Cap´ıtulo 3 Funciones elementales En este cap´ıtulo se introducen la funciones elementales variable compleja: la exponencial, el logaritmo y las funciones trigonom´etricas e hiperb´olicas. Como veremos, muchas de las propiedades que estas funciones verifican en el caso real tambi´en se cumplen en el caso complejo. Pero tambi´en surgen propiedades distintas. Veremos, por ejemplo, que la exponencial compleja es una funci´on peri´odica o que las funciones sen y cos no est´an acotadas en C. l

3.1.

Funci´ on exponencial

l se define la funci´on exponencial compleja como Definici´ on 3.1 Dado z = x + iy ∈ C exp(z) = ex · (cos(y) + i sen(y)) Comparando esta expresi´on con la forma polar de los n´ umeros complejos se tiene que x | exp(z)| = e y que y es un argumento de exp(z). Observamos que esta definici´on es coherente con la notaci´on de Euler pues si z = 0 + iy, con y ∈ l-R, se tiene que eiy = cos(y) + i sen(y). Tambi´en se utiliza la notaci´on ez en vez de exp(z). En primer lugar comprobaremos que la funci´on exponencial compleja extiende a la exponencial real. Si z = x + i0, con x ∈ l-R, se tiene que exp(x + i0) = ex . Proposici´ on 3.1 La funci´on exponencial es derivable y su derivada es ella misma. Ejemplo 3.1 Exprese en forma polar y represente gr´aficamente eiπ , e2+iπ/2 y eiπ/4 . Ejemplo 3.2 Exprese en la forma ex+iy los n´ umeros complejos 2, 2i, −3, −2i. 19

20 Ejemplo 3.3 Halle la imagen de la recta y = π/4 mediante la funci´on exponencial. Ejemplo 3.4 Halle la imagen de la recta x = 1 mediante la funci´on exponencial. Ejercicio 3.1 Razone que si w 6= 0 siempre existe un z ∈ C l tal que ez = w. Ejercicio 3.2 Dados a, b ∈ l-R, halle la imagen de las rectas x = a e y = b mediante la funci´on exponencial. Ejercicio 3.3 Halle la imagen del conjunto A = [1, 2] × [0, π] mediante la funci´on exponencial. Proposici´ on 3.2 Para cualesquiera z1 , z2 ∈ C l se verifica exp(z1 + z2 ) = exp(z1 ) · exp(z2 ).

(3.1)

Corolario 3.1 Para cualquier z ∈ C l se verifica: 1. exp(z) 6= 0, 2. exp(−z) =

1 , exp(z)

3. (exp(z))n = exp(nz) ∀n ∈ ZZ. Las propiedades vistas hasta ahora son comunes a las exponenciales real y compleja. Veremos que tambi´en hay propiedades que verifica una y la otra no. Por ejemplo, sabemos que la exponencial real es inyectiva. La exponencial compleja no lo es, pues como establece corolario siguiente, es una funci´on peri´odica y sus periodos son de la forma 2kπi con k ∈ ZZ. Corolario 3.2 Para cualesquiera z1 , z2 ∈ C l se tiene que ez1 = ez2 si, y solamente si, z1 = z2 + 2kπi con k ∈ ZZ. on ez = 1 + i y repres´entelas gr´aficamente. Ejemplo 3.5 Halle las soluciones de la ecuaci´ Ejercicio 3.4 Demuestre que la funci´on exponencial es inyectiva si se restringe el conjunto de partida al conjunto A0 = l-R × (−π, π). Halle el conjunto imagen.

21

3.2.

El logaritmo complejo

En el caso real, la funci´on exponencial es inyectiva, y tambi´en sobreyectiva si restringimos el conjunto de llegada al intervalo (0, +∞). Puede considerarse entonces la funci´on inversa que es el logaritmo neperiano real. Para introducir el logaritmo en el caso complejo no puede seguirse exactamente el mismo procedimiento pues, como ya se ha mencionado, la funci´on exponencial compleja no es inyectiva y, si se considera su inversa, se obtiene una correspondencia no un´ıvoca. Para conseguir una funci´on univaluada el procedimiento que seguiremos ser´a elegir zonas donde la exponencial es inyectiva y considerar, en cada zona, la correspondiente funci´on inversa. As´ı se construyen las denominadas ramas del logaritmo. Dado w ∈ C l analicemos las soluciones de la ecuaci´on exp(z) = w Si z = x + iy y θ es un argumento de w, la ecuaci´on se escribe ex eiy = |w|eiθ e igualando m´odulos se obtiene, en el campo de los n´ umeros reales, la ecuaci´on ex = |w| de donde1 x = ln(|w|), si w 6= 0, y no tiene soluci´on si w = 0. Igualando ahora argumentos se obtiene y = θ + 2kπ para k ∈ ZZ. Tenemos pues que y puede ser cualquier argumento del n´ umero complejo w. Se define entonces el logaritmo como sigue Definici´ on 3.2 Sea w = 6 0, se dice que z es un logaritmo de w si exp(z) = w. Si |w| = ρ y θ es un argumento de w, los logaritmos de w son log(w) = {ln(ρ) + i(θ + 2kπ), k ∈ ZZ}.

