Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Fracciones, con solución

1 Marta ha comido los

2 6

de la tableta de chocolate y su hermano los

4 12

, ¿quién ha comido más?

Solución: Basta observar que

2

2 6

y

4

1 son equivalentes luego los dos han comido lo mismo ( cada uno). 12 3

Señala cuáles de estas fracciones son equivalentes.

6

a)

15 7

b)

y

10 7

c)

8

y

12

d)

2

y

14 30

8 9 y

32

5

3 8

Solución:

a) b) c) d)

3

6 15 7 10 7 8

y

12 32

2

y y

5

14 30

8 9 y

son fracciones equivalentes porque 6 · 5 = 15 · 2 no son fracciones equivalentes porque 7 · 30  10 · 14

no son fracciones equivalentes porque 7 · 9  8 · 8 3 8

son fracciones equivalentes, ya que 12  8 = 32  3 = 96

Escribe la fracción irreducible equivalente a las siguientes.

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. a) b)

4 16 300 400

Solución: a) b)

4 16

=

300 400

2 8 =

= 30 40

1 4 =

4 ¿Es la fracción

15 20

2 3

=

3 4

la fracción irreducible de

72 132

?

Solución: Simplificando se tiene: 72 36 18 6    132 66 33 11

luego la respuesta es NO. 5

2 5 b) Indica si los siguientes pares de fracciones son equivalentes : 4 8 6 9 y ; y 9 18 4 6 a) Calcula 3 fracciones equivalentes a

Solución:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. a) Basta multiplicar numerador y denominador por un mismo número, luego 3 fracciones equivalentes a

2 5

4

son :

,

6

10 15

y

8 20

b) Basta multiplicar el numerador de una fración con el denominador de la otra y viceversa y comprobar que el resultado es el mismo : 4·18 = 72 = 9·8  6·6 = 36 = 9·4 

6

4 9 6 4

y

y

8 18

9 6

son equivalentes.

son equivalentes.

Completa la siguiente tabla. Fracción

Porcentaj e

Lectura

Significado

43 %

43 por ciento

43 de cada 100

7 100

29 por ciento 85 de cada 100

Solución: Fracción 43 100

Porcentaje

Lectura

Significado

43 %

43 por ciento

43 de cada 100

7 100

7%

7 por ciento

7 de cada 100

29 100

29 %

29 por ciento

29 de cada 100

85 100

85 %

85 por ciento

85 de cada 100

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 7 Calcular la fracción equivalente irreducible de

24 42

. Solución: 24 42

8

=

12 21

=

4 7

Completa la siguiente tabla: Fracción 2 6

3 fracciones equivalentes

Fracción irreducible

5 15 4 50

Solución:

9

Fracción 2 6

3 fracciones equivalentes 4 6 8 , , 12 18 24

Fracción irreducible 1 3

5 15

10 15 20 , 30, 45 60

1 3

4 50

8 12 16 , , 100 150 200

2 25

Une mediante fechas cada fracción con su lectura y con su representación gráfica.

Solución:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas.

10 Encuentra la fracción y el porcentaje de la parte señalada en color gris

Solución:

a) b) c) d)

4 8 3 10 3 12 3 5

11

En una tienda de discos tienen la quinta parte de los discos sobre música clásica, y el resto sobre música infantil. ¿De qué tipo de música hay más discos?

Solución:

2 3

sobre música moder

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Se reduce a común denominador

Luego de música infantil habrá

Así pues la fracción mayor es

1 5

y

2 3



3 15

y

10 15

.

15  3  10 2 = . 15 15

10 15

que corresponde a la música moderna.

12 Ordenar de mayor a menor las fracciones: 2 7 4 11 13 , , , , 5 9 20 6 12 . Solución: Mínimo común múltiplo de los denominadores: 5=5 9=3·3 20 = 2 · 2 · 5 6=2·3 12 = 2 · 2 · 3 m.c.m. (5, 9, 20, 6, 12) = 5 · 3 · 3 · 2 · 2 = 180 180 : 5 = 36 180 : 9 = 20 180 : 20 = 9 180 : 6 = 30 180 : 12 = 15 Con lo que: 2 2 · 36 72 7 7 · 20 140 4 4·9 36 = = ; = = ; = = ; 5 5 · 36 180 9 9 · 20 180 20 20 · 9 180 11 6

=

11· 30 6 · 30

=

330 180

;

13 12

=

13 · 15 12 · 15

=

195 180

Comparamos los numeradores: 330 195 140 72 36 11 13 7 2 4 > > > >  > > > > 180 180 180 180 180 6 12 9 5 20

13

En una tienda de ropa se vendieron en 1 semana 585 prendas distintas, de las cuales 1 3

pantalones y el resto otra clase de prendas. ¿Qué tipo de prenda se vendió más?

¿Cuántas camisetas y pantalones se vendieron?

5 13

eran camisetas,

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Solución:

Se reduce a común denominador luego :

39 - 15 - 13 39

=

La fracción mayor es

11 39

15 39

5 13

y

1 3



15 39

y

13 39

se vendió del resto de prendas.

=

5 13

 se vendieron más camisetas.

Para hallar el número de camisetas vendidas hay que calcular

1 13

de 585 =

585 13

= 45, luego

5 13

5 13

de 585.

serán 5·45 = 225. Se vendieron 225 camisetas.

