Cenidet

Apuntes de

Matematica ( Control ) Propedeutico Dr. Alejandro RodriguezPalacios

Departamento de Electronica Cuernavaca, Morelos.

Introducci6n

a la Ldgica Matemiitica

Dr. Alejandro Rodriguez Palacios

20II

Contenido 1 Introducci6n.

2

? 1 o T ' " T ; i ; i o , , " ..r ,.o. , - u. :r.....

z

.:

. . . ...

2.2 Proposiciones. 2.2.7 Composicionesy tablas de verdad 2.3 EquivalenciaLdgica. 2.4 Tautologiasy Falacias. 2.5 Condicional y Bicondicional. 2.6 Leyes del Algebra de Proposiciones 2.7 Verdad Formal y Verdad Empfrica. Cuantificadores. 3.1 ExpresionesAbiertas. 3.2 Cuantificaci6n. 3.2.I Valor de Verdad de las proposicionescuantificadas. 3.2.2 Funciones l6gicas que contienen mds de una variable. 3.3 Negaci6nde los cuantificadores. 4 ProposicionesVrilidas. Demostracionesdirectas. 6 Condicionales.. 6.1 Implicaci6n L6gica 6.2 Argumentos y Cuantificadores. 6.3 Condicionalesasociadas. 6.4 Negaci6nde la condicional. 6.5 Condicionesnecesariasy suficientes. 6.6 Demostraci6nde Ia condicional. . 6.6.1 Demostraci6ndirecta de una condicional 6.6.2 Demostracionesindirectas. Implicacidn idgica: Reglas o leyes de inferencia 7.I Modus ponens 7.2 Modus tollens 7.2.I Prueba indirecta de una condicionalusando la contrapositiva 7.3 Ley del silogismo 7.3.I Silogismohipot6tico

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:

/1

4 K

6 7 7 10 12 13 1 /

18

20 z,)

25 27 27 29 30 30 31 aa 2/l

38 J6

39 40 40 40

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7.3.2 Silogismocateg6rico 7.3.3 Silogismodisyuntivo 7 / Ley de combinaci6n Leyes de simplificaci6n 7 . 6 Regla para la demostracidnpor casos a 7 Prueba condicional 7.8 Prueba por contradiccidno reducci6nal absurdo 7.8.1 Caso especialde la Prueba por contradicci6n 7.9 Modus ponendo tollens Algunos m6todos para demostrar condicionales 8.1

40 4T 47 42 42 42 A2

44 4C AX

Prosresivo-resresivo

45 48 4B

^ ^"b'"*'

8.2 Por construccidn 8.3 Por seiecci6n 9 Problemas 1 0 Bibliografia

,44 UT'

1. Introducci6n. El sentido ordinario de la palabra "L6gica" se refiere a lo que es congruente, ordenado, b,ienestructurado. Lo il6gico es lo contrario. La L6gica se puede considerar en dos niveles diferentes: la L6gi,ca natura,l,como la aptitud que todos poseenpara pensar con orden, ilaci6n y coherencia;y Ia Ldgi,ca czenttfica', como Llna teoria y una t6cnica que posibilita el perfeccionamientode la l6gica natural. L:r,definicidn real de la L6gica es la siguiente: La Ldgzcaes la ci,enc,iaque estud,'ialos pensamr,entosen cuanto a sus correcto y uerdadero. t'ormas mentales para faci,l'itar el rac,ioc,in'io Su objeto cle estr-idiolo constituyen las formas, estructuraso esque?nas de pensamiento. trl lengua.jees l:rn med'io,un instrnmento mediante el cual se transm,ite i,nformacr,6n. Exteriormente,en muchos aspectos,la Matemd,ticaparececomo un lenguaje basadoen una estructura l6gica. En el estudio de la Matemiitica introducimos t6rminos t6cnicos, definimos palabras para construir nuestro vocabulario y formamos oracionesde manera semejante al estudiar Espafrol. A fin de construir una estrnctura l6gica y un lenguaje matem6tico debemos, sin embargo, aceptar primero un pequefro nfmero de palabras no definidas de manera que podamos definir otras en t6rminos de 6stas. Ya hemos encontrado, en estudios previos, algunas de estas palabras (conceptos)no definidas. Por ejemplo,en Geometriatenemoslas palabraspunto y lfuea;en Algebra: conj'unto,etc. Por supuesto, formamos imdgenesmentales de estas palabras no definidas y damos ejemplos.Pero las palabras, a pesar de eso,permanecenindefinidas. En las discttsionestambi6n usaremos palabras comunes del Espanol y aceptaremossus significados usuales. Conforme construyamos el lenguaje, haremos uso extensivo de sfmbolos que serdn una forma convenientede taquigraffa. Al simbolizarun lenguajelo que se persiguees, b6sicamente,sencillez, claridad y exactitud. Por elIo, la simbolizaci6n del lenguaje l6gico nos permite examinar mds f6cilmente 1asformas de pensamientoy slrs leyes, las cuales es preciso seguir si queremos qlle nuestro pensamientosea correcto.

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trl m6todo matemdtico es, fundamentalmente, de tipo d"ed,ucti,uo. Sus demostracionesson casos rigurososde la aplicaci6n impifcita del silogismo. Las demostracionesmatemd,ticas parten de ciertos principios: a,iomas, defi"nr,czones, posturados,lemas y teoremas demostrados previamente. 2. Definiciones. trn Nlatemiitica construimos enunciados que son orac'ionesd,eclarati,uas que afi,rman o niegan algo. Algunos de estos enunciadosse aceptan sin una demostraci6nformal, son ,,evidentes,, por sf mismos o simplementese les acepta por convenci6ncomo ciertos y les llamamos axiomas. Para otros, habr6 que demostrar su veracidad.,les llamamos proposiciones, es decir, toda oracidn respecto de la cual puede decirse si es verdadera o falsa. Emplearemos las letras p, Q, r y s para representarproposicionesno especificadas. Exercise L. Seg(tn Ia definici1n, icuiiles de las siguentes expresionesson proposiciones? 1. Esta fruta estd verde.