(3.2)

Si de todos los posibles argumentos de w se elige el u ´nico que pertenece al intervalo (−π, π], se obtiene un u ´nico logaritmo que se denomina logaritmo principal. La instrucci´on log de Matlab calcula este logaritmo. Ejemplo 3.6 Calcule los logaritmos de: (a) 1 + i , (b) 1, (c) −1, (d) i. Ejercicio 3.5 Estudie si el logaritmo principal extiende a la funci´on logaritmo neperiano real. 1

Empleamos la notaci´on ln para el logaritmo neperiano real.

22 Ejercicio 3.6 Halle las soluciones de la acuaci´on ez = 1 + A0 = l-R × (−π, π).

p (3)i que pertenecen al conjunto

Seg´ un la definici´on anterior, el logaritmo asocia a cada n´ umero complejo w 6= 0 un conjunto de n´ umeros. Por tanto, el logaritmo as´ı definido resulta una ”funci´on mult´ıvoca esto es debido a que la funci´on exponencial es una funci´on peri´odica. Si deseamos obtener una funci´on univaluada que sea inversa de la exponencial basta restringirse a un dominio donde ´esta sea inyectiva. Si para α ∈ l-R se considera el conjunto Aα = (−∞, ∞) × (α − π, α + π), la funci´on exp : Aα −→ C l iα+π resulta inyectiva y su conjunto imagen es C l \ Hα , siendo Hα = {z = ρe : ρ ≥ 0}. Tenemos entonces que la funci´on 2

exp : (−∞, ∞) × (α − π, α + π) −→ C l \ Hα es biyectiva y, por tanto, podemos considerar su inversa que se denotar´a por logα . Tenemos entonces que si w ∈ C l Hα , w posee infinitos logaritmos que son ln(|w|) + iθ, donde θ es un argumento cualquiera de w. La funci´on logα asocia a w el u ´nico de estos logaritmos perteneciente al conjunto Aα = (−∞, ∞) × (α − π, α + π). Utilizando la funci´on argα se tiene que logα (w) = ln |w| + i argα (w). Definici´ on 3.3 Dado α ∈ l-R, se llama logα a la inversa de la funci´on exp : (−∞, ∞) × (α − π, α + π) −→ C l \ Hα Se tiene entonces que logα : C l \ Hα −→ (−∞, ∞) × (α − π, α + π) es logα (z) = ln |z| + i argα (z)

(3.3)

De la definici´on se deduce que logα (z) ∈ log(z) y, por lo tanto, elogα (z) = z para todo z∈C l − Hα . Tambi´en se verifica que si z ∈ Aα = (−∞, ∞) × (α − π, α + π), logα (exp(z)) = z, igualdad que es falsa si z ∈ / Aα . Ejemplo 3.7 Calcule: logπ (−1), log3π (−1), log0 (1), log2π (1). Proposici´ on 3.3 La funci´on logα : C l \ Hα −→ C l es anal´ıtica en su dominio de definici´on y su derivada es 1 d logα (z) = . dz z

23 Ejemplo 3.8 Halle el dominio de definici´on de f (z) = log0 (z 2 ) y calcule su derivada. 3π Ejercicio 3.7 Estudie si ∀α ∈ l-R es cierto que log(e1+i 2 ) = 1 + i 3π . 2

Ejercicio 3.8 Estudie si log0 puede extenderse como funci´on continua a los puntos del semieje real negativo. l Ejercicio 3.9 Dado α ∈ l-R, estudie si ∀z, w ∈ C\H α se cumple logα (z ·w) = logα (z)+logα (w). Ejercicio 3.10 Dado α ∈ l-R, estudie si ∀z ∈ C l \ Hα y ∀n ∈ lN se cumple que logα (z n ) = n logα (z). Ejercicio 3.11 Halle el dominio de definici´on de f (z) = log0 (1 − z) y calcule su derivada.

3.3.

Funciones trigonom´ etricas e hiperb´ olicas

En esta secci´on se definen las funciones trigonom´etricas e hiperb´olicas y se estudian sus principales propiedades. Las funciones se introducen a partir de la funci´on exponencial, extendiendo a las funciones trigonom´etricas e hiperb´olicas del caso real. Veremos que no todas las propiedades del caso real se verifican en el caso complejo. Dado t ∈ l-R se tienen las expresiones eit = cos(t) + i sen(t) e−it = cos(t) − i sen(t) Sumando y restando se obtiene sen(t) =

eit − e−it , 2i

cos(t) =

eit + e−it , 2

ecuaciones que expresan el sen y el cos de un n´ umero real en funci´on de la exponencial compleja. Parece entonces natural la definici´on siguiente: Definici´ on 3.4 Para z ∈ C l se definen eiz − e−iz 2i iz e + e−iz cos(z) = 2

sen(z) =

(3.4) (3.5)

