UNIVERSIDAD NACIONAL DE SANTIAGO DEL ESTERO FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y TECNOLOGÍAS

CARTILLA MATEMATICA INGRESO UNIVERSITARIO ANTICIPADO 2017

Lic. Julio E. Zurita

CARTILLA MATEMATICA

2017

Contenidos de matemática para: Licenciatura en Sistemas de Información – Profesorado en InformáticaProgramador Universitario en Informática 

Elementos de Teoría de Conjuntos Noción intuitiva de Conjunto, elemento y pertenecía – Simbología –

Representación de un conjunto por extensión y por comprensión – Diagramas de Venn – Conjuntos especiales – Inclusión – Igualdad – Operaciones con conjuntos: Unión, Intersección, complemento. 

Conjuntos Numéricos Ampliaciones sucesivas de los conjuntos numéricos. Irracionales. Reales.

Propiedades. La recta real. Orden en la recta real. Operaciones con números reales. Propiedades. Valor absoluto. La recta real. Orden en la recta real. Intervalos 

Relaciones y Funciones Producto Cartesiano - Relaciones – Funciones - Función de primer grado.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Sistemas de dos ecuaciones con dos incógnitas - Función de segundo grado. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Uso de la calculadora 

Expresiones algebraicas Polinomios – Operaciones – Teorema del Resto – Regla de Ruffini – Ceros

de Polinomios – Factoreo.

1

CARTILLA MATEMATICA

2017

Contenidos de matemática para Informática Carreras de Ingeniería – Licenciatura y Profesorado en Matemática – Tecnicatura en Organización y Control de la Producción 

Conjuntos Numéricos Ampliaciones sucesivas de los conjuntos numéricos. Irracionales. Reales.

Propiedades. Operaciones con números reales. Propiedades. Valor absoluto. La recta real. Orden en la recta real. Intervalos. Calculo de porcentajes. Regla de tres simple y compuesta. 

Relaciones y Funciones Producto cartesiano, relaciones, funciones. Función de primer grado.

Ecuaciones de primer grado con una incógnita. Función de segundo grado. Ecuaciones de segundo grado con una incógnita. Uso de la calculadora. Polinomios. Operaciones. Teorema del resto. Regla de Ruffini. Ceros de un polinomio. Factoreo 

Geometría Conceptos Básicos de Geometría, Ángulos: sistemas de medición ángulos

convexos, relaciones particulares entre pares de ángulos, Triángulos, Cuadriláteros, Polígonos regulares, áreas, perímetros y volúmenes Uso de la calculadora 

Funciones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Relaciones trigonométricas en un triángulo rectángulo. Teorema de

Pitágoras. Resolución de triángulos rectángulos. Uso de la calculadora

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Símbolos matemáticos de uso frecuente

Algunas letras del alfabeto griego

3

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2017

Utilización de la calculadora

Recurrir a las siguientes direcciones de páginas web a fin de revisar la aplicación de la calculadora en situaciones concretas de cálculo. Observar las situaciones en distintos modelos de calculadoras científicas http://roble.pntic.mec.es/igam0034/Materiales/Calcu_I.pdf http://platea.pntic.mec.es/jarias/investiga/apuntes/1bcs/1bcsA3calc.pdf

4

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2017

ELEMENTOS DE LA TEORÍA DE CONJUNTOS CONJUNTOS NUMERICOS

5

CARTILLA MATEMATICA



2017

Teoría de Conjuntos

Definición de un conjunto Un conjunto está bien definido cuando es posible hacer una lista de sus elementos o cuando es posible decidir si un objeto determinado es o no un elemento del conjunto. Los conjuntos pueden definirse de dos formas: i.

Por Comprensión: cuando se establece una propiedad inherente a los elementos que lo constituyen, de forma tal que todo objeto que cumpla dicha propiedad pertenece al conjunto y recíprocamente.

ii.

Por Extensión: cuándo se mencionan o nombran los elementos que lo constituyen.

Así, por ejemplo el conjunto *

+

está definido por comprensión y *

+

está definido por extensión A menudo será necesario demostrar que un conjunto es parte de otro entonces, de acuerdo a la definición, será suficiente demostrar que cualquier elemento del primero pertenece al segundo. Concepto de Pertenencia: “ Sea el conjunto usan son “

” *

+, entonces decimos

,

,

. Los símbolos que se

”, pertenece y no pertenece respectivamente, para indicar que un elemento está

en el conjunto o no lo está, o sea su negación. Simbólicamente *

+

,

,

,

Conjuntos especiales: 

Conjunto vacío es aquel conjunto que no tiene elementos, y se simboliza por



Conjunto universal Es aquel conjunto que tiene todos los elementos objeto de estudio, y sed simboliza por



Conjunto Unitario Un conjunto unitario es aquel que está formado por un solo elemento. Por ejemplo

Concepto de subconjunto: Decimos que un conjunto es subconjunto de otro, o esta incluido en otro, si todos los elementos del primero pertenecen también al segundo, esto es: 6

CARTILLA MATEMATICA

(

2017

)

Igualdad de conjuntos Dos conjuntos todo elemento de

y

son iguales cuando tienen los mismos elementos. Es decir, cuando

es un elemento de

y recíprocamente:

En símbolos:

Operaciones con conjuntos Complemento de un conjunto El complemento del conjunto

es el conjunto formado por los elementos del Universal

que no pertenecen a

Intersección La intersección de dos conjuntos

y

es el conjunto cuyos elementos pertenecen a

y

a , es decir: *

+

Unión La unión de dos conjuntos pertenecen a

y

, es el conjunto formado por los elementos que

o a , es decir: 7

CARTILLA MATEMATICA *

2017

+

Diferencia La diferencia de dos conjuntos A, B (en ese orden) es el conjunto formado por los elementos que pertenecen a A y que no pertenecen a B, es decir: *

+

Ejercicios de Aplicación 1.

Determine si las siguientes afirmaciones son verdaderas o falsas para los conjuntos *

+

*

y

+

2.

i. ii. iii. iv. 1 v. vi. Defina por extensión los siguientes conjuntos:

3.

* + i. * + ii. * + iii. * iv. * + v. Defina por comprensión los siguientes conjuntos:

4.

* + i. * + ii. * + iii. * + iv. Indique si tienen o no sentido las siguientes expresiones, justificando en cada caso su

+

respuesta: i. * + ii. * + iii. iv. * + v. vi. * + vii. * + viii. * + ix. Dados los conjuntos:

5.

*

+

y

*

+

Se pide: a.

Defina por extensión los conjuntos

y . 8

CARTILLA MATEMATICA

b.

Halle: , Dados los conjuntos:

6.

*

, +

2017

, y

*

+

Defina por comprensión: ̅, , , Represente en la recta numérica, las regiones que representan a los conjuntos , y al resultado de cada una de las operaciones anteriores. Una encuesta aplicada a un grupo de jóvenes, acerca de las preferencias por alguna radio

a. b. 7.

F.M. de la región, señaló que: 277 preferían Radio Panorama 233 preferían Radio de la Mujer 405 preferían La 100 165 preferían Radio de la Mujer y La 100 120 preferían Radio de la Mujer y Radio Panorama 190 preferían Radio Panorama y La 100 105 preferían las tres estaciones de radio mencionadas Determine: a. b. c. 8.

