MATEMATICA

MODULO EDUCATIVO SEMI-PRESENCIAL PARA INGRESO 2012

PARA CONSULTAS: [email protected] Facultad de Ciencias Bioquímicas y Farmacéuticas UNIVERSIDAD NACIONAL DE ROSARIO Suipacha 531 – 0341-4804592/93/97 www.fbioyf.unr.edu..ar

En lo

que sigue

te

propongo una serie de actividades para que

empieces a familiarizarte poder cursar

con aquello que debes conocer

con éxito una de las materias

1er

año:

es docente de esta materia

desde

Matemática.

Quien te escribe, ha sido y hace años y

de

para

conoce (por padecerlas con Uds.) las múltiples

dificultades

que

la

misma

presenta

para

quienes

inician

estudios superiores. Es por ello que

preocupada por la cuestión

desde

a

hace

tiempo

me

he

dedicado

realizar

actividades

dirigidas a hallar alguna solución o paliativo a la misma. dirijo dicto

un

proyecto

cursos

asisto

a

para

de

docentes

congresos,

internacionales

investigación de

se

Educación

distintos

seminarios

donde

en

trata

y

niveles

talleres

esta

Así,

Matemática, educativos,

nacionales

problemática,

la

e

cual,

dicho sea de paso, no es solo de nuestro país ni de nuestra facultad. Las

actividades

que

te

propongo

introducción al ´tema´, una Ellas

han

- por

sido

que

elegidas

es

a

continuación,

especie

por

dos

imprescindible

de

son

de

precalentamiento.

razones: que

domines las cuestiones

allí planteadas para abordar durante -

el

porque

sin

dificultad

los

temas

que

desarrollamos

año. la experiencia indica que tal dominio no está

es

suficiente.

Te

saluda hasta

la próxima,

Marta Bonacina

1

o no

UNIDAD N

º 1

Objetivos : que al terminar las actividades puedas: - identificar un número real, decir a qué conjunto pertenece. - aplicar propiedades, relaciones y operaciones entre números reales. - resolver ejercicios y problemas que involucran números reales, particularmente, fracciones

Conocimientos previos : “el sistema numérico ” Medir y contar fueron las primeras actividades de tipo matemático que realizó el hombre. Ellas dieron lugar a los dos primeros conjuntos numéricos que se conocieron: - los naturales o enteros positivos, que vamos a indicar con N - y las fracciones positivas, que vamos a indicar con Q+

N Q

{ 1, 2, 3, 4, 5, …. }

=

+

=

{

p /p q

,q ε N }

A posteriori de ellos aparecen el cero y los negativos estando siempre la creación de estos números motivada por la necesidad de resolver algún problema. El siguiente cuadro resume este proceso, muestra el sistema de números tal como hoy se conoce.

NATURALES: N CERO

ENTEROS: Z

ENTEROS NEGATIVOS

RACIONALES: Q REALES: R

FRACCIONES IRRACIONALES: I

IMAGINARIOS unidad imaginaria i= − 1 O sea, se agregan los siguientes conjuntos:

2

C O M P L E J O S C

ENTEROS (enteros positivos, negativos y cero) Æ Z = N ∪ { 0 } ∪ { - n / n ε N }

=

RACIONALES

Æ Q

IRRACIONALES

Æ I = {

{

p / q

p ∈ Z, q ∈ N

}

2 ; 3 ; 5 ;....; π ; e ;.... }

Æ C = { a + b i / a , b ∈ R , i = unidad imaginaria}

COMPLEJOS

¾ Representación decimal de los números reales. Los números reales admiten otra forma de ser expresados: la representación decimal. En la representación decimal de un número se observan dos partes, la “parte entera” y la “parte decimal”, las que separamos por una coma (ó punto, según la convención que adoptemos). La “forma” de la parte decimal depende del “tipo” de número. a) Para los números racionales la expresión decimal se obtiene “dividiendo el numerador por el denominador” de la fracción que lo representa. Se presentan dos situaciones:

♦ que la parte decimal sea “finita” (Æ en algún momento el resto de la división es cero), ¾ = 0,75

; ½ = 0,5

; 7/ 5 = 1,4

; 1/100 = 0,01 parte decimal

finita

2 = 2/1 = 2,0

(los enteros tienen su parte decimal igual a “cero” )

- que la parte decimal no termine nunca, sea “infinita” (el resto de la división nunca se hace cero). En este caso se observará la existencia de una “cifra” que se repite indefinidamente. A esta “cifra” le damos el nombre de período. 4/3 = 1, 666666666666666666666………... 25/33 = 0, 75757575757575757575……….. 31/90 = 0, 3444444444444444444………….

parte decimal infinita

b) Los números irracionales tienen la parte decimal infinita no periódica. Por ejemplo : π = 3.14159265358979 …… (y sigue). ê = 2.71828182845904……. (y sigue) (e, base de los logaritmos naturales) Para poder operar con estos números “los aproximamos”; o sea escribimos solo una cantidad finita de números decimales. Por ejemplo para π hacemos: π ≈3.14 ó π ≈3.1416. Es importante tener en cuenta esto pues, al “aproximar” introducimos un “error” . Error que se “propaga” cada vez que usamos el número en algún cálculo u operación. Esta propagación del error puede ser muy importante, tan importante que el resultado final llegue a ser muy distinto del verdadero valor (al que se obtendría sin aproximar). Al aproximar un decimal lo podemos hacer por “truncamiento” o por “redondeo” , cuestiones que también tienen importancia en la “propagación” del error. 3

Observación : Todo número racional se puede expresar con una representación decimal infinita periódica ¾ = 0,75 Æ 2 = 2,0 Æ 1/3 = 0, 6666….. = 25/33 = 0, 7575….. = 31/90 = 0, 3444…. .=

0,75 = 0,750000……. .= 0,75 0 2,0 = 2, 000000……. = 2, 0 0, 6 0, 75 0, 34

( período: 0 ) ( período: 0 ) (período : 6 ) ( período : 75 ) ( período : 4 )

Así, podemos afirmar que :

⇔ su parte decimal presenta período

Un número decimal representa a un racional

Ejercicio 1 a) Dar la expresión decimal de los siguientes números. Si es periódica, indicar el período. Luego, ordenarlos de menor a mayor.

6 ; 10

23 ; 10

63 ; 100

8 ; 5

18 :; 6

6 ; 18

17 ; 20

14 ; 11

2 13 3 5 ; + ; 4+ 13 2 10 100

b) Expresar en forma de fracción. 0, 25 ; 0,0007 ;

4,5

;

12,25

;

10,257 ;

0,02 + 0,5 + 70 – 0,32

Nota : una regla operativa para dar la fracción correspondiente a una expresión decimal finita es “tomar como numerador el número dado, sin la coma y como denominador la unidad seguida de tantos ceros como cifras tenga la parte decimal” (*) ¿qué propiedades y operaciones de los números reales justifican esta regla?.

4

Ejercicio 2

Pasaje a fracción de una expresión decimal periódica pura.

Para expresar en forma de fracción una expresión decimal periódica pura (por ej., x = 3, 75 ), se multiplica el número por una potencia de 10 elegida de tal forma que al restar de este producto el número original, la parte decimal desaparece. Luego se despeja y se obtiene el número como cociente de enteros; o sea, como fracción. Ejemplo: x =3, 75 Æ x = 3, 757575757575……….. 100 . x = 375, 7575757575………… x = 3, 7575757575.……….. 100 x - x = 372, 0000000000…..…….. 99 x = 372 372 x= (verificar) 99 (a) Pasar a fracción los siguientes números decimales periódicos puros. x = 2, 4

;

y = 2, 43

;

z = 2, 438

Observar los resultados, compararlos con el número decimal y deducir a partir de allí una “regla operativa” para estos casos. Escribirla. (b) Expresar 0, 9 . ¿ Qué sucede ? . ¿existen otros casos donde pase esto? . Investigar. (c ) Hallar x = 4, 3 . 3 de dos maneras: primero, operando directamente con decimales; segundo, pasando primero el decimal a fracción y realizando luego la multiplicación. ¿ Da lo mismo?, ¿ porqué ? .

5

Ejercicio 3

Pasaje a fracción de una expresión decimal periódica mixta.

Para expresar en forma de fracción una expresión decimal periódica mixta (por ej., x = 4,3 75 ), se multiplica el número por potencias de 10 elegidas de tal forma que al restar dos de estos productos, la parte decimal desaparece. Luego se despeja y se obtiene el número como cociente de enteros; o sea, como fracción. Ejemplo: x = 4 , 3 75 Æ x = 4, 3757575757575……….. 1000. x = 4375, 7575757575………… 10. x = 43, 7575757575.……….. 1000 x - 10 x = 4 332, 0000000000…..…….. 990 x = 4 332 4332 x= (verificar) 990 Pasar a fracción los siguientes números decimales periódicos mixtos. x = 2, 7 4 ; y = 2, 7 43 ; z = 2, 7 438 Observar los resultados, compararlos con el número decimal y deducir a partir de allí una “regla operativa” para estos casos. Escribirla.