2.3+7:I0. 3. La diferencia entre dos nfimeros naturales es un nfimero natural. 4. Si gasto 1000 pesos al dia durante 2000 afios,no habr6 gastado1000 mjljones de pesos. 5. iEstds contenta? 6. iNlanana se acabard el mundo! 7. Tomd"sdebe pagar sus deudas a menos que quiera ir a ra cd.rcer. 8. Si6ntatey estate quieto. 9. La divisi6n entre cero es imposible. 10. Si yo descubriera una f1rmula para encontrar nfimeros primos, seria famoso. 11. La abstraci1n cambia lo borroso en amarillo. 12. iEs feo Juan? 13. Jos6 tiene una veffuga en Ia nariz. 14. Daniel y N[aria se casaron e] 3 de agostode 1g8g. Hav algunasproposicionesqlre por sll contenido las consideramos(subjetivamente)como m6s importantes y les liamamos teoremas. Ademris, tenemos otros dos tipos de porposiciones:los lemas y los corolarios. Los primeros) son proposicionespreliminares que van a utilizarse en Ia demostraci6nde un teorema. Los segundos,son proposicionesque surgencomo resultadoinmediato de un teorema. La l6gi,caproposzczonales la parte de la L6g'icaque estud'ia Lasformas en que se relac,ionanunas 'p'roposxcl'ones con otras y, sobre todo, la relacr,6nque se da entre las proposzc,ionesque cornponen un razonam'ientoo ar7umento.

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2.1. Definiciones Formales. Antes de tratar con ias proposicionesveamosalgo referentea las definiciones. El tipo de definiciones qLlenos interesan (mayormente) en Matemd.ticason las definiciones formales. 6stas son convenciones mediante la^scuales se puede usar una expresi6n en lugar de otra. Los esquemasempleados para una definici6n formal son los sisuientes: Pordefinici6n, T:U Por definicidn, p si q El primer esquemaes para definir un t6rmino singular ? por medio de otro t6rmino sinqular.[/. Ejemplo 1: . Por defi,nici,6n,tr2 : r .tr Usamosla palabra t6rmino para representara una palabra o grupo de palabras (o a un sfmboio o grupo de simbolos) que empleamospara referirnosa un objeto. Usamos t6rmino singular si clesignamos a un solo objeto y t6rmino general si designamosa todos los objetos de una clase. El segundoesquemaes para definir una proposicidnp por medio de otra proposicidng. Ejemplo 2: Sea,A una matriz real de orden n. Por definr,ci1n, eriste A-1

si, det A I 0

Por otro iado, una definicidn implicita de un t6rmino es una definici6nformal cleuna proposici6n que contieneal t6rmino, por ejemplo: P o r d e f i n i c i 1 n ,A : J i

si

A2:*

y

A>0

Como un ejemplo del concepto de axioma tenemosel siguiente: Supongamosque Ias letras a, b, c y d represetttaucantidadesarbitrarias. Los axiomas de la igualdad son los siguientes: 1. 2. 3. 4. 5.

e:a a:b+b:a a:bAb:c1a:c a : b Ac : d + al c: b * d a: b A c: d + ac: bd

(reflexividad) (simetria) (transitividad) (aditividad) (multiplicatividad)

2.2. Proposiciones. Regresemos a las proposiciones.Tenemosproposiciones simples: que son enunciadosque constan de uno o varios sujetos (t6rminos) y de un predicadoi que afirma o niega algo en torno a dichos sujetos. Las proposiciones compuestas o composiciones, en cambio, constan de dos o m6s proposicionessirnplesunidas mediante conectivos l6gicos (A, V, -, +, €). Cabe hacer notar que la negacidn es el rinico caso de composici6n construida por r.rnasola proposicidnsinrple y un conectivoldgico. 'En L6gica, se llama pred'icad,oa 1o que se afirma del sujeto en una proposici6n

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2.2.1. Composiciones y tablas de verdad. Las composiciones elementales son: p A q como la conjunci6n de p y q pV q como la disyunci6nde p y q como la negacidnde p

(V) (o) (no)

mds adelanteveremoslas otras composiciones. Exercise 2. Representemoscon p a Ia proposici6n: ,,como espinacas,,,y con q a la proposici6n: "estoy fLterte"' Traduzca cada una de las proposicionesde los incrsos (a) aI (f) siguientesal lenguaje ordinario. a)

pAq

b)

-p

c)

-(pvq)

d)

-pvq

e) -(-q)

f)

pA-q

Exercise 3. Representemosconp ala proposici6n: "Sonia es atractiva", y con q a Ia proposici6n: ''C\audia es fea". Traduzca cadi una de las proposiciones de /os incisos (1) al (b) siguLientesal lenguaje simb6lico. l. Tanto Sonia como Claudia son atractivas. 2' No es verdad que tanto sonia como carudia sean atractivas. 3. Sonia es atractiva o Claudia es fea. 4. Sonia es fea y Claudia es atractiva. 5. Claudia es atractiva. Puesto que la veracidad de una composici6ndepende d.e la veracidad de sus componentes, podemospreguntarnoscdmo manejar estasituacidn. Recordemos que toda proposicidnesverdadera o falsa' Asi, decimos que los valores de verdad d.euna composicidn son: verdadero (l/) y falso (F)' Con esto podemos formar un tipo de arreglo que liamamos tabla de verdad, que incluye todas la posibiiidadespara cada conectivo. comencemos con la negacidn. 6sta es una proposicidn de la forma: no es cierto que p;

en simbolos: - D

Su tabla de verdad es la miis simple de todas:

trT-tl

I vl-F I IFTT_I N6tese qLre)negar una proposi,ci1n es i,ndi,carque es falsa. En Matem6tica, cuand.ointerviene un simbolo predicado (:, (, €, etc.), la negaci6nse forma cancelando dicho simbolo mediante una raya diagonul (1, (, etc.).

