE CARLOS MARIATEGUI” Solución: Hallando el dominio: x2 + y2 + 10y – 75 = 0 y2 + 10y = 75 - x2 y2 + 10y + 25 = 75 – x2 ( y + 5 )2 = 100 – x2 y+5=

(Metodo de Completar Cuadrados)

100 – x2

y= -5+

100 – x2

100 – x2 > 0 -x2 > -100 x2 > 100 x < + 10 -10 < x < 10 ∴ Df = [ -10, 10 ] Hallando el Rango: x2 = 75 – 10y – y2 x=+

75 – 10y – y2

75 – 10y – y2 > 0 y2 + 10y > 75 ( y2 + 10y + 25 ) – 25 > 75 ( y + 5 ) 2 > 100 (Metodo de Completar Cuadrados) -10 < y + 5 < 10 -15 < y < 5 ∴ Rf = [ -15, 5 ]

Propiedades de la Relación Binaria: Las Relaciones Binarias gozan de las siguientes propiedades: a)

Propiedad Reflexiva: Una relación R en A, diremos que es reflexiva si (a,a) ∈ R para todo a ∈ R esto es: R es reflexiva en A ↔ ∀a ∈ A, (a,a) ∈ R

b)

Propiedad Simétrica: Una relación R en A, diremos que es simétrica si (a,b) ∈ R implica que (b,a) ∈ R, esto es: R es simétrica ↔ ∀(a,b) ∈ R ⇒ (b,a) ∈ R

c)

Propiedad Transitiva: Una relación R en A, diremos que es transitiva si (a,b) ∈ R ∧ (b,c) ∈ R, esto es: R es transitiva ↔ ∀(a,b,c) ∈ A, [(a,b) ∈ R ∧ (b,c) ∈ R ⇒ (a,c) ∈ R ]

d)

Propiedad Antisimétrica: Una relación R en A, diremos que es antisimétrica si: ∀ a,b ∈ A, (a,b) ∈ R y (b,a) ∈ R implica que a = b esto es: R es antisimétrica ↔ ∀a,b ∈ A [ (a,b) ∈ R ∧ (b,a) ∈ R ⇒ a = b ]

e)

Relación de Equivalencia: Una relación R en A, diremos que es de equivalencia si es: Reflexiva, simétrica y transitiva.

Ejemplo: Si A = { 1, 2, 3, 4, 5, 6 } las relaciones en A: a)

R1 = { (1,1), (2,2), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } Es reflexiva en A

b)

R2 = { (1,1), (3,3), (4,4), (5,5), (6,6) } No es reflexiva en A porque falta (2,2)

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Ejemplo: Si A = { 2, 3, 5, 7 }, las relaciones en A: a)

R1 = { (5,3), (2,7), (3,5), (7,2), (2,2) } Es simétrica porque (x,y) ∈ R1 ⇒ (y,x) ∈ R1

b)

R2 = { (5,3), (2,7), (3,5), (2,2) } No es simétrica porque falta (7,2) Ejemplo:

Si A = { 1, 3 7, 9 } las relaciones en A: a) R1 = { (7,1), (3,3), (1,3) } No es transitiva porque (7,1) ∈ R ∧ (1,3) ∈ R1 ⇒ (7,3) ∉ R1 Ejemplo: Sea Z = conjunto de los números enteros y la relación R definida sobre Z en R = { (x,y) ∈ Z x Z / x – y = 3m, m ∈ Z }. Es una relación de equivalencia. 1)

Reflexiva (a,a) a – a = 0 = 0.3 ∀ a ∈ Z

2)

Simétrica (a,b) ⇒ (b,a) a – b = 3m ⇒ b – a = 3m - (a - b) = 3m a – b = 3m

3)

Transitiva (a,b) ∧ (b,c) ⇒ (a,b) Si a – b = 3m y b – c = 3m’ a – c = (a – b) + (b – c) a – c = 3m + 3m’ a – c = 3 (m + m’) a – c = 3m ∀ a,b,c ∈ Z

Ejemplo: Sea M = { 1, 2, 3, 4, ... 9 } Si R = { (x,y) / 2x – y = 5 } ⊂ M x M y si m es la suma de todos los elementos del dominio de R y n es la suma de los elementos del Rango de R, entonces, hallar el valor de m.n. Si: x x x x x x x

