Estadística Descriptiva Facultad Ciencias Económicas y Empresariales Departamento de Economía Aplicada Profesor: Santiago de la Fuente Fernández

1. Se ha realizado un estudio sobre el consumo de gas (en m3) en las viviendas de una urbanización durante el mes de enero, obteniéndose los datos que se muestran en la tabla. Consumo de gas (m3) 50‐100 100‐200 200‐400 400‐500

Viviendas 10 40 60 10

a) Represente el histograma de esta distribución. b) Calcule el consumo medio de gas de las viviendas. ¿El valor hallado es representativo de la distribución? c) Calcule el consumo más frecuente. d) Averigüe el valor del tercer cuartil de la distribución del consumo de gas y explique su significado e) Si la factura del gas consiste en una cantidad fija de 20€ más 0,5€ por cada m3 consumido, calcule la factura media de las viviendas y determine si la factura es más dispersa que el consumo. Solución: a) Consumo gas

amplitud ci

densidad ni

hi 

ni ci

Ni

xi

xi ni

x2i ni

50 ‐ 100

50

10

0,2

10

75

750

56250

100 ‐ 200

100

40

0,4

150

6000

900000

200 ‐ 400

200

60

0,3

300

18000

5400000

400 ‐ 500

100

10

0,1

50 90 110 120

450

4500

2025000

29250

8381250

4

 xi ni

b)  El consumo medio de gas de las viviendas:   a1  x  i1

N

1



29250  243,75 m3 120

4

 x2i ni

  a2  i1

N



8381250  69843,75           s2  a2  a12  69843,75  (243,75) 2  10429,6875 120

  sX  10429,6875  102,1258 m3              C.V 

sX 102,1258   0,42 (42%) x 243,75

El consumo medio de gas de las viviendas es de 243,75 m3, con una dispersión del 42%. Con lo cual, el consumo medio de gas no es muy representativo.

c)  El consumo más frecuente se encuentra en el intervalo modal  [100‐200), puesto que es en el que se alcanza la máxima densidad de frecuencia.                 Md  Li 

hi  hi 1 (hi  hi 1 )  (hi  hi 1 )

ci  100 

0,4  0,2 3 100  166,67  m (0,4  0,2)  (0,4  0,3)

      Adviértase que si la amplitud de los intervalos fuera constante:   Md  Li 

ni  ni 1 (ni  ni 1 )  (ni  ni 1 )

ci

3. N  Ni1 3. 120 4 d)  El tercer cuartil:    90 , observando en la columna  Ni ,  Q 3  P75  Li  ci  , de donde: 4 Ni  Ni1

                              Q 3  P75  200 

90  50 3 200  333,33 m 110  50

      El 75% de las viviendas que consumen menos, consumen como máximo 333,33 m3 de gas.  e)  Según el enunciado del apartado, la factura del gas viene dada por la relación  Y  20  0,5. X , por        tanto, hay un cambio de origen y de escala:       La factura media:   Y  20  0,5. X  20  0,5. 243,75  141,875 €       s2Y  Var(20  0,5.X)  0,52 .s2X  s Y  0,5.sX  0,5.102,1258  51,063 €      C.V 

S Y 51,063   0,36 (36%) y 141,875

     La factura del gas está menos dispersa que el consumo.  CAMBIO DE ORIGEN Y DE ESCALA DE LA MEDIA Y VARIANZA:    y  a  bx k

y

 yi .ni i1

N

k



 (a  bxi ). ni i1

N



k

k

i1

i1

a  ni  b  x i .ni N

k

a

ni i1

N 2

k

b

 x .n i1

i

N

i

 abx

 E(y)  E(a  bx)  y  a  b x

La media se ve afectada por el mismo cambio de origen y de escala efectuada sobre la variable. k

s2y 

 (yi  y) 2 .ni i 1

N

k



 (a  b xi  (a  b x) 2  . ni i1

N

k



 (b xi  b x)2 . ni i1

N

k

 b2

 (x  x) . n i1

2

i

i

N

 b2 s2x

 Var(a  b x)  b2 . s2x La varianza no se ve afectada por el cambio de origen pero si por el cambio de escala efectuado sobre la variable. 2. De una distribución bidimensional (X,Y) se sabe que al aumentar los valores de X aumentan los de Y. Se ha obtenido la recta de regresión lineal mínimo cuadrática de Y sobre X y se ha comprobado que la varianza residual, Sry2 vale cero. Se tienen además los valores de los siguientes momentos respecto al origen:

                             a10  2

a20  40

a01  10

a02  125

a) Determine la varianza debida a la regresión en la recta de Y/X y el valor de la covarianza. b) Se hace un cambio de variable de la forma X’= 2X.  Si se obtiene la nueva recta de regresión de Y/X´, ¿será bueno el ajuste? Razone su respuesta. c) Se decide cambiar la función de ajuste de Y sobre X por una constante, Y = c. Utilizando el método de mínimos cuadrados, determine el valor de esta constante para nuestro caso. Solución: 2 2 2  s  a  a  40  2  36 a)  Las varianzas de las variables X e Y, respectivamente, son:   2x 20 210 2  s y  a02  a01  125  10  25

Siendo  sry2  s2y (1  R2 )  0  1  R2  0  R2  1 , existe una dependencia funcional, el ajuste es perfecto. Para calcular la covarianza  sxy  tenemos en cuenta que

R2  b . b' 

sxy sxy .  1  s2xy  s2x . s2y  36 . 25  900  s xy  900  30 s2x s2y

b)  El coeficiente de determinación  R2  es invariante ante un cambio de origen y de escala, con lo que       la bondad del ajuste será idéntico. c)   E(y)  E(c)  y  c

3

 INVARIABILIDAD DEL COEFICIENTE DE CORRELACIÓN LINEAL R2:    X'  k X 



CAMBIO DE ORIGEN:

CAMBIO DE ESCALA:

a'10  x '  E(X')  E(k X)  kE(X)  k x

a'10  x '  E(X')  E(m  X)  m  E(X)  m  x

a'11  E(X'Y)  E (m  X)Y   E(mY)  E(X Y)  m y  a11

a'11  E(X'Y)  E(k X Y)  kE(X Y)  ka11

s x'y  a'11  x 'y  m y  a11  (m  x) y  a11  x y  s xy

sx'y  a'11  x 'y  ka11  k x y  k(a11  x y)  ksxy

a'20  s  Var (m  X)  s

a'20  s2x'  Var (k X)  k 2 Var(X)  k2 s2x

2 x'

c

s x'y s

2 x'



s xy s

2 x

R'2  c . c' 

c' 

2 x

s x'y s

2 y



s xy s

c

2 y

s xy sxy s2xy .   R2 2 2 2 2 sx s y sx . s y

s x'y s

2 x'



ksxy 2 2 x

k s

R'2  c . c' 

c' 

s x'y s

2 y



ks xy s2y

ksxy ksxy s2xy .   R2 2 2 2 2 2 k sx s y sx . sy

El coeficiente de determinación R2 es invariante ante un cambio de origen y de escala 3. Abel Grandes Pistado preguntó a sus 31 compañeros de clase qué calificación obtuvieron en el último examen de estadística. Sólo recuerda que él aprobó con la nota mediana de 5,6667 y su tocayo Escasi Lopasa tuvo un 4,6 (una de las notas más frecuentes habidas). Y, haciendo memoria, ha podido completar los siguientes datos:

Nota de estadística 0 ‐ 4 4 ‐ 5 5 ‐ 7 7 ‐ 9 9 ‐ 10

Número de alumnos 8 n2 n3 6 6

Calcule: a) ¿Qué proporción de alumnos ha obtenido una nota superior a 5? ¿Cómo es la distribución respecto a la moda? b) Estudie la dispersión relativa de las notas a partir del coeficiente de variación de Pearson. Interprete los resultados. c) ¿Cómo afecta a la homogeneidad de la distribución que este examen sea un 60 por ciento de la calificación final? d) Comente, con base estadística, el grado de concentración de las notas de este examen. Solución:

4

a) ni ci

Ni

4 1

2 8 n2  6 h2  6

8 14

2 2 1

n3  6 h3  3 3 6 6 6 32

20 26 32

L i  L i1

amplitud

0 ‐ 4 4 ‐ 5 5 ‐ 7 7 ‐ 9 9 ‐ 10

ci

ni

hi 

m

Ni % N 25 43,75 62,50 81,25 100 212,5

Ui % pi  qi  % UN

xi

xi .ni

Ui   x i . ni

x2i .ni

2 4,5

16 27

16 43

32 121,5

8,70 23,37

16,30 20,38

6 8 9,5

36 48 57 184

79 127 184

216 384 541,5 1295

42,93 69,02 100

19,57 12,23 000 68,48

pi 

i 1

qi 

Sabemos que,  Me  5,6667   y   Md  4 ,6    Para hallar  n2 y  n3 , podemos recurrir a la moda o a la mediana, a saber. La moda aproximada cuando existen distintas amplitudes:  Md  Li          4,60  4 

hi 1 hi 1  hi 1

ci

h3 1,2 1  h3   3  n3  h3 .c3  3.2  6 2  h3 0,4

       siendo,   N  32  8  n2  6  6  6  n2  32  26  6 N  Ni1 La mediana  Me  Li  2 ci  Ni  Ni1

32  (8  n2 )  8  n2 2 2  n2  6 5,6667  5  2  0,6  n3 (8  n2  n3 )  (8  n2 )  12n2

        N  32  20  n2  n3  n3  32  26  6

La proporción de alumnos que obtienen una nota superior a 5. La distribución respecto a la moda.       p    

xi  5  666 n n n  . 100  3 4 5 .100  .100  56,25 %  32 32 N 

La distribución es bimodal, puesto que  h2  h5  6 b)  Dispersión relativa de las notas a partir del coeficiente de variación de Pearson. Interpretar los resultados. 5

a1  x 

 xi ni i 1

N

5



184  5,75                                 a2  32

 x2i ni i 1

N



1295  40,46875 32

s2x  a2  a12  40,46875  5,752  7,40625           sx  7,40625  2,72 C.V 

sx 2,72   0,4730 (47,30%) , la dispersión es del 47,30 %, es decir, una dispersión media. x 5,75

c)  La homogeneidad de la distribución, cuando el examen es un 60 % de la calificación final. 5

CAMBIO DE ESCALA DEL COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON  C.V:    y  k . x E(y)  E(k . x)  k . E(x)  k . x Var (y)  Var (k . x)  k .Var(x)  k . s 2

2

2 x



 s y  k . s  k . sx 2

2 x

C.Vy 

k . sx sx   C.VX k.x x

El Coeficiente de Variación de Pearson es invariante ante un cambio de escala.

C.Vfinal 

s final 2. s x   0,4730 (47,30%) xfinal 2 . x

d)  Grado de concentración de las notas de este examen. 5 1

El índice de concentración de Gini:  IG 

 (pi  qi ) i 1 5 1

 pi



68,48  0,32 (32 %) 212,5

i 1

La concentración es medio‐baja.

4. Se han obtenido las siguientes expresiones para las rectas de regresión mínimo cuadráticas de una variable bidimensional (X,Y), donde X es el gasto mensual en ocio e Y el gasto mensual en transporte de un grupo de amigos:  Y  4X  2                                        Y  2X  10

Sabiendo además que la covarianza entre ambas variables  sxy  60 .  Se pide: a)  Identifique cuál es la recta de regresión de Y/X y de X/Y. b)  Interprete los coeficientes de las rectas de regresión. c)  Porcentaje de variabilidad explicada y no explicada por la recta. d)  Calcule la varianza residual en la regresión Y/X. ¿Coincidirá con la varianza residual en la regresión       X/Y? Justifique su respuesta. Solución: a) Recta de regresión Y/X:    Y  2X  10   , pendiente   b  2

         Recta de regresión X/Y:   Y  4 X  2  4 X  Y  2  X 

1 1 1 Y     , pendiente  b'  4 2 4

  La otra opción no puede ocurrir:   Recta de regresión Y/X:    Y  4 X  2   Recta de regresión X/Y:  Y  2X  10  2X  Y  10  X 

6

1 Y5 2

 puesto que  R2  b . b'  4 .

1  2   cuando se sabe que   0  R2  1 2

b) Como las dos pendientes son positivas (2 y 1/4), la recta de regresión de Y/X tiene mayor

pendiente en valor absoluto que la de X/Y c) El coeficiente de determinación lineal  R2  b . b'  2 .