¿Cuántos jóvenes fueron encuestados? ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Radio Panorama? ¿Cuántos jóvenes prefieren sólo Radio Panorama y La 100? Una encuesta realizada a 2000 hombres reveló lo siguiente respecto a sus gustos por distintos tipos de mujeres: 800 preferían las rubias; 950 preferían las morenas; 750 preferían las colorinas; 150 preferían las rubias y morenas; 300 preferían las morenas y colorinas 250 preferían las rubias y colorinas 200 Sólo morenas y colorinas

Determine el número de hombres que: a. b. 9.

Preferían los tres tipos de mujeres encuestados. No preferían estos tipos de mujeres. En una reunión se determina que 40 personas son aficionadas al juego, 39 son aficionadas al vino y 48 a las fiestas, además hay 10 personas que son aficionadas al vino, juego y fiestas, existen 9 personas aficionadas al juego y vino solamente, hay 11 personas que son aficionadas al juego solamente y por último nueve a las fiestas y el vino.

Determinar: 9

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2017

a. b.

El número de personas que es aficionada al vino solamente. El número de personas que es aficionada a las fiestas solamente En una encuesta realizada a 320 alumnos de Ingeniería Comercial de la Universidad de

10.

Valparaíso, se descubrió que estos prefieren tres lugares para sus “carretes” de fin de semana: 95 prefieren ir al “Kamikaze”; 90 prefieren ir al “Playa”; 120 prefieren ir al “Bar de los Cuatro Vientos”; 30 prefieren ir al “Kamikaze” y al “Playa” 10 prefieren ir al “Kamikaze” y al “Bar de los Cuatro Vientos” 40 prefieren ir al “Playa” solamente 60 prefieren ir al “Kamikaze” solamente Determine el número de estudiantes que prefieren: a. b. c.

Sólo ir al “Bar de los Cuatro Vientos” Ir a los tres lugares No salir y quedarse estudiando el fin de semana

10

CARTILLA MATEMATICA



2017

Conjuntos Numéricos

El conjunto de los números naturales, representado por

y definido en términos de sus

elementos es

*

+, es un conjunto infinito en el que observamos un primer

elemento y tiene

operaciones totalmente definidas, suma y producto.

Se dice totalmente definidas porque el resultado de estas operaciones en el conjunto, nos da por resultado otro elemento del mismo conjunto.

11

CARTILLA MATEMATICA

El conjunto de los números enteros, representado por *

+

* +

, es fácil ver que

2017

se define como

. Con los elementos del conjunto

podemos: sumar, restar y multiplicar, teniendo en cuenta los respectivos signos de cada elemento. Los números racionales pueden ser definidos abstractamente como pares ordenados de números enteros y se expresa de la siguiente manera o ⁄ con

y sujetos a las definiciones

fundamentales siguientes:

 Igualdad:

si, y solo si

 Orden:

si, y solo si

 Suma:  Producto: Los números enteros quedan incluidos en el sistema de los números racionales conviniendo en que Representación Geométrica de los Números Reales Dada una recta R, se elige en ella un punto origen al que se le hace corresponder el número cero y una unidad de medida. Se establece una correspondencia biunívoca entre el conjunto de los números reales y el conjunto de puntos de la recta R, es decir: “A todo número real corresponde un punto en la recta y a todo punto de la recta corresponde un número real”

Logaritmo Dado el número real número real

tal que

y

, siendo

, llamaremos logaritmo en base

de , al

.

En símbolos: si y solo si

, con

y

, siendo

Veamos algunas de sus propiedades: La logaritmación es uniforme: Si

, entonces

Esto significa que el logaritmo de un número es único. Logaritmo de un producto: (

) 12

CARTILLA MATEMATICA

2017

Logaritmo de un cociente. (

)

Logaritmo de una potencia.

Logaritmo de una raíz: √ Cambio de base: Hay una relación que permite la conversión de logaritmos a cualquier otra base y que se deduce de

Es decir, si se divide el logaritmo de un número por el logaritmo de la base en la que se quiere expresar se obtiene el valor del mismo logaritmo en dicha base. Por ejemplo:

Aplicación: 1.

Indique con la simbología correspondiente el conjunto numérico al que pertenece: a) 132 4

e) 2.

3.

2

f)

g)

4

8

d)

5 4

2

h) 1,4

a) 9 - 5 =

b) -3 - 5 =

c) 80 - ( -15 ) =

d) 30 - 17 =

e) 5 - 4 =

f) 3a - 10a =

Resolver mentalmente:

d)

5.

c)

Efectuar las siguientes restas:

a) 1 +

4.

b) -17,5

2 9

2

=

b)

+ 3 =

e)

3

1 2 3 7

+ 11 =

c) 3 +

+ 8 =

1 5

+ 7 =

f) 3 +

 3  5       2  8

=

Realizar las siguientes operaciones: a) ( 30 - 12 )- 3 =

b) (29 - 8 ) + { 30 + [ 16 - ( 17 - 15 ) - 8 ]}=

c) ( 7 + 2 ) - ( - 5 - 2 ) =

d) 4 + ( -3 - 5 ) - [7 + ( 8 - 2 )] =

Efectuar los siguientes productos: a) 4 . 28 . 10 . 6 =

b) 14 . (-3) . (-5) =

c) 3. (-3) . (-10) . 1 =. 13

CARTILLA MATEMATICA

d) -( 36 - 35 ) . (-2)= 6.

7.

e) 2 . 3 . (-4 ) . ( -5 ) . 2 =

2017

f) [(-2) + ( -8)].(-1) =

Hallar los siguientes cocientes: a) 3 : ( -3 ) =

b) 8 : 4 =

c) - 36 : 12 =

d) ( -16 ) : ( - 2 ) =

e) ( -33 ) : ( -11) =

f) -350 : 35 =

Colocar paréntesis donde corresponda para que se verifiquen las siguientes igualdades:

8.

9.

a) 2 + 4 . 3 = 18

b) 5 . 3 + 2 = 30

c) 1.5+2.8= 56

d) 20 - 2 + 4 : 2 = 20

e) -3 + -6 - 3 = 27

f) -20:5+8:2=8

Resolver las sumas y restas siguientes: a)

4 1 5 6 1 5  2         1      3  27 3 9 27 9 9

b)

5 8 3 1  1   9  1             4  5 2 4   5 4

c)

5 3  5 3         5  3      2 4 4  2

Efectuar las operaciones siguientes calculando previamente el valor de las expresiones encerradas entre paréntesis:

10.

11.

a)

9 12    14     4       2 5 

c)

8  4 

 

16 

  5 

d)

1 3    6    1       2 5 33 8

5

 

4



5

 

2

Suprimir los paréntesis y hallar el valor de las expresiones: a)

  5 5 7 9   7        2    3 6 3  

b)

1 

1 2

1

 

4

1

 

8



1  1        16  16  32  1 

Efectuar las operaciones combinadas siguientes: a)

1 3  1 3  3 1  4   32   .1    .   .  2 .  1    9 2 4  2 4  4 2  5

1

b)

10 9

.

