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COLEGIO INTERNACIONAL SEK Prof. Álvaro Elizondo Montoya. TEMA: FACTORIZACIÓN. Nombre: ___________________Fecha:_______Grupo:
9−
FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS DESCOMPOSICIÓN DE UN POLINOMIO EN FACTORES Para resolver muchos problemas algebraicos en muchas ocasiones es necesario expresar un polinomio como el producto de dos o más polinomios. No obstante, no todo polinomio permite realizar la descomposición en factores sobre el campo de los números reales, por ejemplo los polinomios
x2 + 1 ; x2 + x + 1
el nombre de
no pueden ser descompuestos en factores; tales polinomios reciben
irreducibles o no reducibles. Se considera que la descomposición de polinomios
está terminada si los polinomios obtenidos son irreducibles. Durante la descomposición de polinomios en factores se hace uso de diversos procedimientos tales como:
1. Factor común monomio.
4. Diferencia de cuadrados.
2. Factor común polinomio.
5. Trinomio cuadrado perfecto.
3. Agrupación o agrupamiento.
6. Inspección o tanteo.
Analizaremos detenidamente cada uno de estos métodos:
Método Factor Común Monomio:
El método del factor común monomio, consiste en
extraer de cada uno de los coe cientes del polinomio a factorar el máximo común divisor, y de los factores literales de los términos del polinomio aquellas variables que se encuentren en cada uno de los términos, para esto se consideran las variables de menor exponente.
Método Factor Común Polinomio:
El método del factor común polinomio, consiste en
extraer de cada uno de los coe cientes del polinomio a factorar el máximo común divisor, y de los factores literales de los términos del polinomio aquellas expresiones algebraicas (binomios, trinomios, etc...) que se encuentren en cada uno de los términos, para esto se consideran las expresiones de menor exponente.
1
En este método resulta conveniente recordar que:
1.
a+b=b+a
4.
(a − b)n = −(b − a)n
si
nes
impar
2.
a − b = −(b − a)
5.
(−a − b)n = (a + b)n
si
nes
par
3.
(a − b)n = (b − a)n
6.
(−a − b)n = −(a + b)n
si
nes
par
si
nes
impar
EJEMPLOS: Factorice completamente los siguientes polinomios: 1.
12a3 b4 − 20a2 b3 − 16a5 b4 a)
Primero determinemos el máximo común divisor de los coe cientes:
De lo anterior
12
20
16
2
6
10
8
2
3
5
4
m.c.d.(12, 20, 16) = 2 · 2 = 4.
12, 20
y
16.
Este será el coe ciente de nuestro factor
común.
b)
Veamos ahora cuáles son las variables que se hallan repetidas en cada uno de los términos del polinomio, es fácil ver que la variable a se halla en cada uno de los términos y la variable b también se halla en cada uno de los términos, de éstas variables se seleccionan las de menor exponente, es decir: Así el factor común (F.C.) corresponde a:
c)
a2
y
b3 .
4a2 b3 .
Una vez listo esto, se procede a obtener la factorización por medio de divisiones de monomios, además se ordena el polinomio en forma descendente y se deja de tal forma que el coe ciente principal no sea negativo, así:
12a3 b4 − 20a2 b3 − 16a5 b4 = 4a2 b3 ·
20a2 b3 16a5 b4 12a3 b4 − − 4a2 b3 4a2 b3 4a2 b3
Divisiones indicadas. Cocientes obtenidos
= 4a2 b3 · (3ab − 5 − 4a3 b) = 4a2 b3 · (−4a3 b + 3ab − 5)
Ordeno descendentemente
= −4a2 b3 · (4a3 b − 3ab + 5)
Cambio de signos
R/ La factorización completa corresponde a:
2
−4a2 b3 · (4a3 b − 3ab + 5)
2.
8a2n − 32a3n+1 + 12an+2 b2 a)
con
n>2
Primero determinemos el máximo común divisor de los coe cientes:
De lo anterior
8
32
12 2
4
16
6
2
8
3
m.c.d.(8, 32, 12) = 2 · 2 = 4.
8, 32
y
12.
2
Este será el coe ciente de nuestro factor
común.
b)
Veamos ahora cuáles son las variables que se hallan repetidas en cada uno de los términos del polinomio, es fácil ver que la variable a se halla en cada uno de los términos, se selecciona la a de menor exponente, es decir: Así el factor común (F.C.) corresponde a:
c)
an+2
4an+2 .
Una vez listo esto, se procede a obtener la factorización por medio de divisiones de monomios, además se ordena el polinomio en forma descendente y se deja de tal forma que el coe ciente principal no sea negativo, así:
2n
8a
3n+1
− 32a
+ 12a
n+2 2
b = 4a
n+2
·
32a3n+1 12an+2 b2 8a2n − + 4an+2 4an+2 4an+2
= 4an+2 · (2an−2 − 8a2n−1 + 3b2 )
Divisiones indicadas. Cocientes obtenidos
= 4an+2 · (−8a2n−1 + 2an−2 + 3b2 )
Ordeno descendentemente
= −4an+2 · (8a2n−1 − 2an−2 − 3b2 )
Cambio de signos
R/ La factorización completa corresponde a:
3.
−4an+2 · (8a2n−1 − 2an−2 − 3b2 )
21x3 y 4 28x2 y 3 14x4 y 2 − + 5 15 45 a)
Primero determinemos el mínimo común múltiplo de los denominadores, esto con el objetivo de realizar la suma de las fracciones algebraicas:
De lo anterior
5
15
45 3
5
5
15 3
5
5
5
1
1
1
m.c.m.(5, 15, 45) = 3 · 3 · 5 = 45.
común.
3
5
Este valor se toma como denominador
b)
Realicemos la suma:
189x3 y 4 − 84x2 y 3 + 14x4 y 2 45 c)
Determinemos el máximo común divisor de los coe cientes del polinomio numerador, es decir de los coe cientes:
De lo anterior
d)
189, 84
y
14.
189
84
14 7
27
12
2
m.c.d.(189, 84, 14) = 7. Este será el coe ciente de nuestro factor común.
Veamos ahora cuáles son las variables que se hallan repetidas en cada uno de los términos del polinomio numerador, es fácil ver que la variable x se halla en cada uno de los términos, al igual que la variable y, se selecciona la x de menor exponente, 2 y la variable y de menor exponente que es y . 7x2 y 2 . Así el factor común (F.C.) corresponde a:
es decir:
x2 ,
45
e)
Una vez listo esto, se procede a obtener la factorización por medio de divisiones de monomios, además se ordena el polinomio en forma descendente y se deja de tal forma que el coe ciente principal no sea negativo, así:
7x2 y 2 189x3 y 4 84x2 y 3 14x4 y 2 189x3 y 4 − 84x2 y 3 + 14x4 y 2 = · − + Divisiones indicadas. 45 45 7x2 y 2 7x2 y 2 7x2 y 2 7x2 y 2 = · (27xy 2 − 12y + 2x2 ) Cocientes obtenidos 45 7x2 y 2 · (2x2 + 27xy 2 − 12y) Ordeno descendentemente = 45 R/ La factorización completa corresponde a:
4.
7x2 y 2 · (2x2 + 27xy 2 − 12y) 45
−2y(x − 2y)2 + 2y − x −2y(x − 2y)2 + 2y − x = −2y(x − 2y)2 − (x − 2y) = −2yw2 − w
Reacomodo. Sea
w = x − 2y
= w(−2yw − 1)
Factor común
= −w(2yw + 1)
Extraigo el signo
= −(x − 2y)(2y(x − 2y) + 1)
Cambio
= −(x − 2y)(2xy − 4y 2 + 1)
Propiedad distributiva
R/ La factorización completa corresponde a:
4
−(x − 2y)(2xy − 4y 2 + 1)
w
por
x − 2y
EJERCICIOS (A): Instrucciones: Realice la factorizacion completa de los siguientes polinomios aplicando el método del factor común monomio o polinomio
1.
x2 − 2x
23.
3x4 y 5 − 12xy 3 + 6x5 y 8
2.
rs + 4st
24.
6x2 y + 3xy − 9xy 2
3.
x2 y 2 − xy 3
25.
2x3 − 4x2 + 4x
26.
10x5 − 10x3 − 4x6 +
5.
3
32z − 16z + 4z
27.
−18x5 +
6.
3x4 y 5 − 12xy 3 + 6x5 y 8
28.
7.
5p2 q − 10pq 2 + 5p2 q 2
29.
7m2 n3 + 14m3 n2 − 21m3 n4
30.
4a5 b 16a5 b3 − − 2a4 b4 3 6
31.
a2 − a4 + a6 − a8
32.
40x4 y 5 − (8x5 y 6 + 6x2 y 5 ) 3
33.
9a4 b2 + 27a3 b4 − 15a2 b3 − 45ab5
4.
8. 9. 10. 11.