De igual manera para el número de pantalones: 1 585 de 585 = = 195 pantalones. 3 3

14 Reduce a mínimo común denominador las fracciones :

2

,

3

36 12

y

6 18

Solución: Mínimo común denominador: m.c.m. (36, 12, 18) = 36 2 36 3 12 6 18

15

=

=

=

2 ·1 36 · 1 3 ·3 12 · 3 6·2 18 · 2

=

=

=

2 36 9 36 12 36

En una pastelería dividen las tartas en porciones para venderlas. De una tarta quedan sin vender

2 6

y de otra

3 4

.

Reduce a mínimo común denominador estas fracciones.

Solución:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Mínimo común denominador: m.c.m. (6, 4) = 12 2 6 3 4

=

=

2·2 6·2 3·3 4·3

=

=

4 12 9 12

16

En una carrera de bicis se ha de recorrer 770 Km. La bici 1 lleva recorridos los la bici 2 los

6 7

y la bici 3 los

9 11

4 5

del trayecto;

.¿Cuál de las 3 bicis va en primera posición?

¿Cuántos kilómetros ha recorrido cada una?

Solución: Para saber qué bici va en primera posición, se reducen las fracciones a común denominador: m.c.m.(5,7,11) = 385 Luego: 4 4·77 308   5 5·77 385 6 6·55 330   7 7·55 385 9 9·35 315   11 11·35 385

Luego comparando fracciones, se observa que la bici 2 va en primera posición.

La bici 1 ha recorrido La bici 2 ha recorrido La bici 3 ha recorrido

4 5

de 770;

1 5

de 770 =

770 5

= 154 

4 5

son 4·154 = 616 Km.

6

1 770 6 de 770; de 770 = = 110  son 6·110 = 660 Km. 7 7 7 7 9 11

de 770;

1 11

de 770 =

770

17 Ordena las fracciones de menor a mayor:

11

= 70 

9 11

son 9·70 = 630 Km.

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 4 2 7 5 , , , 3 5 15 6

. Solución: m.c.m. (3, 5, 15, 6) = 30 4 3

2 5

=

=

7

6

=

=

3 · 10

2·6

=

5·6

=

15 5

4 · 10

7·2 15 · 2

5·5

=

6·5

40 30

12 30

=

14 30

25 30

Con el mismo denominador, podemos comparar los numeradores: 12 30

<

14

<

30

25 30

<

40 30



2 5

<

7 15

<

5 6

<

18 Escribir 3 fracciones mayores que

4 3

2 5

y menores que

2

.

3

Solución: Se reduce a común denominador las fracciones dadas: 2 2·3 6   5 5·3 15 2 2·5 10   3 3·5 15 Así :

7

,

8

,

9

15 15 15

son las fracciones pedidas.

19 Un depósito contiene

13 36

de su capacidad y otro

7 24

.

Reduce esas fracciones a mínimo común denominador.

Solución: Mínimo común denominador: m.c.m. (36, 24) = 72

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 13 36 7 24

=

=

13 · 2 36 · 2 7·3 24 · 3

26

=

72

=

21 72

20 Ordena de menor a mayor las fracciones dadas por las siguientes figuras:

Solución: 3 3 1 6 4 Las fracciones a ordenar son : , , , , 5 7 4 8 9 3·

2

Se reduce a común denominador hallando el m.c.m. (5,7,4,8,9) = 2 3 · 5 · 7 = 2520 2520 : 5 = 504 ; 2520 : 7 = 360 ; 2520 : 4 = 630 ; 2520 : 8 = 315 ; 2520 : 9 = 280 Así, 3 3·504 1512   5 5·504 2520 3 3·360 1080   7 7·360 2520 1 1·630 630   4 4·630 2520 6 6·315 1890   8 8·315 2520 4 4·280 1120   9 9·280 2520

Luego, ordenando: 1 4

<

3 7

<

4 9

<

3 5

<

6 8

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas.

21 Completa la siguiente tabla.

Fracciones

8 3 y 9 10

1 2 y 3 5

2 6 y 5 7

1 2 3 , y 2 3 4

8 3 y 9 10

1 2 y 3 5

2 6 y 5 7

1 2 3 , y 2 3 4

80 27 y 90 90

5 6 y 15 15

14 30 y 35 35

12 16 18 , y 24 24 24

Fracciones con común denominador

Solución:

Fracciones Fracciones con común denominador

22 Dadas las fracciones :

2

,

2

12 3

y

2 4

a) Halla el mínimo común múltiplo de los denominadores. b) Reduce las fracciones a ese denominador común. Solución: a) Para hallar el mínimo común múltiplo de los denominadores, los descomponemos en factores primos: 12 = 2 · 2 · 3 3=3 4=2·2 Mínimo común múltiplo: m.c.m. (12, 3, 4) = 12. b)

2 12 2 3 2 4

=

=

=

2 ·1 12 · 1

2·4 3·4 2·3 4·3

=

=

=

2 12

8 12 6 12

23 Observa estas parejas de fracciones y completa las siguientes frases: 3 3 2 3 y y 7 9 5 5

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. a) La fracción ............... es mayor que ........... b) La fracción ............... es mayor que ........... c) De dos fracciones que tienen el mismo NUMERADOR, es mayor la que .................. d) De dos fracciones que tienen el mismo DENOMINADOR, es mayor la que ............... Solución:

- La fracción

- La fracción

3 7 3 5

es mayor que

es mayor que

3

.

9 2

.