24 Resulta obvio que estas funciones extienden al sen y al cos del caso real por lo que no hay ambig¨ uedad en la notaci´on. Proposici´ on 3.4 Las funciones sen y cos son enteras y sus derivadas son: d sen(z) d cos(z) = cos(z) y = − sen(z). dz dz Proposici´ on 3.5 Se verifican las siguientes propiedades: 1. Las funciones sen(z) y cos(z) son peri´ odicas de periodo 2π. 2. eiz = cos(z) + i sen(z) ∀z ∈ C. l l 3. sen(−z) = − sen(z) y cos(z) = cos(−z) z ∈ C. 4. sen2 (z) + cos2 (z) = 1. 5. sen(z1 + z2 ) = sen(z1 ) cos(z2 ) + sen(z2 ) cos(z1 ), ∀z1 , z2 ∈ C. l 6. cos(z1 + z2 ) = cos(z1 ) cos(z2 ) − sen(z1 ) sen(z2 ) , ∀z1 , z2 ∈ C. l Proposici´ on 3.6 Se verifica que: 1. sen(z) = 0 si, y s´olo si, z = kπ con k ∈ ZZ 2. cos(z) = 0 si, y s´olo si, z = π/2 + kπ con k ∈ ZZ. √ Ejemplo 3.9 Halle las soluciones de la ecuaci´ on sen(z) = 2. (Sol. z = ( π2 + 2kπ) − i ln(2 + 3) √ o z = ( π2 + 2kπ) − i ln(2 − 3) con k ∈ ZZ.) p Ejercicio 3.12 Halle las soluciones de la ecuaci´ on cos(z 2 ) = 0. (Sol. z = ± π2 + kπ con p + − k ∈ ZZ ∪ {0} o z = ± −kπ − π2 i con k ∈ ZZ ). El ejemplo siguiente muestra que no todas las propiedades del caso real se verifican en el caso complejo. Como sabemos, cuando x ∈ l-R, | sen(x)| ≤ 1. Esta propiedad no se cumple en C. l Ejemplo 3.10 Demuestre que sen(z) no est´a acotada cuando z ∈ C. l An´alogamente al caso real se definen el resto de funciones trigonom´etricas. Las funciones hiperb´olicas se definen como las reales.

25 Definici´ on 3.5 Para z ∈ C l se definen senh(z) =

ez − e−z 2

y

cosh(z) =

ez + e−z 2

De estas definiciones resulta obvio que extienden a las funciones senh y cosh reales. Es inmediato comprobar las siguientes proposiciones: Proposici´ on 3.7 Las funciones senh y cosh son enteras y sus derivadas son: d senh(z) = cosh(z) dz

y

d cosh(z) = senh(z). dz

Proposici´ on 3.8 Para z, z1 , z2 ∈ C se verifican 1. cosh2 (z) − senh2 (z) = 1, 2. senh(z1 + z2 ) = senh(z1 ) cosh(z2 ) + cosh(z1 ) senh(z2 ), 3. cosh(z1 + z2 ) = cosh(z1 ) cosh(z2 ) + senh(z1 ) senh(z2 ). Ejercicio 3.13 Verifique la relaciones: (a) senh(iz) = i sen(z), (b) cosh(iz) = cos(z). El resto de las funciones hiperb´olicas se definen como en el caso real:

tgh(z) =

senh(z) , si cosh(z) 6= 0 cosh(z)

sech(z) =

1 , ... cosh(z)

Ejercicio 3.14 Halle los ceros de senh(z) y cosh(z).

3.4.

Exponenciaci´ on y potenciaci´ on en Cl

En el caso de los n´ umeros reales, si x, y ∈ l-R, x > 0, se tiene xy = ey ln(x) Extendiendo esta expresi´on al caso complejo podemos definir z w como sigue:

26 Definici´ on 3.6 Para z 6= 0 se define z w = ew log(z) Ejemplo 3.11 Halle ii , 1i , iπ . Ejemplo 3.12 Halle e1/2 y verifique que no coincide con exp(1/2). Se observa que hay una ambig¨ uedad en la notaci´on: ez puede interpretarse como exp(z) o como la potencia ez , que son cosas diferentes. Cuando se escriba ez , salvo que se especifique otra cosa, se entender´a que es exp(z). Ejemplo 3.13 Estudie si es cierto que ∀m, n ∈ lN y ∀z 6= 0 se cumple que z m/n coincide con √ n zm. Si se desea obtener una exponenciaci´on univaluada se utiliza una ramas del logaritmo. Definici´ on 3.7 Sea α ∈ l-R y w ∈ C. l Para z ∈ C l \ Hα se define la potencia w de z como w logα (z) pw α (z) = e

Proposici´ on 3.9 La funci´on pw ıtica en C l \ Hα y su derivada es α (z) es anal´ 1/3

Ejercicio 3.15 Sea f (z) = p0 (z). 1. Calcule su dominio de definici´on A y el conjunto imagen B = f (A). 2. Sea g(z) = z 3 . Estudie si es cierto que g(f (z)) = z ∀z ∈ A. 3. Estudie si es cierto que f (g(z)) = z ∀z ∈ B. ¿Y para todo z ∈ C? l

w w−1 p (z). z α