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Ne w Je rs e y Ce nte r for Te aching and Le arning

Geometría

Iniciativa de Mate mática Progre s iva® Es te ma te ria l e s tá dis ponible gra tuita me nte e n ww.njctl.org y e s tá pe ns a do pa ra e l us o no comede rcia l e s tudia nte s y profe s ore s . No pue de s e r utiliza pado ra cua lquie r propós ito come rcia l s in cons e l e ntimie nto por e s crito de s us propie ta rios . NJCTL ma ntie ne s u s itio we b por la convicción de profe s ore s que de s e a n ha ce r dis ponible s u trapa barajo otros profe s ore s , pa rticipa r e n una comunida d de a pre ndiza je profe s iona l virtua l, y /o pe rmitir a pa dre s , e s tudia nte s y otra s pe rs ona s e l a cce s o a los ma te ria le s de los curs os .

Ángulos

Nos otros , e n la As ocia ción de Educa ción de Nue va J eNJEA) rs e y ( s omos funda dore s orgullos os y a poyoNJCTL de y la orga niza ción inde pe ndie nte s in fine s de lucro. NJEA a dopta la mis ión de NJCTL de ca pa cita r a profe s ore s pa ra dirigir e l me jora mie nto e s cola r pa ra e l be ne ficio de todos los e s tudia nte s .

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Slide 3 / 190 Tabla de contenidos

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Ángulos

Tabla de Contenidos para videos de demostraciones de construcciones

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Ángulos congruentes Ángulos y Postulado de la suma de ángulos Transportadores

Ángulos congruentes Bisectrices

Pares especiales de ángulos Demostraciones de ángulos especiales Bisectrices Locus y construcciones angulares Bisectrices y Construcciones Preguntas PARCC

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Slide 5 (Answer) / 190 A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.

MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos. MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo. MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática. MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas . MP6: Ser preciso. MP7: Buscar y hacer uso de la estructura.

MP1: Darle sentido a los problemas y perseverar en resolverlos. MP2: Razonamiento abstracto y cuantitativo. MP3: Construir argumentos viables y ser crítico con el razonamiento de los otros. MP4: Modelar con matemática. MP5: Usar estratégicamente las herramientas apropiadas . MP6: Ser preciso. MP7: Buscar y hacer uso de la estructura.

En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados.

[This object is a pull tab] En las diapositivas se incluyen preguntas adicionales usando las tablas de arrastre "Práctica de Matemática" (como ejemplo se muestra una en blanco a la derecha en esta diapositiva) con una referencia a los estándares usados.

Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.

Si ya hay preguntas en una diapositiva, en la tabla de arrastre se enumeran los estándares específicos a los que la pregunta dirige.

Práctica de matemática

A lo largo de esta unidad, se usan los Estándar para Práctica de Matemática.

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Slide 7 / 190 Ángulos Definición 8: un ángulo es la inclinación entre sí de dos rectas en un plano que se encuentran entre sí y no se encuentran en una línea recta

Ángulos

A

Cuando sea que semirrectas o segmentos se intersequen en un plano, formarán un ángulo.

x

Volver a la tabla de contenidos

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Ángulos

La medida del ángulo es la cantidad que una recta, una semirrecta o un segmento necesitaría rotar a fin de superponerse con el otro.

En este curso, los ángulos serán medidos en grados, con el símbolo º.

A

Rotar la semirrecta BA alrededor de la semirrecta BC, y volver a la misma semirrecta representaría un ángulo de 360º

A

x

x B

B

C

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C

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Medición de ángulos en grados

Medición de ángulos en grados

El uso de 360 grados para representar una rotación completa volviendo a la posición originaria es arbitrario

Se podría usar cualquier número, pero 360 grados para una rotación se ha convertido en estándar.

C

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Ángulos

En este caso, la semirrecta BA tendría que rotar a lo largo del ángulo x a fin de superponerse con la semirrecta BC.

B

Se piensa que el uso del 360 para una rotación completa proviene de la antigua Babilonia, en donde se usaba un sistema numéricao basado en 60. Su sistema numérico podría también vincularse al hecho de que hay 365 días en un año lo cuál es muy cercano a 360.

360º

360 es un número mucho más fácil para trabajar con él que con 365 ya que se puede dividir por muchos números sin resto. Incluídos 2, 3, 4, 5, 6, 8, 9, 10 y 12.

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Ángulos rectos

Ángulos rectos

Definición 10: Cuando se ubica una recta vertical sobre una línea recta se forman ángulos adyacentes iguales entre sí, cada uno de los ángulos iguales es recto, y se dice que la línea recta vertical es perpendicular a aquella sobre la cuál se asienta. La única forma en la que dos rectas pueden intersecarse como se muestra y formar ángulos adyacentes iguales, de modo que los ángulos mostrados aquí donde m∠ ABC = m∠ ABD, es si ellos son ángulos rectos, es decir que miden 90º.

Cuarto postulado: Todos los ángulos rectos son iguales entre sí. No sólo son ángulos rectos adyacentes iguales entre sí como se muestra abajo, todos los ángulos rectos son iguales, incluso si no son adyacentes, por ejemplo, los tres ángulos rectos mostrados abajo son iguales entre sí.

A

A

xº xº

x x B

D

A

C

D

90º

B

C

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Ángulos rectos

Esta definición no ha cambiado actualmente y te debería ser familiar. Las rectas, segmentos o semirrectas perpendiculares forman ángulos rectos.

A

Aquí hay un indicador especial de ángulos rectos.

En este caso se muestra en rojo para reconocerlo más fácilmente.

A

90º B

C B

Cuando se encuentran rectas perpendiculares, forman ángulos adyacentes iguales y su medida es 90º.

Slide 16 / 190 Ángulos obtusos Definición 11: Un ángulo obtuso es un ángulo mayor que un ángulo recto.

C

Slide 17 / 190 Ángulos agudos Definición 12: Un ángulo agudo es un ángulo menor a un ángulo recto.

A

A 45º

135º B

C

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Ángulos rectos

Si se cortan rectas para formar ángulos adyacentes iguales, entonces son perpendiculares y la medida de los ángulos formados es 90º.

B

C

B

C

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Ángulo llano

Ángulo reflejo Otra definición moderna que no fue usada en Los Elementos es la de "angulo reflejo". Este es el ángulo que es mayor que 180º.

B

A

C

Respuesta

Una definición que no necesitamos usar en Los Elementos es la de "ángulo llano". Es el ángulo de una línea recta.

235º B

C

2 preguntas para discutir con un compañero: También es un tipo de ángulo obtuso.

A

¿Es un ángulo agudo u obtuso? Explica por qué. ¿Cuál es la medida en grados del ángulo?

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Ángulos

1 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican

En las siguientes diapositivas usaremos los respondedores para revisar los nombres de ángulos a partir de mostrar ángulos desde 0º a 360º aumentando de a 45º

B obtuso C recto

Los ángulos pueden ser de cualquier tamaño, no sólo aumentando de a 45º, pero esto es sólo para dar una idea que como se ve un giro completo.

