CUBO Truncado Este material está aconsejado para ayudar a construir el siguiente conocimiento: C Continuar haciendo clasificaciones, en este caso, de poliedros. C Concepto de ángulo en el espacio como extensión del caso plano: ángulos sólidos. C Determinar cuántos poliedros convexos regulares existen y hacer un estudio de algunas de sus propiedades. C Trabajar el concepto de dualidad entre poliedros. C Realizar truncamientos en distintos poliedros y analizar los resultados, especialmente en el caso de los regulares. C Poliedros convexos semirregulares. Se propone un juego para tres grupos de personas: el juego de la dualidad. Uno de los grupos tiene un cubo y otro un octaedro. El juego consiste en que quienes tienen el cubo indican la medida de alguna característica de éste (sin decir qué característica). Quienes tienen el octaedro deberán buscar ese mismo número comomedida de alguna característica de su poliedro. El tercer grupo va tomando nota de cuanto sucede y dirá de qué característica se trata en ambos casos. Si el segundo grupo actúa correctamente, pasa a ser el que efectúe la siguiente pregunta. La alternancia a la hora de preguntar se pierde si al que se pegunta no sabe responder. En este caso, el tercer grupo lo sustituye, anotándose un tanto el que pregunta. Para que no se pierdan los resultados del juego, una buena estrategia consiste en rellenar una tabla (sugerimos algunos números): CUBO número 3 4 6 8 12 11 7

característica caras por vértice vértices por cara caras vértices aristas desarrollos planos “pestañas” a pegar para construirlo a partir de uno de los desarrollados

OCTAEDRO número 3 4 6 8 12 11 7

característica vértices por cara caras por vértice vértices caras aristas desarrollos planos “pestañas” a pegar para construirlo a partir de uno de los desarrollados

FICHATÉCNICA Construidos en acetato transparente y de diferentes colores, está formado por 10 piezas troqueladas para el estudio de la dualidad de poliedros.

Este material te permite realizar las construcciones antes mencionadas armándolo según la figura. Si dispones de varios juegos, puedes teselar el espacio con los cubos y comprobar cómo esa teselación se transforma en otra hecha con los tetraedros inscritos en cada cubo y los octaedros que se obtienen alrededor de las aristas de los cubos.

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¿Encuentas alguna regularidad en la tabla? Rellena una tabla similar para el caso del dodecaedro-icosaedro. ¿Qué sucede con el tetraedro? Imagina ahora un cubo y une mediante segmentos, mentalmente, los centros de las caras concurrentes en un vértice. ¿Qué obtienes? Hazlo con todos los vértices, ¿qué poliedro se obtiene? Y si haces lo mismo con un tetraedro, ¿qué obtienes? Mira las figuras:

A partir de un cubo puede obtenerse un octaedro sin más que unir los centros de las caras concurrentes en los vértices. Análogamente, se obtiene un icosaedro a partir de un dodecaedro y un tetraedro a partir de otro tetraedro. El recíproco tambien es cierto. Si se unen los centros de las caras concurrentes en los vértices de un octaedro se obtiene un cubo, de un icosaedro se obtiene un dodecaedro y de un tetraedro se obtiene otro tetraedro. Por esa propiedad diremos que el cubo y el octaedro son poliedros duales. Igual sucede con el dodecaedro y el icosaedro, mientras que el tetraedro es dual de sí mismo.

Observando las tablas anteriores, podemos deducir que el número de caras del cubo coincide con el de vértices del octaedro y al contrario, y que el de aristas es siempre el mismo. Lo mismo sucede con el dodecaedro e icosaedro, y con el tetraedro consigo mismo. La propiedad anterior, conocida como dualidad es la que explica estas relaciones. Imagina un octaedro y su dual, el cubo, inscrito en él. Ve aumentando, mentalmente el tamaño de cubo inscrito. Las aristas de éste se convierten en aristas paralelas que se van acercando a la del octaedro. Llegará un momento en que las aristas de ambos se cortarán, obteniéndose el poliedro de la figura de la izquierda.

