INGENIEROS INDUSTRIALES Y DE TELECOMUNICACIONES

CURSO CERO DE MATEMATICAS

Apuntes elaborados por Domingo Pestana Galv´ an y Jos´ e Manuel Rodr´ıguez Garc´ıa

UNIVERSIDAD CARLOS III DE MADRID Escuela Polit´ ecnica Superior Departamento de Matem´ aticas

1

2) cos x = a con a ∈ [−1, 1]. Si x = α es una soluci´on de esta ecuaci´on con 0 ≤ α ≤ π, entonces tambi´en −α es soluci´on, con lo que el conjunto de todas las soluciones es x = 2kπ ± α ,

con k ∈ Z .

ya que cos x es una funci´on 2π-peri´odica. 3) tan x = a con a ∈ R . Si x = α es una soluci´on de esta ecuaci´on con −π/2 < α < π/2, entonces como tan x es una funci´on π-peri´odica, el conjunto de todas las soluciones es x = α + kπ ,

con k ∈ Z .

Ejemplo. Para resolver la ecuaci´on sen2 x − cos2 x = 1/2 observamos en primer lugar que aplicando la f´ormula del coseno del ´angulo doble (ver la Secci´on 3.1), la ecuaci´on equivale a cos 2x = −1/2. Puesto que cos(2π/3) = −1/2, tenemos que debe ser 2x = 2kπ ±

2π , 3

con k ∈ Z ,

y, por tanto, las soluciones de la ecuaci´on son x = kπ ±

3.

π , 3

con k ∈ Z .

Funciones. L´ımites de funciones

3.1.

Funciones

Comencemos introduciendo los conceptos de funci´on, dominio e imagen: Definici´ on 3.1. Una funci´on es una regla cualquiera que hace corresponder un n´ umero real y s´ olo uno a cada n´ umero de un cierto conjunto. f (x) es el valor de la funci´ on f en el punto x. En muchas ocasiones, las funciones se expresan por medio de una f´ormula como, por ejemplo, f (x) = 3x + 5. Esta f´ormula nos dice que f asocia a cada n´ umero el triple de su valor m´as cinco unidades; as´ı f asocia a 2 el valor 11, puesto que f (2) = 3 · 2 + 5 = 11. Pero una funci´on no tiene necesariamente que poder ser expresable por medio de una f´ormula como, por ejemplo, la siguiente funci´on definida para x ∈ R mediante: ( 0 , si x es racional, f (x) = 1 , en caso contrario. Tampoco es necesario que est´e definida para todos los n´ umeros reales; as´ı llamamos: Definici´ on 3.2. El dominio de una funci´ on es el conjunto de n´ umeros para los que est´ a definida, y se denota por Dom(f ). Si no se especifica nada, se sobreentiende que el dominio de una funci´on est´a formado por todos los n´ umeros para los cuales tiene sentido la definici´on. Habitualmente escribiremos f : A −→ B para denotar que A es el conjunto inicial o dominio y B el conjunto final, de tal manera que a cada n´ umero de A la funci´on f le asocia un n´ umero de B. on es el conjunto de los valores y tales que existe un n´ umero x con Definici´ on 3.3. La imagen de una funci´ f (x) = y, y se denota por Im(f ). Definici´ on 3.4. La gr´afica de una funci´ on es el conjunto de puntos del plano: {(x, f (x)) : x ∈ Dom(f )}. Esos pares se representan en el plano coordenado. Definici´ on 3.5. Una funci´ on f es peri´odica de periodo k si f (x + k) = f (x) para todo x ∈ Dom(f ). 12