4m2 − 2mn 4
4a6 b2 c4 + 8a5 b3 c4 + 12a6 b4 c3 2 3
3 2
3 4
7m n + 14m n − 21m n a4 bx2 + 2a3 b3 x3 − a2 b4 x3
−6x8 y 12 + 48x5 y 2 − 12x3 y 4 + 108x9 y 12 34.
12.
9a4 − 6a2 x + 3a3 x2 35. 2
5
4
4 3
13.
14ab c + 7a bc − 49ab c
14.
18x3 y 3 15x − − 6x2 5
36.
4
4 4
3x4 y − 3x2 2 3 3 4 5x2 y 2x y 5x y − + 3 4 3
10a5 b3 − (20a6 b6 + 25a3 b2 ) 3 9x3 y 4 + 21x7 y 3 18x4 y − 2 5 3 25a b 25a3 b2 −10a6 b3 + + 6 3
37.
7a7 b4 + 4a2 b2 − 20a6 b5 − 4ab4
38.
72a5 b5 + 12a4 b9 − 6a6 b8 5
2 6
20x y + 14x y 3
2x7 5
15.
6x3 y 3 −
16.
2x2 + 4xy + 6xz
39.
3xn+1 − 12xn + 15xn+2
17.
x3 − 3x2 − x
40.
bn+1 xn−1 − bn xn+1
18.
24x2 − 16x4 + 40x3
41.
22n+1 − 10 · 2n + 2 · 6n
19.
a2 b − 2a3 bx − 3a4 b2 x2
42.
6n+1 − 15n−1
5 3
3 3
8a b + 32a b 5
43.
20.
−8a4 b3 +
21.
32z 4 − 16z 3 + 4z
44.
22.
36by 5 − 56b2 y 3 z
45.
5
5a3 b3 m 5a3 b5 25a3 b3 n − − 3 4 12 4 3 3 4 10a b c 45a b 55a7 b6 d − + 9 21 12 5 12 15 4 9x y 3x y 21x6 y 7 − − 9 16 14
46.
9x3 y 7 z 2 27x2 y 5 z 21x3 y 8 z 5 − + 20 16 12
47.
(1 − a)2 − a − 1
48.
(a + b)x + (a + b)y + (a + b)z
49.
(x + y)a + (x + y)b + (x + y)c
53.
x(a − b) − y(b − a) + z(b − a)2
54.
a4 b8 (x−9)3 −12a2 b3 (9−x)8 −16a5 b6 (9−x)5
55.
xyz 5 (x−7)2 −3xy 2 z(x2 −49)+15x3 y 4 z 8 (x2 −14x+49)
56.
−4x2 (2x − y)3 + 12x3 (y − 2x)4 + 20x6 y 2 (2x − y)2
57.
48y 3 z(2 − x)5 6x3 y 5 (2 − x)8 −12y 4 (x − 2)3 − + 11 33 121 9x5 y 2 (y − x)5 21xy 9 (x2 − 2xy + y 2 ) 3x10 y 2 (x − y)3 − − 4 40 20 16x3 (y − x)3 48x5 y 3 (x − y)6 −12x5 (x − y)4 − + 25 15 35
50.
(a + b)x + (a + b)y
51.
2
(m − 2n) − m + 2mn
58.
52.
2p(a − b) − ax + bx
59.
2
Método Factorización por agrupación o agrupamiento: Este método es aplicable usualmente a un polinomio con un número par de términos, tales como 4,6 ú 8, cuando sean 4 términos la agrupación solo es posible realizarla haciendo grupos de dos y dos
(2 − 2)
o bien de tres y uno
(3 − 1),
si el agrupamiento se realiza del tipo
se realiza el método de factor común tres veces, si es del tipo
(3 − 1)
(2 − 2),
entonces
se requiere la aplicación de
los métodos trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados que veremos posteriormente.
EJEMPLOS: Factorice completamente los siguientes polinomios: 1.
4x5 y + 2x4 y 3 − 4x3 y − 2x2 y 3 a)
Lo primero que debemos hacer es aplicar el método del factor común estudiado anteriormente. Aplicando factor común monomio obtenemos que
4x5 y + 2x4 y 3 − 4x3 y − 2x2 y 3 = 2x2 y(2x3 + x2 y 2 − 2x − y 2 ) b)
Una vez hecho esto, observamos que en el segundo factor nos ha quedado un polinomio de 4 términos, por lo cuál procederemos con el método del agrupamiento, agruparemos los dos primeros términos del polinomio y los dos segundos términos, formando así dos grupos:
2x2 y(2x3 + x2 y 2 + −2x − y 2 ) | {z } | {z } primer grupo
segundo grupo
Con un poco de experiencia, nos percatamos que esta agrupación funciona, o bien podríamos seleccionar una diferente, así: 3 2 2 2x2 y(2x y − y2 ) {z−2x} + x | + | {z } primer grupo
6
segundo grupo
Tanto del primer grupo como del segundo aplicamos el método del factor común, así:
Factor común.
4x5 y + 2x4 y 3 − 4x3 y − 2x2 y 3 = 2x2 y(2x3 − 2x + x2 y 2 − y 2 ) = 2x2 y(2x(x2 − 1) + y 2 (x2 − 1))
Factor común en los grupos Sea w = x2 − 1
= 2x2 y(2xw + y 2 w)
Factor común.
= 2x2 y · w · (2x + y 2 )
Cambio w por x2 − 1
= 2x2 y · (x2 − 1) · (2x + y 2 )
= 2x2 y · (x − 1) · (x + 1) · (2x + y 2 ) Uso: x2 − 1 = (x − 1)(x + 1) R/ La factorización completa corresponde a
2x2 y · (x − 1) · (x + 1) · (2x + y 2 ).
Nota: Hago uso de que x2 − 1 = (x − 1)(x + 1), aprovechando el conocimiento de la
III
2.
fórmula notable vista el anõ anterior.
A = 8x6 y − 24x5 y 2 + 12x3 y − 36x2 y 2 − 10x2 y + 30xy 2 a)
En este caso el polinomio tiene 6 términos, luego resulta factible hacer una agrupación:(2−
2 − 2)
ó
(3 − 3).
Pero antes, como siempre debe aplicarse el método del factor común,
así tenemos que:
A = 2xy(4x5 − 12x4 y + 6x2 − 18xy − 5x + 15y)
Factor común.
= 2xy(4x5 − 12x4 y + 6x2 − 18xy + −5x + 15y ) | {z } | {z } | {z } primer grupo
Agrupo convenientemente.
tercer grupo
segundo grupo
= 2xy(4x4 (x − 3y) + 6x(x − 3y) + 5(−x + 3y))
Factor común en cada grupo.
= 2xy(4x4 (x − 3y) + 6x(x − 3y) − 5(x − 3y)) = 2xy(4x4 w + 6xw − 5w)
Cambio signos. Sea
= 2xyw(4x4 + 6x − 5)
w = x − 3y .
Factor común.
= 2xy · (x − 3y) · (4x4 + 6x − 5)
Cambio
R/ La factorización completa corresponde a
w
por
x − 3y .
2xy · (x − 3y) · (4x4 + 6x − 5).
Nota: En caso de que el polinomio tenga denominadores diferentes de 1, primero se procede con la suma o resta de las fracciones algabraicas y posteriormente el método del factor común, una vez hecho esto si en el numerador se tiene un polinomio de 4, 6 ú 8 términos se intenta el método del agrupamiento.
7
EJERCICIOS (B): Instrucciones: Factorice aplicando el método de agrupación o agrupamiento 1.
7x − 7y + ax − ay
25.
(x − y)2 − 3x + 3y
2.
5a2 − 15ab − 6ac + 18bc
26.
x2 y + y − xy 2 − x
3.
y 2 − cy + dy − cd
27.
mpx − 3mxk − py + 3ky
4.
ax + 2bx − 3ay − 6by
28.
3mx2 − 3mwx − 2xy + 2wy
5.
mn − 3my + 2nx − 6xy
29.
a2 −
6.
3ab + 3ax − 2b − 2x
30.
4ac + 2bc − 2ad − bd
7.
ac + 2bc − ad − 2bd
31.
18ck + 4dk + 9cj + 2dj
8.
3a2 − 7b2 − 9a3 + 21ab2
32.
a3 − a2 b + ab2 − b3
9.
2ax − 3by − 6ay + bx
33.
12x2 z + 8y 2 z − 15x2 w − 10y 2 w
10.
3x3 + 2x2 − 12x − 8
34.
x3 − 3x2 + x − 3
11.
2xy − yz + 6x2 − 3xz
35.
1 + 20x4 − 4x3 − 5x
12.
x3 + 2x2 + 4x + 8
36.
2x2 − 5xy + 4ax − 10ay
13.
a3 − a2 b + ab2 − b3
37.
1 + a − a3 mn − a2 mn
14.
2a2 b − 3ab2 + 4am − 6bm
38.
x3 + 3x2 + 4x + 12
15.