5

- De dos fracciones que tienen el mismo NUMERADOR, es mayor la que tiene menor denominador. - De dos fracciones que tienen el mismo DENOMINADOR, es mayor la que tiene mayor numerador. 24

Dada la fracción

5 6

, escribe 2 fracciones mayores que ella con el mismo denominador

y otras 2 fracciones menores que ella con el mismo numerador.

Solución:

Mayores que

Menores que

5 6 5 6

con el mismo denominador pueden ser

con el mismo numerador pueden ser

25 Reduce a común denominador las fracciones :

Solución: Denominador: 6 · 3 · 2 · 8 = 288 1 6

2 3 3 2

=

=

=

1· (3 · 2 · 8) 288

2 · (6 · 2 · 8) 288 3 · (6 · 3 · 8) 288

=

=

=

48 288

192 288 432 288

5 7

7 6

y

y

5 8

8 6

.

.

1 2 3 6 , , y 6 3 2 8

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 6 8

=

6 · (6 · 3 · 2) 288

=

216 288

26 Reduce a común denominador 24 las fracciones: 3 2 y 12 4

Solución:

3 3·2 6   12 24 24 2 2 · 6 12   4 24 24 27 Halla

1 4

y

3 16

de 32 y, analizando el resultado obtenido, indica cuál de

las dos fracciones es menor.

Solución: La cuarta parte de 32 es 8. 1 3 de 32 es 2, luego será 3 · 2 = 6. 16 16

Con lo que es menor la fracción

3 16

.

28 Representa en los rectángulos dados las siguientes fracciones: 1 2 4 , y 4 8 10 Después, compáralas y simplifícalas.

Solución:

1 4

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 2 8

4 10

Se observa que

1

1 4

=

2

4

<

8

10

es una fracción irreducible.

4 2

1

=

8 4

10

4

=

es la fracción irreducible.

2 5

es la fracción irreducible.

29 Expresa como fracción la parte sombreada de las siguientes figuras y compara las fracciones obtenida a)

b)

c)

Solución: a)

4 8

;

b)

3 4

;

Se observa que

c)

4 8

=

5 10

5 10

=

1 2

, luego son fracciones equivalentes.

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Se compara

4 8

=

4 8

3

;

4

4 8

=

y

6 8

3 4

reduciendo a común denominador  8



4 8

<

6 8



4 8

<

3

.

4

30 Reduce a mínimo común denominador las fracciones :

1 2 6 , y 12 3 8

Solución: Mínimo común múltiplo: m.c.m. (12, 3, 8) = 24 1 1· 2 2 = = 12 12 · 2 24 2 3 6 8

=

=

2·8 3·8 6·3 8·3

=

=

16 24 18 24

31 En una carnicería 16 personas han comprado 7 6

3 8

Kg. de cerdo y otras 12 personas

Kg. de vaca. ¿Cuántos Kg. se han vendido en total?

Solución: 3 48 Cerdo  16· = = 6 Kg. 8 8 7 84 Vaca  12· = = 14 Kg. 6 6

Total de carne vendida = 14 + 6 = 20 Kg. 32 Realiza las siguientes operaciones, simplifica el resultado y halla el opuesto y el inverso de cada uno.

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. a) b)

5 2 · 6 3 2 5

c) 2· d)

5 2

:

4 5

7 3 : 10

Solución:

5 2 10 5 5 9 · = = ; opuesta = ; inversa = 6 3 18 9 9 5 2 4 10 1 1 b) : = = ; opuesta = ; inversa = 2 5 5 20 2 2 7 14 14 3 c) 2· = ; opuesta = ; inversa = 3 3 3 14 5 5 1 5 1 1 d) : 10 = · = = ; opuesta = ; inversa = 4 2 2 10 20 4 4 a)

33 Opera la siguiente expresión, indicando el resultado de forma irreducible y representando dicho resultado de manera gráfica. 1 5 7 1    3 6 9 2

Solución: El m.c.m. (3,6,9,2) = 18. 1 5 7 1 6 15 14 9 29  15 14 7           3 6 9 2 18 18 18 18 18 18 9

Gráficamente:

34 Realiza las siguientes sumas y restas simplificando, si es posible, el resultado final: 2 +

7 5 8  + 10 4 3

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. ¿Qué fracción habría que sumar al resultado para llegar a la unidad? Solución: El m.c.m. (10,4,3) = 22·3·5 = 60 2

7 5 8 120 42 75 160 202  195 7         10 4 3 60 60 60 60 60 60

Para llegar a la unidad se debe sumar a

7 60

la fracción

53 60

.

35 Calcula expresando el resultado en forma de fracción irreducible:

3  1 1 6 :  + 2 3 5 4 7 1 8 2  b)  2   · + : 9 4 3 9  a)

Solución:

3  1 1 6 3  5 3  6 3 2 6 45 6 51 :  + = :  + = + = + = : 2  3 5  4 2  15 15  4 2 15 4 4 4 4 7  1 8 2  18 7  1 72 11 72 22 216 238 119  b)  2   · + : =   · + = + = + = = 9 4 3 9  9 9 4 6 9 6 18 18 18 9  a)

36 Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado:

a) b) c) d)

3 5

:

10 25

6 30 · 5 7 1 2 3 8

:

1 3

·4

e) 4 :

Solución:

1 5

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas.

a)

3 10 3 25 75 3 : = · = = 5 25 5 10 50 2

b)

6 30 180 36 · = = 5 7 35 7

c)

1 1 1 3 : = ·3 = 2 3 2 2

d)

3 8

·4 =

e) 4 :

