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Tema 2

Hasta ahora has dedicado tus esfuerzos a dominar las seis primeras operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. La séptima operación está relacionada con las potencias de números.   

La potenciación tiene como objetivo hallar la potencia: 32  x  x  9 La radicación tiene por objetivo hallar la base: x2  9  x   9  3 La exponenciación tiene por objetivo hallar el exponente: 2x  8  x  3

El exponente recibe también el nombre de logaritmo. En los cálculos de los intereses, hipotecas, inversiones, ...., necesarios en los bancos, aparecen fórmulas matemáticas cuyo manejo exige el conocimiento de los logaritmos.

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1

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Tema 2

1.- Potencias de exponente entero. Notación científica. Las potencias de exponente entero se definen así:  a n  a · a · a ·.... · a , con n  1  a1  a  a0  1 1  a  m  m , con m  0 a Observación: la expresión a n se llama potencia n es el exponente de la potencia a es la base de la potencia Un número en notación científica es de la forma N  a'bcd...... ·10n y consta de:  una parte entera formada por una sola cifra no nula  una parte decimal formada por un pequeño número de cifra  una potencia de base 10 con exponente entero Al exponente n se le llama orden de magnitud. Ejemplo: 300.000.000  3 ·108

945.000.000.000  9 '45 ·1011 0 '000000012  1'2 ·108 Ejemplo 1: Hallar el valor de las siguientes potencias: 1 1 a) 53  3  125 5 1 b) 7  3 ( 7 )  37  2187 3 Ejemplo 2: Sabiendo que cada persona tiene en la cabeza una media de, aproximadamente, 1'5 ·105 cabellos y que el mundo está formado, aproximadamente, por 5 ·109 personas, ¿cuántos cabellos hay en la Tierra?. 1'5 ·105 ·5 ·109  (1'5 ·5) · (105 ·109 )  7 '5 ·1014 cabellos Curiosidades: Un googol es un 1 seguido de 100 ceros; es decir, 10100 . Un googolplex es un 1 seguido de un googol de ceros; es decir, 10googol  1010 . Se estima que el número total de partículas en el universo está comprendido entre 1072 y 100

1087 .

Ejercicios: 1, 2 Departamento de Matemáticas

2

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Tema 2

2.- Potencias de exponente fraccionario. Una potencia de exponente fraccionario es igual a un radical, donde:  el denominador de la fracción es el índice del radical  el numerador de la fracción es el exponente del radicando

a

m

n

 n am

Hay que recordar las propiedades de las potencias vistas en cursos anteriores:  a m · a n  a m n  a m : a n  a mn 

a 



a m · bm  (a · b)m



am  a    bm  b 

m n

 am · n m

Ejemplo: Calcular el valor de las siguientes potencias: a) 16 b) 8 c) 7

2

3

 163 

2

 2   2  2  64 2   2  2  4

3

 3 82 

2

 75  7 2

5

3

d) 81

4

 4 813  3

e) 810 ' 75  81 9

3

f) 81 12  81

  12

g) 8

15

3

15 18

4

3 2

3

6

6

2

7  49 7 4

3 

4 3

 4 312  33  27

 27

4

12 ·15 15 ·18

1

12

 27

8

h) 270 ' 3  27

4 3

3

12

8

18

8

2

3

 3 82 

3

2 

3 2

 3 26  2 2  4

 3 27  3 33  3

3.- Radicales. El radical de un número es la raíz indicada de ese número. n a  b  bn  a En el radical se distinguen las siguientes partes:  n  es el índice del radical  a  es el radicando   es el símbolo matemático que nos indica que estamos efectuando la operación radicación.  b  es el resultado o raíz

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Observación: Por abuso de lenguaje en lugar de hablar de operación radicación decimos raíz.

