MINISTERIO DE EDUCACIÓN NACIONAL UNIVERSIDAD DEL VALLE INSTITUTO DE EDUCACIÓN Y PEDAGOGÍA ÁREA DE EDUCACIÓN MATEMÁTICA PROGRAMA DE CAPACITACIÓN Y ACOMPAÑAMINMETO A DOCENTES DE CUNDINAMARCA Y DUITAMA PARA EL DESARROLLO DELOS NIVELES DE COMPETENCIA DE MATEMÁTICAS Y DISEÑO DE SECUENCIAS DIDÁCTICAS A PARTIR DE LAS EXPERIENCIAS SIGNIFICATIVAS DE LOS MAESTROS

LA FUNCIÓN LINEAL EN DIFERENTES CONTEXTOS DIANA FABIOLA CABRA M. Y JAIME ALBERTO GÓMEZ G. Asesora: Ligia Amparo Torres R.

Colegio Seminario Diocesano Duitama Aquí se presenta el diseño e implementación de una secuencia didáctica relacionada con el estudio y análisis de la función lineal a través de la modelación de fenómenos cotidianos, matemáticos y de otras disciplinas. Se reconoce el cambio y la variación de cantidades y magnitudes lineales, sus relaciones y correlaciones y la descripción y representación en diferentes registros de estas variaciones y relaciones. Así mismo, el privilegio de la representación algebraica para la operatividad con variaciones lineales. INTRODUCCIÓN Esta secuencia didáctica la diseñamos en el marco de uno de los proyectos de la institución denominado: Desarrollo de competencias básicas en matemáticas a través de asesorías y jornadas matemáticas del Colegio Seminario

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Diocesano Duitama y cuyo objetivo central es promover en los estudiantes el gusto por el trabajo de las matemáticas y aprovechamiento del tiempo libre para mejorar la calidad del aprendizaje de las matemáticas en todos los grados y fomentar a través del espíritu de investigación la creatividad y responsabilidad en los estudiantes. Este proyecto se viene liderando hace algunos años y tiene tres componentes: Las asesorías a estudiantes, las olimpiadas matemáticas y las jornadas lúdicas recreativas (ver anexo). Este proyecto fue el que presentamos como experiencia significativa en el momento de iniciar la cualificación de docentes de matemáticas con la Universidad del Valle y se hizo necesario determinar, de acuerdo a la experiencia en las asesorías y al trabajo alrededor de las olimpiadas, una problemática que fuera pertinente para ser desarrollada en la secuencia didáctica. Encontramos que los estudiantes consultan mucho sobre funciones lineales y este tema también, es objeto de evaluación en la olimpiadas de matemáticas, tanto a nivel regional como a nivel internacional, además nuestra práctica docente nos habilita para decidir que existen dificultades y obstáculos en el aprendizaje de las funciones y particularmente en las funciones lineales y los sistemas de ecuaciones lineales y por esta razón se decidió trabajar en este campo. Es de anotar que consideramos que cualificarnos realizando una secuencia didáctica y su puesta en juego con los alumnos nos daba luces para orientar a los estudiantes que asesoran a los otros estudiantes y a aquellos que se preparan para las olimpiadas en resolución de problemas, ya que, podíamos determinar 2

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con mayor propiedad tareas y problemas que potencian el desarrollo de pensamiento matemático en la escuela..De esta manera se articulan las secuencias didácticas y el proyecto de transversal de esta institución. Esta secuencia se aplicó a 20 estudiantes de noveno grado de 13 y 14 años, durante una semana, con resultados importantes que se anotan más adelante. 1. JUSTIFICACIÓN De acuerdo a los estudios que hemos realizado sobre las propuestas de los estándares y lineamientos curriculares, nuestra experiencia entorno a los resultados de pruebas externas, olimpiadas en matemáticas y evaluaciones en el salón de clase, consideramos que es importante una mirada al desarrollo del pensamiento variacional y su relación con lo algebraico. Partimos del reconocimiento que fenómenos relacionados con el cambio y la variación están presentes en muchos campos y contextos, como los cotidianos, los mismos matemáticos (geométricos, numéricos, aleatorios etc.) y de otras disciplinas, lo que hace que podamos modelar muchos de estos fenómenos en tareas propias de la escolaridad. Es en este sentido que hemos enfocado nuestro trabajo: Las graficas cartesianas como representación del cambio y de la relación entre magnitudes, utilización del lenguaje natural, especializado utilizando los símbolos y el vocabulario adecuado, la construcción de graficas, la interpretación y elaboración de tablas, la resolución de problemas, todo esto en el marco de contextos significativos a los estudiantes y que justifican la tarea que nos propusimos. Las funciones lineales modelan fenómenos que es importante explicitar en las tareas académicas y de esta manera significar y resignificar estos objetos que son eje 3