Respuesta

A agudo A

0º B

C

D reflejo E llano

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A

B obtuso C recto D reflejo E llano

45º B

C

A agudo

Respuesta

A agudo

3 Este es un ejemplo de un ángulo ________. Elige todas las que aplican. Respuesta

2 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican.

A

B obtuso C recto D reflejo E llano

90º B

C

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Slide 25 / 190 5 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican

A agudo A

C recto

B obtuso C recto

135º

D reflejo

B

C

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A agudo 235º

B obtuso

B

C recto

C

D reflejo

A agudo B obtuso

B

C

D reflejo A

E llano

C B

A

9 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican Respuesta

A agudo 315º

A

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8 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican.

E llano

270º

C recto

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D reflejo

Respuesta

7 Este es un ejemplo de un ángulo ________ . Elige todas las que aplican.

Respuesta

6 Este es un ejemplo de un ángulo_______ . Elige todas las que aplican.

C recto

C

E llano

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B obtuso

B

D reflejo

E llano

E llano

180º A

A agudo B obtuso C recto D reflejo E llano

360º B

A C

Respuesta

B obtuso

A agudo Respuesta

Respuesta

4 Este es un ejemplo de un ángulo ________. Elige todas las que aplican.

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Nombrando ángulos

Interior de los ángulos

Un ángulo tiene tres partes, dos lados y un vértice que es donde los lados se encuentran.

En este ejemplo, los lados son las semirrectas BA y BC y el vértice es B.

lado

A

A

θ lado

B

Exterior

C

Interior θ B

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Nombrando ángulos

Nombrando ángulos

Un ángulo puede ser nombrado en tres diferentes maneras:

· por su vértice (B en el ejemplo de abajo)

· por un punto en su lado, su vértice y un punto sobre el otro lado (o ABC o CBA en el ejemplo de abajo)

vértice

lado

Al ángulo mostrado abajo se lo puede llamar ∠ABC , ∠CBA, ó ∠B. Cuando no hay lugar a confusión, el ángulo podría también ser identificado por su vértice B.

A

lado

C

Los lados de ∠ABC son las semirrectas BC y BA

A

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Nombrando ángulos

Nombrando ángulos

Usar el vértice para nombrar un ángulo no funciona en algunos casos. ¿Por qué sería no muy claro usar el vértice para nombrar al ángulo en la imagen de abajo?

¿De qué otras maneras podrías nombrar ∠ABC, ∠ABD y ∠DBC en el caso de abajo? (usando el lado - vértice - método de los lados)

Respuesta

D A

B

32°

B

La medida del ∠ABC es 32 grados, esto puede ser reescrito como m∠ABC = 32º.

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θ

C

θ B

· O por un número o por un símbolo ubicado dentro del ángulo (ej., letra griega θ, en la figura)

¿Cuántos ángulos cuentas en la imagen?

C

D A θ B

α

C

Respuesta

vértice

Cualquier ángulo con una medida de menos de 180º tiene un exterior y un interior como se muestra abajo.

α

C

¿Cómo podrías nombrar aquellos 3 ángulos usando las letras ubicadas dentro de los ángulos?

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Rectas que se cortan forman ángulos

Rectas que se cortan forman ángulos

Cuando se forma un ángulo a partir de dos semirrectas o dos segmentos que comparten un vértice, se forma un ángulo incluido. Se lo muestra como θ en el diagrama de la izquierda.

Estos números usados no tienen un significado especial, sólo muestran los 4 ángulos. Cuando semirrectas o segmentos se intersecan pero no tienen un vértice común, también forman 4 ángulos.

Cuando dos rectas se intersecan, se forman 4 ángulos, se los numera como en el diagrama de abajo a la derecha.

A A

2 3

1 4 B

θ B

3

C

1 4

C

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Dos rectas________________ se encuentran en más de un punto.

10

Dos rectas________________ se encuentran en más de un punto.

A

Siempre

A

Siempre

B

Algunas veces

B

Algunas veces

C

Nunca

C

Nunca

Respuesta

10

2

θ

B

[This object is a pull tab]

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Slide 40 / 190 12 Un ángulo que es menor a 90 grados___________ es obtuso.

Siempre

A

Siempre

B

Algunas veces

B

Algunas veces

C

Nunca

C

Nunca

Respuesta

A

Respuesta

11 Un ángulo que mide 90º __________ es un ángulo recto.

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13 Un ángulo que es mayor que 180 grados se lo conoce _______ como un ángulo reflejo. Siempre

B

Algunas veces

C

Nunca

Ángulos Congruentes

Respuesta

A

Volver a la tabla de contenidos

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Congruencia

Congruencia Aprendimos anteriormente que si dos segmentos tienen la misma longitud son congruentes. Práctica de matemática

Aprendimos anteriormente que si dos segmentos tienen la misma longitud son congruentes. a También, todos los segmentos de igual longitud son congruentes.

b

Las preguntas en la diapositiva direcciona a MP6 a y MP3

También, todos los segmentos de igual longitud son congruentes.

b [This object is a pull tab]

¿Estos segmentos son congruentes? Explica tu respuesta.

¿Estos segmentos son congruentes? Explica tu respuesta.

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Slide 44 (Answer) / 190

Congruencia

Congruencia

¿Qué tendría que ser igual para cada uno de ellos para ser congruentes?

D

A

B

C

¿Qué se puede decir de dos ángulos formados por dos semirrectas con vértices comunes. ¿Son congruentes? Las preguntas en la Práctica de matemática

¿Qué se puede decir de dos ángulos formados por dos semirrectas con vértices comunes. ¿Son congruentes?

diapositiva direcciona a MP6 ¿Qué tendría que ser igual para cada uno de ellos para ser y MP3 congruentes?

[This object is a pull tab]

F

E

D

A

B

C

F

E

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Congruencia

Congruencia

Si dos ángulos tienen la misma medida, son congruentes ya que pueden ser rotados y movidos para superponerse en cada punto.

Sin embargo, si hay ángulos que no tienen igual medida, no se los puede hacer superponer en cada punto. Para que los ángulos sean congruentes necesitan tener igual medida.

D

A

¿Estos ángulos son congruentes? Explica tu respuesta.

A

B

F

E

C

B

C

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Congruencia

Sin embargo, si hay ángulos que no tienen igual medida, no se los puede hacer superponer en cada punto.

Sin embargo, si hay ángulos que no tienen igual medida, no se los puede hacer superponer en cada punto.

Práctica de matemática

Para que los ángulos sean congruentes necesitan tener igual Las medida. preguntas en la

Para que los ángulos sean congruentes necesitan tener igual medida.

diapositiva direcciona a MP6 y MP3 ¿Estos ángulos son congruentes? Explica tu respuesta.

