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Departamento de Física Aplicada III Escuela Superior de Ingenieros Ingeniería de Telecomunicación Campos Electromagnéticos
´ Campos Electromagneticos. Bolet´ın 1. Octubre de 2002 Problemas b´ asicos 1.1. Expr´esense los siguientes campos vectoriales en coordenadas cartesianas, cil´ındricas y esf´ericas: x y ux + 2 uy A=r B=− 2 2 x +y x + y2 2 2 C = 2ρzuρ − (ρ − z )uz D = r tg θ uθ 1.2. Descr´ıbanse las superficies equipotenciales de los siguientes campos escalares a) φ = A · r
b) φ = r 2
c) φ = A · r + r 2
d) φ = r 2 /A · r
donde A es un vector constante y r es el vector de posici´ on. 1.3. Si φ = φ(u), con u = u(x, y, z), demu´estrese que dφ ∇u du
∇φ =
Encu´entrese ∇φ si a) φ = ln |r|, b) φ = r n , c) φ = 1/|r − r0 |. 1.4. Demu´estrese que el volumen limitado por una superficie cerrada ∂τ viene dado por 1 τ= 3
r · dS
∂τ
con r el vector de posici´ on respecto a un origen arbitrario. 1.5. H´ allese el valor de la integral
AdS
con A = cotg θur − uθ
y la superficie de integraci´ on una esfera de radio R centrada en el origen. 1.6. Demu´estrese que si φ es una funci´ on que depende de x, y y z a trav´es de una cierta funci´ on u, entonces d2φ dφ 2 ∇ u ∇2 φ = 2 (∇u)2 + du du A partir de aqu´ı, calc´ ulese el laplaciano de una funci´ on φ(r), que depende s´ olo de la distancia al origen. Pru´ ebese que ´este puede tambi´en escribirse de las siguientes formas ∇2 φ(r) = ∇2 φ(r) =
1 d2(rφ) r dr 2
1 d r 2 dr
r2
dφ dr
1.7. Demu´estrese que si r es el vector de posici´ on y B un campo vectorial arbitrario (B · ∇)r = B
(B ∧ ∇) · r = 0
(B ∧ ∇) ∧ r = −2B
Igualmente, para el caso particular en que B represente un vector constante, demu´estrese que ∇(B · r) = B
∇ · (B ∧ r) = 0
∇ ∧ (B ∧ r) = 2B
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1.2
1.8. Sean φ y A un campo escalar y uno vectorial, respectivamente, que dependen de la posici´ on a trav´es de la combinaci´ on r − r , esto es φ = φ(r − r )
A = A(r − r )
Demu´estrese que se cumplen las identidades siguientes ∇φ = −∇ φ
∇2 φ = ∇2 φ
∇ · A = −∇ · A
∇ ∧ A = −∇ ∧ A
on respecto a las componentes de r . donde el operador ∇ representa la derivaci´
on delta de Dirac en tres dimensiones como aquella distribuci´ on que verifica 1.9. Se define la funci´ δ(r) = 0
(r = 0)
δ(r) dτ = 1
´ ltima integral extendida a todo el espacio. Pr´ con la u uebese que: (a)
∇·
r r3
= 4πδ(r)
(b) ∇
2
1 |r − r0 |
= −4πδ(r − r0 )
1.10. H´ allese el laplaciano del campo vectorial A = rn r 1.11. Calc´ ulese el gradiente y el laplaciano de la funci´ on φ = 2z 2 − x2 − y 2 en coordenadas cartesianas, cil´ındricas y esf´ericas. Compru´ebese que los resultados son independientes del sistema de coordenadas elegido.
Problemas de nivel medio 1.12. H´ allese el flujo del campo A = r a trav´es de la superficie del tri´ angulo limitado por los v´ ertices (1, 0, 0), (0, 1, 0, (0, 0, 1). (Sugerencia: apl´ıquese el resultado del problema 1.4). 1.13. El campo de velocidades de un s´ olido puede escribirse como v(r) = v0 + ω ∧ r con v0 y ω constantes. Determ´ınense las fuentes escalares y vectoriales de este campo. 1.14. Determ´ınese la divergencia y el rotacional del campo vectorial A = ρ2 cos ϕ uρ + ρ2 sen ϕ uϕ empleando coordenadas cartesianas, cil´ındricas y esf´ericas.
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1.3
1.15. De las siguientes expresiones a) ∇(∇ · φ) e) ∇ · (∇ ∧ A) i) ∇ · (∇φ) m) (φ∇) · A
b) ∇ ∧ (∇φ) f) ∇ ∧ (∇ · A) j) ∇(∇ · A) n) (A · ∇) ∧ A
c) ∇ · (∇ · φ) g) ∇ ∧ (∇ ∧ A) k) (∇ · ∇)A o) (A · ∇)A
d) ∇ ∧ (∇ ∧ φ) h) ∇ · (∇ · A) l) (A · ∇)φ p) (A ∧ ∇) ∧ A
(donde φ es un cierto campo escalar y A uno vectorial) ind´ıquense cu´ ales no tienen sentido. De las ´lense las que son id´enticamente nulas. De las que no son nulas, calc´ que tienen sentido, se˜ na ulese su valor para los campos φ = xyz A = x2 ux + xzuy − xyuz ´ngulo s´ 1.16. H´ allese el a olido subtendido desde el origen de coordenadas por un disco horizontal de radio R situado a una altura h sobre el origen: (a) Utilizando coordenadas cil´ındricas (b) Usando coordenadas esf´ ericas (Sugerencia: En lugar del disco empl´eese otra superficie que ´ngulo s´ subtienda el mismo a olido).