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articulador en las matemáticas de la educación secundaria. Desde el punto de vista curricular las funciones son centro de análisis, pues la manipulación conceptual y operatoria de estas crea vínculos con fenómenos de cambio, variación y modelos algebraicos y analíticos que posibilitan la generalización y formalización de familias de situaciones, favoreciendo el desarrollo de competencias en los estudiantes sobre el reconocimiento de los particular en lo general y cómo ir de los casos particulares a los más generales. Es decir, este campo de las funciones y de las funciones lineales, es rico en posibilidades investigativas, de aprendizaje y enseñanza. 2. PROPÓSITO DEL TRABAJO Nos propusimos que la secuencia de actividades diseñada favoreciera la significación y resignificación de las funciones lineales a través de la comprensión de fenómenos de diferente naturaleza, su descripción y modelación en diferentes representaciones, para lo cual definimos: -

-

4

Introducir diferentes contextos donde se relacionan magnitudes en forma proporcional. Favorecer la manipulación de diferentes representaciones de estas variaciones y covariaciones que permitan identificar características globales y particulares de fenómenos de cambio. Propiciar procesos de tratamiento y conversión entre diferentes representaciones de las funciones. Particularmente la utilización de expresiones algebraicas para describir graficas, tablas y problemas funcionales.

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3. CONSIDERACIONES CONCEPTUALES QUE ORIENTAN LA SECUENCIA DIDÁCTICA Las consideraciones aluden a dos aspectos fundamentales que se reflexionaron durante todo el tiempo de cualificación, el primero sobre la complejidad conceptual relacionada con el objeto matemático función puesto en juego en la secuencia y la segunda sobre la articulación de la actividad de clase con lineamientos, estándares y resultados de algunas pruebas externas. - COMPLEJIDAD CONCEPTUAL Siendo la función lineal base fundamental para el estudio de las funciones reales y el desarrollo del pensamiento variacional y numérico se deben tener presentes los conocimientos básicos, relacionados con la red de conceptos y procedimientos que posibilitan su movilización. En este análisis encontramos que la proporcionalidad, magnitudes directa e indirectamente proporcionales, variables dependientes e independientes, relaciones, cambio, variación y variable, así mismo como los procesos de pensamiento relacionados con la representación grafica, simbólica, tabular; interpretación de graficas; reconocimiento de patrones de variación, son elementos sin los cuales no se puede estudiar de manera significativa y funcional las funciones lineales. De otra parte reconocemos que las funciones constituyen una poderosa herramienta para describir fenómenos, son usadas por los biólogos, físicos ingenieros y economistas, para analizar por ejemplo la variación del precio de un producto a través de los años, el crecimiento de la población en un periodo de tiempo y la resistencia de un material a distintas temperaturas, entre otras. Particularmente el contexto de la variación proporcional para modelar las situaciones de variación cobra especial 5