1 1   0,5 4 2

La recta de regresión de Y sobre X explica el 50% de la variabilidad de la variable dependiente y el otro 50% es no explicado. s xy  60 2  b  s2  2  s2  sx  30  x x d)   b'  s xy  1  60  s2  240 y  s2y 4 s2y

 sry2  s2x .(1  R2 )  sry2  30 . (1  0,5)  15 Las varianzas residuales:   2 2 2 2  srx  s y .(1  R )  srx  240 . (1  0,5)  120

5. Sabiendo que  x  3 , s2x  6 , s2y  8   y que la recta de regresión de Y sobre X es  y  4  0,667. x

Obtener la recta de regresión de X sobre Y. Solución:  y  4  0,667. x  4  0,667. 3  2  s xy s xy Y/X:   y  4  0,667. x      b   0,667  s2  6  s xy   0,667 . 6   4  x sxy  4    0,5  b'  2  sy 8 X/Y:    x  a' b'y      x  a' b' y  3  a' 0,5 . 2  a'  4 

         x  4  0,5 . y

6. Hallar la recta de regresión de Y sobre X sabiendo que  x  4,1 , y  2,3   y  la recta pasa por el punto  (5,9 , 3,5) Solución:  y  a  b x  2,3  a  4,1 . b Y/X:    y  a  b x      por pasar por (5,9 , 3,5)  3,5  a  5,9 . b

7

a  4,1 . b  2,3  a  5,9 . b  3,5

 1,2   0,667 b   1,8   a  2,3  4,1 . 0,667   0,435 





  y   0,435  0,667. x

7. La tabla muestra la comprensión lectora (X) de dos grupos de individuos educados en niveles socioculturales altos (A) y bajos (B).

Intervalos 0 ‐ 6 7 ‐ 13 14 ‐ 20 21 ‐ 27 28 ‐ 34

nA 4 6 9 12 9

nB 4 7 9 8 2

Si a partir de la puntuación  X  19  se considera una comprensión lectora buena. Se pide: a)  Porcentaje de personas en cada grupo con una buena comprensión lectora. b)  ¿Entre qué valores de comprensión lectora estará la quinta parte central del Grupo A? c)  ¿Entre qué valores de comprensión del Grupo B se encuentran los 12 centrales? d)  ¿Cuál de los dos grupos presenta mayor variabilidad? Solución:

a)  Adviértase que los intervalos son cerrados, se deben expresar abiertos a la derecha con extremos reales: Intervalos

x

ci

nA

NA

x.nA

 ‐ 0, 5  ‐  6,5  6,5  ‐  13, 5  13,5  ‐  20, 5  20,5  ‐  27, 5  27,5  ‐  34,5

3 10 17 24 31

7 7 7 7 7

4 6 9 12 9

4 10 19 31 40

12 60 153 288 279 792

x 2 .nA 36 600 2601 6912 8649 18798

nB

NB

x.nB

4 7 9 8 2

4 11 20 28 30

12 70 153 192 62 489

x 2 .nB 36 700 2601 4608 1922 9867

Se calcula el orden k del percentil que es igual a 19. Este da el porcentaje de las personas que tienen menos de 19 puntos. La respuesta será su diferencia hasta 100. 

En el Grupo A: k . 40  10 7 . (0,4 . k  10) 100 Pk  19  13,5  . 7  19  13,5  19  10 9



49,5  2,8 . k  70 k  119,5 / 2,8  42,68

       El  57,32%   100  42,68  57,32  tiene una buena comprensión lectora en el Grupo A.

8



En el Grupo B: k . 30  11 7 . (0,3 . k  11) Pk  19  13,5  100 . 7  19  13,5  20  11 9



49,5  2,1 . k  77 k  126,5 / 2,1  60,24

       El  39,76%   100  60,24  39,76  tiene una buena comprensión lectora en el Grupo B. En consecuencia, el Grupo A tiene una mejor comprensión lectora. b)  La quinta parte representa el 20%. Con relación al centro (50%), cubrirán desde el 40% al 60%, se      tendrá que calcular el Percentil 40 y el Percentil 60 de la distribución de comprensión lectora del      Grupo A.

       P40

       P60

40 . 40  10 16  10 100  13,5  . 7  13,5  . 7  18,17 19  10 19  10 60 . 40  19 24  19 100  20,5  . 7  20,5  . 7  23,42 31  19 31  19

     La quinta parte central del Grupo A se encuentra entre los valores [18,17 ‐ 23,42] c)  Los 12 valores representa el(12 / 30  40%) . Con relación al centro (50%), cubrirán desde el 30% al      70%, teniendo que calcular el Percentil 30 y el Percentil 70 de la distribución de comprensión      lectora del Grupo B.

      P30

      P70

30 . 30 4 94  6,5  100 . 7  6,5  . 7  11,5 11  4 11  4 70 . 30  20 21  20  20,5  100 . 7  20,5  . 7  21,375 28  20 28  20

     Los  12 centrales valores centrales de comprensión del Grupo B se encuentran entre      [11,5 ‐ 21,375] d)   Mayor variabilidad tendrá aquel grupo que posea mayor dispersión entre sus valores, es decir, si        la media aritmética es representativa de las observaciones (no existen valores extremos        exageradamente distanciados de la mayoría). El estadístico más adecuado para medir la variabilidad relativa entre dos series es el Coeficiente  de Variación de Pearson, entendiendo que un valor mayor indica menor homogeneidad, un valor menor refleja menor dispersión o variabilidad.         xA 

792  19,8 40

s2A 

18798  19,82  77,91 40

sA  9

77,91  8,83

        xB 

489  16,3 30

        CVA 

sB2 

9867  16,32  63,21 30

8,83 . 100  44,59% 19,8

CVB 

sB 

63,21  7,95

7,95 . 100  48,77% 16,3

       El Grupo B presenta mayor variabilidad relativa, en contra de lo obtenido comparando la        desviación típica. 8. A partir de la tabla adjunta, donde N  11 ,  Y  0

X  \  Y 0 1

‐ 2 0 3

2

0

0 1 n22 1

1 0 n23 0

a)   ¿Son independientes las variables estadísticamente? b)   Rectas de regresión de  Y/X  e  X/Y c)   ¿Qué parte de la varianza calculada Y es explicada por la regresión? ¿Qué parte es debida a       causas ajenas?. Solución:

a) X  \  Y

‐ 2

0

1

ni 

0 1

0 3 0

0 n23 0 n23

1

2 n j

1 n22 1 2  n22

3

De otra parte,   Y 

3  n22  n23 1 5  n22  n23  11

 2 . 3  0  n23  0  n23  6 11

5  n22  6  11  n22  0 X  \  Y

‐ 2

0

1

ni 

0 1 2 n j

0 3 0

1 0 1

0 6 0

1 9 1

3

2

6

11

Las variables X e Y son independientes n n  n  cuando se verifica  ij   i    j   i, j N  N  N 

No son independientes porque no se verifica la relación:  

10

n 1 1 2  n   n2   x        12   1    11 11 11  N  N   N  

b) 3 3

  x i y j nij

            a11  i1 j1

N



1   2 . 1. 3  1 . 1. 6  0 11

3

3

 x i ni

 x i ni 2

1.9  0 2.1            a10  x  i1   1         a20  i1 N 11 N 13 2 2 2            s2x  a20  a10  1   sx   0,43 11 11 11 3

           a01  y 

 y j n j j1

N

           s2y  a02  a201 

3

 0                                        a02 

18 18 0   sy  11 11

 y j n j



1 2 13 1 . 9  22 . 1  11 11

2

j1

N



1 18 (2)2 . 3  12 . 6   11 11

18  1,28 11

  covarianza:   sxy  a11  a10 . a01  0  1 . 0  0 

El coeficiente de regresión de Y sobre X (pendiente de la recta):   b 

sxy s



2 x

0 0 2 / 11

               Y  a  b X  0  a  0 . 1  a  0                Y / X : Y  0 

 El coeficiente de regresión de X sobre Y (pendiente de la recta):   b' 

sxy s

2 Y



0 0 18 / 11

               X  a'  b' Y  1  a'  0 . 0  a'  1                X / Y : X  1 COEFICIENTE DETERMINACIÓN:   r2  b . b'  0  Las rectas son perpendiculares, y en consecuencia,   las variables (X, Y) son INCORRELADAS VARIANZA RESIDUAL DE Y:   sry2  s2y (1  r2 )  sry2  s2y  s2Y explicada  sr2Y



18 18  s2Y explicada   11 11

18 18 (1  0)  11 11

s2Y explicada  0

11

9. La variable  X  tiene   x  4  y  s2x  1 . Determinar el coeficiente de variación de Pearson de las variables:

                           W 

(X  3) 2

,

Z

(X  2) 3

Solución:  3 1 1 1  3 1  3  E(W)  E  2  2 X   2  2 . E(X)  w  2  2 . x  2     2  Var (W)  Var   3  1 X    1  . Var(X)  1 . s2  s  1 . s  1 x W x  2 2  2   4 2 2    

C.Vw 

sw 1 / 2  1 w 1/2

 2 1 1 2  2 1  2  E(Z)  E  3  3 X   3  3 . E(X)  z  3  3 . x  3     2  Var (Z)  Var   2  1 X    1  . Var(X)  1 . s2  s  1 . s  1 x z x  3 3  3 9 3 3     

C.Vz 

sz 1 / 3 1   z 2/3 2

COEFICIENTE DE VARIACIÓN DE PEARSON : CAMBIO DE ORIGEN Y DE ESCALA E(Y)  E (a  b . X)  a  b . E(X)  a  b . X

Var (Y)  Var a  b . X   b2 . Var(X)  b2 . s2x  s y  b . s x

C.Vy 

b . sx sx  a a  b.X  X b

El Coeficiente de Variación de Pearson se encuentra afectado ante un cambio de origen.

12

10.   Si  s y  sx  y  r  0  ¿La recta de regresión Y/X tiene mayor pendiente que la de X/Y? Solución:

 RELACIÓN ENTRE LOS COEFICIENTES DE REGRESIÓN Y CORRELACIÓN b

sxy

                   b'  r

 sxy  b . s2x

2 x

s s xy s

 s xy  b . s2y

2 y

s xy sx . sy

 s xy  r. sx . s y

         Si  s y  sx , r  0  r.

sy sx

 r.

sx sy

  s  b . s2x  r. sx . s y  b  r. y  sx   s  b' . s2y  r. s x . s y  b'  r. x  sy    b  b'

11.   Sean dos variables X e Y, tipificadas e incorreladas. Escribir la recta de regresión de Y sobre X Solución:  x  0 sx  1 Por ser (X, Y) variables tipificadas:     y  0 sy  1 b  0 Por ser (X, Y) variables incorreladas:   sxy  0    r2  0 b' 0    y a  b. x  a y 0 Y/X:   y  a  b . x   b0

Y/X:   y  0 12.  En una regresión lineal las varianza explicada por la regresión y residual son iguales. ¿Cuánto        vale el coeficiente de determinación?. Solución: 2 s2y  sry2  sRy  2sry2

r 1 2

sry2 s

2 y

 r 1 2

sry2

1 1 1  2sry 2 2

13

    Sea  yˆ i  el valor teórico que correspondería a la recta de regresión de Y sobre X   yˆ i  a  b . x i  ,     elevando al cuadrado la descomposición  (y i  y)  (yi  yˆ i )  (yˆ i  y) :       (yi  y)2   (yi  yˆ i )  (yˆ i  y)   (yi  yˆ i )2   (yˆ i  y)2  2  (yi  yˆ i ) (yˆ i  y)  2

0

    se observa que,       (y i  yˆ i ).(yˆ i  y )   (yi  a  bx i ).(a  bx i  y )                                                                               a  (yi  a  bx i )  b  x i (y i  a  bx i )  y  (y i  a  bx i )      0

suma cuadrados total

 (yi  y )

    

2

suma cuadrados residual 



    Dividiendo por N:      

 (yi  yˆ i)

2

0

0

suma cuadrados explicada 



2  (yˆ i  y )

2 2 2  (yi  y )  (yi  yˆ i )  (yˆ i  y )   N   N N    2 2 2 sy sry sRy

2 s2y  sry2  sRy 

2    por   s2y :     Dividiendo la expresión  s2y  sry2  sRy

2 s2y  sry2  sRy

r2   sry2  s2y (1  r2 ) 2 s  s    1      Ry2    2 sry2 s  s    r 1     y  s2y  2 ry 2 y

2  s2y . r2 sRy

13. Determinar si son coherentes los datos:

a)   N  100 , x  5 , y  8 , s2x  12,5 , s2y  70 , r2  0,9 b)  La suma de residuos al cuadrado correspondientes a una de las posibles rectas de regresión              vale 100 Solución:

Solo son útiles:   N  100 , s2x  12,5 , s2y  70 , r2  0,9 ,  (yi  yˆ i )2  100 sry2 

2 2  (yi  yˆ i ) 100  (x i  xˆ i ) 100   1    ó      srx2   1 N 100 N 100

De otra parte, Y/X:   sry2  s2y (1  r2 )  sry2  70 (1  0,9)  7  1

No son coherentes.

X/Y:   srx2  s2x (1  r2 )  srx2  12,5 (1  0,9)  1,25  1 14

No son coherentes.