Es f´acil comprobar que si k es un periodo para f , entonces tambi´en lo son −k, 2k, −2k y, en general, lo es nk para cualquier n ∈ Z. Decimos que k es el periodo m´ınimo de f si k > 0 y no existe ning´ un otro periodo T de f con 0 < T < k. on es inyectiva si f (x) = f (y) =⇒ x = y. Definici´ on 3.6. Una funci´ Entonces, la gr´afica de una funci´on inyectiva s´olo puede cortar una vez a cada recta horizontal. Definici´ on 3.7. Una funci´ on es sobreyectiva (o suprayectiva) si la imagen es todo el conjunto de llegada o conjunto final. Si f : A −→ B es sobreyectiva, entonces Im(f ) = B. Definici´ on 3.8. Una funci´ on es biyectiva si es inyectiva y sobreyectiva a la vez. Para aprovechar las simetr´ıas de la gr´afica de una funci´on definimos: on f es par si f (x) = f (−x) para todo x ∈ Dom(f ). Decimos que Definici´ on 3.9. Decimos que una funci´ la funci´ on f es impar si f (−x) = −f (x) para todo x ∈ Dom(f ). La gr´afica de una funci´on par es sim´etrica respecto del eje y, mientras que la de una funci´on impar es sim´etrica respecto del origen. Funciones pares son, por ejemplo, 1, x2 , x4 , x2n con n ∈ N, mientras que son impares x, x3 , x2n+1 con n ∈ N. Un ejemplo de funci´on par muy u ´til es el valor absoluto, definido como: ( x, si x ≥ 0 , |x| = −x , si x < 0 . Las funciones polin´ omicas son las que est´an dadas por un polinomio: f (x) = a0 + a1 x + a2 x2 + · · · + an xn , donde los n´ umeros a0 , . . . , an son reales y sobreentendemos que an 6= 0. El exponente de la potencia m´as alta de x con coeficiente distinto de cero es el grado de f . Su dominio es siempre todo R y la imagen de las de grado impar tambi´en es todo R , pero no es as´ı con las de grado par. Las ra´ıces del polinomio son los puntos donde la gr´afica de la funci´on corta al eje X, es decir, los valores de x tales que f (x) = 0; luego si el grado es n, a lo m´as puede haber n puntos de corte con el eje X, pero puede que haya menos. Las funciones polin´omicas m´as sencillas son las que tienen por gr´afica una recta, que corresponden a polinomios de grado cero (recta horizontal) y polinomios de grado uno (recta oblicua). Las funciones dadas por el cociente de dos polinomios se llaman racionales y su dominio es todo R salvo los puntos en que se anula el denominador. En el estudio del dominio de las funciones dadas por ra´ıces cuadradas o de orden par hay que tener en cuenta que el radicando debe ser siempre no negativo, es decir, mayor o igual que cero. Las ra´ıces de orden impar est´an definidas siempre. Las funciones trigonom´etricas son el siguiente tipo de funciones que consideraremos. Estamos hablando de las funciones seno, coseno, tangente, cotangente, secante y cosecante, junto con sus funciones inversas que definiremos m´as adelante. El valor de cos x y el de sen x son respectivamente la abscisa y la ordenada de un punto situado en la circunferencia de radio 1 centrada en el origen y situado sobre la l´ınea que forma un ´angulo x con el eje X positivo. A partir del seno y el coseno se definen las otras funciones mediante: tan x =

sen x , cos x

cotan x =

cos x , sen x

1 1 , cosec x = . cos x sen x Los ´angulos se pueden expresar en grados, pero es mucho m´as u ´til desde el punto de vista del c´alculo utilizar el radi´ an como unidad. Un radi´an es el ´angulo cuyo arco es igual al radio de la circunferencia. As´ı, 360 grados son 2π radianes, y 90 grados son π/2. Las propiedades de las funciones secante, cosecante y cotangente se deducen de las de las funciones coseno, seno y tangente, por lo que nos centraremos en estas u ´ltimas. sec x =

13

Las funciones seno y coseno tienen por dominio toda la recta, son peri´odicas de periodo 2π y su imagen es el intervalo [−1, 1]. La funci´on tangente no est´a definida en el conjunto de puntos { π2 + kπ : k ∈ Z}, que es donde la funci´on coseno se anula, su imagen es todo R y tiene periodo π. Adem´as, la funci´on seno es impar: sen(−x) = − sen x, al igual que la tangente: tan(−x) = − tan x, mientras que el coseno es par: cos(−x) = cos x. Se cumple la relaci´on fundamental: sen2 x + cos2 x = 1 , y las siguientes f´ormulas para los ´angulos dobles: sen(2x) = 2 sen x cos x ,

cos(2x) = cos2 x − sen2 x ,

tan(2x) =

2 tan x . 1 − tan2 x

´ Estas son un caso particular de las f´ormulas para el seno, el coseno y la tangente de la suma y la diferencia: sen(x + y) = sen x cos y + sen y cos x ,

sen(x − y) = sen x cos y − sen y cos x ,

cos(x + y) = cos x cos y − sen x sen y ,

cos(x − y) = cos x cos y + sen x sen y ,

tan x + tan y , tan(x + y) = 1 − tan x tan y

tan(x − y) =

tan x − tan y . 1 + tan x tan y

Adem´as, sen(x + π/2) = cos x , sen(π/2 − x) = cos x ,

sen(x + π) = − sen x , cos(π/2 − x) = sen x ,

tan(x + π/2) = − cotan x . cotan(π/2 − x) = tan x .