Problema propuesto 1.17. De los siguientes campos, ind´ıquese cuales son solenoidales, cu´ ales son irrotacionales y cu´ ales arm´ onicos (a) A = yzux + xzuy + xyuz (b) B = ρuϕ (c) C = rur − ρuρ (d) D = 2r 2 − 3ρ2 (e) E = z/ cos θ (f) F = r sen θuϕ + yux − ρ cos ϕuy
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´ Campos Electromagneticos. Bolet´ın 2. Octubre de 2002 Problemas b´ asicos 2.1. Un electroscopio mide la carga por la desviaci´ on angular de dos esferas id´enticas conductoras, suspendidas por cuerdas aislantes de masas despreciables y longitud l. Cada esfera tiene una masa m y est´ a sometida a la gravedad g. Las cargas pueden considerarse como puntuales e iguales entre s´ı. H´ allese la ecuaci´ on que liga el semi´ angulo θ con el valor de la carga total Q depositada en las esferas. Sup´ ongase que la masa de cada esfera es m = 10−4 kg y la longitud del cable del que penden ´ngulos de desviaci´ es 20 cm. Adm´ıtase asimismo que los a on puede medirse como mucho con al es la carga m´ınima que puede medirse con este aparato? ¿Y la carga una precisi´ on de 1◦ . ¿Cu´ m´ axima? 2.2. El tubo de rayos cat´ odicos de un osciloscopio consiste en un haz de electrones que son emitidos por un c´ atodo con velocidad horizontal v0 = v0 ux . Estos electrones pasan entre dos placas paralelas, separadas una distancia b, entre las cuales existe la tensi´ on que se pretende medir, de forma que el campo el´ ectrico entre ellas tiene el valor −V /buz . Estas placas tienen una longitud w. A una distancia L del fin de las placas se encuentra una pantalla, sobre la cual inciden los electrones. Calc´ ulese la altura del punto de impacto en funci´ on de la tensi´ on aplicada y los restantes par´ ametros del sistema. ¿C´ omo se consigue que el haz de electrones barra la pantalla y no se mueva s´ olo verticalmente? 2.3. Sean dos cargas puntuales q1 y q2 , situadas la primera en el origen de coordenadas y la segunda estrese que existe un punto en que el campo el´ectrico se anula. H´ allese la posici´ on en auz . Demu´ de tal punto, teniendo en cuenta las diferentes posibilidades en cuanto a signos y magnitudes de las dos cargas. ¿Existe alg´ un caso en que no haya punto de campo nulo? 2.4. Se disponen siete cargas iguales en los v´ertices de un oct´ ogono regular situado en el plano xy, con anto vale el campo centro el origen, quedando vac´ıo el octavo v´ertice, situado en r = aux . ¿Cu´ el´ectrico en el centro del oct´ ogono? ¿Y en los dem´ as puntos del eje z? 2.5. Dos l´ıneas infinitas con densidad de carga λ y −λ se colocan paralelamente a una distancia 2a una de la otra. H´ allese: (a) El campo el´ ectrico en todos los puntos del espacio. (b) Consid´ erese el l´ımite en que a → 0, λ → ∞ con λa → b = cte. ¿A qu´e tiende el campo el´ectrico en este l´ımite?
-l
V
z
l y a
v0
x
w L
Problema 2.2
Problemas 2.5 y 2.11
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2.2
2.6. Se consideran dos planos paralelos, separados una distancia a. Uno de ellos, situado en x = −a/2 posee una distribuci´ on de carga uniforme σ0 , mientras que la del otro es −σ0 . H´ allese el campo el´ectrico en todos los puntos del espacio. Asimismo, determ´ınese el campo para el caso de tres planos paralelos entre s´ı y equiespaciados una distancia a. El central posee una densidad de carga superficial 2σ0 , mientras que los otros dos la tienen de −σ0 cada uno. 2.7. H´ allese el campo el´ ectrico en todos los puntos del eje de un anillo de radio R sobre el cual hay una densidad de carga uniforme λ. A partir de este resultado, calc´ ulese el campo creado por una corona circular de radios R1 y R2 (R1 < R2 ), sobre la cual hay una densidad de carga uniforme σ0 , en los puntos de su eje. ¿A que se reduce si R1 → 0? ¿Y si R2 → ∞? Consid´erese en particular el comportamiento en las proximidades de z = 0. 2.8. Se tienen dos esferas del mismo radio, cargadas uniformemente, una de ellas con densidad de carga +ρ y la otra con densidad de carga −ρ. Dichas esferas se colocan de forma que sus centros distan una cantidad a, menor que el radio de las esferas, por lo cual intersecan como se ve en la figura. (a) Calc´ ulese el campo el´ ectrico en la zona de intersecci´ on. (b) H´ allese la expresi´ on del campo el´ectrico en puntos exteriores a las dos esferas y alejados de las mismas. (c) En el l´ımite ρ → ∞, a → 0, con ρa → b = cte calc´ ulese la densidad de carga superficial que aparece en la esfera resultante. allese el flujo del 2.9. Se tienen dos cargas puntuales de valor q situadas en los puntos ±(a/2)uy . H´ campo el´ ectrico a trav´ es de un tri´ angulo con v´ertices en los puntos aux , auy y auz . 2.10. H´ allese el potencial creado por dos cargas q1 , −q2 situadas a una distancia a una de la otra. Demu´estrese que la superficie equipotencial V = 0 es una esfera. 2.11. Dos l´ıneas infinitas con densidades de carga +λ y −λ est´ an situadas verticalmente sobre los puntos x = ±a, y = 0. H´ allese el potencial el´ ectrico tomando el origen de coordenadas como referencia. Demu´ estrese que las superficies equipotenciales son cilindros rectos y h´ allese el centro y el radio en funci´ on del potencial V . 2.12. Se tiene una esfera con una densidad de carga uniforme ρ0 , de radio R y centro el origen, en la que se ha horadado una cavidad, tambi´en esf´erica, de radio R/2 y centro un punto situado a una distancia R/2 del centro de la esfera de radio R. H´ allese el trabajo necesario para traer una carga desde el infinito hasta el origen de coordenadas (centro de la esfera de carga).
z
-r R2
a
R1
Problema 2.7
q ·
+r
q ·
x Problema 2.8
Problema 2.9
y
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2.3
2.13. H´ allese los momentos monopolar (carga) y dipolar de las siguientes distribuciones de cargas. Descr´ıbase el campo y el potencial el´ ectrico a gran distancia de las mismas: (a) Dos cargas de valor +q en los puntos ±auz (b) Tres cargas positivas +q en los puntos aux , auy , auz y tres negativas −q en −aux , −auy , −auz . (c) Una varilla vertical de longitud L, centrada en el origen, con densidad de carga uniforme λ. (d) La misma varilla con una distribuci´ on de carga λ = kz. (e) Una superficie esf´ erica sobre la cual hay una distribuci´ on de carga σs = σ0 cos θ. (f) La misma superficie con distribuciones σs = σ0 cos2 θ, σs = σ0 sen θ y σs = σ0 sen θ cos φ (g) Una esfera con densidad de carga ρ = ρ0 cos θ. 2.14. El campo el´ ectrico en las proximidades de un televisor encendido es de aproximadamente 600 kV/m. Este campo es debido a la acumulaci´ on de electrones en la pantalla. (a) H´ allese la carga total acumulada en un televisor de 21 pulgadas de formato 4:3, tanto en culombios como en n´ umero de electrones. (b) Calc´ ulese, en primera aproximaci´ on, el campo el´ectrico a 2.5 m de la pantalla. (c) Es conocido que los televisores atraen el polvo. Sup´ ongase que una part´ıcula de polvo de on se encuentra a 10 cm de la pantalla. ¿Con qu´ e masa m = 10−19 kg con carga la de un prot´ velocidad impacta en esta? ¿Con qu´e energ´ıa cin´etica llega?