A) Número de raíces. Al efectuar la operación radicación nos pueden salir varios resultados:  Si el índice es par y el radicando positivo  dos soluciones o raíces opuestas.  Si el índice es par y el radicando nulo (0)  una solución que es la nula (0).  Si el índice es par y el radicando negativo  ninguna solución.  Si el índice es impar  una solución con el mismo signo que el radicando. B) Radicales iguales o equivalentes. Dos radicales son iguales o equivalentes si tienen las mismas raíces. Para obtener radicales equivalentes tenemos que multiplicar o dividir el índice del radical y el exponente del radicando por un mismo número natural distinto de cero: n

am 

n·p

am · p

Esta regla nos va a permitir comparar dos radicales cuando tengan el mismo índice. Ejemplo: Ordenar los siguientes radicales: 33 , 6 34 , 12 36 . Lo primero que hacemos es simplificar los radicales: 6 4 12 6 33 , no se puede simplificar 3  3 32 3  3 Ahora transformamos estas raíces en otras equivalentes con el mismo índice; para ello calculamos el m.c.m. de los índices, que es 6: 3 2 33  33 · 3  6 39 3  6 34 3  33  6 33 Ahora que tienen el mismo índice entonces será menor la que tenga menor radicando: 2 ·3

2 ·3

6

33  6 34  6 39

Así pues: 12

36  6 34  33 Ejercicio: 3

4.- Operaciones con radicales. Racionalización. A) Operaciones. Las operaciones con radicales se basan en las propiedades de las potencias, y son: n a a  n a · n b  n a ·b  n n b b 

 a n

m

 n am

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

4

m

n

a 

m ·n

a

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B) Racionalización. Cuando estamos operando con radicales nos interesa que en los denominadores no aparezca ningún radical; a este proceso de eliminar radicales de los denominadores se le llama racionalización. Nos vamos a encontrar con dos tipos de racionalización:  El denominador está formado por un solo sumando con radical. En este caso multiplicamos numerador y denominador por un radical que tenga el mismo índice y por exponente del radicando la diferencia entre el índice del radical y el exponente del radicando original. 4 5



4 · 5 72





4 · 5 72



4 · 5 72 7

5 5 73 5 73 · 5 7 2 7 El denominador está formado por dos sumandos, y al menos uno de ellos es una raíz cuadrada. En este caso multiplicamos numerador y denominador por el conjugado del denominador.

1 3 2





1· 3 2



3  2  · 3  2 



3 2 32 

 2

2



3 2 3 2  92 7

Observación: Hay que recordar cuáles son las expresiones conjugadas de una dada: ab a b

Expresión Conjugado

a b ab

a  b a  b

a  b a  b

es decir, lo que se hace es cambiar el signo intermedio.

Ejemplo 1: Simplificar los siguientes radicales: a)

3  3 27  75  3  3 33  3 ·52  3  3 ·3 3  5 3  3  9 3  5 3  5 3

b) 6 16  6 24  3 22  3 4

Ejemplo 2: Racionalizar la expresión: 5 2 3



5·





2 3



2 3 ·



2 3



5 2 5 3

  2    3 2

2



5 2 5 3 5 2 5 3   23 1

 5 2  5 3  5 3  5 2

Ejercicios: 4, 5

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5

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5.- Logaritmo de un número. Al principio del tema vimos cómo resolver la ecuación exponencial: 2x  8  x  3 Pero no siempre es tan fácil calcular el exponente de una potencia para resolver una ecuación, por ejemplo: 2 x  9 , la solución por lógica sería un número entre 3 y 4 Nuestra intención es despejar la incógnita x, y para ello tenemos que introducir una nueva operación matemática que es la operación logarítmica. Definición: El logaritmo en base a de un número N es el exponente al que hay que elevar la base para obtener dicho número N. Se designa por log a N . ax  N

 x  log a N

Observación: Al número N se le llama argumento o antilogaritmo. Observación: Coloquialmente se puede decir que para despejar el exponente x de una potencia, cogemos la base a y la pasamos al otro lado del igual como base del logaritmo. Observación: Podemos comparar los elementos que intervienen en la operación radical con los que intervienen en la operación logarítmica, de la siguiente forma: n A   log a N n   a A   N

  log

el índice con la base el radicando con el antilogaritmo los símbolos operacionales raíz y logaritmo

Consecuencias:  El logaritmo en cualquier base del número 1 es 0:

log a 1  0 , ya que log a 1  x  1  a x  x  0  aplicando la definición de logaritmo Ejemplos: log 2 1  x  1  2x  x  0  log2 1  0 

log5 1  x  1  5x El logaritmo de la base es 1:

 x  0  log5 1  0

log a a  1 , ya que log a a  x  a  a x  x  1  aplicando la definición de logaritmo Ejemplos: log 2 2  x  2  2x  x  1  log 2 2  1 log8 8  x  8  8x

