Cuantos, fotones y moléculas: un cuarto de siglo de controversias Donde se consideran dos aspectos de la prehistoria de la física cuántica, escasamente tratados en general, a pesar de su gran trascendencia: • El relevante papel jugado por la física estadística en el nacimiento y en el desarrollo de las ideas cuánticas. • El impulso que la física estadística recibió en su propio desarrollo como consecuencia de su participación en la aventura cuántica.

Luis Navarro Veguillas ([email protected])

Numerosos ejemplos de episodios históricos pueden servir para ilustrar y justificar la citada simbiosis entre física cuántica y física estadística entre 1900 y 1925. Como se verá, Albert Einstein es el personaje central de este escenario.

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8. 9.

Un método combinatorio (Boltzmann, 1877) Elementos de energía (Planck, 1900) Cuantos de energía (Einstein, 1905) Un Gedanken-Experiment (Einstein, 1909) Primer Congreso Solvay (1911) Nacimiento del fotón (Einstein, 1916) Teoría cuántica de la radiación (Bose, 1924) Efecto Compton (1923) y teoría BKS (1924) Teoría cuántica de los gases ideales (Einstein, 1924-1925) 10. Propiedades ondulatorias de las moléculas y formulación de Schrödinger (1925-1926) 11. Un final no demasiado feliz (Einstein, 1927) --------------------------------------------------------------12. Cuantos y Principio de Boltzmann (1900-1925) 13. Cuantos y calores específicos (1907-1925)

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1.- Un método combinatorio (Boltzmann, 1877) • SEGUNDO PRINCIPIO:

Justificación probabilística. - “PROBABILIDAD” de un estado (de un gas de moléculas, por ejemplo): proporcional al número de “complexiones” (estados microscópicos) compatibles con las variables termodinámicas del estado del gas. - “ESTADO DE EQUILIBRIO”: el más probable • BOLTZMANN OPERA con una unidad mínima de energía cinética ε . Cada una de las n moléculas de un gas sólo puede tener una energía cinética que valga

0, 1ε ,

2ε , 3ε ,

. ..

pε

,

donde ε es arbitrario y p un número natural. La energía máxima de una molécula es pε y la energía de las n moléculas L = λ ε , (donde λ también es un número natural).

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• COMPLEXIÓN: especificación de la energía

de cada molécula. Cada distribución de la energía total L entre ellas –es decir, cada estado del gas– se caracterizar mediante: ω 0 , ω1 , ω 2 , ω 3 , . . . ω p .

(ω k : número de moléculas con energía kε ). • El estado anterior es compatible con W=

n! (ω 0 ) ! (ω1 ) ! ... (ω p ) !

complexiones distintas.

• BOLTZMANN: la distribución de equilibrio corresponde al máximo de W, compatible con los datos n, λ. • Al “recuperar” el continuo (tomando lím ε → 0 ), obtuvo dos resultados de gran calado: - La distribución de Maxwell (sin recurrir a las colisiones) para la energía de las moléculas. - log W –evaluado con la distribución anterior– coincidía con la entropía termodinámica. ATENCIÓN: todo dentro del marco clásico. La “cuantización” es una forma de tratar el continuo de energías mediante el discreto (“método combinatorio de Boltzmann”).

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BOLTZMANN, L. (1877): “Über die Beziehung zwischen dem zweiten Hauptsatze der mechanischen Wärmetheorie und der Wahrscheinlichkeitsrechnung respective den Sätzen über das Wärmegleichgewicht”. Kaiserliche Akademie der Wissenschaften. Mathematisch-naturwissenschaftliche Classe. Sitzungsberichte 76, 373-435.

Ludwig Boltzmann (1844-1906)

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2.- Elementos de energía (Planck, 1900) • Carácter absoluto del segundo principio. Sistema idóneo para entenderlo: la radiación. 1899

ρ (ν , T ) =

8πν c

3

2

1900

E (ν , T )

ρ (ν , T ) =

8πν 2 c3

hν hν e kT

−1

• Modelo de resonadores cargados y cálculos: E (ν , T ) se evalúa con la expresión de S (ν , E ) , y la ayuda de la relación termodinámica 1 ∂S (ν , E ) = T ∂E (ν , T ) • “Acto de desesperación”: apelar a ciertas ideas estadísticas de Boltzmann ( S N = k ln W ). PLANCK, 1900: Este teorema puede ser desdoblado en dos: 1. La entropía en un estado dado es proporcional al logaritmo de la probabilidad de ese estado, y 2. La probabilidad de cualquier estado es proporcional al número de complexiones posibles, o, en otras palabras, una complexión determinada es igualmente probable que cualquier otra.