5 1 2

12.

b)

 

1 8  15 12

c)

3 7  5 40  .  :    7 13  8 12 1 1  11 2   :   1     2 8 6 3



Calcular las siguientes potencias:

14

CARTILLA MATEMATICA

3

a) (-2) =

b)

10

14.

e) [ ( 2) ] =

3

c)

 10     3 

f)

2   a a   3 

= 3

=

Calcular las siguientes raíces: a)

81 

d)

144

b) =

e)

121



c)



f)

9

400 169

4

x

4

49.b



4



Hallar en cada caso el valor de "x": a) -3x + 5 - ( 8x) = 1

b)

√( )

2

d)

2x 

c)

x

 2

e) 3x - 16 = 20 15.

=

5 -2

d) (1) = 13.

4

 5    2

2017

100

f) 2x+3 + 8 = 1

Calcular aplicando la definición: a)

b)

c)

d)

e) 16.

Sabiendo que

y

. Calcular, aplicando las propiedades de la

logaritmación. a)

(

)

b)

c) 17.

d)

Sabiendo que a) c)

√

resuelva como en el apartado anterior. b)

(

)

d)

√

15

CARTILLA MATEMATICA

2017

RELACIONES Y FUNCIONES

16

CARTILLA MATEMATICA



2017

Funciones Dados dos conjuntos

y

no vacíos, se define el producto cartesiano

como el

conjunto de todos los pares ordenados cuya primera componente es un elemento de

y la segunda

componente es un elemento de B. *(

Se llama relación de

en

)

+

a todo subconjunto del producto cartesiano

, esto es

. Función

Las funciones son casos particulares de relaciones. Definición:

en

(

1.

El dominio de

es

2.

A cada elemento

Una función

de

le corresponde un único elemento

que se denota

( )

por A

) es una relación que cumple:

se le llama variable independiente y a

variable dependiente.

Funciones de primer grado

Toda función de primer grado en la variable

es de la forma:

( ) donde

y

son números reales, con

Las funciones de primer grado tienen las siguientes particularidades: 17

CARTILLA MATEMATICA



Su representación gráfica en el plano real es una recta.



El dominio es el conjunto de los números reales



La imagen es el conjunto de los números reales



La igualdad



La constante

2017

se llama ecuación explícita de la recta recibe el nombre de pendiente o parámetro de dirección y corresponde al

valor de la tangente del ángulo

(medido en sentido antihorario) que la recta forma con

la dirección positiva del eje . 

La constante

recibe el nombre de ordenada al origen o parámetro de posición,

geométricamente representa la intersección de la recta con el eje .

Y

r

𝛼 b

X

Ecuaciones de primer grado con una incógnita

Sea la función de primer grado definida por ( ) Si hacemos ( )

.

, la expresión anterior se escribe:

que se denomina ecuación de primer grado en la variable x.

18

CARTILLA MATEMATICA

2017

Por lo tanto, resolver esta ecuación implica hallar los ceros o raíces de la función polinómica de primer grado ( )

. Ya que la función es de primer grado, se tiene un

solo cero o raíz, es decir un solo valor de

que satisface la ecuación.

Por otra parte, la gráfica de la función es una recta y por lo tanto, resolver la ecuación geométricamente significa determinar la abscisa del punto de intersección de dicha recta con el eje X. EJEMPLO

Resolver la ecuación; Sumando

a ambos miembros y aplicando la asociatividad de la suma: ,

(

)-

(

)

se obtiene:

por la ley del neutro se tiene:

Multiplicando por a ambos miembros y aplicando la asociatividad del producto (

)

(

)

y por la ley del inverso y el neutro para el producto se obtiene:

(

), o sea

que es la única solución de la ecuación dada. Aplicación: 1.

Resolver analíticamente las siguientes ecuaciones: a.

9x + 8 = 7x + 16

b.

6x = 9.(3x - 1) -5

c.

2.(9x +5) - 12 = 9x

d.

x  4

 x  4

3

e.

2x

 1

5

f.

x

 2

4

3( x  7 )



4x

4

g.

13=

 5

5

5x 2



5x 8



x 4

19

CARTILLA MATEMATICA

h.

3. ( 9 x  7 )

1



8

i.

x



a

j.

x

2.

 7

2

x

 1

b x



a

k.

2017



2b x

a  b

x

 1

4c



x a  b

 2

Plantear cada una de las siguientes situaciones y encontrar su conjunto solución. a.

¿Cuál es el número que aumentado con 24 llega a ser cinco veces mayor de lo que era antes?

b.

La suma de las edades de 3 personas es de 85 años; ¿Calcular la edad de cada una, sabiendo que la edad de la segunda es el doble de la edad de la primera, y que la tercera tiene 15 años menos que la segunda.

c.

Cuatro hermanos tienen $ 45 .S el dinero del primero es aumentado en $2, el del segundo reducido en $ 2, se duplica el del tercero y el del cuarto se reduce a la mitad, todos los hermanos tendrán la misma cantidad de dinero . ¿Cuántos pesos tendrá cada uno?

d.

A una velada asistieron 20 personas. María bailó con siete muchachos, Olga con ocho, Ana con nueve, y así hasta llegar a Pepa, que bailó con todos ellos .¿Cuántos muchachos había en la velada?

e.

Dos automóviles, A y B, cuyas velocidades medias son de ⁄ , respectivamente, distan sabiendo que a las

f.

⁄

y

. Hallar a que hora se encontraran

de la tarde empiezan a moverse el uno hacia el otro.

Una columna de soldados marcha a una velocidad de

⁄ . Un enlace a

caballo va desde la cabeza de la columna hasta el final de la misma y regresa inmediatamente, empleando un tiempo total de velocidad del enlace es de

. Suponiendo que la

⁄ , hallar la longitud de la columna.

Funciones de segundo grado

Las funciones de segundo grado o cuadráticas tienen las siguientes particularidades: 

Su representación gráfica en el plano real es una parábola.



El dominio es el conjunto de los números reales, salvo se indique lo

contrario. 20

CARTILLA MATEMATICA



La imagen es un subconjunto de los números reales los valores de ,



La igualdad ( )

2017

( ) depende de

y . , es la ecuación de la parábola, en donde:

es el coeficiente del término cuadrático 

es el coeficiente del término lineal



se denomina término independiente

Ecuaciones de segundo grado

Sea la función de segundo grado definida por ( )

21

CARTILLA MATEMATICA

Haciendo ( )

, la ecuación se puede escribir

2017

, que se denomina

ecuación de segundo grado en la variable , por lo tanto, resolver esta ecuación implica hallar los ceros o raíces de la función polinómica de segundo grado ( )

.

Como la función es de segundo grado, tiene dos raíces o ceros. Por otra parte, geométricamente, determinar los ceros o raíces, significa determinar la abscisa de los puntos de intersección, si existen, de la parábola (grafico de la función dada) con el eje

.

Para determinar las posibles soluciones (o raíces reales), se emplea la siguiente fórmula: √

.

Esto muestra que existen a lo sumo dos soluciones reales, y esto depende del valor que tome

, llamado discriminante de la ecuación. 

Si

, la ecuación tiene dos soluciones reales distintas: √



Si

√

y

, la ecuación tiene una sola raiz real doble: y

Esto es:

Por lo tanto la parábola se interseca con el eje

en un solo punto.