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 x  1  log8 8  1

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



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Sólo existen los logaritmos de números positivos: N  0 . Ejemplos: log 2 (7)  x   7  2x , esto es imposible, ya que las exponenciales siempre dan como resultado números positivos, nunca negativos ni cero. log5 0  x  0  5x , imposible. Sólo existen logaritmos cuando la base es positiva y distinta de 1: a  0 , a  1 Ejemplos: a) log1 8  x  8  1x , imposible. log1 1  x  1  1x

 x 1, x  2 , x  0 ,

infinitas soluciones.

b) log 2 8  x  8  (2) x , imposible. log 2 4  x  4  (2) x

 x  2  log 2 4  2

c) log 2 (4)  x   4  (2) x , imposible. log 2 (8)  x   8  (2) x

 x  3  log 2 (8)  3

Vemos como algunos casos sí tienen solución pero otros no, por eso decimos que los logaritmos siempre tienen solución si: a  0 , a  1 , N  0 . Notación: Existen algunos logaritmos que tienen un nombre propio, por ejemplo:  Si la base del logaritmo es 10 entonces se llama logaritmo decimal y se escribe: log N  x no es necesario escribir la base.  Si la base del logaritmo es el número irracional e  2'71828182845904...... , entonces se llama logaritmo neperiano y se escribe: Ln N  x en lugar de escribir loge N  x Observación: Hay que darse cuenta que la base de los logaritmos puede ser un número irracional. Ejemplo: Calcular utilizando la definición de logaritmo: a) log 2 128  x  128  2x  27  2x  x  7  b) log3 243  x   c) log5

243  3x

log3 243 



35  3x

5

2

5 2

1 1 1 x   5x  4  5x 625 625 5 1  4  log5 625

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 3

log 2 128  7 5  3x  x   2

7

 54  5x

 x  4 

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Observación: Como se ve en este ejemplo, para calcular logaritmos utilizando la definición basta con factorizar el antilogaritmo y luego analizar las potencias obtenidas (dos potencias con la misma base son iguales si sus exponentes son iguales). El ejercicio suele estar preparado para que salga bien. Si no sale bien pueden suceder dos cosas: o te has equivocado o hay que utilizar la calculadora. Lo normal es que te equivoques tú. Ejercicios: 6, 7, 8

6.- Propiedades de los logaritmos. 

El logaritmo de un producto es igual a la suma de los logaritmos. loga (M · N )  log a M  loga N Demostración:  log a M  x  M  a x  x y x y   M · N  a ·a  M · N  a log a N  y  N  a y  



 log a ( M · N )  x  y

Así pues: loga (M · N )  log a M  loga N  aplicando la definición de logaritmo  aplicando las propiedades de las potencias



El logaritmo de un cociente es igual al logaritmo del numerador menos el logaritmo del denominador. M log a  log a M  log a N N Demostración:  log a M  x  M  a x  M ax M M   y   a x  y  log a  x y  N a N N y  log a N  y  N  a  Así pues: M log a  log a M  log a N N  aplicando la definición de logaritmo  aplicando las propiedades de las potencias



El logaritmo de una potencia es igual al exponente por el logaritmo de la base. log a M n  n · log a M Demostración:

log a M  x  M  a x

 M n  ax 

n

 M n  an · x

 log a M n  n · x

Así pues:

log a M n  n · log a M  aplicando la definición de logaritmo  aplicando las propiedades de las potencias

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Vamos a utilizar la calculadora para comprobarlo:  log (2 · 7)  log14  log (2 · 7)  log 2  log 7  75  log  log 3  25 75 log  log 75  log 25  25  log 25  log 32  log 25  5 · log 2  Ejemplo 1: Calcular: 1 1 1 · log10  ·1  2 2 2 b) log 40  log 25  log(40 · 25)  log1000  log103  3 · log10  3 ·1  3 80 c) log 80  log 8  log  log 10  1 8

a) log 10  log10

1

2



Observación: Al calcular logaritmos nos tenemos que fijar que en el antilogaritmo aparezca un 1 o la base del logaritmo, ya que son los únicos que conocemos de forma directa. Para conseguir esto tenemos que utilizar las propiedades de los logaritmos. En el ejemplo anterior nos interesaba que apareciesen potencias de la base, que es 10. Ejemplo 2: Sabiendo que el logaritmo decimal de 5 es 0'7 , hallar: a) log125  log53  3 · log5  3 · 0' 7  2'1 b) log 50  log (5 ·10)  log5  log10  0 '7  1  1'7 25 c) log 0'25  log  log 25  log100  log 52  log102  2 ·log 5  2 ·log10  100  2 ·0'7  2 ·1  1' 4  2  0' 6 Observación: Para saber que tipo de potencias tiene que tener el antilogaritmo nos tenemos que fijar en los datos del problema y en la base del logaritmo. En el ejemplo 2 la base del logaritmo es 10 y como dato del problema me dan el logaritmo de 5, por lo tanto me interesa que en el antilogaritmo aparezcan potencias de 10 y/o de 5. Ejercicios: 9, 10, 11, 12, 13, 14