F

Aquí puedes ver claramente cuando rotamos los dos ángulos de la diapositiva anterior, no tienen la misma medida.

D

A

[This object is a pull tab]

E

D

B

C

F

C

E

B

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Ángulos congruentes Una manera para indicar que dos ángulos tienen igual medida es nombrarlos con la misma variable. Por ejemplo, nombrando ambos de esos ángulos con xº indicamos que tienen igual medida.

D

Ángulos congruentes Otra manera de mostrar que los ángulos son congruentes es marcar el ángulo con una recta. Si hay 2 conjuntos iguales de ángulos, el segundo conjunto podría ser marcado con dos rectas.

A

xº B

E

D

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Congruencia

A

F

D

A

F

xº

C

B

C

E

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Slide 51 / 190

Sí No

D

A

A

Siempre

B

Algunas veces

C

Nunca

F

E

C

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Slide 53 / 190

16 El ∠A y el∠B son ______. Respuesta

A

17 El ∠E y el ∠F son _______. B

Congruentes

B

No Congruentes

C

No se puede determinar

A

Congruentes

B

No Congruentes

C

No se puede determinar

F

Respuesta

B

15 Los ángulos congruentes ___________ tienen igual medida

Respuesta

Respuesta

14 ¿El ∠B es congruente al ∠E ?

A E

Slide 54 / 190 El ∠C y el ∠D son congruentes.

19 El ∠C y el ∠D son congruentes

D

D

Verdadero

Verdadero

B

Falso

C

No se puede determinar

C

Falso

Respuesta

A

Respuesta

18

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C

Slide 56 / 190

Slide 57 / 190 Ángulos adyacentes

Ángulos y Postulado de la Suma de Ángulos

Los ángulos adyacentes comparten un vértice y un lado.

D

A

Los dos ángulos están lado a lado o adyacentes. En este caso, el ángulo DBA es adyacente al ángulo ABC.

Volver a la tabla de contenidos

B

C

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Postulado de la Suma de Ángulos

Postulado de la Suma de Ángulos MP6

D

Explica y emfatiza la importancia y diferencias entre las notaciones y El postulado de lalas suma de D símbolos al nombrar y dar la ángulos dice quelos la suma A de las medidasmedida de los de los ángulos. Práctica de matemática

A

ángulos adyacentes formasignifica "ángulo DBC" ej ∠DBC la medida del ángulo mientras que m∠DBC significa "la formado por sus medida del ángulo DBC" semirrectas exteriores.

B

B

C

En este caso, m∠DBC = m∠DBA + m∠ABC

En este caso, m∠DBC = m∠DBA + m∠ABC

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Postulado de la Suma de Ángulos Además, dice que si cualquier punto descansa en el interior de un ángulo, entonces la semirrecta conectando ese punto al vértice, forma dos ángulos adyacentes cuya suma es la del ángulo original. Si A descansa en el interior del ángulo DBC entonces m∠DBA + m∠ABC = m∠DBC

Ejemplo del Postulado de la Suma de Ángulos P

m∠PQS = 32°

D

C

[This object is a pull tab]

A

S

m∠SQR = 26° 32° 26°

Q B

C

Lo cual da el mismo resultado que teníamos antes. m∠DBC = m∠DBA + m∠ABC

¿Cuál es la medida del ∠PQR?

R

Respuesta

El postulado de la suma de ángulos dice que la suma de las medidas de los ángulos adyacentes forma la medida del ángulo formado por sus semirrectas exteriores.

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Ejemplo del Postulado de la Suma de Ángulos Respuesta

B

Si m∠ANJ = (7x +11)°, A

m∠ANB = (15x + 24)°,

Resuelve para x.

22°

J

(7x+11)°

C

46°

)° 24 x+ 5 (1

y m∠BNJ = (9x + 204)°.

A

B

N

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Slide 64 / 190

21 Dados m∠ OLM = 64° y m∠ OLN = 53°. Calcula m∠ NLM.

22 Dados m∠ ABD = 95° y m∠ CBA = 48°.

O

B 15 64°

48°

N

53°

D 117

C

95°

L

M

B

Slide 65 / 190

D

Slide 66 / 190

23 Dados m∠ KLJ = 145° y m∠ KLH = 61°.

24 Dados m∠ TRS = 61° y m∠ SRQ = 153°. Respuesta

Calcula m∠ HLJ.

H

Calcula m∠ QRT. Respuesta

C 11

A

Respuesta

Respuesta

Calcula m∠ DBC.

A 28

R S

K

D

Calcula m∠ ABD.

Respuesta

A está en el interior de ∠BNJ.

20 Dados m∠ ABC = 22° y m∠ DBC = 46°.

61°

61°

153° 145°

L

Q J

T

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Slide 68 / 190 26 D está en el interior de ∠ ABC. Si m∠ CBA = (11x + 66)⁰,

m∠ TUC = (14x + 18)⁰ y

m∠ DBA = (5x + 3)⁰ y

Respuesta

Si m∠ TUV = (10x + 72)⁰,

m∠ CUV = (9x + 2)⁰ Resuelve para x.

Respuesta

25 C está en el interior de ∠ TUV.

m∠ CBD= (13x + 7)⁰ Resuelve para x.

Slide 70 / 190 r

Pregunta 2/25

27 F está en el interior de ∠DQP. Respuesta

m∠DQP = (3x + 44)⁰ m∠FQP = (8x + 3)⁰ m∠DQF= (5x + 1)⁰ Resuelve para x.

La figura muestra las rectas r, n, and p intersecándose para formar ángulos numerados como 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Todas las rectas están en el mismo plano.

28 En base a la figura, ¿cuál de las afirmaciones individuales proveerían suficiente información para concluir que r es perpendicular a la recta p?

6 5 4

Selecciona todas las que aplican. A m∠2 = 90° B m∠ 6 = 90° C m∠3 = m∠6

D m∠1 + m∠6 = 90° E m∠3 + m∠4 = 90° F m∠4 + m∠5 = 90°

From EOY PARCC sample test

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Slide 72 / 190 Transportadores

Transportadores

Los ángulos se miden en grados usando un transportador. Cada ángulo tiene una medida que va de 0 a 180 degrees. Se puede dibujar ángulos de cualquier tamaño.

Volver a la tabla de contenidos

n 1 2

3

p no está hecho a escala

Respuesta

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Slide 74 / 190 Transportadores

Transportadores D

A B

C

B

C

∠DBC es un ángulo de 118° . La medida del ∠DBC es 118°.

∠ABC es un ángulo de 23° grados La medida del ∠ABC es 23° grados

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Slide 75 (Answer) / 190

Transportadores

Transportadores

La pregunta de esta diapositiva direcciona a MP6 y MP2 D

A

C

B

Preguntas: adicionales que podrían usarse ¿Qué información tienes? A (MP1) ¿Qué necesitas calcular? (MP1) ¿Cómo puedes hacerlo C mentalmente? (MP5) B ¿Puedes imaginar y controlar? [This object is a pull tab] A partir de nuestros resultados (MP 1 yanteriores MP5) sabemos que Práctica de matemática

D

A partir de nuestros resultados anteriores sabemos que m∠DBC = 118° y m∠ABC = 23°. De manera que, el Postulado de la Suma de Ángulos nos dice que la m∠DBA ¿debe ser cuál?

m∠DBC = 118° y m∠ABC = 23°.