12 8

=

3 2

1

5 = 4· = 20 5 1

37 Realiza la siguiente operación: 1 3 1   2 4 8 3

y expresa el resultado como fracción irreducible. Solución: Calculando el m.c.m. (4,8,3) = 24, se obtiene: 1 3 1 6 9 8 48 55   2     4 8 3 24 24 24 24 24

es una fracción irreducible. 38 Realiza las siguientes operaciones, simplifica y expresa el resultado como número mixto:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 1

a)

6

·8

2 5 · 3 3

b)

5

c)

2 3

d)

7

:2 1

:

e) 7 :

5 56 4

Solución: a) b) c)

1

·8=

6 2

·

3 5 2

5 3

:2=

8 6

= 5 2

4

=

10 9 ·

3

= 1+ 1

= 1+

1 2

=

9

5 4

1 3

=1

=1

= 1+

1 3

1 9 1 4

=1

1 4

3 1 3 15 1 1 d) : = ·5= = 2+ = 2 7 5 7 7 7 7 e) 7 :

56 4

= 7·

4 56

=

28 56

=

1 2

39 Realiza las siguientes operaciones: 3 2 1 + + 5 4 2 5 13 1 b) +  9 12 3 a)

Simplifica el resultado si es posible. Solución: a) El m.c.m.(5,4,2) = 20

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 3 2 1 12 10 10 32 8        5 4 2 20 20 20 20 5

b) El m.c.m.(9,12,3) = 36 5 13 1 20 39 12 47       9 12 3 36 36 36 36

40 Halla el resultado de las siguientes operaciones con fracciones en el orden correcto y simplifícalo si es posible: a)

3 1 5 2 · - : 4 2 6 3

b)

3 3 +  5 5 4 2 6

-

1

·

Solución:

3 1 5 2 3 15 9 30 ·  : =  =  = 4 2 6 3 8 12 24 24 6 1 3 3 6 1 3 6 b)  · +  =  · +  = 5 5 4 2 5 5 4 4 a)

27 9 = 24 8 6 1 9 6 9 24 9 15 3  · =  =  = = 5 5 4 5 20 20 20 20 4

41 Resuelve estas operaciones, expresando el resultado en forma de fracción irreducible:

8 3 1 ·  6 2 4 2 5 7 b) + · 5 3 2  7 1 4  29 c)  +   : 5 3 9 5 a)

Solución:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 8 3 1 24 1 1 8 1 7 ·  =  =2 =  = 6 2 4 12 4 4 4 4 4 2 5 7 2 35 12 175 187 b) + · = + = + = 5 3 2 5 6 30 30 30 7 1 4 63 15 20 58 c) +  = +  = 5 3 9 45 45 45 45 58 29 290 10 2 Así : = = = 45 5 1305 45 9 a)

42 Una persona invirtió en Bolsa primero los

4 9

3 5

de su capital y luego

del resto. Si disponía de 45.000 euros :

a) ¿Qué fracción de capital invirtió? b) ¿Qué cantidad de dinero invirtió en cada momento? Solución:

a) De la primera inversión sobra

5 3 2 4  = del capital, del cual invierte , 5 5 5 9

4 2 8 · = es la segunda inversión. 9 5 45 3 3 · 45000 b) de 45000 = = 27000 euros en la primera inversión. 5 5 8 8·45000 de 45000 = = 8000 euros en la segunda inversión. 45 45 es decir

43

Se sacan las

3 7

partes de agua de un pozo de 21litros de capacidad.

De esta cantidad se reserva la tercera parte para beber. ¿Qué cantidad se reserva para beber? ¿Qué fracción representa?

Solución:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 3

Agua que se saca :

7

de 21 = 9 litros.

Para beber se reserva :

1 3

de 9 litros = 3 litros.

En forma de fracción será la tercera parte de

3 7



3 1 1 · = 7 3 7

44 De una tarta de cumpleaños, Jorge coge la cuarta parte, María coge la tercera parte de lo que queda y Carolina la mitad de lo que queda. a) ¿Qué fracción del total de la tarta coge cada uno? b) ¿Qué fracción de tarta sobra? Solución:

a) Jorge coge

1 4

, por lo que sobran

María coge la tercera parte de

3 4

3 4

Entre Jorge y María han cogido

3

3 1 1 :3= · = 4 43 4

 1 4

+

1 4

Carolina coge la mitad de la mitad 

b) Entre los tres han cogido

1 2

+

1 4

=

2 4

+

=

2 4

=

1 2

 sobra la mitad.

1

11 1 :2= · = 2 22 4 1 4

=

3 4

, luego sobra

1 4

de la tarta.

45

Se divide un solar en 3 partes : la cuarta parte para un polideportivo,

5 9

para edificar pisos y el resto para jardines. ¿Cuál es la menor de las 3 partes?

Solución: Se ve qué fracción queda para jardines: 1 4

+

5 9

=

9 36

+

20 36

=

29 36

para polideportivos y pisos.