6

Ejercicio 4

Notación científica.

Todo número positivo puede escribirse como el producto de un número entero mayor que cero y menor que 10 multiplicado por una potencia de 10 Si x ∈ R+ entonces

con 1 ≤ d < 10 ; n ∈ Z

x = d . 10 n

Ejemplos: 23 058 = 2,3058 . 104 0,00465 = 4,65 . 10 -3 Esta notación es importante para expresar números muy grandes o muy chicos, y es utilizada en las calculadoras, en donde se muestra sólo el número d y el exponente “n”, ya que la base 10 de la potencia se sobreentiende .

Ejemplos:

23 058 000 = 2,3058 . 10 7 0,000005689 = 5,689.10 - 6

; en pantalla se ve: 2,3058 07 ; en pantalla se ve: 5,689 -06

El uso de la notación científica en la calculadora es una necesidad derivada del hecho que las pantallas de estos dispositivos sólo pueden mostrar un número pequeño de dígitos (8 o 10 cifras) Sin estos convenios de representación sería imposible hacer cálculos como el siguiente.

0,000 000 005 872 x 0, 000 000 000 0258 , pues en una calculadora con 10 posiciones de memoria en pantalla, en la misma veríamos lo siguiente: 0,000 000 000 a) Realiza el producto 0,000 000 005 872 x 0, 000 000 000 025 8 , escribiendo previamente los números en notación científica. b) La distancia “l” que una molécula de gas recorre entre 2 colisiones sucesivas se llama “camino libre medio” . La fórmula que relaciona “l ” con la viscosidad del gas ( η), la velocidad media ( c ) y la densidad del gas (δ ) es : η = 1/3 . c . δ . l .. Se pide: hallar una fórmula para “l ” en función de η , c y δ . Comprobar que l = 1,67 10-5 para las moléculas de hidrógeno a 0ºC , si se sabe que en este caso, η = 0,0000841 gr/cm .seg ; c = 170 000 cm/seg y δ = 0,000089 gr/cm3 . (resolver trabajando con notación científica). c) La masa de un átomo de hidrógeno es aproximadamente 0,0000000000000000000000017 g . Expresar este número en forma científica. d) Si la velocidad de la luz es de 186.000 mi/seg. ; hallar la distancia que la luz viaja en una hora, un día, un año. ¿Cuánto tarda la luz en recorrer una milla?-

7

Ejercicio 5

La calculadora ¿trunca o redondea?

Para averiguar esto, toma un número cuya expresión decimal sea periódica (por ej.; 2/3), realiza la división con y sin calculadora y compara los resultados. Si “trunca” entonces directamente “corta” la parte decimal sin modificar nada; si “redondea” , corta la parte decimal y le suma uno al último dígito si el primero que se elimina es mayor o igual que 5.

Ejercicio 6 Expresar los siguientes números en la forma más reducida y exacta posible. Decir luego a qué conjunto de los que forman el sistema numérico pertenecen Si pertenecen a más de uno, indicarlo.

a) 3 – ½ = b) −

5 ∈Q 2

5 1 + 9 6

p)

q) 7, 25

d)

7

r) 2 + 0, 75

e)

7 +

f) g)

t)

− 4

k) 2 π - π

2, 9

l)

π - 3,1415

m)

3 5 + 10 100

n) 3. 10 -1 + 5 10 -2

u) 3,14

8 4

− 4

j) 3 +

s) 1, 75 - 7 / 4

7 1 7 7 4 −

i)

3 2 + i 4 5

5 11 c) + 8 8

1 7

h) π. π - 1

o) – e

Ejercicio 7 Indicar cuál de los siguientes números es menor. (sugerencia: pasar a decimal) a)

77 200

b)

1/10 ; 11/100

;

19 50

8

¾ Operaciones con fracciones Producto de fracciones

El producto de dos fracciones

c a y está definida por: b d

a.c a c . = b d b.d

Cociente de fracciones

El cociente de dos fracciones

c a y está definida por: b d

a b c d

=

a.d b.c

Suma de fracciones

La suma de dos fracciones Nota 1: si

c a y está definida por: b d

d = b entonces

c ad + bc a + = b d b.d

(*)

a c a+c + = (probarlo a partir de la definición anterior) b b b

Nota 2: si b y d no son “primos entre sí”, entonces como denominador de la fracción suma podemos poner “el mínimo común divisor” entre b y d.

Este “mínimo común divisor” no es otra cosa que “el mínimo común múltiplo” entre b y d, MCM (b;d). Así para sumar

7 3 + ; procedemos como sigue: 8 36

- buscamos D(denominador de la suma) = MCM (8 ; 36) = 23. 32 = 72 - resolvemos:

3 7 3 + = 8 36

D 8

+7

D 36

=

D

3. 9 + 7. 2 27 + 14 41 = = 72 72 72

(*) Observar que aplicando la definición, D = 8.36 = 288 , y no hubiéramos obtenido la fracción irreducible, sino una equivalente a ella.

Nota 3: es importante que alcances el dominio de estas operaciones, del trabajo con el “mínimo común denominador”, porque además de operar con fracciones numéricas luego vas a trabajar con fracciones cuyo numerador y denominador son “expresiones algebraicas”, donde las reglas son análogas. Así, todo lo que avances en el cálculo numérico te va a resultar de gran ayuda para el trabajo algebraico.

Ejemplo: calcular

1 2b 2 − 2 = (**) a−b a + b a − b2

- buscamos D(denominador) = MCM ((a-b) ; (a+b); (a2 –b2)) = (a-b).(a+b) 2(a + b ) − (a − b ) − 2b 2a + 2b − a + b − 2b a+b = = (a − b ).(a + b ) (a − b ).(a + b ) (a − b ).(a + b ) 1 2 1 2b - finalmente, simplificando: − 2 = 2 a−b a−b a+b a −b

- resolvemos: (**)

9

Ejercicio 8

Expresar la siguiente serie de números en la forma más reducida y exacta posible. Ordenarlos luego en forma creciente . 3 2 9 6

a) 3 ; 5/2 ;

; -2 ; -5 / 2 ;

2

0/ 4 ; 4 /2 ;

−

;

1 2

0, 5 ; 0, 53 ; 0, 538 ; 0,53 ; 0, 6 ; 0, 9 ; 0,1 ; 0,091

c)

11 4 − ; 4 8

1 2 15 . (− ).(− ) + 3 ; 5 3 6

Ejercicio 9

11 1 3 − . ; 8 4 2

c)

− 2

−

1 2 1 2

− 2 + 2

−

1 4 1 4

+ 4 − 4

=

h)

3 4 = . 3 + 5 3 − 5

d)

1 1 . . 2 8

e)

[

i)

3. 3 + 1

]=

j)

 32 8   11 11  − +  .   = 11 11 32 8    

f) 

l)

  

  4 5  8 −  . + 5 5  13  

1 2 5 2

3 1 + − 4 4

=

1 1 1 1 b)  −  .  +  . 400 = 4 5 4 5

+ 2

8 1 . 3 4

- 3 - 5. (-1).

g)

1 2 1 2

3+

3 4 + 4 3

Calcular las siguientes expresiones , trabajando en forma exacta:

(43 − 12 ) 13 1 . (1 − 1 ) 2 3 4

a)

5 3 11 . − ; 4 2 8

2 5 + ; 5 2

;

2

b)

0 1 ; 4 + ; 12 3

1 2

k) (

9 + 10 1 2

. ( −32 ) +

− 1 3

100

4 3

. ( 2 − 4) + ( −43 ). ( −2).

( 0,1 + 1 ) . 0,1 2 100

0,1 0,01 + 0 .1

0.01

(

. 100 =

10

9 10

=

.0008 458901. − 01002

0,1 + 1

. 0.1 2 − 0.01  + 0.012 . 10 3 =  

10

1 10 3 10

=

) ÷ 0,01 =

)

2 3

Ejercicio 10 a)

b)

c)

d)

Reducir las siguientes expresiones algebraicas a su mínima expresión:

a + b a − b − = b b

f)

a − b = 1 − 1 a b 1 − 1 a b 1 a.b

g) 1 +

Ejercicio 11

h)

6y 2 − − −2 = 3y − 1 3y − 1

i)

1 x +1 −1− = x x

=

 x +1  5x = − 4 . j)   x − 4 x + 1  1 1  x2 − 4 = + k)  . 4 2 − x  x + 2

1 e)

y + 3 2y − 4 y + + 3 4 6

=

1 b − a = 1 b a

1 − 1 a b a.b

3x 6 − −1 = x − 2 x − 2

=  1 6  x = . . l)  3 −  x  3 2 − x 

(propagación del error por cálculos aproximados ).