16amx − y + 2x − 8amy
39.
a2 x − a2 y − b 2 y + b 2 x
16.
am ac − 5bm − + 5bc 3 3
40.
3a2 − 7b2 − 9a3 + 21ab2
17.
x2 y 2 + ay 2 + ab + bx2
41.
x2n + xn+3 − xn+1 − x4 ; (n ≥ 3)
18.
12ax − 9ay + 15by − 20bx
42.
a2 − ab + ac − a + b − c
19.
10xy 2 + 8my − 4mx − 5x2 y
43.
ax − bx + cx + ay 2 − by 2 + cy 2
20.
a − ab + b2 − 1
44.
ax + bx + ay + by + az + bz
45.
3x − 2ab + nx − 2bx + an + 3a
46.
2ax + 2bx − ay + 5a − by + 5b
47.
3am + 2bm − m2 − 6an − 4bn + 2mn
48.
a2 + bm − ab − ap − am + mp
Ayuda:
b2 − 1 = (b + 1)(b − 1)
21.
ax + ay + a − x − y − 1
22.
abx2 + ab2 c − x2 cy − bc2 y
23. 24.
3ap 2ak − + pk 2 3
2
ab − 3bm − 2am + 6m 4
3
2
2x + 3x − 6x − 9x 8
Método Factorización por diferencia de cuadrados: Este método lo aplicamos cuando se tengan dos expresiones algebraicas que sean cuadrados perfectos y que se hallen separadas por un signo -. Para su aplicación se recurre a la fórmula de producto abreviado conocida como
III
fórmula
notable.
A2 − B 2 = (A + B) · (A − B) EJEMPLOS: Factorice completamente los siguientes polinomios: 1.
−9xy 4 + 144x3 a)
b)
Apliquemos primero el método del factor común:
−9xy 4 + 144x3 = 9x(−y 4 + 16x2 )
Factor común
= −9x(y 4 − 16x2 )
Ordeno los términos
Una vez aplicado el método del factor común, nos ha quedado un binomio en el cuál se observa que ambas expresiones son cuadrados perfectos y se hallan separadas por un signo −, calculamos la raíz cuadrada de los términos separados por el signo menos y estos resultados se escriben en factores separados en una oportunidad por un signo −` y el otro por un signo +.
−9x(y 4 √ ↓ y2
−
16x2 ) = −9x(y 2 + 4x)(y 2 − 4x) √ ↓ 4x
R/ La factorización completa corresponde a:
−9x(y 2 + 4x)(y 2 − 4x).
Nota: No aplicamos de nuevo el método de diferencia de cuadrados en el factor y 2 − 4x pues a pesar de ser dos expresiones separadas por un signo menos, la expresión un cuadrado perfecto (no tiene raíz cuadrada exacta).
9
4x
no es
2.
4x2 (1 − 4x2 )2 − 9(4x2 − 1)2 a)
Empecemos aplicando la igualdad
(a − b)n = (b − a)n
si
n
es par, así:
Reordeno
4x2 (1 − 4x2 )2 − 9(4x2 − 1)2 = 4x2 (4x2 − 1)2 − 9(4x2 − 1)2
Sea w = 4x2 − 1
= 4x2 w2 − 9w2
Factor común
= w2 · (4x2 − 9)
Cambio w por 4x2 − 1
= (4x2 − 1)2 · (4x2 − 9) = ((2x + 1)(2x − 1))2 · (2x + 3)(2x − 3)
Simpli co
= (2x + 1)2 (2x − 1)2 (2x + 3)(2x − 3) R/ La factorización completa corresponde a:
Diferencia de cuadrados
(2x + 3)(2x − 3)(2x + 1)2 (2x − 1)2 .
b) A = (x4 − 3x2 + 3)2 − (2x4 − 7x2 + 3)2 Diferencia de cuadrados
A = (x4 − 3x2 + 3 + 2x4 − 7x2 + 3)(x4 − 3x2 + 3 − 2x4 + 7x2 − 3)) = (3x4 − 10x2 + 6)(−x4 + 4x2 )
Reduzco términos semejantes
= −(3x4 − 10x2 + 6)(x4 − 4x2 )
Simpli co Factor común en el segundo factor
= −(3x4 − 10x2 + 6) · x2 (x2 − 4)
Reordeno
= −x2 (3x4 − 10x2 + 6)(x2 − 4)
Diferencia de cuadrados.
= −x2 (3x4 − 10x2 + 6)(x + 2)(x − 2)
R/ La factorización completa corresponde a:
−x2 (x + 2)(x − 2)(3x4 − 10x2 + 6).
EJERCICIOS (C): Instrucciones: Factorice aplicando el método de diferencia de cuadrados o III fórmula notable 1.
4a2 − 9c2
8.
75p2 − 48m4
2.
81m4 − 16n2
9.
25r4 s2 − 49r2 p4 3a2 b − 3bc4 25 a4 − 16m2 4 n2 √ 2 − m 2 4
3.
1 − 361x y
10.
4.
121m6 − 900n12
11.
5.
3a5 − 12a3 b4
12.
6.
64m8 − 16n4 p6
13.
x2 − 0, 25
7.
2z 4 − 32z 2
14.
a2 − 0, 0001b2
4 6
10
15.
25a2 − 0, 4
31.
(x + y)2 − (a − b)2
16.
0, 25x4 y 8 − 0, 36x2 y 6
32.
(x + 2)2 − (2x − 3)2
17.
x 4 − b4
33.
(a − 2b)2 − (2a + b)2
18.
a8 − 256
34.
(2a + 1)2 − (a + 2)2
19.
x12 − 81
35.
(a + b)2 − (a − b)2
20.
t4 − 16
36.
(2a − 3b)2 − (2a + 3b)2
21.
1 − x8
37.
(2x − 1)2 4x2 − (1 − 2x)2
22.
(2x − y)2 − z 2
38.
(x − 2)2 − (a + x − 3)2
23.
(2x2 + y 2 )2 − 16x4
39.
(x − y + z)2 − (x + y − z)2
24.
(2x + y)2 − 4x2
40.
(a2 − a + 1)2 − (a2 + a + 1)2
25.
(x + y)4 − 1
41.
(2a + 2b − c)2 − (a − b + 3c)2
26.
9(x − y)4 −1 25
42.
(x2 − 2x + 1)2 − (x2 + 2x − 3)2
27.
x2 y 2 − (a − z)2
43.
(x + y − z)2 − (−x − y + z)2
28.
16a2 b2 − 25(c − ab)2
44.
(3m + 1)2 − (3m − 1)2
29.
1 − (1 − x)2
45.
(2m − 3n )2 − (3m+n − 1)2
30.
x2 − (y + z)2
46.
4 − 3a2
Método Factorización por trinomio cuadrado perfecto: Este método lo aplicamos cuando se tengan tres expresiones algebraicas claramente distinguibles, para aplicar este método, debemos ordenar la expresión a factorar de forma descendente, se calculan las raíces cuadradas de las expresiones de los extremos y se veri ca que el doble producto de estas raíces coincida con el término central. Para su aplicación se recurre a las fórmulas de producto abreviado conocidas como fórmula notable.
A2 ± 2AB + B 2 = (A ± B)2
11
I
ó
II
EJEMPLOS: Factorice completamente los siguientes polinomios: 1.
8a7 b2 + 18a3 b8 − 24a5 b5 a)
Primero aplicamos el método del factor común monomio, así obtenemos que:
8a7 b2 + 18a3 b8 − 24a5 b5 = 2a3 b2 (4a4 + 9b6 − 12a2 b3 ) b)
Notamos que el segundo factor corresponde a un trinomio, este factor lo ordenamos en forma descendente respecto a la variable a, por ello escribimos:
8a7 b2 + 18a3 b8 − 24a5 b5 = 2a3 b2 (4a4 − 12a2 b3 + 9b6 ) c)
A partir de este momento estamos listos para aplicar el método del trinomio cuadrado perfecto.
2a3 b2
(4a4 √ ↓
−12a2 b3
2a2 ←
×
+9b6 √ ↓
2↑
→
R/ La factorización completa corresponde a:
) = 2a3 b2
2a2 − 3b3
2
3b3 2a3 b2 (2a2 − 3b3 )2 .
Nota: Si en el binomio último que hemos obtenido, tuviese las condiciones para aplicar el método de la diferencia de cuadrados, entonces deberíamos continuar factorizando.
2.
32x7 y 2 − 144x5 y 6 + 162x3 y 10 32x7 y 2 − 144x5 y 6 + 162x3 y 10 = 2x3 y 2 (16x4 − 72x2 y 4 + 81y 8 ) = 2x3 y 2 (4x2 − 9y 4 )2 = 2x3 y 2 (2x + 3y 2 )2 (2x − 3y 2 )2 R/ La factorización completa corresponde a:
Factor común. Trinomio cuadrado perfecto Diferencia de cuadrados
2x3 y 2 (2x + 3y 2 )2 (2x − 3y 2 )2 .