= = = = = = =

1 2 3 4 5 6 7

→ → → → → → →

y y y y y y y

= 2–5= = 4–5= = 6–5= = 8–5= = 10 – 5 = = 12 – 5 = = 14 – 5 =

-3 ∉ M -1 ∉ M 1∉M 3∉M 5∉M 7∉M 9∉M

→ → → → → → →

R = { (3,1), (4,3), (5,5), (6,7), (7,9) } m = 3 + 4 + 5 + 6 + 7 = 25 n = 1 + 3 + 5 + 7 + 9 = 25 m.n = (25) (25) = 625 Ejemplo: Sea B = { 1, 2, 3, 4 } y las Relaciones: R1 = { (x,y) ∈ B x B / y = x } R2 = { (x,y) ∈ B x B / y < x } R3 = { (x,y) ∈ B x B / x < y } Hallar n(R3) + n(R2) - n(R1)

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(1,-3) ∉ R (2,-1) ∉ R (3,1) ∈ R (4,3) ∈ R (5,5) ∈ R (6,7) ∈ R (7,9) ∈ R

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x 2 3 4

R2

y 4 }

R1

Ejemplos Diversos 1.

Trazar la gráfica de la relación: R1 = { (x,y) ∈ R2 | 4y + x2 – 4x = 0 } Solución: Completando cuadrados para la variable x se tiene: 4y = -(x2 – 4x) = - (x2 – 4x + 4) + 4 De donde: 4 (y - 1) = - (x – 2) 2 Entonces: h = 2 y k = 1 ∴V (2,1) Para esbozar la gráfica de la relación necesitamos otros dos puntos de la parábola, esto se logra intersectando la curva con el eje X, esto es: Si y = 0 + x2 – 4x = 0 ↔ x = 0 ó x = 4 ∴ O (0,0) , P (4,0) Por lo tanto: Dom (R1) = R y Ran (R1) = , Ran (R2) = R y P2 V P1 0

3.

x

Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: S3 = { (x,y) ∈ R2 | y2 – 2y – 3 < x } Solución: (1)

Construimos la gráfica de la parábola E(x,y): y2 - 2 y – 3 = 3 Æ (y2 - 2 y + 1) = x + 4 Æ (y - 1)2 = x + 4 De donde: h = - 4 y k = 1

∴ V (-4,1)

Si x = 0 Æ y2 - 2 y – 3 = 0 ÅÆ y = 3 ó y = -1 ∴ A (0,3) y B (0,-1) (2)

0 (0,0) ∈ R1 Æ 0-2(0) – 3 < 0, es cierto Luego, se debe sombrear la región R1 que contiene al origen y que corresponde a la gráfica de S3.

(3)

Dom (S3) = , Ran (S3) = R y R2

R1 x

-4

4.

0 B

Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: R1 = { (x,y) ∈ R2 / | x+1 | < 3, |y-2| > 1 } y Solución: |x+1| < 3 |y-2| > 1 Luego

,

ÅÆ -3 < x + 1 < 3 ÅÆ -4 < x < 2 ÅÆ y-2 > 1 ∨ y = 2 < -1 ÅÆ y > 3 ∨ y < 1 Dom (R1) = [-4,2] y Ran (R1) = < 3, +∞ >

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3 1 -4

0

2

x

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5.

Hallar el dominio, rango y trazar la gráfica de la relación: R2 = { (x,y) ∈ R2 / y = | x-2 | } 2-x Solución: y Por definición de valor absoluto: (x – 2) , si x > 2

1

-(x – 2), si x < 2

1

|x - 2| = Luego, si x > 2 Æ y = (x-2) = -1 2-x si x < 2 Æ y = -(x-2) = 1 2-x

0 1 -1

2

x

∴ Dom (R2) = R – {2}, Ran (R2) = {-1,1} 6.

Trazar la gráfica de la relación: S1 = { (x,y) ∈ R2 / |x+y| < 1 } Solución: Si |x+y| < 1 ÅÆ x+y > -1 Construimos las gráficas de las rectas: L1: x+y = 1 y L2: x+y = -1 Estas rectas determinan en el plano 3 regiones o semiplanos: R1, R2 y R3. Vemos cual o cuales de estas regiones satisface la relación: S1 = { (x,y) ∈ R2 / |x+y| < 1 } (1,1) ∈ R1 Æ |1+1| < 1, es falso. (0,0) ∈ R2 Æ |0+0| < 1, es cierto. (1,-1) ∈ R3 Æ |-1-1| < 1, es falso. Luego, se sombrea la región R2 que es gráfica

y L1 L2

R2

R1

0 R3

x

∴ R1 ∉ S1 ∴ R2 ∉ S1 ∴ R3 ∉ S1 de S1.