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• Asumido lo anterior se trata de calcular el número de complexiones del sistema: Método combinatorio de Boltzmann (elementos de energía), pero ahora las moléculas son los resonadores planckianos. • Empleó la luego famosa expresión: (P + Q − 1)! P!(Q − 1)!

para obtener las formas de repartir P elementos de energía (hoy diríamos indistinguibles) entre Q resonadores (distinguibles). Y otras fórmulas similares de la combinatoria... • Obtuvo una doble sorpresa: - Si tomaba el límite ε → 0 –como procedía según el método combinatorio de Boltzmann– no obtenía la fórmula para la radiación. - Los elementos de energía –lejos de resultar arbitrarios e irrelevantes– habían de tener un valor preciso: ε = hν , donde h representaba una nueva constante universal. • De acuerdo a los datos del momento, Planck le asignó el valor 6,55×10-27 erg. seg. (Actual 6,63 ). • ¡Así nació el cuanto de energía!

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PLANCK, M. (1900): (i) “Ueber eine Verbesserung der Wien’schen Spectralgleichung”. Deutsche Physikalische Gesellschaft. Verhandlungen 2, 202-204. En el mismo volumen: (ii) “Zur Theorie des Gesetzes der Energieverteilung in Normalspectrum”, 237-245. Versión inglesa de ambos en D.Ter Haar (1967): The old quantum theory, Oxford, Pergamon, 79-81 y 82-90, respectivamente. PLANCK, M. (1901): “Ueber das Gesetz der Energieverteilung in Normalspectrum”. Annalen der Physik 4, 553563. Reproducido en Max Planck (1958): Physikalische Abhandlungen und Vorträge, (3 vols.), Braunschweig, Vieweg & Sohn, vol. 1, 717-727.

Max Karl Ernst Ludwig Planck (1858-1947) [Premio Nobel de 1918 “en reconocimiento a los servicios prestados al avance de la física por su descubrimiento de los cuantos de energía”].

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3.- Cuantos de energía (Einstein, 1905) • EINSTEIN (1902-1903-1904): formulación –en la línea de Boltzmann– de la mecánica estadística (independiente de Gibbs, 1902). En 1904 “encuentra” un sistema adecuado para contrastar algunas expresiones (fluctuaciones): La radiación del cuerpo negro. • EINSTEIN (1905): Analogía entre gas ideal de moléculas y radiación térmica en equilibrio. Comparando entropías –la de la radiación en base a la ley de Wien, ¡no Planck! – y con el principio de Boltzmann, deduce probabilidades: de que n moléculas del gas ideal estén contenidas en un volumen V del total V0 ⎛V ⎞ W = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ V0 ⎠

n

de que la radiación de frecuencia v y energía E esté contenida en un volumen V del total V0 E ⎞ hν

⎛V W = ⎜⎜ ⎟⎟ ⎝ V0 ⎠

• De la comparación de W en ambos casos (notación actual) resulta E = nhν . Conclusión:

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EINSTEIN, 1905: La radiación monocromática de baja densidad (dentro del rango de validez de la fórmula de Wien para la radiación) se comporta termodinámicamente como si estuviera constituida por quanta de energía, mutuamente independientes, de valor hv. • A DESTACAR: - Limitaciones (analogía y aproximación). - Diferencia entre “cuantizaciones”: Planck (cuanto “suficiente”, 1900), contra Einstein (cuanto “necesario”, 1905). - Primer impacto del cuanto de Einstein: PLANCK, 1913: En suma, puede afirmarse que entre los problemas importantes, tan abundantes en la física moderna, difícilmente exista uno ante el que Einstein no adoptara una posición de forma notable. Que, a veces, errara en sus especulaciones, como por ejemplo en su hipótesis acerca del quantum de luz, no puede esgrimirse realmente demasiado en su contra. Porque sin correr un riesgo de vez en cuando es imposible, incluso en la ciencia natural de mayor exactitud, introducir verdaderas innovaciones.

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EINSTEIN, A. (1905): “Über einen die Erzeugung und Verwandlung des Lichtes betreffenden heuristischen Gesichtspunkt”. Annalen der Physik 17, 132-148. Versión inglesa en A. Beck (1989): The collected papers of Albert Einstein, vol. 2, The Swiss years: writings, 1900-1909, English translation. Princeton, Princeton University Press, 86-103. Versión española en J. Stachel (ed.) (2001): Einstein 1905: un año milagroso. Barcelona, Crítica (Drakontos Clásicos), 161-178.

Albert Einstein (1879-1955) [Premio Nobel de 1921 “por sus servicios a la física teórica, y especialmente por su descubrimiento de la ley del efecto fotoeléctrico”].

