Facultad de Arquitectura, Urbanismo y Paisaje

Escuela de Arquitectura del Paisaje

Criterios de Decisión y Matemática Financiera Mario Reyes Galfán Ingeniero Ambiental Arquitectura del Paisaje 06.09.2010

Contenidos Valor del Dinero en el Tiempo (VDT)

Matemáticas Financieras

•

Tasas de Interés
Interés Simple
Interés Compuesto

Criterios de Decisión • • • • •

Valor Actual Neto (VAN) Tasa Interna de Retorno (TIR) Período de Recuperación del Capital (PRC) Índice de Rentabilidad (Razón Beneficio/Costo) Enfoque Costo-Eficiencia
Valor Actual de Costos (VAC)
Costo Anual Uniforme Equivalente (CAUE)
Indicador de Costo-Efectividad

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Valor del Dinero en el Tiempo (VDT) El VDT es el cambio en la cantidad de dinero durante un período de tiempo dado. “El Dinero hace Dinero”. Ejemplos: • • • •

Un depósito en el banco Invertir en un negocio Invertir en un fondo mutuo Pedir un préstamo

El VDT se manifiesta en el Mercado a través de las “Tasas de Interés” Las Tasas de Interés son un concepto de “Costo de Oportunidad”

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Valor del Dinero en el Tiempo (VDT) Veamos el ejemplo de un Director Financiero de una empresa:

Dinero

Oportunidad de inversión (Activos Reales)

Empresa

Invertir Se exige Rendimiento

Accionistas

Alternativa: pagar al contado a accionistas

Oportunidad de inversión en MK (Activos Financieros)

Los accionistas Invierten por sí mismo

Se exige Rentabilidad

Por lo tanto, el mínimo rendimiento que se exige a los activos reales es la rentabilidad que obtendrían los accionistas en el mercado de capitales al realizar inversiones en activos financieros (Bonos y Acciones) de similar riesgo al de los activos reales. Esto se denomina “Costo de Oportunidad del Capital” 4

Valor del Dinero en el Tiempo (VDT) Dos aspectos relevantes influyen en las Decisiones de Inversión y de Financiamiento: “El Riesgo y el Tiempo”. El VDT es valioso ya que da a conocer el efecto del tiempo y el riesgo en tales decisiones Ejemplos: Decisión de Decisión de Inversión Financiamiento Carrera Profesional Crédito Universitario Plantación y tala de Aumento de Capital un bosque de pinos Propio Obras de Beneficiencia Lanzar un nuevo producto Mejoramiento de una carretera

Aporte de los socios Capitalización de utilidades Impuestos

Algunos Principios Económicos – Financieros “ Un dólar hoy vale más que un dólar mañana bajo la premisa de que hoy puedo invertir ese dólar para generar intereses” “ Un dólar seguro vale más que uno con riesgo” (no todas las inversiones tienen el mismo riesgo. Debemos comparar con alternativas de similar riesgo. Ej. Bonos del Banco Central v/s Arriendo de Oficinas

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Matemáticas Financieras

La Matemática Financiera es una derivación de la matemática aplicada que estudia el valor del dinero en el tiempo, combinando el capital, la tasa y el tiempo para obtener un rendimiento o interés, a través de métodos de evaluación que permiten tomar decisiones de inversión. Llamada también análisis de inversiones, administración de inversiones o ingeniería económica. ¿Cuántas opciones de inversión (o financiación) tendría el campesino, que vive donde existe únicamente un Banco o Caja Rural o Municipal de Ahorro y Crédito? La persona puede tener máximo tres opciones: 1. Guardar su dinero en la casa 2. Depositar su dinero en cuenta de ahorros, que le produzca apenas para cubrir la devaluación monetaria. 3. Invertir su dinero en un Bono del Estado, que le generará algunos rendimientos adicionales a la inflación. 6