Las funciones secante y cosecante son peri´odicas de periodo 2π al igual que lo son el coseno y el seno, mientras que la cotangente es peri´odica de periodo π, igual que la tangente. Sus dominios son todo R salvo los puntos en los que se anulan sus denominadores respectivos. En cuanto a simetr´ıas, la secante es par: sec(−x) = sec x y la cosecante y la cotangente impares: cosec(−x) = − cosec x, cotan(−x) = − cotan x. Otras funciones de importancia son las logar´ıtmicas y exponenciales. La exponencial ax (con a > 0) tiene por dominio todo R y por imagen (0, ∞), mientras que el logaritmo loga x, como funci´on inversa que es de la exponencial (ver Definici´on 3.10), tiene por dominio (0, ∞) y por imagen R . La notaci´on habitual para el logaritmo en base e o logaritmo neperiano es ln x o equivalentemente log x, y s´olo cuando la base no es e se escribir´a expl´ıcitamente. La base de un logaritmo, al igual que de la exponencial, puede ser cualquier n´ umero positivo. loga x = b

⇐⇒

ab = x

⇐⇒

eb log a = x

y por tanto, loga x = b =

⇐⇒

b log a = log x ,

log x . log a

Las propiedades fundamentales de los logaritmos son (para a, x, y > 0 y c ∈ R): loga 1 = 0 ,

loga a = 1 , loga x + loga y = loga (xy) , µ ¶ x loga x − loga y = loga , loga xc = c loga x . y

Las exponenciales se definen para bases positivas, como ya hemos dicho, y sus propiedades fundamentales son: a0 = 1 , a1 = a , ab ac = ab+c , √ ab c b−c b c bc = a , (a ) = a , ab = ab/c . ac La exponencial ex suele denotarse tambi´en como exp x. Otra forma de construir funciones es considerar las funciones inversas de aquellas que ya conocemos, en el sentido de que “deshacen” lo que hacen las otras. on llamada f −1 , Definici´ on 3.10. La funci´on inversa de una cierta f dada es (si es que existe) otra funci´ −1 −1 tal que (f ◦ f )(x) = x = (f ◦ f )(x) cuando estas composiciones tienen sentido. 14

Un ejemplo es log x frente a ex : log(ex ) = x = elog x . Para que exista la inversa de una funci´on f es necesario que ´esta sea inyectiva, como las anteriores, pero si no lo es podemos definir una inversa de la funci´on considerando como√dominio de f solamente un trozo donde s´ı lo sea. As´ı, f (x) = x2 es inyectiva en [0, ∞), y su inversa all´ı es x . En las funciones inversas (si f es inyectiva): Dom(f −1 ) = Im(f )

Im(f −1 ) = Dom(f ) .

e

Podemos definir as´ı inversas para las funciones seno, coseno y tangente si reducimos su dominio. Para sen x tomamos [−π/2, π/2], donde es inyectiva, y a su inversa la llamamos arcoseno, denot´andola por arc sen x; por tanto: Dom(arc sen x) = [−1, 1] ,

Im(arc sen x) = [−π/2, π/2] .

Para cos x tomamos el intervalo [0, π] ya que, en ´el, es inyectiva. Su inversa, el arcocoseno, que denotamos por arc cos x, tiene: Dom(arc cos x) = [−1, 1] ,

Im(arc cos x) = [0, π] .

La tangente tiene inversa, la arcotangente, cuando nos restringimos a (−π/2, π/2). Se denota por arctan x, y para ella Dom(arctan x) = R ,

Im(arctan x) = (−π/2, π/2) .

As´ı definidas, el arcoseno y el arcotangente son funciones impares; el arcocoseno no es par ni impar. La gr´afica de f −1 es f´acil de dibujar a partir de la de f , pues es la curva sim´etrica de la de f respecto a la recta y = x, que es la bisectriz del primer y el tercer cuadrante.

3.2.