Problemas de nivel medio ´tomo de hidr´ 2.15. En el modelo at´ omico de Bohr, el estado fundamental del a ogeno consiste en un ´rbitas circulares de radio a0 en torno al prot´ on en el centro del ´ atomo, y un electr´ on describiendo o n´ ucleo. (a) H´ allese la fuerza que el prot´ on ejerce sobre el electr´ on y la aceleraci´ on de ´este. (b) Calc´ ulese la velocidad orbital del electr´ on. Comp´ arese esta velocidad con la de la luz. (c) Determ´ınese el periodo orbital del electr´ on y la velocidad angular. (d) Comp´ arese la fuerza el´ ectrica con la fuerza gravitatoria prot´ on-electr´ on. on: mp = 1.67 × Datos: Carga del prot´ on y del electr´ on: ±e = ±1.60 × 10−19 C; masa del prot´ −27 kg; masa del electr´ on: me = 9.11 × 10−31 kg; radio de Bohr: a0 = 5.29 × 10−11 m; ke = 10 on 1/(4πε0 ) = 8.98 × 109 N m2 /C2 ; velocidad de la luz c = 3.00 × 108 m/s; constante de gravitaci´ universal: G = 6.67 × 10−11 N m2 /kg2 .
q ·
l R
Problema 2.16
z
b
q·
g
a ·Q
j' R
x Problema 2.17
Problema 2.18
y
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2.4
2.16. Se dispone de tres cargas, una de valor Q y las otras dos de valor q. Estas cargas se ensartan en un anillo circular de radio R sobre el cual pueden deslizar libremente. Determ´ınese la ecuaci´ on para ´ngulos del tri´ los a angulo que forman las tres cargas. ¿Cu´ al es la soluci´ on para los casos Q q, Q = q y Q q? 2.17. H´ allese el campo creado por un segmento rectil´ıneo de longitud L dotado de una densidad de carga λ. A partir del resultado anterior, calc´ ulese el campo el´ectrico en cualquier punto del eje que pasa por el centro de un pol´ıgono regular de N lados de apotema R y densidad de carga λ. ¿A qu´e tiende el resultado cuando N → ∞? 2.18. Un anillo de radio R posee una carga Q distribuida uniformemente. Este anillo se encuentra en un plano horizontal, a una distancia a del un plano conductor puesto a tierra. (a) H´ allese el campo el´ ectrico y el potencial en todos los puntos del eje del anillo. (b) H´ allese la densidad de carga superficial en el punto del plano situado justo en el eje del anillo. (c) ¿Cu´ anto vale aproximadamente el potencial en puntos alejados del anillo, no necesariamente en su eje? 2.19. Dos planos se encuentran cargados uniformemente con densidades de carga +σ0 y −σ0 y se cortan ´ngulo recto. Encu´ formando un a entrese el campo el´ectrico y las l´ıneas de campo en todos los puntos del espacio. 2.20. Se tiene una distribuci´ on de carga uniforme ρ0 , que ocupa un volumen cil´ındrico de radio R y longitud infinita. En este cilindro se ha horadado un hueco esf´erico, tambi´en de radio R. Se toma como eje z el del cilindro y origen de coordenadas el centro del hueco. (a) H´ allese el campo el´ ectrico en el interior del hueco. (b) Calc´ ulese el potencial el´ ectrico en el hueco, tomando como origen de potencial el centro del hueco. (c) Calc´ ulese el trabajo para mover una carga q desde el punto Ruz al punto Rux , a lo largo de un arco de circunferencia sobre la superficie del hueco. 2.21. Se tienen dos cargas puntuales de valor q que solo pueden moverse a lo largo del eje z. En el plano xy y con centro el origen se encuentra un anillo de radio R sobre el cual hay distribuida uniformemente una carga −Q. Suponiendo que las cargas est´ an situadas sim´etricamente respecto al anillo, h´ allese la posici´ on de equilibrio del sistema, as´ı como el valor m´ınimo de Q para que exista esta posici´ on. 2.22. Se tienen cuatro posibles campos el´ ectricos. En la regi´ on r < R, vienen dados por las expresiones
E1 = E0
r r 8−6 cos θur + E0 9 − 8 sen θuθ R R
E3 = 2E0 cos θur − 2E0 sen θuθ
E4 = E0 6
E2 = −E0 cos θur + E0 sen θuθ
r r − 4 cos θur + E0 4 − 3 sen θuθ R R
mientras que en la regi´ on r > R todos vienen dados por la misma expresi´ on E=2
E0 R3 E0 R3 cos θu + sen θuθ r r3 r3
(a) Ind´ıquese cuales pueden ser campos electrost´ aticos. (b) Para los casos posibles, calc´ ulense las densidades de carga que producen los campos. 2.23. Se tienen dos discos pl´ asticos de radio 1 cm y espesor despreciable, sobre los cuales se distribuyen de manera uniforme cargas de +1 µC y −1 µC respectivamente. Estos discos se disponen paralelamente en z = ±a/2. Determ´ınese
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2.5
(a) El valor aproximado de la diferencia de potencial entre los centros cuando la distancia a = 1 mm (b) El valor aproximado del voltaje si a = 1 m. (Para ello deben tenerse en cuenta tanto el potencial que un disco crea en su propio centro como el que un disco crea en el otro). (c) Determ´ınese exactamente la diferencia de potencial entre los centros para cualquier valor de a. Comp´ arese el resultado con los dos anteriores. ¿Cu´ anto es, aproximadamente, el error cometido en el primer apartado? ¿Y en el segundo? 2.24. Se tiene un dipolo puntual p1 = puz sobre el cual situamos el origen de coordenadas. Se coloca un segundo dipolo de la misma magnitud, pero diferente orientaci´ on, en el punto auz . (a) H´ allese la fuerza y el par que el primer dipolo ejerce sobre el segundo si este est´ a orientado como p2 = puz . (b) Calc´ ulese el valor num´ erico de esta fuerza si los dos dipolos son mol´eculas de agua (p = −30 6.14 × 10 C · m) situadas a una distancia de 1 nm. (c) Rep´ıtase el c´ alculo si p2 = pux . (d) General´ıcense los resultados anteriores hallando la expresi´ on vectorial para la fuerza y el par que un dipolo ejerce sobre otro, suponiendo que uno de ellos se encuentra en el origen de coordenadas y el otro en un punto r.
