CLASE Nº7 Patrones, series y regularidades numéricas

Patrón numérico en la naturaleza

Regularidades numéricas Patrones

Espiral con triángulos rectángulos

Series numéricas

REGULARIDADES NUMÉRICAS • Son series o sucesiones de elementos que tienen un patrón de formación o regla de formación que permite definir o determinar cada elemento de la sucesión. En los ejercicios de regularidades numéricas se debe, mediante un análisis de los elementos, encontrar el patrón o regla de formación de la sucesión.

Patrón o regularidad • ¿Qué es un Patrón? “Un patrón es una propiedad, una regularidad, una cualidad invariante que expresa una relación estructural entre los elementos de una determinada configuración, disposición, composición, etc”. • Dentro de un ámbito matemático. Los patrones permiten observar y analizar detalladamente una situación de variación, por ende el estudiante evidencia qué cambia y qué permanece invariante. “El análisis cuidadoso de patrones y regularidades permite establecer generalizaciones”

Identificando patrones Ayudarte a identificar patrones y regularidades no basta, es importante además que los puedas describir y representar a través de diversos sistemas como: la representación escrita para poder comunicar las conclusiones que se establezcan de las observaciones, las representaciones pictóricas que te permiten mostrar lo que sucede en diversos momentos de la situación de cambio, representación tabular útil en los procesos aritméticos y la construcción de fórmulas y finalmente la representación algebraica para condensar la información. Estos tipos de representaciones te ayudaran para que finalmente puedan modelar una situación matemática a través de la captación de las propiedades antes mencionadas.

Ejemplo 1: En la siguiente sucesión, la figura 1 está formada por 3 fósforos, la figura 2 está formada por 5 fósforos, la 3 por 7 fósforos y así sucesivamente. ¿Cuántos fósforos se necesitan para formar la figura 23?

Análisis de la secuencia En la figura 1 se necesitan 3 fósforos, pero 3 = 2 . 1 + 1 En la figura 2 se necesitan 5 fósforos, pero 5 = 2 . 2 + 1 En la figura 3 se necesitan 7 fósforos, pero 7 = 2 . 3 + 1 Por lo tanto, para la figura 23 se necesitarán 2 . 23 + 1= 47 fósforos. Ejemplo 2: Dadas las siguientes igualdades: 2 2 . 3 =1 +4 1+4 2 2 . 4 =2 +4 2+4 5 = +4.3+4 2 Entonces ¿Cuál es la operación que corresponde a 100 ? Análisis de la secuencia: Según las igualdades dadas a la derecha aparece el cuadrado de un número que tiene 2 unidades menos que la base de la potencia 2 cuadrática de la izquierda, por lo tanto, nuestro resultado debe empezar con 98 ; a continuación viene la multiplicación de 4 con el mismo número obtenido anteriormente . (es decir: 4 98) y finalmente le agregamos el número 4, por lo tanto: 2

2

.

100 = 98 + 4 98 + 4

Tipos de sucesiones Sucesiones convergentes Las sucesiones convergentes son las sucesiones que tienen límite finito.

Cálculo del término general de una sucesión Límite = 0

Cálculo del término general de una sucesión Límite = 1

Tipos de sucesiones Las sucesiones divergentes son las sucesiones que no tienen límite finito. sucesión Límite = ∞

Sucesiones oscilantes Las sucesiones oscilantes no son convergentes ni divergentes. Sus términos alternan de mayor a menor o viceversa. 1, 0, 3, 0, 5, 0, 7, ...

Tipos de sucesiones Sucesiones alternadas Las sucesiones alternadas son aquellas que alternan los signos de sus términos. Pueden ser: Convergentes 1, −1, 0.5, −0.5, 0.25, −0.25, 0.125, −0.125,.. Tanto los términos pares como los impares tienen de límite 0. Divergentes 1, 1, 2, 4, 3, 9, 4, 16, 5, 25, ... Tantos los términos pares como los impares :enen de límite +∞. Oscilantes

−1, 2, −3, 4 ,−5, ...,

. n

Ejemplos Calcular la suma de los números enteros de 1 al 100. Para sumar los términos de una progresión aritmética, el algoritmo consiste en escribir los números en dos ecuaciones, una en orden normal (ecuación a ) y la otra en orden inverso (ecuación b), estas dos ecuaciones se suman, formando una tercera ecuación (ecuación c) de la que se deriva el siguiente resultado: (ecuación a) S = 1 + 2 + 3 + ... + 98 + 99 + 100 (ecuación b) S = 100 + 99 + 98 + ... + 3 + 2 + 1 Sumando ambas (ecuación c) 2S = 101 + 101 + 101 + ...+ 101 + 101 + 101 Podemos observar que en todos los términos da como resultado 101 y podemos concluir que en los 100 términos es el mismo resultado así que tenemos lo siguiente:

Término genérico de la sucesión Encontrar la suma de la progresión 50, 57, 64, 71,

Puedes comprobar el resultado si sumas cada uno de los términos. Podemos generalizar estos dos ejemplos utilizando el siguiente modelo matemático (un modelo matemático es la generalización de una situación a través de una fórmula).

Donde: S es la suma de la progresión n número de términos de la progresión a primer término de la progresión u último término de la progresión d diferencia común

Importancia de la comprensión de encontrar patrones La investigación sobre la dificultad en la solución de sucesiones al no identificar patrones y regularidades, las enmarca dentro del desarrollo del pensamiento variacional, definiéndolo como aquel que tiene “que ver con el reconocimiento, la percepción, la identificación y la caracterización de la variación y el cambio en diferentes contextos, así como con su descripción, modelación y representación en distintos sistemas o registros simbólicos, ya sean verbales, icónicos, gráficos o algebraicos. Uno de los propósitos de cultivar el pensamiento variacional es construir desde la Educación Básica Primaria distintos caminos y acercamientos significativos para la comprensión y uso de los conceptos y procedimientos de las funciones y sus sistemas analíticos, para el aprendizaje con sentido del cálculo numérico y algebraico […]Este pensamiento cumple un papel preponderante en la resolución de problemas sustentados en el estudio de la variación y el cambio, y en la modelación de procesos de la vida cotidiana, las ciencias naturales y sociales y las matemáticas mismas.”

El pensamiento variacional “El pensamiento variacional no es aprenderse las fórmulas de áreas y

volúmenes como: área de un círculo Á= o volumen de un cubo V = con a= arista , o las de los modelos matemáticos de la física, como f= m . a Más aún, esos modelos, entendidos sólo como fórmulas para remplazar valores en ellas, obstaculizan el pensamiento variacional, que primero trata de captar qué varía Entonces debemos de entender con qué y cómo, antes de escribir nada y, mucho menos, antes de memorizar fórmulas”. Queremos ayudarte desarrollar adecuadamente tu pensamiento variacional lo que implica poner en acción tus conocimientos previos, para este caso en particular, apoyarse en el pensamiento numérico fijando la atención en la forma como varían los números y así poder captar patrones y regularidades que se repiten en las diversas sucesiones propuestas en la fase de intervención.

Ejercicios

Ejercicio

Ejercicio

Ejercicio

Taller

Bibliografía

Páginas de Internet Proyecto Colombiano para ENSEÑANZA DE SUCESIONES NUMÉRICAS PARA POTENCIAR EL DESARROLLO DEL PENSAMIENTO VARIACIONAL EN ESTUDIANTES DE GRADO CUARTO DE BÁSICA PRIMARIA

Lina Janet Velásquez Naranjo Universidad Nacional de Colombia Facultad de Ciencias Medellín, Colombia 2012 Lina Janet Velásquez Naranjo