Nota: Obsérvese como hemos aplicado los métodos de factorización en este orden:
a)
Primero factor común.
b)
Luego como nos han quedado tres términos (trinomio ordenado), hemos aplicado el método del trinomio cuadrado perfecto. Siempre es importante en este método no olvidar la veri cación de la condición del doble producto.
c)
Finalmente nos ha quedado un binomio cuyos términos corresponden a la diferencia de dos cuadrados perfectos, es así que hemos aplicado el método de la diferencia de cuadrados.
12
EJERCICIOS (D): Instrucciones: factorice aplicando el método del trinomio cuadrado perfecto 1.
a2 + 2ab + b2
13.
16y 2 + x2 + 8xy
2.
x2 − 10xz + 25z 2
14.
a4 b6 − 2a2 b3 c + c2
3.
1 − 12m + 36m2
15.
−72 + 24n − 2n2
4.
25 − 10t + t2
16.
12x2 + 27y 2 − 36xy
5.
4a2 − 36a2 b2 + 81b4 17.
1 + x2 + x 4
18.
a2 − 0, 5a + 0, 0625
19.
0, 01 − 0, 2x2 + x4
20.
4x2n + 4xn + 1
6. 7.
81a2 − 90ab + 25b2 x2 − 14x + 49 2
2
8.
4a − 12ac + 9c
9.
x2 y 2 − 4xyz + 4z 2
10.
121a2 + 16x2 + 88ax
21.
y 2n + 9 + 6y n
11.
28abc + 4a2 + 49b2 c2
22.
(a + b)2 + 2(a + b)(c + d) + (c + d)2
12.
3a(3a + 2b) + b2
23.
16 + (z − x)2 − 8(x − z)
EJERCICIOS (E): Instrucciones: Realice la factorización completa de los siguientes polinomios, use factor común, diferencia de cuadrados y trinomio cuadrado perfecto 1.
−6x2 (x + 3) + 2x(3 + x)2
8.
18x7 y + 288x3 y − 144x5 y Ayuda : (ab)n = an bn
2.
(2xy − 4x) − y + 2 5 2
3.
9x4 y +
3x y + 27x 2
4.
−3x3 + 39x2 − 108x
5.
−2(x2 − 4x)2 + 32
6.
x2 (y − 1) − y + 1
7.
2 4
9.
3
4 4
5x y − 180x y
13
3x(x2 + 6x)2 − 243x 6x5 y 4 2x3 y 4 − 5 5
10.
−6x7 y 4 +
11.
5(x2 + x)2 − 20x2
12.
−125x3 y 5x5 y 3 + 12 3
13.
450x4 y − 72x6 y 3
14.
2x6 y 25x2 y − 3 24
15.
−54x6 y 3 + 2
32x2 y 3 3
2
2
2
2
16.
5x (1 − x ) − 15xy (x − 1)
17.
48x6 y 5 + 3x4 y 7 − 24x5 y 6 3 4
11 4
18.
3x y − 768x y
19.
256 − x2 (x + 8)2
20.
−8x5 y 6 +
21.
2x11 y 2 + 486x3 y 2 − 12x7 y 2 27
4x6 y 9 + 2x3 y 5 5
28.
5x3 y(2x − y)2 − 10x4 y(y − 2x)3
29.
2x2 y 2 (3x − 4y 2 ) +
30.
9x(5x − 2)2 − 4x(1 − 5x)2
31.
24xy 2 + 6x3 y 2 (5x2 − 4) 5
32.
27a2 b5 + 12a4 b − 36a3 b3
33.
243x7 − 54x5 + 3x3
34.
m4 n3 (m + 4)2 − 16m2 n3
35.
2x6 y − 12x4 y + 54x2 y 3
36.
3x4 y 3 (x − 4)2 − 48x4 y 3
8xy 6 3
22.
256x8 (x − 1) + 1 − x
23.
9(1 − 2x)2 − 4(3x + 5)2
24.
48x4 y + 75x2 y 7 − 120x3 y 4
37.
9x2 (3x − 2)2 − 1
25.
x4 + 16 − 8x2
38.
(x2 − 2x + 1)2 − x2 + 2x − 1
26.
5(x2 + 6x)2 − 405
39.
x4 + 324
27.
n+2
12m
n+1
+ 12m
Ayuda : a
x+y
Ayuda:x4 + 324 = (x4 + 36x2 + 324) − 36x2
n 2
+ 3m n
40.
x y
=a a
81x3 y x7 y − 32 2
EJERCICIOS (F): Instrucciones: Factorice usando una combinación de métodos:agrupamiento, trinomio cuadrado perfecto y diferencia de cuadrados 1.
a2 − 2ab + b2 − 4x2
2.
x2 + 2xy + y 2 − a2
10.
48ax − 36a2 + y 2 − 16x2
3.
x2 + y 2 − z 2 − 2xy
11.
30ab − 25a2 + 4c2 − 9b2
4.
4a2 − 4ab + b2 − c2
12.
1 − a2 − 4ax − 4x2
5.
9a2 − 4c2 + 6ab + b2
13.
25 − m2 − n2 + 2mn
6.
4x2 − 12xy − 16a2 + 9y 2
14.
6xy − 9x2 − y 2 + z 2
7.
a2 − b2 − 2bc − c2
15.
a2 + b2 − 2ab + 2cd − c2 − d2
8.
x2 + 2yz − z 2 − y 2
16.
4a2 − 4b2 − c2 − 4ac + 4b − 1
9.
14
100x2 − y 2 − 14yz − 49z 2
17.
9 − 6a − b2 + a2 − 10bc − 25c2
19.
4a2 + 9m2 − 20bc − 12am − 4c2 − 25b2
18.
25a2 − 16y 2 + 9x2 − 30ax − z 2 − 8yz
20.
2a3 x3 − x6 − a6 + 2b3 y 3 + b6 + y 6
Método Factorización por inspección: Este método lo aplicamos cuando se tengan tres expresiones algebraicas claramente distinguibles, para aplicar este método, debemos ordenar la expresión a factorar de forma descendente, tal como se hace en el método del trinomio cuadrado perfecto, se determinan expresiones cuyo producto resulte igual al de las expresiones de los extremos y se veri ca que el doble producto cruzado de estas expresiones coincida con el término central.
EJEMPLOS: Factorice completamente los siguientes polinomios: 1.
−18x2 yz 2 + 57x3 y 2 z − 30x4 y 3 a)
Note como en el polinomio se distinguen tres términos, es decir, corresponde a un trinomio.
b)
Para iniciar la factorización, se recurre como en todos los casos a aplicar el método de factor común como primer método de factorización, al aplicarlo nos resulta que:
−18x2 yz 2 + 57x3 y 2 z − 30x4 y 3 = 3x2 y(−6z 2 + 19xyz − 10x2 y 2 ) c)
En el siguiente paso ordenamos en forma descendente el trinomio del segundo factor y nos aseguramos que el coe ciente del primer término de este trinomio sea de signo positivo.
d)
−18x2 yz 2 + 57x3 y 2 z − 30x4 y 3 = 3x2 y(−6z 2 + 19xyz − 10x2 y 2 )
Factor común
= 3x2 y(−10x2 y 2 + 19xyz − 6z 2 )
Reordeno términos
= −3x2 y(10x2 y 2 − 19xyz + 6z 2 )
Cambio signos
Hasta este momento no hemos hecho nada que no supieramos, en este momento vamos a factorizar el trinomio del segundo factor, lo primero que nos percatamos es que los términos extremos de este trinomio no son cuadrados perfectos, con lo que queda excluída la posibilidad de que corresponda a un trinomio cuadrado perfecto.
e)
Así que intentaremos la factorización aplicando el método de inspección, de esta forma:
15
−3x2 y (10x2 y 2
−19xyz
+6z 2 ) = −3x2 y(5xy − 2z)(2xy − 3z)
5xy
−2z
2xy
−3z −15xy +−4xy −19xyz
R/ La factorización completa corresponde a:
2.
12x5 − a)
−3x2 y
(5xy − 2z)(2xy − 3z) . | {z } Términos escritos “horizontalmente00 .
20x3 y 4 − 16x4 y 2 3
En este polinomio se observa al menos un denominador diferente de uno, por ello iniciamos la solución con la suma de los términos que componen el trinomio.
b)
12x5 −
c)
36x5 − 20x3 y 4 − 48x4 y 2 20x3 y 4 − 16x4 y 2 = 3 3 5 4 2 36x − 48x y − 20x3 y 4 = 3 4x3 = (9x2 − 12xy 2 − 5y 4 ) 3
Suma de los términos Reordeno Factor común.
Ahora procedemos a factorizar el trinomio que aparece en el segundo factor, nótese que
9x2
si es un cuadrado perfecto, pero
−5y 4
así que no es posible aplicar el método
del trinomio cuadrado perfecto, intentemos pues el método de inspección.