Aplicación: 1.

Resolver las ecuaciones siguientes: a.

4x2 + 9x + 2 = 0

b.

2x2 - 9x - 5 = 0

c.

(x+5).(x+2) = 40

d.

x.(x+10) + 9 = 0 22

CARTILLA MATEMATICA

e.

(x+3).(x-2) = 13x - 17

f.

x2 - 4x+ 3 = 0

g. h.

x 1 x 1 2 3

2.

x.



4

x 1 x 1

2017

 6

x  120

5

Plantear y resolver las siguientes situaciones. 

Una suma de $ 400 debe distribuirse en partes iguales entre cierto número de personas. Pero en el momento de la repartición faltan 5 de ellas, lo que permite dar $ 4 más a las otras. ¿Cuántas personas había al principio?.



Las personas que asistieron a una reunión se estrecharon la mano. Uno de ellos advirtió que los apretones de mano fueron 66. ¿Cuántas personas concurrieron a la reunión?.



Hállese tres números consecutivos en los que el cuadrado del número del medio sea mayor en una unidad al producto de los dos restantes.



Calcular los lados de un rectángulo, cuya superficie es de 396 m2 y sabiendo que el semiperímetro es de 40m.



La superficie de un triángulo es de 60 m2. ¿Cuál es la altura, sabiendo que tiene 2m más que la base?.



Sobre un terreno llano se quiere establecer un parque de forma rectangular que tenga muna superficie de 6.400 m2 y como perímetro 400m. Calcular las dimensiones de los lados del parque

Expresiones algebraicas

23

CARTILLA MATEMATICA

2017

En muchas oportunidades es necesario trabajar con fórmulas, tales como:  Perímetro

El perímetro y el área de un terreno rectangular. ;

Área



El volumen de una esfera:



El desplazamiento

de un móvil que se mueve con M.R.U. con velocidad

durante un determinado tiempo : 

La expresión que vincula, la presión ( ) , el volumen ( ) y la temperatura absoluta ( ) de un gas (ideal): , donde



es una constante propia del gas.

La expresión que vincula la hipotenusa de un triángulo rectángulo con sus catetos (Teorema de Pitágoras)

√ Todas éstas fórmulas son “expresiones algebraicas”. Se denomina expresión algebraica a toda combinación de números y letras, vinculados por las operaciones de adición, sustracción, producto, división, potencia y radicación. A las letras se las denomina variables ya que representan números que no se han fijado.

24

CARTILLA MATEMATICA

2017

Estas expresiones se clasifican en racionales (enteras o fraccionarias) e irracionales, según los exponentes a los que están afectados las variables. Expresiones algebraicas enteras- Polinomios Se llama polinomio de grado

en la variable

sobre el conjunto de los números reales a

toda expresión de la forma: ( )

, con

, …,

y

un número entero no negativo, con

,

, números reales llamados coeficientes.

Notación:  A los polinomios en la variable x se los simboliza con letras mayúsculas indicando la indeterminada entre paréntesis: P (x) ; Q (x) ; T (x)  A los polinomios que tienen un solo término se los llama monomios, a los que tienen sólo dos, binomios y a los de tres, trinomios.  A a0 se lo llama término independiente y a an se lo llama coeficiente principal.

Valor numérico: El valor numérico de un polinomio P(x) es el número real que se obtiene al reemplazar la variable x por un número determinado y efectuar las operaciones que están indicadas. Operaciones con polinomios: Suma - Resta: La suma de dos polinomios es otro polinomio cuyos términos se obtienen sumando (o restando) los términos de igual grado. Recordar que la resta se obtiene sumando a un polinomio, el opuesto del otro Producto: Para multiplicar dos polinomios se multiplica cada monomio de uno de ellos por cada uno de los términos del otro y luego se suman los coeficientes de los términos de igual grado (para

25

CARTILLA MATEMATICA

2017

operar se deben tener en cuenta las propiedades distributiva del producto respecto de la suma de números reales y del producto de potencias de igual base) División: Para efectuar la división entre dos polinomios, el polinomio dividendo debe ser de grado mayor o igual que el grado del polinomio divisor y deben estar ordenados en forma decreciente. Además el polinomio dividendo debe estar completo. 1.

Calcula: a) 2P(x) + Q(x) - R(x) = b) P(x) . Q(x) + R(x) = 1

c) (P(x) - R(x)) + Q(x) 2

d) R(x) : Q(x) = donde: P(x) = 2x2 -x ; 2.

Calcule el valor numérico del polinomio 5x 3 + 2x2 - 3x + 4 , para : a) x = 1

3.

R(x)= 3x3 - 2x2 - 1

Q(x) = 5x + 1 ;

b) x = 1,07

c) x = 3

Calcule el valor numérico de la siguiente expresión algebraica para : a = -1 ; b = -1/2 ; c = -2 y para a = 0,3 ; b = 0 ; c = -0,1 a2 c - a c2 + b c2 + a3 c3 b3

4.

Dados los polinomios: P(x) = 4 x3 - 2 x2 + 6 x - 3

Q(x) = -3 x3 + 4 x2 - 1

R(x) = x - ½

Calcular:

5.

a) [ ¼ P(1) ]3 . Q(-1) =

b)

c)

d) [ Q(x) . P(x) ] - 2 R(x) =

Q(x) + P(x) . R(x) =

1 5

[ R(2) - Q(-1) ]:P(-2) =

Aplica la relación P(x) = Q(x) . C(x) + R(x) para encontrar un polinomio P(x), tal que dividido entre x2 - 1 de cociente x + 3 y resto x - 2 .

6.

Utiliza la regla de Ruffini , calcula el cociente y el resto de : a) 6x3 + x4 - 2x + 15 - 6x2 entre x + 3 2

5

1

2

3

6

2

3

b) x5 - 3x4 - x3 + x6 + x entre x - 2 c) 3x3 + 4x2 - 3x + 5 entre x + 2 7.

En las siguientes expresiones , que tiene la forma x - a , ¿cuál es el valor de " a ". 26

CARTILLA MATEMATICA

x-2; 8.

x+3;

x-1 ;

2017

x+4

Se sabe que al dividir x3 - x2 + a x - 10 entre x -2 la división es exacta ¿cuál es el valor de " a "?.

9.

¿Cuánto debe valer " a " para que al dividir x3 - x2 + 11 x + a entre x - 3 la división sea exacta?. ¿es a un múltiplo de 3?.

10.

Calcular, sin efectuarlas , el resto de las siguientes divisiones : a) (x3 - 1) : ( x - 1) ;

b) (x 4 + 2 x + 1) : ( x + 1)

c) ( 3x5 - 4x3 + 2x2 - 7x + 1) : ( x - 1) 11.

Determine el valor de "a " en el polinomio 2x 3 + ax + 3 de modo tal que al dividirlo en (x +3), de por resto -79

12.

Determine los valores de "a", "b" y "c" en la siguiente expresión: (ax2 + bx + c) (x - 1) = 2x3 - x2 - 4x + 3

13.

