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Unidad 2:Funciones unciones circulares y trigonométricas 11 Tema 1: Ángulos Lección 6: Ángulos de referencia

ÁNGULO DE REFERENCIA: Triángulo de referencia y ángulo de referencia Para dibujar un triángulo de referencia para un ángulo θ, se dibuja una línea perpendicular desde un punto P(a, b) en el lado terminal de θ al eje horizontal. El ángulo de referencia α es el ángulo agudo (siempre positivo) entre el lado terminal de θ y el eje horizontal. b

θ

a α

P(a,b)

O sea, es el ángulo agudo que se forma con el lado terminal de un ángulo y el semieje

de x que se encuentre a una distancia más cercana de dicho lado. Todos los ángulos mayores d de e 90 se pueden expresar en términos de ángulos agudos positivos. Esto se hace mediante la utilización de ángulo de referencia o relacionado. relacionado

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2 Si el lado inicial de un ángulo θ está en posición estándar, entonces el ángulo agudo que se forma con el lado terminal y el eje x se llama ángulo de referencia de θ, denominado θR; donde 0°< θR < 90°. Ejemplo:

El ángulo relacionado es el ángulo agudo positivo formado por su lado terminal y el eje “x”, con el cual se puede expresar cualquier ángulo, que NO sea múltiplo de 90 y se encuentre en posición normal.

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3 Funciones trigonométricas de ángulos de 450 , 300 y 600 Para hallar los valores de las funciones trigonométricas del ángulo de 450, construimos el triángulo rectángulo con el ángulo agudo de 450 en posición normal y los dos lados iguales. Recuerda que un triángulo rectángulo contiene un ángulo de 900. Seleccionamos el punto (1, 1) en el lado terminal. Observa la ilustración a continuación. b

(1,1)

1 450 a 1

Como a = 1 y b = 1 entonces: r = (1) 2 + (1) 2 = 2

Luego al utilizar la definición de funciones trigonométricas definidas con ángulos para θ = 450 tenemos:

sin 450 =

b 1 2 = = r 2 2

a 1 2 = = r 2 2 b 1 tan 450 = = = 1 a 1

cos 450 =

csc 450 =

r 2 = = 2 b 1

r 2 = = 2 a 1 a 1 cot 450 = = = 1 b 1 sec 450 =

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4 Para hallar las funciones trigonométricas del ángulo de 300, construimos el triángulo rectángulo con los ángulos agudos de 300 y 600 , y la hipotenusa es el doble del largo del lado opuesto al ángulo de 300. Construimos el ángulo de 300 en posición normal y seleccionamos el punto (a,1) en el lado terminal de manera que la hipotenusa es de longitud 2. Observa la figura a continuación.

b (a,1) r=2

1

300

0

a

a

De manera que, el valor de y = 1, r = 2 y por el teorema de Pitágoras:

2

= (a ) 2 + (1) 2

( 2) 2 =

(

(a ) 2 + (1) 2

4

= x2 + 1

3

= x2

)

2

± 3=x Como el valor de x en el Cuadrante I es positivo entonces: x = 3. Así que las coordenadas del punto en el lado terminal del ángulo de 300 son:

(

)

3 ,1

y r = 2.

Al utilizar la definición de funciones trigonométricas para θ = 300 tenemos:

b 1 = r 2 a 3 cos 30 0 = = r 2 sin 30 0 =

tan 30 0 =

b 1 3 = = a 3 3

r = b r sec 30 0 = = a csc 30 0 =

cot 30 0 =

2 =2 1 2 2 3 = 3 3

a 3 = = 3 b 1

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5 Al construir el triángulo rectángulo con el ángulo de 600 en la posición normal tenemos que: r = 2, a = 1,

y b = 3.

b

(1, 3) r=2 0

600

a 1

b = r a cos 60 0 = = r b tan 60 0 = = a sin 60 0 =

3 2 1 2 3 = 3 1

r = b r sec 60 0 = = a a cot 60 0 = = b

csc 60 0 =

2 2 3 = 3 3 2 =2 1 1 3 = 3 3

Cuadrantes donde las funciones trigonométricas son positivas:

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6 Ecuación para encontrar un angulo de referencia en el II cuadrante:

180° – ángulo 180°- 135°= 45°

Ecuación para encontrar un angulo de referencia en el III cuadrante:

Ángulo - 180° 225°-180°= 45°

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Ecuación para encontrar un angulo de referencia en el IV cuadrante:

2(180°)- ángulo =360°-ángulo =360° – 315° = 45°

Ángulos de referencia mayores de 360° y 2 π: Si el ángulo positivo está en grados, divide por 360 para encontrar el ángulo principal (entre 0
y 360
) . El ángulo coterminal será el residuo de la división. Si el ángulo es negativo, el coterminal es negativo y debe sumarle 360
para convertirlo en positivo.

Use las fórmulas para encontrar el ángulo de referencia Veamos los ejemplos:

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Ejemplo 1: Encuentra el ángulo de referencia de 840
.

2 360 840 −720 120

θ c = 120


Este ángulo está en el II cuadrante qr = 180
− θ

θ r = 180
− 120
= 60


Caso II: Si el ángulo esta en múltiplos de π radianes, divide por 2π para encontrar el ángulo coterminal entre 0 y 2π. El ángulo coterminal será el residuo de la división multiplicado por 2π. Si el el ángulo coterminal es negativo, súmele 2π para convertirlo en positivo. Prof. S. Vélez, MA | 2011

9 Use las fórmulas para encontrar el ángulo de referencia. Ejemplo 2: Encuentra el ángulo de referencia de, 23π 6

23π 6 = 23π i 1 2π 6 2π =

θc =

23 11 =1 12 12 11 11π (2π ) = 12 6

Este ángulo está en el IV cuadrante qr = 2π − θ .

Ejemplo 3: 23π 23π 23π 1 23 3 ⇒ 2 = i = =5 2 2π 2 2π 4 4

3 3π ⇒ θ c = (2π ) = 4 2

Referencias: http://trigonometriacbc.wordpress.com/angulos-de-referencia/ http://bc.inter.edu/facultad/ntoro/trig5.htm http://books.google.com.pr/books?id=US8E8kFRVnkC&pg=PA137&lpg=PA137&dq=angulos+de+referen cia+definicion&source=bl&ots=HUXk3O-Bd&sig=HNiHkoyHzC9sSZhtjObOBc8N7Q&hl=es&ei=qpHRTY7mAaXr0gGC5rD2DQ&sa=X&oi=book_result &ct=result&resnum=9&ved=0CGMQ6AEwCA#v=onepage&q&f=false http://matematicas.bach.uaa.mx/Descargas/Alumnos/Trigonometria/mate2u4.pdf Prof. S. Vélez, MA | 2011