L´ımites de funciones

Definici´ on 3.11. Decimos que l´ım f (x) = l (y se lee: el l´ımite cuando x tiende a x0 de f (x) es l) si para x→x0

todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que |f (x) − l| < ε si 0 < |x − x0 | < δ. Definici´ on 3.12. Un entorno reducido de x0 es un conjunto de la forma (x0 − δ1 , x0 + δ2 ) \ {x0 }, o lo que es lo mismo, (x0 − δ1 , x0 ) ∪ (x0 , x0 + δ2 ), para algunos δ1 , δ2 > 0. Teorema 3.1. Si existe el l´ımite cuando x tiende a x0 de f (x), entonces es u ´nico. Es decir, si l´ım f (x) = l x→x0

y l´ım f (x) = m, entonces l = m. x→x0

Teorema 3.2. Si existen l´ım f (x) y l´ım g(x), entonces: x→x0

(1) (2) (3) (4) (5)

x→x0

¡ ¢ l´ım f (x) + g(x) = l´ım f (x) + l´ım g(x) . x→x0 x→x0 ¡ ¢ ¡ ¢¡ ¢ l´ım f (x)g(x) = l´ım f (x) l´ım g(x) .

x→x0 x→x0

l´ım

x→x0

x→x0

l´ım f (x) f (x) x→x0 = , g(x) l´ım g(x) x→x0

x→x0

si l´ım g(x) 6= 0 . x→x0

¢ l´ım g(x) ¡ ¢g(x) ¡ l´ım f (x) = l´ım f (x) x→x0 , si el resultado es distinto de 00 . x→x0 ¢ l´ım loga f (x) = loga ( l´ım f (x) , si a > 0 y l´ım f (x) > 0 .

x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

El teorema anterior es tambi´en v´alido cuando alguno o ambos de los l´ımites de las funciones f y g son infinitos, siempre que las expresiones que aparecen con los l´ımites est´en definidas o tengan sentido. Dichas 15

expresiones y sus correspondientes valores son los siguientes (a denota siempre un n´ umero real) a + ∞ = ∞, ∞ + ∞ = ∞, ∞ · ∞ = ∞, a = 0, ∞

a = ±∞ , si a 6= 0 , 0 ∞a = ∞ , si a > 0 , ∞∞ = ∞ , a∞ = ∞ , si a > 1 , 0a = 0 , si a > 0 , loga 0 = −∞ , si a > 1 , loga ∞ = ∞ , si a > 1 ,

a − ∞ = −∞ , − ∞ − ∞ = −∞ , − ∞ · ∞ = −∞ , a · ∞ = ∞ , si a > 0 ,

∞a = 0 , si a < 0 , ∞−∞ = 0 , a∞ = 0 , si 0 ≤ a < 1 , loga 0 = ∞ , si 0 < a < 1 , loga ∞ = −∞ , si 0 < a < 1 .

Existen expresiones cuyo valor no se puede determinar previamente, ya que el resultado puede ser distinto en cada caso. A estas expresiones las llamamos indeterminaciones, y las m´as importantes son las siguientes: ∞ − ∞,

∞ 0 , , 0 · ∞ , ∞0 , 00 , 1∞ , 1−∞ . ∞ 0

Definici´ on 3.13. a) Decimos que l´ım+ f (x) = l (y se lee: el l´ımite cuando x tiende a x0 por la derecha de x→x0

f (x) es l) si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que |f (x) − l| < ε si x ∈ (x0 , x0 + δ). b) Decimos que l´ım− f (x) = l (y se lee: el l´ımite cuando x tiende a x0 por la izquierda de f (x) es l) si x→x0

para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que |f (x) − l| < ε si x ∈ (x0 − δ, x0 ). Teorema 3.3. Se tiene que l´ım f (x) = l si y s´ olo si l´ım+ f (x) = l´ım− f (x) = l. En particular, si x→x0

l´ım+ f (x) 6= l´ım− f (x), entonces no existe l´ım f (x).

x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

x→x0

Adem´as de los l´ımites anteriores podemos definir los l´ımites infinitos. Definici´ on 3.14. a) Decimos que l´ım f (x) = ∞ si para todo n´ umero real M existe un δ > 0 tal que x→x0

f (x) > M si 0 < |x − x0 | < δ. b) Decimos que l´ım f (x) = −∞ si para todo n´ umero real M existe un δ > 0 tal que f (x) < M si 0 < |x − x0 | < δ.

x→x0

− De forma similar pueden definirse los l´ımites infinitos cuando x → x+ 0 y x → x0 . Tambi´en pueden definirse los l´ımites de funciones en el infinito.