7.- Operaciones con logaritmos. Los logaritmos son números reales y por lo tanto cumplen las propiedades de las operaciones aritméticas: asociativa, conmutativa, distributiva, ...... Para calcular logaritmos podemos hacerlo de varias maneras en función de cómo son los datos del ejercicio; depende de cada uno de vosotros el utilizar un método u otro. Departamento de Matemáticas

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Tema 2

a) Cálculo de logaritmos utilizando las propiedades de los logaritmos. Ejemplos: 1) log 2  log3  log(2 ·3)  log 6 6 2) log 6  log 2  log  log 3 2 3)

1  log 2  log10  log 2  log(10 · 2)  log 20

4)

3  log 2  log103  log 2  log1000  log 2  log

1000  log 500 2

Observación: Para realizar algunas operaciones como en  necesitas transformar un número en un logaritmo; para ello escribimos el logaritmo con la base que nos interesa y que tenga por antilogaritmo una potencia con la misma base y por exponente dicho número. Ejemplo: Si nos interesa que el logaritmo sea de base 8: 2  log8 82 Si nos interesa que el logaritmo sea de base 10: 2  log102 b) Cálculo de logaritmos utilizando las propiedades de los números. Ejemplos: 1) 3 ·log 2  5 ·log 2  (3  5) ·log 2  8log 2 2) log x3  2log x  3log x  2log x  5log x Ejemplo: Reducir las siguientes expresiones logarítmicas: a) 5log 2  3log 2  2log 2  log 22  log 4 , aplicamos las propiedades de los números

x4 b) log x  log x  log 3  log x , aplicamos las propiedades de los logaritmos x 12 c) log 3  log 4  log 2  log(3 · 4)  log 2  log12  log 2  log  log 6 2 27 · 64 27 · 64 ·9 8 d) A  (log 27  log 64)  (log8  log 9)  log(27 · 64)  log  log  log  8 9 8 9  log(27 ·8 ·9)  log1944 4

3

Ejercicios: 15, 16, 17, 18, 19 

Calculadora y cambio de base. Existen dos teclas en la calculadora para calcular logaritmos: log  calcula logaritmos decimales ln  calcula logaritmos neperianos

Para calcular logaritmos en otras bases tenemos que realizar un cambio de base, y transformar la base original en otra que se pueda utilizar con la calculadora: 10 o e.

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Tema 2

Veamos cuál es la expresión del cambio de base para transformar un logaritmo en cualquier base a a logaritmo decimal: log a N  x  N  a x tomando logaritmos decimales a ambos lados de la igualdad: log N  log a x aplicando la propiedad del logaritmo de una potencia: log N  x · log a log N despejando: x log a log N Así pues: log a N  log a Es decir, el logaritmo en base a de N es igual al logaritmo del antilogaritmo N entre el logaritmo de la base a. De igual manera, si el cambio de base lo quisiéramos hacer con el logaritmo neperiano tendríamos: Ln N log a N  Ln a Se puede generalizar para cualquier tipo de base, aunque lo normal es pasarlo a base 10 o base e, ya que son las que se pueden utilizar con la calculadora: log b N log a N  log b a Ejemplo:

log 2 8 

log8  log 2

log 7 5 

Ln 5  Ln 7

Ejercicios: 20, 21, 22, 23, 24 (hacerlos en clase)

8.- Expresiones algebraicas y logarítmicas. Una expresión algebraica es un conjunto de números y letras relacionados con las operaciones aritméticas: suma, resta, multiplicación, división, potenciación y radicación. Una expresión logarítmica se caracteriza porque en todos sus sumandos aparece indicada la operación logarítmica además de las aritméticas. Nuestra intención es saber pasar de una a otra utilizando las propiedades de los logaritmos.