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Lo mismo se pueden hacer con cualquiera de los restantes poliedros regulares y sus duales y se obtiene los de las figuras que hay en el margen. De esta forma se obtienen nuevos poliedros que, por su forma, llamaremos poliedros estrellados. Para construir estos modelos se puede utilizar una estrategia más fácil: construir primero los tres poliedros negros y luego añadir las pirámides blancas a sus caras. Como las caras de los poliedros blancos son triángulos equiláteros, las caras laterales de las pirámides también son triángulos equiláteros. Ahora fíjate en los resultados de uno cualquiera de los poliedros de la tabla anterior. Intenta encontrar alguna relación entre el número de aristas, el número de vértices y el de caras. Enuncia una conjetura y comprueba si se cumple también en los otros casos. Prueba a sumar el número de caras y el de vértices y compáralo con el número de aristas. ¿Qué conclusión se puede sacar? Si al número de aristas, A, le sumas 2, obtienes el resultado de sumar el número de vértices, V y el de caras, C. Demostremos esta conjetura. Podemos construir un poliedro de arista en arista a partir de uno primitivo que conste sólo de un vértice aislado. En cada paso, la nueva arista se une bien a un vértice nuevo o a uno ya existente, o bien a dos vértices ya existentes. En el primer caso, V y A se incrementan en 1, mientras que C no varía; en el segundo caso, V no cambia, mientras que A y C se incrementan en 1. En cualquier caso, V–A+C no cambia. Desde el comienzo, cuando sólo hay un vértice y una región, se tiene: V–A+C = 1–0+1, o lo que es lo mismo: V–A+C = 2. El valor 2 se mantiene a lo largo de la construcción. Por lo tanto, la relación encontrada es válida.

Recuerda A este resultado, C+V=A+2, se le conoce con el nombre de Fórmula de Euler y a todos los poliedros que la verifican se les llama poliedros eulerianos.

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TRUNCAMIENTOS Imagina un cubo, sitúate mentalmente en uno de sus vértices y corta ese vértice. ¿Qué forma tiene la sección obtenida? ¿Por dónde tendrías que cortar para obtener un triángulo equilátero? Acabamos de ver que en todo vértice de un cubo concurren 3 aristas. Marca un punto sobre cada una de ellas. Recuerda que con 3 puntos hay determinado un único plano. ¿Puedes imaginar estos 3 puntos como los vértices de un triángulo contenido en ese plano? Continúa cortando mentamente por planos paralelos al que te da como sección un triángulo equilátero. ¿En qué momento obtienes el triángulo equilátero de mayor tamaño de toda la serie? Si sigues cortando con planos paralelos, ¿qué sucede? Cuando cortamos con planos paralelos, a partir del triángulo equilátero mayor, las secciones de los cortes se transforman en hexágonos irregulares, puesto que son 6 las aristas que se cortan. Llega un momento en que de hexágono es regular. A partir de ahí vuelven a ser irregulares hasta que llegamos a los vértices del cubo y aparece de nuevo el triángulo equilátero del principio, invertido con respecto al perimeto. Si continuamos, los triángulos equiláteros son cada vez más pequeños, hasta que se llega al vértice opuesto. La secuencia de polígonos producida es: triángulo equiláterohexágono-triángulo equilátero. Has comprobado que los triángulos empiezan aumentando hasta que llegan a un máximo, luego, cuando aparecen de nuevo, lo hacen disminuyendo. ¿Qué ocurre con los hexágonos?, ¿aumentan o disminuyen?

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Si se corta un cubo con la secuencia que muestra la figura, ¿se podrá obtener un cuadrado? ¿qué ocurre con los perímetros de los rectángulos, aumentan o disminuyen? Dando cortes paralelos en un cubo, ¿se pueden obtener secciones que sigan la secuencia: triángulo-cuadrilátero-triángulo? ¿Aparece algún otro polígono en esa secuencia? ¿Qué ocurre con los perímetros? ¿Se puede encontrar la secuencia: triángulo-paralelogramo-triángulo? ¿Y la secuencia: triángulo-cuadrado-triángulo? Revisa los perímetros de todas las series de cortes paralelos, ¿es cierta la secuencia aumentan-aumentan o disminuyen-disminuyen?, ¿qué excepciones hay? La figura muestra un corte que produce pentágonos. ¿Cómo ha de ser el corte inicial para que aparezcan pentágonos? ¿Se pueden obtener pentágonos regulares? Imagina de nuevo un cubo. ¿Cómo se pueden truncar los vértices para que todas las secciones sean polígonos regulares iguales? ¿Es posible hacer lo mismo con cualquier otro poliedro?