14.  Dada la siguiente distribución:

xi

5

10

15

20

25

ni

3

7

5

3

5

a)  Calcular la media armónica, geométrica y aritmética b)  Calcular la varianza, desviación típica y coeficiente de variación de Pearson c)  Hallar la media aritmética y la desviación típica de la variable X tipificada d)  Mediante la transformación  y 

x  15 , hallar la media, varianza y desviación típica 5

Solución:

a) xi

5

10

15

20

25

ni

3

7

5

3

5

23

x i ni

15

70

75

60

125

345

ni

xi

125

10000000

759375

8000

9765625

7,415771484 . 1025

ni xi

0,6

0,7

0,3333

0,15

0,2

1,9833

x 2i ni

75

700

1125

1200

3125

6225

       xA 

N N 23    11,597 5 n n1 n2 n3 n4 n5 1,9833 i      i1 x i x1 x 2 x 3 x 4 x 5 5

       xG  23  xni i  23 xn11 . xn22 . xn33 . xn44 . xn55  23 7,415771484 . 1025  13,329 i 1

5

 x i ni

       a1  x  i1

N



345  15 23

      La relación entre las diferentes medias es:   xA  xG  x 5

2  x i ni

6225  270,652  s2x  a2  a12  270,652  152  45,652 N 23 sx  45,652  6,76

b)   a2  i1

CVx 



s x 6,76   0,45    [45% de dispersión de los datos] x 15

15

c)  La variable X tipifica:  zi  xi

5

10

15

20

25

ni

3

7

5

3

5

‐1,479

‐0,740

0

0,740

1,479

‐4,438

‐5,178

0

2,219

7,396

0

z ni

6,565

3,830

0

1,641

10,941

23

yi

‐2

‐1

0

1

2

yi ni

‐6

‐7

0

3

10

0

y 2i ni

12

7

0

3

20

42

xi  x sx

zi 

zi ni 2 i

5

        z 

xi  x sx

 zi ni

i1

N

5

 zi ni  Toda variable tipificada tiene 0 23   0          s2z  i1  (z)2   0  1      23 N 23  media  0 y varianza  1

d)  Con la transformación  y  5

 yi ni

        y  i1

N

23

2

x  15 5 5

 y i ni 2

0   0         s2y  i1 23 N

 (y)2 

42 42 0  1,826          s y  23 23

No son necesarios los cálculos, se conoce: 1 15   x  15  1  y  E  5   5 E  x   3  3  5 x  3  5  0               x  15  1 1 45,652  s2y  Var   2 Var  x   s2x   1,826   25 25   5  5

16

42  1,35 23

15.  Ana acude con su hijo a la consulta de un odontólogo para cuatro restauraciones dentarais,         observando que el doctor aplicaba cantidades de cemento de ionómeros de vidrio con flúor y         composite (Y, en gramos)   conforme a los diámetros de perforación de cada pieza dental (X, en         milímetros) como se refleja a continuación:

X  \  Y 0 ‐ 3 3 ‐ 5 5 ‐ 10

0 ‐ 1

1 ‐ 3 1

3 ‐ 6

1

6 ‐ 10

1 1

Se pide: a)  ¿Son independientes estadísticamente ambas variables?. Razone la respuesta. b)  Calcule las rectas de regresión de Y/X  e  X/Y. Interpretar los resultados. c)  ¿Qué parte de la varianza de las perforaciones habidas (X) es explicada por la cantidad de               ionómeros de vidrio consumida (Y)? ¿Qué parte no es explicada?. Solución:

a)   Las variables X e Y son independientes cuando se verifica 

X  \  Y

0,5

2

4,5

8

ni 

x i ni

x 2i ni 

1

1 2 1

1,5 8 7,5

2,25 32 56,25

17

90,5

1,5 4 7,5 n j

1

1

1

1

1

4

y j n j

0,50

2

4,50

8

15

0,25

4

20,25

64

88,5

1

2 j

y n j

1

Las variables no son independientes: 

n12 N

n  n    i    j   i, j N  N  N 

nij

 1   n1   n2   1   1         4  N  N  44

3 4

  x i y j nij

b)     a11  i1 j1

N



1 1,5 . 2 . 1  4 . 0,5 . 1  4 . 4,5 . 1  7,5 . 8 . 1  20,75 4

3

 x i ni

         a10  x  i1

N

3



2  x i ni

17  4,25            a20  i1 4 N



2          s2x  a20  a10  22,625  4,252  4,5625  sx 

4

         a01  y 

 y j n j j1

N

4

15   3,75          a02  4

 y j n j

90,5  22,625 4

4,5625  2,136

2

j1

N



17

88,5  22,125 4

s2y  a02  a201  22,125  3,752  8,0625  s y 

8,0625  2,84

covarianza:   sxy  a11  a10 . a01  20,75  4,25 . 3,75  4,8125 

El coeficiente de regresión de Y sobre X (pendiente de la recta):   b 

sxy s



2 x

4,8125  1,055 4,5625

               Y  a  b X  3,75  a  1,055 . 4,25  a   0,734                Y / X : Y   0,734  1,055 X 

 El coeficiente de regresión de X sobre Y (pendiente de la recta):   b' 

sxy s

2 Y



4,8125  0,597 8,0625

               X  a'  b' Y  4,25  a'  0,597 . 3,75  a'  2,011                X / Y : X  2,011  0,597 Y c)   COEFICIENTE DETERMINACIÓN:   r2  b . b'  1,055 . 0,597  0,6298  VARIANZA RESIDUAL DE X:   srx2  s2x (1  r2 )  srx2  4,5625 (1  0,6298)  1,689   NO EXPLICADA s2x 

srx2 

varianza residual no explicada



2 sRx 

   sRx  s x  srx 2

2

2

varianza regresión explicada

18

2  sRx  8,0625  1,689  6,3735   EXPLICADA

16.  El salario medio mensual en cientos de euros de 160 obreros se distribuye de la siguiente forma:

Intervalos ni

4 ‐ 8 3

8 ‐ 12 12

12‐ 16 40

16 ‐ 20 47

20 ‐ 24 32

24 ‐ 28 13

28 ‐ 32 9

32 ‐ 36 4

a)   Media aritmética, mediana, moda y percentil 75. b)   Coeficiente de asimetría de Fisher. c)   Realizar una redistribución en la que los intervalos tengan una amplitud de 8, y con estos nuevos        intervalos calcular la media aritmética y el coeficiente de variación de Pearson. Comparar los        resultados obtenidos en el apartado (a) Solución:

a) Intervalos xi

4 ‐ 8

8 ‐ 12

12‐ 16

16 ‐ 20

20 ‐ 24

24 ‐ 28

28 ‐ 32

32 ‐ 36

6

10

14

18

22

26

30

34

ni

3

12

40

47

32

13

9

4

Ni

3

15

55

102

134

147

156

160

hi  ni / ci

0,75

3

10

11,75

8

3,25

2,25

1

40

x i . ni

18

120

560

846

704

338

270

136

2992

(x i  x)

‐12,7

‐8,7

‐4,7

‐0,7

3,3

7,3

11,3

15,3

(x i  x) ni

‐38,1

‐104,4

‐188

‐32,9

105,6

94,9

101,7

61,2

0

(x i  x)2 ni

483,87

908,28

883,6

23,03

348,48

692,77

1149,21

936,36

5425,60

(x i  x)3 ni

‐6145,149

8

 x i . ni

a1  x  i1

Md  L i 

N

‐7902,036 ‐4152,92 ‐16,121 1149,984 5057,221 12986,073

160

14326,308 15303,36

N  Ni1 80  55 2992   18,7                    Me  L i  2 ci  Me  16  . 4  18,13 160 Ni  Ni1 102  55 hi  hi 1

(hi  hi 1 )  (hi  hi 1 )

ci  Md  16 

Se verifica la relación  x  Me  Md 

11,75  10 . 4  17,27 (11,75  10)  (11,75  8)

Distribución asimétrica a la derecha o positiva

Adviértase que para calcular la moda, cuando la amplitud de los intervalos es igual, para trabajar con una escala más pequeña,  se puede emplear la expresión: Md  L i 

ni  ni 1 (ni  ni 1 )  (ni  ni 1 )

ci  Md  16 

47  40 . 4  17,27 (47  40)  (47  32)

75 N  Ni1 120  102 P75  Li  100 ci  Q 3  P75  20  . 4  22,25 Ni  Ni1 134  102 19

 g1  0 Asimetría a la derecha o positiva m3  b)   Coeficiente de asimetría de Fisher:   g1  3  g1  0 Simetría s  g1  0 Asimetría ala izquierda o negativa 8

2  (x i  x) .ni

m2  s2  i1

N



5425,60  33,91 (varianza)         s  160

33,91  5,82 (desviación típica)

8

3  (x i  x) . ni

m3  i1

g1 

N



15303,36  95,65 160

m3 95,65   0,485  0  s3 5,823

Distribución asimétrica a la derecha o positiva.

 c) Intervalos xi

4 ‐ 12 8

12 ‐ 20 16

20 ‐ 28 24

28 ‐ 36 32

ni

15

87

45

13

160

x i . ni

120

1392

1080

416

3008

960

22272

25920

13312

62464

2 i

x . ni 4

 x i . ni

a1  x  i1

CV 

N

4



2  x i . ni

3008  18,8      a2  i1 160 N



62464  390,4       s2x  a2  a12  390,4  18,82  36,96 160

36,96 sx   0,32   (32%  de dispersión de los datos) x 18,8

La media aritmética cambia, se ha transformado la distribución de datos.

20

17.   La distribución de salarios de una empresa es la siguiente:

Salario (euros) 3000 ‐ 5000 1000 ‐ 2000 5000 ‐ 9000 2000 ‐ 3000

Empleados 25 100 5 50

a)   Estudiar la concentración de salarios b)  ¿Qué porcentaje de empleados percibe el 50% de los salarios? c)    La empresa como política comercial analiza subir los salarios a todos los empleados, con un        incremento del 10%, o bien con un aumento de 200 euros por empleado. ¿Cuál de las dos        opciones sería más equitativa? d)  ¿Cuál es la concentración de salarios si el número de empleados hubiera sido el doble? Solución:

a)  La concentración de salarios se analiza mediante el Índice de Gini, que no varía mediante       cambios de escala (subida porcentual del 10% a los empleados) mientras que queda modificado       con cambios de origen (subida lineal de 200 euros a cada empleado).       Ordenando los salarios en forma creciente: Salarios

xi

ni

Ni

x i ni

1000 ‐ 2000 2000 ‐ 3000 3000 ‐ 5000 5000 ‐ 9000

1500 2500 4000 7000

100 50 25 5

100 150 175 180

150000 125000 100000 35000 410000

ui  xi n i acumulada 150000 275000 375000 410000

Ni .100 N 55,56 x 83,33 97,22 100 236,11

% pi 

% qi 

ui .100 uk

36,59 50 67,07 91,46 100 195,12

3

 qi

195,12         IG  1  i31  1   0,174   (concentración de salarios del 17,4%) 236,11  pi i1

b)  En la tabla se observa que el 55,56% de los empleados percibe el 36,59% de los salarios, y el       83,33% de los empleados percibe el 67,07% de los salarios. En consecuencia, el 50% de los salarios       estará distribuido entre un conjunto de empleados situado entre el 55,56 y el 83,33%. Bajo la hipótesis de linealidad, se establece la relación de porcentajes: 27,77 . 13,41 67,07  36,59 50  36,59 30,48 13,41   x  55,56     x  67,78% 83,33  55,56 x  55,56 27,77 x  55,56 30,48

21

c)         SUBIDA DE SALARIOS DEL 10%  ‐  Cambio de escala en los salarios x'i  1,1. xi

ni

Ni

x'i ni

1650 2750 4400 7700

100 50 25 5

100 150 175 180

165000 137500 110000 38500 451000

u'i  x'i n i acumulada 165000 302500 412500 451000

% pi 

Ni .100 N

% q'i 

55,56 83,33 97,22 100 236,11

u'i .100 uk'

36,59 67,07 91,46 100 195,12

3

 qi

195,12  0,174   (concentración de salarios del 17,4%) IG  1  i31  1  236,11  pi i1

        Adviértase que:  q'i 

ui .1,1 ui   qi uk .1,1 uk

       Con una subida del 10%  a cada empleado, la equidistribución no varía.        El cambio de escala en los salarios no afecta al Índice de Gini, propiedad conocida como Principio       de la Renta relativa.         SUBIDA LINEAL DE SALARIOS DE 200 EUROS  ‐  Cambio de origen en los salarios x 'i  200  x i

ni

Ni

x'i ni

1700 2700 4200 7200

100 50 25 5

100 150 175 180

170000 135000 105000 36000 446000

u'i  x'i n i acumulada 170000 305000 410000 446000

% pi 

Ni .100 N

55,56 83,33 97,22 100 236,11

% q'i 

u'i .100 uk'

38,12 68,39 91,93 100 198,43

3

 qi

          IG  1  i31

 pi

1

198,43  0,16   (concentración de salarios del 16%) 236,11

i1

        Con una subida lineal de 200 euros a cada empleado, la equidistribución de salarios es más         equitativa.         Si por el contrario la empresa hubiera rebajado 50 euros a cada empleado, la equidistribución de         salarios sería menos equitativa.         El cambio de origen en los salarios afecta al Índice de Gini, propiedad conocida como Principio de         Dalton.