1 ; calcular a para x = 2/3 = 0,66666666666….. x − 0.666 666 65 de las tres formas que se indican a continuación y luego comparar los resultados:

( I ) Dado

a

=

a) Trabajando con la expresión decimal de 2/3 , “ truncada” en 8 decimales 2/3 Æ 0.666 666 66

b) Trabajando con la expresión decimal de 2/3 , “ truncada” en 8 decimales 2/3 Æ 0.666 666 67

c) Pasando ( II )

Dado

b

0.666 666 65 a fracción y operando luego con fracciones. 

1

7

1556 

=   1 − . . 9000 se pide: − 3  3 1000  

a) Obtener el valor de b , trabajando siempre con fracciones. b) Obtener el valor de b , expresando previamente todas las fracciones en forma decimal, redondeando siempre a tres decimales. c) compara los resultados y sacar conclusiones.

11

Ejercicio 12 (aplicaciones en la reducción de fórmulas) (I) La fórmula C = 5/9 ( F-32 ) da la relación entre la temperatura en grados Fahrenheit, F, y la temperatura en grados centígrados, C. a) Obtener F en términos de C. b) El punto de fusión del oro es de 1000º C ¿ A cuánto grados Fahrenheit corresponde?. c) El tungsteno, qu ese emplea para los filamentos de las lámparas eléctricas, alcanza su punto de fusión a 3410ºC. ¿ A cuánto grados Fahrenheit corresponde?. d) Julia, que está de viaje por Inglaterra, me escribe preocupada porque tiene gripe y al tomarse la fiebre ¡¡ el termómetros marcaba 104º !! . ¿Qué le pasa al termómetro?. ¿Puede Julia tener esa fiebre?. (II) La fórmula

R =

R 1 .R 2 aparece en electricidad. Obtener R1 en término de las R1 + R 2

demás variables.

1 1 1 1 = + + aparece en electricidad. Obtener R2 en término R R1 R2 R3 de las demás variables.

(III) La fórmula

Ejercicio 13 : ¿y con la Lógica como andamos? Indicar Verdadero (V) ó Falso (F ) , justificando las respuestas. a)

3n + 1 2n + 4 ≥ ; ∀n ∈ N n 2n

b)

3x + 1 2x + 4 ≥ ; ∀x ∈ R x 2x

c)

3n + 1 n + 3 ≤ ; ∀n ∈ N n n

d)

3x + 1 x + 3 ≤ ; ∀x ∈ R x x

e)

3n + 1 n + 7 ≤ ; ∀n ∈ N n n

f)

3x + 1 x + 7 ≤ ; ∀x ∈ R x x

12

¾ De cómo trabajar en la ´resolución de problemas´ ¿ Analizamos juntos un problema ? INFORME del DOCTOR K SOBRE EL PLANETA : “ En el tercer día de exploración advertimos la presencia de seres extraños. Tienen como nosotros 20 dedos distribuidos uniformemente en varias extremidades, pero tienen una extremidad menos que nosotros. Son horribles “

El Doctor K es un poco complicado para describir los seres que descubrió.¿Te animas a simplificar la información? ¿Cuántas extremidades tienen estos seres extraños? ......................................................................................................................................... ¿Te bastó leer una vez el informe para comprender la situación y responder? Estamos casi seguros que no y si así lo hiciste es muy probable que tu respuesta haya sido “3”; la cual es……… INCORRECTA!!! ¿Qué induce a cometer el error? Probablemente el siguiente análisis: “tienen una extremidad menos que nosotros”

Pero: ¿se pueden distribuir uniformemente 20 dedos en 3 extremidades?

Evidentemente no; luego si tu respuesta fue 3 , te faltó analizar DATOS del problema:   Número de dedos............................ 20 DATOS  Número de extremidades..................“una menos que nosotros”  Distribución.......................................uniforme 

13

¿Cómo son entonces? ¿Existen seres así?

Si lees el informe con verdadero espíritu crítico podrás describir estos seres extraños; ya que si no pudiste hacerlo fue porque inconscientemente “agregaste datos”: en tu análisis diste por sentado que el Doctor K era, terrícola. La respuesta correcta es:

Habida cuenta que el Dr. K es un extraterrestre, ¿no habrá otras respuestas?

En principio sí, ya que para responder el problema tenemos que analizar sistemáticamente todas posibilidades de “tener 20 dedos distribuidos uniformemente por extremidad”; o sea la vinculación entre la INCÓGNITA y el DATO , y hay más de una:

Número de extremidades Dedos por extremidades

1 20

2 10

4 5

5 4

10 2

20 1

De estas posibilidades, al tener en cuenta el dato “una extremidad menos que nosotros”, quedan 2 combinaciones posibles: 1 extremidad.......................................................20 dedos 4 extremidades................................................... 5 dedos En el informe hay otro DATO que nos permite decidir que vio el Doctor K: ¿lo descubres?

.

A todo esto; cuando el Doctor K dice: ”menos”; ……ese menos,……… ¿ significará lo mismo que nuestro menos ? ¿ Y si su menos fuera nuestro más ?.....¿ y si su 20 no fuera nuestro 20 ?.....??????

Nuestra intención fue mostrarte con un ejemplo de cómo la resolución de un problema involucra muchas más cosas de las que seguramente te imaginas: lectura comprensiva, actitud crítica, búsqueda de datos, rigurosidad en el manejo de los datos, formulación de hipótesis, etc... 14

Veamos entonces que: La habilidad para resolver problemas no está ligada “solamente” a la mayor o menor capacidad que se tenga en el manejo de los conocimientos matemáticos adquiridos. El proceso de resolver un “problema” es algo más complejo; normalmente la mayor dificultad con la que se tropieza es interpretar el texto y “traducir” el problema a términos matemáticos (al lenguaje matemático) , o sea reescribir el mismo a través de ecuaciones, inecuaciones, fórmulas, etc. Si bien no existen normas generales que permiten realizar esta tarea, es posible dar algunas sugerencias (para cierto tipo de problemas) que ayudan a resolver la cuestión en forma exitosa. Con esa intención presentamos: “UNA GUÍA PARA LA FORMUACIÓN MATEMÁTICA Y RESOLUCIÓN DE UN PROBLEMA”

Al encarar la resolución de un problema normalmente se presentarán cuatro etapas, que son:

I.- Entender el problema: ♦ Se sugiere realizar en primera instancia una lectura “completa” y cuidadosa del problema. ♦ La misma nos permitirá tener una visión global del mismo e ir reconociendo las distintas partes que lo componen.

II.- Separación de las partes de un problema: Se trata de distinguir los tres elementos que determinan el problema:

1. Incógnitas 2. Datos 3. Vinculación entre ambos III.- Elaboración de un plan de trabajo: Una vez identificadas las tres componentes del problema, se procede a: a) Asignar letras a las incógnitas: Es habitual para ello usar las letras x, y ,z,... siendo esta elección puramente convencional, pudiendo elegirse otras particularmente cuando intervienen cantidades concretas como por ejemplo, si la incógnita es un área, en cuyo caso elegimos la “a” . b) Confeccionar un diagrama o figura de análisis: De ser posible se procede a representar gráficamente la situación planteada.

15

c) Traducir las proposiciones del problema al lenguaje matemático: Este paso es quizá el más conflictivo, aquí entra en juego la creatividad, la tenacidad que cada uno posea y por supuesto los conocimientos. Se deben relacionar datos e incógnitas en expresiones algebraicas que involucren a ambos y que describan la vinculación entre ellos. Pueden existir distintas formas de hacerlo. La habilidad estará en elegir la que conduzca a las expresiones más simples. Esto lleva a la selección, entre los conocimientos y experiencias previas de alguna situación análoga o también (porque no) intentar desarrollar nuevas técnicas que enriquecerán nuestro bagaje matemático y podrán ser usados en otros problemas. IV.- Ejecución del plan: En esta etapa debemos distinguir dos instancias: ♦ a) Resolución: Se trabajará en la solución de las expresiones algebraicas obtenidas en la etapa anterior, hasta la determinación de la o las incógnitas.

♦ b) Validación del resultado: Se analizará la consistencia del resultado obtenido, confrontándolo con los datos del problema; verificando resultados y desechando soluciones extrañas. Ejemplo : En una mesa hay 20 monedas de veinticinco y diez centavos, cuyo valor combinado es de $3.05. ¿Cuántas monedas de cada valor hay?