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

Tema 2

Paso de expresión algebraica a logarítmica.

Veamos los pasos que se dan con un ejemplo: xyz A t Tomamos logaritmos a ambos lados de la igualdad: xyz log A  log t Ahora aplicamos las propiedades de los logaritmos empezando por aquella que tiene prioridad en la expresión; en este caso el cociente: log A  log( x y z)  log t En estos dos sumandos volvemos a aplicar las propiedades de los logaritmos siguiendo el mismo criterio que antes; en el primer sumando aplicamos el logaritmo del producto y en el segundo no se puede hacer nada más: log A  log x  log y  log z  log t No se puede hacer nada más. 

Paso de expresión logarítmica a algebraica.

Veamos los pasos que se dan con un ejemplo: log A  log x  log y  log z Agrupamos los sumandos positivos y los sumandos negativos de forma separada: log A   log x  log y   log z Aplicamos las propiedades de los logaritmos: log A  log ( x · y)  log z x·y log A  log z Por la igualdad de logaritmos: x·y A z Así pues, este proceso consiste en pasar de varios sumandos de logaritmos a un solo logaritmo para luego eliminarlo.

Ejemplo 1: Pasar a expresión logarítmica: a) B  x 2 t 3 z 5 t 7

log B  log  x2 t 3 z 5 t 7   log  x 2 z 5 t10   log x 2  log z 5  log t10  2log x  5log z  10log t

4 r 3 b) C  3 4 r 3  log  4 r 3   log 3  log 4  log   log r 3  log 3  3  log 22  log   3log r  log 3  2log 2  log   3log r  log3

log C  log

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c) D 

Tema 2

x2 y z3t 1

 

 x2 y  2 1  x2 y  1  1 2  log D  log  log  log    3   · log( x y)  log z t 3   3 3     2 2 z t z t z t 1 1 1  1    · log x 2  log y  log z  log t 3   · 2log x  log y   log z  log t       2  2  3   x2 y







1 1 1 1  1  ·  2log x  log y  log z  log t   log x  log y  log z  log t 2 2 6 2  3 

Ejemplo 2: Pasar a expresión algebraica: log B  2log x  3log y  5log z  4log t  (2log x  4log t )  (3log y  5log z) 

 (log x 2  log t 4 )  (log y 3  log z 5 )  log( x 2 t 4 )  log( y 3 z 5 )  log B

x2 t 4 y3 z5

x2 t 4 y3 z5

Ejercicios: 25, 26, 27, 28, 29, 30, 31, 32

9.- Problemas. 

Interés compuesto.

Cuando se ha depositado dinero en un banco, éste suele devolverlo aumentado en una cierta cantidad, proporcional al capital depositado. Si en lugar de sacar el dinero se mantiene en el banco, el interés se incorpora al capital cada cierto tiempo. Si se acumula al final de cada año, la fórmula que permite calcular el capital final es: C  I · (1  i)t donde: C  es el capital final I  es el capital inicial 2   i  es el interés, al tanto por uno  2%   0'02  i  0'02  100   t  es el tiempo transcurrido, en años Ejercicios: 33, 34

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

Tema 2

Otro tipo de problemas.

Problema 1: Se ha comprobado experimentalmente que al variar la altura respecto al nivel del mar la presión atmosférica varía de modo que la presión en cada punto es aproximadamente 0’9 veces la presión que existe un kilómetro más abajo. La presión al nivel del mar es 1 atmósfera. a) ¿Qué presión habrá a 10 kilómetros de altura?. Lo primero que tenemos que hacer es intentar encontrar una fórmula que nos permita relacionar la altura y la presión; para ello vamos a realizar una tabla con los datos del problema: Altura (km) Presión (atm)

0 1

1 1 · 0’9 0’9

2 0’9 · 0’9

3 0'9 · 0'9

4 0'9 · 0'9

0'92

0'93

0'94

2

3

....... ....... ........

n 0'9n

Así pues, la fórmula de la presión en función del número de kilómetros es: P(n)  0'9n , donde n es el número de kilómetros Por lo tanto la presión a 10 kilómetros de altura es: P(10)  0'910  0’3486 atmósferas b) ¿Cuántos kilómetros habrá que subir para que la presión en ese punto sea atmósferas?.