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4.- Un Gedanken-Experiment (Einstein, 1909) • Reunión de físicos alemanes (Salzburgo 21 de setiembre de 1909). - Memoria de Einstein: “Sobre el desarrollo de nuestras concepciones acerca de la naturaleza y constitución de la radiación”. - Opinión de Pauli (1970): «...uno de los hitos en el desarrollo de la física teórica». • Un fructuoso Gedanken-Experiment: - Espejo en M.R.U., perpendicular a su plano. - Refleja la radiación en el intervalo (ν,ν+dν) y fuera es transparente. En la cavidad: gas ideal y radiación en equilibrio térmico (T). - El análisis –parecido al del movimiento browniano en 1905– permite a Einstein deducir la existencia de fluctuaciones en la cantidad de movimiento del espejo y en la energía de la radiación: 〈Δ 〉 2

3

1 c 2 (hνρ + ρ ) S dν 2 c 8πν

Δ es la cantidad de

movimiento τ transferida al espejo, durante el c3 2 2 〈ε 〉 = (hνρ + ρ ) V dν tiempo τ, como 2 8πν resultado de las fluctuaciones de la presión de radiación. =

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• Análisis e interpretación de Einstein: - El primer sumando: explicable mediante una imagen “semicorpuscular” de la radiación. - El segundo: es deducible –Einstein lo afirma, aunque no lo muestra– a partir de procesos de interferencias basado en la noción ondulatoria de la radiación. - No existía una teoría que reuniera los dos aspectos (corpuscular y ondulatorio) de la radiación electromagnética. - Tampoco sería bienvenida –esa posible teoría “dual”- porque ambos aspectos se tenían, en general, por mutuamente excluyentes. - Einstein: los cuantos de energía en el campo electromagnético pudieran guardar cierta analogía con el de los electrones en el campo electrostático. • Un comentario: A la vista de las dos expresiones anteriores ¡Qué cerca debió estar Einstein –hacia 1909– de introducir la noción corpuscular de fotón! (Atención: no “confundirlo” con el cuanto). ¿Era falta de convicción? ¿O acaso su actitud era fruto de la notoria debilidad de los argumentos?

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• Dos citas textuales (Einstein,1909): • Todo lo que yo quería era señalar brevemente con su ayuda [la del Gedanken-Experiment] que las dos propiedades estructurales (la ondulatoria y la corpuscular) desplegadas simultáneamente por la radiación de acuerdo a la fórmula de Planck no deberían ser consideradas como mutuamente incompatibles. --------------------------------------------------------------• Resulta innegable que existe un amplio conjunto de hechos, referentes a la radiación, que muestran que la luz tiene ciertas propiedades fundamentales que pueden ser entendidas mucho más apropiadamente a partir del punto de vista newtoniano de la teoría de la emisión, que desde el punto de vista de la teoría ondulatoria. Es mi opinión, por ello, que la próxima fase del desarrollo de la física teórica nos aportará una teoría de la luz que pueda ser interpretada como una especie de fusión de las teorías ondulatoria y de emisión. • Comentario: • Según estas opiniones de 1909, si Einstein nunca aceptó la interpretación usual Del formalismo de la mecánica cuántica, no parece que pudiera deberse a la dualidad ondacorpúsculo que conlleva...

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EINSTEIN, A. (1909): (i) “Zum gegenwärtigen Stand des Strahlungsproblems”. Physikalische Zeitschrift 10, 185-193. En el mismo volumen: (ii) “Entwicklung unserer Anschauungen über das Wesen und die Konstitution der Strahlung”, 817-826. (Este artículo es su comunicación en Salzburgo). Versión inglesa de ambos en Beck (1989), 357375 y 379-384, respectivamente.

La familia de Albert Einstein en 1914: Mileva (39 años) entre Eduard (4 años) y Hans Albert (10).

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5.- El primer congreso Solvay (Bruselas, noviembre, 1911) • Idea y organización de Walther H. Nernst. - Tercer principio de la termodinámica (1906). - Premio Nobel de Química, 1920, “en reconocimiento a su trabajo en termoquímica”. - Especializado en la medida de calores específicos a bajas temperaturas. - Interesado en las ideas cuánticas por la posible relación con sus investigaciones. • Sufragado por el industrial Ernest Solvay. - Gran fortuna personal creada a través de la explotación del “procedimiento Solvay”, que patentó en 1861, para la producción industrial de la sosa (carbonato sódico). - Interesado por la naturaleza de la materia y de la gravedad (artículos y libros). • Presidido por Hendrik Antoon Lorentz. - Máxima autoridad de la física del momento. - Premio Nobel de Física, 1902, –compartido con Pieter Zeeman– “en reconocimiento al extraordinario servicio prestado con sus investigaciones acerca de la influencia del magnetismo en los fenómenos de radiación”.