Definici´ on 3.15. a) Decimos que l´ım f (x) = l si para todo ε > 0 existe un n´ umero real M tal que x→∞

|f (x) − l| < ε si x > M . b) Decimos que l´ım f (x) = l si para todo ε > 0 existe un n´ umero real M tal que |f (x) − l| < ε si x < M.

x→−∞

De forma similar pueden definirse los l´ımites infinitos en el infinito. Debemos plantearnos ahora una pregunta importante: ¿son ciertos los teoremas anteriores para todas estas clases de l´ımites? La respuesta es s´ı, siempre que tengan sentido. Estudiemos cada caso particular con detalle. El Teorema 3.1 tambi´en se verifica para todos estos tipos de l´ımites, ya sean laterales, infinitos, en el infinito, etc. El Teorema 3.2 se verifica para todos estos tipos de l´ımites, ya sean laterales, infinitos, en el infinito, etc., con la u ´nica salvedad de que hay que dar sentido a expresiones en las que puede aparecer infinito. Dichas expresiones son las que ya se han visto antes. De igual forma, las indeterminaciones tambi´en son las mismas. El Teorema 3.3 tambi´en es cierto si el valor de los l´ımites es ∞ ´o −∞. 16

Teorema 3.4. Si l´ım f (x) = 1 y l´ım g(x) es ∞ ´ o −∞, entonces x→α

x→α

¡ ¢g(x) l´ım (f (x)−1)g(x) l´ım f (x) = ex→α ,

x→α

− si existe el l´ımite l´ım (f (x) − 1)g(x), donde α puede ser x0 , x+ o −∞. 0 , x0 , ∞ ´ x→α

4.

Continuidad

Definici´ on 4.1. Decimos que una funci´ on f es continua en el punto x0 si l´ım f (x) = f (x0 ). Es decir, f x→x0

es continua en x0 si para todo ε > 0 existe un δ > 0 tal que |f (x) − l| < ε si |x − x0 | < δ. Decimos que f es discontinua en el punto x0 si no es continua en dicho punto. Definici´ on 4.2. Un entorno de x0 es un intervalo abierto que contiene a x0 . Definici´ on 4.3. Si el l´ımite l´ım f (x) existe y es finito, pero f no es continua en x0 , decimos que f tiene x→x0

una discontinuidad evitable en x0 . Teorema 4.1. Si f tiene una discontinuidad evitable en x0 , la funci´ on g definida como ( f (x) , si x 6= x0 , g(x) = l´ım f (x) , si x = x0 , x→x0

es continua en x0 . Teorema 4.2. Si f (x) y g(x) son funciones continuas en x0 , entonces: (1) f (x) + g(x) es continua en x0 . (2) f (x)g(x) es continua en x0 . (3) f (x)/g(x) es continua en x0 , si g(x0 ) 6= 0. (4) (f (x))g(x) es continua en x0 , si (f (x))g(x) est´ a definida en un entorno del punto x0 . Teorema 4.3. Si f (x) es continua en x0 y g(x) es continua en f (x0 ), entonces la composici´ on (g ◦ f )(x) = g(f (x)) es continua en x0 . Teorema 4.4. Si l´ım f (x) = l y g(x) es una funci´ on continua en l, entonces l´ım g(f (x)) = g(l). Aqu´ı α x→α

x→α

− puede ser x0 , x+ o −∞. 0 , x0 , ∞ ´

Recordemos que al estudiar continuidad de funciones estamos calculando de nuevo l´ımites y que el l´ımite de una funci´on en un punto s´olo depende de c´omo es la funci´on alrededor de ese punto. Consecuentemente, si f = g en un intervalo abierto U , entonces f es continua en U si y s´olo si g es continua en dicho intervalo. Definici´ on 4.4. Decimos que f es continua por la derecha en x0 si l´ım+ f (x) = f (x0 ). Decimos que f es continua por la izquierda en x0 si l´ım− f (x) = f (x0 ).

x→x0

x→x0

De acuerdo con esto, una funci´on es continua en x0 si y s´olo si es continua por la derecha y por la izquierda en x0 .

5.

Derivadas

Definici´ on 5.1. Se define la derivada de f en el punto x0 como el l´ımite f (x0 + h) − f (x0 ) . h→0 h

f 0 (x0 ) = l´ım

Decimos que una funci´ on f es derivable en el punto x0 si su derivada en x0 existe y es finita. Decimos que f es derivable en un intervalo abierto si es derivable en todos los puntos de dicho intervalo. on derivable en el punto x0 , la recta tangente a la gr´ afica de la funci´ on Definici´ on 5.2. Si f es una funci´ f en el punto x0 es y = f (x0 ) + f 0 (x0 )(x − x0 ). 17