Recordando que un número a es raíz de un polinomio si al reemplazarlo por la indeterminada anula al mismo es decir P(a) = 0. Marcar con una cruz cuales de los siguientes números son raíces de los polinomios dados a) P(x) = x4 - 5 x2 + 4 0 ....... 1 ....... 2 ....... 3 ....... 4 ....... -1 ....... -2 ....... -3 ....... -4 ....... b) P(x) = x3 - 3 x2 - 4 x - 12 1 ....... 2 ....... 3 ....... 0 ....... -1 ....... -2 ....... -3 .......

14.

Recordando que un polinomio P(x) es divisible entre Q(x) solo si su resto es cero; indique entre que polinomios son divisibles los del ejercicio anterior.

Factoreo Se dice que un polinomio P(x) es primo cuando no es posible expresarlo como un producto de polinomios de grado menor que el grado de P(x) , en caso contrario se dice que el polinomio es compuesto. EJEMPLO:

P( x)  x  9 es primo Q( x)  x 2  16  ( x  4)( x  4) es compuesto

Factorear un polinomio significa transformarlo en un producto de factores primos. Casos de factoreo Factor común: 27

CARTILLA MATEMATICA

2017

Si en todos los términos de un polinomio figura un factor común, dicho polinomio es igual al producto de ese factor común por el polinomio que resulta de dividir cada término por ese factor. (

)

Factor común por grupos: Si los términos de un polinomio pueden reunirse en grupos de igual número de términos, con un factor común en cada grupo, se extrae de cada uno de ellos el factor común y luego se factorea nuevamente con respecto al factor común que aparece entre paréntesis. (

)

(

)

(

)

(

)

(

)(

)

Trinomio cuadrado perfecto: Si un trinomio es un cuadrado perfecto, se puede factorear como el cuadrado de un binomio, formado por la suma de las bases de los cuadrados perfectos del trinomio, verificando en él el doble producto de dichas bases como el término restante. (

)

(

)

(

)

(

)

Cuatrinomio cubo perfecto: Si un polinomio es un cuatrinomio cubo perfecto, se factorea como el cubo del binomio formado por las bases de los cubos perfectos, que son términos del cuatrinomio, verificando en él los triples productos de los cuadrados de dichas bases por la otra como términos restantes del cuatrinomio. (

)

(

)

(

)

(

)

(

)

(

)

Diferencia de cuadrados: Si un binomio es una diferencia de cuadrados, se puede expresar como el producto de la suma por la diferencia de las bases de dichos cuadrados.

Suma o diferencia de potencias de igual grado: Para factorear un binomio que es suma o diferencia de dos potencias de igual grado, se determina que binomio divisor le corresponde al binomio dado; se halla el cociente y se forma el producto del divisor por ese cociente. Expresiones algebraicas fraccionarias Una expresión algebraica fraccionaria es una expresión de la forma

( ) ( )

, siendo el grado

de ( ) mayor o igual que uno.

28

CARTILLA MATEMATICA

2017

Se puede operar con las expresiones algebraicas fraccionarias y se lo hace de igual manera como se suman, restan, multiplican y dividen las fracciones numéricas. 15.

16.

Factorear los siguientes polinomios en función de sus raíces a) P(x) = x2 - 2 x - 3

b) P(x) = x2 - 3 x - 10

c) P(x) = 3 x2 + 2 x - 1

d) P(x) = 2 x3 - 7 x2 - 17 x + 10

Transforme en producto las siguientes expresiones: 1

a) 3 (a + b) + x (a + b) + x2 (a + b)

b) (x2 - 1) + 2a ( x2 - 1) - 5x ( x2 - 1) 2

c) m5 + m3n + m2n3 + n4

d) x4 - x3 - 13x2 - x + 12

e) x4 + 3x3 - 7x2 - 27x - 18

f) 3( a - b ) + x ( -a + b )

1

1

2

2

g) 3( a - ) + x (

- a ) - x2 ( 2a - 1)

2

2

1

9

3

3

h) x3 + x2 n - xn - n2

i) a2 - b2

j) x2 - 4 y2

1 k) x2 y4 - 0,81 x2

l) x6 - 2x3y + y2

4

m) x2 + 2xy + y2 + 5x + 5y

n) 4x2 + 4xy + y2 - 6x -3y

o) -1 + a6

p) 0,09 n4 - 0,12 m2n3 + 0,04n6

2

2

9

3

q) ax3 -

bx3 -

2 27

a2x3 +

2 9

abx3

r) 5x5 + 10 + 5x + 10x4

s) x3 + 2x2y + xy2 +2x2 + 4xy + 2y2 17.

Simplifique las fracciones algebraicas: a)

18.

;

y(y  x)

x

b) x

3

2

 x

 2x

2

 x

;

c)

2a

2

 5 a  12 2 16  a

Realice estas operaciones con fracciones algebraicas: a)

d)

g) 19.

x(x  y)

4 x  2

3 x 1 a

2 .



x x  2

4

 x b

;

2 .

2 c

b)

;

e)

1

2a a 1



c)

a

x  y x  y : 2 x 3x

2

h)

b . c a . c a .b

a 1

2a

f)

:

a b a

2x  3 x 1 2

.



3x  2 x 1



5x  4 x 1

x

x 1 x 1

4 2

b

2

Calcule y simplifique al máximo los resultados 1

a) x

2

 y

2

:

1 x  y

;

b)

xy  x ay  a : 2 y y

29

CARTILLA MATEMATICA

c)

e)

x 

x

2

x 1

x  2 2  x



x

 x

2

x x 1 2   4

;

d)

2 ab

2

2017

2 :4 a b

3 xy

x  2 x  2

30

CARTILLA MATEMATICA

2017

GEOMETRÍA

31

CARTILLA MATEMATICA

2017

Conceptos básicos de Geometría El punto, la recta y el plano, son los conceptos primitivos en Geometría. El punto: En Geometría, el punto es la marca mínima que se puede hacer sobre una superficie plana. Cuando apoyamos el lápiz sobre una hoja de papel, hacemos un punto. Este punto no tiene tamaño específico. Basta con apoyar el lápiz y tenemos un punto, pero ese punto debe estar en un plano. Línea recta: La recta es la sucesión de puntos, y que se extiende en ambos sentido. Esta sucesión de puntos que hemos llamado recta no tiene un grosor o anchura determinada, pero si una extensión o longitud ilimitada.

Línea curva: Si el punto cambia continuamente de dirección entonces es una línea curva.

Notación: Una línea puede ser recta, curva o combinada.

Una línea cualquiera, puede extenderse

en forma ilimitada. Posiciones relativas de dos rectas en el plano:  Paralelas, cuando no tienen ningún punto común. 32

CARTILLA MATEMATICA

2017

 Secantes, cuando se cortan en un punto.  Coincidentes, cuando tienen infinitos puntos comunes. Se trataría de la misma recta. Plano: El nombre de plano proviene del latín planus, y que significa que está a nivel; por lo cual, el plano es una superficie lisa que se extiende en toda dirección en forma ilimitada, aunque lo representamos con cuatro lados. El ancho y el largo son ilimitados, aunque lo representamos con cuatro lados.