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• “La teoría de la radiación y los cuantos” (Bruselas 30 octubre - 3 de noviembre, 1911)

- Objetivo: exponer y discutir las ideas surgidas en la década anterior sobre el comportamiento discreto de la energía en ciertos fenómenos relacionados con la radiación. - Participantes (sólo por invitación): Presidente: H. A. Lorentz (Leiden). Secretarios científicos: R. Goldschmidt Bruselas), M. de Broglie (París) y F. A. Lindemann (Berlín). Alemania:

Inglaterra: Francia:

Austria: Holanda: Dinamarca:

W. Nernst, M. Planck, H. Rubens, A. Sommerfeld, E. Warburg y W. Wien. J. H. Jeans y E. Rutherford. M. Brillouin, M. Curie, P. Langevin, J. Perrin y H. Poincaré. A. Einstein y F. Hasenhörl. H. Kammerlingh Onnes. M. Knudsen

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• Algunas ponencias: - Lorentz: “Aplicación del teorema de equipartición a la radiación”. - Planck: “La ley de radiación del cuerpo negro y la hipótesis del cuanto de acción elemental”. - Perrin: “La prueba de la realidad molecular”. - Sommerfeld: “El cuanto de acción y los fenómenos moleculares no periódicos”. - Einstein: “El problema de los calores específicos”. • Varios: - Significó la primera participación de Einstein en una reunión internacional de físicos. Con la mayoría de ellos –especialmente con los no alemanes– era la primera vez que se encontraba. - La invitación no obligaba a presentar una ponencia. Un ejemplo: Poincaré. Alejado del tema en sus investigaciones previas, fue de los más activos en las discusiones y, luego, un converso con aportaciones inmediatas. - Ante la sensación de la inevitabilidad de ciertas discontinuidades cuánticas, comenzó a aparecer la preocupación (reiteradamente expresada por Poincaré) por el posible fin de las ecuaciones diferenciales como forma de expresión de las leyes de la física.

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CIERTAS MANIFESTACIONES DE EINSTEIN SOBRE SU PARTICIPACIÓN EN EL PRIMER CONGRESO SOLVAY • A E. Solvay: El congreso Solvay quedará para siempre como uno de los más hermosos recuerdos de mi vida. • A M. Besso: En general el congreso de Bruselas parecía una lamentación sobre las ruinas de Jerusalén. De allí no salió nada positivo. Mis argumentos sobre fluctuaciones fueron recibidos con interés y sin ninguna objeción seria. No lo encontré muy estimulante porque no oí nada que no supiera antes. • A H. Zangger: En Bruselas fue interesante al máximo... H. A. Lorentz es una maravilla de inteligencia y tacto. Es una obra de arte viviente. En mi opinión era el más inteligente entre los teóricos presentes. Poinkaré fue simplemente negativo en general y, a pesar de su agudeza, mostró poco entendimiento de la situación... Planck mantuvo obstinadamente alguna opinión preconcebida indudablemente falsa... pero en cuanto a saber nadie sabía nada. Toda la historia habría sido una delicia para los diabólicos padres jesuitas.

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ACTAS DEL PRIMER CONGRESO SOLVAY: LANGEVIN, P.; DE BROGLIE, M. (eds.) (1912): La théorie du rayonnement et les quanta. Paris, Gauthier-Villars.

W. Nernst (1864-1941)

E. Solvay (1838-1922)

H. A. Lorentz (1853-1928)

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6.- El nacimiento del fotón (Einstein, 1916-1917) Einstein a M. Besso (11 de agosto de 1916): He tenido un destello de lucidez a propósito de la absorción y la emisión de radiación; esto te interesará. Una demostración completamente sorprendente de la fórmula de Planck, yo incluso diría la demostración. Y todo completamente cuántico. Estoy preparando la redacción de este resultado. • “EL DESTELLO”: (i) Sustituir los oscuros resonadores planckianos –asociados a la materia–por moléculas, que sólo pueden existir en un conjunto discreto de estados energéticos. (ii) Partir de tres procesos elementales (para describir la interacción materia-radiación): uno espontáneo (Ausstrahlung), en el que las moléculas emiten sin estímulo exterior, y dos inducidos por la radiación (Einstrahlung). Estos últimos –uno de emisión y otro de absorción– con probabilidad proporcional a la densidad de radiación presente; la emisión espontánea es independiente de la misma.

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• EL TRATAMIENTO: imposición del equilibrio estadístico y se obtiene la ley de Planck. • ANTECEDENTES: La absorción de radiación y la emisión espontánea eran los procesos usuales. Pero empleando únicamente estos dos se obtenía la ley de Wien, y no la de Planck, por lo que la emisión inducida resultaba novedad imprescindible.

• A DESTACAR: como hipótesis figura el carácter discreto del intercambio de energía entre materia y radiación, pero no su valor. Éste se obtiene a partir de la ley del desplazamiento, por entonces plenamente confirmada por los experimentos. La deducción de la fórmula de Planck no le pareció a Einstein el resultado más importante de su trabajo. Einstein a Besso (6 de setiembre de 1916): Lo que hay de esencial es que las consideraciones estadísticas que conducen a la ley de Planck se han sistematizado (...). Esto conduce al resultado (...) de que, cuando existe intercambio de energía elemental entre la radiación y la materia, se transfiere el impulso hv/c a la molécula. Se deduce que todo proceso elemental de esta naturaleza es un proceso enteramente orientado. Así queda establecida la existencia de los cuantos de luz.