Llamaremos truncar a la operación de eliminar un vértice de un poliedro y obtener uno nuevo por cada arista que concurre en él, de forma que todos pertenezcan al mismo plano. Llamaremos poliedro truncado al nuevo poliedro obtenido al truncar con planos todos los vértices del primero.

Si en cualquier poliedro regular, se hacen cortes que pasen por puntos de las aristas equidistantes del vértice, obtendremos nuevos poliedros con todas sus caras iguales y regulares. Vamos a realizar dos tipos de truncamientos Truncamiento tipo I. El corte se realiza por planos que pasan por los puntos medios de las aristas que concurren en un vértice.

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Truncamiento tipo II. El corte se realiza por puntos de las aristas equidistantes del vértice, a una distancia menor que la mitad de la arista. ¿Cómo quedan las caras en cada caso? Imagina un poliedro cualquiera. Trunca todos sus vértices con cortes de tipo I. ¿Cuántos polígonos distintos forman las caras del poliedro truncado? Por ejemplo, si truncamos de este modo un cubo, como el número de aristas por vértice es 3, en cada vértice se obtiene un triángulo equilátero; como hay 8 vértices, habrá 8 triánguos equiláteros. ¿Cómo quedarán las caras? Habrá 6 cuadradas que encierran una superficie la mitad de las caras iniciales. En definitiva, obtendremos un nuevo poliedro que tiene 14 caras. ¿Cúantas aristas tiene este cubo truncado? Por cada vértice del cubo obtenemos 3 aristas, número que viene determinado por el orden del vértice, lo que hace un total de 3x8=24 aristas. Y vértices, ¿cuántos tiene? Cada arista del poliedro inicial se convierte en un vértice. Tiene, por tanto, 12 vértices. Observa lo que ocurre con el cubo truncado mediante el tipo II (ver figura al margen). ¿Se mantienen estas relaciones si hacemos este tipo de truncamiento a otro poliedro? ¿Cuántos tipos de caras diferentes se obtienen? ¿Cuántos lados tiene cada una de ellas? ¿Y cuántos vértices y aristas tiene el poliedro truncado? ¿Ocurrirá lo mismo si truncamos otro poliedro regular?

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TRUNCANDO POLIEDROS REGULARES Truncamiento Tipo I Si truncas el tetraedro, con el truncamiento tipo I, ¿qué poliedro obtienes? En el apartado anterior hemos truncado un cubo y se ha obtenido un nuevo poliedro. Lo llamaremos cuboctaedro. ¿Qué se obtendrá al truncar del mismo modo un octaedro? Si truncamos un dodecaedro y un icosaedro obtenemos también el mismo poliedro truncado, lo llamaremos icosidodecaedro.

Observa Al truncar dos poliedros que sean duales, se obtiene el mismo poliedro truncado: el cubo y el octaedro (duales) dan lugar al cuboctaedro y el dodecaedro e icosaedro (duales) dan lugar el icosidodecaedro, con un truncamiento tipo I.

Truncamiento Tipo II Vamos a truncar los 5 poliedros regulares con el truncamiento tipo II y a intentar deducir lo que va a ocurrir. Cuando se corta un vértice en el tetraedro, y el cubo y el dodecaedro, ¿qué forma tiene la sección obtenida? ¿Y en el octaedro? ¿Y en el icosaedro? Toma un icosaedro, sitúate en una de las aristas y divídela en tres partes iguales. Haz lo mismo con las otras aristas y trunca (mentalmente) todos los vértices del icosaedro según el tipo II, por los puntos señalados a un tercio de distancia de los vértices. En cada vértice concurren 5 aristas, ¿cómo serán, pues, las secciones obtenidas? ¿Qué forma tendrá el poliedro truncado? Toma un balón de fútbol y compáralo con éste, ¿tiene algún parecido? A los poliedros obtenidos con este tipo de truncamientos los llamaremos: tetraedro truncado, cubo truncado, octaedro truncado, dodecaedro truncado e icosaedro truncado (balón de fútbol o «pelotaedro»).