Un plano es una superficie que tiene longitud y anchura pero no espesor. El plano tiene dos dimensiones a diferencia de la mayoría de los casos que nos rodean que están en tres dimensiones. La geometría plana estudia por ejemplo los triángulos, cuadriláteros, polígonos regulares, cálculo de áreas, perímetros y volúmenes. Angulo Es la figura formada por 2 semirrectas que parten de un mismo punto. Las semirrectas se llaman lados y el punto común vértice. Notación: Un ángulo se denota de la siguiente forma:   

Una letra mayúscula en el vértice Una letra griega o un símbolo en la abertura. Tres letras mayúsculas.

Sistema de medición de ángulos Sistema sexagesimal: Grados Se divide la circunferencia en 360 partes iguales y cada una de estas partes constituye un grado sexagesimal. Uno de estos grados se divide en 60 partes iguales (60’) que corresponden, cada una de ellas, a un minuto. 33

CARTILLA MATEMATICA

2017

Un minuto se divide nuevamente en 60 partes iguales (60") correspondiendo cada una de estas partes a un segundo. Sistema Circular (Sistema Radial)

La longitud de una circunferencia mide

.

grados sexagesimal. Ángulos Tipos de ángulos Cóncavo: 34

CARTILLA MATEMATICA

2017

Agudo Recto Obtuso Convexo Llano 1 Giro

Por ejemplo, el ángulo obtuso está comprendido entre

y

, no incluyendo estos

valores. Equivalencias entre el sistema circular y el sistema sexagesimal

Notación compleja: 

25 1 2  3 6  ,

representa un ángulo de 25 grados, 12 minutos y 36 segundos. Para pasar a

notación decimal haríamos:

35

CARTILLA MATEMATICA

36 00 3600



3600 0,01

2017

para pasar los segundos a grados los dividimos por 3600 que son los

0 120

60 0,2

segundos que tiene un grado, 120

para pasar los minutos a grados los dividimos

0

por 60 que son los minutos que tiene un grado, y por último sumamos ambos cocientes al número de grados y obtenemos el ángulo en notación decimal, en este caso 25  0 , 01  0 , 2  25 , 21 .

 Con la calculadora buscamos la tecla o ’ ” , y realizamos la siguiente operación 25 o ’ ” 12 o ’ ” 36 o ’ ” y en pantalla tendremos la conversión ya realizada. Notación decimal: 

, que es el ángulo anterior, para pasar de un ángulo decimal a uno en notación compleja haríamos:  0 , 21  60  12 , 6 , multiplicamos la parte decimal por 60, la parte entera del nuevo número serán los minutos de arco,12, y 0 , 6  60  36 , multiplicamos la parte decimal de nuevo por 60, el número así obtenido serán los segundos de arco. Así pues, la parte entera del número original serán los grados, 25o, la parte entera del número que se obtiene al multiplicar la parte decimal por 60 serán los minutos, 12’, y la parte decimal de éste último número multiplicada por 60 serán los segundos, 36”.  Utilizando la calculadora, haríamos 25.12 o ’ ” SHIFT o ’ ” , y nos quedaría 25 . 21





25 12 36





, donde debemos leer 25 1 2  3 6  .

Radián: es el valor del ángulo central de una circunferencia que abarca un arco igual al radio. Como la longitud total de una circunferencia es 2  veces el radio, entonces equivale a 2  radianes, de donde 2  radianes equivalen a 360o,  radianes serán 180o y



radianes serán 90o o un ángulo

2

recto. Suma y resta de ángulos: la forma más rápida y cómoda, aparte de con la calculadora, es hacerlas siempre en notación decimal, es decir, convertir todas las medidas angulares a su notación decimal. Suma en notación compleja: sumaríamos grados con grados, minutos con minutos y segundos con segundos, pero con las siguientes precauciones:  Lo hacemos por columnas, así:





13 

5 5

4 9 

131 

2 5

1 7  

144 

80

6 6 

como hay más de sesenta segundos, restamos 60 a los

que hay y añadimos un minuto más, luego hacemos lo mismo con los minutos y añadimos un grado más, de este modo 144 

80  1

144 

8 1

6 6 

144 

 6 0    1  6 

145 

8 1

6 

 60 2 1



que es el ángulo suma.

6 

 Con la calculadora sería 13 ’ ” 55 ’ ” 49 o ’ ” + 131 o ’ ” 25 o ’ ” 17 o ’ ” = SHIFT o

o

o

’ ” , y nos quedaría el resultado obtenido antes. Resta en notación compleja: 36

CARTILLA MATEMATICA

2017

restaríamos por columnas, pero siempre que una unidad del minuendo sea menor que su correspondiente del sustraendo debemos convertir una unidad superior del minuendo en 60 unidades que añadiremos a las que ya había.  Por ejemplo, restar los ángulos 119  2 5  0 3  y 25  5 5  4 9  , para que las cantidades del minuendo sean siempre mayores que sus correspondientes del sustraendo debemos pasar un minuto a segundos, así pasaríamos al ángulo 119  2 4  6 3  , como siguen siendo los minutos del sustraendo mayores que los del minuendo debemos pasar un grado a minutos y nos quedaría por fin el ángulo 118  8 4  6 3  , al cual ya le podemos restar sin problemas el otro ángulo dado, así:





118 

84

6 3 

25 

5 5

4 9 

93 

29

1 4 

.

 Con la calculadora sería 119 o ’ ” 25 o ’ ” 3 o ’ ” – 25 o ’ ” 55 o ’ ” 49 o ’ ” = SHIFT

o

’

”. Multiplicación y división de ángulos: en notación decimal procedemos como lo haríamos con un número decimal normal. Multiplicación en notación compleja: para multiplicar por un número natural  Se multiplican los grados, minutos y segundos, por separado, por dicho número.  Si los segundos obtenidos resultan ser más de 60, pasamos el excedente a minutos y los agregamos a los mismos.  Si los minutos obtenidos son más de 60, pasamos el excedente a grados y los agregamos a los mismos. 3 5

79 

 Así, el triple del ángulo

79  3 5  5 0 

3

será, 10 5 

237  237 

10 5   2

237 

10 7 

15 0   120  3 0 

5 0 

237 

10 7 

1

 60

238 

47

15 0 

3 0  

que es el resultado final.

3 0 

 Con la calculadora 79 ’ ” 35 ’ ” 50 ’ ” X 3 = SHIFT o

o

, y a continuación

o

o

’” .

División en notación compleja: para dividir por un número natural  Dividimos los grados por dicho número, división entera, el resto de la división lo pasamos a minutos multiplicándolo por 60 y se lo añadimos a los minutos que ya teníamos. Dividimos dichos minutos por el número, división entera, el resto de la división lo pasamos a segundos multiplicándolo por 60 y se lo añadimos a los segundos que ya teníamos. Por último dividimos éstos por el número, sacando a lo sumo tres decimales, es decir, milésimas de segundo.

 Así, la tercera parte del ángulo 175

 1 5  2 0 

añadimos a los minutos y obtendremos

sería

75

3

0

25

175

3

1

58

, el resto por 60 lo

, como el resto es cero dividimos

directamente los segundos que teníamos, que dándonos 6.666, así pues, la tercera parte del ángulo es 58  2 5  6 . 66 6  .  Con la calculadora 175 o ’ ” 15 o ’ ” 20 o ’ ” ÷ 3 = SHIFT o ’ ” . Ejercicios de Aplicación 37

CARTILLA MATEMATICA

P1.- Sean los ángulos

Aˆ  45  1 0  5 3  , Bˆ  57  1 0  2 



Aˆ  Bˆ  Cˆ , 2  Aˆ  Bˆ  Cˆ

2017

y Cˆ  20  0  4  . Hallar el valor de los ángulos

 , los complementarios y suplementarios de todos.