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• COMENTARIOS: (i) A tal conclusión Einstein llegó a través del planteamiento de un test de coherencia, ante la novedad de las hipótesis empleadas. Para ello recurrió –otra vez– al análisis de las fluctuaciones de energía en su Gedanken-Experiment de 1909: el nuevo resultado (la direccionalidad de los procesos elementales) no era necesario para deducir la ley de Planck, pero sí para que el tratamiento tuviera coherencia lógica. (ii) Esta es la fecha de nacimiento del fotón (¡y no en 1905!): Es el momento en el que los cuantos de radiación, hasta entonces imprecisas unidades de intercambio energético, se transforman en auténticas partículas constituyentes de la radiación. [El nombre de fotón no llegó hasta 1926]. (iii) Ante el desconocimiento de la tasa de ocurrencia de los procesos elementales, Einstein introdujo las probabilidades de transición para poder imponer la condición de equilibrio estadístico. Pero estas probabilidades –como en radiactividad– no reflejaban un comportamiento aleatorio de la naturaleza, sino una incapacidad nuestra –presumiblemente pasajera– por describir los procesos elementales con el determinismo habitual en física.

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EINSTEIN, A. (1916): “Zur Quantentheorie der Strahlung”. Physikalische Gesellschaft Zürich. Mitteilungen 16, 47-62. Una reedición del mismo artículo se publicó en Physikalische Zeitschrift, 1917, 18, 121-128; éste es el trabajo que se suele citar. Versión inglesa en ENGEL, A. (1997): The collected papers of Albert Einstein, vol. 6, The Berlin years: writings, 1914-1917, English translation, Princeton, Princeton University Press, 220-233.

En la “emisión estimulada”, proceso introducido por Einstein en 1916, se fundamenta el láser. En la figura, el primer láser de rubí adquirido en España (UB, ¿1964-65?), muy parecido al primer láser de rubí, construido en 1960 por Theodore H. Maiman.

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7.- La teoría cuántica de la radiación (Bose, 1924) Carta de S. Bose, físico bengalí de 30 años, al Prof. Einstein, de 45 años (4 junio, 1924): Respetado Señor: Me he atrevido a enviarle el artículo adjunto para que usted lo examine y me dé su opinión. Estoy deseando saber qué piensa sobre él. Verá que he intentado deducir el coeficiente 8πν2/c3 de la ley de Planck independiente de la electrodinámica clásica, tan sólo suponiendo que las regiones elementales últimas en el espacio de las fases tienen un volumen h3. Yo no sé suficiente alemán como para traducir el trabajo. Si usted cree que vale la pena publicarlo, le quedaría sumamente agradecido si tomara las medidas necesarias para su aparición en Zeitschrift für Physik.... • En una semana: traducido y recomendado por Einstein para su publicación urgente. Incluyó la siguiente “Nota del traductor”: La deducción de Bose de la fórmula de Planck representa, en mi opinión, un avance importante. El método utilizado suministra también una base para la teoría cuántica de los gases ideales como expondré en otra ocasión.

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• EL “AVANCE IMPORTANTE” DE BOSE: (i) Deducción de la ley de Planck, por primera vez, sin recurrir a nociones ondulatorias. (ii) Tratamiento estadístico “a lo Boltzmann”: sólo que mientras éste distribuía elementos de energía entre moléculas, Bose distribuía fotones en celdas en el espacio fásico. • COMENTARIO: la indistinguibilidad (de los fotones) no figuraba explícitamente impuesta, sino que se deducía del tratamiento empleado. • S. Bose, en una entrevista 50 años después: No tenía idea de que lo que había hecho era realmente nuevo... No era yo estadístico hasta el punto de saber que lo que hacía era algo verdaderamente distinto de lo que hubiera hecho Boltzmann, algo distinto de la estadística de Boltzmann... Esa era la misma pregunta que me hizo Einstein cuando nos encontramos [en el otoño de 1925]: ¿cómo había llegado yo a ese método de deducir la fórmula de Planck? • Dos títulos curiosos: - “Who discovered the Bose-Einstein statistics?” (S. Bergia). - “Was Bose-Einstein statistics arrived at by serendipity?” (M. Delbrück).

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BOSE, S. (1924): “Plancks Gesetz und Lichtquantenhypothese”. Zeitschrift für Physik 26, 178-181. Versión inglesa en O. Theimer and B. Ram (1976): “The beginning of quantum statistics”. American Journal of Physics 44, 1056-1057.

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8.- El efecto Compton (1923) y la propuesta BKS (1924) • RECORDEMOS: La explicación, en 1923, del efecto Compton –dispersión de rayos X por electrones atómicos escasamente ligados– se suele tomar como la confirmación experimental de la existencia del fotón. • ¡Y TAMBIÉN DE LA VALIDEZ DE LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD ESPECIAL! [Altamente improbable: dos teorías falsas independientes –y en entredicho– compensan sus errores y explican el efecto Compton.] • BOHR, Y OTROS, OPTARON POR BUSCAR ALTERNATIVAS que no precisaran del fotón. • SUPUESTOS DE LA PROPUESTA BKS: - La energía del campo de radiación varía con continuidad (¡se reniega de los fotones!). - La energía del átomo varía con discontinuidad, como en el modelo atómico de Bohr. - Las “anomalías” del efecto Compton no se deben a nuevas –y extrañas– propiedades de la radiación, sino a las peculiaridades de su interacción con los átomos.