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Así 1 

46

29 7 = para jardines, que es la menor de las tres. 36 36

De las actividades realizadas en una clase, la mitad se dedica a resolver ejercicios, 5 18

a problemas y el resto a teoría.

a) ¿Qué fracción se dedica a resolver problemas y ejercicios? b) Calcula la fracción que representa la teoría. Solución: 1 5 9 5 14 7 + = + = = 2 18 18 18 18 9 7 9 7 2 b) La teoría representa 1  =  = 9 9 9 9 a)

47 Realiza las siguientes operaciones con fracciones y simplifica el resultado hasta obtener la fracción irreducible:

4 1 3 8 + ·  7 7 4 7 2  4 b) 3    1 · 5  3 a)



1  2

Solución:

4 1 3  8 1  4 3  16 7  4 3 9 16 3 18 1 + ·    = +    = +  = = + 7 7 4  7 2  7 28  14 14  7 28 14 28 28 28 28 9 45 9 54 18 2  4 2 5 4  3  4 b) 3    1 · = 3     · = 3    · = 3  = + = = 5 3 5 5 3 5 3 15 15 15 15 5       a)

48 a) Escribe b) Escribe

Solución:

3 5 3 5

como producto de 2 fracciones. como cociente de 2 fracciones.

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. a) b)

3 5 3 5

= =

6 10

=

6 1 · 5 2

3 5 : 2 2

49 Halla el resultado y exprésalo en forma de fracción irreducible:

4 7 2 3 9  : + · 5 5 4 2 10 1  2 3 7  b) ·  3    ·   1 8  5 2 4  a)

Solución: a)

4 7 2 3 9 4 28 27 16 56 27 -13 - : + · = + = + = 5 5 4 2 10 5 10 20 20 20 20 20

b)

 8  1

·3 -

2  3  7  1  15 2  3  7 4  1 13 3 3 13 9 13 45 -32 -4 - = = =  - ·  - 1 = ·  -  - ·  -  = · - · = 5  2  4  8  5 5  2  4 4  8 5 2 4 40 8 40 40 40 5

50 Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado: 3  1 3 7 · :   8 2 5 4 9  1 3 2 b) :  ·  5 8 4 9 a)

Solución:

3  1 3  7 3 5 7 15 7 15 84 69 23 · :   = ·  =  =  = = 8  2 5  4 8 6 4 48 4 48 48 48 16 9  1 3 2  9  1 6  9  9 12  9 3 648 216 b) :  · = :   = = = : = : 5  8 4 9  5  8 36  5  72 72  5 72 15 5 a)

51 Halla el resultado en forma de fracción irreducible de:  3 2  7 5  a) 4  3 :   ·     8 9  4 2  2 1 7  3  b)    · + 2   5 3 2  4 

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Solución:  3 2  7 5   3 2  7 10   3 2  3  3 6  a) 4·3 :   ·   = 4·3 :   ·   = 4·3 :   ·   = 4·3 :  + =  8 36   8 9  4 2   8 9  4 4   8 9  4  156 13 72 288  108 48  = 4·3 :  + = 4·3 : = 4· =  = 4·3 : 288 24 13 13  288 288  b)

2 1 7  3  2  1 7  3 8  2  1 7 11  2  1 77  2    · + 2  =    · +   =   ·  =   = 5 3 2  4  5  3 2  4 4  5  3 2 4  5  3 8  5 48 40 1155 1163   + = 120 120 120 120



1 77 + = 3 8

52 Completar:

a) b) c)

2 5 α 7 1 α

+ + +

α 10 2 3 7 3

=0

= =

17 21 β 15

Solución:

2 α 4 α + =0  + = 0  α = 4 5 10 10 10 α 2 17 3α 14 17 b) + =  + =  α =1 7 3 21 21 21 21 1 7 β 1 7 3 35 38 c) + = tiene dos soluciones  + = + =  α = 5; β = 38 α 3 15 5 3 15 15 15 1 7 1 35 36  + = + =  α = 15; β = 36 15 3 15 15 15 a)

53 Realiza las siguientes operaciones y simplifica el resultado si es posible:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. a)

1 2 : ·  2 3 5

b)

2 1 3  : · 3 2 4

c)

 1 7 1 :  :  2 3

d)

2 4 6 · · 3 5 8

1

Solución: a)

 1 2  1 2 15 : · = : = 2  3 5  2 15 4

b)

 2 1 3 4 3  : · = · = 1 3 2 4 3 4

c)

7 6  1 7 1 :  : = 2 : = 3 7  2 3

d)

2 4 6 2·4·6 48 4 2 · · = = = = 3 5 8 3·5·8 120 10 5

1

54 Calcula:

4 5  1 3  7   2· :    + ·   1 3 4  3 2  4  8 2  5  3  7 1 b) :  +   ·  9 3  2  4  3 9  a)

Solución:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. a)

b)

4 5  1  3  7  4 10  1  3  7  2· :    + ·   1 =  :    + ·  3 4  3 2  4  3 4  3 2  4 32 180 99 113 = +  = 24 24 24 24 8 2 5  3  7 : +   · 9 3  2  4  3





4  4 30 3  11  4 30 + ·   = + = + 4 3 4 2  4  3 4

1  24  5 21 1  24  90 =    =  9  18  2 12 9  18  36

55 a) El producto de dos fracciones es b) El cociente de dos fracciones es

9 35 5 8



63 36

. Si una de ellas es

3 5



4  24 = 36  18



23 48 = 36 36





23 25 = 36 36

. ¿Cuál es la otra?

. Si la fracción que actúa como dividendo es

7 4

. ¿Cuál es la otra?

Solución:

a)

3α 9 · = , luego para calcular la fracción pedida se realiza la siguiente operación : 5 β 35 α β

b)

=

9

:

3

35 5

=

9 5 45 3 · = = 35 3 105 7

7 α 5 α 7 5 56 14 : =  = : = = 4 β 8 β 4 8 20 5

56 Realiza estas operaciones y expresa el resultado en forma de fracción irreducible:

a)

3 1 9 : ·  4 2 5

1 9 3 · : 2 5 4

b) 

 3 1 9 : · 4 2 5

c) 

3 9  3 : :  5 10  5

d) 

¿Qué relación hay entre el resultado de a) y b)?