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Las tablas de verdad para los otros conectivosl6gicos son:

p

q

pAq

pvq

T /

F F

F

F

F

F F

I /

V

F

De esta manera) Ias tablas de verdad se construyen para indicar el valor de verdad que toma una composicidn conociendo los valores de verdad de las componentes. Otro conectivo t6gico utiiizado es el '(o exclusivo" que no se emplea mayormente en Matemd,tica sino en Computacidn y L6gica. Exercise 4. obtenga la tabla de verdad de las composicionessiguientes: a,) -pA(-q)

b)

-(p\q)

c)

-pV(-s)

d)

p\(pvq)

e)

f)

(pv q) v (p n q)

s)

[pn (- q))v p

h)

(p Aq)nr

(r'A s) v (- s)

E x e r c i s e 5 . S e a np : 2 * 3 : 5 ; y q : L a L u n a e s t d h e c h a d e q u e s o f r e s c oD. e t e r m i n e c u 6 . l e s d e l a s pt'oposiciones de los incjsos (a) al (d) del ejercicio anterior son verdaderas. Exercise 6. (r) iCui.ntos valores de verdad resultantes hay en una tabla de verdad correspondiente a ulra proposici1n? (ii) iCudntos valores de verdad resultantes hay en una tabla de verdad con'espondjente a dos proposiciones? (i.i,i) iCudntos valores de verdad resultantes hay en una tabla dr: verdad cort"espondientea tres proposiciones? (i,u) iCudntos valores de verdad resultanteshay en una tabla de verdad correspondiente a cuatro proposiciones? (u) iCudntos valores de verdad resultttnteshay en una tabla de verdad correspondientea n proposicionesT 2.3. Equivalencia L6gica. En L6gica proposicionalno existe el conceptode igualdad de proposiciones.Sin embargo,e1concepto "equivalente"Io establecela siguientedefinici6n. Definicidn l: Deci,mosque dos proposzczones p A q son l1gicarnente equiualentes, Io q,ue por p = Q, o por p e q, cuando cada una de ellas impli,ca2a la otra. d,en,otarn,os Una manera de ilustrar esta situaci6n es construir la tabla de verdad para cada composici6ny si las columnas correspondientestienen exd,ctamentelos mismos valores de verdad y en ei mismo 6r'clen,entoncesse dice que son l6gicamente equivalentes. Por ejempio 1asproposiciones:- p A - q = - (pV q) p

a

-p F

F

F

F n

* p A x Q

F \ I

D

F

V

pvq

F

- (pvq) F

F F

\/

\/

F

F F

Se pr-redeobservar con facilidad que las coiumnas cinco y siete son id6nticas) por 1o tanto se tiene eue-pA-Q=-(pVq) . 'Im'pLircar:(fig.) Contener, llevar en sf, significar.

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Exercise 7. Mediante tablas de verdad determine si las siguientes proposiciones son l6gicamente eauivalentes: a)

-(pVg) =-pA-Q

b) -(png) =-pV-q

c)

pv (qA") : (pv q)A (pvr)

2.4. Tautologfas y Falacias. Dentro de la gran cantidad de composicionesque es posible elaborar, podriamos plantearnos el problema de encontrar ttna que siempre fuera verdadera, sin importar los valores de verdad asignados a las proposicionessimplesque Ia componen;o, de manera semejante,podrfarnospensaren nna cornposici6ncompletamentefalsa. A pesar de la aparentedificultad de Ia existenciade este tipo de composiciones,no sdlo es posible encontrar algunos ejemplos, sino que ademds,su consideraci6n en Ia Matemittica es muy frecuente. Estas composicionesreciben los nombres de tautologfas y falacias (o contradicciones), respectivamente. Definici6n 2: Una composzci,6n P, compuestade las proposr,c'iones p1, p2, ..., pn se llama una tautologta, sz P es uerdaderapara todas las asi,gnaci,ones poszblesque puedan presentar los ualores de uerdad de las propos'ici,onesconsti,tutiuas.And,logamente,una proposr,cr,6n compuestaP es una o contradi,ccifn, s'i P es una tautologia. falacia Consideremoslos siguientesejemplos: Teorema L: p Y N p es una tautoLog(a. Demostrac'i6n: (Ley del medio excluido/

p l-plpY-p F F

I T

T e o r e m a 2 : p A - p es una falaci,a. Demostraci6n: (Ley de Ia contradicci6n)

p l-plpA-p F V F F F 2.5. Condicional y Bicondicional. En Matemdtica, al tipo de proposici6ncompuesta mds frecuente se le conoce como cond'ici,onal.Es una composici6n cuyo conectivo l6gico es " -* " Tiene Ia forma: (t

Si

m

anf nnroq

n

t)

en simbolos: p ---+q.

A la proposicidnp se le conocecomo ia hipdtesis (o antecedente)de la condicionaly a la proposici6n g como la tesis (consecuente)de la condicional.La condicionalsueleescribirsede varias formas, a

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saber: i) i,i) iii) ir) u ui,) ui,i,) ui,i,i,)

p p p q

implica3 s61osi es suficiente para es necesariapara ) s s i q con la condici6n de que q cuando g siempre que

q q q p p p p p

Por otro iado, para verificar la validez de una condicional suele usarse el siguiente criterio:

Una condi,c'ionales ad,Iida si, cada uez que se uerifi,ca la hipitesis se uerifi,ca tarn'b'i,Enla tesis.