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• LAS “PECULIARIDADES”, SEGÚN BKS: - Cada átomo crea a su alrededor un campo virtual de radiación (idea previa de Slater). - Los procesos elementales (las transiciones entre estados atómicos) se explican en función de estos campos virtuales. - Esta explicación no respeta la causalidad clásica, sino que se rige por leyes probabilísticas análogas a las que (¡para más inri!) el propio Einstein introdujo en 1916 para los procesos elementales. • IMPLICACIONES DE LA PROPUESTA BKS: 1.- En los procesos elementales individuales no rigen los principios de conservación de la energía y del momento. Sí rigen, en cambio, en sentido estadístico: para un promedio sobre un gran número de procesos elementales. (El cambio de longitud de onda en el efecto Compton sería un cambio promedio). 2.- La causalidad estricta (como la defendida siempre por Einstein) exige que el fotón y el electrón emerjan simultáneamente tras el impacto. La teoría BKS, al requerir interacciones entre campos de radiación, exigía un intervalo de tiempo apreciable con las técnicas experimentales de la época.

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• EL FIN DE LA PROPUESTA BKS (1925): 1.- A.H. Compton y A.W. Simon diseñaron un experimento basado en la cámara de niebla de Wilson, que confirmó la conservación de la energía en los procesos individuales. 2.- W. Bothe y H. Geiger comprobaron experimentalmente la simultaneidad entre la emergencia del fotón y del electrón en el efecto Compton; naturalmente, de acuerdo a las limitaciones experimentales del momento. • MÁS SOBRE BKS Y SU REFUTACIÓN: - Contra lo que pudiera parecer, la propuesta BKS no contiene un formalismo matemático. Se trata de una propuesta más bien filosófica. El artículo sólo contiene la fórmula hν = E1 − E2 . - La filosofía: preservar a costa de lo que fuera –y, en este caso, a costa de mucho– la descripción continua del campo de radiación libre y supeditar la resolución de cualquier problema (efecto Compton) a un análisis riguroso de la interacción radiación-materia. - El método experimental diseñado por Bothe en 1924, con el que analizó los supuestos de BKS, le valió el Premio Nobel de Física de 1954 (compartido con M. Born, por la interpretación estadística de la función de onda): “por el método de coincidencias y sus descubrimientos partir del mismo”.

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BOHR, N.; KRAMERS, H.A.; SLATER, J.C. (1924): “The quantum theory of radiation”. Philosophical Magazine 47, 785-802. Reproducido en B. L. van der Waerden (1967): Sources of quantum mechanics. Amsterdam, North-Holland, 159-176.

COMPTON, A. H.; SIMON, A. W. (1925) : “Directed quanta of scattered X-rays”. Physical Review 26, 289-299. BOTHE, W.; GEIGER, H. (1925): “Über das Wesen des Comptoneffekts; ein experimenteller Beitrag zur Theorie der Strahlung”. Zeitschrift für Physik 32, 639-663.

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9.- Teoría cuántica de los gases ideales (Einstein, 1924-1925) • EINSTEIN se apercibió de las implicaciones del tratamiento de Bose: la sustitución de la estadística de Boltzmann por una nueva teoría. • PROCEDIMIENTO: Invirtió el sentido de la analogía que en 1905 le llevó desde el gas ideal a los cuanta de energía de la radiación. • Al transplantar las ideas de Bose sobre los fotones a las moléculas nació la luego llamada estadística de Bose-Einstein. • ALGUNOS RESULTADOS: - Aclaraba problemas relacionados con los calores específicos de los gases diatómicos y con la equipartición de la energía. - En concreto, explicaba anomalías observadas en relación con la ley de Dulong-Petit. - Predecía el fenómeno luego conocido como condensación de Bose-Einstein. - Imponía correcciones a los resultados precedentes (ecuaciones de estado, funciones de distribución, etc.). - Precisaba en qué sentido la mecánica estadística de Boltzmann se podía considerar una aproximación de la nueva teoría.