9 Reconocimiento de datos; asignación de letras a las incógnitas, vinculación entre ellas Datos Æ - cantidad total de monedas: 20 - hay dos clases de monedas: $0.25 ; $ 0.10 - las 20 monedas ´suman´ : $ 3.05 Incógnita(s) Æ cantidad de monedas de cada valor; o sea de $0.25 y de $ 0.10 . (*) notar que escribimos datos e incógnitas tal cual aparecen en el problema, pero destacando aquellas palabras que dan ´pistas´ para encontrar ´relaciones´ entre ellas.

Asignación de letras a las incógnitas:

x = cantidad de monedas de 0.25 ( 25 ctvos= $ 0.25 ) y = cantidad de monedas de 0.10. ( 10 ctvos = $ 0.10 Incógnita(s) Æ ¿ x ? ; ¿ y ? x + y = 20 Vinculaciones Æ cantidad de m/ 0.25 + cantidad de m/ 0.10 = 20 ⇒ valor total de 0.25 + valor total de 0.10 = 3.05 ⇒ 0.25 x + 010 y = 3.05

Reconocemos la(s) expresiones algebraicas Æ sistema de 2 ecuaciones con dos incógnitas.

16

Aplicamos las técnicas correspondientes y resolvemosÆ x = 7 ; y = 13. x + y = 7 + 13 = 20 9

Verificamos:

0.25 x + 010 y = 0.25 7 + 010 .13 = 1.75 + 1.30 = 3.05 9 Damos la respuesta en forma de oración. Rta: Tenemos 7 monedas de $ 0.25 y 13 de $0.10 (aquí sí indicamos las unidades)

PROBLEMAS

1) Lucas cobró ayer su primer sueldo, pero tiene poca suerte. Ayer mismo le robaron los 2/5 del mismo y hoy perdió los 5/6 de lo que le quedaba. Si todavía tiene $ 152 . ¿cuál es le sueldo de Lucas?

2) Una nave espacial parte en un vuelo de reconocimiento, En la primera etapa consume la tercera parte del combustible cargado, en la segunda los 2/5 de lo que resta y para la tercera y última le quedan 40.000 litros. ¿ qué cantidad de combustible cargó la nave espacila?

3) La tía de Lucas compró un terreno para construir un fin de semana. Si la casa abarcará la tercera parte del terreno, la pileta 1/8 de lo que resta y quedarán aún 1.400 m2 para parque. ¿Cuántos metros cuadrados ocupa la pileta? .

4) Un vendedor ambulante de escobas vende la cuarta parte de las mismas, más 10. Al hacer el recuento observa que la mitad de las que restan, más 2, están falladas, quedando sólo 5 en buenas condiciones. ¿Con cuántas escoba comenzó el recorrido?. Si para obtener ganancia debía vender más del 60% de su mercadería, ¿perdió o ganó?.

5) Después de haber gastado los 2/3 de lo que tenía me regalaron $920. Ahora tengo $50 más de los que tenía al principio . ¿Cuánto tenía?

6) Método del factor para conversión de unidades. Para convertir una magnitud de un sistema da unidades en otro procedemos así: 1º) multiplicamos (tantas veces como haga falta) por un factor “ 1 “. 2º) este factor lo construimos de modo que : NUMERADOR = DENOMINADOR pero expresando cada uno en distintas unidades. Ejemplo: 172.800 seg a horas Æ

172.800 seg. .

1 m / 60 seg/

.

1h 60 m /

= 48 hs.

a) Justificar la regla b) Pasar 38 Km a m y

38 Km/h a m/seg

c) escribir la densidad del mercurio 13,6 .10 3 Kg/m3 en g / cm3 .

7) En Química trabajarás con el concepto de MOL y verás que : “un Mol es la cantidad de materia que contiene un número de partículas igual al número de Avogadro, el cual es aproximadamente igual a seiscientos dos mil trillones ” Escribe el número de Abogadro en notación científica y luego, para darte una idea de la magnitud de este número (que escapa a la comprensión inmediata), calcula cuál sería la dimensión de la caja cúbica necesaria para guardar 1 mol de bolillas de hierro de 1 g cada una. ( densidad del hierro = 7,86 g/ml ; 1 ml = 1 cm3 ) 17

Respuestas

18

Unidad

N

º 2

Objetivos : que al terminar las actividades: - conocer las operaciones básicas que se definen en el conjunto de los números reales a.- Potencia de exponente entero b.- Radicación c.- Potencia de exponente fraccionario d.- Logaritmo

- conocer las propiedades de estas operaciones. - aplicar estas operaciones para resolver cuestiones que las involucran.

Conocimientos previos : el sistema numérico - propiedades de los números 1¾

Operaciones básicas. Sus propiedades.

* Potencia de exponente entero:

an

[ a = base ; n = exponente ]

La definición comprende 3 casos según el exponente sea entero positivo, negativo o cero. Sea “a” un número real (a ∈ R) y “n” un número “natural” o “entero positivo” (n.∈ N ); luego, n definimos la potencia a como sigue: =

n veces

   a .a .a ....................a

a0

=

1

a -n

=

a

n

exp onente

a N

 n

;

a≠0

;

a≠0

base

1 a  

n

Propiedades: n

n

n

(a . b) = a . b n n n (a : b) = a : b

1.- distributiva respecto del producto 2.- distributiva respecto del cociente 3.- producto de potencias de igual base 4.- cociente de potencias de igual base

am . a n = a m + n -n

am : a n = a m (am )n = a m . n

5.- potencia de potencia

Ejercicios: indicar verdadero o falso, justificar la respuesta. 1) 2) 3) 4) 5)

(a + b ) 2 = a2 + 2 a b + b2 (a + b ) 2 = a2 + b2 (a + b ) 3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3 (a + b ) 3 = a3 + b3 (-a - b ) 2 = (a + b ) 2

Lo importante de estos ejercicios es la forma en que justificas tu respuesta. Controla bien esto.

1

Respuestas: 1) (V) ;

(a +b)2 = (a +b)2 = (a +b)2 = (a +b)2 =

Justificación:

(a +b) (a +b) (a +b) . a + (a +b) . b a .a + b .a + a .b + b .b a2 + a .b + a .b + b2

(a +b)2 = a2 + 2 a .b + b2

por definición de cuadrado. por propiedad distributiva. por propiedad distributiva. por definición de cuadrado. y propiedad conmutativa (cuadrado de un binomio).

2) ( F) ; Justificación : un falso se justifica con un ejemplo (llamado “contraejemplo”) a=2 ; b=3 (a + b ) 2 = ( 2 + 3) 2 = 52 = 25 a2 + b2 = 22 + 32 = 4 + 9 = 13 Conclusión. 25 ≠ 13 ⇒ (a + b ) 2 ≠ a2 + b2 3) (V ) ; Justificación: (a + b)3 = (a +b) . (a +b) . (a +b) por definición de cubo por cuadrado de un binomio (a + b)3 = (a2 + 2 a b + b2 ) (a+b) (a + b)3 = (a2 + 2 a b + b2 ). a + (a2 + 2 a b + b2 ) .b por…….... si no lo habías hecho bien continúa esta demostración hasta llegar a (a + b ) 3 = a3 + 3 a2 b + 3 a b2 + b3

(cubo de un binomio)

4) (F) ; Justificación : un falso se justifica con un ejemplo (llamado “contraejemplo”) Construye un contraejemplo para este caso: a = …… ; b = ……… (a + b ) 3 = a3 + b3 = Conclusión. 5) (V) ; Justificación:

( - a - b) 2 = [ (-1). (a + b )] 2 N =

(-1)2 . (a+b)2 = (a +b)2

prop . 1

Nota: definida la potencia podemos dar sentido a la forma de representar números reales que conocemos con el nombre de “notación científica” , la cual usamos para representar número reales muy grandes o, por el contrario, muy pequeños. Dado x∈ R+ lo podemos escribir como:

x = α . 10

n

con 1≤ α < 10 ; n ∈ Z.