Tasas de Interés Definiciones: Interés (si se invierte) = Monto actual – Inversión Original Interés (si se pide prestado) = Monto debido actualmente - Préstamo Original Tasa de Interés: el interés se expresa como un porcentaje (%) de la suma original por unidad de tiempo Período de Interés es la unidad de tiempo de la tasa de interés Ejemplo: Una empresa invirtió $100.000 y obtuvo un total de $106.000 exactamente un año más tarde: Interés = $106.000 (monto actual) - $100.000 (inversión original) = $6.000 Tasa de Interés = $6.000 (interés) / $100.000 (suma original) = 6% anual Período de interés = anual

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Tasas de Interés Clasificación general de las Tasas de Interés:

Tasas Simples Tasas de Interés

Tasas Nominales Tasas Reales Tasas Nominales (Aparentes)

Tasas Nominales

Tasas Reales Tasas Spots

Tasas Compuestas Tasas Efectivas (Verdaderas)

Tasas Forwards

Tasas Nominales Tasas Reales Tasas Nominales Tasas Reales 8

Tasas de Interés Interés simple Principio: intereses no generan intereses. Sólo el principal (inversión o préstamo) genera intereses. De otra forma es aquel que no considera reinversión de los intereses ganados en períodos intermedios. T = 0 , VP = $100 e i = 10% anual T = 1, VF1 = VP + VP * i = $110 T = 2, VF2 = VF1 + VP * i (Observemos que sólo calculamos intereses sobre el principal original). VF2 = VP+ VP * i + VP * i = VP + 2 * VP * i = 120 Para n períodos: T = n, VFn = VP + n * VP * i ==> VFn = VP * (1 + n * i)

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Tasas de Interés Interés Compuesto Principio: Intereses si generan intereses. El principal original más los intereses generan intereses. De otra forma se asume reinversión de los intereses obtenidos en periodos intermedios. Supongamos que T = 0, VP = $100 e i = 10% anual: T = 1, VF1 = VP + VP * i = 110 T = 2, VF2 = VF1 + VF1 * i Observemos ahora calculamos intereses sobre el principal original más los intereses generados en el año 1 VF2 = VP + VP * i + VP * i + VP * i 2 = 121 Para n períodos: VFn = VFn-1 + VFn-1 * i ==> VFn = VP * (1 + i) n

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Tasas de Interés Ejemplo

0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20

Valor Futuro Interés Compuesto 10% anual 100 110 121 133 146 161 177 195 214 236 259 285 314 345 380 418 459 505 556 612 673

800 700 V a l o r F u tu ro

Período

Valor Futuro Interés Simple 10% anual 100 110 120 130 140 150 160 170 180 190 200 210 220 230 240 250 260 270 280 290 300

600 500 400 300 200 100 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 21 Años Valor Futuro Interés Simple

Valor Futuro Interés Compuesto

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Criterios de Decisión En el mundo real, las situaciones por resolver son múltiples y variadas y para solucionarlos los recursos son escasos. Las disciplinas que ayudan a tomar decisiones son la Economía y la Administración. Entre varias alternativas de solución obviamente optaremos por la mejor de ellas. La unidad para la toma de decisiones es una persona u organización pública o privada a través de sus autoridades y gerentes respectivamente. Por lo general todo problema tiene los siguientes elementos: la unidad que toma la decisión, las variables controlables (internas o endógenas), las variables no controlables (del entorno o exógenos), las alternativas, la carencia de recursos y la decisión en sí misma que llevan a escoger alternativas más eficientes y óptimas o que produzcan resultados beneficiosos.

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Valor Actual Neto (VAN) o Valor Presente Neto (VPN) Es un procedimiento que permite calcular el valor presente de un determinado número de flujos de caja futuros, originados por una inversión. La metodología consiste en descontar al momento actual (es decir, actualizar mediante una tasa) todos los flujos de caja futuros del proyecto. A este valor se le resta la inversión inicial, de tal modo que el valor obtenido es el valor actual neto del proyecto. La fórmula que nos permite calcular el Valor Actual Neto es:

Vt representa los flujos de caja en cada periodo t. I0 es el valor del desembolso inicial de la inversión. n es el número de períodos considerado. El tipo de interés es k. Si el proyecto no tiene riesgo, se tomará como referencia el tipo de la renta fija, de tal manera que con el VAN se estimará si la inversión es mejor que invertir en algo seguro, sin riesgo especifico.