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• UN MISTERIO. Einstein escribía (1925): Ha sido criticado por el Sr. Ehrenfest y otros colegas que en la teoría de Bose, y en la análoga mía para el gas ideal, los cuanta (y las moléculas, respectivamente) no son tratados como entidades estadísticamente independientes entre sí, sin que ello se haya indicado explícitamente en nuestros respectivos trabajos. Ello es completamente exacto. Si se trata a los cuantos como estadísticamente independientes los unos de los otros, por lo que respecta a su localización, se obtiene la ley de Wien; si se trata a las moléculas de gas de forma análoga, se obtiene la ecuación de estado clásica de los gases perfectos, aunque en el resto se proceda exactamente como Bose y yo mismo hemos hecho. Voy a comparar aquí los dos métodos para el gas, con objeto mostrar claramente en qué se diferencian y facilitar la comparación entre nuestros resultados y los de la teoría de moléculas independientes. • CRITERIO: la estadística de Boltzmann no era compatible –a la vez– con la aditividad de la entropía y con el tercer principio de la termodinámica. La nueva estadística, sí. ¡LA ELECCIÓN NO OFRECÍA DUDAS!

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EINSTEIN, A. (1924): “Quantentheorie des einatomigen idealen Gases”. Preussische Akademie der Wissenschaften (Berlin), Physikalisch-mathematische Klasse. Sitzungsberichte 22, 261-267. En la misma revista: EINSTEIN, A. (1925): “ Quantentheorie des einatomigen idealen Gases. Zweite Abhandlung”, 23, 3-14. Versión francesa en F. Balibar; O. Darrigol; B. Jech (eds.) (1989): Albert Einstein. Œuvres choisies, vol. 1, Quanta. Paris, Seuil/CNRS, 172-179 y 180-192, respectivamente.

Einstein junto a catedráticos de la Facultad de Ciencias de Madrid, marzo 1923. [Entre ellos, J. Rodríguez Carracido (rector), B. Cabrera y J. Palacios]

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10.- Propiedades ondulatorias de las moléculas y formulación de Schrödinger (1925-1926) • RECORDEMOS: Einstein adoptó la nueva estadística porque permitía obtener –a la vez– una entropía aditiva y el teorema de Nernst. • UNA SORPRESA ONDULATORIA: Einstein, 1925: De las consideraciones anteriores parece que, con cada movimiento [de una molécula], hay un campo ondulatorio asociado, de la misma forma que el campo ondulatorio óptico se asocia al movimiento de los quanta de luz. Este campo ondulatorio, cuya naturaleza física es por el momento desconocida, debe en principio poder detectarse a través de los efectos de los correspondientes movimientos. Así, un haz de moléculas de gas que atraviesa una abertura deberá sufrir una difracción, análoga a la que experimenta un rayo luminoso. Para que un fenómeno de este tipo sea observable, la longitud de onda λ [=h/mv] debe ser en cierta forma comparable con las dimensiones de la abertura.

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SCHRÖDINGER MOTIVADO/ INSPIRADO POR: • La analogía entre la óptica geométrica y la mecánica, expuesta por Hamilton (1830’s): Aproximación eikonal: pequeñas longitudes de onda ÓPTICA GEOMÉTRICA

ÓPTICA ONDULATORIA

Hamilton

???

MECÁNICA NEWTONIANA

???

¿MECÁNICA ONDULATORIA?

• La dualidad onda-corpúsculo: tesis de Louis de Broglie (1924) citada por Einstein (1925). • El siguiente razonamiento personal, basado en la fructífera analogía gas ideal - radiación:

Ley de Planck

- Vía 1: Nueva Estadística de Bose-Einstein (no muy atractiva para Schrödinger) aplicada a fotones (partículas). - Vía 2: Estadística tradicional de Boltzmann aplicada a los modos de vibración; una propiedad ondulatoria de la radiación.

- Vía 1: Nueva Estadística de Bose-Einstein Teoría aplicada a moléculas. cuántica de - Vía 2: Estadística tradicional de Boltzmann los gases aplicada a ... ¡alguna aún desconocida ideales propiedad ondulatoria de las moléculas!

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• EN EL PRIMER TRABAJO (DE LOS 4 FUNDACIONALES) SCHRÖDINGER ESCRIBE: He demostrado recientemente que la teoría [cuántica] de Einstein sobre un gas puede fundamentarse sobre la consideración de vibraciones propias estacionarias, que se supone cumplen la ley de dispersión de De Broglie. Las consideraciones que hemos expuesto referentes al átomo [su original formulación de la mecánica ondulatoria] podrían haberse presentado como una generalización de este trabajo [de Einstein] sobre el modelo para el gas.

• Y UN RECONOCIMIENTO MÁS EXPRESO: E. Schrödinger a A. Einstein (abril de 1926): Todo ello [la formulación de la mecánica ondulatoria] no habría aparecido aún, y puede que jamás (al menos por lo que a mí respecta) si, en su segundo artículo sobre el gas degenerado, Vd. no me hubiera abierto los ojos acerca de la importancia de las ideas de De Broglie.

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SCHRÖDINGER, E. (1926): “Quantisierung als Eigenwertproblem”. Annalen der Physik. “Erste Mitteilung” 79, 361-376. “Zweite Mitteilung” 79, 489-527. “Dritte Mitteilung” 80, 437-490. “Vierte Mitteilung” 81, 109139. Versión inglesa de los cuatro artículos en: SCHRÖDINGER, E. (1982): Collected papers on wave mechanics. New York, Chelsea. [Este libro incluye −además del contenido de la versión original de 1928− cuatro conferencias de Schrödinger sobre mecánica ondulatoria].