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relevancia por ser la teoría matemática con la que se cuenta al iniciar los estudiantes este tipo de estudio; pero es el contexto del estudio matemático del movimiento donde se alcanza la construcción matemática, por esta razón este tipo de fenómenos son especialmente importantes para la comprensión de las funciones. En muchas ocasiones la información matemática que se obtiene de los objetos y fenómenos naturales, sociales, económicos etc. viene dada en forma de relaciones entre magnitudes que es indispensable, para su manipulación y análisis ser representada en forma numérica, grafica y algebraica. Por tanto, y sobre todo con los estudiantes es indispensable hacer acercamientos a estas representaciones y las conversiones de unas a otras para facilitar la comprensión de modelos funcionales y su uso. - ESTÁNDARES Y ACTIVIDAD MATEMÁTICA DEL AULA Nos interesó articular tanto en el estudio de la complejidad conceptual de las funciones, como en la puesta en juego en el diseño de las actividades, los estándares de calidad. Seleccionamos un estándar de pensamiento variacional, del grupo de grados de octavo a noveno, como referente de nuestro trabajo y establecimos la relación de este con otros estándares del mismo pensamiento y con estándares de otros pensamientos del mismo nivel. Lo anterior tenía como propósito visualizar el papel que juega el estudio que nos proponemos en todo el desarrollo del pensamiento variacional y a su vez reconocer la interacción con otros pensamientos, sin los cuales no se pueden construir el tipo de competencias que están propuestas en estos estándares. 6

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ESTÁNDAR: Reconocer y diferenciar funciones lineales en distintos contextos COHERENCIA VERTICAL El siguiente cuadro describe las relaciones estándares del mismo pensamiento:

con otros

Nivel De 1a3

Estándares de pensamiento Variacional Describe cualitativamente situaciones de cambio y variación utilizando el lenguaje natural, dibujos y graficas.

De 4a5

Representa, analiza, relaciona patrones numéricos con tablas y reglas verbales.

De Analizar las propiedades de variación lineal e inversa 6 a 7 en contextos aritméticos y geométricos.

De 8a9

Analiza e interpreta diferentes significados de la pendiente en situaciones de variación a partir de modelos de funciones polinómicas.

COHERENCIA HORIZONTAL: Se establece la siguiente pensamientos del mismo nivel

coherencia

con

otros

PENSAMIENTO NUMÉRICO La comprensión de múltiples representaciones para el número. A través de las representaciones de los números (números poligonales), pero a un nivel más elemental, el estudio de los patrones permite comprender los sistemas de numeración y reconocimiento de las propiedades aditivas y multiplicativas. 7

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PENSAMIENTO ESPACIAL Y MÉTRICO Reconocer y valorar simetrías en distintos aspectos del arte y diseño. Los patrones también promueven relaciones entre la geometría y el numero, en tanto los numeras se pueden representar mediante arreglos figúrales, como es el caso de los números cuadrados o triangulares y sobre esta representación de carácter geométrico, estudiar las propiedades de los números. 4. METODOLOGÍA Cada actividad de la tarea se ha realizado inicialmente de manera individual, en cuyo espacio el estudiante se confronta con su saber anterior y toma en consideración todos sus recursos para dar cuenta de la tarea, sin embargo, el docente interactúa con los estudiantes a través de preguntas cuestionadoras sobre los procesos o los obstáculos que éste enfrenta. Después, se pasa a un trabajo en grupos pequeños de estudiantes, en el cual confrontan las producciones de cada estudiante y toman decisiones sobre las estrategias, argumentos y procedimientos que llevan a la plenaria, que constituye el tercer momento de negociación de saberes, dónde el papel del maestro es determinante porque los cuestionamientos que realice y las reflexiones que dirija permiten la construcción colectiva y personal de los saberes puestos en juego en la secuencia. 5. LA SECUENCIA DIDÁCTICA PROPÓSITO: Iniciar un acercamiento al estudio de la variación a partir del reconocimiento de aspectos importantes de la relación entre magnitudes, identificar la pendiente como razón de cambio y generalizar una expresión lineal. 8