33 = 8

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Solución:

a) b)

3

9

:

4 10 9

:

3

10 4

= =

30 36 36 30

= =

5 6 6 5

5 6 Se observa que a) y b) son fracciones inversas ya que · = 1 65

c)

 3 1  9 6 9 54 27 =  : · = · =  4 2  5 4 5 20 10

d)

 3 9  3 30 3 2 3 10 : = : =  : : =  5 10  5 45 5 3 5 9

57 Opera y simplifica:

4 2  3 2  · 1 : 1 3 3  4 5 6  1 1 5 1  3  b) ·  :     ·  2   9  8 3  3 3  2  a)

Solución:

a)

b)

4 2  3 2 4 2  15  4  ·1  :   1 =  ·1   1= 3 3  4 5 3 3 8  3 32 14 24 22 11 = +  = = 24 24 24 24 12 6  1 1  5 1  3  6 3  5 · :    · 2   = ·   9  8 3   3 3  2  9 8  3 18 9 18 108 90 5 =  =  = = 72 6 72 72 72 4





2  8 15  4 ·   1= 3 8 8  3

14 · 32



3  18  5   = 2  72  3





2  7 4 14 ·    1 = + 1= 3  8 3 24

1 1  18  5 · =  3 2  72  3



1  18  10  = 6  72  6



1 = 6

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 58 En una fiesta hay un montón de golosinas. Beatriz coge

2 7

y Fernando

3 8

.

Al final han quedado para el resto 475 golosinas.

a) ¿Qué fracción ha quedado para el resto? b) ¿Cuántas golosinas ha cogido Fernando? ¿Y Beatriz? Solución: a) Hay que ver que fracción han cogido entre Beatriz y Fernando: 2 3 16 21 37     7 8 56 56 56

Quedan para el resto 1 

37 56  37 19 = = 56 56 56 .

b)

19 56

representa 475 golosinas, luego

Fernando ha cogido Beatriz ha cogido

3 8

2 7 =

=

16 56

21 56

1 56

será 475 : 19 = 25 golosinas.

, luego Fernando tendrá 16·25 = 400 golosinas.

, luego Beatriz ha cogido 21·25 = 525 golosinas.

59 En un puesto de helados se han vendido en una mañana los

4 7

de los helados.

Por la tarde se han vendido la tercera parte de los que quedaban.

a) ¿Qué fracción representan los vendidos por la tarde? b) Si hay 60 helados no vendidos, ¿cuántos había a primera hora de la mañana?

Solución:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 4 3 = . 7 7 3 3 3 1 1 Por la tarde se han vendido la tercera parte de , es decir, : 3 = · = se vendieron por la tarde. 7 7 73 7 7 4 1 2 b) En forma de fracción quedan sin vender   = , correspondiente a 60 helados. 7 7 7 7 1 7 Luego corresponde a 30 helados será 7·30 = 210 helados había a primera hora de la mañana. 7 7 a) Se ve cuántos quedan por vender para la tarde

60 Escribe

5 6

7 7



:

a) Como diferencia de 2 fracciones con distinto denominadoren de 3 formas diferentes. b) Como suma y resta de 3 fracciones distintas con denominador diferente. Solución:

a) Basta sumar a

5 un número distinto cada vez. Por ejemplo : 6

5 1 5 2 7 + = + =  6 3 6 6 6 5 1 10 3 13 + = + = 6 4 12 12 12 5 2 25 12 37 + = + = 6 5 30 30 30 b)

7 6

1 5 = 3 6 13 1 5   = 12 4 6 37 2 5   = 30 5 6 

5 2 1 3 12 9 6 = +  = +  6 3 2 9 18 18 18

61 Ordena de mayor a menor las fracciones: 5 7 9 5 7 , , , , 9 4 6 3 8

Solución: Se reducen a común denominador que es: m.c.m.(9, 4, 6, 3, 8) = 72 5 40  9 72

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 7 126  4 72 

9 108  6 72



5 120  3 72

7 63  8 72

Ordenando de mayor a menor las equivalentes con igual denominador:

126 63 40 108 120     72 72 72 72 72 Las que pedían quedan ordenadas como sigue: 7 7 5 9 5     4 8 9 6 3

62 Escribe una fracción irreducible que cumpla la condición: 3 4 ? 8 9 ¿Es única la solución? Solución: Reducimos a común denominador 3 8 4 9

= =

Así,

3·9 8·9 4·8 9·8 3 8

<

= =

3 8

y

4 9

:

27 72 32 72

28 72

<

4 9

. La fracción irreducible de

28 72

es

7 18

.

La solución no es única. Otras posibles soluciones son :

29 30 5 31 , (= ), . 72 72 12 72

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 63

Antonio tiene

5 8

de los sellos de una colección. Si la colección tiene en total 120 sellos

y tiene repetidos

1 6

de esta cantidad. ¿Cuántos tiene repetidos?

¿Cuántos sellos tiene Antonio? ¿Cuántos sellos le faltan para completar la colección?