4x3 (9x2 3 3x
−12xy 2
−5y 4 ) =
4x3 (3x + y 2 )(3x − 5y 2 ) 3
y2 −5y 2
3x −15xy 2 + 3xy 2 −12xy 2
R/ La factorización completa corresponde a:
4x3 (3x + y 2 )(3x − 5y 2 ). 3
Nota: En este punto no ya es posible continuar la factorización por ninguno de los métodos vistos.
16
EJERCICIOS (G): Instrucciones: Factorice usando el método de inspección o tanteo 1.
x2 + 8xy − 20y 2
16.
a4 + 14a2 b − 120b2
2.
a2 + 19a + 60
17.
a2n + 40an + 144
3.
x2 − 3x − 10
18.
4x2 − 10x − 14
4.
x2 + 9x + 20
19.
3x2 − 4x − 15
31.
2a2 − 13ab + 6b2
32.
6x2 − 7xy − 3y 2
33.
9a2 + 6ab − 8b2
34.
30x2 − 7xy − 15y 2
35.
2ab − 24a2 + 15b2
5.
x2 − 5x + 6
20.
6x2 − 7x + 2
6.
x2 − 7x + 12
21.
8y 2 − 37y − 15
7.
c2 − 9c + 8
22.
5x2 + 11x + 6
36.
15a2 + 8x2 − 26ax
8.
x2 − 5x − 84
23.
2x2 + 11x + 15
37.
31xy − 5x2 − 6y 2
9.
x2 − 13x + 42
24.
21x2 + 29x − 10
38.
45x2 + 38xy + 8y 2
10.
x2 − x − 42
25.
4x2 − 4x − 15
39.
10x2 − 23xy − 5y 2
11.
x2 − x − 6
26.
12m2 − 17m − 14 40.
8x2 + 6xy − 35y 2
12.
5y 1 y − + 6 6
41.
15x2 + 8xy − 16z 2
2
27.
2
13.
x + 4xy − 21y
14. 15.
2
2
12x − x − 1 2
28.
8x + 21x − 9
x2 + 20ax + 51a2
29.
2x2 + 9x − 18
42.
6x2 + 19xy − 7y 2
x4 − 11x2 + 24
30.
50x2 + 45xy − 18y 2
43.
6x2 − xy − 35y 2
EJERCICIOS (H): Instrucciones: Factorice combinando todos los métodos de factorización estudiados. Ideales para ser seleccionados para la parte del examen llamada resolución de problemas
1.
3x2 12x − 4
5.
3x6 y 3 − 375x2 y 3 5
2.
75x5 y 2 35x4 yz 75x3 z 2 + − 2 4 4
6.
576x4 + 4y 4 − 100x2 y 2
7.
12x3 y 2 − 6x2 y 3 +
8.
40x7 y − 74x5 y − 12x3 y 3
6
3 3
3 2
3.
32x y − 192x y − 50xy + 300x
4.
8x6 y 5 5x2 y 3 z 6 − x4 y 4 z 3 + 9 18 17
6xy 3 − 12x2 y 2 5
9. 10.
−13x2 y 2 + 9y 4 + 4x4 2a2 b3 −
21a4 b 11a3 b2 − 4 2
7 2
11.
8x y − 8x6 y 3 + 10x5 y 4 5
12.
−48x2 a2 + 192x2 b4 + 27a2 − 108b4
13.
50a6 b5 − 4a6 b4 +
2a6 b3 25
14.
x3 y 3x3 5x2 y 2 5x2 y − − + 2 2 6 2
15.
a4 − 2a2 b2 + b4
16.
4x4 − 16x2 z 2 − 4x3 y + 3x2 y 2 3
17.
8x3 y 2 − 128x5 + 6x7 − 8x5 y 3
RESPUESTAS: EJERCICIOS (A): FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS CASO: FACTOR COMÚN 1.
x(x − 2)
17.
x(x2 − 3x + 1)
2.
s(r + 4t)
18.
8x2 (2x2 + 5x + 3)
3.
xy 2 (x − y)
19.
−a2 b(3a2 bx2 − 2ax − 1)
4.
2m(2m − n)
20.
8a3 b3 2 (a − 5a + 4) 5
5.
4z(8z 3 − 4z 2 + 1)
21.
4z(8z 3 − 4z 2 + 1)
6.
3xy 3 (2x4 y 5 + x3 y 2 − 4+)
22.
4by 3 (9y 2 − 14bz)
7.
5pq(pq + p − 2q)
23.
3xy 3 (2x4 y 5 + x3 y 2 − 4)
8.
4a5 b2 c3 (3ab2 + ac + 2bc)
24.
3xy(2x − 3y + 1)
9.
−7m2 n2 (3mn2 − 2m − n)
25.
2x(x2 − 2x + 2)
10.
−a bx (b x − 2ab x − a )
26.
11.
6x3 y 2 (18x6 y 10 − x5 y 10 + 8x2 − 2y 2 )
27.
12.
3a2 (ax2 − 2x + 3a2 )
13.
7abc(a4 c3 − 7b3 c2 + 2b)
14.
15. 16.
2
2
3
2
2
28.
3x2 (25x2 − 6xy 3 − 10) 5 −2x2 y 3 (10x2 y − 9x + 7y 3 ) 3 2x(x + 2y + 3z) 18
2x3 4 (x − 10x3 + 25x2 − 25) 5 −3x2 (12x3 − x2 y + 1) 2 x2 y (8x2 − 15xy 2 + 20) 12
29.
−7m2 n2 (3mn2 − 2m − n)
30.
−2a4 b (4ab2 − 2a + 3b3 ) 3
31.
−a2 (a6 − a4 + a2 − 1)
32.
−2x2 y 5 (12x3 y − 20x2 + 9) 3
33.
3ab2 (3a3 + 9a2 b2 − 5ab − 15b3 )
34.
−5a3 b2 (12a3 b4 − 2a2 b + 15) 3
35.
−3x3 y (7x4 y − 12x + 3y 3 ) 2
36.
−5a3 b2 (12a3 b − 5a2 b − 10) 6
37.
4ab2 (a6 b2 + a − 5a5 b3 − b2 )
38.
−6a4 b5 (5a2 b3 − 12a − 10b4 ) 5
39.
3xn (5x2 + x − 4) n n−1
x2 y 5 z (36xy 2 z − 135 + 140xy 3 z 4 ) 80
47.
a(a − 1)
48.
(a + b)(x + y − z)
49.
(x + y)(a + b + c)
50.
(a + b)(x + y)
51.
−2n(m − 2n)
52.
−(a − b)(x − 2p)
53.
(a − b)(x + y + za − zb)
2
40.
−b x
41.
2x+1 (3x + 2x − 5)
42.
3x (90 · 2x − 5x ) 15
43.
−5a3 b3 2 (3b − 4m + 5n) 12
44.
5a3 b3 (23a4 b3 d + 56ac − 108b) 252
45.
46.
(x − b)
54. a2 b3 (x − 9)3 (a2 b5 − 12(x − 9)5 + 16a3 b3 (x − 9)2 ) 55. xyz(x−7)(z 4 (x−7)−3y(x+7)+15x2 y 3 z 7 (x−7)) 56. −4x2 (2x − y)2 (2x − y − 3x(2x − y)2 − 5x4 y 2 )
−3x5 y 4 10 (x + 8xy 3 − 12y 8 ) 16
57.
−2y 3 (x − 2)3 (66y − 88z(x − 2)3 − 3x3 y 2 (x − 2)5 ) 121
58.
3xy 2 (x − y)2 (10x9 (x − y) + 3x4 (x − y)3 − 14y 7 ) 40
59.
−4x3 (x − y)3 (63x2 (x − y) − 140 − 180x2 y 3 (x − y)3 ) 525
EJERCICIOS (B): AGRUPACION O AGRUPAMIENTO
(2a + b)(x − 3y)
17.
(x2 + a)(y 2 + b)
10.
(x − 2)(x + 2)(3x + 2)
18.
(3a − 5b)(4x − 3y)
(y + d)(y − c)
11.
(2x − z)(3x + y)
19.
(2y − x)(5xy + 4m)
4.
(a + 2b)(x − 3y)
12.
(x + 2)(x2 + 4)
20.
−(b − 1)(a − b − 1)
5.
(2x + m)(n − 3y)
13.
(a − b)(a2 + b2 )
21.
(a − 1)(x + y + 1)
6.
(3a − 2)(x + b)
14.
(2a − 3b)(ab + 2m)
22.
−(x2 + bc)(cy − ab)
7.
(a + 2b)(c − d)
15.
(8am + 1)(2x − y)
23.
(a − 3m)(b − 2m)
8.
−(3a − 1)(3a2 − 7b2 )
16.
1 (a − 15b)(m − c) 3
24.
x(2x + 3)(x2 − 3)
1.
(a + 7)(x − y)
2.
(a − 3b)(5a − 6c)
3.
9.
19
25.
(x − y)(x − y − 3)
33.
