Universidad T´ ecnica Federico Santa Mar´ıa Departamento de Matem´atica

Coordinaci´ on de Matem´ atica I (MAT021) 1er Semestre de 2013 Semana 4: Lunes 1 - Viernes 5 de Abril

Complementos Contenidos • Clase 1: Funciones trigonom´etricas. • Clase 2: Funciones sinusoidales y ecuaciones trigonom´etricas.

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Clase 1

1.1

Aprendizajes esperados

• Identifica funciones peri´ odicas y sus propiedades gr´aficas. • Reconoce el concepto de radi´ an y transforma ´angulos a este sistema de medici´on. • Reconoce las funciones circulares, notaci´on, dominios, recorridos, paridad, periodicidad e identidades b´ asicas. • Aplica propiedades de las funciones circulares a la resoluci´on de problemas. • Grafica funciones trigonom´etricas reconociendo propiedades b´asicas.

1.2 1.2.1

Funciones Trigonom´ etricas. Conceptos previos

Definici´ on 1.1 (Funci´ on Peri´ odica). Se dice que una funci´ on f es peri´ odica de per´ıodo p ∈ R − {0} si f (x + p) = f (x)

∀x, x + p ∈ dom(f ) .

Observaci´ on 1.1. El valor p corresponde a la m´ınima constante que satisface la relaci´on y tambi´en es llamado per´ıodo fundamental. Ejemplo 1.1. Considerar la funci´ on f (x) = x − [x] donde [x] denota la parte entera de x. Definici´ on 1.2 (La circunferencia unitaria S 1 en el plano xy). S 1 = {(x, y) : x2 + y 2 = 1}. Definici´ on 1.3. Un radi´ an es la medida de un ´angulo del centro de una circunferencia que subtiende un arco de longitud igual al radio de la circunferencia. Observaci´ on 1.2. El ´ angulo total en una circunferencia es 2π radianes.

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Observaci´ on 1.3. Mencionar la transformaci´on de ´angulos expresados en grados a radianes y viceversa. Definici´ on 1.4 (Funci´ on enrollado). : Consid´erese la correspondencia entre n´ umeros reales y puntos de S 1 se˜ nalada a continuaci´on: 1 Dado θ ∈ R, sea W (θ) el punto de S que partiendo de P (1, 0) se desplaza en |θ| unidades: • Si θ > 0, en sentido anti-horario; • Si θ < 0, en sentido horario. Se define as´ı la funci´ on enrollado por W : R → S 1 : θ 7→ W (θ) Observaci´ on 1.4. La funci´ on enrollado no es inyectiva, ya que como el radio de S 1 es 1, y su longitud es 2π, luego: ∀n ∈ Z

W (θ + 2nπ) = W (θ) De hecho, es peri´ odica de per´ıodo 2π.

1.2.2

Funciones trigonom´ etricas

Si W (θ) = (x, y) se definen las funciones trigonom´etricas: y si x 6= 0 x x 4. cot(θ) = si y 6= 0 y

1. sen(θ) = y

3. tan(θ) =

2. cos(θ) = x f

sen

cos

Dom

R

R

Rec

[−1, 1]

[−1, 1]

Per´ıodo

2π

P/I

Impar

tan

5. sec(θ) =

1 si x 6= 0 x

6. csc(θ) =

1 si y 6= 0 y

csc

sec

cot

R−{kπ:k∈Z}

π  R− +nπ:n∈Z

R−{kπ:k∈Z}

R

(−∞, 1] ∪ [1, +∞)

(−∞, 1] ∪ [1, +∞)

R

2π

π

2π

2π

π

Par

Impar

Impar

Par

Impar

π R−

2

 +nπ:n∈Z

2

Observaci´ on 1.5. Se sugiere hacer la relaci´ on entre las anteriores definiciones y las vistas en complemento sobre tri´ angulos rect´ angulos. Observaci´ on 1.6. Mencionar que ∀ θ ∈ R se tiene que cos2 θ +sen2 θ = 1, al igual que sobre tri´angulos rect´ angulos. Observaci´ on 1.7. Bosquejar algunos gr´ aficos.