De manera que, el Postulado de la Suma de Ángulos nos dice que la m∠DBA ¿debe ser cuál?

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Slide 77 / 190 Respuesta

29 ¿Cuál es la m del ∠CJD?

Transportadores

A 39°

D

B 54°

F

C 130°

A

E

B

G

D

D 180° C

Sin aquellos primeros resultados, podríamos leer en el transportador el valor de 118° y 23° obtener la medida del ángulo incluido 95°.

C

J

H

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Slide 79 / 190

30 ¿Cuál es la m del ∠CJG

31 ¿Cuál es la m del∠DJE?

A 39° Respuesta

B 54° F E

G

D

F

C 39°

E

D 15°

C

H

J

C

Slide 81 / 190 33 ¿Cuál es la m del ∠DJF? Respuesta

32 ¿Cuál es la m del ∠EJG? A 54° B 76° F E

D 130°

A 39° B 51° F

C 90° G

D

C

D 141°

H

J

E

G

D

C

H

J

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Slide 83 / 190

34 m∠ PJK =

35 m∠ PJM = M

Respuesta

L

N K

P

H

J

Slide 80 / 190

C 90°

G

D

L

Respuesta

D 180°

B 54°

Respuesta

C 130°

Respuesta

A 141°

M N

K

J

O

P

J

O

Slide 84 / 190

Slide 85 / 190

L

M

L

M

N

N

K

K

P

O

J

P

O

J

Slide 86 / 190

Slide 87 / 190

L

M

L

Respuesta

39 m∠ NJM = Respuesta

38 m∠ PJN =

M

N

N

K

K

P

O

J

P

O

J

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Slide 89 / 190

L

M

L

Respuesta

41 m∠ LJK = Respuesta

40 m∠ MJL =

M

N

N

K

P

Respuesta

37 m∠ PJL = Respuesta

36 m∠ PJO =

K

J

O

P

J

O

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Slide 91 / 190

Respuesta

42 m∠ NJK = M

L

N

Pares Especiales de Ángulos

K

P

O

J

Volver a la tabla de contenidos

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Ángulos Complementarios

Ángulos Complementarios Los ángulos adyacentes complementarios formar un ángulo recto.

Los ángulos complementarios son ángulos cuya suma mide 90º. Se dice que un ángulo tal es complementario al otro. Podrían ser adyacentes, pero no es necesario.

A 25o

D 65o

El ángulo ABD y el ángulo DBC son complementarios ya que forman el ángulo ABC, que es un ángulo recto.

25o

Complementarios Adyacentes

B

65o

C

Complementarios no adyacentes

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Respuesta

44 ¿Cuál es el complementario de un ángulo cuya medida es 28°?

Respuesta

43 ¿Cuál es el complementario de un ángulo cuya medida es 72°?

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Ejemplo

¿Cuál es su medida?

Respuesta

Respuesta

Dos ángulos son complementarios. El ángulo más grande tiene dos veces la medida del ángulo más pequeño. ¿Cuál es la medida de ambos ángulos?

45 Un ángulo tiene 34° más que su complementario.

Llamamos x = ángulo pequeño; llamamos = 2x al ángulo más grande

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46 Un ángulo tiene 14° que su complementario. Respuesta

¿Cuál es la medida del ángulo?

Ángulos suplementarios Los ángulos suplementarios son ángulos cuya suma mide 180º. Los ángulos suplementarios pueden ser adyacentes, pero no necesariamente. Se dice que un ángulo es suplementario al otro. 25o

155o

25o 155o

Suplementarios adyacentes también conocidos como. Par lineal

Slide 100 / 190 Ángulos suplementarios Dos ángulos cualquiera que o llano son suplementarios. O, dos ángulos adyacentes cuyos lados exteriores sean semirrectas opuestas son suplementarios.

D

B C A Si el ángulo ABC es un ángulo llano, su medida es 180°.

Entonces el ángulo ABD y el ángulo DBC son suplementarios ya que la suma de sus medidas es 180°.

Suplementarios no adyacentes

Slide 101 / 190 Ángulos complementarios vs. ángulos suplementarios Existen 2 maneras en las que uno puede recordar la diferencia entre ángulos suplementarios y complementarios. : - Forma 1 - Orden: Piensa en el orden de las primeras letras en cada palabra y el número que representan. C va antes que S en el abecedario y 90 está antes que 180 en la recta numérica, de manera que complementario significa que sumados dan 90º y suplementarios significa que sumandos dan 180º - Forma 2 - Visual: Agrega una línea a cada letra para comenzar a formar el número asociado con él. .

C

Agregando una línea a la "C", formas un 9, para 90º

S

Agregando una línea a la "S", formas un 8, para 180º

Slide 101 (Answer) / 190

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Práctica de matemática

Ángulos complementarios vs. ángulos suplementarios

47 ¿Cuál es el suplementario del ángulo cuya medida es 72°?

Las conecciones mostradas representan a MP2 y MP4

Respuesta

Existen 2 maneras en las que uno puede recordar la diferencia entre ángulos suplementarios y complementarios. : - Forma 1 - Orden: Piensa en el orden de las primeras letras en cada palabra y el número que representan. C va antes que S en el abecedario y 90 está antes que 180 en la recta numérica, de manera que complementario significa que sumados dan 90º y [This object is a pull tab] suplementarios significa que sumandos dan 180º - Forma 2 - Visual: Agrega una línea a cada letra para comenzar a formar el número asociado con él. .

C

S

Agregando una línea a la "S", formas un 8, para 180º

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Slide 104 / 190

48 ¿Cuál es el suplementario de un ángulo cuya medida es 28°?

Respuesta

¿Cuál es la medida del ángulo?

Slide 105 / 190

Respuesta

49 Lo medida de un ángulo es 98° más que su suplementario.

Slide 106 / 190

50 La medida de un ángulo es 74° menos que su suplementario

51 La medida de un ángulo es 26° más que su suplementario.

¿Cuál es la medida del ángulo? Respuesta

¿Cuál es la medida del ángulo?

Respuesta

Agregando una línea a la "C", formas un 9, para 90º

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Ángulos opuestos por el vértice (verticales)

Ángulos verticales ∠ABC y ∠DBE son ángulos verticales A

Los ángulos verticales son dos ángulos cuyos lados forman dos pares de semirrectas opuestas. Donde sea que dos rectas se corten, se forman dos pares de ángulos verticales. ∠ABC y ∠DBE son ángulos verticales y ∠ABE & ∠CBD son ángulos verticales.