(4z − 5w)(3x2 + 2y 2 )
41.
x4 (xn−1 − 1)(xn−3 − 1)
26.
(x − y)(xy − 1)
34.
(x − 3)(x2 + 1)
42.
(a − 1)(a − b + c)
27.
(p − 3k)(mx − y)
35.
(5x − 1)(4x3 − 1)
43.
(x + y 2 )(a − b + c)
28.
(x − w)(3mx − 2y)
36.
(x + 2a)(2x − 5y)
44.
(a + b)(x + y + z)
29.
1 (2a − 3p)(3a − 2k) 6
37.
−(a + 1)(a2 mn − 1)
45.
−(x + a)(2b − n − 3)
30.
(2a + b)(2c − d)
38.
(x + 3)(x2 + 4)
46.
(a + b)(2x − y + 5)
31.
(9c + 2d)(j + 2k)
39.
(x − y)(a2 + b2 )
47.
(m − 2n)(3a + 2b − m)
32.
(a − b)(a2 + b2 )
40.
−(3a − 1)(3a2 − 7b2 )
48.
(a − m)(a − b − p)
EJERCICIOS (C): DIFERENCIA DE CUADRADOS O III FÓRMULA NOTABLE 1.
(2a + 3c)(2a − 3c)
2.
(9m2 − 4n)(9m2 + 4n)
3.
(1 + 19x2 y 3 )(1 − 19x2 y 3 )
4.
(11m3 − 30n6 )(11m3 + 30n6 )
5.
3a3 (a + 2b2 )(a − 2b2 )
6.
16(2m4 + n2 p3 )(2m4 − n2 p3 )
7. 8. 9. 10.
11.
12.
13.
14.
15.
x2 y 6 (5xy + 6)(5xy − 6) 100
16.
(x2 + b2 )(x + b)(x − b)
17.
(a4 + 16)(a2 + 4)(a + 2)(a − 2)
18.
(x6 + 9)(x3 + 3)(x3 − 3)
19.
(t2 + 4)(t + 2)(t − 2)
20.
(9x2 + y 2 )(3x + y)(3x − y)
21.
−(x4 + 1)(x2 + 1)(x + 1)(x − 1)
22.
(2x − y + z)(2x − y − z)
23.
−(2x2 + y)(6x2 + y)
24.
y(4x + y)
25.
(x + y + 1)(x + y − 1)(x2 + 2xy + y 2 + 1)
26.
1 (3x2 − 6xy + 3y 2 + 5)(3x2 − 6xy + 3y 2 − 5) 25
27.
(xy + a − z)(xy − a + z)
28.
−(ab − 5c)(9ab − 5c)
2z 2 (z + 4)(z − 4) 3(5p + 4m2 )(5p − 4m2 ) 2
2
2
r (5rs + 7p )(5rs − 7p ) 3b (a + 5c2 )(a − 5c2 ) 25 1 2 (a + 8m)(a2 − 8m) 4 √ √ 1 (n + 2m 2)(n − 2m 2) 4 1 (100a + b)(100a − b) 10000 1 (15a2 + 2)(15a2 − 2) 9 20
29.
−x(x − 2)
38.
−(a − 1)(2x + a − 5)
30.
(x + y + z)(x − y − z)
39.
−4x(y − z)
31.
(x + y − a − b)(x + y − a + b)
40.
−4a(a2 + 1)
32.
−(x − 5)(3x − 1)
41.
(a + 3b − 4c)(3a + b + 2c)
33.
−(a + 3b)(3a − b)
42.
−8(x + 1)(x − 1)2
34.
3(a + 1)(a − 1)
43.
0
35.
4ab
44.
4 · 3m
36.
−24ab
45.
−3n (2m+1 − 3n + 3m+n )(3m + 1)
37.
−(2x − 1)2 (2x + 1)(2x − 1)
46.
√ √ −(a 3 + 2)(a 3 − 2)
EJERCICIOS (D): TRINOMIO CUADRADO PERFECTO 1.
(a + b)2
7.
(x − 7)2
13.
(x + 4y)2
2.
(x − 5z)2
8.
(2a − 3c)2
14.
(a2 b3 − c)2
3.
(6m − 1)2
9.
(xy − 2z)2
15.
−2(n − 6)2 3(2x − 3y)2
10.
(4x + 11a)
16.
(2a − 9b )
11.
2
(2a + 7bc)
17.
(9a − 5b)2
12.
(3a + b)2
2
4.
(t − 5)
5.
2
6.
2 2
2
18.
1 (2x + 1)2 4 1 (4a − 1)2 16
19.
1 (10x2 − 1)2 100
20.
(2xn + 1)2
21.
(y n + 3)2
22.
(a + b + c + d)2
23.
(x − z − 4)2
EJERCICIOS (E): FACTORIZACIÓN DE POLINOMIOS 1.
−6x2 (x + 3) + 2x(3 + x)2 = −6x2 (x + 3) + 2x(x + 3)2 = −6x2 w + 2xw2 = 2xw(−3x + w) = 2x(x + 3)(−3x + x + 3) = 2x(x + 3)(−2x + 3) = −2x(x + 3)(2x − 3)
21
Transposición Sea
w =x+3
Factor común Reemplazo w Simpli co Ordeno
2.
(2xy − 4x) − y + 2 = 2x(y − 2) − (y − 2)
Factor común y reacomodo
= 2xw − w
Sea
= w(2x − 1)
Factor común
= (y − 2)(2x − 1)
w =y−2
Reemplazo w
3.
9x4 y +
3x5 y 2 + 27x3 18x4 y + 3x5 y 2 + 27x3 = 2 2 3 3x (6xy + x2 y 2 + 9) = 2 3x3 2 2 = (x y + 6xy + 9) 2 3x3 (xy + 3)2 = 2
Sumo Factor común Reordeno
Trinomio cuadrado perfecto
4.
−3x3 + 39x2 − 108x = 3x(−x2 + 13x − 36) = −3x(x2 − 13x + 36)
Factor común Cambio signos
Este último trinomio no es un cuadrado perfecto pues no cumple la condición del doble producto. 5.
−2(x2 − 4x)2 + 32 = −2w2 + 32
Sea
w = x2 − 4x
= 2(−w2 + 16)
Factor común
= −2(w2 − 16)
Cambio signos
= −2(w + 4)(w − 4) = −2(x2 − 4x + 4)(x2 − 4x − 4) = −2(x − 2)2 (x2 − 4x − 4)
22
Diferencia de cuadrados Reemplazo w Trinomio cuadrado perfecto
6.
x2 (y − 1) − y + 1 = x2 (y − 1) − (y − 1)
Reacomodo
= x2 w − w
Sea
= w(x2 − 1)
Factor común
= w(x + 1)(x − 1)
w =y−1
Diferencia de cuadrados
= (y − 1)(x + 1)(x − 1)
Reemplazo w
7.
5x2 y 4 − 180x4 y 4 = 5x2 y 4 (1 − 36x2 )
Factor común
= −5x2 y 4 (36x2 − 1) = −5x2 y 4 (6x + 1)(6x − 1)
Cambio signos Diferencia de cuadrados
8.
18x7 y + 288x3 y − 144x5 y = 18x3 y(x4 + 16 − 8x2 )
Factor común
= 18x3 y(x4 − 8x2 + 16)
Reordeno
= 18x3 y(x2 − 4)2
Trinomio cuadrado perfecto
= 18x3 y(x + 2)2 (x − 2)2
Diferencia de cuadrados
9.
3x(x2 + 6x)2 − 243x = 3xw2 − 243x
Sea
= 3x(w2 − 81)
w = x2 + 6x
Factor común
= 3x(w + 9)(w − 9)
Diferencia de cuadrados
= 3x(x2 + 6x + 9)(x2 + 6x − 9) = 3x(x + 3)2 (x2 + 6x − 9)
Reemplazo w Trinomio cuadrado perfecto
10.
6x5 y 4 − 2x3 y 4 −30x7 y 4 + 6x5 y 4 − 2x3 y 4 −6x y + = 5 5 2x3 y 4 = (−15x4 + 3x2 − 1) 5 −2x3 y 4 = (15x4 − 3x2 + 1) 5 7 4
Sumo Factor común
Cambio de signos
Este último trinomio no es un cuadrado perfecto pues no cumple la condición del doble producto.
23
11.
5(x2 + x)2 − 20x2 = 5w2 − 20x2
Sea
= 5(w2 − 4x2 )
w = x2 + x
Factor común
= 5(w + 2x)(w − 2x)
Diferencia de cuadrados
= 5(x2 + x + 2x)(x2 + x − 2x) = 5(x2 + 3x) · (x2 − x)
Reemplazo w Reduzco términos
= 5x(x + 3) · x(x − 1)
Factor común
= 5x2 (x + 3)(x − 1)
Simpli co
12.