0’1215

Ahora nos dicen que la presión es de 0’1215, es decir, P(n)  0'1215 ; por lo que para calcular la altura tenemos que despejar n: log 0'1215 0'1215  0'9n  n  log 0 '9 0'1215   20’005 kilómetros log 0'9  aplicando la definición de logaritmo

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Tema 2

Problema 2: La bacteria Escherichia coli se reproduce muy rápidamente. La temperatura ideal es de unos 37 ºC y en un cultivo de glucosa se necesita aproximadamente una hora para que se duplique el número de bacterias. En la siguiente tabla se indica el crecimiento en las primeras horas: Horas Número de bacterias

0 1 20

1 2 21

2 4 22

3 8 23

....... ....... .......

x

2x

¿Cuál es la fórmula?. ¿Cuánto tiempo debe transcurrir para que la población alcance un millón de bacterias?. Como cada hora la población de bacterias se duplica entonces el número de bacterias lo podemos poner como potencia de 2. De esta forma se observa claramente que la fórmula del número de bacterias en función de las horas transcurridas es: N ( x)  2 x , donde x es el número de horas Para que sean un millón de bacterias entonces N ( x)  1.000.000 ; y tenemos que despejar x: 1.000.000  2 x

 x  log 2 1.000.000 

log1.000.000 log106 6 · log10 6 ·1     log 2 log 2 log 2 log 2

6  19'9315685 horas log 2  aplicando la definición de logaritmo 

Pero claro esta notación es muy fea para decir el número de horas, por lo que tendremos que pasarlo a horas, minutos y segundos; y nos sale: 19h 55m 53s .65

Ejercicios: 35, 36, 37

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Tema 2

EJERCICIOS 1.- Escribe como potencias de 2 los siguientes números: 1 a) 2 b) 4 c) 4 1 los siguientes números: 3 1 b) 9 c) 9

d)

1 8

d)

1 27

2.- Escribe como potencias de a) 3

4

3.- ¿Cuál es el mayor de estos radicales?:

32

,

4.- Realiza las siguientes operaciones: a) 3 28  5 343  175  5.- Racionaliza: 5 a)  7

6

125 .

b)

b)

1 3 1 3

3

54  2 3 16  3 250 



c)

2 5  3 6



6.- Calcula, mediante la aplicación de la definición, el valor de los siguientes logaritmos: a) log 2 128 e) log 3

1 81

1 5

b) log 3 243

c) log 5 625

d) log 5

f) log 1 1024

g) log 10

h) log 3 10000

2

7.- Hallar x en las siguientes igualdades: a) log 5 x  2 b) log 6 36  x 1 d) log x 125  3 e) log x 9  2 8.- Halla la base en la cual el logaritmo de: a) 10000 es 2 b) 16 es 2

c) log x 16  2 f) log 1 8  x 2

c) 125 es 3

d) 729 es 3

9.- Calcula, mediante la aplicación de las propiedades, los siguientes logaritmos: 1 1 a) log 2 64  b) log 2  c) log 2  4 16 d) log 2 2  e) log 2 8  f) log 2 3 2  10.- Calcula, mediante la aplicación de las propiedades, los siguientes logaritmos 1  a) log 1 27  b) log 1 c) log 1 243  d) log 1 3 2187  81 3 3 3 3

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Tema 2

11.- Expresa los logaritmos decimales de los siguientes números en función de log 2 : 1 1 a) 4 b) 16 c) d) 32 1024 e) 0'5 f) 0'25 g) 0'125 h) 0'625 1 1 i) 2 j) 8 k) l) 64 2 12.- Sabiendo que log 2  0'3 , calcula: a) log8  b) log 5 

c) log125 

d) log 0'64 

13.- Si el log 5  0'69 , halla el logaritmo de 500 y de 0'5 . 14.- Sabiendo que log 2  0'301 y log 3  0'4771 , hallar: a) log 3 0'0081 

c) log 144 

b) log 0'25 

15.- Expresa con un solo logaritmo los siguientes números: a) log 6  log8  log3  b) log 9  log 28   log 7  log 9  16.- Halla el valor de: a) log1000  log 0'001  log

1  1000

b) log 7  log

1  7

17.- Sabiendo que log5 N  h , determina en función de h el logaritmo en base 5 de