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ESTRUCTURA CONCEPTUAL Se movilizan aspectos como variación entre cantidades homogéneas; correlación entre magnitudes, campo de variación de las cantidades, características de las magnitudes, variaciones lineales, representación y operatividad de estas. EXPECTATIVAS DE DESEMPEÑO • Mediante la observación y análisis reconocer la variación entre cantidades que intervienen en cada ejemplo. • Reconocer patrones de variación para determinar parejas de valores. • Interpretación y argumentación para identificar la dependencia de valores. • Determinación de límites de variación de las cantidades que intervienen en cada ejemplo. • Reinterpretación de las relaciones de dependencia entre cantidades, y el reconocimiento de variables de un modelo de variación o cantidades fijas en un ejemplo. • Conciencia de la relación de dependencia a través de la identificación de las cantidades constantes y variables que intervienen en el problema y descripción del proceso. • Definición de una expresión que relacione la situación cuando se convierta en una variación lineal. • Identificar la constante de proporcionalidad. • Comparar la constante de proporcionalidad con la pendiente de una recta. • Resolución de problemas que requieren interpretación lineal para su solución. 9

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Situación 1: independientes

Magnitudes

dependientes

magnitudes LOGRO: Identificar independiente, teórica y gráficamente.

dependiente

e

e

PROCESOS IMPLICADOS:

-

Identificar magnitudes Variación en las datos Relaciones de parejas Interpretación grafica

TAREA 1: PEGANDO LADRILLOS El número de ladrillos pegados por un obrero varia de acuerdo al tiempo, en una hora pega 20 ladrillos. 1. Realice la siguiente actividad: -

Escriba las magnitudes intervienen en el problema. ¿Cómo varia cada magnitud?, explica tu respuesta. ¿Cada cuanto aumentan los ladrillos? ¿Cómo afecta el cambio en el número de horas en la otra magnitud? ¿cuál es la relación numérica entre el número de horas trabajado y el número de ladrillos pegados? Si trabaja 8 horas diarias, 6 días a la semana ¿cuántos ladrillos habrá pegado en la semana, en un mes y en un año?

2. De acuerdo a lo anterior, explique la relación entre las magnitudes y la variación en cada una de ellas y entre las dos. Discuta con sus compañeros de grupo las apreciaciones obtenidas. 10

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3. Completa la tabla siguiente: Tiempo ( en horas) Ladrillos pegados -

1 20

3

7

2.5

100

22.3

Describa la manera cómo se aprecia en esta tabla las variaciones entre tiempo y ladrillos. Explique cómo encuentra cada dato que falta. Explicite una forma de encontrar el número de ladrillos pegados para cualquier número de horas.

4. Representa la situación en un gráfico cartesiano. -

¿En la grafica puede unir los puntos, dadas las condiciones de la situación?, explique su respuesta.

-

¿Cómo se relaciona la razón de cambio y la grafica?

TAREA 2: EL PROBLEMA DEL PANADERO Un panadero usa 10 Kg. de harina para preparar 100 panes del mismo tamaño y forma. 1. Construye una tabla que pueda mostrar la forma como varia la cantidad de harina y el número de panes. -

Determina la clase de magnitudes que intervienen en la situación. ¿Cómo se relaciona una magnitud con la otra? ¿de qué depende la cantidad de harina que se use? Explique la respuesta. ¿Cómo se puede calcular la harina necesaria para hacer 150 panes, 25, 2, 3 y 5 panes?

11

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-

Determine una fórmula que permita calcular la cantidad de harina para cualquier número de panes.

2. Representa los datos de la tabla en un grafico cartesiano. -

-

Indique la clase de grafica que obtiene. ¿Qué significado tiene si se unen los puntos? Si se afirma que el número de panes es constante ¿Qué significa esto? ¿Se puede relacionar este hecho con la grafica, Cómo? ¿Cuál es la validez de la afirmación “que ha mayor numero de panes menos harina”? Explique su respuesta a la luz de la gráfica.