Solución: 5 1 15 4 y : y . 8 6 24 24 24 1 Si 120 sellos corresponden a ,a le corresponden 5 sellos. 24 24 4 Luego, serán 5·4 = 20 sellos repetidos. 24 15 Antonio tiene sellos, es decir, 15·5 = 75 sellos incluyendo los repetidos. 24 Sin repetir, Antonio tiene 75  20 = 55 sellos, luego le faltan 120  55 = 65 sellos para completar la colección. Reducimos a común denominador

64 Ordena de menor a mayor los números: 5 19 7 32 3 , ,4 , 6 4 9 5

Solución: Se expresan los números mixtos en forma de fracción: 3

5 5 18 5 23 3    6 6 6 6 6

4

7 7 36 7 43  4    9 9 9 9 9

Se reducen las fracciones a común denominador que es m.c.m.(6, 4, 9, 5) = 180 23 6

=

690 180

19 855  4 180 43 860  9 180

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 32 1152  5 180

Ordenándolas de menor a mayor: 690 180

<

855 180

<

860 180

<

1152 180

La ordenación de los números es: 3

5 19 7 32  4  6 4 9 5

65 ¿Están ordenados correctamente los siguientes números? 2

1 14 7 1   3 3 4 5 6

Si no lo están, escribe el orden adecuado. Solución: Se expresan los números mixtos en forma de fracción: 2

1 1 6 1 7  2    3 3 3 3 3

3

1 1 18 1 19 3    6 6 6 6 6

Se reducen las fracciones a denominador común: m.c.m.(3, 4, 5, 6) = 60 7 140  3 60 11 165  4 60

7 84  5 60 19 190  6 60

No están ordenadas correctamente. Debería ser: 7 1 11 1 2  3 5 3 4 6

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 66 De los números

23 5

,2

1 4

,3

5 45 , , ¿cuál es el más pequeño? 8 7

Solución: Se expresan los números mixtos en forma de fracción:

2

1 1 8 1 9  2    4 4 4 4 4

3

5 5 24 5 29 3    8 8 8 8 8

Se reducen a común denominador: m.c.m.(5, 4, 8, 7) = 280 23 1288  5 280 9 4

=

630 280

29 1015  8 280 45 1800  7 280

1 El más pequeño es 2 . 4

67 Ordena de mayor a menor las fracciones: 15 8 11 28 , , , 32 9 15 45

Solución: Se reducen a denominador común: m.c.m.(32, 9, 15, 45) = 1440 15 675  32 1440 

8 1280  9 1440



11 1056  15 1440

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 28 896  45 1440

Ordenando las equivalentes con igual denominador se obtiene: 896 675 1056 1280    1440 1440 1440 1440

Por tanto: 28 15 11 8    45 32 15 9

68 Ordena de forma creciente las fracciones: 7 5 10 1  , , , 16 6 3 2

Solución: Se halla el denominador común: m.c.m.(16, 6, 3, 2) = 48 Las equivalentes con denominador 48 son: 

7 21 = 16 48



5 40  6 48



10 160  3 48



1 24  2 48

Ordenando éstas de menor a mayor: 

160 40 24 21    48 48 48 48

Las del enunciado quedan ordenadas en la forma:



10 5 1 7    3 6 2 16

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 69

Carlos tiene una colección de cromos de los cuáles la cuarta parte son sobre motos, 2 5

partes son sobre coches y el resto de bicis. ¿Qué fracción de cromos tiene de bicis?

¿De qué parte tiene más? Si sobre motos tiene 100 cromos, ¿cuántos cromos tiene la colección?

Solución:

Se reduce a común denominador las fracciones 1 4 2 5

= =

1·5 4·5 2·4 5·4

= =

El total es

1

2 y . 4 5

5 20 8 20 20 20

, luego la fracción de cromos de bicis será

La fracción mayor es

8 20

=

2 5

20 - 5 - 8 20

70

20 20

5 20

Se reducen a denominador común: m.c.m.(12, 20, 16, 5) = 240



7 84  20 240



9 135  16 240

, luego

1 20

le corresponderá 100 : 5 = 20 cromo

5 7 9 3 , , , ? 12 20 16 5

Solución:

5 100  12 240

20

luego 20·20 = 400 cromos tiene la colección.

¿Cuál es la fracción más grande de entre las siguientes : 



7

; luego el mayor número de cromos los tiene sobre coches.

Sobre motos tiene 100 cromos que le corresponde la fracción La colección completa será

=

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 

3 144  5 240

La fracción mayor es 

7 . 20

71 Con las siguientes fracciones forma grupos de fracciones equivalentes: 5 4 6 10 8 2 16 10 4 , , , , , , , , 6 6 9 12 6 3 12 15 3

¿Cuál es la fracción irreducible de cada grupo? Solución: 1er grupo : 2o grupo : 3er grupo :

5 10 5 , . Fracción irreducible : 6 12 6 4 6 2 10 2 , , , . Fracción irreducible : 6 9 3 15 3 8 16 4 4 , , . Fracción irreducible : 6 12 3 3

72 En una tienda de alquiler de vídeos, en un día alquilaron 245 películas, de las que

3 7

eran películas de acci

¿Cuántas películas de acción se alquilaron? El resto, ¿qué fracción representa?

Solución:

1 7

de 245 = 35

Así,

3 7

serán 3·35 = 105 películas.

Se han alquilado 105 películas de acción. El resto representa

4 7

de las películas alquiladas.