Consideremosel siguienteejemplo: Si,llueue,entoncesme quedoen casa. Si cumple sn promesa,decimosque la proposici6nes verdadera;si no Ia cumple decimosque es falsa. Sean p i Llueve q i me quedo en casa La promesase simboliza como p'--+q. Tenemoscuatro posibilidades:

p Caso1 V Caso2: Caso3: F Caso4: F \ t

q

F

V F

Llueve: se oueda en casa Llueve. no se queda en casa No llueve se queda en casa No llueve; no se queda en casa

que ello ha iCudndo se habrii quebrantado la promesa? La rinica ocasidn en que se puede decir ocurrido es en el Caso 2. La prueba de una condicional consiste en determinar

cud.ndo es falsa.

En simbolos, p --+q es falsa siempre que p A ru Q s€&verdadera. Equivaientemente, si se tiene que p A - Q es verdadera, entoncesp --+q es falsa Esto provienedel Caso 2, o bien p --+q es verdadera siempre que p A N g sea falsa. 'jlmplicaci6n:

Repercusidn o consecuenciacle una cosa. En L6gica, relaci6n mediante ia cual cle una afirmaci6n se

cleduceotla.

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Equivalentemente, si se tiene que p A - Q es falsa, entoncesp ---+q es verdadera. Lo que equivalea decir que p ---+q es verdadera siempre eu€ ru (p n - q) sea verdadera. Equivalentemente, si se tiene eu€ - (p n - q) es verdadera, entoncesp --+q es verdadera. Construyamosla tabla de verdad p&raa- (p A - q). -(pA-g)

p

q \/

N q

P A - q

F

V F

F

r t

F V

V F

F

F

F V

V

F

V

F

Usamos esta tabla para definir la condicional p -) g) como se muestra en la siguiente tabia de veldad p I q lp-,q \I \/ I I

V F F

F

F

r!

V F

\ t

De Ia tabla se observa que p --+ q s6lo es falsa cuando la hip6tesis es verdadera y la tesis falsa, Io que estd de acuerdocon el criterio anterior. En el casocuando la hip6tesises falsa no importa cu61 sea el valor de verdad de la tesis, la condicional siempre es verdadera. M6s adelante trataremos nuevamentecon las condicionales. Labicondicionaldelasproposicionespyqeslaproposici6npt.+q(ptiys6losiq),cuya tabla de verdad se da a continuaci6n:

p I V V F F

q lp*q F

n

V

F

F

La bicondicional s6lo es verdadera si ambas proposicionestienen el mismo valor de verdad. La bicondicional puede definirse de la siguiente maneta: peq

:

(p-,q)A(q--'p)

Se puede verificar fdcilmente que ambas proposicionestienen la misma tabla de verdad. a R e c u e r c lqeu e - ( p *

q) =p A -q

o bienp-

q:-(p

n -q).

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Exercise 8. Mediante tablas de verdad muestre que las siguientes proposiciones son l6gicamente ec1uivalentes: a)

-(p-*(i=pA-?

b) p--+q:-q---+-p

c)

q---+p,=,,!p-+-q

Exercise 9. De los siguientes enunciados,d.etermine cud.les son verdaderos, cud.Jesson falsosy justifique su respuesta: 1. Si Parls estd en Francia, entonces2 + 2 : 5. 2. Si 3 I 2 : 7, entonces4* 4 : 8. 3. l{o es verdad que: 2 * 2 : 5 si, y s6lo si 4* 4 : I0. 4 . N o e s v e r d a dq u e :I *

1:3

o que2+L:3.

5. 3 - 2 : 2 si, y s6losi 1 * I : 2. 6. Sj 5 { 3, entonces-3 < -5. 7 . N o e s v e r d a dq u e : 2 1 7 : 9

s i ,y s 6 l o s i 2 * l : 5

i m p l i c a5 + 5 : 1 0 .

Exercise LO. Para cada uno de los siguientes enunciados, identifique Ia hip6tesis y Ia tesis. 1. Si eI tfiLngulo rectd,nguloXYZ con lados fr y A e hipotenusa z tiene un drea igual a z2f 4, entonces eI triilngulo es jsdsceles. 2. Si n es un nrtmero par, entoncesn2 tambi6n lo es. 3. Las dos ecuaciones lineales ar * Uy - e y cr + dA : f tienen soluci1n para r y y, siempre que los nrimeros realesa, b, c, d, e y f cumplan con (ad - bc) I 0. 4. La suma de los primeros n enterospositivos es n(n + L)12. 5. Que r seaun ntimero real y que cumpla con 12 :2

implica que r es irracional.

6. Quep y q seannrtmeros realespositivoscon r/wl

@+Q12 es suficienteparaquepf

q.

7. El valor minimo de r(r * 1) es por Io menos -Lf 4 con Ia condici6n de que r sea un nrtmero real. 2.6. Leyes del Algebra de Proposiciones A continuaci6n se presenta una lista de equivalenciasde proposiciones: Leyes de Idempotencia la.

pV p=p

lb.

pAp=p

Leyes Asociativas

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2a. (pvq)yr:pv(qvr) 2b. (pnq)Ar:pA(qnr) Leyes Conmutativas 3 a . p V q : q Vp 3b. pAq:qAp Leyes Distributivas 4a. pv (qAr): (pv q)A(pvr) 4b. pA(qVr): (pnq)v (pnr) Leyes de Identidad 5a. pY F: p 5b. p AV:p 6a. pVV:V 6b. pAF:F Leyes del Complemento 7a. pV -p=V 7b. pA-p=F ga. _(_p)=p 8b. -V=F,

-F=V

Leyes de De Morgan 9a. -(pVg)=-

pA-q

9b. -(png)=-py-q Leyes de la Condicional l - O a .p - + q = - p V

q

10b. p---+q=-(pn-Q) Ley Contrapositiva ll-a. p---rq=-q-+-p Leyes de la Negacidn de Cuantificadores L2a. -

l3r > P(")l : Yr : - p(r) 11

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Lzb. - lVr : P(r)l : 1r ) - P(r) Aunque estas riltimas leyes se verd,nmzis adelante las incluimos aqui por completez. Exercise IL. Mediante tablas de verdad verifique las Leyes del d.lgebra de proposicjones. Es decir, muestre qtte las proposiciones que estdn a ambos lados de| sfmbolo 'r-", son l6gicamente ecluivalentes. Exercise L2. Usando las Leyes dd d,lgebrade proposiciones,simplifrque las siguientes proposiciones: a) -(pA-g) b) -(-p-q) c) -(pA-g) d)