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Ejercicios Propuestos √ • Si W (θ) = (1/3, − 8/3) calcular las seis funciones trigonom´etricas en θ. • Si sen θ = 12/13 y tan θ < 0, determinar los valores de las funciones trigonom´etricas restantes. Observaci´ on 1.8. Las identidades trigonom´etricas que se adjuntan en anexo de trigonometr´ıa. Estar´an disponiblen para los estudiantes en el sitio internet del curso.

2

Clase 2

2.1

Aprendizajes esperados

• Reconoce funciones sinusoidales identificando amplitud, periodo, ´angulo de fase y las representa gr´aficamente. • Diferencia ecuaciones de identidades trigonom´etricas. • Resuelve ecuaciones trigonom´etricas.

2.2

Funci´ on sinusoidal

Observaci´ on 2.1. Para efectos de trabajar con sinusoidales es preciso recordar las siguientes identidades cos (α ± β)

=

cos α cos β ∓ sen α sen β

sen (α ± β)

=

sen α cos β ± sen β cos α

Definici´ on 2.1. Una funci´ on real con dominio R de la forma f (x) = A sen(Bx + C)

(1)

donde A, B y C son constantes, se llama funci´on sinusoidal. Principales Caracter´ısticas Definici´ on 2.2 (Amplitud). Se define la amplitud de una funci´on peri´odica como la mitad de la diferencia entre sus valores m´ aximo y m´ınimo. En la expresi´ on (1) esta corresponde a |A|. Observaci´ on 2.2. La amplitud |A| Act´ ua como una expansi´on vertical si |A| > 1 y como contracci´on vertical si |A| < 1.  Definici´ on 2.3. El periodo de la funci´ on indicada en (1) corresponde a ´ Definici´ on 2.4. Angulo de fase −



 2π . |B|

 C −C : Se traduce como el corrimiento hacia la derecha en unidades si B B

C C > 0 o hacia la izquierda si − < 0, con respecto al gr´afico de f (x) = A sen(Bx). B B

Observaci´ on 2.3. Si se cuenta con una funci´on del tipo y = a sen x + b cos x, donde a ∈ R y b 6= 0, ´esta puede ser escrita como y = A sen(Bx + C), √ b donde A = a2 + b2 , B = 1, y C es tal que tan C = . Este procedimiento, que puede tener variantes (forma final a con B 6= 1), surge tras observar que:   p a b 2 2 sen x + √ cos x y = a sen x + b cos x = a + b √ a2 + b2 a2 + b2  2  2 a b a b √ donde −1 ≤ √ ,√ ≤1 y + √ = 1. a2 + b2 a2 + b2 a2 + b2 a 2 + b2 MAT021 Primer Semestre 2013 (Complementos)

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Observaci´ on 2.4. Las propiedades son an´ alogas al considerar la forma f (x) = A cos(Bx + C).

Ejercicios Propuestos • Escribir en la forma y = A sen(Bx + C) las funciones: √ – y = sen x + 3 cos x √ – y = − sen x + 3 cos x • Calcular las amplitudes, per´ıodos y ´ angulos de fase de las funciones – y = 3 sen(4x + 1) – y = 5 sen(2x − x/3)  π • Para la sinusoide: f (x) = cos x cos x − + cos 2x. 2 Calcule: amplitud y per´ıodo. Primer paso en la soluci´ on: f (x) = cos x sen x + cos 2x =

=

=

1 sen 2x + cos 2x 2 √   1 5 2 √ sen 2x + √ cos 2x 2 5 5 √ 5 sen(2x + ϕ) 2

donde tan ϕ = 2. • Determinar todos los puntos donde la funci´on f (x) = sen(2x) + cos(2x) alcanza su m´aximo valor, su m´ınimo valor y cuando se anula. Primer paso en la soluci´ on: sen(2x) + cos(2x)

=

2(cos x − sen x) sen x + 1

=

2

= = =

2.3

h√

2 cos

π 4

+x

i

sen x + 1

π  i √ h 2 2 cos + x sen x + 1 4  π  1  π  √ 1 sen + 2x − sen +1 2 2 2 4 2 4 √

2 sen

π 4

 + 2x .