Problemas de ampliaci´ on 2.25. Descr´ıbase el movimiento de una carga puntual q, de masa m, situada en cada uno de los campos el´ectricos siguientes: (a) Un campo uniforme E0 (b) Un campo oscilante de baja frecuencia E = E0 cos(ωt). (c) El campo de otra carga puntual, Q situada en el origen. Dist´ınganse los casos seg´ un el signo de Q. (d) El campo producido por una nube de carga esf´erica, de radio R y densidad ρ, suponiendo que la carga q permanece en todo momento en el interior de la nube. 2.26. Sean dos cargas, ±q situadas en posiciones ∓auz , sobre el eje z. Para una l´ınea de campo arbitra´ngulo que forma con el eje, en su punto de partida y la distancia a ria, h´ allese la relaci´ on entre el a este mismo eje cuando pasa por el plano z = 0. (Sugerencia: Empl´eese la ley de Gauss, aplicada a un tubo de campo.) 2.27. Se tiene una superficie esf´ erica hueca, de radio R, sobre la cual hay una distribuci´ on de carga σs , no uniforme. No hay m´ as carga en el sistema. (a) Pru´ ebese que el potencial en el centro de la esfera es V =
1 Q 4πε0 R
siendo Q la carga total de la distribuci´ on. (b) Pru´ ebese que el campo el´ ectrico en el centro de la esfera es E=−
1 p 4πε0 R3
siendo p el momento dipolar de la distribuci´ on.
Problemas propuestos Los problemas propuestos son el 3.10, 3.17 y 3.21 del libro Engineering Electromagnetics de N. Ida.
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´ Campos Electromagneticos. Bolet´ın 3. Noviembre de 2002 Problemas b´ asicos 3.1. Se tiene un cubo hueco de paredes conductoras, cinco de las cuales se encuentran puestas a tierra, mientras la sexta est´ a a un potencial V . ¿Cu´ anto vale el potencial en el centro del cubo? ¿Por qu´ e? ¿Cu´ anto valdr´ıa si cada cara estuviera a un potencial distinto? ¿Y si en vez de un cubo se tratara de un tetraedro? ¿C´ omo se extiende el resultado al caso de una esfera con una cierta distribuci´ on de potencial sobre su superficie? 3.2. En un sistema de tres conductores se conocen los coeficientes de capacidad Cij . Si dos de los conductores se unen mediante un hilo conductor ideal, ¿cu´ anto vale la matriz del nuevo sistema de dos conductores en funci´ on de los coeficientes de capacidad antiguos? 3.3. En una esfera met´ alica de radio R se han hecho dos cavidades, tambi´en esf´ericas, de radio R/2. Conc´entricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas met´ alicas de radio R/4. No hay m´ as conductores en el sistema. Sup´ ongase que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada, al es la carga en mientras que las interiores se encuentran a tensi´ on V0 y 0, respectivamente. ¿Cu´ cada conductor? ¿Y el potencial? 3.4. H´ allese la capacidad por unidad de longitud de un cable coaxial formado por dos conductores cil´ındricos conc´ entricos de radios a y b (b > a). Sup´ ongase que se construye un condensador coaxial formado por un n´ ucleo interior cil´ındrico de radio a, rodeado de una corteza cil´ındrica conc´entrica de radio b (que se puede colocar a una tensi´ on V ), envuelta a su vez por un blindaje exterior, tambi´en cil´ındrico y conc´entrico de radio c, tambi´en puesto a tierra. ¿Cu´ al es la capacidad por unidad de longitud de este sistema? 3.5. Sea un sistema de tres esferas alineadas y equiespaciadas. En este sistema, ¿qu´e coeficientes de potencial son iguales entre s´ı? ¿Cu´ ales diferentes? Adm´ıtase que p11 = p22 , y que inicialmente en la esfera central hay una carga Q, estando las otras dos descargadas. Suponiendo que la esfera central se conecta alternativamente a la esfera 1 y a la 3. ¿C´ omo quedan las cargas despu´ es de la primera conexi´ on 1-2? ¿y despu´es de la conexi´ on 2-3? ¿c´ omo quedar´ a despu´ es de infinitas conexiones? V0
1=1' 3 2' 2 Problema 3.1
Problema 3.2
Problema 3.3
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3.2
3.6. Cuando se aplica un campo el´ ectrico uniforme E0 = E0 uz a una esfera conductora de radio a, se produce una separaci´ on entre cargas positivas y negativas. De esta forma, el campo total en el exterior (incluyendo el debido a la propia esfera) equivale a la suma del campo aplicado m´ as el campo de un dipolo puntual, situado en el centro de la esfera. (a) H´ allese el valor del momento dipolar equivalente a las cargas de la esfera. (b) Calc´ ulese la densidad de carga sobre la superficie esf´erica. (c) Determ´ınese el valor de la presi´ on electrost´ atica sobre el conductor. Si la esfera fuera de un material fluido (agua, por ejemplo), ¿c´ omo tender´ıa a deformarse?