22

d)   Concentración salarios si el número de empleados hubiera sido el doble:           SUBIDA LINEAL DE EMPLEADOS  ‐  Cambio de escala en la Población n'i

xi 1500 2500 4000 7000

 2 ni

200 100 50 10 360

N'i

xi n'i

200 300 350 360

300000 250000 200000 70000 820000

u'i  xi n'i acumulada 300000 550000 750000 820000

%p'i

N'  i .100 N

% q'i 

55,56 83,33 97,22 100,00 236,11

u'i .100 uk'

36,59 67,07 91,46 100,00 195,12

3

 qi

195,12          IG  1  i31  1   0,174   (concentración de salarios del 17,4%) 236,11 p  i i1

        El cambio de escala en la población no afecta al Índice de Gini, propiedad conocida como         Principio de la Población. Es decir, el tamaño de la población no importa, lo que interesa son las         proporciones de individuos de la población que perciben diferentes niveles de salario. 18.  Dada la tabla de correlación:

X  \  Y ‐ 1 0 1

‐ 1 2 2 1

0 1 4 0

1 2 2 1

       Estudiar la independencia estadística, calcular las rectas de regresión y la correlación entre ambas        variables. Solución:

a) X  \  Y

‐ 1

0

1

ni 

x i .ni 

x 2i . ni 

‐ 1 0 1 n j

2 2 1

1 4 0

2 2 1

5 8 2

‐5 0 2

5 0 2

5

5

5

N  15

‐3

7

y j . n j

‐5

0

5

0

5

0

5

10

2 j

y . n j

Las variables X e Y son independientes cuando se verifica 

n  n    i    j   i, j N  N  N 

nij

Si alguna de las frecuencias absolutas es igual a 0 no son independientes estadísticamente:

23

                                           

n32 n3 n2 0 2 5    . . N N N 15 15 15

3 3

  x i . y j .nij

a11  i1 j1

N 3

 x i ni

a10  x 

i1

N



1  1.(1). 2  1. 1. 2  1. (1). 1  1. 1. 1  0 15 3

 x i ni 7 3 7 6 1  1  2              a20  i1             s2x  a20  a10      15 5 N 15 15  5  25

3

a01  y 

 y j n j j1

N

3

 0                       a02 

2

 y j n j

2

2

j1

N



10 10 10           s2Y  a02  a201   0 15 15 15

b  0 Rectas regresión perpendiculares  1  sxy  a11  a10 . a01  0    . 0  0        r2  0    5   b'  0  variables INCORRELADAS

Rectas de regresión:  y a  b. x  a y 0 Y/X:   y  a  b . x    y0 b0

1    0,2  x  a'  b' . y  a'  x  X/Y:   x  a'  b' . y   5  b'  0

 x   0,2

19.  La variable estadística X tiene  x  2 , s x  1 . Determinar la media aritmética, la varianza y el X 1     coeficiente de variación de Pearson de   Y  2 Solución:  1 1 1 1  1 1  1  E(Y)  E  2  2 X   2  2 . E(X)  y  2  2 . x  2     2  Var (Y)  Var   1  1 X    1  . Var(X)  1 . s2  s  1 . s  1 x Y x  2 2  2  4 2 2     

C.VY 

sY 1 / 2  1 y 1/2

24

20. La varianza explicada por una regresión lineal simple es el doble de la varianza residual, ¿Cuánto      vale el coeficiente de determinación? Solución: 2 sRy  2sry2    

2 s2y  sry2  sRy  3 sry2

s  s (1  r )  r  1  2 ry

2 y

2

2

sry2 s

2 y

1

sry2

1 2 1  3s 3 3 2 ry

21.   Dada la distribución:

xi

2

4

8

10

ni

3

4

1

2

a)  Calcula los coeficientes de asimetría de Pearson y  de Fisher, coeficiente de curtosis. b)  Siendo la variable  X 

Y 1 , halla los coeficientes de asimetría de Pearson y  Fisher de la variable Y 2

c)  ¿Tienen el mismo coeficiente de Variación de Pearson las dos variables? c)  Calcula el coeficiente de curtosis de las variables X e Y Solución:

a) xi

ni

Ni

x i .ni

xi  x

(x i  x)2

(x i  x)2 . ni

(x i  x)3 . ni

(x i  x)4 . ni

2 4 8 10

3 4 1 2 10

3 7 8 10

6 16 8 20 50

‐3 ‐1 3 5

9 1 9 25

27 4 9 50 90

‐81 ‐4 27 250 192

243 4 81 1250 1578

4

 x i . ni

x  i1

N

4



2  (x i  x) . ni

50  5           Mex  4           Mdx  4           s2x  i1 10

Coeficiente asimetría de Pearson:   APx 

N



90  9           sx  9  3 10

x  Mdx 5  4   0,33  0 asimetría a la derecha o positiva sx 3 4

3  (x i  x) . ni

Coeficiente de asimetría de Fisher:     m3x  i1 g1x 

N



192  19,2            s3x  33  27 10

m3x 19,2   0,71  0 asimetría a la derecha o positiva s3x 27 25

4

4  (x i  x) . ni

Coeficiente de curtosis:      m4x  i1 g2x 

N



1578  157,8                 s4x  34  81 10

m4x 157,8 3  3  1,05  0 menor apuntamiento que la normal (PLATICÚRTICA) 4 sx 81

b)     Y  1  2X Los coeficientes de asimetría de Pearson y de Fisher son invariantes ante un cambio de origen y de escala y, en consecuencia, la distribución Y presenta: APy  0,33  0 asimetría a la derecha o positiva g1y  0,71  0 asimetría a la derecha o positiva Haciendo las operaciones: yi

ni

Ni

y i .ni

yi  y

(y i  y)2

(y i  y)2 . ni

(yi  y)3 . ni

(yi  y)4 . ni

5 9 17 21

3 4 1 2 10

3 7 8 10

15 36 17 42 110

‐6 ‐2 6 10

36 4 36 100

108 16 36 200 360

‐648 ‐32 216 2000 1536

3888 64 1296 20000 25248

4

 yi . ni

y  i1

N

4



2  (y i  y) . ni

110  11           Mey  9           Mdy  9           s2y  i1 10

Coeficiente asimetría de Pearson:   APy 

y  Mdy sy

N



360  36           s y  36  6 10

11  9  0,33  0 asimetría a la derecha o positiva 6



4

3  (yi  y) . ni

Coeficiente de asimetría de Fisher:     m3y  i1

g1y 

m3y s

3 y



N



1536  153,6            s3y  63  216 10

153,6  0,71  0 asimetría a la derecha o positiva 216

c)   El coeficiente de variación de Pearson es invariante ante un cambio de escala  (Y  2X)  pero no 2sx ante un cambio de origen  (Y  1  2X) . En este caso:  CVy  .  No tienen, por tanto, el mismo 12x coeficiente de variación. Coeficiente de variación de Pearson de X:   CVx 

sx 3   0,6 (60% de dispersión de los datos) x 5

26

Coeficiente de variación de Pearson de Y:  CVy 

2.sx 6   0,54 (54% de dispersión de los datos) 1  x 11

d)  El coeficiente de curtosis o apuntamiento es invariante ante un cambio de origen y de escala (Y  1  2X)  y, en consecuencia: g2y  1,05  0 menor apuntamiento que la normal (PLATICÚRTICA) 4

4  (y i  y) . ni 25248 i1    2524,8                 s4y  64  1296 Haciendo operaciones:  m4y  N 10

g2y 

m4y s

4 y

3

2524,8  3  1,05  0 menor apuntamiento que la normal (PLATICÚRTICA) 1296

27

PARCIALILLO 22 DE FEBRERO 2013 1.  Se ha realizado un estudio entre 100 mujeres mayores de 25 años, observándose el número de hijos de las mismas. El resultado ha sido:

Número de hijos  (x i ) 0 1 2 3 4 5 6

Número de mujeres  (ni ) 13 20 25 20 11 7 4

a)   Calcular el número medio de hijos, la mediana, la moda y el tercer cuartil b)   ¿Cuál es el número máximo de hijos que tiene el 70% de las mujeres que menos hijos tienen? c)   Calcular el coeficiente de variación de Pearson d)   Calcular el coeficiente de asimetría de Fisher y el coeficiente de curtosis Solución:

a) xi

ni

Ni

0 1 2 3 4 5 6

13 20 25 20 11 7 4 100

13 33 58 78 89 96 100

     75     50

fi =

ni N

Fi =

0,13 0,20 0,25 0,20 0,11 0,07 0,04 1,0

Ni N

0,13 0,33 0,58 0,78 0,89 0,96 1

x i ni

(x i ‐ x)

(x i ‐ x) 2

(x i ‐ x) 2 ni

(x i ‐ x) 3 ni

(x i ‐ x) 4 ni

0 20 50 60 44 35 24 233

‐2,33 ‐1,33 ‐0,33 0,67 1,67 2,67 3,67

5,43 1,77 0,11 0,45 2,79 7,13 13,47

70,58 35,38 2,72 8,98 30,68 49,90 53,88 252,11

‐164,44 ‐47,05 ‐0,90 6,02 51,23 133,24 197,72 175,82

383,15 62,58 0,30 4,03 85,56 355,75 725,65 1617,01

7

Media aritmética:   x 

 xi ni i1

N



233  2,33 100

Mediana:   Me  2    (pasa de la mitad 50%)                   Md  2   (n3  25, el más grande)

 100. 3   75 : Q 3  3 hijos (F4 pasa del 75%) 3º Cuartil    4  28

b)  El número máximo de hijos que tiene el 70% de las mujeres que menos hijos tienen es el Decil 7   (Percentil 70)    Decil 7 ó Percentil 70:  3 hijos   (F4 pasa de 0,7) 7

c)   Varianza:   m2  s 2 

 x  x  2 ni i1

N

   Desviación típica:  s 



252,11  2,5211 hijos 2 100

2,5211  1,59 hijos

    Coeficiente de Variación de Pearson:  C.V 

S 1,59   0,6824 una dispersión del 68,24% x 2,33

d)   Coeficiente de asimetría de Fisher: 1 7  (x i  x) 3 ni 1,76 m3 N i1   0,4378  0  Asimetría a la derecha o positiva         g 1  3  s s3 1,59 3 

Coeficiente de curtosis:

        g 2 

m4 3 s4

1 N

7

 (x i  x) 4 ni i1

s

4



16,17  3  0,47  0  PLATICÚRTICA 1,59 4

2.  Los salarios de los empleados de la cadena de producción de una empresa se distribuyen según la tabla adjunta: Salarios Nº empleados

10 ‐ 20 12000

20 ‐ 40 6000

40 ‐ 50 1000

50 ‐ 100 800

100  ‐ 200 200

¿Qué porcentaje de empleados que percibe el 50% de los salarios? ¿Es equilibrada la distribución de salarios?

Solución: Salarios [L i ‐ L i+1 )

xi

ni

Ni

x i ni

10 ‐ 20

15

12000

12000

180000

acumulada 180000

20 ‐ 40 40 ‐ 50 50 ‐ 100 100 ‐ 200

30 45 75 150

6000 1000 800 200

18000 19000 19800 20000

180000 45000 60000 30000

360000 405000 465000 495000

5

     ni  20000 i1

ui = x i n i

5

Ni .100 N 60 x 90 95 99 100

%pi =

4

     x i ni  495000

pi  344

i1

i1

29

% qi =

ui .100 uk

36,36 50 72,73 81,82 93,94 100 4

 qi  284,85 i1

En la tabla se observa que el  60%  de los empleados percibe el  36,36%  de los salarios y que el  90% de los empleados percibe el 72,73%  de los salarios. Para estimar el porcentaje (x) de empleados que percibe el  50%  de los salarios se necesita realizar una interpolación lineal: x  60 90  60  50  36,36 72,73  36,36



x  60 90  60  13,64 36,37



x  71,25%

4

 qi

IG  1  i41

 pi

1

284,85  0,17 344

i1

La concentración es pequeña, pudiendo concluir que la distribución de salarios es equilibrada.

3.   Sea la distribución bidimensional, donde las variables X e Y son estadísticamente independientes. X \ Y 1 2 Se pide:

3 3 2

4 c 6

a)   Calcular las medias y varianzas marginales. b)   Hallar la covarianza y las rectas de regresión.