Para realizar operaciones donde los números están expresados en la notación científica debemos acudir a las propiedades de las potencias. Ejercicios: si x = α . 10 1) 2) 3) 4) 5)

n

e y = α . 10

m

(n, m ∈ Z), indicar verdadero o falso, justificar la respuesta.

n+m

x . y = α2 . 10 n.m x . y = α2 . 10 y = 10 x y >1 x

m-n

Si m > n entonces

y >1 x

2

para x = α . 10

Respuestas :

n

e y = α . 10

m

1)

x . y = α2 . 10

n+m

Æ (V), justificación:

n

2)

x . y = α2 . 10

n.m

Æ (F), justificación: por contraejemplo:

(α

. 10 ) . (α . 10 n. m α .α .10 10 n. m α 2 .10 10 n+m α 2 .10

x.y= x.y= x.y= x.y=

x = 3 .102 = 300 ; y = 3.103 = 3000 x . y = 300 . 3000 = 900.000 = 9 . 10 5 n.m α2 . 10 = 32 10 2 . 3 = 9 . 10 6 Conclusión. 9 . 10 5 ≠ 9 . 10 6 ⇒ x . y 3)

4)

y x

=

10

m-n

y >1 x

= (α =

. 10

10

m

10

=

m

)

reemplazando por…….(completar) por…….(completar) por…….(completar)

≠ α2 . 10 n . m n

) / (α . 10 )

/ 10 n

reemplazando simplificando

m-n

por…….(completar)

Æ (F), justificación: por contraejemplo:

x = 5 .10 4 ; y x

5)

y x y x y x

Æ (V), justificación:

m

Si m > n entonces

* Radicación :

n

a

= (5

y = 5.10 2

.10 2) / (5 .10 4) = 10 2 - 4 = 10 - 2 = 0,01 < 1 ⇒

y < 1 x

y > 1 Æ (V), justificación: m > n ⇒ m - n > 0 ⇒ m-n = k ∈ N x y m-n k = 10 = 10 > 1 ; pues k es entero positivo. x

a = radicando ; b = raíz ]

[ n = índice de la raíz ;

La definición comprende 2 casos según el índice sea par o impar . Sea “a” un número real (a ∈ R) y “n” un número natural (n.∈ N ), entonces definimos la raíz n-ésima

n

a

como sigue:

n impar Æ n

a

=

b Ù bn = a

n

a

=

b Ù b≥0

n par

Æ

y

bn = a

(raíz positiva o aritmética)

Nota : la definición de raíz debe dividirse en estos dos casos debido a los problemas que presenta la operación cuando el índice es par. En este caso tenemos que: - si a es un número real negativo no existe un número real b tal que b2 = a. ( pues b2 >0 , ∀ b ) por ejemplo, si a = -9 ; tanto b = 3 como b = - 3 verifican b2 = 9 ≠ a . Recordemos que para dar solución a este problema es que se crean los números complejos; así,

− 9 = 3 . − 1 = 3 i ; un ¡número complejo!!. Conclusión: “toda raíz de índice par y radicando negativo no tiene solución en el campo de los números reales”

3

- si a es un número real positivo existen dos números reales b tal que b2 = a. (b2 >0 ; ∀ b) por ejemplo, si a = 9 tenemos que b = 3 ó b = - 3 verifican que b2 = 9. Luego, como las definiciones no pueden ser ambiguas, debemos establecer cual de estos dos valores (si el positivo o el negativo) tomamos como raíz cuadrada de nueve. Así, convenimos que:

“para índice par y radicando positivo la raíz es el número real positivo que verifica la condición”

Si no estableciéramos esta restricción nos encontraríamos en serios problemas para hacer cálculos donde hubiera raíces de índice par, o para aplicar propiedades de los números reales, aún las más simples.

Una expresión “conflictiva”, que incluso aparece en libros de textos, es

9 = ± 3.

* ¿Porqué es conflictiva?: porque si de esta expresión leemos que 9 = 3 y 9 = -3, entonces cometemos un error que no es “visible” pero que luego interfiere en la resolución de problemas. ** ¿Porqué es un error? : porque, por la propiedad transitiva de los números reales, de 9 = 3 y 9 = -3 se concluye que 3 = - 3 ; lo cual es ¡ABSURDO!!.

Otro error habitual: simplificar raíz y potencia incorrectamente haciendo a 2 = a * ¿Porqué es un error?: porque involucra un absurdo, aunque este no sea “visible” o inmediata la consecuencia de este error. ¿Dónde está escondido el absurdo?, veámoslo en lo que sigue: 2=

= N

4

( −2 )

2

= −2 ⇒ 2 = - 2 Æ ¡¡ ABSURDO !!!

2 4 = ( −2 )

** ¿Cuál es la forma correcta? : ver la propiedad 4 de las propiedades de las raíces. Propiedades de la raíz: n

1.- distributiva respecto del producto 2.- distributiva respecto del cociente 3.- raíz de raíz

a .b = n a . n b n a

n a b

=

p q

a = p .q a

n b

a2 =

4.- raíz cuadrada de potencia cuadrada

a

(valor absoluto de “a” )

Ejercicios: indicar verdadero o falso, justificar la respuesta. 1)

a + b =

a +

2)

(a + b)

3)

(1 + x )

2

2

b

= a + b +

(1 − x )

2

= 2

Respuestas: son todos falsos, luego en cada caso se justifica con un contraejemplo. 1) ( F) ; dar un contraejemplo. 2) ( F) ; Justificación : a = 4 ; b = -7 (a + b)

2

a + b =

=

(4 − 7 )

2

4–7 = -3

4

=

( −3 )

2

=

9 =

3

distintos

3) ( F) ; dar un contraejemplo (ayuda: tomar x mayor que 1; por ejemplo, x = 5 ) En un F, si no se encuentra el contraejemplo, también se puede demostrar con propiedades. (1 + x )

2

+

(1 − x )

2

= N

= N

| 1+ x | + | 1- x |

(1+ x) + [- (1- x)] = 1 + x + (-1+ x ) = 2 x .

x>1 1− x 0 ; a ≠ 1 ; b = argumento ]

Dado “b” un número real positivo (b∈ R + ) entonces definimos el logaritmo en base de a de b ,

log a b , según la siguiente regla o ley:

loga b

=

ax=b

Ù

x

Propiedades del logaritmo: (en todos los casos la propiedad vale si el logaritmo existe) 1.1.3.4.5.-

log a (b . c) = log a b + log a c log a (b / c) = log a b - log a c log a (b)p = p . log a b log a a = 1 log a 1 = 0

logaritmo de un producto logaritmo de un cociente logaritmo de potencias logaritmo de la base logaritmo de la unidad

De estas propiedades básicas se pueden deducir otras igualdades, tales como: 6.- Fórmula del cambio de base:

log c b =

log a b log a c

7.- Logaritmo de una potencia de igual base:

log a a x = x

8.- Potencia de un logaritmo de igual base:

a

6

log a b

= b

Logaritmos de uso más frecuente. Logaritmo decimal:

a = 10

Æ

log b = log 10 b

(omitimos la base, esta se sobreentiende)

Logaritmo natural:

a= e

Æ

ln b = log e b

( e es un número irracional, e ≈ 2.71828 )

Estos logaritmos son los que encontramos en las calculadoras.

Notas . » La propiedad 6 permite calcular logaritmos de cualquier base usando calculadoras; así,

log 0,2 7 =

log 7 log 0.2

=

-1. 20906

(Æ este resultado: ¿es exacto o aproximado?? )

» El logaritmo es una operación que trasciende los métodos del “álgebra”; es decir, no se puede calcular acudiendo sólo a sumas, restas, multiplicaciones o divisiones; de allí que normalmente el logaritmo de un número real resulte un número “irracional” y, por ende, el resultado de la calculadora (-1.20906) no sea el valor exacto sino una aproximación del verdadero valor. Esta aproximación puede ser por “truncamiento” o por “redondeo”; pero, cualquiera sea el caso al poner la aproximación en lugar del valor exacto, introducimos un error . *¿Porqué ponemos el valor aproximado?: porque si el número es irracional (infinitas cifras decimales no periódicas) es materialmente imposible escribir el valor “exacto” en forma decimal. *¿Porqué, si es una aproximación, ponemos un “igual”?, porque escribirlo “bien” (log 0,2 7 ≈ -1. 20906) complicaría mucho los cálculos y la resolución de problemas con logaritmos; así, por conveniencia operatoria y teniendo siempre en cuenta que estamos haciendo algo no válido, introduciendo errores de cálculo, acordamos en escribir el signo igual (aunque no sea lo correcto). Ignorar este hecho (que el igual no es tal), puede tener consecuencias “prácticas” realmente dramáticas, particularmente si la “propagación del error” es muy rápida; como muestra el siguiente ejemplo.

7

» Vemos así que la existencia de “calculadoras” no nos exime de “pensar”, de conocer las propiedades de los números y saber aplicarlas al momento de hacer cálculos; más aún conocer estas propiedades y las algebraicas es lo que permite evitar este tipo de error cuando ello es posible. Por ejemplo, si la consigna es: “ calcular x = e * sin pensar y usando la calculadora: 7 Æ ln 7 = 1.94591

[

ln7

”, el valor de x puede obtenerse de dos formas:

]

→ redondeado → 1.95 Æ e 1.95 = 7. 02868

* pensando (aplicando prop. 8):

x= e

ln7

=

( valor aproximado ).

7 ( valor exacto ).