Problemas de nivel medio 3.7. Consid´erese el sistema de conductores de la figura. Est´ a formado por cuatro conductores, de los cuales el 1 y el 2 son sim´ etricos con el 4 y el 3, respectivamente. En este sistema, ¿qu´ e coeficientes de capacidad e inducci´ on son nulos? ¿Cu´ ales positivos? ¿Cu´ ales negativos? ¿Cu´ ales iguales entre s´ı? Sup´ ongase que mediante finos hilos conductores se conecta el conductor 1 con el 3, y el 2 con el 4. ¿C´ omo queda la nueva matriz de capacidades a partir de la matriz del sistema original? 3.8. Pru´ebese que, dado un sistema de conductores, siempre se verifica Cii > 0 pij > 0
Cij ≤ 0 (i = j)
∀ i, j
pii ≥ pij
∀j
¿En qu´e caso se cumple pii = pij con j = i? ´ngulos 3.9. Consid´erese la disposici´ on de la figura, constituida por cuatro placas cuadradas formando a rectos. El lado de las placas es b y la distancia al centro es a. Despreciando efectos de borde (esto, es, admitiendo que las l´ıneas de campo son arcos de circunferencia), determ´ınense la matriz de capacidades del sistema. ¿Es posible hallar los coeficientes de potencial? 3.10. Se tiene un sistema formado por tres conductores c´ ubicos de arista b, tal como indica la figura. La distancia entre dos cubos consecutivos es a b, la misma que los separa de un conductor exterior que rodea completamente a los tres conductores. Este conductor exterior se encuentra permanentemente a tierra. (a) H´ allese la carga y el potencial de cada conductor cuando los cubos laterales se encuentran a una tensi´ on V0 , y el cubo central almacena una carga Q0 . b
a
c
1
2
3
1
4
2
Problema 3.4
Problema 3.5
3
Problema 3.7
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3.3
(b) Sup´ ongase que, partiendo de la situaci´ on anterior, se desconectan los cubos laterales, sin descargarlos, y se conecta el central a uno de los laterales, ¿cu´ anto valen entonces las cargas y los potenciales en cada conductor? Despr´eciense los efectos de borde. 3.11. Un condensador real puede estar formado por dos finas tiras met´ alicas de ancho w = 0.5 cm y longitud l = 2 m. Entre las dos tiras se intercala tiras de papel diel´ectrico (cuya permitividad es 2 veces la del vac´ıo) de espesor a = 0.1 mm. El conjunto se enrolla formando una espiral, si bien, a la hora de hallar la capacidad, puede despreciarse el efecto de la curvatura y considerar el sistema como compuesto de planos paralelos. H´ allese aproximadamente el valor de la capacidad del condensador indicado (recu´erdese que las l´ aminas met´ alicas tienen dos caras). La capacidad de un condensador relleno de diel´ectrico es an´ aloga a la del vac´ıo, sustituyendo ε0 por la permitividad del material. La l´ amina de diel´ ectrico s´ olo puede soportar campos el´ectricos inferiores a un cierto umbral. Por encima de este campo m´ aximo salta una chispa y se perfora el condensador, destruy´endose. Si el campo de ruptura para el papel es de 6 MV/m, h´ allese el voltaje m´ aximo que puede soportar el condensador, as´ı como la carga m´ axima que puede almacenar.
ectrica se produce cuando el campo el´ectrico entre dos conductores supera un valor 3.12. La ruptura diel´ cr´ıtico, saltando una chispa en el vac´ıo, o quemando el diel´ectrico que pueda haber en medio. Una situaci´ on en la que puede producirse la ruptura es la siguiente. Sup´ onganse dos placas met´ alicas planas de secci´ on S0 situadas paralelamente a una distancia a una de la otra. La placa inferior se encuentra a tierra y la superior a un potencial V0 . (a) Sobre la placa inferior se encuentra depositada una chapa (que podemos suponer plana y de espesor despreciable) de secci´ on S. H´ allese la carga que se deposita en la chapa. (b) Sup´ ongase que esta chapa se separa de la placa inferior, qued´ andose aislada, y se acerca a la superior (manteni´ endose siempre paralela a ambas). Cuando se halla a una distancia x de la placa inferior, ¿cu´ al es su tensi´ on? ¿Cu´ anto vale el campo el´ectrico entre la chapa y la placa superior? al es la posici´ on x en la cual se produce (c) Si el campo para que se produzca la chispa es E0 , ¿cu´ la chispa? anto var´ıa en ese (d) Cuando se produce la chispa, la tensi´ on de la chapa pasa a ser V0 , ¿cu´ proceso la carga almacenada en la chapa? ¿Y la carga almacenada en la placa superior? Despr´eciense los efectos de borde.
b
a
b
a Problema 3.9
a Problema 3.10
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3.4
3.13. La figura representa una esfera met´ alica descargada de radio a en la cual se han horadado dos cavidades esf´ ericas de radios b y c. En el centro de la segunda se encuentra otra esfera met´ alica, de radio c/2 conc´ entrica con el hueco. (a) Sup´ ongase que en el centro del hueco de radio b se coloca una carga puntual q y en la esfera interior se deposita una carga Q. Determ´ınese el potencial el´ectrico en todos los puntos del espacio. (b) Rep´ıtase el c´ alculo admitiendo que en la esfera interior, en lugar de una carga Q se fija el potencial a V . (c) Si en la situaci´ on del primer apartado se conecta la esfera interior a la esfera exterior, ¿c´ omo cambian los resultados? 3.14. Se tienen tres superficies cil´ındricas met´ alicas conc´entricas. de radios R, 2R y 6R. La longitud de las tres superficies, h, es mucho mayor que su radio, por lo que pueden despreciarse los efectos de borde. Inicialmente, el cilindro exterior se encuentra puesto a tierra. El intermedio est´ a aislado, pero allese el almacena una carga Q2 . El interior, tambi´en aislado, almacena una carga total Q1 . H´ potencial el´ ectrico en todos los puntos con r < 6R, z < h. Sup´ ongase que, sin tocar los otros dos cilindros, el cilindro interior se conecta a un generador que e carga se acumula en este cilindro? ¿A qu´e potencial se pone el cilindro fija su tensi´ on en V0 , ¿qu´ intermedio? 3.15. Sup´ ongase el sistema de la figura, formado por una esfera met´ alica de radio R, inicialmente descargada; una corteza de radio 2R (conc´entrica con la anterior) sobre la cual hay depositada una carga Q, distribuida uniformemente; y una corteza met´ alica, tambi´en conc´entrica, de radio 4R, que inicialmente se halla sin carga. De la esfera interior sale un cable que puede dejarse desconectado, conectarse a la c´ ascara exterior o conectarse a tierra (potencial cero). (a) Determ´ınese el potencial al que se encuentra cada una de las esferas en el momento inicial. (b) Adm´ıtase que el interruptor se pasa a la posici´ on A, conectando los dos conductores. H´ allese la nueva distribuci´ on de cargas y potenciales. (c) Si ahora el interruptor se pasa de la posici´ on A a la B, de forma abrupta, ¿cu´ anto valen los nuevas cargas y potenciales? (d) Rep´ıtanse los apartados (b) y (c), suponiendo que el interruptor se hubiera pasado en primer lugar a la posici´ on B y de ah´ı a la A. El posible campo el´ ectrico creado por los hilos puede considerarse despreciable.