-(-pA-q)

e)

-(-p*q)

f)

- (- p ---- Q)

Exercise 13. Simplifique los siguientes enunciados: l. .l{o es verdad que: las rosas son rojas implica que las violetas sean azules. 2. No es verdad que: hace frio y estd,lloviendo. 3. .l{o es verdad que: 6I es bajo o galdn. 4. No es verdad que: si estd Lloviendo,entonces hace frio. 5. l{o es terdad que: las rosas son rojas si, y s61osi las violetas sor azules. Exercise L4. iCud.l composici6n es verdaderay cu5,1es falsa?: (i) p --. (p n q); (i.i) p -- (p V q). 2.7. Yerdad Formal y Verdad Empfrica. Tocla proposici6n es verdadera o falsa. Podemosdistinguir, sin embargo, las que lo son por su pula forma 16gica,independientemente de los hechos de la realidad, de las que lo son, segrin reflejen o no Ia realidad fielmente. La verdad de las primeras es una verdad formal, es decir, una verdad que depende exclusivamente del modo en que se relacionan entre si ias proposiciones,sin que los hechospuedan servir para confi.rmar o refutar este tipo de verdad. La verdad de las segundas,es una verdad que se constata o comprueba con los h,ecltos, con la erperienc'iade los rn'ismos;es una verdad empirica (en griego, empere'iasignifica erperienua). Para determinar si una proposicidn es verdadera formalmente s6lo necesitamos analizar su forma. Para decidir, en cambio, si una proposicidnes verdaderaempiricamente,hemosde comparar Ios hechosde la realidad con el contenido de la proposici6n. La L6gica no es una cienciaque permita decidir si una proposici6nes empiricamenteverdadera; esto es el propdsito de las cienciasfd,cticas,es decir, Ias que estudian ios hechosde Ia realidad (en Iatin, facturn significa lr.echo).En cambio, la L6gica si se ocupa de estudiar las verdades formal.es, sus estructuras y sus leyes, de manera que sea posible determinar si una proposicidn cualquiera, con un contenido variable, es verdadera o falsa formalmente, es decir, independientemente de los hechosa los que se refiere. La funci6n principal de la L6gica es proporcionar reglas de inferencia o principios de razonamiento. La teoria asociada con tales regias se conocecomo Teoria de Inferencia porque se interesa

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en Ia inferencia de una conclusi6n a partir de ciertas premisas. Por otro lado, la i,nferenctal6gi,ca s6lo se dedica al estudio de la validez de los razonamientoso argumentos y no a1de la validez de las proposiciones.Por tanto, puede presentarseel caso en que un razonamiento viilido nos conduzca a una conclusi6n con valor de verdad falso. Asi, se tiene la siguiente regla: ttde una falacia no debe inferirsett. La validez de un razonamiento o argumentacidn no dependedel valor de verdad de la conclusidn. Las leyesde inferenciason reglasque nos permiten obtener en forma lfcita, conclusionesa partir de proposicionesadmitidas como verdaderas(premisas).Es importante tener presenteque s61opodr6 "inferirse" a partir de un conjunto de premisas (proposiciones verdaderas) y que en el caso de qlle no sea posible tal situacidn, no debemos dar por verdadera nuestra conclusi6n. Sin embargo, cuando todas nuestras premisas sean verdaderas, toda conclusidn obtenida mediante una 1ey de inferencia deberd,considerarseno sdlo como un razonamiento vrilido sino que adem6s,la conclusi6n serii verdadera. 3. Cuantificadores. A diferencia de los otros modos de composici6n,las cuantificacionesse originaron en la Matem6tica con el uso de las variables. Toda proposicidn del lenguaje ordinario en Ia que figuran las palabras tod,os,n'ingiln, algunos,etc., se puedetraducir en t6rminos de una cuant'ificact6n.La tarea inversa, consistenteen la traducci6n al lenguaje ordinario de una cuantificacidn, resulta a vecesdificil. 3.1. Expresiones Abiertas. Aparte de la proposicionesverdaderasy faisas,se presentan en la Matemritica otras que se denominan abi,ertaso r,ndeterm'inad,as. Por ejemplo: a. Erpres'ionesuerdaderas:

1 .L - T O - t ) 2.6 < 9 3 . Marzo es ei tercer mesdel aflo. b. Erpresr,ones Falsas: 1. 2 + 3 : 9 o

L .

5>10

.). Jupiter es el primer planeta del sistemaplanetario solar. c. Erpresr,onesab'iertaso'indeterm'inadas:

1.2r2+3r:5 2 . 5 y< 2 0 3 . Ella fue la primeraen su clase. IJ

ApuntescleMatemittica ( Propeddutico ) elaboradaspor: Dr. Aleiandro Rodrtguez Palacios

Cenidet

Vemos que estas expresionesabiertas pueden ser verdaderas o falsas, dependiendo de las sustituciones que se hagan para las uariableszndetermi,nadas: r, y y ella; mientras que las oraciones verdaderas debenser s'iempreuerdaderasy las oracionesfalsas d,ebenser s,iempre falsas. Aplicaremos el estudio de la Ldgica a las expresionesabiertas. Para este fin debemos restrinqir o cuantzficaria variable, diciendo que la expresi6n es verdadera para tod,oso algunos de sus posibl-es valores. Ejemplos 3: Modi,fi,quecada una de las siguientes erpres'ionesab,iertasa urna,uerd,ad"era: 1 L

.

r& - t LL 9 - - - 9 t t **

2. Las cucarachasson feas. 3. Dos dngulosson congruentes. 4 .r * A : y + r Solucr,6n: 1 . P a r at o d o r , r * 2 : 2

* r

2. Todas ]as cucarachasson feas. 3. Dos d.ngulosrectos cualesquierason congruentes. 4 . P a r at o d o r y t o d o U , r * y : y

*r.