Solución: X  \  Y 1 2 n•j

ni•

3 3 2

4 c 6

3c 8

5

6c

11  c

Por ser independientes: 

c c c 18 x   (3  c).(6  c)  c.(11  c)  c   9 11  c 3  c 6  c 2

30

nij N



ni n j .  i, j N N

MEDIAS Y VARIANZAS MARGINALES:



X  \  Y 1 2 n•j

3 3 2

4 9 6

ni•

5

15

20

12 8

MARGINAL DE LA VARIABLE X: 2

a10  x 

 xi ni  i1

N

2

x 2i ni  1 1  1 . 12  2 . 8   1,4                 a20  i1  12 . 12  22 . 8   2,2 20 N 20

2 s2x  a20  a10  2,2  1,42  0,24



MARGINAL DE LA VARIABLE Y: 2

a01  y 

y n j

j1

2

j

N

1  3 . 5  4 . 15  3,75              a02  20

y j1

2 j

N

nj 

1 2 3 . 5  42 . 15  14,25 20 

s2y  a02  a201  14,25  3,752  0,1875

b)  covarianza:   sxy  a11  a10 a01

2

a11 

X  \  Y 1 2 n•j

X  \  Y 1 2 n j

3 3 2

4 9 6

ni•

5

15

20

12 8

2

 x y n i1 j1

i

j

ij

N



1.3.3  1.4.9  2.3.2  2.4.6 105   5,25 20 30

sxy  a11  a10 a01  5,25  1,4 . 3,75  0 Sin calcular la covarianza, se conocía que la covarianza  sxy  0  por ser (X, Y) variables independientes.   Si (X,Y) independientes    Si sxy  0 

s XY  0 (X,Y) No son independientes

Por otra parte, se conoce que en las rectas de regresión:

Y/X:   Y  a  bX X/Y:   X  a' b'Y

Los coeficientes de regresión respectivos (b, b')  dependen de la covarianza  sxy , dado que vienen expresados:   b 

sxy s

2 x

, b' 

sxy s2y

.

31

Si  sxy  0  b  0 , b'  0  Y /X: Y a Con lo cual, las rectas de regresión solicitadas son:     X / Y : X  a'

Los coeficientes respectivos (a, a') se calculan teniendo en cuenta: recta regresión Y/X

Y / X : Y  a  bX  Y  a  bX  3,75  a  0 x 1,4  a  3,75   Y  3,75 recta regresión X/Y

X / Y : X  a' b'Y  X  a' b'Y  1,4  a'  0 x 3,75  a'  1,4   X  1,4 Adviértase que cuando las variables (X, Y) son independientes, la covarianza  sxy  0 En consecuencia:    

Las coeficientes de regresión  b  0 , b'  0 La recta de regresión de Y/X:  Y  Y  3,75 La recta de regresión de X/Y:  X  X  1,4 El coeficiente de determinación  r2  b . b'  0 , es decir, las dos rectas son perpendiculares y  las variables son INCORRELADADAS.

Si (X,Y) independientes 

s XY  0 

4.  En una distribución bidimensional se conoce:             r  0,7 Obtener:

sx  1,2

y 4

X / Y : X  0,6  0,44 Y

a)   Recta de regresión de Y/X b)   Varianza de Y

Solución: a) Recta de regresión de X sobre Y: a'  0,6 , b'  0,44 X  0,6  0,44 Y   X  0,6  0,44 Y  X  0,6  0,44. 4  2,36

De otra parte, el coeficiente de determinación r2:      r2  b . b'  0,72  b . 0,44  b 

0,72  1,114 0,44

32

b0    b'  0

r2  0

La recta de regresión de Y sobre X:   Y  a  bX  Y  a  bX  4  a  1,114 . 2,36  a  1,37 Y/X:   Y  1,37  1,114 X b)  Varianza de la Y:   Sabemos que,  sx  1,2      b 

sxy s

2 x



1,114 

sxy 1,22

b'  0,44

b  1,114

 sxy  1,114 . 1,22  1,604

33

EXAMEN DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

GRADO EN ECONOMÍA                                                                                                 14 de Mayo 2013 1. Una institución pública decidió estudiar el gasto mensual en alimentación en una ciudad, para lo cual se seleccionó un distrito  y se tomó  muestras cuyo resultado fue el que sigue: Distrito 1 Gasto ($) Nº Familias 100  –  200 24 200  –  300 36 300  –  400 20 400  –  500 20 500  – 1000 50 a) Halle el gasto medio y el mediano en alimentación del distrito b) Si existe un segundo distrito de 120 familias con un  gasto medio de 419,4 $ y una desviación típica de 242,701 $, ¿cuál de los dos tiene un gasto medio más representativo? c) Halle el gasto medio y la desviación típica del conjunto de los dos distritos. d) ¿Cuál es el nivel de gasto realizado por un mayor número de familias en el  distrito 1? e) ¿Cuál es el  máximo gasto realizado entre las 50 familias con menor gasto del distrito 1? f) Un índice de Gini de 0,10 en esta distribución ¿qué nos indicaría?

Solución: a) [L i  L i1 )

xi

ni

100  –  200 200  –  300 300  –  400 400  –  500 500  – 1000

150 250 350 450 750

24 36 20 20 50 150

x i .ni

x2i .ni

3600 540000 9000 2250000 7000 2450000 9000 4050000 37500 28125000 66100 37415000

Ni 24 60 80 100 150

ni N 0,16 0,24 0,13 0,13 0,33

fi 

Ni N 0,16 0,40 0,53 0,66 1

Fi 

ci

di 

100 100 100 100 500

5

x n i

i

66100  440,67$ N 150 El Gasto mediano se encuentra en el intervalo  300  400  Gasto medio:   x 

i1



N 150  Ni1  60 75  60  150  Mediana   ci  300  2 100  300  100  375 $  75 :   Me  L i  2 Ni  Ni1 80  60 80  60  2     ni

34

ni ci

0,24 0,36 0,2 0,2 0,1

b)  El coeficiente de variación de Pearson mide el grado de homogeneidad de una distribución 5  x 2i ni   37415000  s2x  a2  x 2  i1  x2   440,672  55243,28 N 150  Distrito 1    s x  55243,28  235,04  s x 235,04  0,5334 (55,34%)  CVx   x 440,67  s y  242,701  y  419,4  Distrito 2    s y 242,701 CV    0,5787 (57,87%) x  y 419,4  Al tener el Distrito 1 un Coeficiente de Variación de Pearson más pequeño (menor dispersión del gasto medio) indica que tiene una media más representativa que el Distrito 2. c) El gasto medio y desviación típica conjunta de los dos distritos: Distrito 2: (Y ; n2  120 , y  419,4 , s y  242,701)

Distrito 1: (X ; n1  150 , x  440,67 , sx  235,04) N  n1  n2  150  120  270 _______

xy 

n1 x  n2 y 150 . 440,67  120 . 419,4   431,22   media ponderada n1  n2 150  120 media ponderada de las varianzas parciales 

varianza ponderada de las medias parciales  

2

varianza total



             s2x1  x2

2

 s2i ni i1

N    intra‐grupos



 (x  x) n 2

i1

i

i

N    entre‐grupos

media ponderada de las varianzas parciales  2

s n 2 i

i1

i



N

n1 s2x  n2 s2y n1  n2



150 . 235,042  120 . 242,7012  56870,45 150  120

varianza ponderada de las medias parciales  2

 (x  x) n i1

2

i

i

N



(440,67  431,22)2 . 150  (419,4  431,22)2 . 120  111,71 270

35

varianza total

 s2x  y

 56870,45  111,71  56982,16



sx  y 

56982,16  238,71

d) El intervalo modal es  200  300   por tener mayor densidad de frecuencia  d2  0,36 Md  L i 

(d i  d i1 ) (d i  d i1 )  (d i  d i1 )

c i                   Moda aproximada:  Md  L i 

Intervalo  200  300  :     Md  200 

Moda aproximada:  Md  L i 

d i1 d i1  d i1

ci

(0,36  0,24) 100  242,86 $ (0,36  0,24)  (0,36  0,2)

d i 1 d i1  d i1

c i  200 

0,2 100  245,45 $ 0,24  0,2

e) Máximo gasto realizado entre las 50 familias con menor gasto del distrito 1 33,33 . N  Ni1  50  100 ci  150  0,33 (33,33%)  P33,33  Li  Ni  Ni1    ni

33,33 . 150  Ni1 50  24 100 P33,33  L i  ci  200  100  272,22 $ Ni  Ni1 60  24    ni

f) Un índice de Gini de 0,10, al ser próximo a cero, indica que el gasto se encuentra bastante bien repartido entre las familias.

2. Se ha realizado un estudio para determinar la recta de regresión que explique el gasto diario de los clientes del hotel (Y, medida en €) en función de la edad de los mismos (X, medida en años). Tras analizar los datos se ha obtenido la siguiente recta de regresión Y/X:                                              Y  25  2,9 X a) Interprete los resultados de la recta de regresión. b) Si se sabe que  sx  10  y que  s y  30 , determine la bondad del ajuste de esta recta de regresión a partir del coeficiente de correlación lineal e interprétela. c) Calcule los parámetros de la regresión de X sobre Y sabiendo que la media de edad de los clientes es de 30 años. d) ¿Cuál sería la edad esperada para un huésped que ha gastado diariamente 100 euros? ¿La predicción será fiable?. Razone la respuesta.

Solución: a) 2’9 es el coeficiente de regresión lineal. Al ser positivo cuando X crece, Y crece e indica el aumento de gasto de un cliente cuando su edad aumenta en una unidad. 36

       25 euros es el valor de Y para X=0 años. En este caso no tiene sentido. b) La bondad del ajuste viene dado por el coeficiente de determinación: s a  25        b  xy2  sxy  b . s2x  s xy  2,9 . 102  290 Y/X :  Y  25  2,9 X   sx b  2,9 Coeficiente determinación:   r2  b . b' 

s2xy s2x . s2y



2902  0,934 102 . 302

La relación lineal es bastante buena ya que el 93,4%  de la variabilidad de Y se explica a partir de su dependencia con la variable X. c)    x  30  y  25  2,9 . x  y  25  2,9 . 30  112 Y  25  2,9 X  r2 0,934  b'   0,322 b'  X  a'  b' Y    b 2,9  x  a'  b' y  30  a'  0,322 . 112  a'   6,064  Recta de regresión de X/Y:    X  a'  b' Y  X   6,064  0,322 . Y d)  Edad esperada para un huésped con un gasto diario de 100 euros X / Y : para Y  100  X   6,064  0,322 . 100  26,136 euros

La predicción es con una fiabilidad del 93,4%   (r2  0,934)

3. Un sector de la economía nacional dispone del valor de producción a precios corrientes de cada año (miles de euros) y los índices de precios de Laspeyres y Fisher.

Año 2007 2008 2009 2010 2011 2012

Producción      (precios corrientes) 78.147 91.357 88.854 92.892 101.336 102.578

Lp (%)

Fp (%)

100 104,22 107,25 109,05 114,87 126,35

100 105,34 108,94 111,36 117,67 130,18

Utilizando el deflactor más idóneo, calcular la producción anual en precios constantes de 2007.

Solución: Para calcular el valor real (precios constantes) de una magnitud se requiere deflactar el valor nominal (precios corrientes), eliminando la influencia que han experimentado los precios. Para ello, se deflacta la serie dividiendo el valor nominal entre un índice de precios. 37

(precios corrientes)   VtN Valor Nominal R          Valor Real                     Vt = t . 100  Índice Precios Ip,0 (precios constantes)

El deflactor más adecuado es el de Paasche, ya que con éste índice de precios se obtiene una relación entre valores monetarios corrientes y valores monetarios constantes. n

n

Índice de Paasche:   Pp 

pit . qit i 1 n

pi0 . qit

             VtR

i 1

VtN   Pp

pit .qit i1 n

pit .qit

n

 pi0 .qit i1

i1 n

pi0 .qit i1

El índice de precios de Fisher   Fp  Lp .Pp  Pp 

(Fp )2 Lp

Año

Producción (precios corrientes) VtN

% Lp

% Fp

2007 2008 2009 2010 2011 2012

78.147 91.357 88.854 92.892 101.336 102.578

100 104,22 107,25 109,05 114,87 126,35

100 105,34 108,94 111,36 117,67 130,18

2

38

%Pp 

(Fp ) Lp

100 106,47 110,66 113,72 120,54 134,13

Producción (precios constantes 2007) VtN R Vt  Pp 78147 85803,75 80297,04 81685,61 84069,58 76478,78

4. En la tabla adjunta se reflejan las ventas trimestrales de una empresa en millones de euros. Halle la serie desestacionalizada por el método de las medias móviles. Trimestres \ Años Primero Segundo Tercero Cuarto

2008 2 2 3 3

2009 3 4 5 4

2010 2 4 5 4

2011 4 5 7 3

2012 5 6 8 5

Solución: Se obtienen las medias móviles de tamaño 4 (período de las variaciones estacionales), que al ser un número par, serán descentradas y corresponderán a los períodos intermedios entre cada dos trimestres consecutivos: Y1  Y2  Y3  Y4 2  2  3  3   2,5 4 4 Y  Y4  Y5  Y6 3  3  3  4 Y4 ,5  3   3,25 4 4 …………………………………………………………………… Y Y Y Y 3568 Y17,5  16 17 18 19   5,5 4 4