Q
b
V0
a S0
a
c
x
A
S Problema 3.12
B
Problema 3.13
Problema 3.15
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3.5
3.16. Se tiene el sistema de la figura, formada por una corteza esf´erica (conductor “1”) de radio interior b y exterior c. En su interior hay dos conductores pr´ acticamente semiesf´ericos (“2” y “3”), de radio a y separados una peque˜ na distancia w. Despreciando los efectos de borde, (a) H´ allense los coeficientes de capacidad e inducci´ on del sistema. (b) Determ´ınense los potenciales a que se ponen estos conductores cuando almacenan cargas Q1 , Q2 y Q3 , respectivamente. ¿En qu´e caso es nulo el potencial de la corteza exterior? 3.17. Sup´ ongase una superficie esf´ erica conductora el´ astica. Inicialmente, esta superficie posee radio R0 y almacena una cierta cantidad de aire, a una presi´ on igual a la exterior (que es la atmosf´erica). Si se deposita una cierta cantidad de carga sobre la superficie, la repulsi´ on entre cargas provoca una presi´ on que dilata la esfera, disminuyendo la presi´ on interior (de acuerdo con la ley de los gases ideales). (a) H´ allese la ecuaci´ on que liga el radio de la esfera con la carga almacenada. allese, en (b) Sup´ ongase que la carga es peque˜ na, de forma que R = R0 + ∆R (∆R R0 ). H´ primera aproximaci´ on, el valor de ∆R. (c) Calc´ ulese el valor de ∆R para el caso de Q = 1 µC y R0 = 1 cm Dato: p0 = 1 atm = 101325 Pa.
Problema de ampliaci´ on 3.18. Como generalizaci´ on del problema 3.2, sup´ ongase que se tiene un conjunto de N conductores aislados, con cargas Qi . En un momento dado se conectan dos de ellos por un hilo ideal, produci´endose una redistribuci´ on de cargas. Los conductores se vuelven a desconectar. Las nuevas cargas en cada conductor son proporcionales a las antiguas en la forma Q = M · Q H´ allese la relaci´ on entre la matriz M y la de coeficientes de capacidad, C, que relaciona las cargas con los potenciales
Problemas propuestos Los problemas propuestos son el 4.27 y 4.28, del libro Engineering Electromagnetics de N. Ida, as´ı como el 2.38 de Introduction to electrodynamics, 3a ed de D.J. Griffiths (este problema es el 2.39 en la segunda edici´ on). 1
c
3
2
a b
w
Problema 3.16
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´ Campos Electromagneticos. Bolet´ın 4. Diciembre de 2002 Problemas b´ asicos 4.1. Se tiene una carga puntual de valor q situada a una distancia a de un plano conductor puesto a tierra. Por detr´ as del plano no hay nada. (a) Calc´ ulese la fuerza que el plano ejerce sobre la carga puntual. (b) H´ allese la energ´ıa necesaria para traer la carga desde el infinito hasta el punto que ocupa. (c) ¿c´ omo cambian los resultados si al otro lado del plano hay una carga q1 situada a una distancia b del mismo? Sup´ ongase que las dos cargas no est´ an en la misma perpendicular al plano. 4.2. Sup´ ongase que tenemos una carga puntual q situada frente a una esquina formada por dos semiplanos conductores puestos a tierra. H´ allese (a) El potencial en todos los puntos del espacio. (b) La fuerza sobre la carga q. alica conduc4.3. Se coloca una carga puntual de valor q a una distancia r0 del centro de una esfera met´ tora de radio R. La esfera est´ a conectada a un generador que fija su potencial en V . Determ´ınese la distribuci´ on de potenciales y campos en el sistema. ¿C´ omo se comporta el sistema a grandes distancias del mismo? H´ allese la fuerza que la esfera ejerce sobre la carga puntual en funci´ on de la distancia entre ´ esta y el centro de la esfera. ¿Cu´ al es la energ´ıa necesaria para traer la carga q desde el infinito hasta una distancia r0 del centro de la esfera? Rep´ıtase el problema para el caso en que la esfera, en lugar de estar a potencial constante, se encuentre aislada y almacene una carga Q. Consid´erese, en particular, el caso Q = 4πε0 RV . 4.4. Si en lugar de una esfera, disponemos de un hueco met´ alico esf´erico, puesto a potencial V , en el al es el campo el´ectrico en el interior del cual se ubica una carga q a una distancia r0 del centro, ¿cu´ interior del hueco? ¿Cu´ anto vale la fuerza sobre la carga q?