Ecuaciones Trigonom´ etricas

Definici´ on 2.5. Una ecuaci´ on trigonom´etrica es una ecuaci´on en que las variables o inc´ognitas solo aparecen en los argumentos de las funciones trigonom´etricas.

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Observaci´ on 2.5. Se sugiere comentar respecto del dominio de resoluci´on de la ecuaci´on. En tal caso, dada la periodicidad de las funciones, una ecuaci´ on tiene infinitas soluciones de la forma x + 2kπ, k ∈ Z. Observaci´ on 2.6. Se sugiere partir con las ecuaciones trigonom´etricas b´asicas sin x = a, cos x = a y tan x = a relacionando con las funciones trigonom´etricas inversas y la circunferencia unitaria. Por ejemplo 2.3.1

La ecuaci´ on cos t = a

Consideremos la ecuaci´ on cos t = a, trazamos la recta x = a y vemos donde intersecta a la circunferencia unitaria, la raz´ on para hacer esto, es que coseno corresponde a la coordenada x en la circunferencia unitaria, queremos saber para que ´ angulo t se tiene esa coordenada x = a) x=a

En este caso tendr´emos la soluci´ on t = arccos (a) en el primer cuadrante y otra soluci´on en el cuarto cuadrante que puede ser vista como t = − arccos (a) se sigue (por periodicidad) que todas las soluciones est´an dadas por t = 2kπ ± arccos (a) donde k ∈ Z Observaci´ on 2.7. Hacer notar la diferencia con Identidades. Se puede usar las funciones inversas, las cuales han sido presentadas en c´ alculo.

Ejemplo 2.1. ¡Cuidado con elevar al cuadrado! Cuando en una ecuaci´on aparecen sen x y cos x, puede resultar tentador el elevar al cuadrado para hacer desaparecer una de las dos funciones (por la identidad fundamental), este m´etodo puede hacer aparecer soluciones falsas, por ejemplo, al despejar sen x en la ecuaci´on sen x + 2 cos x = 1 y elevar al cuadrado se tiene 2 sen2 (x) = (1 − 2 cos x) o sea sen2 x = 1 − 4 cos x + 4 cos2 x pero sen2 x = 1 − cos2 x, luego la ecuaci´ on es 5 cos2 x = 4 cos (x) ⇐⇒ cos x (5 cos x − 4) = 0 on luego cos x = 0 o cos x = 4/5. Note que x = − π2 es soluci´on de cos x = 0 pero x = − π2 no es soluci´on de la ecuaci´ original sen x + 2 cos x = 1

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2.3.2

Ecuaciones de la forma a sen x + b cos x = c

Un tipo bastante com´ un de ecuaci´ on trigonom´etrica es aquella de la forma a sen x + b cos x = c se tiene el siguiente m´etodo para resolverla: √ 1. Se divide la ecuaci´ on por a2 + b2 , nos queda √

b c a sen x + √ cos x = √ 2 2 2 2 +b a +b a + b2

a2

2. buscamos un ´ angulo a tal que cos α = √ (existe pues



√ a , √a2b+b2 a2 +b2



a b y sen α = √ 2 2 +b a + b2

a2

esta sobre la circunferencia unitaria)

3. Reescribimos en la forma cos α sen x + sen α cos x = √

c a2 + b2

pero cos α sen x + sen α cos x = sen (α + x) as´ı sen (α + x) = √

c a2 + b2

que es una ecuaci´ on de tipo b´ asico. Ejercicios Propuestos 1. 2 sen(2x) − 1 = 0 2. 2 sen2 x − 1 = 0 1 cos x − sen2 x 2 √ √ 4. 3 sen 3x − cos 3x = 3 3. cos 2x =

5.

1 − tan x = 1 + sen 2x 1 + tan x

6. sen 2x + sen 4x = cos 4x + cos 6x 7. tan3 x − 3 sec x = 0 8. sec x + sec 2x + sec x sec 2x = 0 9. Resolver el sistema: x+y

= α

sen x sen y

= a

s.

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