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Observa Los vértices del tetraedro, el cubo y el dodecaedro son de orden 3, por tanto la sección obtenida por un truncamiento tipo II es un triángulo equilátero. Los vértices del octaedro son de orden 4, por tanto la sección obtenida es un cuadrado. Los vértices de icosaedro son de orden 5, por tanto, la sección obtenida es un pentágono regular.

Fíjate que una característica común a todos estos poliedros es que las caras que provienen de vértices están enteramente rodeadas de caras que provienen de caras. Las caras que provienen de caras están rodeadas alternativamente de unas y otras. Además los vértices de todos estos poliedros son de orden 3. En ellos concurren dos polígonos que provienen de caras y un polígono verticial. Como ya vimos en el apartado anterior, el tipo de truncamiento realizado determina las características numéricas -nº de caras, vértices y aristas- del poliedro obtenido. Por ejemplo, el cubo truncado tiene 8 triángulos equiláteros, que provienen de los ocho vértices del cubo inicial; y 6 octógonos, que provienen de las 6 caras del cubo. El número de aristas es 36, las que provienen de los vértices del cubo más las que provienen de las aristas. Has un razonamiento análogo para los demás poliedros regulares y completa la tabla siguiente: Poliedros

Caras

Vértices

Aristas

Orden de los vértices

Tetraedro truncado

C3 = 4 C4 = 4

12

18

3

Cubo truncado Octaedro truncado Dodecaedro truncado Icosaedro truncado

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Si dispones de una colección de cubos los puedes ordenar siguiendo algún criterio, por ejemplo, el tamaño.

Piensa en algún criterio que te permita ordenar los poliedros de la figura y establece la ordenación.

Seguro que entre los criterios analizados ha surgido el de los truncamientos. Siguiéndolos se pueden ordenar de esta forma (ver la figura de abajo). Esta actividad, ¿es una clasificación? Recuerda que, dado un conjunto de poliedros, los clasificamos según determinados criterios. Se pueden obtener distintas clases, de forma que cada poliedro pertenece a una y sólo una de ellas. En esta actividad se ha establecido una ordenación, según un criterio. A diferencia de lo que ocurría con las clasificaciones, en este caso lo que se obtiene es una secuenciación de los poliedros que responde al criterio elegido.

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Observa Ordenar un conjunto de objetos, según un criterio determinado, es una activida que permite establecer una secuenciación de los mismos, que responda al criterio elegido. Clasificar un conjunto de objetos, según un criterio determinado, es una actividad que permite formar grupos o clases de forma que cada objeto pertenece a una y sólo una de ellas.

Ordena los poliedros de la figura, especificando el criterio elegido.

¿Qué criterio hemos elegido para ordenar los poliedros anteriores según la figura siguiente?

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CUBO TRUNCADO Ya sabes cómo se «inscribe» un tetraedro en un cubo y en qué consisten los diferentes truncamientos de vértices. Toma un cubo de pórex (corcho blanco) y, con una segueta térmica, trúncalo hasta obtener el tetraedro. ¡No rompas los trozos que vas obteniendo!, ya que uniéndolos convenientemente podrás construir la mitad de un octaedro, cuyas caras serán iguales que las del tetraedro obtenido. Si repites la operación con otro cubo, puedes obtener la otra mitad. Uniendo las dos mitades formarás un octaedro. (Se recomienda usar cola blanca o de «carpintero» para pegar las piezas de pórex)

El octaedro resultante puede ser nuevamente truncado a la mitad de sus aristas ¡No tires ninguna pieza! Obtendrás el cuboctaedro truncado, pero con las piezas sobrantes de cada vértice podrás hacer un cubo con un hueco en su interior que es un tetraedro. Cada uno de los vértices del octaedro se ha formado a partir de cuatro pirámides iguales que coinciden, en la forma aunque no en el tamaño, con las que sobraron del cubo inicial al obtener el tetraedro. ¿Qué relación hay entre el cubo inicial y uno de estos nuevos cubos obtenidos a partir del octaedro?

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