3. Si el kilo de harina vale $ 1350, halle el valor de la harina para hacer 250 panes. ¿Cuánto valdría la harina para cualquier número de panes? TAREA 3: CREANDO PROPORCIONALES

MAGNITUDES

1. Complete la siguiente tabla directamente proporcionales: 4 15

8

DIRECTAMENTE

con

magnitudes

14 210

18

2. Plantee una situación que se ajuste a los datos de la tabla. 3. Identifique la variación en los datos y exprésela usando una expresión algebraica. 4. Halle la razón de cambio e interprete ese dato desde la situación que planteo. 12

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5. Ubique los datos en una grafica cartesiana y determine cómo es la grafica y si los puntos se pueden unir. Justifique sus respuestas. 6. Halle la pendiente de la recta, compárela con la razón de cambio ¿Qué puede concluir? Situación 2: Variación y pendiente LOGRO: Interpretar los diferentes significados pendiente en situaciones de variación.

de la

TAREA 1: PINTURA Y SUPERFICIE A PINTAR La pintura que se gasta para cubrir una vivienda es directamente proporcional a la superficie que se desea pintar. Para pintar una pared de 16 metros cuadrados se necesitan 0,8 litros de pintura. 1. Analiza y Contesta las siguientes preguntas: -

Con sólo estos datos, ¿es posible realizar el gráfico de la cantidad de pintura en función de la superficie de las paredes?, explique su respuesta.

-

Identifique las variables, luego complete la tabla.

Superficie en Metros cuadrados Litros -

4

8

12

16 0,8

Verifiqué la gráfica según los valores obtenidos en la tabla, ¿corresponde a una función lineal?, por qué se pueden unir los puntos?, explique su respuesta. 13

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-

¿De qué depende la cantidad de pintura que se gaste?, explique tu respuesta.

-

Observe la tabla, se presentan cambios en la cantidad de pintura?, por qué ?, explique tu respuesta.

-

Según la tabla cuál es la diferencia de la cantidad de pintura entre el 2º dato con el 1º, el 4º con el 3º, se observan cambios? ¿los cambios son constantes?, que puedes concluir?; explica tu respuesta.

-

calcula la pendiente de la recta y compara este valor con la constante de proporcionalidad, ¿qué puedes concluir?

-

Escriba una expresión que relaciona la cantidad de pintura con la superficie por pintar.

-

¿Dé qué manera se puede calcular la cantidad de pintura para cualquier superficie?

TAREA 2: EDAD Y ESTATURA En la siguiente tabla se relaciona la edad de una persona con su estatura: Edad ( años ) 1 2 3 4 5 6 Estatura (centímetros) 74 85 94 101 108 114 Analiza y contesta las siguientes preguntas: - Identifica ¿Cómo varían las magnitudes? ¿Se puede afirmar que son directamente proporcionales? Explique su respuesta. 14

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-

¿Cómo son las diferencias entre las estaturas? ¿Qué significado tiene que estas diferencias sean constantes con relación a que las magnitudes son directamente proporcionales? Discute esta reflexión con tus compañeros de grupo y maestro.

-

Represente los datos de la tabla en un gráfico cartesiano. ¿De qué depende qué se puedan unir los puntos resultantes?

-

Une los puntos y escribe un significado en el contexto de las edades y estaturas para este hecho.

-

¿Qué información nos da en este contexto la inclinación de la recta?¿Cómo se puede calcular esta inclinación? ¿Cómo se relaciona este procedimiento con los datos de la tabla?

-

Escriba una expresión algebraica que permita calcular la edad de una persona con su estatura. Relacione esta expresión con los datos de la tabla y el gráfico cartesiano. Escriba una conclusión al respecto.

TAREA 3: MASA Y PESO En la tierra, la relación entre el peso y la masa esta bien definida: el peso de un cuerpo equivale a 10 veces su masa. De acuerdo a esta información complete la tabla:

Masa (kg) 10 15 20 22 35 Peso (N) 200 500 -

Determine la variación entre la masa y la variación entre los pesos ¿Cómo son? 15

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-

Halle la razón de cambio entre la masa y el peso para tres caso y determine la proporcionalidad entre estas magnitudes. ¿Qué se puede afirmar al respecto?

-

¿Cómo varia el peso a medida que aumenta la masa?, explique su respuesta.

-

Realice la grafica cartesiana y establezca la relación entre la inclinación de la recta y la razón de cambio de los datos de la tabla. Concluya al respecto.