Y2  Y3  Y4  Y5 2  3  3  3   2,75 4 4 Y Y Y Y 334 5 Y5,5  4 5 6 7   3,75 4 4 …………………………………………………………………… Y Y Y Y 5685 Y18,5  17 18 19 20  6 4 4

Y2,5 

SERIE DESCENTRADA   Trimestres \  Años    Primero ‐ Segundo    Segundo ‐ Tercero    Tercero ‐ Cuarto    Cuarto ‐ Primero

2008 ‐‐‐‐‐‐ 2,5 2,75 3,25

Y3,5 

2009 3,75 4 3,75 3,75

2010 3,75 3,75 4,25 4,5

2011 5 4,75 5 5,25

2012 5,5 6 ‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐

Para corregir la nueva serie de móviles descentrada, a partir de ella se calcula la media aritmética de cada dos valores sucesivos, asignando este nuevo valor al instante central de los dos periodos considerados, es decir: Y2,5  Y3,5

2,5  2,75  2,625 2 2 …………………………………………………………………… Y Y 5,25  5,5  5,375 Y17  16,5 17,5  2 2 Y3 



Y3,5  Y4,5

2,75  3,25 3 2 2 …………………………………………………………………… Y Y 5,5  6  5,75 Y18  17,,5 18,5  2 2 Y4 

SERIE CENTRADA:  COMPONENTES TENDENCIA Y CÍCLICA  Trimestres \  Años 2008 2009 2010 Primero ‐‐‐‐‐‐ 3,5 3,750 Segundo ‐‐‐‐‐‐ 3,875 3,750 Tercero 2,625 3,875 4 Cuarto 3 3,750 4,375



2011 4,750 4,875 4,875 5,125

La línea que une los puntos   Y3 , Y4 ,  , Y18   se toma como línea de tendencia. 39

2012 5,375 5,750 ‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐

El inconveniente que presenta el método de las medias móviles es que no permite efectuar predicciones, puesto que con él no se obtiene la expresión de una fórmula matemática que facilite obtener el valor de la tendencia para un instante futuro. Este motivo hace que el método se utilice poco para determinar la tendencia, aunque sí se utiliza en el cálculo de los índices de variación estacional (IVE). Al aplicar el método de las medias móviles, en el esquema multiplicativo  Yit = Tit .Eit .Cit .A it , lo que realmente se obtiene es una aproximación de  Tit .Cit  (componentes tendencia y cíclica), quedando sin analizar las componentes estacional ( Eit ) y accidental  (Ait ). La tendencia   Tit y la componente cíclica  Cit  se eliminarán dividiendo cada dato de la serie original  Yit por la correspondiente media móvil:                        

Yit Tit .Cit

=

Trimestres \ Años Primero Segundo Tercero Cuarto

Tit .Eit .Cit .A it Tit .Cit

2008 ‐‐‐ ‐‐‐ 3/2,625 3/3

= Eit .A it     quedando la componente estacional y accidental

2009 3/3,5 4/3,875 5/3,875 4/3,75

COMPONENTES ESTACIONAL Y ACCIDENTAL   Trimestres \  Años 2008 2009 Primero ‐‐‐‐‐‐ 0,857 Segundo ‐‐‐‐‐‐ 1,032 Tercero 1,143 1,290 Cuarto 1 1,067

2010 2/3,75 4/3,75 5/4 4/4,375

2011 4/4,75 5/4,875 7/4,875 3/5,125

2012 5/5,375 6/5,75 ‐‐‐ ‐‐‐

2010 0,533 1,067 1,250 0,914

2011 0,842 1,026 1,436 0,585

2012 0,930 1,043 ‐‐‐‐‐‐ ‐‐‐‐‐‐

El Índice Bruto de Variación Estacional (IBVE) se calcula eliminando la componente accidental  A i t . Para ello,  se hace el  cálculo de las medias aritméticas trimestrales, es decir, la media aritmética de cada fila de la tabla anterior (donde solo aparecía el producto de  Ei t . A i t ): 0,857  0,533  0,842  0,930  0,791 4 1,143 + 1,290 + 1,250 + 1,436 = 1,280 4

Trim \ Años Primero Segundo Tercero Cuarto

1,032 + 1,067 + 1,026 + 1,043 = 1,042 4 1 + 1,067 + 0,914 + 0,585 = 0,892 4

COMP.  ESTACIONAL Y ACCIDENTAL 2008 2009 2010 2011 2012 ‐‐‐‐‐‐ 0,857 0,533 0,842 0,930 ‐‐‐‐‐‐ 1,032 1,067 1,026 1,043 1,143 1,290 1,250 1,436 ‐‐‐‐‐‐ 1 1,067 0,914 0,585 ‐‐‐‐‐‐

COMPONENTE  ESTACIONAL IBVE % IVE (0,791 / 1,001) . 100  78,990 0,791 (1,042 / 1,001) . 100  104,095 1,042 (1,280 / 1,001) . 100  127,847 1,280 (0,892 / 1,001) . 100  89,067 0,892 1,001

40

400

IBVE 

4,004  1,001 4

Adviértase que los índices de variación estacional (IVE) tienen que sumar 4 (400%) Sobre un nivel medio de ventas, la influencia de la variación estacional  (% IVE ‐100)  produce: 1º Trimestre: 2º Trimestre: 3º Trimestre: 4º Trimestre:

(78,990  100)   21,01% (104,095  100)  4,095 % (127,847  100)  27,847 % (89,067  100)   10,933 %

descenso de ventas del 21,01% aumento de ventas del 4,095% aumento de ventas del 27,847% descenso de ventas del 10,933%

La DESESTACIONALIZACIÓN (aplicando el método a la razón a la media móvil) consiste en dividir cada valor de la serie original por cada Índice de Variación Estacional correspondiente, en porcentaje Yit .100 % IVEt

Trimestres \  Años 2008 2009 2010 2011 2012 (3/78,99).100 (2/78,99).100 (4/78,99).100 (5/78,99).100 Primero (2/78,99).100 (2/104,095).100 (4/104,095).100 (4/104,095).100 (5/104,095).100 (6/104,095).100 Segundo (3/127,847).100 (5/127,847).100 (5/127,847).100 (7/127,847).100 (8/127,847).100 Tercero (3/89,067).100 (4/89,067).100 (4/89,067).100 (3/89,067).100 (5/89,067).100 Cuarto SERIE DESESTACIONALIZADA Trimestres \  Años 2008 Primero 2,532 Segundo 1,921 Tercero 2,347 Cuarto 3,368

2009 3,798 3,843 3,911 4,491

2010 2,532 3,843 3,911 4,491

41

2011 5,064 4,803 5,475 3,368

2012 6,330 5,764 6,257 5,614

EXAMEN DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

GRADO EN ECONOMÍA                                                                                                 21 de Junio 2013

1.  En una fábrica trabajan 20.000 personas en la cadena de producción, cuyos salarios, en miles de euros, se distribuyen según la tabla adjunta: Salarios Nº trabajadores

10 ‐ 20 12.000

40 ‐ 50 1.000

20 ‐ 40 6.000

50 ‐ 100 800

100 ‐ 200 200

a) Determine el grado de concentración de los salarios b) ¿Qué parte de la nómina percibe el 5% del personal mejor pagado? c) ¿Qué porcentaje de los trabajadores percibe el 50% de los salarios? d) Si la empresa hace una reestructuración del 60% de plantilla en cada uno de los tramos de los salarios, ¿cuál sería el índice de Gini?

Solución: a) Ordenando los datos de forma creciente:

Salarios

xi

ni

Ni

xi ni

10 ‐ 20

15

12000

12000

180000

20 ‐ 40 40 ‐ 50 50 ‐ 100 100 ‐ 200

30 45 75 150

6000 1000 800 200

18000 19000 19800 20000

180000 45000 60000 30000

%pi 

Ni .100 N

60 x 90 95 99 ‐‐‐‐‐‐ 344

Ui  x i n i acumulada 180000 360000 405000 465000 495000

%qi 

Ui .100 Uk

36,36 50 72,73 81,82 93,94 ‐‐‐‐‐‐ 284,85

5

Índice de Gini:    IG  1 

q i 1 5

p i 1

i

1

284,85  0,1719 (17,19%) 344

i

b) Comenzando por los salarios más bajos, se observa que el 81,82% de los salarios, es percibido por el 95% de la plantilla. En consecuencia, el 5% del personal mejor pagado percibe el 18,18% c) Se observa que el 60% de los trabajadores percibe el 36,36% de los salarios, mientras que el 90% de los trabajadores percibe el 72,73% de los salarios.  Para estimar el porcentaje x  de trabajadores que percibe el 50% de los salarios, se realiza una interpolación lineal: 42

                                

90  60 x  60   x  71,25 % 72,73  36,36 50  36,36

d) El índice de Gini tiene que ser coherente con el Principio de la Población, es decir, el índice de Gini no varia cuando el conjunto de individuos con la misma renta se multiplican por un escalar.        En consecuencia, si la empresa hace una modificación de la plantilla del 60% en todos los tramos       de salarios el índice de Gini tiene que ser el mismo:   IG  0,1719

2. Dada la tabla de correlación: X\Y 1 2

0 1 4

3 5 4

6 2 1

a) Hallar las rectas de regresión mínimo cuadráticas asociadas. b) Hallar la varianza explicada por la regresión y la varianza residual de la recta Y/X, explicando los resultados.

Solución: a) Se efectúan los cálculos necesarios para obtener los momentos respecto al origen: X   \   Y

0

3

6

ni

x i ni

x 2i ni

1 2

1 4

5 4

2 1

8 9

8 18

8 36

n j

5

9

3

17

26

44

y j n j

0

27

18

45

y 2j n j

0

81

108

189

2

a10  x 

2

 xi ni

26   1,53 17

i1

N

a20 

3

a01  y  2

a11 

j1

i1

j

N

45   2,65 17

a02 

2 i

ni

N 3

y n j

x

y j1

2 i

N

n j



x i y j nij

44  2,59 17

189   11,12 17

0 0

15 24

63

2 s2x  a20  a10  2,59  1,532  0,25

s2y  a02  a201  11,12  2,652  4,1

3

 x y n i1 j1

N

i

j

ij



63  3,71 17

sxy  a11  a10 . a01  3,71  1,53 . 2,65   0,34

43

12 12

sxy  0,34    1,36 b 2  Recta regresión Y/X:   Y  a  b X  sx 0,25  y  a  b x  a  y  b x  2,65  1,36 . 1,53  4,73 

Y/X:   Y  4,73  1,36 X s xy  0,34    0,083  b'  2  sy 4,1 Recta regresión X/Y:   X  a'  b' Y   x  a'  b' y  a'  x  b' y  1,53  0,083 . 2,65  1,75 

X/Y:   X  1,75  0,083 Y b) Coeficiente de determinación:   r2  b . b'  ( 1,36). (  0,083)  0,1129 Varianza residual de Y:   sr2y  s2y (1  r2 )  4,1 (1  0,1129)  3,637 s2y  sR2 y  sr2y  sR2 y  s2y  sr2y  4,1  3,637  0,463 Varianza explicada por la regresión:    sR2 y  s2y . r2  4,1 . 0,1129  0,463  La mayor parte de la variable dependiente Y resulta ser residual, un   

3,637 . 100  88,7% . 4,1

 En consecuencia, una pequeña parte queda explicada por la regresión:  r2 . 100  0,1129 . 100  11,29%              (0,463 / 4,1) . 100  11,29%

Al ser la varianza explicada muy pequeña, el ajuste no es bueno y las rectas de regresión no pueden utilizarse de manera fiable para hacer predicciones.