−125x3 y 5x5 y 3 −125x3 y + 20x5 y 3 + = 12 3 12 5x3 y (−25 + 4x2 y 2 ) = 12 5x3 y = (4x2 y 2 − 25) 12 5x3 y (2xy + 5)(2xy − 5) = 12
Sumo Factor común Reordeno
Diferencia de cuadrados
Nota:
5x3 y (4x2 y 2 − 12 √ ↓ 2xy
5x3 y 25) = (2xy + 5)(2xy − 5) 12 √ ↓ 5
13.
450x4 y − 72x6 y 3 = 18x4 y(25 − 4x2 y 2 ) = −18x4 y(4x2 y 2 − 25) = −18x4 y(2xy + 5)(2xy − 5)
Factor común Cambio los signos Diferencia de cuadrados
14.
2x6 y 25x2 y 16x6 y − 25x2 y − = 3 24 24 2 xy = (16x4 − 25) 24 x2 y (4x2 + 5)(4x2 − 5) = 24 24
Sumo Factor común
Diferencia de cuadrados
15.
−54x6 y 3 +
32x2 y 3 −162x6 y 3 + 32x2 y 3 = 3 3 2x2 y 3 = (−81x4 + 16) 3 −2x2 y 3 = (81x4 − 16) 3 −2x2 y 3 (9x2 + 4)(9x2 − 4) = 3 −2x2 y 3 = (9x2 + 4)(3x + 2)(3x − 2) 3
Sumo Factor común Cambio signos Diferencia de cuadrados
Diferencia de cuadrados
16.
5x2 (1 − x2 ) − 15xy 2 (x2 − 1)2 = −5x2 (x2 − 1) − 15xy 2 (x2 − 1)2
Reordeno
= −5x2 w − 15xy 2 w2
Sea
w = x2 − 1
= 5xw(−x − 3y 2 w)
Factor común
= −5xw(x + 3y 2 w)
Cambio signos
= −5x(x2 − 1)(x + 3y 2 (x2 − 1))
Reemplazo w
= −5x(x + 1)(x − 1)(x + 3y 2 x2 − 3y 2 ) = −5x(x + 1)(x − 1)(3y 2 x2 + x − 3y 2 )
Dif.de cua Ordeno
17.
48x6 y 5 + 3x4 y 7 − 24x5 y 6 = 3x4 y 5 (16x2 + y 2 − 8xy)
Factor común
= 3x4 y 5 (16x2 − 8xy + y 2 )
Ordeno
= 3x4 y 5 (4x − y)2
Trinomio cuadrado perfecto
18.
3x3 y 4 − 768x11 y 4 = 3x3 y 4 (1 − 256x8 )
Factor común
= −3x3 y 4 (256x8 − 1)
Cambio signos
= −3x3 y 4 (16x4 + 1)(16x4 − 1)
Diferencia de cuadrados
= −3x3 y 4 (16x4 + 1)(4x2 + 1)(4x2 − 1)
Diferencia de cuadrados
= −3x3 y 4 (16x4 + 1)(4x2 + 1)(2x + 1)(2x − 1)
Diferencia de cuadrados
25
19.
256 − x2 (x + 8)2 = 256 − x2 w2
Sea
= −(x2 w2 − 256)
w =x+8
Cambio signos
= −(xw + 16)(xw − 16)
Diferencia de cuadrados
= −(x(x + 8) + 16)(x(x + 8) − 16)
Reemplazo w
= −(x2 + 8x + 16)(x2 + 8x − 16) = −(x + 4)2 (x2 + 8x − 16)
Propiedad distributiva Trinomio cuadrado perfecto
20.
4x6 y 9 + 2x3 y 5 −40x5 y 6 + 4x6 y 9 + 2x3 y 5 −8x y + = 5 5 2x3 y 5 = (−20x2 y + 2x3 y 4 + 1) 5 2x3 y 5 = (2x3 y 4 − 20x2 y + 1) 5 5 6
Sumo Factor común
Ordeno
21.
2x11 y 2 + 13122x3 y 2 − 324x7 y 2 2x11 y 2 + 486x3 y 2 − 12x7 y 2 = 27 27 2x3 y 2 8 = (x + 6561 − 162x4 ) 27 2x3 y 2 8 = (x − 162x4 + 6561) 27 2x3 y 2 4 = (x − 81)2 27 2x3 y 2 2 = (x + 9)2 (x2 − 9)2 27 2x3 y 2 2 = (x + 9)2 (x + 3)2 (x − 3)2 27
26
Sumo Factor común Ordeno Trinomio cuadrado perfecto Diferencia de cuadrados
Diferencia de cuadrados
22.
256x8 (x − 1) + 1 − x = 256x8 (x − 1) − (x − 1)
Reacomodo
= 256x8 w − w
Sea
= w(256x8 − 1)
w =x−1
Factor común
= w(16x4 + 1)(16x4 − 1)
Diferencia de cuadrados
= w(16x4 + 1)(4x2 + 1)(4x2 − 1)
Diferencia de cuadrados
= w(16x4 + 1)(4x2 + 1)(2x + 1)(2x − 1)
Diferencia de cuadrados
= (x − 1)(16x4 + 1)(4x2 + 1)(2x + 1)(2x − 1)
Reemplazo w
23.
9(1 − 2x)2 − 4(3x + 5)2 = 9(2x − 1)2 − 4(3x + 5)2
Ordeno
= 9w2 − 4z 2
Sea
w = 2x − 1
= (3w − 2z)(3w − 2z)
y sea
z = 3x + 5
Diferencia de cuadrados
= (3(2x − 1) − 2(3x + 5))(3(2x − 1) + 2(3x + 5))
Reemplazo w y z
= (6x − 3 − 6x − 10)(6x − 3 + 6x + 10)
prop. distributiva
= −13(12x + 7)
Simpli co
24.
48x4 y + 75x2 y 7 − 120x3 y 4 = 3x2 y(16x2 + 26y 6 − 40xy 3 )
Factor común
= 3x2 y(16x2 − 40xy 3 + 25y 6 )
Ordeno
= 3x2 y(4x − 5y 3 )2
Trinomio cuadrado perfecto
25.
x4 + 16 − 8x2 = x4 − 8x2 + 16
Reordeno
= (x2 − 4)2
Trinomio cuadrado perfecto
= (x + 2)2 (x − 2)2
27
Diferencia de cuadrados
26.
5(x2 + 6x)2 − 405 = 5w2 − 405
w = x2 + 6x
Sea
= 5(w2 − 81)
Factor común
= 5(w + 9)(w − 9)
Diferencia de cuadrados
= 5(x2 + 6x + 9)(x2 + 6x − 9) = 5(x + 3)2 (x2 + 6x − 9)
Reemplazo w Trinomio cuadrado perfecto
27.
12mn+2 + 12mn+1 + 3mn n2 = 3mn (4m2 + 4m + n2 )
Factor común
28.
5x3 y(2x − y)2 − 10x4 y(y − 2x)3 = 5x3 y(2x − y)2 + 10x4 y(2x − y)3
Reordeno
= 5x3 yw2 + 10x4 yw3
Sea
= 5x3 yw2 (1 + 2xw)
w = 2x − y
Factor común
= 5x3 y(2x − y)2 (1 + 2x(2x − y)) = 5x3 y(2x − y)2 (1 + 4x2 − 2xy)
Reemplazo w Prop. distributiva
= 5x3 y(2x − y)2 (4x2 − 2xy + 1)
Ordeno
29.
2x2 y 2 (3x − 4y 2 ) +
8xy 6 8xy 6 = 2x2 y 2 w + 3 3 6x2 y 2 w + 8xy 6 = 3 2 2xy = (3xw + 4y 4 ) 3 2xy 2 = (3x(3x − 4y 2 ) + 4y 4 ) 3 2xy 2 = (9x2 − 12xy 2 + 4y 4 ) 3 2xy 2 = (3x − 2y 2 )2 3
28
Sea
w = 3x − 4y 2 Sumo Factor común Reemplazo w
Prop. distributiva
Trinomio cuadrado perfecto
30.
9x(5x − 2)2 − 4x(1 − 5x)2 = 9x(5x − 2)2 − 4x(5x − 1)2
Reordeno
= 9xw2 − 4xz 2
Sea
w = 5x − 2
y sea
= x(9w2 − 4z 2 )
z = 5x − 1
Factor común
= x(3w + 2z)(3w − 2z)
Diferencia de cuadrados
= x(3(5x − 2) − 2(5x − 1))(3(5x − 2) + 2(5x − 1)) = x(15x − 6 − 10x + 2)(15x − 6 + 10x − 2)
Reemplazo w y z prop. distributiva
= x(5x − 4)(25x − 8)
Simpli co
31.
24xy 2 24xy 2 + 6x3 y 2 (5x2 − 4) = + 6x3 y 2 w 5 5 24xy 2 + 30x3 y 2 w = 5 2 6xy = (4 + 5x2 w) 5 6xy 2 (4 + 5x2 (5x2 − 4)) = 5 6xy 2 = (4 + 25x4 − 20x2 ) 5 6xy 2 (25x4 − 20x2 + 4) = 5 6xy 2 = (5x2 − 2)2 5
Sea
w = 5x2 − 4 Sumo
Factor común Reemplazo w prop. distributiva Ordeno
Trinomio cuadrado perfecto
32.
