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SESIÓN

CONTENIDOS: ↘Concepto de par ordenado. ↘El Plano cartesiano. ∼El par ordenado en el plano cartesiano.

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↘ Conceptos de Relación y Función. ↘ Diferencia entre relación y Función. ↘ Dominio y recorrido e inversa. ↘ Gráfico de funciones.

OBJETIVO: ∼ Grafica puntos en los cuatro cuadrantes del plano cartesiano. ∼ Determina dominio, recorrido e inversa de relaciones por extensión. ∼ Transforma relaciones por comprensión en relaciones por extensión. ∼ Diferencia relaciones de funciones. ∼ Determina dominio, recorrido e inversa en funciones expresadas en notación funcional (implícita o Explícita). ∼ Grafica funciones lineales y racionales simples en el plano cartesiano.

Profesor: Víctor Manuel Reyes F. Asignatura: Matemática Básica (MAT-003) Primer Semestre 2011

Concepto de Función

¿Dónde se usan las Funciones?

La palabra “función” es utilizada en nuestro lenguaje común para expresar que algunos hechos dependen de otros. Así, la idea matemática de función no es un concepto nuevo, sino una formalización de nuestra idea intuitiva.

Una función se puede presentar mediante una tabla.

Por ejemplo, la reacción de un organismo frente a un fármaco depende de la dosis del medicamento; el crecimiento de una población depende del número de individuos y de depredadores.

Ejemplo: en la tabla siguiente se da la medida de un feto (en cm) dependiendo del tiempo de gestación (en meses). Edad Longitud (meses) (cm) 2

4

3

8

4

15

6

29

7

34

8

38

9

42

A cada mes de gestación le corresponde una longitud determinada. (2, 4) significa que cuando el feto tiene 2 meses, mide 4 cm. (6, 29) indica que a los 6 meses el feto mide 29 cm

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Representación Función 2 3 4 6 7 8 9

4 8 15 29 34 38 42

La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

Representación Función 2 3 4 6 7 8 9

4 8 15 29 34 38 42

La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

Representación Función 2 3 4 6 8 9

4 8 15 29 34 38 42

La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

Representación Función 2 3 4 6 7 8 9

4 8 15 29 34 38 42

La longitud del feto está en función de su tiempo de gestación.

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¿Son funciones? 2 3 4 6 7 8 9

4 8 15 29 34 38 42

Plano Cartesiano

y = f ( x)

P ( x; f ( x ) )

Variable Independiente: x Variable Dependiente: y = f(x)

x f(x) es la imagen de x x es la preimagen de f(x)

4 8 15 29 34 38 42

Dominio de una función El dominio de una o función es el conjunto de las primeras componentes (abscisas) de los pares ordenados de la relación. Longitud

2 3 4 6 7 8 9

Es el conjunto de las preimágenes, es la parte que tomo del conjunto de partida. Y lo denotaremos por Dom (f) Ejemplos:

1) R = {(2,3), (5, 7), (1, −1), (3, 4)} DomR = {2,5,1,3}

Edad

2) S = {( José , María ), ( Sebastián, Elena), ( Romeo, Julieta )} DomS = { José , Sebastián, Romeo}

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Recorrido de una función

Dominio y recorrido de una función

El recorrido de una función es el conjunto de las segundas componentes (ordenadas) de los pares ordenados de la relación. Es el conjunto de las imágenes, es la parte que tomo del conjunto de llegada. Y lo denotaremos por Rec (f) Ejemplos: 1) R = {(2,3),(5, 7), (1, −1),(3, 4)} Re cR = {3, 7, −1, 4}

2) S = {( José , María ), ( Sebastián, Elena ), ( Romeo, Julieta )} Re cS = {María, Elena, Julieta}

¿Cual es el Dominio y Recorrido de la siguiente función? f ( x) = 4 + x + 2 Dominio

x+2≥0 ⇔

x ≥ −2 Dom ( f ) = [ −2; ∞ +[

Tabla de Evaluación

Recorrido

y = 4+ x+2

⇔ y−4 = x+2 ⇔ ( y − 4 )2 = x + 2 ⇔ ( y − 4 )2 − 2 = x

Re c ( f ) = [ 4; ∞ +[ Buscar condiciones para la variable x

Buscar condiciones para la variable y

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Propiedades de las funciones Función Inyectiva (1-1)

Propiedades de las funciones

Es si los elementos del conjunto B (imagen) le corresponde un solo elemento del conjunto A (pre-imagen). Esta función es llamada inyectiva o 1 a 1.

f (a ) = f (b ) ⇒ a = b

Función Epiyectiva (sobre)

∀a , b ∈ Dom( f )

Una función es Epiyectiva (exhaustiva, o suprayectiva, o suryectiva, o sobreyectiva) cuando todo elemento del conjunto de llegada (B) es imagen de al menos un elemento del conjunto de partida (dominio o A).

Re c( f ) = B

Función Biyectiva

Sea f una función biyectiva de A en B, si y sólo si f es epiyectiva e inyectiva a la vez, es decir que todos los elementos del conjunto inicial (A) tengan una imagen distinta en el conjunto de llegada (B) (inyectiva), y que ademas el recorrido sea igual al conjunto de llegada (epiyectiva)

Ejemplo Función Inversa

Función Inversa Sea f : A → B una función biyectiva, entonces la función inversa f de f es una función biyectiva tal que

f −1 : B → A

y

−1

f −1 ( y ) = x ⇔ y = f ( x )

Hallar la inversa y grafica de la siguiente función f ( x ) = 2 x − 1 Solución Para hallar la inversa de la función debemos despejar la variable x

Gráficamente podemos representar estas funciones de la manera siguiente:

f

f −1

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Ejemplo Función Inversa

f ( x) =

x +1 2

f (x ) = 2 x − 1

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