Exercise L5. Escriba cada una de las siguientes expresionesabiertas como una proposici6n verdadera empleando el cuantificador mds general. 1 L.

X - | a - -1 ' ) J&-T I Id.

2 . 3 y< 1 0 . J. Cr X I:

DU.

4. rg : gr. 5. a(b* c) : ab* ac. 6.12>r. 7.r'-1-*r-1 >1. 3.2. Cuantificaci6n. Ctialquier cuantificador de la forma para todo, todo, ntng6n, para cada, o cada se llama cuantificador universal y se simboliza por V. Mientras que los cuantificadores de la forma eriste, alguno, o etiste por lo rnenosuno se llaman cuantificadores existenciales y se simbolizan por -. Definici6n 3: Una func'i6n proposicional, P(r), en una uarzableo tndetermr,nada n es toda orac'i6n en la que fi,gura r conlo sujeto u objeto d'irecto, Ia cual se conu'ierte en una proposr,cr,6n 'para,cada espectficaci6nde r. I4

Apuntes de Matemdtica ( Propeddutico ) elaboradaspor; Dr. Alejandro Rodriguez Palacios

Cenidet

Nota 1: El simbolo P(z) es la representacidn de un predicado o propiedad relativo al objeto indeterminador, pertenecientea cierto universo o conjunto (tambien iamado dominio de la variable), [/. Formalmente podemos proceder como sigue: Sea [/ un conjunto (un'iuerso o d'omi,ni,o)dado explicita o implicitamente. Una func,i6n l6gzca (o f'unci6n propos'ic'ional),o simplemente un enunc'iad,o formal sobre [/ es una expresi6n qlle se denota por P(z) y que tiene la propiedad de que P(a) es verdadera o falsa para todo a e U. En otras palabras, P(r) es una funci6n l6gica sobre [/ si P(r) se conrrierte en una proposici6n al sustituir la variable r por un eiemento a e U . Se pueden presentar tambi6n funciones proposicionalescon dos o m6s variables: p(r,il. Definicidn 4: Si' P(r) es una funci,6n l6gi,ca sobreun conjunto (J, entonces el conjunto d,e elem'entosa € U que t'ienen la propi,ed,ad, d,eque P(a) es uerd,ad,era, se llama d,ornini,o o conjunto de ualidez de P(r) y Io denotanlospor Vo. Esto es Vp: {rl r eU

n P ( r ) e sv e r d a d e r o }

o, s'im,ple,mente,

Vp: {r I P(") } Nota 2: N6tese que Vr g U. Nota 3: Obs1rueseque s'i P(r) es una funci,dn l6gi,cad,efini,d,asobreun conjunto (J, entonces P(r) puedeser uerdaderaparatodoslos r €IJ, para algunosr €(J o paranrngdn r €t]. Por s'[ solo, P(r) es LLnenunc'iadoformal U, por consrgur,ente,no t,iene un ualor d,euerd,ad,. Pero, como se prec'isard, despuLs,P(r) con el cuanti,ficad,or uniuersat (Y ) preced,i,endole, es d,ecir Yr: P(r), es una proposi,ci,6n y tiene un ualor de uerd"ad". And'logamente,para el cuantr,ficadoreristenci,at ( I ), es d,eci,r,-r ) P(r), es l"Lnaproposzcr,dn y tlene un ualor de uerdad. Ejemplo 4: Sea U : {I,2,3,4,5} Lo,sszgu,ientes : func'iones l1gzcas

el conjunto uniaerso. Halte el conjunto de ualzd.ez, W, cle

I. P(r):r{4. 2. P(r) t 12 > 2. 3.P(r):2r*2:5. R.esput:sta,s: Para resolvereste tipo de problemas,se procedecomo sigue: hacer una tabla en cuya primera columna se enlistan todos los valoresde r € t/. En la segundacolumna se sustituyen esosvaloresde r en la funcidn proposicionalP(r). En la tercer columna se asignael valor de verdad correspondiente para cada valor de r. Finalmente, se seleccionanaqu6llos vaiores de z para los cuales P(z) sea verdadera. \. Vp: {I,2,3}

15 Palacios Apuntes de Matemdtica ( Propeddutico ) elaboradaspor; Dr. Alejandro Rodrlguez

Cenidet

2. Vp: {2,3,4,5}

3 .V e : a A partir de funciones proposicionales es posible obtener proposiciones generalesmediante un procesollamado de cuantificaci6n. Asociadosa Ia indeterminadar, introducimos los simbolosYr y Sr,llamados cuantificadores universal y existencial en z, respectivamente. Las expresiones Para todo r, se verifica P(r) Existe r, tal que se verifica P(z) se denotan mediante Yr

P(r)

1r > P(r) y correspondena una funci6n proposicionalP(r) cuantificadauniversalmenteen ei primer caso)y existencialmenteen el segundo. Ejemplo 5: Modi,fiquecada una de las szgui,enteserpres,ionesab,iertasa una cuantzficadaque sea "uerdadera": 1 L.