7. Trazar la gráfica de la relación: S2 ={(x,y) ∈ R2 / |x|+|y| > 2, si x+y > 0 y |x|+|y| < 2, si xy < 0} Solución: (1) Construyamos la gráfica de: y |x|+|y| > 2, si xy > 0 xy > 0 ÅÆ (x > 0 ∧ y > 0) ∨ (x < 0 ∧ y < 0) R1

Si x > 0 ∧ y > 0 Æ x+y = 2 (1) (2) x < 0 ∧ y < 0 Æ -x-y > 2 (2,1) ∈ R1 Æ 2 + 1 > 2, es cierto. Luego, R1 es la gráfica de (1) (-2,-1) ∈ R2 Æ 2 + 1 > 2, es cierto. Luego, R2 es la gráfica de (2)

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0 R2

x

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(2) Construyamos la gráfica de |x|+|y| < 2, si xy < 0 xy < 0 ÅÆ (x > 0 ∧ y < 0) ∨ (x < 0 ∧ y > 0) Si x > 0 ∧ y < 0 Æ x-y < 2 (3) (4) x < 0 ∧ y > 0 Æ -x+y < 2

y

Considerando las restricciones del dominio y rango de (3) y (4), deducimos que sus gráficas son las regionesRR 4 3 y R4, 0 respectivamente. R3 Uniendo ambas gráficas obtenemos S2. y

0

8.

x

x

Sean las relaciones R1 = { (x,y) ∈ R2 / |x| + |y| < 4 } y R2 = { (x,y) ∈ R2 / |x2 + y2> 8 }. Hallar el área de R1 ∩ R2. Solución: En R1, por definición de valor absoluto: Si x > 0 ∧ y > 0 Æ x + y < 4 (1) x > 0 ∧ y < 0 Æ x – y < 4 (2) x < 0 ∧ y > 0 Æ -x + y < 4 (3) x < 0 ∧ y < 0 Æ -x – y < 4 (4)

y

(3)

(1)

4 0 - 4 la x Vemos que el origen O (0,0) satisface las 4 desigualdades, luego, ( 4 ) ( 2 ) gráfica de R1 es el conjunto de puntos dentro del cuadrado de lado 4 2. y En R2 tenemos: x2 + y2 = 8, es una circunferencia de radio r = 8. .O (0,0) ∈ R2 Æ 0 + 0 > 8 , es falso. Luego, la gráfica de R2 es el conjunto de puntos fuera del círculo x2 + y2 = 8. 4 0 -4 Por lo tanto: a (R1 ∩ R2) = ( 4 2 )2 – 8π = 8 (4 - π) u2 9.

x

Hallar el área de intersección de las gráficas de las relaciones definidas por: R1 = { (x,y) ∈ R2 ||x| - |y| < 2 } y R2 = { (x,y) ∈ R2 ||y| < 1 } Solución: y (3) (1) En R1 tenemos: 1 P Si x > 0, y > 0 Æ x – y < 2 (1) x > 0, y < 0 Æ x + y < 2 (2) x < 0, y > 0 Æ -x - y < 2 (3) 0 x x < 0, y < 0 Æ -x +y < 2 (4) En R2 tenemos: (4) (2) |y| < 1 Æ -1 < y < 1, R2 es el conjunto de puntos entre las rectas y = 1, y = -1, (y = 1) ∧ (x – y = 2) = P (3,1) 0 (0,0) satisface las 4 desigualdades de R1 y también a R2. Luego, R1 ∩ R2 es la zona sombreada en la figura. a (R1 ∩ R2) = 2 (área del trapecio de base 4,6 y altura 1) Entonces: a (R1 ∩ R2) = 2 ( 4+6 ) (1) = 10 u2 2

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10. Dadas las relaciones: R1 = { (x,y) ∈ R2 ||x2 + y2 - 4x + 2y - 11 < 0 } R2 = { (x,y) ∈ R2 /|x-2| + |y+1| > 2 } Hallar el área de la región limitada por R1 ∩ R2. Solución: En R1: (x2-4x+4)+(y2+2y+1) < 11+4+1 ÅÆ R1: (x-2)2+(y+1)2 < 16 Haciendo la traslación: x – 2 = x’, y + 1 = y’, se tiene: R1: x’2 + y’ 2< 16 C(0,0) ∈ R1 Æ 0 + 0 < 16, es cierto; luego R1 es el conjunto de puntos dentro de la circunferencia x’2 + y’ 2= 16. En R2: |x’ | + |y’ | > 2 Si x’ x’ x’ x’

> > < <

0, 0, 0, 0,

y’ y’ y’ y’

> < > <

0 0 0 0

Æ Æ Æ Æ

x’ + y’ > 2 (1) x’ - y’ > 2 (2) -x’+ y’ > 2 (3) -x’- y’ > 2 (4)

Se observa que C(0,0) no satisface ninguna de las 4 desigualdades, luego R2 es el conjunto de puntos fuera del cuadrado PQRS. Entonces: a (R1 ∩ R2) = π r2 = a (PQRS) = 16π - ½ (4x4) = 8 (2π-1)u2

y Q x P

C

R S

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