Erwin Schrödinger (1887-1961) [Premio Nobel de 1933 –compartido con Paul Adrien Maurice Dirac (1902-1984)– “por el descubrimiento de nuevas formas productivas de la teoría atómica”].

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11.- Un final no demasiado feliz (Einstein, 1927) • Desde comienzos de 1925: resultados que formaron el núcleo de la mecánica cuántica. • Insatisfacción creciente de Einstein, por el papel de la probabilidad en los modernos desarrollos: ¡No era la probabilidad de la mecánica estadística ni tampoco la de la radiactividad...! • La postura de Einstein no era nueva: Einstein al matrimonio Born (29 abril, 1924): Me resulta intolerable la idea de que un electrón expuesto a la radiación pueda escoger a su antojo el momento y la dirección del salto. Si así resultara finalmente preferiría haber sido zapatero remendón, o incluso empleado de un casino, antes que físico. Carta a Max Born (finales de 1926): La mecánica cuántica es en verdad impresionante. Pero una voz interior me dice que no es aún la última palabra. La teoría explica muchas cosas, pero realmente no nos acerca más a los secretos de “El Viejo” [sic]. Yo, en cualquier caso, estoy convencido de que El no juega a los dados

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• QUINTO CONGRESO SOLVAY (Bruselas, 24 - 29 octubre, 1927): “Electrones y fotones”, con la presencia de los protagonistas. • COMIENZO DE LA AUTOMARGINACIÓN: Einstein a Lorentz (17 junio, 1927): Recuerdo haberme comprometido con usted a hacer un informe sobre estadística cuántica en el Congreso Solvay. Después de mucha reflexión en torno al sí y al no, llegué al convencimiento de que no soy competente para hacer tal informe de una forma que realmente corresponda al estado de cosas [actual]. La razón está en que no he podido participar en el desarrollo moderno de la teoría cuántica tan intensamente como hubiera sido necesario para este propósito. Esto se debe, en parte, a que tengo muy escaso talento receptivo para seguir por completo los tormentosos desarrollos modernos y, en parte también, porque no apruebo la forma de pensar puramente estadística sobre la que están basadas las nuevas teorías... Hasta ahora continué confiando en poder contribuir con algo de valor en Bruselas; he abandonado esa esperanza. Le ruego no se disguste conmigo por ello; no lo tomé a la ligera, sino que probé con todas mis fuerzas... Quizás el señor Fermi de Bolonia... o Langevin... podrían hacerlo bien.

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Niels Bohr (1885-1962) [Premio Nobel de 1922 –año siguiente al de Einstein– “por sus servicios en la investigación de la estructura de los átomos y de la radiación que de ellos emana”].

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12.- Cuantos y calores específicos (1860’s-1925) • EL “VIEJO” PROBLEMA DE LOS CALORES ESPECÍFICOS DE LOS GASES:

CLAUSIUS 1857-58

MAXWELL 1860’s

Etotal = cte ≡ β Etrasl

γ =1+

γ: coef. adiabático

β: independiente de T

β=

n+3 3

2 3β

γ =1+

n: grados de libertad internos

2 n+3

• DATOS DE LA ÉPOCA (1860’s, gases diatómicos): γ ≅ 1.4 ¡¡Sorpresa!! con n = 0 ⇒ β = 1 ⇒ γ = 5 3

¡demasiado alto!

con n = 3 ⇒ β = 2 ⇒ γ = 4 3

¡demasiado bajo!

• NEGRAS PERSPECTIVAS: Los últimos datos espectroscópicos −y otros− parecían anticipar moléculas de mayor complejidad. (Es decir, de mayor n y, por tanto, menor γ ).

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ASPECTOS VARIOS DEL PROBLEMA • DOS ACTITUDES REPRESENTATIVAS: - Maxwell: esperar que se desvelara la auténtica constitución molecular. - Boltzmann: las situaciones en el laboratorio ¿eran de verdadero equilibrio? Llegó a pensar, aunque sin insistir, en una molécula tipo “rotor rígido”. - En general: un gravísimo problema. INCISO IMPORTANTE: • Kund y Warburg (1875): Primeras medidas para gases monoatómicos (con vapor de mercurio). Resultado: γ compatible con 5/3. • Helio, argón y criptón: descubrimiento y mediciones en las décadas siguientes. • Por ello, el problema de los calores específicos de los gases hacia finales de siglo se refería a los gases diatómicos. • W. THOMSON (LORD KELVIN): “Nineteenth century clouds over the dynamical theory of heat and light”. (Royal Institution , 1900): - First cloud: “Relative motion of aether and ponderable matter”. - Second cloud: “Maxwell-Boltzmann equipartition”.

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