R q
q
q b V
a Problemas 4.1 y 4.12
r0
a Problema 4.2
Problema 4.3
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4.2
Problemas de nivel medio 4.5. Sup´ ongase que, como en el problema 4.2, tenemos una carga puntual q situada entre dos semipla´ngulo nos conductores puestos a tierra, pero que, en lugar de cortarse ortogonalmente, forman un a α. ¿Para qu´ e valores de α existe soluci´ on sencilla por el m´etodo de las im´ agenes? 4.6. H´ allese el potencial en todos los puntos del espacio cuando frente a un plano conductor puesto a tierra se halla un dipolo puntual de valor p. 4.7. Se tienen dos l´ıneas infinitas paralelas, situadas paralelamente al eje z y sobre los puntos x = ±a, y = 0. Ambas l´ıneas poseen una densidad de carga uniforme +λ (a) H´ allese la fuerza que se ejerce sobre un segmento de longitud L de una de las l´ıneas. (b) Sup´ ongase que en x = 0 se coloca un plano infinito conductor puesto a tierra. ¿Cu´ al es entonces el valor de la fuerza? (c) ¿C´ omo queda el apartado anterior si el plano se coloca sobre la recta x = y? 4.8. Un anillo de radio R posee una carga Q distribuida uniformemente. Este anillo se encuentra en un plano horizontal, a una distancia a del un plano conductor puesto a tierra. (a) H´ allese el campo el´ ectrico y el potencial en todos los puntos del eje del anillo. (b) H´ allese la densidad de carga superficial en el punto del plano situado justo en el eje del anillo. (c) ¿Cu´ anto vale aproximadamente el potencial en puntos alejados del anillo, no necesariamente en su eje? 4.9. Sup´ ongase una superficie esf´ erica met´ alica, de radio R, aislada y descargada. En el exterior de la esfera se tiene una carga q2 a una distancia r2 del centro. En el hueco interior hay una carga q1 a una distancia r1 (r1 < R < r2 ) y sobre la recta que une el centro con q2 . H´ allese el potencial en todos los puntos del espacio. ¿Cu´ anto vale la fuerza sobre cada una de las cargas? ¿Y sobre la superficie esf´ erica? 4.10. Se dispone de una esfera met´ alica, de radio a, conectada a tierra. Rodeando a esta esfera, se encuentra una delgada corteza esf´ erica, tambi´en met´ alica, de radio b. Esta corteza est´ a aislada y descargada. En el exterior existe una carga puntual q, situada a una distancia c del centro de las esferas. Determ´ınese el potencial el´ ectrico en todos los puntos del espacio y la fuerza que act´ ua sobre la carga puntual. c
a
r1
q1
q2
q b
r2
Problema 4.9
Problema 4.10
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4.3
4.11. Se tiene una superficie esf´ erica met´ alica hueca, de radio R, conectada a tierra. Frente a esta esfera se encuentra una carga q situada en el punto 3Ruz (tomando como origen de coordenadas el centro de la esfera). (a) H´ allese la expresi´ on aproximada para el potencial el´ectrico en un punto r muy alejado de la esfera. Calc´ ulese el potencial hasta el segundo orden de aproximaci´ on. (b) Sup´ ongase que, en la situaci´ on anterior, se desconecta la superficie esf´erica de tierra. Tras la al es el nuevo desconexi´ on la carga q se sit´ ua en el hueco interior, en la posici´ on R/2uz , ¿cu´ potencial en puntos alejados de la esfera? (c) ¿Cu´ al es la fuerza sobre la carga q para cada una de las dos situaciones anteriores?.
Problemas de ampliaci´ on 4.12. El m´etodo de las im´ agenes para una carga frente a un plano conductor suele presentarse apelando al teorema de unicidad. Sin embargo, puede demostrarse constructivamente. Para ello, s´ıgase el siguiente esquema (a) En´ unciense las ecuaciones y condiciones de contorno para este problema. Sup´ ongase el plano conductor en z = 0 y la carga puntual en auz (b) ¿Cuanto vale el campo en el semiespacio z < 0? (c) Este campo es la suma del de la carga puntual m´ as el de la carga superficial aparecida en el plano. Seg´ un esto, ¿cu´ anto vale el campo de esta carga superficial en z < 0? (d) ¿Cu´ anto vale el campo debido a la carga superficial en z > 0? ¿A qu´e equivale este campo? (e) H´ allese la densidad de carga superficial a partir de la discontinuidad en la componente normal del campo el´ ectrico. ¿Cu´ anto vale la carga total inducida sobre el plano? 4.13. Se tienen dos cilindros met´ alicos infinitamente largos, del mismo radio a, situados paralelamente, estando sus ejes a una distancia 2b (b > a). Los cilindros est´ an a potencial ±V0 , respectivamente. (a) H´ allese el campo y el potencial en el espacio exterior a los cilindros (b) Calc´ ulese la fuerza por unidad de longitud que cada cilindro ejerce sobre el otro. (c) ¿C´ omo cambia el problema si en lugar de dos cilindros tenemos un cable cil´ındrico situado paralelamente frente a un plano de tierra.
3R
x y
z
R/2 ·q
Problema 4.11
·q
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´ Campos Electromagneticos. Bolet´ın 5. Diciembre de 2002 Problemas b´ asicos ´tomo es aqu´el que considera al n´ 5.1. Un modelo muy simplificado de a ucleo como una carga puntual +q y a los electrones como una distribuci´ on esf´erica uniforme de radio a en torno al mismo. ´tomo de este tipo se coloca en presencia de un campo externo uniforme E0 . Sup´ ongase que un a ¿Cu´ al es el momento dipolar inducido en el ´atomo por la separaci´ on de los centros de carga? Sup´ ongase que la separaci´ on entre centros de carga es peque˜ na. ¿Cu´ al es la separaci´ on entre los centros de carga? Comp´ arese esta cantidad con el radio del propio ´atomo. ´tomos por Sup´ ongase que tenemos un gas monoat´ omico (un gas noble) con una densidad de N a unidad de volumen. ¿Cu´ ales ser´ an la susceptibilidad y la permitividad de este gas? Est´ımense sus valores para el helio, que posee carga q ∼ 3 × 10−19 C, y radio a ∼ 10−10 m, con una densidad de N ∼ 3 × 1025 m−3 . El valor de la permitividad del vac´ıo es ε0 ∼ 10−9 /36π F/m. allese, 5.2. Se tiene una esfera diel´ ectrica de radio R polarizada uniformemente con P = P0 =cte. H´ por integraci´ on directa el potencial en todos los puntos del espacio. ¿Cu´ ales son los valores de E, D y P dentro y fuera de la esfera? Sugerencia: Expl´ otese la similitud con el problema del campo debido a una esfera cargada uniformemente en volumen. 5.3. Se tiene una esfera de radio R, centrada en el origen, compuesta de un material con una polarizaci´ on dada por la expresi´ on, en coordenadas cil´ındricas, P = A (ρuρ − zuz ) H´ allese la distribuci´ on de cargas equivalente y el potencial el´ectrico en el centro de la esfera. 5.4. Entre dos placas met´ alicas conductoras planas y paralelas a una distancia d = a + b se colocan dos diel´ectricos de permitividades ε1 y ε2 y espesores a y b respectivamente, tal como muestra la figura. H´ allese la capacidad de este condensador y constr´ uyase el circuito equivalente. 5.5. Rep´ıtase el problema anterior suponiendo que la interfaz que separa los diel´ectricos es perpendicular a las placas. ¿Se podr´ıa resolver un problema similar pero con cuatro diel´ectricos, tal como muestra la figura? ¿Cu´ al ser´ıa el circuito equivalente?