P2.- Dados los ángulo consecutivos

  45  2 0  1 0 

y   108  4 2  2 0  , calcular el ángulo formado por

las bisectrices a dichos ángulos.

P3.- Hallar el ángulo diferencia, y su complementario, de los ángulos P4.- Dado

  10  2 0  4 0 

Aˆ  50 

y Bˆ  47  2  5 2  .

, calcular su triple y el suplementario del mismo.

P5.- Hallar la quinta parte del ángulo

  50  1 2  4 

, y luego el quíntuplo del complementario de la

quinta parte.

P6.- Halla el complementario y el suplementario de P7.- Cual es el valor del ángulo que son los 5/4 de

  42  2 0  5 0 

  34  1 2  2 0 

.

.

P8.- ¿Qué ángulo forman entre sí las bisectrices de dos ángulos adyacentes?. Relación entre ángulos 

Ángulos adyacentes Son ángulos que tienen un lado común y el mismo vértice ̂ es adyacente con ̂



Ángulos opuestos por el vértice - Dos líneas que se intersectan generan ángulos opuestos por el vértice. Son ángulos no adyacentes. 1, -

2,

3y

4

Son ángulos congruentes: 1=

2y

3=

4

38

CARTILLA MATEMATICA



El 

El

2017

Ángulos complementarios - Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 90°.

BAC es adyacente al

DAC y viceversa.

Ángulos suplementarios - Es un tipo especial de ángulo adyacente cuya particularidad es que suman 180°.

BAC es adyacente al

DAC y viceversa.

RECTAS PARALELAS: Ángulos formados por rectas paralelas cortadas por una transversal. Tipos de ángulos formados

39

CARTILLA MATEMATICA

 

Ángulos correspondientes entre paralelas. Ángulos alternos entre paralelas.

1=5 4=8 3=5 Son suplementarios (suman 180°)

1

2017

6

2

5

3

8

4

7

2=6 3=7 1=7 2=8 4=6 Ángulos contrarios o conjugados

1

8

2

7 3

6

4

5

TRIANGULOS:

DEFINICIONES Triángulo es un tipo de polígono (o figura plana y cerrada) que tiene tres lados. El triángulo ilustrado en la figura indica: Triángulo ABC

ABC

Lados: Ángulos 40

CARTILLA MATEMATICA

2017

Nociones elementales sobre polígonos regulares y sus elementos. Conceptos basicos  Línea poligonal o quebrada: es la figura formada por varios segmentos concatenados. A los segmentos se les denomina lados y a los puntos de unión vértices. Pueden ser: 

Abierta: cuando el primer extremo del primer segmento no enlaza con el segundo extremo del último segmento.  Cerrada: cuando el primer y el último segmento enlazan.  Polígono: parte del plano limitada por una poligonal cerrada. 

Convexo: es convexo cuando la recta determinada por la prolongación de uno cualquiera de sus lados divide al plano de tal forma que todos los vértices del polígono quedan en el mismo semiplano  Cóncavo: cuando no ocurre lo anterior con uno o más lados.  Perímetro: es la suma de todos los segmentos del polígono.  Diagonal: todo segmento que une dos vértices no consecutivos de un polígono. 



Número total de diagonales de un polígono: d  n   n  3  , siendo n el número de lados o vértices del polígono, ya que si te fijas bien, por cada vértice solo se pueden trazar n  3 diagonales. n  n  3  Número total de diagonales distintas: D  , ya que todas se repiten una vez. 2

 Ángulos:  Interiores, î: son los que abarcan uno o más lados del polígono, están formados por dos lados consecutivos.  Exteriores, ê: los formados por un lado y la prolongación de su contiguo, o bien, los suplementarios de los interiores. La suma de todos ellos, en un polígono convexo, es de cuatro rectos, 360o. Como

ˆi  eˆ  180 

,

eˆ  4  90 

, y si n es el número de lados o

vértices, entonces  ˆi  eˆ   n  180  , ya que hay tantos ángulos internos como externos, y tantos como vértices. Juntándolo todo, tenemos que  ˆi  eˆ    ˆi   eˆ  n  180    ˆi  n  180   2  180  , o lo que es lo mismo

 ˆi   n  2   180  .  Clases de polígonos: hay varias formas de clasificarlos:  Atendiendo a la forma en sí:1  Equiláteros: cuando tienen los lados iguales entre sí, aunque no los ángulos.  Equiángulos: cuando tienen los ángulos iguales entre sí, aunque no los lados  Regulares: son aquellos que tienen todos sus lados y ángulos iguales entre sí.  Irregulares: cuando los ángulos y los lados no son iguales entre sí.  Atendiendo a sus ángulos:  Convexos. 41

CARTILLA MATEMATICA

2017

 Cóncavos.

Convexo. Poligonal abierta. Cóncavo. Poligonal cerrada.



A

Atendiendo al número de lados:  Triángulos, tienen tres lados.  Cuadriláteros, tienen cuatro lados. E  Pentágonos, tienen cinco lados. D1  Hexágonos, tienen seis lados. D2 i B  Heptágonos, tienen siete lados.  Octágonos u octógonos, tienen ocho lados.  Eneágonos, tienen nueve lados. e  Decágonos, tienen diez lados. D C  Undecágonos, tienen once lados.  Dodecágonos, tienen doce lados. Diagonales por el vértice A, D1 y D2.  Pentadecágonos, tienen quince lados. i ángulo interno y e ángulo externo.  Icosígonos, tienen veinte lados. Para el resto de los casos se suelen nombrar como “polígono de n-lados”.  Polígonos regulares:  Centro: es el punto equidistante de los vértices, es el centro de la circunferencia circunscrita al mismo, y también el centro de la circunferencia inscrita.  Un polígono se dice inscrito a una circunferencia cuando todos sus vértices están situados sobre la misma y sus lados son cuerdas de ella. De tal circunferencia se dice que está circunscrita al polígono.  Un polígono se dice circunscrito a una circunferencia cuando todos sus lados son tangentes a la misma. De tal circunferencia se dice que está inscrita al polígono.  Radio, r: es la distancia del centro a un vértice, es el radio de la circunferencia circunscrita al polígono.  Apotema, a: es la distancia del centro a un lado, es el radio de la circunferencia inscrita al polígono.  Ángulo central, ĉ: es el ángulo formado por dos radios consecutivos. La suma de todos ellos es de cuatro rectos, dos llanos o 360o. Luego, un ángulo central de un polígono de n-lados vale 

cˆ 

360  n

.

Ángulo interior, î: un ángulo interior de un polígono regular de n-lados vale ˆi  180    n  2  . n



Ángulo exterior, ê: un ángulo exterior de un polígono regular de n-lados vale eˆ 

360  n



eˆ  cˆ

,

, luego se deduce que: eˆ  ˆi  cˆ  ˆi  180 

.