Ejercicios: 1.- Verificar que la relación entre el logaritmo decimal y el natural es:

log 10 x = 0.4343 . ln x ln x = 2.3025 . log x (sugerencia: usar la fórmula del cambio de base) 2.- Indicar Verdadero ó Falso , justificar la respuesta: a) log 2 8 = 3 e) log 3 3 = 1

b) log 2 16 = 4 f ) log 3 81 = 4

c) log 2 32 = 5 g) log 5 5 = 1

d) log 2 64 = 6 h) log 5 625 = 4

luego, calculando lo que haga falta completar las siguientes expresiones con el signo igual o desigual (según corresponda) e informar en una oración , que se puede concluir de cada una de ellas. 1) log 2 (32 + 32 )

log 2 32 + log 2 32

2) log 2 ( 16 - 8 )

log 2 16 - log 2 8

3) log 3 ( 3 . 81 )

log 3 3 . log 3 81

4) log 5 ( 625 / 5 )

log 5 625 / log 5 5

Respuesta . damos la respuesta al ejercicio (d) y (1), las demás son similares. (d) (V) ; (1)

log 2 64 = 6

pues 26 = 64

log 2 (32 + 32 ) = log 2 64

=

6

log 2 32 + log 2 32 = 5 + 5 = 10

log 2 (32 + 32 )

≠

log 2 32 + log 2 32

Conclusión : el logaritmo de una suma no es a la suma de los logaritmos.

8

¾ Comentarios La larguísima colección de reglas algebraicas que terminamos de repasar, no sólo deben ser ya de tu conocimiento sino que además, para cursar tu primer año, debes tener un dominio absoluto de ellas. Lo más probable es que hayas tenido muchas dudas, que hayas descubierto cosas insospechadas o que te hayas encontrado con cosas que no sabias cómo resolver. También cabe que te alertemos, pues la empresa no es fácil y que tengas éxito o no requiere que te hagas cargo de la situación, que asumas la responsabilidad, porque para poder “subirte al tren del aprendizaje” vas a tener que animarte a capturar el saber matemático. Para ponerte a prueba, para que vos mismo evalúes tus ganas de aprender, aquí va un consejo: “es fundamental para aprender matemática tener conocimiento de todo lo que se desarrolla en la Unidad Nº 3 de este Módulo. Te recomiendo entonces que lo leas atentamente, consultes todo lo que no entiendas, y alcances el dominio de los términos y conceptos que allí se exponen”.

9

UNIDAD N

º 3

Objetivos : que al terminar las actividades puedas: - identificar la diferencia entre proposición, definición, axioma, conjetura, teorema - conocer distintas formas de “demostrar”. - conocer algunos “problemas tipo”

Conocimientos previos:

números reales, operatoria, propiedades, reglas algebraicas.

¾ ¿Se puede “aprender a pensar” ?. Si, se puede, pues existen “reglas o modos” que nos ayudan a razonar correctamente, los cuales se pueden enseñar en tanto y en cuanto el otro (vos) quiera aprender. Para aprender a pensar es necesario querer hacerlo, pues si bien una vez encaminados este aprendizaje es una verdadera aventura, con apasionantes sorpresas y momentos gratificantes (como cuando resolvemos un problema o descubrimos algo que nos tenía desvelados). Emprender este camino implica un gran esfuerzo inicial pues requiere abandonar hábitos con los que nos sentíamos seguros, adoptar otros cuya adquisición es lenta, dura, dificultosa y exigente; requiere sospechar de todo, por más “claro” que nos parezca; no adoptar “reglas” sin saber de donde salen, cuando y en qué condiciones valen, etc.. Como ves no es simple ni fácil empezar, por ello pasar este primer momento requiere ¡¡ estar realmente decidido, desear “aprender a pensar”, estar convencido de que vale el esfuerzo aunque los beneficios tarden en llegar !!!.

¾ El presente módulo tiene por objetivo ponerte en contacto con toda una serie de cuestiones que deberás conocer y ejercitar para estar en condiciones de poder empezar a “aprender a pensar”. Veremos así distintos tipos de razonamiento; cómo, “seguir” un razonamiento requiere un tipo de atención distinta a la que estas habituado, observar con cuidado no sólo las grandes líneas sino también los pequeños detalles; tener paciencia, cuidado, conocer que hay formas lícitas y formas ilícitos de razonar, cuales son unas y otras. Veremos también en que consiste el demostrar, argumentar, conjeturar. ¾ Para entrar en calor, lee cuidadosamente las siguientes preguntas y luego escribe tu respuesta en la forma más clara y correcta posible. 1) Juan no entiende a su maestro cuando este le dice que 3 ≤ 4 es una afirmación verdadera, ¿ porqué no lo entiende? . 2) Juan no entiende a su maestro cuando este le dice que pero que

3.8 8 es una simplificación válida , = 3.5 5

a .8 8 = no lo es; ¿porqué no lo entiende?. a .5 5

3) Dos padres y dos hijos, de cacería, mataron un pato cada uno, y ninguno de los patos fue muerto por más de uno de los cazadores. Sin embargo, entre todos, sólo mataron tres patos. ¿Cómo explica esto? 4) Para los que les gusta discutir: ¿está permitido que un hombre se case con la hermana de su viuda? 5) Tres amigos que fueron a cenar piden la cuenta, el mozo les pasa una factura por $25. Como ninguno tiene cambio, ponen $10 cada uno y le dan $30. El mozo deja 5 monedas de un peso de vuelto. Cada uno de los amigos toma un peso y dejan dos de propina. Así, cada uno de los tres paga $9, lo que suma $27, y esto, sumado a los dos pesos de propina da $ 29. ¿Donde está el peso que falta para completar los $30 que pagaron al principio?. ¿Pudiste cumplir la consigna pedida?. ¿Te fue fácil encontrar una respuesta?, ¿explicarla?, ¿escribirla?. Si lo hiciste, ¿estás seguro que está bien lo que pusiste o concluiste?, ¿que lo escrito refleja exactamente lo que pensaste?, ¿qué no trasgrediste ninguna regla o ley, ni siquiera las gramaticales?. 1

¾ Análisis de la primer cuestión planteada, (1): “ Juan no entiende a su maestro cuando este le explica que 3 ≤ 4 es una afirmación verdadera, ¿ porqué no lo entiende? “. Rta) Juan no lo entiende pues automáticamente piensa: “3 es menor que 4, ¡no igual!! ” y así, para él , la afirmación es absolutamente falsa. (y seguramente mientras el maestro explica él siga pensando: ¿qué le pasa al maestro?, ¿no sabe que 3 es menor que 4?, ¿ que no es igual a 4?). ¿Cómo fue tu respuesta?; ¿así o algo parecido?. ¿Podés evaluar esto?. ¿O como a Juan, el “≤ ” te perturba de tal modo que ya no podés prestar atención a más nada de lo que se te dice?. Te sugiero que reflexiones sobre esta situación (la de Juan) pues es muy frecuente y tiene mucho que ver con las dificultades que tienen para aprender matemática. Pareciera que se “aferraran” a lo “visible y concreto” (3 “es” menor que 4), se olvidaran que los objetos de la matemática son esencialmente entes “abstractos”.

Evaluación del V-F ) Para decidir si una afirmación que involucra números es Verdadera ó Falsa, lo primero que hay que hacer es cuidarse de no asociar “número” con “cantidad”. Luego debemos, - asociar “números” con “entes abstractos, gobernados por reglas”, - analizar si estas reglas son o no respetadas en la afirmación que estamos evaluando. ¿ 3 ≤ 4 ?. ¿ Verdadero o Falso ?. Análisis preliminar: » ¿Qué regla o reglas están en juego? » ¿Cómo se define el símbolo ≤ ?

Æ Æ

las relativas al “≤ ”. ∀a, b ∈ R ; “ a ≤ b ⇔ a < b ó a = b ” .

* Luego, evaluar “3 ≤ 4” requiere evaluar si la afirmación “ 3 < 4 ó 3 = 4 ” es verdadera. O sea, evaluar una proposición donde aparece un operador lógico, el “ ó ” . » ¿Cómo se define la disyunción “ ó ” ?

Æ a partir de una “tabla de verdad” donde se fija que: “ la disyunción es “falsa” si y sólo si las dos proposiciones que la forman son “falsas” ”.