73 Señala las fracciones mayores que la unidad y escríbelas como número mixto:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 8 4 17 20 , , , 5 7 19 7

Solución:

Las fracciones mayores que 1 son 8

=

5

20 7

5 5

=

+

3

= 1+

5

14 7

+

6 7

8 5

y

20 7

3 5

= 2+

6 7

74 Las previsiones de una empresa para el próximo año son de 360 mil euros. El reparto en la consecució de ese dinero se hace de la siguiente forma: - Pablo tiene que vender 150 mil - Carlos tiene que vender 90 mil - Pedro tiene que vender 120 mil Expresar en forma de fracción irreducible lo que ha de vender cada uno. Solución:

- Pablo :

- Carlos :

- Pedro :

150 360

90 360 120 360

=

15

=

=

=

36

9 36 12 36

5 12

=

=

1 4 1 3

75 ¿A cuántos sextos equivale

2 3

? Haz un dibujo.

Solución: Hay que buscar la fracción equivalente a Tenemos así :

2 3

=

4 6

2 3

con denominador 6.

, luego equivale a 4 sextos.

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Gráficamente:

76 Expresa estas fracciones en números mixtos y dibuja su representación gráfica.

Solución:

77 Escribe una fracción equivalente a

Solución:

2 5

con denominador 30.

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. La fracción será de la forma

? 30

y se cumplirá que :

2 5

=

? 30

Observar que basta multiplicar numerador y denominador por 6 luego ? = 12 La fracción pedida es

12 30

.

78 En un partido de fútbol, Juan ha metido

2 3

de los goles de su equipo y Raúl ha metido los otros 2 goles.

a) ¿Qué fracción de goles ha metido Raúl? b) ¿Cuántos goles ha metido Juan?

Solución: a) Si Juan ha metido b)

1 3

2 3

de los goles, Raúl ha metido

representa 2 goles,

79 a) Expresar la fracción

2 3

7 5

1 3

.

serán 4 goles, que es el número de goles que ha metido Juan.

como número mixto.

b) Expresar en forma de fracción el número mixto 6

Solución: a)

7 5

b) 6

=

1 7

5 5

+

2 5

=6+

= 1+

1 7

=

2 5

42 7

=1

+

1 7

2 5

=

43 7

80 Escribe con una fracción: a) La fracción de año que representan 4 meses. b) La fracción de día que representan 10 horas. c) La fracción de hora que representan 12 minutos. Simplifica las fracciones cuando sea posible, dando la fracción irreducible. Solución:

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. a) b) c)

4 12 10 24 12 60

= = =

1 3 5 12 1 5

81 ¿Cuáles de las siguientes fracciones se pueden expresar como número mixto? Escribe el número mixt que equivalen. 17 36 13 25 34 17 , , , , , . 9 48 5 16 40 18

De entre las que no se pueden expresar como número mixto, algunas se pueden simplificar. Obtén su fracción irreducible. Solución: a)

17 9

13 5 25 16

b)

36 48 34 40

82

=

=

=

=

=

9 9

+

10 5 16 16

8 9

+

+

=1

3 5

8 9

=2

9 16

3 5

=1

9 16

3 4 17 20

Una compañía telefónica está valorada en 600 mil euros (la unidad será 1000 euros). Se decide sacar

1 3

3 5

de la compañía a Bolsa de la siguiente manera :

para los empleados y

2 3

para público en general.

a) Calcula la cantidad de dinero ofertada en Bolsa. b) Calcula la cantidad de dinero ofertada a empleados. c) Calcula la cantidad de dinero ofertada al público en general.

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. Solución: Se calcula qué cantidad de dinero es

3 5

de 600 :

a) 1 5

es 120 

3 5

serán 360 mil euros.

b) La cantidad ofertada a empleados es la tercera parte de 360 mil, es decir, 120 mil euros. c) La cantidad ofertada al público será 360  120 = 240 mil euros.

83 A lo largo de todo el Camino de Santiago un grupo de amigos ha caminado 62 horas. Escribe ese perío como fracción de un día y como número mixto. Solución:

Un día tiene 24 horas, 62 horas como fracción de día es :

Expresado como número mixto será :

31 12

=

24 12

+

7 12

= 2+

62 24 7 12

=

31 12

=2

7 12

84 a)

Escribe los siguientes números mixtos en forma de fracción : 3

5 8

,6

2 7

b) ¿Cuánto le falta a cada número para llegar a la unidad siguiente? Solución:

5

a) 3

8

6 4

2 7 1

6

=3+ = 6+ = 4+

5 8 2 7 1 6

= = =

24 8 42 7 24 6

+ + +

5 8 2 7 1 6

= = =

29 8 44 7 25 6

,4

1 6

.

Colegio Portocarrero. Curso 2014-2015. Departamento de matemáticas. 5

b) Lo que le falta a 3

8 2

Lo que le falta a 6

7 1

Lo que le falta a 4

6

para llegar a la unidad siguiente es es es

5 7 5 6

3 8

.

. .

85 Un padre reparte su herencia entre sus 3 hijos: 1 - a Isabel le dio del total. 7

- a Marina le dio

2 7

del total.

- a Roberto le dio 8000 euros.

a) ¿Cuánto dinero ha sido repartido? b) ¿Qué cantidad corresponde a cada hijo? Solución:

a) Si a Isabel le dio

1 7

y a Marina

Luego a Roberto le dio Con lo que

1 7

serán :

4 7

7

1 7

A Marina le dio

7 7

7

7

del dinero.

que corresponde a 7·2000 = 14000 euros.

, esto es, 2000 euros.

2

3

= 2000 euros.

El dinero que tiene el padre es

b) A Isabel le dio

, a las dos les dio un total de

del dinero, que son 8000 euros.

8000 4

2

, es decir, 2000·2 = 4000 euros.