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Valor Actual Neto (VAN) o Valor Presente Neto (VPN)

Valor

Significado

Decisión a tomar

VAN > 0

La inversión produciría ganancias por encima de la rentabilidad exigida (r)

El proyecto puede aceptarse

VAN < 0

La inversión produciría ganancias por debajo de la rentabilidad exigida (r)

El proyecto debería rechazarse

VAN = 0

Dado que el proyecto no agrega valor monetario por encima de la rentabilidad La inversión no produciría ni ganancias ni exigida (r), la decisión debería basarse pérdidas en otros criterios, como la obtención de un mejor posicionamiento en el mercado u otros factores.

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Valor Actual Neto (VAN) o Valor Presente Neto (VPN) Si una persona invierte $1.000 en una cuenta de ahorro que paga un 10% de interés anual ¿qué cantidad tendrá al cabo de un año? Si llamamos: P = al principal o monto inicial ($1.000) r = Tasa de interés (10%) VFn = Valor futuro al cabo de n períodos El valor futuro cuando n es igual a 1 será: VF1 = P + Pr = P(1+r) = 1.000(1+10%) = 1.100 Para un número mayor de períodos, por ejemplo n=5, el valor futuro será: VFn = P (1+r)n = 1.000(1+10%)5 = 1.611

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Valor Actual Neto (VAN) o Valor Presente Neto (VPN) A la misma persona se le ofrece la alternativa de recibir una cantidad F1 al cabo de un año (por ejemplo $1.100) o recibir $X hoy ¿cuánto debiera valer X para que sea equivalente a recibir F1 en un año más? Esta persona podría depositar la cantidad X en una cuenta de ahorro, al 10% de interés (su costo de oportunidad). Para que exista equivalencia, al cabo de un año debiera recibir F1: F1 = X (1+r) X = Valor Presente = VP1 = F1/(1+r) = 1.100/(1+10%) = 1.000

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Valor Actual Neto (VAN) o Valor Presente Neto (VPN) Entonces, el Valor Presente de $1.100 en un año más, descontados al ‘costo de oportunidad’ de 10%, es $1.000. Si las alternativas fueran: (a) recibir $1.100 en un año más ó (b) recibir $990 hoy, debiera elegir (a). Por el contrario, si las alternativas fueran: (a) recibir $1.100 en un año más ó (b) recibir $1.010 hoy, debiera elegir (b). Nótese que el valor presente es la respuesta a la pregunta ¿cuánto debo invertir hoy para obtener un determinado monto o flujo de caja (F) en el futuro?

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Valor Actual Neto (VAN) o Valor Presente Neto (VPN) Fundamento del VAN Si la cantidad se recibe en n períodos más:

Fn VPn = n (1 + r ) Un caso más general es cuando se reciben n flujos, uno al final de cada período: Si r es el costo de oportunidad del inversionista y recibe n flujos al final de cada periodo F1, F2, … Fn, el valor Presente de esos flujos será:

VP =

n

∑

t =1

Ft (1 + r ) t

Dos ideas claves: Un peso hoy vale más que un peso mañana Un peso seguro vale más que un peso riesgoso Mostraremos que las alternativas con mayor Valor Presente Neto (VPN) son aquellas que maximizan la riqueza.

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Tasa Interna de Retorno (TIR) La tasa interna de retorno o tasa interna de rentabilidad (TIR) de una inversión, está definida como la tasa de interés con la cual el valor actual neto o valor presente neto (VAN o VPN) es igual a cero. El VAN o VPN es calculado a partir del flujo de caja anual, trasladando todas las cantidades futuras al presente. Es un indicador de la rentabilidad de un proyecto, a mayor TIR, mayor rentabilidad. Se utiliza para decidir sobre la aceptación o rechazo de un proyecto de inversión. Para ello, la TIR se compara con una tasa mínima o tasa de corte, el coste de oportunidad de la inversión (si la inversión no tiene riesgo, el coste de oportunidad utilizado para comparar la TIR será la tasa de rentabilidad libre de riesgo) . Si la tasa de rendimiento del proyecto - expresada por la TIR- supera la tasa de corte, se acepta la inversión; en caso contrario, se rechaza.