A

B

E

∠ABE y ∠CBD son ángulos verticales. C A

D B

E

C

E

B

C

D

D

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Slide 110 / 190 Demostración de Ángulos verticales

Ángulos verticales

Afirmaciones

Razones

Podemos demostrar importantes propiedades sobre esos tres casos especiales: ángulos que son complementarios, ángulos que son suplementarios y ángulos verticales.

1) m∠ABD = (5x + 3)° m∠DBC = (13x + 7)° 1) Dadas m∠ABC = (11x + 66)°

La demostración usa dos columnas, una columna hace una afirmación y la columna siguiente provee la razón. Debajo hay una demostración con formato 2 columnas usadas para calcular el valor de x en el diagrama de la derecha.

3) 5x + 3 + 13x + 7 = 11x + 66

2) m∠ABD + m∠DBC = m∠ABC

)⁰

Vamos a usar mucho las demostraciones, de manera que vamos +a 66 (11x A usar el formato como ese ejemplo para demostrar los tres ⁰ 3) D teoremas. +

4) 18x + 10 = 11x + 66

(Ver la siguiente diapositiva.)

6) 7x = 56

5x

(

B

(13x + 7)⁰ C

Slide 111 / 190

5) 7x + 10 = 66

7) x = 8

A

2) Postulado Suma de Ángulos

B 3) Sustitución Propiedad de igualdad

(11x

⁰ 3) D + x (5 (13x + 7)⁰

+ 66

)⁰

C

4) Combinar términos semejantes/Simplificar 5) Resta Propiedad de igualdad 6) Resta Propiedad de igualdad 7) División Propiedad de igualdad

Slide 112 / 190 Demostraciones de dos columnas

Demostraciones Ángulos especiales

Las demostraciones comienzan con un objetivo: aquello que estamos intentando demostrar. No son exploraciones abiertas-cerradas, pero están directamente dirigidas a un fin específico. Conocemos la última afirmación de cada prueba cuando comenzamos esto es lo que estamos intentando probar. No conocemos la razón por anticipado.

Volver a la tabla de contenidos

Slide 113 / 190 Teorema de los Complementos Congruentes

Teorema: Los ángulos que son complementarios al mismo ángulo son iguales. Dados: Los ángulos 1 y 2 son complementarios Los ángulos 1 y 3 son complementarios

Slide 114 / 190 Teorema de los Complementos Congruentes Teorema: Los ángulos complementarios al mismo ángulo son iguales.

Razón 1 Afirmación 1 Los ángulos 1 y 2 son complementarios Dado Los ángulos 1 y 3 son complementarios

Demostración: m∠ 2 = m∠ 3

¿Qué sabemos sobre la suma de las medidas de los ángulos complementarios?

Slide 114 (Answer) / 190 Teorema de los Complementos Congruentes

Slide 115 / 190 Teorema de los Complementos Congruentes

MP7

Teorema: Los ángulos complementarios al mismo Deje claro que el primer paso ángulo son iguales.demostración para cualquier Práctica de matemática

es establecer lo "Dado".

Razón 1 Afirmación 1 Luego, se usan las Dado Los ángulos 1 y propiedades 2 son complementarios de la primera Los ángulos 1 y 3 son complementarios

afirmación para hacer preguntas y continuar para resolver la prueba. La pregunta en esta diapositiva direcciona MP6 [This object is a pullatab] ¿Qué sabemos sobre la suma de las medidas de los ángulos complementarios?

Slide 115 (Answer) / 190

Práctica de matemática

Teorema de los Complementos Congruentes

Afirmación 2 m∠1 + m∠2 = 90 m∠1 + m∠3 = 90

Razón 2 Definición de ángulos complementarios

Afirmación 2 m∠1 + m∠2 = 90 m∠1 + m∠3 = 90

Si igualamos las ecuaciones de arriba a 90 grados, ¿cómo están relacionadas entre sí? Explica cómo lo sabes.

Slide 116 / 190 Teorema de los Complementos Congruentes

Las preguntas en esta diapositiva direccionan a MP2, MP3 y MP6. Razón 2 Definición de ángulos [This object iscomplementarios a pull tab]

Si igualamos las ecuaciones de arriba a 90 grados, ¿cómo están relacionadas entre sí? Explica cómo lo sabes.

Afirmación 3 m∠1 + m∠2 = m∠1 + m∠3

Razón 3 Sustitución propiedad de igualdad

¿Hay algo igual en ambos lados de la ecuación? Si es así, qué podemos hacer hacer para simplificar la ecuación? ¿Por qué es posible?

Slide 116 (Answer) / 190

Slide 117 / 190

Práctica de matemática

Teorema de los Complementos Congruentes

Teorema de los Complementos Congruentes

Las preguntas en esta diapositiva direccionan a MP2, MP3 y MP6.

Afirmación 3 m∠1 + m∠2 = m∠1 + m∠3

Razón 3 Sustitución propiedad de [This object is aigualdad pull tab]

Razón 4 Resta propiedad de igualdad

Afirmación 4 m∠2 = m∠3

¿Hay algo igual en ambos lados de la ecuación? Si es así, qué podemos hacer hacer para simplificar la ecuación? ¿Por qué es posible?

¿Qué podemos hacer establecer la demostración?

Slide 118 / 190

Slide 119 / 190 Teorema de los suplementarios congruentes

Teorema de los Complementos Congruentes Dado: Los ángulos 1 y 2 son complementarios Los ángulos 1 y 3 son complementarios Prueba: m∠2 = m∠3

Teorema: Los ángulos que son suplementarios al mismo ángulo son iguales Dado:

Afirmación

Razón

Los ángulos 1 y 2 son complementarios Los ángulos 1 y 3 son complementarios

Dado

Los ángulos 1 y 2 son suplementarios Los ángulos 1 y 3 son suplementarios

Demostración: m∠2 = m∠3

m∠ 1 + m∠ 2 = 90

Definición de ángulos complementarios

m∠ 1 + m∠ 3 = 90 m∠ 1 + m∠ 2 = m∠ 1 + m∠ 3

Sustitución Propiedad de igualdad

m∠ 2 = m∠ 3

Resta propiedad de igualdad

Esta es por tanto la última prueba que vamos a hacer a partir de la que examinaremos la prueba total.