-

Una los puntos de dados y explique el significado de este hecho relacionado con el contexto de masa y peso.

-

Determine la constante de proporcionalidad para este caso y compárela con la pendiente de la recta. Explique este hecho y relaciónelo con el caso de las edades.

-

Escriba una expresión algebraica que relacione el peso de un cuerpo con el de su masa. Aplíquela para calcular el peso de masas de 145 Kg., de 222 kg?, Justifique sus respuestas.

Situación 3: fenómenos cotidianos y función lineal LOGRO: Interpretar y analizar situaciones cotidianas en las que se pueda generalizar aplicando la función lineal. TAREA 1 En grupos de tres estudiantes realicen la siguiente actividad. 16

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1. teniendo en cuenta la tabla adjunta de valores, planteen una situación que se ajuste a los datos. 1 1,5 2 2,5 3 3,5 30 60 90 120 150 180 2. Determinen su representación gráfica cartesiana y el comportamiento de la variación de de una magnitud en relación a la otra en ese grafico. Establezcan la relación entre datos de la tabla y puntos cartesianos. 3. Enuncien verbalmente el comportamiento proporcional de las magnitudes y determinen una expresión que perita calcular cualquier punto. TAREA 2 Para reparar las instalaciones eléctricas de una casa, el servicio técnico cobra $25.000 como básico y $10.000 más por hora adicional. 1. Identifica si la relación entre las magnitudes es directa o inversamente proporcional. Especifica un método para realizar tal análisis. 2. Realice una tabla donde se registre los datos para 5 salarios posibles del técnico eléctrico. Determine las magnitudes constantes y las variables. 3. Especifique de que depende el salario que devenga el técnico y establezca una expresión que permita calcular el salario para cualquier número de horas adicionales. 4. Determine el número de horas adicionales que debe trabajar un técnico para devengar un salario de 17

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$120.000. Explique el proceso que realizó para obtener la respuesta. 5. Determine el costo de mano de obra de una persona que trabaja 8 horas diarias, 6 días a la semana durante 2 meses. 6. Realice un gráfico cartesiano de la situación sin utilizar los valores de la tabla. Haga un trazo de cómo es el comportamiento de los datos sin especificarlos. TAREA 3 1. Según la gráfica plantee una situación que crea conveniente se ajuste a los datos indicados. En el eje horizontal los valores marcados van de diez en diez y en el eje vertical de 5 en 5.

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1. Identifique el comportamiento de los valores en el eje X y los valores en el eje Y. 2. Determine si los puntos son colineales y exprese que significado tiene este hecho en la situación que ha planteado. 3. ¿Qué significado tiene el punto de corte en el eje Y para la situación que ha planteado. 4. ¿Se puede afirmar que la relación que representada gráficamente es lineal? ¿por qué?

esta

5. Realice la misma tarea para el gráfico siguiente

P($)

P(g)

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Situación 3: La función lineal como transformación LOGRO: acercar al estudiante a significados diversos de la función lineal, de acuerdo al contexto en la cual emerge. TAREA 1: LA MÁQUINA QUE ARROJA VALORES Tenga en cuenta que la máquina siguiente transforma todo elemento que entra en ella según la formula que aparece en la parte interior.

3x − 1 Entrada

Salida

1. Indique los números que salen, cundo entran los 3 1 siguientes: − 3, , 0,7 , 5, 4 2 2. Compare los números que salen de la maquina con los que han entrado y especifique su transformación. 3. ¿De que depende el valor que sale de la máquina? Y ¿Cuál es el papel que juegan los números 3 y -1 en la

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transformación de los números que entran a la máquina? 4. Organice los datos de entrada y salida en una tabla y haga el análisis anterior para esta representación. 5. Si el número no fuese -1 sino 2, -3, 4 ¿Cómo queda la expresión que transforma los números que entran y ¿Cómo es el cambio en cada caso? Indíquelo sin realizar las operaciones. 6. Escriba en forma verbal la transformación que sufren los números que entran a la máquina. TAREA 2: DESCUBRE LOS CAMBIOS QUE PRODUCE LA MÁQUINA INTERNAMENTE

1. Ahora, tenga presente los números que entran y salen en la máquina y especifique los cambios que sufren en su interior.