0 a&

-1'

o _- ( L

\)

2. EIla fue Ia primera en su clase. 3. Algunas manzanasson rojas. 4. 4z A(t) 2.- Algunos etementosson rad,ioacrr::r. Seaz: variable u objeto Sea E(r): u es un elemento Sea /?(z): r es radioactivo La representaci6nsimb6lica de esta proposici6nes: Existe al menos un r tal que: r es un elemento y r es radioactivo o bien:

1r > E( r ) nR( r ) 3.- Ni,ngdnmolusco es uertebrado. Sea r: variable u objeto Sea /21(z): iDes un molusco Sea V(r): r es vertebrado La representaci6nsimb6lica de esta proposici6nes: Para todo r: s'i r es un molusco, entonces no ocurre que r sea vertebrado o bien: Vr : M(r) -- - V(r) En resumen,tenemosIas siguientesposibilidades: (a) Enunciado universal afirmativo: Vr : P(r), (Todos los r verifican p(")). (b) Enunciado universal negativo: Yr: - P(r), (Ningrin z verifica p(")). (c) Enunciado particular afirmativo: )r ) P(r). (Algrin z verifica P(r)). (d) Enunciado particular negativo: lz ) - p(r). (Algfn r no verifica P(r)). Se tiene que " V " es una extensi6nde " n' no finitos:

y u 1" es una extensi6nde " V ", para dominios

17

;;;;;;;;^r;;i,i#"Ti,*,aWteiandro

Patcrcios Rodrrguez

cenidet

Yr : P(r) : P(o)^ p(b) A p(c) n... )r > P(r) : p(a) v l,(b) v p(c) v .. . Exercise L6. Escriba los simboJos apropiados de los cuantificadores univercal o exjstencial para los enunciadossiguientes5; 1. A|gunas manzanas estd"npodridas. 2. Todas las mujeres son bellas. 3. Existen enteros positivos. 4. Algunos enteros son negativos. 5. Todos los cuadradosson rectdngulos. 6. Al menos un alumno cantard. 7. Todo eI que pregunta aprende. B. Los naranjos son dlboles frutales. 9. Algunos jugadores no saben perder. 10. Juan es un pintor. 11. Todos los carros viejos no cofien mucho. 12. Es mentira que todos los perros no sean finos. 13. Ningin dulce es sabroso. 14. Algunas relaciones son funciones. 3.2.L. Valor de Verdad de las proposiciones cuantificadas. Dado que toda funci6n proposicional precedidapor un cuantificador se convierte en una proposici6n, tiene, por tanto, un valor de verdad. Cabe, entonces,preguntarsecuS.ndoestetipo de proposiciones tienen valor de verdad verdadero.

Valor de verdad de una funci6n proposicional

a.

cuantificada

Universalmente: Una proposici,6nque cont'ieneun cuant'ificadoruniuersal tiene ualor de uerdad uerdadero sl y s6Losi,, el dom'inio de uali,dezde la funci,6n l6gi,caes ,igual al conjunto un'iuersalcorrespond'ienteal problema. " Hirft: Pt'oceclacomo en los problemas del Ejemplo 6.

18

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E s t o e s :S i y p : { r l r e U , P ( r ) } : ( J , e n t o n c e s Y r : P ( r ) e s v e r d a d e r aS. e r i i f a l s a e n c a s o contrario, es decir, si Vo : {rl r € U, P(r) } + U Al elementoa e [/ tal que a 4Vp se Ie llama contraejemplo de la proposici6nVz : P(r) y basta mostrar un contraejemplo para concluir que Vz : P(r) es falsa. b.

Existencialmente: Una propostcz6nque cont'ieneun cuantr,ficadoreristenctalttene ualor de uerdad uerdadero s'i, y sdlo s,i, el dom'inr,ode uali,dezde Ia func,i6n l6gi,cano es uacto.

Esto es: Si yp: {rlr e U, P(r) } +A, entonces)r > P(r) es verdadera.Serd,falsaen caso contrario;es decir, si Vo - {rl r e U, P(r) } : A. Ejemplo 7: Sea U : {2,3, . . . ,8,9} el conjunto un'iuerso.Determ'ineeI ualor de uerdadde Las p roposzci on es s'igu'ientes: 1.Yr:2r*I p(r,y)

o

)r)YyYz

:p(r,y,z)

es unz, proposzcz1ng tr,eneun ualor de uerdad.

Apuntesde Matenxdtica ( Propeddutico ) elaboradaspor. Dr. Alejandro Rodrfguez Palacios

Cenidet

Ejemplo g: Sea U : proposzc'ione s siguientes:

{1,2,3} eI conjunto un'iaerso. Determ,ine el ualor d,euerd,ad, d,e las

1 .l z E V g : 1 2 < A + I 2 . Y r : 1 a > 1 2+ y 2 < 1 2 3 . y r y g . . 1 2+ a 2 < 1 2 4. 1r)Vg:-z)12+A2 8 2. Eri,ste un planeta habi,table.

3.VrelR:lrl:7 4. 1r€lR )tr2:r 5. Todo rnundo se lta leuantado. Soluc'iones:

L)neN>n+20,ne Z. Dem'ostrac'i6n:Esta proposicidn la demostraremosen dos casos: cuand.on es par v cuando n es impar; lo qr-reequivale a probar las dos condicionalessiguientes: 1) 2)

Si n es par, entonces(-1)'+ 1 > 0. Si n es impar, entonces(-1)" + 1 > 0.

La dernostracidn directa para (1) es: Como ??es par, se tiene que (-1)':1, asi que (_1)'* 1: 1 + 1 : 2 > 0. And,logamente,para (2): Dado que ??es impar, se sigue que (-1)' - -1, con Io que -1+1(-1)"*1: 0 > 0 . L u e g o ,c o m o l a d i s y u n c i 6 n d e l a sp r o p o s i c i o n e(s1 ) y ( 2 ) e s v 6 l i d a ,s e sigue qtre (-1)" + 1 > 0, n e Z es v6lida. Ejemplo LS n2 + 1> z, z € e. Demostraci'6n:La demostraci6nse realiza en tres casos(z > 0, tr :0, las tres condicionalessisuientes:

"

< 0), al clemostrar

1 ) S i r > 0 , e n t o n c e1s2 + I > r , 2 ) S i r : 0 , e n t o n c e1s2 + 7 > r , 3 ) S i r < 0 , e n t o n c e1s2 + L > r . Para el caso (2), ,: 0, es obvio que 1 > 0. Por lo que la condicional: Si z : ^ 12 + I ) r, queda demostrada.