44

3.  Un trabajador ha recibido los siguientes salarios en los años 2005 y 2006:       Salario 2005 = 18.565 euros                      Salario 2006 = 19.005 euros Esta persona quiere saber si su poder adquisitivo ha aumentado en el año 2006 respecto al 2005. Para ello dispone de la siguiente información relativa al Índice de Precios de Consumo con base el año 2002 2006 IPC2005 2002  109,93 %      e      IPC2002  113,63 %

a) Interprete el valor de los números índice proporcionados b) Determine e interprete la tasa de variación que ha sufrido el poder adquisitivo de este asalariado entre los años 2005 y 2006, en términos nominales y en términos reales (constantes del 2002)

c) Si el salario del trabajador en el año 2002 fue de 16.000 euros, ¿cuál fue  la tasa media anual acumulativa en términos nominales y reales (constantes del 2002) en el periodo 2002‐2006? Solución: a)

IPC2005 2002 = 109,93%  En el año  2005 los precios  se  han incrementado  un 9,93%  respecto  al año  2002 IPC2006 2002 = 113,63%  En el año  2006  los precios  se  han incrementado  un 13,63%  respecto  al año  2002 b)  Para calcular el salario real (precios constantes) se requiere deflactar el salario nominal (precios corrientes), eliminando la influencia que han experimentado los precios. Para ello, se deflacta la serie dividiendo el valor nominal entre el IPC corriente  cons tante SN2005 18565 precios corrientes      16888,02 euros precios constantes SR2005 2005  IPC2002 1,0993 Salario nominal  Salario real =   t corriente IPC2002  SRcons tante  SN2006  19005  16725,34 euros 6  2006 1,1363 IPC200 2002

  19005  2006 Nominal: TV2005   18665  1 . 100  2,37%    Tasas de variación    16725,34  2006  Real:   1 . 100   0,963% TV2005   16888,02  En términos nominales el salario ha crecido un 2,37%, aunque en términos reales (eliminado el efecto de la inflación), el salario ha disminuido un 0,963%. c) La tasa media anual acumulativa en términos nominales y reales (constantes del 2002) en el periodo 2002‐2006 corriente  SN2006 19005 I    1,1878  salario nominal SN2002 16000                  cons tante SR2006 16725,34 I    1,0453 salario real  SR2002 16000

45



Tasa de variación media anual en términos nominales:

        TM nominal  

4

I salario nominal  1 

4

1,1878  1  1,04396  1  0,4396 (4,396%)

Tasa de variación media anual en términos reales:

        TM real  4 I salario real  1 

1,0453  1  1,0111  1  0,111 (1,11%)

4

4. Tras  analizar  los  datos  referentes  a  un  año  y  medio  (desde  2004.1  hasta  2005.2)  de  una determinada  serie  temporal  (Y),  de  periodicidad  trimestral,  se  han  obtenido  los  siguientes resultados con t = 0, 1, … , 5:      t = 15

t

2

= 55

ty

t

= 71.950

y

y

= 19.073

t

2 t

= 97.199.705

Los índices de variación estacionales han sido: IVE1 = 1,033

IVE2 = 0,87

IVE3 = 0,97

IVE4 = 1,127

a) Realice un ajuste lineal de la tendencia de la serie. Determine a partir del coeficiente de determinación lineal si el ajuste es bueno o malo, y prediga el valor de la serie para el tercer y cuarto trimestre del año 2005. b) Interprete estadísticamente los IVEs

Solución: s ty  b  2 a)  Recta de regresión de Y sobre t:   Y  a  b.t  st  a  y b t  6

6

6

 yt

t

15   2,5 t N 6

19073   3178,83 y N 6 t 1

i1

a11 

 ty t 1

N 6

s ty  a11  t . y  11991,67  2,5 . 3178,83  4044,59        s2t 

t

t i1

6



71950  11991,67 6

2

 t2 

55  2,52  2,92 6

4044,59   1385,13 b  con lo que,  Y = ‐283,99 + 1385,13.t  2,92  a  3178,83  1385,13 . 2,5   283,99  El Coeficiente de determinación lineal:   R2  b . b' 6

b' 

s ty s

2 y

s2y 

y t 1

N

2 t

 y2 

97199705  3178,832  6094990,66 6 46

b' 

4044,59  0,00066 6094990,66

R2  b . b'  1385,13 . 0,00066  0,914 El modelo es bueno porque explica el 91,4% ( R2 = 0,914 ) de la variabilidad de Yt  en función de t. Para predecir el tercer (t  6)  y cuarto trimestre (t  7) de 2005:   Y = ‐283,99 + 1385,13.t 2005.3:  Y = ‐283,99 + 1385,13 . 6 = 8026,79 2005.4:  Y = ‐283,99 + 1385,13 . 7 = 9411,92 En el esquema multiplicativo  Yit = Tit . Eit . Cit . A it  Yit = Tit . IVEh (h  t) = T2005.3 . IVE3 = 8026,79 . 0,97 = 7785,99 Y Yit = Tit . IVEh  2005.3  Y2005.4 = T2005.4 . IVE4 = 9411,92 . 1,127 = 10607,23

b) Los índices de variación estacional muestran el componente estacional en el esquema multiplicativo. El componente estacional   Eit  son las oscilaciones que sufre una serie temporal en periodos inferiores o iguales a un año.         IVE1 = 1,033

IVE2 = 0,87

IVE3 = 0,97

IVE4 = 1,127

   IVE1 = 1,033  significa que por el hecho de estar en el primer trimestre,  la variable  Yit es un 3,3%        mayor que el comportamiento habitual o tendencia de la serie.  IVE2 = 0,87  significa que por el hecho de estar en el segundo trimestre,  la variable  Yit es un 13%      menor que el comportamiento habitual o tendencia de la serie.

47

. 4

EXAMEN DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA

EXAMEN DE ESTADÍSTICA DESCRIPTIVA                                               28 DE JUNIO 2013 1.‐ Se quieren analizar los accidentes de tráfico en las provincias españolas. Se disponen de los siguientes datos: Accidentes de Tráfico (miles) 0 ‐ 15 15 ‐ 35 35 ‐ 50

Nº de Provincias españolas 25 15 10

a) Obtenga el número medio de accidentes por provincia y  su  valor mediano. b) La media obtenida en el apartado anterior, ¿es representativa? c) ¿Se producen en España los accidentes de forma concentrada según provincias? Justifique el indicador empleado para medir la concentración de los accidentes e interprete los resultados.

d) En Alemania se ha realizado un estudio similar al español. Se ha obtenido un índice de Gini del 0,70. Dibuje las curvas de Lorenz  teóricas que representarían los indicadores de concentración de ambos países y explique la posición de cada una de ellas.

Solución: a) [L i  L i1 )

xi

ni

ci

Ni

xi n i

x 2i n i

0 ‐ 15 15 ‐ 35 35 ‐ 50

7,5 25 42,5

25 15 10

15 20 15

15 40 50

187,5 375 425 987,5

1406,25 9375 18062,5 28843,75

3

Número medio accidentes:   x 

x n i1

i

N

i



987,5  19,75 50

N 50  Ni1  15 25  15 ci  15  2 20  15  20  23 Valor mediano:  Me  L i  2 Ni  Ni1 40  15 40  15    ni

b)  Para saber si la media obtenida es representativa se calcula el Coeficiente de Variación de       Pearson: 48

3

a2 

x i1

2 i

ni



N

28843,75  576,875 50

s2  a2  a12  576,875  19,752  186,8125  s  186,8125  13,67 CV 

s 13,67   0,6911 (69,11%) x 19,75

El Coeficiente de Variación de Pearson cuantifica el grado de dispersión (69,11%), que resuelta ser alto, por lo que la media aritmética no es representativa.

c) Rentas [L i  L i1 )

xi

ni

Ni

xi n i

0 ‐ 15 15 ‐ 35 35 ‐ 50

7,5 25 42,5

25 15 10

15 40 50

187,5 375 425

Ui  x i n i acumulada 187,5 562,5 987,5

%pi 

Ni N

100

%qi 

50 80 100

987,5

Ui 100 Uk

18,99 56,96 100 75,95

130

% (pi  qi ) 31,01 23,04 0 54,05

El grado de concentración de accidentes viene reflejado por el  Índice de Gini: 2

      IG  1 

 qi i1 2

p i1

2

 75,95 1  0,4158 (41,58%)     o bien    IG  i1 130

(pi  qi ) 2

p

i

i1



54,05  0,4158 130

i

Cuanto más próximo a cero se encuentre el Índice de Gini será más equitativo el grado de concentración de accidentes, siendo de 41,58%, se puede concluir que existe concentración de accidentes.

d)

 IG (Alemania)  0,70  IG (España)  0,4158  concluyendo que en Alemania están más concentrados los accidentes, esto es, al dibujar las curvas teóricas, la curva de Lorenz de España se encontraría más próxima a la diagonal principal.

49

2.‐  A partir de la tabla adjunta, siendo N  11 ,  Y  0 X  \  Y 0 1

‐ 2 0 3

2

0

0 1 n22 1

1 0 n23 0

a) ¿Son independientes las variables estadísticamente? b) Rectas de regresión de  Y/X  e  X/Y c) ¿Qué parte de la varianza calculada Y es explicada por la regresión? ¿Qué parte es debida a

causas ajenas?

Solución: a) X  \  Y

‐ 2

0

1

ni 

0 1

0 3 0

0 n23 0 n23

1

2 n j

1 n22 1 2  n22

3

De otra parte,   Y 

3  n22  n23 1 5  n22  n23  11

 2 . 3  0  n23  0  n23  6 11

5  n22  6  11  n22  0 X  \  Y

‐ 2

0

1

ni 

0 1 2 n j

0 3 0

1 0 1

0 6 0

1 9 1

3

2

6

11

Las variables X e Y son independientes n n  n  cuando se verifica  ij   i    j   i, j N  N  N 

No son independientes porque no se verifica la relación:  

n 1 1 2  n   n2    x       12   1    11 11 11  N  N   N  

b) 3 3

  x i y j nij

            a11  i1 j1

N



1   2 . 1. 3  1 . 1. 6  0 11

3

           a10  x 

 x i ni

i1

N

3

 x i ni 2

1.9  0 2.1   1         a20  i1 11 N 50



1 2 13 1 . 9  22 . 1  11 11

2             s2x  a20  a10

13 2 1   sx  11 11

2  0,43 11

3

           a01  y 

 y j n j j1

N

           s2y  a02  a201 

3

 0                                        a02 

18 18 0   sy  11 11

 y j n j 2

j1

N



1 18 (2)2 . 3  12 . 6   11 11

18  1,28 11

  covarianza:   sxy  a11  a10 . a01  0  1 . 0  0 

El coeficiente de regresión de Y sobre X (pendiente de la recta):   b 

sxy s



2 x

0 0 2 / 11

               Y  a  b X  0  a  0 . 1  a  0                Y / X : Y  0 

 El coeficiente de regresión de X sobre Y (pendiente de la recta):   b' 

sxy s

2 Y



0 0 18 / 11

               X  a'  b' Y  1  a'  0 . 0  a'  1                X / Y : X  1 COEFICIENTE DETERMINACIÓN:   r2  b . b'  0  Las rectas son perpendiculares, y en consecuencia,   las variables (X, Y) son INCORRELADAS VARIANZA RESIDUAL DE Y:   sry2  s2y (1  r2 )  sry2  s2y  s2Y explicada  sr2Y



18 18  s2Y explicada   11 11

18 18 (1  0)  11 11

s2Y explicada  0

51

3.‐ En la tabla se presenta el valor de importaciones de un país durante los años 2009 y 2010.  Importaciones  Alimentos  Otros bienes de consumo  Bienes de capital  Bienes intermedios  TOTAL

2009 1010 7450 2400 4755 15615

2010 1200 7955 2210 6256 17621

Se sabe que las importaciones tanto de alimentos como de otros bienes de consumo se pagaron un 3% más caras en 2010 que en 2009. Las importaciones de bienes de capital subieron sus precios un 1,2% y las de bienes intermedios bajaron un 0,5%. Se pide: a)  Calcular el índice de precios total de las importaciones en 2010 con base 2009, utilizando Laspeyres y Paasche. b)  ¿Cuánto crecieron las importaciones en cantidad en 2009 con respecto a 2010?

Solución: a)  Utilizando el  índice de precios de Laspeyres:

Laspeyres pi,09 . qi,09 Importaciones  Alimentos 1010  Otros bienes de consumo 7450  Bienes de capital 2400  Bienes intermedios 4755  TOTAL 15615

pi,10 . qi,09

pi,10 . qi,10

1200 7955 2210 6256 17621

     1,03 x 1010 = 1040,3     1,03 x 7450  = 7673,5    1,012 x 2400 = 2428,8    0,995 x 4755 = 4731,23

15873,83

4

       Lp 

pi,10 .qi,09 i1 4

pi,09 .qi,09

. 100 

15873,83 . 100  101,66 % 15615

i1

 Utilizando el  índice de precios de Paasche:

Paasche Importaciones  Alimentos  Otros bienes de consumo  Bienes de capital  Bienes intermedios  TOTAL

pi,09 . qi,09

pi,10 . qi,10

1010 7450 2400 4755 15615

1200 7955 2210 6256 17621 52

pi,09 . qi,10        1200/1,03 = 1165,05        7955/1,03 = 7723,30      2210/1,012 = 2183,79      6256/0,995 = 6287,44

17359,58

4

       Pp 

pit .qit i1 4

pi0 .qit

. 100 

17621 . 100  101,51% 17359,58

i1

b)  Para calcular los índices cuánticos de Laspeyres y Paasche se requiere hallar previamente el índice de valor de las importaciones entre 2009 con base 2010. 4

10 IV09

V  10  V09

pi,10 . qi,10 i1 4

pi,09 . qi,09



17621  1,1285 (112,85%) 15615

i1

Siendo,   IV0t  LP 0t . PQ 0t

10  10 IV09 112,85 . 100  111,01%  PQ 09  10 . 100  101,66 LP 09    PP 0t . L Q 0t    10  10 IV09 112,85 . 100  111,17 %  L Q 09  10 . 100  101,51 PP 09 

53

4.‐  En la tabla adjunta se reflejan las ventas trimestrales de una empresa en millones de euros. Trimestres \ Años Primero Segundo Tercero Cuarto

2006 1 2 4 3

2007 2 3 5 4

2008 2 4 5 3

2009 3 4 7 6

2010 5 7 8 7

Suponiendo un esquema de agregación multiplicativo en la serie temporal: a) Desestacionalice la serie de ventas por el método de las medias móviles. b) Calcule los Índices de Variación Estacional (IVEs) por el método de la tendencia.