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Tasa Interna de Retorno (TIR) La TIR trata de medir la rentabilidad de un proyecto o activo. Representa la rentabilidad media intrínseca del proyecto. Se define como aquella tasa a la cual se hace cero el valor presente neto.

VPN = − I +

n

∑

t =1

Ft = 0 t (1 + TIR )

Criterio de decisión: un proyecto debe ser elegido si la TIR es mayor que el costo de oportunidad del capital. La TIR o tasa de rendimiento interno, es una herramienta de toma de decisiones de inversión utilizada para conocer la factibilidad de diferentes opciones de inversión. El criterio general para saber si es conveniente realizar un proyecto es el siguiente: Si TIR r Se aceptará el proyecto. La razón es que el proyecto da una rentabilidad mayor que la rentabilidad mínima requerida (el coste de oportunidad). Si TIR r Se rechazará el proyecto. La razón es que el proyecto da una rentabilidad menor que la rentabilidad mínima requerida. r representa es el coste de oportunidad.

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Tasa Interna de Retorno (TIR)

F0 -1.000

F1 700

F2 300

F3 200

F4 100

F5 300

600

300 VPN

TIR = 24,6% 0 0%

10%

20%

30%

40%

50%

-300 Tasa de Descuento 21

Período de Recuperación del Capital (PRC) Muchas empresas desean que las inversiones que realizan sean recuperadas no más allá de un cierto número de años. El PRC se define como el primer período en el cual el flujo de caja acumulado se hace positivo. T

PRC = MIN {T / F 0 + ∑ F t ≥ 0} t =1

Proyecto A B C D E

F0 -1.000 -1.000 -2.000 -2.000 -2.000

F1 200 1.100 1.000 0 1.000

F2 400 200 1.000 2.000 1.000

F3 500 5.000 5.000 100.000

F4 500

F5 300

PRC VPN (10%) 3 416 1 165 2 3.492 2 3.409 2 74.867

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Período de Recuperación del Capital (PRC) Deficiencias del PRC • • • •

No dice nada respecto del aporte de riqueza que hace el proyecto No considera el costo de oportunidad del capital No asigna valor a los flujos posteriores al PRC Da la misma ponderación a los flujos anteriores al PRC

Consecuencias • •

No permite jerarquizar proyectos en forma eficiente Debe ser usado sólo como un indicador secundario

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Índice de Rentabilidad (Razón Beneficio/Costo) Se define como el valor presente de los flujos de caja presupuestados dividido por el valor de la inversión inicial (VP/I). El criterio es aceptar proyectos con un índice de rentabilidad mayor que 1 (VP>I). Conduce a la misma decisión que el VPN. Al igual que la TIR, puede conducir a errores cuando estamos frente a proyectos excluyentes. Es un indicador útil para elegir entre proyectos no excluyentes cuando hay restricciones de presupuestarias.

Proyecto A B C

F0 -10.000 -5.000 -5.000

F1 13.000 1.500 3.000

F2 VPN (10%) 1.500 3.058 7.000 2.149 5.000 1.860

VP (10%) 13.058 7.149 6.860

IR 1,306 1,430 1,372

En este ejemplo, si tenemos un presupuesto de 10.000 para invertir, debemos escoger aquellos con mayor IR, es decir, B y C, aún cuando individualmente tengan un VPN más bajo que A 24

Enfoque Costo-Eficiencia

Los indicadores costo-eficiencia se usan en proyectos en que es difícil medir y valorar los beneficios y en los cuales se cumple que: •

Los beneficios del proyecto son altos, desde el punto de vista de las necesidades sociales que satisfacen.

•

Las alternativas del proyecto entregan beneficios similares, pero difieren en los costos.

Ejemplos: Proyectos de áreas verdes Áreas de Conservación Proyectos de desarrollo Social Conexiones radiales Agua potable Etc.