27a2 b5 + 12a4 b − 36a3 b3 = 3a2 b(9b4 + 4a2 − 12ab2 )
Factor común
= 3a2 b(4a2 − 12ab2 + 9b4 )
Ordeno
= 3a2 b(2a − 3b2 )2
29
Trinomio cuadrado perfecto
33.
243x7 − 54x5 + 3x3 = 3x3 (81x4 − 18x2 + 1) = 3x3 (9x2 − 1)2
Factor común Trinomio cuadrado perfecto
= 3x3 (3x + 1)2 (3x − 1)2
Diferencia de cuadrados
34.
m4 n3 (m + 4)2 − 16m2 n3 = m4 n3 w2 − 16m2 n3
Sea
= m2 n3 (m2 w2 − 16)
w =m+4
Factor común
= m2 n3 (mw + 4)(mw − 4)
Diferencia de cuadrados
= m2 n3 (m(m + 4) + 4)(m(m + 4) − 4)
Reemplazo w
= m2 n3 (m2 + 4m + 4)(m2 + 4m − 4) = m2 n3 (m + 2)2 (m2 + 4m − 4)
Prop. distributiva Trinomio cuadrado perfecto
35.
2x6 y − 36x4 y + 162x2 y 2x6 y − 12x4 y + 54x2 y = 3 3 2x2 y 4 = (x − 18x2 + 81) 3 2x2 y 2 = (x − 9)2 3 2x2 y = (x + 3)2 (x − 3)2 3
Sumo Factor común Trinomio cuadrado perfecto
Diferencia de cuadrados
36.
3x4 y 3 (x − 4)2 − 48x4 y 3 = 3x4 y 3 w2 − 48x4 y 3 = 3x4 y 3 (w2 − 16) = 3x4 y 3 (w + 4)(w − 4) = 3x4 y 3 (x − 4 + 4)(x − 4 − 4) = 3x4 y 3 (x)(x − 8) = 3x5 y 3 (x − 8)
30
Sea
w =x−4
Factor común Diferencia de cuadrados Reemplazo w Reduzco términos Simpli co
37.
9x2 (3x − 2)2 − 1 = 9x2 w2 − 1
Sea
= (3xw + 1)(3xw − 1)
w = 3x − 2
Diferencia de cuadrados
= (3x(3x − 2) + 1)(3x(3x − 2) − 1)
Reemplazo w
= (9x2 − 6x + 1)(9x2 − 6x − 1)
Prop. distributiva
= (3x − 1)2 (9x2 − 6x − 1)
Trinomio cuadrado perfecto
38.
(x2 − 2x + 1)2 − x2 + 2x − 1 = (x2 − 2x + 1)2 − (x2 − 2x + 1) = w2 − w
Reordeno Sea
= w(w − 1)
w = x2 − 2x + 1 Factor común
= (x2 − 2x + 1)(x2 − 2x + 1 − 1)
Reemplazo w
= (x2 − 2x + 1)(x2 − 2x) = (x − 1)2 x(x − 2)
Simpli co Factorizo cada factor
= x(x − 2)(x − 1)2
Ordeno
39.
x4 + 324 = x4 + 182
Observación
= x4 + 36x2 + 182 − 36x2
Sumo y resto
= (x4 + 36x2 + 182 ) − 36x2 = (x2 + 18)2 − 36x2
36x2
Agrupo Trinomio cuadrado perfecto
= w2 − 36x2
Sea
= (w − 6x)(w + 6x)
w = x2 + 18
Diferencia de cuadrados
= (x2 + 18 − 6x)(x2 + 18 + 6x) = (x2 − 6x + 18)(x2 + 6x + 18)
31
Reemplazo w Ordeno
40.
81x3 y x7 y 81x3 y − 16x7 y − = 32 2 32 x3 y = (81 − 16x4 ) 32 −x3 y = (16x4 − 81) 32 −x3 y (4x2 + 9)(4x2 − 9) = 32 −x3 y = (4x2 + 9)(2x + 3)(2x − 3) 32
Sumo Factor común Cambio signos Diferencia de cuadrados
Diferencia de cuadrados
EJERCICIOS (F): TRINOMIO CUADRADO PERFECTO-DIFERENCIA DE CUADRADOS 1.
−(2x + a − b)(2x − a + b)
11.
−(5a − 3b − 2c)(5a − 3b + 2c)
2.
(x + y + a)(x + y − a)
12.
−(2x + a − 1)(2x + a + 1)
3.
(x − y + z)(x − y − z)
13.
−(m − n + 5)(m − n − 5)
4.
(2a − b + c)(2a − b − c)
14.
−(3x − y + z)(3x − y − z)
5.
(3a + b − 2c)(3a + b + 2c)
15.
(a − b − c + d)(a − b + c − d)
6.
(2x − 3y − 4a)(2x − 3y − 4a)
16.
(2a + 2b − c − 1)(2a − 2b − c + 1)
7.
(a + b + c)(a − b − c)
17.
(a − b + 5c − 3)(a − b − 5c − 3)
8.
(x + y − z)(x − y + z)
18.
(3x + 4y + z + 5a)(3x − 4y − z + 5a)
9.
(10x + y + 7z)(10x − y − 7z)
19.
(2a + 5b − 2c − 3m)(2a − 5b − 2c − 3m)
10.
−(4x + y − 6a)(4x − y − 6a)
20.
−(x3 + y 3 − a3 + b3 )(x3 − y 3 − a3 − b3 )
EJERCICIOS (G): INSPECCIÓN O TANTEO 1.
(x − 2y)(x + 10y)
5.
(x − 6)(x + 1)
9.
(x + 3)(x + 4)
2.
(a + 4)(a + 15)
6.
(x + 3)(x + 4)
10.
(x − 7)(x + 6)
3.
(x − 2)(x + 5)
7.
(c − 8)(c − 1)
11.
(x − 3)(x + 2)
4.
(x + 4)(x + 5)
8.
(x − 12)(x + 7)
12.
1 (2y − 1)(3y − 1) 6
32
13.
(x + 7y)(x − 3y)
24.
(3x + 5)(7x − 2)
14.
(x + 17a)(x + 3a)
25.
(2x − 5)(2x + 3)
15.
(x2 − 8)(x2 − 3)
26.
(m − 2)(12m + 7)
2
2
16.
(a − 6b)(a + 20b)
27.
(3x − 1)(4x + 1)
17.
(an + 4)(an + 36)
28.
(x + 3)(8x − 3)
18.
2(x + 1)(2x − 7)
29.
(x + 6)(2x − 3)
19.
(3x − 5)(x + 3)
30.
(5x + 6y)(10x − 3y)
20.
(2x − 1)(3x − 2)
31.
(a − 6b)(2a − b)
21.
(y − 5)(8y + 3)
32.
(2x − 3y)(3x + y)
22.
(x − 1)(5x + 6)
33.
(3a − 2b)(3a + 4b)
23.
(x + 3)(2x + 5)
34.
(5x + 3y)(6x − 5y)
35.
−(4a + 3b)(6a − 5b)
36.
(2x − 5a)(4x − 3a)
37.
−(x − 6y)(5x − y)
38.
(5x + 2y)(9x + 4y)
39.
(2x − 5y)(5x + y)
40.
(2x + 5y)(4x − 7y)
41.
(3x + 4z)(5x − 4z)
42.
(2x + 7y)(3x − y)
43.
(2x − 5y)(3x + 7y)
EJERCICIOS (H): MÉTODOS COMBINADOS.
1.
2. 3.
10.
−a2 b (3a + 4b)(7a − 2b) 4
11.
2x5 y 2 (2x − 5y)2 5
12.
−3(a + 2b2 )(a − 2b2 )(4x + 3)(4x − 3)
13.
2a6 b3 (25b − 1)2 25
14.
x2 (3x − 5y)(y − 3) 6
6xy 2 (2x − y)(5x − 1) 5 2x3 y (2x + 3)(2x − 3)(5x2 + 2) 3
15.
(a + b)2 (a − b)2
16.
x2 (2x − 3y − 4z)(2x − 3y + 4z) 3
(x − y)(x + y)(2x + 3y)(2x − 3y)
17.
2x3 (3x2 − 8x − 2y)(3x2 + 8x − 2y) 3
3x2 (2x + 1)(2x − 1)(4x2 + 1) 4 5x3 (5xy − 3z)(6xy + 5z) 4 2x(y − 6)(4xy + 5)(4xy − 5) 2 3
4.
5. 6. 7.
8. 9.
xy (2x2 y − z 3 )(8x2 y − 5z 3 ) 18 3x2 y 3 (x + 5)(x − 5)(x2 + 25) 5 4(3x + y)(3x − y)(4x + y)(4x − y)
33