Apuntesde Matentdtica ( Propeddutico ) elaboradaspor; Dr. Alejandro Rodr{guez Palacios

0, entonces

Cenidel

Para el caso (1), r t 0, se tienen tres subcasos,a saber: 1 . 1 ) S i z € ( 0 , 1 ) ,e n t o n c e1s2 + I > \ . 2 ) S i z : 1 , e n t o n c e1s2 + \ > r , 1 . 3 ) S i z ) 1 , e n t o n c e1 s2+I > r.

r,

De los cttales,e1subcaso(i.2) es obvio. Esto es, si r:1, entoncesse tiene que 2 > 1. por lo que la condicional:Si z : 1, entonces 12 + I ) r, es verdadera. Asf s6lo queda demostrar los subcasos , (1 1) V (1.3). Para esto, se necesitanaigunosresultadosprevios. De los axiomas de la multiplicaci6n del sistema de los nt'rmerosreales8: Para cada ri, € JR,con a # 0, hay un rinico elementoen JR,al que denotamospor ,,o-1,,, f,4215] tal que a'a-r : 1 : a-7 .a. (Existenciay unicidad del inverso multiplicativo) De los axiomas de orden del sistema de los nfmeros reales: e n t o n c eas < c . ( T r a n s i t i v i d a d ) [ O z ]S i a 1 b y b 1 " , S i a K b y 0 ( c , e n t o n c easc < b c . fO4] Tambi6n necesitamosun resultado previo sobre desigualdades. L e m m a 1 . S e aQ : n l m . € Q . S e a nn , m € Z + .

Sim>n)I,

e n t o n c e s q 0 y usandoel axioma [Oa],se tiene que 7> nfm. Como nfm] 0, usandode nuevo fOa],se sigue que nlm > n2/m2. Con Io que se concluyela tesis: q2 { q. I Ahora, dernostremos el subcaso(1.1). S u b c a s o( 1 . 1 ) .S e ar € Q . V r e ( 0 , I ) : 1 2 * t ) r. P r o o f . S e a z € ^ ( 0 , 1 )c u a l q u i e r aE. n t o n c e sd, e l L e m a r , t r : n f m c o n r n > n > 1y n,me z+. As), z2 : (nfrn)2 :n2lrn2, Multiplicandom) n por rn-r > 0 y usandoel axioma [oa], se tiene qr"re1 ) nfm. Como nfm ) 0, usandode nuevo que se sigue nlm> n2lm2, esto es, 12 1>r,sesigue,portransitividad,que12+1>r)paratodar€(0,1).Loque clemuestraque Vz € (0,1) i 12 + 1 ) r es verdadera. I Subcaso (1.3). Sean € Q. Yr > 7 i 12 + I > r. P r o o f . c o m o r ) 1 , s e t i e n e q u e(:i ) r € z + - { 1 } , o b i e n ( l l ) r : z * n f r n c o n z ) n , m e rrl> n > 1. (Lema1) C a s o( z ) : S i z € Z + - { I } , 1 2+ I > r . C a s o( i i ) : S ir :

e n t o n c e1s2 > r y 1 2 + 7 > 7 >

z-tnfmcon z)n,m€Z*

y *)n) ??\2-

z+ y

r . D e d o n d e ,p o r t r a n s i t i v i d a d ,

1 , e n t o n c ersl l v ??\

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A s i , 1+21 > r l 7 )

z , c o n l o q u1e2 + I > r .

"constrlte los apuntes cle Conjuntos y .funci,onesdel proped6utico de matemiitica

Apuntes de Matemdtica

( Propeddutico ) elaboradas por:

Dr. Alejandro

Rodriguez Polacios

Cenidet

De (i) y (zz) se tiene que Vz ) 1 : 12 * 1 > z es verdadera.

I

Para el caso (3), r {0, se tienen tres subcasos,a saber: 3 . 1 ) S i z € ( - 1 , 0 ) , e n t o n c e1s2 + L > 3 . 2 ) S i z : - 1 , e n t o n c e1s2 + I ) r, 3 . 3 ) S i z < - 1 , e n t o n c e1s2 + I ) r.

r,

Para demostrar este caso)por simetria, se procedecomo en el caso (t). (Se le deja al lector.) f Demostracidn por reduccidn al absurdo o contradiccidn. Supongamosque se desea demostrar una condicional p -- q usando la demostracci6n por reducci6n al absurdo o por contradicci6n, entoncesbasta con deducir alguna contradicci,dna partir de la doble hip6tesis: P A - Q REGLA: Sean p1, p2,..., pn un conjunto d,eproposi,c'iones uerd,ad,eras (premi,sas)y q una proposzcz6ndada. Si, a parti,r de pr, p2,..., pn A - q puede i,nferi,rseuna falac,ia o contrad,icc,i6n, entoncesq pod,r6, deductrsesolamentedel conjunto de prem,isas. Pasos; 1. Se parte de la condicionalp ---+ q. 2. Se introduce ia negaci6n de la conclusi6n deseada(- g) como una nueva premisa. 3. De esta nueva premisa, junto con las premisas dadas, deducir una contradiccidn, 4. Establecer la conclusidn deseadu (q) como una inferencia l6gica deducida de las premisas originales. Ejemplo 16: 13 ) A3 -- r ) A, r,g/ € IR. Demostrac'idn:Sean pt 13>ys q i r > a - q i r < A Entonces vamos a formar la nueva proposici6ni p A - e, d partir de la cual deduciremos una contradiccidn; pANqi 13>A3Ar/-y N(p--.q)epA-q 1) ,3>As y r a3 de (1) r'-.

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