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Enfoque Costo-Eficiencia

a)

Valor Actual de Costos

Cuando las alternativas de un proyecto, además de proporcionar beneficios similares, tienen igual vida útil o diferentes vidas útiles pero los proyectos son no repetibles, entonces se puede calcular el Valor Actual de Costos para cada una de ellas. n

Ct VAC = − I 0 + ∑ t ( 1 + r ) t =1

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Enfoque Costo-Eficiencia b)

Costo Anual Uniforme Equivalente

• Cuando las alternativas analizadas tienen vidas útiles distintas y los proyectos sí son repetibles, no es posible utilizar directamente el VAC para compararlas. • Se requiere llevar ambas alternativas a un período de tiempo común ó, lo que es más práctico, calcular una cuota anual que sea equivalente al flujo de costos de la alternativa (similar al BAUE) • La cuota así determinada se denomina CAUE. • El criterio es elegir el proyecto con el menor CAUE.

(1 + r ) (1 + r )

•

n

CAUE

=

VAC

•

n

r

− 1

Donde: CAUE es el Costo Anual Uniforme Equivalente VAC es el valor actual de costos del proyecto sin repetición r es la tasa de descuento n es el número de años del horizonte de evaluación del proyecto 27

Enfoque Costo-Eficiencia

c)

Indicador de Costo-Efectividad

El análisis costo-efectividad se utiliza para comparar alternativas de proyectos que presentan beneficios distintos, los cuales no pueden ser valorados pero si cuantificados; es decir, los beneficios no pueden ser expresados en unidades monetarias pero sí en unidades físicas.

CAUE Indicador Costo - Efectividad = Número de Beneficiarios Directos

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Ejercicios

Matemática Financiera

Juan Pérez solicita en préstamo $ 300.000 a una tasa de interés del 2,2% mensual. Determina el interés acumulado para un periodo de: 3 meses 9 meses 2 años 2 años y 5 meses. Resultado

I=CxnxI

C = $ 300.000 i = 2,2% mensual I=CxnxI n = 3 meses n = 9 meses n = 2 años n = 2 años, 5 meses

I = 300.000 x 0,022 x 3 = $ 19.800 I = 300.000 x 0,022 x 9 = $ 59.400 I = 300.000 x 0,022 x 24 = $ 158.400 I = 300.000 x 0,022 x 29 = $ 191.400 30

Matemática Financiera

Juan Pérez solicita en préstamo $ 300.000 a una tasa de interés del 2,2% mensual. Determina el interés acumulado para un año, si la tasa de interés es de un 6% semestral. Resultado c = 300.000 i = 6% semestral t = 1 año n = 2 semestres I=Cxnxi I = 300.000 x 0.06 x 2 I = $ 36.000

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Matemática Financiera

Juan Pérez solicita en préstamo $ 300.000 a una tasa de interés del 2,2% mensual. ¿Qué cantidad de dinero deberá invertir para que en un lapso de 10 meses, se genere un interés de $ 18.000? Resultado C=? n = 10 i = 2,2% mensual I = $ 18.000 I=Cxnxi $ 18.000 = C x 10 x 0,022 $ 81.818 = C

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Matemática Financiera

Juan Pérez solicita en préstamo $ 300.000 a una tasa de interés del 2,2% mensual. ¿Cuál deberá ser la tasa de interés mensual para que en un plazo de 2 años, el interés resultante sea la cuarta parte del capital inicial. Resultado i=? n = 2 años (24 meses) I = C/4 C=C I=Cxnxi C / 4 = C x i x 24 0,25 C = C x i x 24 / : C 0,25 = 24 x i i = 1,0417% 33

Matemática Financiera

Juan Pérez solicita en préstamo $ 300.000 a una tasa de interés del 2,2% mensual. Si te piden que determines el monto a un año. Te están solicitando que al capital inicial le agregas los intereses que genera ese capital durante el periodo de un año (12 meses). Resultado El interés para un año lo obtenemos de la siguiente manera: I = 300.000 x 0.022 x 12 = $ 79.200 Si al capital de $ 300.000 le sumamos los intereses acumulados por un año ($79.200), obtenemos un monto de $ 379.200. Aplicando la fórmula de monto a interés simple: M = C ( 1 + n x i ) o VFn = VP * (1 + n * i) M = $ 300.000 ( 1 + 0,022 x 12 ) M = $ 379.200 34