Análisis de “ 3< 4 ó 3 = 4 ” Esta afirmación comprende dos proposiciones :  3 < 4 ó 3 =4  

  

p

p: 3 < 4 [Verdadera] q: 3 = 4 [ Falsa ] Conclusión:

⇒ N def

q

3 < 4 ó 3 = 4 , es verdadera

3 < 4 es verdadera  ⇒ 3 < 4 ó 3 = 4 , es verdadera ⇒



3 ≤ 4 verdadera

def ≤

def ` o´

¾ Vemos así que “seguir” un razonamiento requiere un tipo de atención distinta a la que seguramente estas habituado. Que es imprescindible conocer los “términos”, “definiciones” y “reglas” que gobiernan los números. Que esto es necesario pero no suficiente pues, para hacer matemática, necesitas también conocer que significa cada uno de estos términos, es decir, y por ejemplo, conocer qué es y cómo se define un operador lógico; conocer cuando un enunciado es una definición, una conjetura o un teorema; saber distinguir uno de otro; saber que existen distintas formas de definir, en qué difieren una de otra; saber también que existen distintos tipos de reglas , poder diferenciar una de otra. En lo que sigue iremos dando respuesta a alguno de estos interrogantes. ¾ ¿Que significa definir ? Según el diccionario: “enunciar o fijar con claridad y exactitud el significado de una palabra”. En otras palabras, definir es acordar, convenir el significado que a partir de allí le vamos a dar a una palabra o símbolo; luego, una definición no es ni verdadera ni falsa, no hace falta por lo tanto dar justificación o explicación alguna respecto de la misma. 2

* Así, “∀a, b ∈ R; a ≤ b ⇔ a < b ó a = b ” , es la definición de la relación “menor o igual”, pues en ella acordamos usar el símbolo “ ≤ ” (sin significado hasta ese momento), para indicar cuando un número es menor ó igual que otro con el cual lo comparo. (luego, no hay nada que justificar) . * En el mismo sentido, “ a2 = a . a ”, es la definición del “cuadrado de un número”, pues en esta expresión estamos acordando usar el símbolo a2 (sin significado hasta ese momento), para representar el producto de “a” por sí mismo. Estamos inventando o creando un símbolo al cual luego le atribuimos significado, por lo tanto, no hay nada que justificar. Lo mismo para a3 ; a4 ; a5 ; etc. En cambio la afirmación “(a +b)2 = a2 + 2 a b + b2 ”, no es una definición pues en ella se afirma una igualdad entre símbolos que ya tienen significado, y no se puede inventar el significado de algo que ya lo tiene, se debe respetar lo ya acordado. Así, en este caso, hay que demostrar que (a +b)2 es lo mismo que (a2 + 2 a b + b2 ). Una vez demostrado esto, la afirmación recibe el nombre de teorema. Teorema

“ Si a y b son números reales entonces Demostración:

(a+b)2 = a2 + 2 a b + b2 “

(a +b)2 = (a +b) (a +b) (a +b)2 = (a +b) . a + (a +b) . b (a +b)2 = a .a + b .a + a .b + b .b (a +b)2 = a2 + a .b + a .b + b2 (a +b)2 = a2 + 2 a .b + b2

por definición de cuadrado. por propiedad distributiva. por propiedad distributiva. por definición de cuadrado. y propiedad conmutativa (cuadrado de un binomio)

Nota: Una vez demostrada, es decir probado que es verdadera, que no contiene ninguna contradicción, la afirmación se convierte en una regla (el “cuadrado de un binonio”) la cual usamos cada vez que nos convenga, aplicándola directamente, sin demostrarla cada vez. Ejercicios : analiza cada uno de los siguientes enunciados y explica si es o no una “definición”. 1.2.3.4.5.-

Si a∈R y a ≠ 0 entonces a 0 = 1. Si b∈R y b ≠ 0 entonces a / b = c si y sólo si a = b.c Si b∈R y b ≠ 0 entonces 0/b = 0 . “ n∈N es impar, si no es par” a2 – b2 = (a+b) (a-b)

Rtas: 1) definición de potencia nula; 2) definición de cociente; 3) no es definición, refiere al resultado de un cociente, operación que ya está definida (en (2)) luego esto es un enunciado cuya verdad hay que demostrar. 4) definición (si previamente se ha definido el término “par”) 5) no es definición, refiere a potencias, operación que ya está definida, luego este es un resultado que hay que demostrar * La afirmación “n es par si n es múltiplo de 2” es la definición matemática de “número par”, pues en esta expresión estamos acordando usar la palabra par (sin significado específico hasta ese momento dentro del contexto matemático), para referirnos a un número que es múltiplo de 2. Estamos conviniendo un significado para esta palabra en cierto contexto; luego, no hay nada que justificar (observamos que esta palabra, en otros contextos, puede tener otros significados; por ej: por “un par de medias”, entendemos “dos medias” y no cuatro u ocho medias. Vemos así que existe un vocabulario específico, el cual debemos conocer para poder hablar el “lenguaje de la matemática”) .

Observamos así que a más de conocer el significado de cada término debemos también saber que hay términos que tienen “distinto significado” según donde se los use. Esta cuestión resulta de suma importancia a afectos de asimilar correctamente una definición o entender la demostración de un teorema. 3

* En los ejemplos vistos observamos que para definir un término o símbolo hay que acudir a otros cuyo significado ya se conoce; es decir, a otros ya definidos previamente. Qué, para definir estos últimos hubo sin dudas que acudir a otros términos o símbolos ya definidos, y así sucesivamente. Por ejemplo: » Definición de “impar” :

“ decimos que n∈N es impar si n no es par” ;

Obviamente, para que esta definición tenga sentido, previamente debimos haber definido el término “par” » Definición de “par” :

“ decimos que n∈N es par si n es múltiplo de 2 ”

Ahora, para que esta definición tenga sentido, previamente debimos haber definido el término “múltiplo”. » Definición de “múltiplo” : “decimos que n es múltiplo de a∈N si existe k∈N tal que n = k. a” Y continuando así, previamente tendríamos que haber definido “existe”…. Como el número de palabras y nuestro tiempo es finito, está claro que este proceso no puede continuar indefinidamente, que en algún momento debemos interrumpirlo, convenir el significado de algunos términos sin definirlos. Estos términos indefinibles reciben el nombre de “términos primitivos” . Par ejemplo, decimos que segmento es, “la porción de recta contenida entre dos puntos de una recta”; Ahora, si alguien nos pregunta qué es una recta, no tendremos más remedio que decir que no lo sabemos, pues este término es, indefinible!!. Lo mismo para la palabra punto . ¿Porqué?, por que cualquier intento que hiciéramos por definirlas terminaría en un círculo vicioso o en un enunciado ambiguo, nada preciso. Más aún, debemos cuidar de no confundir punto y recta con la “marca” y el “trazo” que normalmente hacemos con un lápiz en un papel cuando queremos referirnos a estos términos. En el caso de la recta lo que en realidad dibujamos es un “segmento”, pues la recta, a más de indefinible es, ´indibujable´. El gráfico que hacemos sobre un papel o pizarra es una “expresión concreta” de un “concepto abstracto”, por lo tanto no lo representa “exactamente” .

Tan pronto hayamos formado un vocabulario en base a las palabras indefinibles y las definidas en función de ellas, estaremos en condiciones de hacer enunciados con los términos de este vocabulario. Entre los distintos tipos de enunciados que podemos formar, existe uno de particular relevancia para la matemática, son las proposiciones. Definición: llamamos proposición a todo enunciado al cual se puede atribuir un “valor de verdad”; es decir, establecer sin dudas si es “verdadero” o “falso” . Así, los siguientes enunciados son proposiciones (cada uno de ellos es verdadero o falso). 1.- Caracas es la capital de España. 2.- Existe un número primo par 3.- Los perros tienen alas. 4.- El conjunto de los enteros es finito 5.- Algunos números son pares 6.- Todos los números son pares 7.- Si x < 0 entonces -x > 0 . 8.- Para todo x ∈ R; x +3 = 0 9.- Existe x ∈ R tal que x +3 = 0 10.- Existe x ∈ N tal que x +3 = 0

(F ) (V) (F ) (F ) (V) (F ) (V) (F ) (V) (F )

y los siguientes enunciados no son proposiciones (no son verdaderos ni falsos ): a.- ¿Qué hora es? b.- ¡Hola Valera! c.- Cierra la puerta. d.- x +3 = 0 (es verdadero para x = - 3 pero falso para todo otro valor de x) Nota: los enunciados (8), (9) , (10) y (d) muestran claramente lo que decíamos antes respecto al cuidado que hay que tener con los “pequeños detalle”. En (d), la expresión algebraica “x+3 = 0”, no es ni verdadera ni falsa, por lo que matemáticamente, no tiene sentido (pues no se puede “decidir”). 4

Para que esta expresión tenga sentido debe estar acompañada de datos que permitan decidir por ejemplo, de qué objeto matemático se trata (¿de una ecuación?; ¿una recta?; ¿o un plano?) o cual es el conjunto numérico donde se plantea. El carácter de V ó F del enunciado depende tanto de estos datos como de la ecuación en sí. Tan importantes son que, como vemos en (9) y (10), cambiando sólo el conjunto pasamos de un enunciado verdadero a uno falso. De la misma forma las expresiones “para todo” o “existe” también hacen al valor de verdad de un enunciado. (ver (8) y (9)). Hemos observado que no tienen el hábito de escribir todos los detalles, que creen que escribir “la ecuación” o “fórmula” es suficiente. Estos ejemplos son para que recapaciten acerca de esto, tomen nota de que deben escribir “todo”, pues sin los detalles no se puede interpretar el sentido de la ecuación.