Solución: a)  Para calcular la tendencia secular de la serie por el método de las medias móviles, se obtienen primero medias móviles de tamaño 4 (período de las variaciones estacionales), que al ser un número par, se pierden 4 datos, resulta una serie descentrada y corresponderán a los períodos intermedios entre cada dos trimestres consecutivos. Cálculo de las medias móviles: 12 4 3  2,5  entre segundo y tercer trimestre de 2006 4 2 4 32        2,75  entre tercer y cuarto trimestre de 2006 4 4 323        3  entre cuarto trimestre de 2006  y primer trimestre de 2007 4 323 5        3,25  entre primer y segundo trimestre de 2007 4 23 5 4        3,5  entre segundo y tercer  trimestre de 2007 4

     

         SERIE DESCENTRADA de medias móviles Trimestres  \    Años 2006 2007 Primero‐Segundo ‐‐‐ 3,25 Segundo‐Tercero 2,5 3,5 Tercero‐Cuarto 2,75 3,5 Cuarto‐Primero 3 3,75

2008 3,75 3,5 3,75 3,75

2009 4,25 5 5,5 6,25

2010 6,5 6,75 ‐‐‐ ‐‐‐

Para centrar la serie hay que calcular la media aritmética de cada dos observaciones sucesivas, de este modo, las medias que irán apareciendo, respectivamente, serán: 2,5  2,75  2,625 2

2,75  3  2,875 2

3  3,25  3,125 2

3,25  3,5  3,375 2

3,5  3,5  3,5 2

3,5  3,75  3,625 2

3,75  3,75  3,75 2

3,75  3,5  3,625 2

3,5  3,75  3,625 2

3,75  3,75  3,75 2

54

3,75  4 ,25 4 2

4 ,25  5  4 ,625 2

5  5,5  5,25 2

5,5  6,25  5,875 2

6,25  6,5  6,375 2

6,5  6,75  6,625 2

SERIE CENTRADA de las medias móviles: Trimestres  \    Años 2006 2007 Primero ‐‐‐ 3,125 Segundo ‐‐‐ 3,375 Tercero 2,625 3,5 Cuarto 2,875 3,625

2008 3,75 3,625 3,625 3,75

2009 4 4,625 5,25 5,875

2010 6,375 6,625 ‐‐‐ ‐‐‐

La línea que se obtiene al representar gráficamente la serie de la tabla  (t , yit ) será la línea de tendencia, que comienza en el tercer trimestre de 2006 y finaliza en el segundo trimestre de 2010.

Al aplicar el  método de las medias móviles, en el esquema multiplicativo  Yi t  Ti t .Ei t . Ci t . Ai t , lo que realmente se obtiene en la serie cronológica  es una aproximación de  Ti t . Ci t , quedando sin analizar las componentes estacional ( Eit ) y accidental  (Ait ). La tendencia y la componente cíclica  se eliminarán dividiendo cada dato de la serie original por la correspondiente media móvil:                

Yi t Ti t . Ci t



Ti t . Ei t . Ci t . Ai t Ti t . Ci t

Trimestres \  Años Primero Segundo Tercero Cuarto

 Ei t . Ai t     quedando la componente estacional y accidental

2006 ‐‐‐ ‐‐‐ 4/2,625 3/2,875

2007 2/3,125 3/3,375 5/3,5 4/3,625

2008 2/3,75 4/3,625 5/3,625 3/3,75

SERIE con las componentes estacional y accidental Trimestres \  Años 2006 2007 2008 Primero ‐‐‐ 0,640 0,533 Segundo ‐‐‐ 0,889 1,103 Tercero 1,524 1,429 1,379 Cuarto 1,043 1,103 0,8 55

2009 3/4 4/4,625 7/5,25 6/5,875

2010 5/6,375 7/6,625 ‐‐‐ ‐‐‐

2009 0,750 0,865 1,333 1,021

2010 0,784 1,057 ‐‐‐ ‐‐‐

Se elimina la componente accidental  Ai t  con el cálculo de las medias aritméticas trimestrales, es decir, la media aritmética de cada fila de la tabla anterior (donde solo aparecía el producto de  Ei t . Ai t ):                   

                 

0,640  0,533  0,750  0,784 0,889  1,103  0,865  1,057  0,677                     0,978 4 4

1,524  1,429  1,379  1,333 1,043  1,103  0,8  1,021  1,416                        0,992 4 4

Trimestres \  Años Primero Segundo Tercero Cuarto

2006 ‐‐‐ ‐‐‐ 1,524 1,043

2007 0,640 0,889 1,429 1,103

Se calcula la media aritmética de los cuatro valores obtenidos anteriormente

2008 0,533 1,103 1,379 0,8

2009 0,750 0,865 1,333 1,021

IVBE 0,677 0,978 1,416 0,992 1,016

2010 0,784 1,057 ‐‐‐ ‐‐‐

0,677  0,978  1,416  0,992  1,016 4

Se calculan los Índices de Variación Estacional, expresando para ello cada uno de los valores anteriores en forma de porcentaje sobre la media anual, obteniendo: Trimestres \  Años Primero Segundo Tercero Cuarto

IVE (%) (0,677/1,016) . 100 = 66,63 (0,978/1,016) . 100 = 96,31 (1,416/1,016) . 100 = 139,41 (0,992/1,016) . 100=  97,65   400 %

DESESTACIONALIZACIÓN (aplicando el método a la razón a la media móvil).‐ El proceso consiste en dividir cada valor de la serie original por cada Índice de Variación Estacional correspondiente: Trimestres \  Años Primero Segundo Tercero Cuarto

2006 1/0,6663 2/0,9631 4/1,3941 3/0,9765

2007 2/0,6663 3/0,9631 5/1,3941 4/0,9765

2008 2/0,6663 4/0,9631 5/1,3941 3/0,9765

        Serie desestacionalizada, método a la razón a la media móvil Trimestres \  Años 2006 2007 2008 Primero 1,501 3,002 3,002 Segundo 2,077 3,115 4,153 Tercero 2,869 3,587 3,587 Cuarto 3,072 4,096 3,072

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2009 3/0,6663 4/0,9631 7/1,3941 6/0,9765

2010 5/0,6663 7/0,9631 8/1,3941 7/0,9765

2009 4,502 4,153 5,021 6,144

2010 7,504 7,268 5,738 7,168

b)  Los Índices de Variación Estacional (IVEs) por el método de la tendencia. Se calculan las medias anuales  y t  (medias para cada año de k = 4 subperiodos) Trimestres \  Años Primero Segundo Tercero Cuarto

2006 1 2 4 3

2007 2 3 5 4

2008 2 4 5 3

2009 3 4 7 6

2010 5 7 8 7

y 2006  2,5

y 2007  3,5

y 2008  3,5

y 2009  5

y 2010  6,75

4

 yi t

                          y t  i1

4

t  (2006 , 2007 ,  ,2010)   medias anuales

La tendencia media anual  T t  se obtiene ajustando una recta de regresión a los años  (t1 , t2 ,  , tn )  y a las medias anuales   y t , donde t  (t1 , t2 ,  , tn ) :   T t  yˆ t  a  b . t (t2006 , t2007 ,  , t2010 )

2006

2007

2008

2009

2010

y t  medias anuales

2,50

3,50

3,50

5,00

6,75

Por el método de los mínimos cuadrados, resulta:  a  2003,75   y    b  1 con lo que,  T t  yˆ t  2003,75  t        t  (t2006 , t2007 ,  , t2010 )  , resulta pues: Tendencia media anual (t2006 , t2007 ,  , t2010 )

2006

2007

2008

2009

2010

T t

2,25

3,25

4,25

5,25

6,25

A partir de la tendencia media anual  T t  se obtiene el valor de la tendencia para los distintos subperíodos, según la expresión general:

                       Ti t  T t  i  

k  1 b .       tendencia media anual para los subperíodos k‐ésimos 2  k

    donde, t   Año (2006, 2007, ..., 2010) Subperíodo donde se calcula la tendencia (trimestral i = 1, 2, i   3, 4) k   Número total de subperíodos ( datos trimestrales k = 4) b   Pendiente de la recta de regresión = 1 4 1 1 .  1,875 2  4  4 1 1 Trimestre Segundo 2006 :  Ti2006  2,25  2  .  2,125 2  4 

Trimestre Primero 2006 :  Ti2006  2,25  1 

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4 1 1 .  2,375 2  4  4 1 1 Trimestre Primero 2007 :  Ti2007  3,25  1  .  2,875 2  4  4 1 1 Trimestre Primero 2008 :  Ti2008  4 ,25  1  .  3,875 2  4  4 1 1 Trimestre Primero 2009 :  Ti2009  4 ,25  1  .  4 ,875 2  4  4 1 1 Trimestre Primero 2010 :  Ti2010  5,25  1  .  5,875 2  4 

Trimestre Tercero 2006 :  Ti2006  2,25  3 

SERIE DE LA TENDENCIA (k=4 trimestres) i Primero 1 Segundo 2 Tercero 3 Cuarto 4

t

2006 1,875 2,125 2,375 2,625

2007 2,875 3,125 3,375 3,625

2008 3,875 4,125 4,375 4,625

2009 4,875 5,125 5,375 5,625

2010 5,875 6,125 6,375 6,625

Representación gráfica de la serie con los datos originales y la serie suavizada de tendencia

Para eliminar la tendencia y la componente cíclica se divide cada término de la serie original entre el correspondiente término de la serie teórica de tendencia. SE ELIMINA LA TENDENCIA Y LA COMPONENTE CÍCLICA DE LA SERIE Trimestres    \ Años 2006 2007 2008 2009 Primero 1/1,875 2/2,875 2/3,875 3/4,875 Segundo 2/2,125 3/3,125 4/4,125 4/5,125 Tercero 4/2,375 5/3,375 5/4,375 7/5,375 Cuarto 3/2,625 4/3,625 3/4,625 6/5,625

2010 5/5,875 7/6,125 8/6,375 7/6,625

Señalar que, en el esquema multiplicativo, al aplicar el método de los mínimos cuadrados, lo que se obtiene es una aproximación, ya que en el período que se considera (un año) es suficientemente pequeño, pudiendo suponer que la componente cíclica está incluida en la tendencia secular, puesto que en un período tan corto no da lugar a que se manifiestes plenamente las variaciones cíclicas.

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   Serie con las COMPONENTES ESTACIONAL y ACCIDENTAL Trimestres   \  Años 2006 2007 2008 Primero 0,533 0,696 0,516 Segundo 0,941 0,960 0,970 Tercero 1,684 1,481 1,143 Cuarto 1,143 1,103 0,649

2009 0,615 0,780 1,302 1,067

2010 0,851 1,143 1,255 1,057

Para eliminar la componente accidental, calculamos para cada trimestre la media aritmética de los valores obtenidos por trimestres (filas) en la serie anterior con las componentes estacional y accidental. 0,533  0,696  0,516  0,615  0,851 0,941  0,96  0,97  0,78  1,143  0,642               0,959 5 5 1,684  1,481  1,143  1,302  1,255 1,143  1,103  0,649  1,067  1,057  1,373                 1,004 5 5

Trimestres   \  Años Primero Segundo Tercero Cuarto

2006 0,533 0,941 1,684 1,143

2007 0,696 0,960 1,481 1,103

2008 0,516 0,970 1,143 0,649

El promedio anual de las cuatro medias aritméticas:  

2009 0,615 0,780 1,302 1,067

2010 0,851 1,143 1,255 1,057

IBVE 0,642 0,959 1,373 1,004 0,994

0,642  0,959  1,373  1,004  0,994 4

Se calculan los Índices de Variación Estacional, expresando para ello cada uno de las valores obtenidos (medias aritméticas por trimestres) en forma de porcentaje sobre la media anual, obteniendo: Trimestres   \  Años Primero Segundo Tercero Cuarto

IBVE 0,642 0,959 1,373 1,004

IVE (%) (0,642/0,944).100 = 64,59 (0,959/0,944).100 = 96,48 (1,373/0,944).100 = 138,13 (1,004/0,944).100 = 101,01

En definitiva, sobre un nivel medio de ventas, la influencia de la variación estacional produce: 1º Trimestre: ( 64,59 ‐ 100 = ‐35,41)    un descenso de ventas del 35,41% 2º Trimestre: (96,48 ‐ 100  = ‐3,52)    un descenso de ventas del 3,42% 3º Trimestre: (138,13 ‐ 100  = 38,13)   un aumento de ventas del 38,13% 4º Trimestre: (101,01 ‐ 100  = 1,01)   un aumento de ventas del 1,01%

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