18.- Siendo a y b dos números enteros positivos, calcula el valor de:

log a

N . 125

1  log 1 b  . a b

19.- Si log a N  2 y log a  32 · N   5 , ¿cuánto vale a?. ¿Qué propiedad utilizas?. Razona la respuesta. 20.- Utiliza la calculadora y los logaritmos decimales para hallar: a) El logaritmo en base 2 de 7. b) El logaritmo en base 5 de 23. c) El logaritmo en base 11 de 54. 21.-Calcula los logaritmos en base 5 de los siguientes números utilizando la calculadora: a) 123 b) 7 c) 500 d) 0'15 22.- Utiliza la tecla 10 x de la calculadora para hallar los números (antilogaritmos) cuyo logaritmo decimal es: a) 0'3 b) 1'3 c) 2'3 d) 3'3 23.- Utiliza la tecla x y de la calculadora para hallar los números (antilogaritmos) cuyo logaritmo en base 3 es: a) 0'3 b) 1'3 c) 2'3 d) 3'3 Departamento de Matemáticas

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24.- Utiliza la calculadora para hallar las siguientes raíces: a) 10 1024 b) 15 14348907 c)

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9

0'001953125

d)

25.- Toma logaritmos en las siguientes expresiones y desarrolla: x2 y z 4 3· r 2 a) A  b) B  x3 y 4 t 2 x c) C  t 2

8

390625

d) D  x y

5

z

26.- Pasa a forma algebraica las siguientes expresiones logarítmicas: a) log A  3log x  log y  2log z b) log B  4log x  5log y  2log z c) log C  2log x  3log y  2 d) log D  2  3log x  3log z 27.- Toma logaritmos en las siguientes expresiones y desarrolla: b) B  x3 y 5 z 7

a) A  x3 y : z 5 28.- Pasa a forma logarítmica las siguientes expresiones:

b) B 

a) A  x 2 · z ·t 5

a5 · b c4

29.- ¿Qué relación existe entre los números A y B en cada uno de los casos siguientes?: a) log A  log B  0 b) log A  log B  log 2 c) log A  2·log B d) log 3 A  log 3 B  0 30.- Pasa a forma algebraica las siguientes expresiones: x a) log A  3log x  log ( x  y )  log 2 1 1 c) log C  (log x  log y )  log z 2 3

1 1  b) log B  3   log y  log z  5 4 

31.- Pasa a forma logarítmica las siguientes expresiones: a) A 

5

a 2 b ·c3 d4 e

b) B 

a3 3 b c

c) C 

x2  1 z4

32.- Halla el valor de la siguiente suma: 2  1 1  log 1 64  2 log 3    log   2 log 2 2  10   81  4  33.- ¿Cuántos años hace que se invirtió al 4'5 % de interés acumulado, 1.000.000 de euros, si actualmente se ha convertido en 1.302.260 euros. 34.- Calcula el tanto por ciento de interés anual al que se han invertido transcurridos 10 años se han convertido en 1.079.462’5 euros.

500.000

euros si

35.- Despejar x en la fórmula A  1  2 · 3 x y después calcular su valor numérico para A  7 .

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Tema 2

36.- Los números 4, 8, 16, 32, 64, ......, 131072 siguen una ley. A partir de estos datos, ¿cuántos términos tendríamos que escribir hasta llegar al último?. 37.- Muchos turistas que van a Rusia traen como recuerdo una matrioska, una muñeca que en su interior contiene otra de igual forma, aunque no de igual tamaño, y así sucesivamente. El 2 volumen de cada muñeca es de la anterior. El volumen que ocupa la muñeca mayor es 3 360 cm3 . ¿Cuántas muñecas hay si la más pequeña tiene 31'6 cm3 ?.

CUESTIONES 1.- ¿Verdadero o falso?. ¿Por qué?. a) log 2  log3  log5 c) log15  log5  log3

b) log 2  log3  log 6 d) log15  log5  log10

2.- ¿Verdadero o falso?. ¿Por qué?. a) log (2 x)  log1  log (2 x  1) b) log x  log10  3  x ·10  3 c) log x  log 7  log y  x y 7 3.- ¿Por qué un número negativo no puede tener logaritmo real?. 4.- ¿Verdadero o falso?. ¿Por qué?. a) log100  log1000 c) log3 81  log9 81

b) log 0'01  log 0'0001 d) log10000  2 · log100

5.- ¿Qué relación existe entre los números A y B si se verifica que log A  log B  0 ?. Razona la respuesta. 6.- ¿Qué relación existe entre los números A y B si se verifica que log B  log A  log5 ?.

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