Definición: llamamos proposición compuesta a toda proposición que se obtiene de la combinación de dos o más proposiciones. Para unir las proposiciones y formar las proposiciones compuestas se acude a palabras que se llaman conectivas. Dos de los conectivos más importantes son “y” y “o”. Ejemplos: 1.2.3.4.5.6.7.-

Seis es par y divisible por 3. Diez es par y divisible por 3. 4 6. Andrés aprobará o reprobará. Andrés sale con Ana o con Sonia.

( p: “seis es par” (V) ; q: “seis es divisible por 3” (V) ) ( p: “diez es par” (V) ; q: “diez es divisible por 3” (F) ) ( F) ; q: “ 4 < 6 ” (V) ) ( p: “ 4 < 1 ” ( p: “ 4 < 1 ” ( F) ; q: “ 4 < 6 ” ( V) ) ( p: “ 4 < 1 ” (F ) ; q: “ 4 > 6 ” ( F) ) ( p: “Andrés aprobará ” ; q: “Andrés reprobará”) (p: “Andrés sale con Ana” ; q:“Andrés sale con Sonia” )

Definición: si dos proposiciones están unidas por la palabra “y” (o equivalente), a la proposición resultante se la llama “conjunción”. Se la indica con el símbolo “ ∧ “ . Definición: si dos proposiciones están unidas por la palabra “ó” (o equivalente), a la proposición resultante se la llama “disyunción” . Se la indica con el símbolo “ ∨ “. Establecer el valor de verdad de una proposición compuesta es una cuestión realmente importante para la matemática (más aún cuando el conectivo es “ó “). Luego las definiciones anteriores no están “completas”, falta convenir con claridad cual ha de ser el valor de verdad de una conjunción (o de una disyunción) según los valores de verdad de las proposiciones que la componen. Definición de la conjunción ( “∧”), en los ejemplos de proposiciones unidas por el “y” es fácil de ver que (1) es verdadero mientras que (2) y (3) son falsos; concluir por lo tanto que: “ La conjunción (y) es verdadera si y sólo si las dos proposiciones que la forman son verdaderas ”. Definición de la disyunción (“ ∨ ”), decidir la verdad o falsedad de una disyunción es más complicado pues este conectivo admite distintos usos en el lenguaje coloquial. Así, - “Andrés aprobará o reprobará”, será verdadera cuando una y sólo una de las componentes sea cierta, pues Andrés puede aprobar o no, pero no puede hacer ambas cosas a la vez; mientras que, - “Andrés sale con Ana o con Sofía”, será verdadera cuando una de las componentes sea verdadera pero, y a diferencia de la anterior, también lo será cuando ambas sean verdaderas, pues en este caso no es materialmente imposible que Andrés haga ambas cosas a la vez. ( y sin remordimientos). Es decir, sólo hay una instancia en que la afirmación será falsa: cuando Andrés no salga con ninguna. Vemos entonces que la “ó ” puede usarse de dos formas distintas, de aquí las confusiones a que da lugar este conectivo. El “ó ” del primer caso se lo conoce como “ó excluyente”, mientras que el del segundo caso como “ó incluyente”. Como dijimos, en matemática, las definiciones deben ser claras y exactas, no presentar dudas en cuanto a su interpretación; luego, definir matemáticamente el “ó ” requiere establecer una única forma para su uso; es decir, elegir una de las dos formas que presenta y a partir de allí, en el contexto matemático, convenir esta forma como el único uso posible del “ó ”. 5

Así, para la definición matemática del “ó ” se elige el “ó incluyente” y se establece que: “La disyunción (ó ) es falsa si y sólo si las dos proposiciones que la forman son falsas ” . A partir de ahora entonces para decidir acerca del carácter de una disyunción debemos regirnos por esta definición y sólo por ella. Así, la proposición (5) , pero la (4) ,

“ 4 6 ” es

falsa .

“ 4 0)

4 a.b ≤ a2 + 2 a.b + b2

⇔ ⇔

0 ≤ a2 + 2 a.b + b2 - 4 a.b

⇔

0 ≤ a2 - 2 a.b + b2 (cuad. de un binomio) 0 ≤ (a- b)2

⇔ Cómo ( a – b) 2 ≥ 0

⇔

2

∀a, b ∈ R+ (por propiedad de potencia par) concluimos que

MG ≤ MA es verdadera. b) Si a = b entonces MA = MG a=b ⇒

⇒ c) Si

MG =

a .a =

MG = a = MA

(VERDADERA)

a

2

= a 

a>0

⇒ MG = MA

MA = MG entonces a = b. MG = MA

⇒

a .b = a + b 2

2

=

⇒

a .b

2 2 = a + 2 a4 .b + b

⇒

0 = a2 + 2 a.b + b2 - 4 a.b

⇒

0 = a2 - 2 a.b + b2

⇒

0 = (a- b)2 a- b= 0

a = b ⇒ MA = MG

MA = MG ⇔

2

4 a.b = a2 + 2 a.b + b2

* Por (c) MA = MG ⇒ a = b.

De (1) y (2)

2

a = b.

* Por (b)

⇒

(a + b )2

a .b

⇒ MA = MG ⇔

( a .b )2 = ( a + b )2

⇒

⇒

⇒

d)

2. a MA = a + a = = a 2 2

y

(1) (2)

a = b es verdadera.

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⇒ a= b

5.- Juan, nuestro amigo del principio, ha evolucionado y tanto lo ha hecho que el otro día logró inferir una regla para detectar cuando un número es divisible por 3. Para ello fue probando con distintos números a la vez que iba haciendo las siguientes cuentas * 235 = 235 = 235 = 235 =

2 . 100 + 3 . 10 + 5 2. ( 99 + 1) + 3.(9 +1) + 5 2. 99 + 3. 9 + (2 + 3 + 5) 3 (2. 33 + 3. 3) + ( 10 )

* 237 = 237 = 237 = 237 =

2 . 100 + 3 . 10 + 7 2. ( 99 + 1) + 3.(9 +1) + 7 2. 99 + 3. 9 + (2 + 3 + 7) 3 (2. 33 + 3. 3) + ( 12 )

* 2765 = 2765 = 2765 = 2765 =

2 . 1000 + 7 . 100 + 6 .10 + 5 2. ( 999 + 1) + 7.(99 +1) + 6 (9+1) + 5 2. 999 + 7. 99 + 6. 9 + (2 + 7 + 6 + 5) 3 (2. 333 + 7. 33 + 6 .3) + ( 20 ) ⇒ 2765 no es divisible por 3 porque 2+7+6+5 = 20 no es divisible por 3

* 8937 = 8937 = 8937 = 8937 =

8 . 1000 + 9 . 100 + 3 .10 + 7 8. ( 999 + 1) + 9.(99 +1) + 3 (9+1) + 7 8. 999 + 9. 99 + 3. 9 + ( 8 + 9 + 3 + 7) 3 (8. 333 + 9. 33 + 3 .3) + ( 27 )

⇒ 235 no es divisible por 3 porque 2+3+5 =10 no es divisible por 3

⇒ 237 es divisible por 3 porque 2+3+7 = 12 es divisible por 3

8937 = 3 . (2.970) + 3. 9

⇒ 8937 es divisible por 3

8937 = 3 ( 2970 + 9) = 3 ( 2979 )

porque

8+9+3+7= 27 es divisible por 3

¿Es cierto que 8937 es divisible por 3? SI ¿Porqué? : porque cumple con la condición necesaria: que la suma de los dígitos que lo forman sea múltiplo de 3. (cuando esto no pasa no es divisible por 3) * abcd = abcd = abcd = abcd =

a .1000 + b . 100 + c .10 + d a. ( 999 + 1) + b.(99 +1) + c (9+1) + d a. 999 + b. 99 + c. 9 + ( a + b + c + d) 3 ( a. 333 + b. 33 + c .3) + (a + b + c + d )

Vemos que el número se puede descomponer en dos sumandos, el primero de los cuales 3 . ( a. 333 + b. 33 + c .3 ) es siempre divisible por 3; luego, para que el número abcd sea divisible por 3 es necesario que el segundo sumando sea divisible por 3. Como el segundo sumando es siempre la suma de los dígitos del número concluimos que:

Regla: “ un número es divisible por 3 siempre que la suma de sus dígitos sea divisible por 3”

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