Slide 120 / 190 Teorema de los suplementarios congruentes

Dado:

Los ángulos 1 y 2 son suplementarios Los ángulos 1 y 3 son suplementarios

Slide 121 / 190 Teorema de los ángulos verticales Los ángulos verticales tienen igual medida

A

Demostración: m∠2 = m∠3 Afirmación

Razón

Los ángulos 1 y 2 son suplementarios Los ángulos 1 y 3 son suplementarios

Dadps

m∠ 1 + m∠ 2 = 180 m∠ 1 + m∠ 3 = 180

Definición de ángulos suplementarios

m∠ 1 + m∠ 2 = m∠ 1 + m∠ 3

Sustitución propiedad de igualdad

m∠ 2 = m∠ 3

Resta propiedad de igualdad

E

1 2 4 3 B

C

D

Dado: recta AD y recta EC son rectas horizontales que se cortan en el punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4. Probar: m∠1 = m∠3 y m∠2 = m∠4

Slide 122 / 190

Slide 122 (Answer) / 190

Teorema de los ángulos verticales A 1 2 4 3 B

MP7 2 el primer paso Deje claro 1que 4 3 demostración para E cualquier C B es establecer lo "Dado". D se usan las Luego, propiedades de la primera afirmación para hacer La primera afirmación se enfocará en qué está dado lo cual preguntas y continuar hace a esta situación única. para resolver la prueba.

C

Práctica de matemática

E

Teorema de los ángulos verticales A

D

La primera afirmación se enfocará en qué está dado lo cual hace a esta situación única. En este caso, es sólo lo dado

En este caso, esissólo lo dado [This object a pull tab]

Slide 123 / 190

Slide 123 (Answer) / 190

1 2 4 3 B

E

Afirmación 1 La recta AD y la recta EC son rectas horizontales que se cortan en el punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y4

Teorema de los ángulos verticales A Práctica de matemática

Teorema de los ángulos verticales A C

D

1 2 La pregunta sobre esta 4 3 direcciona E C diapositiva a MP1. B

Entonces sabemos que queremos saber algo sobre la relación entre los pares de ángulos verticales. : ∠ 1 y ∠ 3 así como también ∠2 y ∠4 ¿Qué sabemos sobre esos cuatro ángulos que lo dado pueda ayudarnos con ellos?

Teorema de los ángulos verticales A

D E

∠1 y ∠4 son suplementarios

Respuesta

C

∠1 y ∠2 son suplementarios ∠2 y ∠3 son suplementarios ∠3 y ∠4 son suplementarios Todos los de arriba A E

1 2 4 3 B D

[This object is a pull tab]

Slide 125 / 190

52 Sabemos que los ángulos _____________. B

Razón 1 Dado

Entonces sabemos que queremos saber algo sobre la relación entre los pares de ángulos verticales. : ∠ 1 y ∠ 3 así como también ∠2 y ∠4 ¿Qué sabemos sobre esos cuatro ángulos que lo dado pueda ayudarnos con ellos?

Slide 124 / 190

A

D

Afirmación 1 La recta AD y la recta EC son rectas horizontales que se cortan en el punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y4

Razón 1 Dado

C

E

1 2 4 3 B

C

D

Afirmación 2 ∠1 y ∠2 son suplementarios ∠1 y ∠4 son suplementarios ∠2 y ∠3 son suplementarios ∠3 y ∠4 son suplementarios

Razón 2 Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

¿Qué sabemos sobre dos ángulos que son suplementarios al mismo ángulo, tal como ∠2 y ∠4 que son ambos suplementarios de ∠1?

Slide 125 (Answer) / 190

Slide 126 / 190 Teorema de los ángulos verticales A

Práctica de matemática

Teorema de los ángulos verticales A La

1 2 4 3 E pregunta Bde

esta C diapositiva direcciona a MP7. D

¿Qué sabemos sobre dos ángulos que son suplementarios al mismo ángulo, tal como ∠2 y ∠4 que son ambos suplementarios de ∠1?

Vamos a observar el hecho de que ∠2 y ∠4 son ambos suplementarios a ∠1 y que 1 y 3 son ambos suplementarios a ∠4, ya que eso relaciona a los ángulos verticales que son de nuestro interés.

Teorema de los ángulos verticales A

Práctica de matemática

C

E

El comentario en la parte D inferior de esta diapositiva direcciona a MP7. Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios [This object is a pull tab]

Vamos a observar el hecho de que ∠2 y ∠4 son ambos suplementarios a ∠1 y que 1 y 3 son ambos suplementarios a ∠4, ya que eso relaciona a los ángulos verticales que son de nuestro interés.

Slide 128 / 190

Prueba: m∠1 = m∠3 y m∠2 = m∠4 Afirmación

D Razón

La recta AD y la recta EC son rectas horizontales que se cortan Dado en el Punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4. ∠ 1 y ∠ 2 son suplementarios ∠ 1 y ∠ 4 son suplementarios ∠ 2 y ∠ 3 son suplementarios

Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

∠ 3 y ∠ 4 son suplementarios

m∠ 1 = m∠ 3 y m∠ 2 = m∠ 4

Dos ángulos suplementarios al mismo ángulo son iguales

C

Afirmación 3 m∠1 = m∠3 m∠2 = m∠4

Razón 3 Dos ángulos suplementarios al mismo ángulo son iguales

Pero aquellos son los pares de ángulos verticales que nos disponemos a probar que son iguales. De manera que, nuestra prueba terminó: los ángulos verticales son iguales.

Slide 129 / 190

Teorema de los ángulos Averticales 1 2 4 3 B

1 2 4 3 B D

Razón 2

Dado: AD y EC son ángulos horizontales que se cortan en el Punto B y forman los ángulos 1, 2, 3 y 4 E

Los ángulos que forman un par lineal son suplementarios

Slide 127 / 190

Teorema de los ángulos verticales A

Afirmación 2 ∠1 y ∠2 son suplementarios ∠1 y ∠4 son suplementarios ∠2 y ∠3 son suplementarios ∠3 y ∠4 son suplementarios

Razón 2

Afirmación 2 ∠1 y ∠2 son suplementarios ∠1 y ∠4 son suplementarios ∠2 y ∠3 son suplementarios ∠3 y ∠4 son suplementarios

Slide 126 (Answer) / 190

1 2 4 3 B

C

D

Razón 2 Afirmación 2 ∠1 y ∠2 son suplementarios Los ángulos que forman un ∠1 y ∠4 son suplementarios [This object is a pull tab] lineal son suplementarios par ∠2 y ∠3 son suplementarios ∠3 y ∠4 son suplementarios

E

1 2 4 3 B

E

Teorema de los ángulos verticales

C

Hemos demostrado que los ángulos verticales son congruentes. Esto se convierte en un teorema que podemos usar en pruebas futuras. También podemos resolver problemas con él.

Slide 130 / 190

Slide 130 (Answer) / 190

Ángulos verticales

Ángulos verticales

Dado: m∠ABC = 55o, resuelve para x, y y z.