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CARTILLA MATEMATICA

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Ejercicios de aplicacion P1.- El ángulo exterior de un polígono mide 85o. ¿Cuánto medirá el ángulo interior correspondiente?. P2.- Calcular la suma de los ángulos interiores de un pentágono. Si fuera regular, ¿Cuánto mediría cada uno?. P3.- ¿Cuánto mide el ángulo interior de un hexágono regular?. P4.- ¿Cuál es el polígono cuyos ángulos interiores suman 1260o?. P5.- ¿Cuál es el polígono regular cuyo ángulo exterior mide 45o?. P6.- ¿Puede haber un polígono regular cuyo ángulo exterior mida 75o?. ¿Y con un ángulo interior de igual medida?. P7.- ¿Cuánto vale la suma del ángulo interior y del ángulo exterior de un decágono regular?. P8.- ¿Cuánto vale el ángulo interior de un polígono regular de doce lados?. P9.- ¿Cuánto vale el ángulo exterior de un pentágono regular?. P10.- El ángulo interior de un polígono regular mide 156o. ¿Cuántos lados tiene el polígono?. P11.- El ángulo exterior de un polígono regular vale 20o. ¿Cuántos lados tiene el polígono?. P12.- ¿Cuántos lados posee el polígono cuyos ángulos interiores suman 2340o?.

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CARTILLA MATEMATICA

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FUNCIONES TRIGONOMETRICAS EN UN TRIANGULO RECTANGULO

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Resolución de triángulos rectángulos. Resolver un triángulo rectángulo, consiste en hallar los elementos desconocidos de él dados otros elementos. Para ello se requieren dos datos que no pueden ser la medida de dos ángulos interiores. Previamente es importante recordar: 

Elementos distinguibles de un triángulo rectángulo B β

Catetos: son los lados que forman el ángulo recto.

a

c

hipotenusa

cateto

α

A

C

b cateto

 

Teorema de Pitágoras El cuadrado de la hipotenusa es igual a la suma de los cuadrados de los catetos

c

2

 a

2

b

β c a

2

α

b

C

Razones trigonométricas de un ángulo agudo de un triángulo rectángulo. Dado un triángulo rectángulo ACB como el de la figura anterior, se pueden formar 6 razones con sus tres lados: a c

,

b c

,

a b

,

,

b a

,

,

c a

,

,

c b

Veamos ahora lo que ocurre con estas razones cuando varían las medidas de los lados del triángulo. Por ejemplo, si se construyen triángulos semejantes como los siguientes: uno de ellos cuyos catetos midan 3 cm y 4 cm, y su hipotenusa 5 cm. y los otros dos de tal manera que los catetos y la hipotenusa sean el doble y el triple (según corresponda) de los valores del primero; se puede observar que existe entre las longitudes de los lados una proporcionalidad.

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CARTILLA MATEMATICA

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Esta proporcionalidad también puede escribirse respecto a los lados homólogos (aquellos que se ubican en la misma posición), por ejemplo:

B

8

Lo importante a destacar es que el ángulo en todos los casos es el mismo, vale decir que la razón no depende de la longitud de los lados. Este hecho es importante ya que permite relacionar a los ángulos con la razón de la proporción de los lados. Esta relación presenta la propiedad de existencia y unicidad ya que para cada par de lados homólogos existe y es único el valor relacionado con una determinada amplitud angular, por lo tanto se establece una función. Cada una de las razones arriba mencionadas es una función que se denomina trigonométrica y se define a continuación: Funciones Trigonométricas sen  

cateto

opuesto



hipotenusa

cos  

cateto

a c

adyacente

cateto cateto

opuesto

b



,

adyacente

a

cateto

cos ec  

,

b

a



adyacente

hipotenuza cateto

b



opuesto

hipotenuza

sec  

c



adyacente

cateto

hipotenusa

tg  

cateto

cot g  

,

opuesto

c b



c a

B β a

c

α

A b

C

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2017

Para resolver triángulos rectángulos los pasos a seguir son los siguientes: 1

Se dibuja un triángulo rectángulo, se designa con letras a sus elementos

2

Los datos se escriben sobre el propio triángulo

3

¿Qué fórmulas, razón o razones trigonométricas ligan los datos e incógnitas?

4

Se escriben tales relaciones de las que resultará una ecuación o un sistema de ecuaciones

5

Se resuelve la ecuación o el sistema resultante

6

Se discute la solución

7

Se comprueban los resultados

Ejemplo A

Determinar las razones trigonométricas correspondientes al ángulo indica

del triángulo rectángulo que se

Teniendo en cuenta los datos del gráfico, tenemos Cateto opuesto: unidades Cateto adyacente: unidades Hipotenusa: Mediante la aplicación del teorema de Pitágoras, tenemos √

√

√

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CARTILLA MATEMATICA

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APLICACIÓN DE TRIGONOMETRÍA EN TRIÁNGULOS RECTÁNGULOS Otro de los conceptos que aplicamos para dar solución a las situaciones planteadas es el de ANGULO DE ELEVACION Y ANGULO DE DEPRESION.

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CARTILLA MATEMATICA

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CARTILLA MATEMATICA

1.

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Halle las razones trigonométricas del ángulo “ α ” de un triángulo rectángulo sabiendo que su hipotenusa es el doble de su cateto opuesto que mide 9 m.

2.

En un triángulo ABC, dos de sus lados (a y b) miden respectivamente 4 m y 6 m. Además el ángulo que forman a y b es agudo. ¿Cuánto debería medir el lado c para que el triángulo resulte rectángulo?

3.

Halle las razones trigonométricas de los ángulos agudos ( α y β ) de un triángulo rectángulo ACB, recto en C, sabiendo que el cateto adyacente al ángulo α mide 8 m y la hipotenusa mide √

4.

En un triángulo rectángulo la longitud de la hipotenusa es el doble de la longitud de uno de sus catetos. Determine las funciones trigonométricas del ángulo opuesto a este cateto.

5.

Calcule el lado de un rombo cuyas diagonales miden 6 y 8 cm.

6.

Tres ciudades A, B y C se hallan unidas dos a dos por caminos rectos. Los dos caminos que llegan a C forman entre si un ángulo de 90º. La distancia que separa a las ciudades A y C es de 130 km y entre B y C es de 200 km. ¿Cuántos km de más recorre una persona si para ir de la ciudad A a la B pasa previamente por C?

7.

Las bases de un trapecio isósceles miden 12 y 20 m. Determine el ángulo en su base mayor para que el lado no paralelo sea de 6 m.

8.

Halle las longitudes de los lados de un triángulo rectángulo sabiendo que

son tres

números enteros consecutivos. 9.

Un avión próximo a aterrizar, se encuentra a una altura de 1.350 m. ¿A qué distancia del aeropuerto está el avión si el piloto lo observa con un ángulo de depresión de 30º?

10.

Una escalera de 5,20 m de largo, es colocada a 2 m de la base de un muro inclinado y alcanza una altura de 4,60 m sobre dicho muro. Halle la inclinación del muro.

11.

Desde la punta de un faro, a 60 m sobre el nivel del mar, el ángulo de depresión en dirección a un barco a la deriva en el mar es de 9º20´´. ¿A que distancia está el barco del faro?

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