Entrada

2

5

10

21

7

15

2. Exprese en una formula la regla que trasforma las cantidades que entran en la máquina. Verifíquela para: -2, -5 y 150. 21

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3. Explique cómo encontró esta regla general. Exprésela verbalmente. 4. Identifique las cantidades constantes y variables de su regla general y juzgue el papel que juegan en la transformación. 5. Cómo obtiene los números de la entrada partir de los números de la salida. Ejemplifique su razón. 6. Construya una máquina donde tenga la formula que trasforma y los valores de la salida y encuentre los valores de entrada. ¿Qué puede deducir al respecto? TAREA 3 1. Un vehiculo que viaja a 60 Km./h sale una hora más tarde de otro que viaja a 48 Km./h, ambos con destino a la misma ciudad y por la misma carretera. El vehiculo mas rápido alcanza en algún momento al más lento. Determina la distancia y la hora en la que se encuentran. Usa el concepto de máquina transformadora para realizar este problema. ALGUNOS RESULTADOS 1. El trabajo con la secuencia didáctica acompañado con el proceso metodológico propuesto permitió que los estudiantes: -

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Identificaran magnitudes dependientes e independientes con base problemas verbales en contextos de diferente naturaleza.

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-

Organizaron datos en una tabla, hallaron la razón de cambio y pudieron verificar la relación de esta con el valor de la pendiente de la recta.

-

Identificaron la colinealidad de representan situaciones lineales.

-

Establecieron conciencia entre los valores discretos de situaciones y su posibilidad de que se pudieran establecer en representaciones continuas en contextos diferentes a los dados. Es decir, se pudo establecer generalizaciones de procesos asociados a la representación cartesiana. Idearon situaciones a partir de datos y gráficos cartesianos. Hecho importante que dota de sentido a estos registros y su vez dejan ver el nivel de comprensión de los modelos lineales.

-

los

puntos

que

-

Resignificaron las relaciones lineales como transformaciones al comprender los cambios en las máquinas usadas en algunas tareas. Identificaron que cambios sufren los números reales al entrar a la maquina, comparándolos con los que salen.

-

Lograron generalizar la ecuación de la recta expresión algebraica.

-

Se enriqueció el trabajo en grupo en tanto los niveles de respeto y apoyo al otro han sido muy significativos en la construcción de saberes. Los niveles de discusión y argumentación se elevaron ostensiblemente.

-

A la mayoría de estudiantes esta secuencia les permitió realizar un trabajo más profundo y detallado

como

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para conocer, identificar y construir la expresión algebraica de una función lineal. 2. Con relación a los maestros que participamos en este diseño e implementación de la secuencia, la experiencia nos permitió: -

Apropiarnos de una metodología para el diseño de secuencias didácticas.

-

Cualificar nuestra experiencia docente.

-

Compartir con los otros docentes de las instituciones al socializar las experiencias y discutir sobre las mismas.

-

Reconocer la complejidad del estudio de funciones y la necesidad de formar equipos de trabajo para continuar trasformando la actividad matemática del aula.

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REFERENCIAS Ministerio de Educación Nacional. (2005). Taller: Estándares Básicos para Matemáticas. División de perfeccionamiento y calidad de la Educación. Ministerio de Educación Nacional. (2003). Estándares Básicos de calidad - Matemáticas. Ministerio de Educación Nacional. (1998). Lineamientos curriculares - Matemáticas. Torres, L. (2006) Compilación sobre Formación para la articulación entre Estándares básicos de calidad, lineamientos curriculares y resultados de pruebas Saber en matemáticas. IEP. Univalle. Algebra y geometría 11. (2003) editorial Santillana pp. 84 88. Matemáticas 8 (2002). Editorial Voluntad. Pp. 229 -240. Azcarate, C. y Deulofeu, J. (1988) Funciones y gráficas. Editorial Síntesis. Madrid.

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