55o

xo yo

B

zo

C

D

Slide 131 / 190

Slide 132 / 190 Ejemplo

Ángulos verticales

Calcula m∠1, m∠2 y m∠3. Explica tu respuesta

Dado: m∠ABC = 55°

Sabemos que x + 55 = 180°, ya que son suplementarios Y que y = 55°, ya que son ángulos verticales. y que x = z por la misma razón. A

E

125o 55o 55o B125o

3

C

77°

C

113°

D

ninguno de los de arriba 1 2

Slide 134 / 190 Respuesta

53 ¿Cuánto mide el ángulo 1? 103°

2

original y m∠2) m∠3 = 144°; Los ángulos verticales son congruentes (m∠1 y m∠3)

Slide 133 / 190

A

36 + m∠1 = 180 m∠1 = 144° Los pares de ángulos lineales son suplementarios

m∠2 = 36°; Los ángulos verticales son congruentes (ángulo

D

B

1

36o

77° 3

54 ¿Cuánto mide el ángulo 2? A

77°

B

103°

C

113°

D

ninguno de los de arriba

Respuesta

E

Práctica de matemática

A

Este ejemplo direcciona a MP2 Dado: m∠ABC = 55o, resuelve para x, y y z. Preguntas adicionales que podrían A usarse: ¿Qué información se te está dando? (MP1 ¿Qué necesitas calcular? (MP1) 55o xo (MP4) ¿Qué conecciones ves? o ¿CómoEpuedes hacer eso yo B z C mentalmente? (MP5) ¿Cómo se relaciona esta pregunta con los ángulos suplemetarios? [This object is a pull tab] (MP7) D

1 2

77° 3

Slide 135 / 190

Slide 136 / 190

Respuesta

A

77°

B

103°

C

113°

D

ninguno de los de arriba

1 2

A

112°

B

78°

Respuesta

56 ¿Cuánto mide el ángulo 4?

55 ¿Cuánto mide el ángulo 3?

C

102°

D

ninguno de los de arriba

77°

D) medida

3 4

112° 6

5

B

Slide 137 / 190

Slide 138 / 190

B

68°

C

102°

D

ninguno de los de arriba

4

A

102°

B

78°

C

112°

D

ninguno de los de arriba

4

112° 6

6

5

Slide 139 / 190

Ejemplo

(13x + 16)° (14x + 7)°

Calcula el valor de x.

Respuesta

Los ángulos mostrados son verticales de manera que son congruentes.

5

Slide 140 / 190

Ejemplo Calcula el valor de x

112°

(2x + 8)°

Los ángulos mostrados son suplementarios

(3x + 17)°

Respuesta

112°

Respuesta

A

Respuesta

58 ¿Cuál es la m∠6?

57 ¿Cuánto mide el ángulo 5?

Slide 141 / 190

Slide 142 / 190 60 Calcula el valor de x

95

B C

50 45

D

40 85o

A

75

B

17

C

13

D

12

Respuesta

A

Respuesta

59 Calcula el valor de x

(2x - 5)o

75o (6x + 3)o

Slide 143 / 190

Slide 144 / 190

13.1

B

14

C

15

D

122

Respuesta

A

A

Respuesta

62 Calculal el valor de x.

61 Calcula el valor de x.

12

B

13

C

42

D

138

122o (7x + 54)o

(9x - 4)o

Slide 145 / 190

42o

Slide 146 / 190 Bisectriz de un ángulo

Bisectrices

A

La bisectriz de un ángulo es una semirrecta o recta que comienza en el vértice y corta a un ángulo en dos mitades iguales

X

B Volver a la tabla de contenidos

La semirrecta BX bisecta al
 
 ∠ABC

C

Bisectar significa cortar en dos partes iguales. La "bisectriz" es la cosa que corta. La bisectriz de un ángulo es equidistante desde los lados del ángulo medido a lo largo de un segmento perpendicular a los lados del ángulo.

Slide 147 / 190

Slide 148 / 190

Calculando la medida que falta

Respuesta

Ejemplo: el ∠ABC es bisectado por la semirrecta BD. Calcula las medidas de los ángulos que faltan.

A

E H

56o

Respuesta

63 El ∠ EFG es bisectado por FH. La m∠ EFG = 56º. Calcula las medidas de los ángulos que faltan.

D F 52° C

Slide 149 / 190

Slide 150 / 190

L M

(x + 10)

65 La semirrecta NP bisecta a ∠MNO Dado que Respuesta

64 MO bisecta a ∠LMN. Calcula el valor de x.

m∠MNP = 57°, ¿cuál es la m∠MNO?

Pista:

o

click para revelar

¿Qué significa bisectar? Dibuja y coloca nombres a la imagen

O

(3x - 20)o

Respuesta

B

G

N

Slide 151 / 190

Slide 152 / 190 67 La semirrecta VY bisecta a ∠UVW. Dado que

66 La semirrecta RT bisecta a ∠QRS. Dado que Respuesta

¿cuál es la m∠UVY?

Respuesta

m∠UVW = 165o,

m∠QRT = 78°, ¿cuál es la m∠QRS?

Slide 153 / 190

Slide 154 / 190 69 La semirrecta FH bisecta a ∠EFG. Calcula el valor de x.

A

Respuesta

valor de x.

D (7x + 3)o

H

E

Respuesta

68 La semirrecta BD bisecta a ∠ABC. Calcula el

(9x - 17)o (3x + 49)o

(11x - 25)o B

F

C

Slide 155 / 190

G

Slide 156 / 190

70 La semirrecta JL bisecta a ∠IJK. Calcula el valor de x.

(7x + 1)o

Respuesta

I

Locus y Constructiones de ángulos

L

(12x - 19)o J

K

Volver a la tabla de contenidos

Slide 156 (Answer) / 190

Slide 157 / 190

Práctica de matemática

Construcción de ángulos congruentes

Locus La lección entera con y direcciona a construcciones MP5 Constructiones de ángulos [This object is a pull tab]

Dado: ∠FGH Construye: ∠ABC de modo que ∠ABC ≅ ∠FGH Nuestro enfoque estará basado en la idea que la medida de un ángulo es cuánto habríamos rotado una semirrecta para superponerla con la otra. Cuanto más grande la medida de un ángulo, más separadas ellas están a medida que las mueves desde el vértice. F

Volver a la tabla de contenidos G

H

Slide 158 / 190 Construcción de ángulos congruentes De modo que, si salimos una distancia fijada desde el vértice sobre ambas semirrectas y dibujamos puntos ahí, la distancia en que aquellos puntos se apartan uno del otro define la medida del ángulo. A mayor distancia, mayor la medida del ángulo.

Slide 159 / 190 Construcción de ángulos congruentes 1. Dibuja una recta de referencia con el lado horizontal. Ubica un punto de referencia (B) para indicar donde la nueva semirreca comenzará sobre la recta.

Si construimos otro ángulo cuyas semirrectas están separadas a la misma distancia desde el vértice, este será congruente al primer ángulo. F

F

G

G

H

H

Slide 160 / 190

B

Slide 161 / 190

Construcción de ángulos congruentes

Construcción de ángulos congruentes

2. Ubica la punta del compás sobre el vértice G y ábrelo para cualquier longitud siempre y cuando el arco trazado corte ambas semirrectas.

4. Sin cambiar la extensión del compás, ubica la punta del compás en el punto de referencia B y mueve un arco de vaya desde la recta y por encima de él.

3. Dibuja un arco que corte ambas semirrectas del ∠FGH. (Esto define una distancia común desde el vértice en ambas semirrectas ya que el arco es parte de un círculo y todos sus puntos son equidistantes desde el centro del círculo)

(Esto define igual distancia desde el vértice sobre ambas, nuestra semirrecta de referencia y la semirrecta que usábamos para el ángulo original).

F

F

G

H

G

B

Slide 162 / 190 Construcción de ángulos congruentes 5. Ahora ubicaremos nuestro compás donde el arco corta una semirrecta del ángulo original y lo fijaremos de modo que se pueda dibujar un arco donde se cruza con la otra semirrecta. (Esto define cuán apartadas están las semirrectas a esa distancia desde el vértice)

B

H

Slide 163 / 190 Construcción de ángulos congruentes 6. Sin cambiar la apertura del compás ubica la punta del compás donde el primer arco cruza a la primera semirrecta y dibuja un arco que corta al arco sobre la semirrecta. (Esto hará la separación entre las seirrectas igual a la misma distancia desde el nuevo vérticce coo era el caso para el ángulo original) F

F

G G

H

B

H

B

Slide 164 / 190

Slide 165 / 190

Construcción de ángulos congruentes

Construcción de ángulos congruentes Debería estar claro que esos dos ángulos son congruentes. La semirrecta FG tendría que ser rotada la misma cantidad para superponerse con la semirrecta GH que la semirrecta AB para superponerse con la semirrecta BC.

6. Ahora usa tu lado horizontal para dibujar la segunda semirrecta del nuevo ángulo que es congruente con el primer ángulo.

Observa que donde ubicamos el punto no es relevante, sólo la forma del ángulo indica congruencia. F

F

A

C

B

H

G

Slide 166 / 190

Slide 167 / 190

Construcción de ángulos congruentes

Intenta ésto! Construye un ángulo congruente sobre el segmento dado.

Podemos confirmar poniendo un sobre el otro.

B

1) A

F

C

B

H

Notas para el profesor

G

A

P

Q

A R

B

G

H

C

Slide 168 / 190

Slide 169 / 190

Intenta ésto! Video demostrativo de construcción de ángulos congruentes usando el Software de Geometría dinámica

Construye un ángulo congruente sobre el segmento dado. 2)

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Bisectrices y Construcciones

Práctica de matemática

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La lección entera con construcciones direcciona a MP5

Bisectrices y Construcciones [This object is a pull tab]

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Slide 171 / 190 Construcción de bisectrices Como aprendimos anteriormente, una bisectriz divide a un ángulo en dos ángulos adyacentes de igual medida. Para dibujar una bisectriz usaremos un enfoque similar al que usamos para construir un ángulo congruente, ya que, en este caso, estaremos construyendo dos ángulos congruentes.

Slide 172 / 190 Construcción de bisectrices 1. Con la punta del compás sobre el vértice, dibuja un arco que corte ambas semirrectas. (Esto establecerá una distancia fijada desde el vértice en ambas semirrectas). U

U

V

V

W

W

Slide 173 / 190 Construcción de bisectrices

2. Sin cambiar la apertura del compás, ubica la punta del comàs sobre la intersección de cada arco y la semirrecta y dibuja un nuevo arco de tal manera que los dos arcos se corten en el interior del ángulo. (Esto fija la distancia desde cada semirrecta original al la nueva semirrecta para ser la misma, de manera que los dos nuevos ángulos serán congruentes)

Slide 174 / 190 Construcción de bisectrices 3. Con una regla, dibuja una semirrecta desde el vértice y pasando por la intersección de los arcos y coloca el nombre a un punto allí. Porque sabemos que la distancia de cada semirrecta original a la nueva semirrecta es la misma, en la misma distancia desde el vértice, sabemos que las medidas de los nuevos ángulos es la misma y que m∠UVX = m∠XVW U

U

X V

V W

W

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Slide 176 / 190 Intenta ésto!

Intenta ésto! Notas para el profesor

Bisecta el ángulo 3)

Bisecta el ángulo 4)

Slide 177 / 190 Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla Todo lo que hacemos con un compás puede ser hecho con una varilla y una cuerda. En ambos casos, la idea es marcar un centro (o la punta del compás o la varilla) y luego dibujar una parte de un círculo manteniendo un radio fijo (con la apertura del compás o la longitud de la cuerda fijos).

Slide 178 / 190 Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla 1. Con la varilla sobre el vértice, dibujamos un arco cruzando a cada lado. U

V

Slide 179 / 190 Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla 2. Ubicamos la varilla sobre la intersecciones de cada arco con los lados y dibujamos 2 arcos, uno desde cada lado de manera que quede un punto de intersección entre ellos.

W

Slide 180 / 190 Construcción de bisectrices con cuerda, varilla, lápiz y regla 3. Con una regla, conectamos el vértice con la intersección de los arcos. Nombra ese punto. m∠UVX = m∠XVW

U

U X

V

W

V W

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Slide 182 / 190 Intenta ésto!

Intenta ésto! Bisecta el ángulo con cuerda, varilla, lápiz y regla. 5)

Slide 183 / 190 Construcción de bisectrices mediante plegado

1. Sobre tu papel de calcar, traza cualquier ángulo que elijas. Hazlo tan grande como el papel. Marca los puntos A, B y C.

Slide 185 / 190 Construcción de bisectrices mediante plegado

3. Despliega el papel. Dibuja una semirrecta a lo largo del pliegue, comenzando desde el punto B. Dibuja y coloca nombre a un punto sobre la semirrecta.

Bisecta el ángulo con cuerda, varilla, lápiz y regla. 6)

Slide 184 / 190 Construcción de bisectrices mediante plegado

2. Pliega tu papel de calcar de manera que la semirrecta BA quede alineada. Se forma un pliegue.

Slide 186 / 190 Intenta ésto! Bisecta el ángulo mediante plegado. 7)

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Intenta ésto! Videos demostrativos para la construcción de bisectrices usando Software de Geometría

Bisecta el ángulo mediante plegado. 8)

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Preguntas de muestra para la prueba. PARCC La diapositiva restantes de esta presentación contiene una pregunta tomada de la prueba de muestra PARCC. Después de terminar la unidad 2, deberías ser capaz de responder esta pregunta. Buena suerte!

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Pregunta 2/25

r

La figura muestra la intersección de las rectas r, n, y p que forman los ángulos 1, 2, 3, 4, 5, y 6. Las tres rectas están en el mismo plano.

71 En base a la figura, ¿Cuál de las afirmaciones proveería suficiente información para concluir que r es perpendicular a la recta p? Selecciona todas las que aplican. A m∠2 = 90°

D m∠1 + m∠6 = 90°

B m∠ 6 = 90°

E m∠3 + m∠4 = 90°

C m∠3 = m∠6

F m∠4 + m∠5 = 90°

6 5 4

n 1 2

3

p no está hecho a escala

Respuesta

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