V0
V0
e2
b
e1
a
Problema 5.4
e1
V0
e2
a
Problema 5.5
e2
e4
b
e1
e3
a
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5.2
´ngulo 5.6. El campo el´ ectrico en el exterior de un diel´ectrico tiene por m´ odulo 100 V/m y forma un a ´ngulo π/3 con la π/6 con la normal a la superficie. El campo en el interior del medio forma un a normal. H´ allese: (a) La permitividad relativa del medio. (b) El m´ odulo del campo en el interior del material. (c) La densidad de carga de polarizaci´ on en la frontera. (d) El salto en la componente tangencial de D.
Problemas de nivel medio ´tomo 5.7. Un electr´ on (carga e = −1.6 × 10−19 C, masa me = 9.1 × 10−31 kg) se coloca a 3 nm de un a 2 −40 F · m . H´ allese el momento dipolar inducido en el ´atomo y la fuerza de polarizabilidad α = 10 resultante sobre el electr´ on. ¿Qu´ e aceleraci´ on adquiere el electr´ on? ¿En que direcci´ on?
on, lo que quiere decir 5.8. Muchos materiales diel´ ectricos presentan lo que se conoce como saturaci´ que la polarizaci´ on alcanza un m´ aximo. En un material de este tipo el comportamiento se puede aproximar mediante la gr´ afica de la figura. La polarizaci´ on crece linealmente con el campo el´ ectrico hasta un valor m´ aximo P0 = ε0 χE0 . Supongamos que en el centro de una esfera de radio a de material as´ı se coloca una carga puntual q. ¿Cu´ al es la distribuci´ on de los campos E, D y P en todo el espacio? ¿Cu´ anto vale la densidad de carga de polarizaci´ on? ¿Y la carga total de polarizaci´ on? ¿Cu´ al ser´ıa el valor de la carga de polarizaci´ on si el diel´ ectrico no se saturase, esto es, si P = ε0 χE siempre? 5.9. Sup´ ongase que el espacio entre dos placas met´ alicas planas y paralelas de secci´ on S y separadas on, como la del problema una distancia a se llena de un material cuya polarizaci´ on presenta saturaci´ anterior. Determ´ınese la relaci´ on Q–V para este dispositivo. ¿Es esto un condensador? 5.10. Se tienen dos placas met´ alicas de superficie S situadas paralelamente y separadas una distancia d. Entre ellas se coloca un diel´ ectrico con una permitividad variable que va como z ε(z) = ε1 + (ε2 − ε1 ) d donde z es la coordenada perpendicular a las placas. H´ allense los campos D, E y P en todos los al es la densidad de puntos entre las placas cuando entre ´estas hay establecido un voltaje V0 . ¿Cu´ carga de polarizaci´ on (tanto superficial como de volumen)? Despr´eciense los efectos de borde.
P
E=100 V/m
p/3
e0 c
p/6
P0
E
e0
e E0
Problema 5.6
Problemas 5.8 y 5.9
E
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5.3
5.11. Se construye un recipiente cil´ındrico, con bases perfectamente conductoras de secci´ on S, separadas una distancia a, y paredes perfectamente diel´ectricas, de espesor despreciable. El interior se llena hasta la mitad con un l´ıquido diel´ ectrico y permitividad ε. El resto se deja vac´ıo. El recipiente se coloca en un principio con las bases dispuestas horizontalmente. En esta posici´ on, se carga hasta que la diferencia de potencial entre las placas es V0 . Acto seguido se abre el circuito al es la y, sin descargar las placas, el recipiente es girado 90◦ alrededor de un eje horizontal. ¿Cu´ nueva diferencia de potencial entre las placas? Despr´eciense los efectos de borde y la influencia de las paredes. 5.12. Se tienen dos superficies cil´ındricas conductoras conc´entricas entre las cuales se colocan diel´ectricos tal como muestran las figuras. ¿Cu´ ales son las capacidades y cu´ ales los circuitos equivalentes? Rep´ıtase el problema para el caso de que la figura represente esferas conc´entricas. 5.13. Sup´ ongase que se tiene una esfera de radio R un material diel´ectrico (de permitividad ε) alrededor de la cual hay vac´ıo. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo el´ectrico uniforme allese el potencial el´ ectrico y los campos el´ectricos en el interior y el exterior de la esfera. E0 . H´ Sugerencia: El campo el´ ectrico dentro de la esfera es uniforme. Sabiendo esto, apl´ıquese el resultado del problema 5.2.
Problemas de ampliaci´ on 5.14. Rep´ıtase el c´ alculo del problema 5.9 para el caso de que tuvi´eramos dos esferas, o dos cilindros, de radios a y b (a < b), cuyo espacio intermedio se llenara de un material que presente saturaci´ on.
b c
a
a e2
e1
c
e2
e1 Problema 5.12
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5.4
5.15. El m´etodo de las im´ agenes puede extenderse a algunos problemas de diel´ectricos. Consid´erese que el semiespacio z < 0 se encuentra lleno de un material de permitividad ε, mientras que en z > 0 tenemos el vac´ıo. Sup´ ongase que a una altura z = a se encuentra una carga puntual q. Se trata de hallar el potencial en todos los puntos del espacio. Para ello, s´ıgase el procedimiento siguiente. (a) Div´ıdase el espacio en dos regiones, z > 0 y z < 0 (b) Para cada uno de los emiespacios, sup´ ongase que el potencial puede escribirse como el de la carga q, m´ as el de una carga ficticia. Esta carga estar´ a en el otro semiespacio, a una distancia a. (c) A partir de las condiciones de salto en la interfaz, h´ allense los valores de estas cargas ficticias. (d) ¿Cu´ anto vale la carga de polarizaci´ on en la interfaz? (e) ¿Cu´ al es el valor de la fuerza sobre la carga real? ¿Es atra´ıda o repelida por el diel´ectrico?
Problemas propuestos Los problemas propuestos son el 4.35 y el 4.41 de Engineering Electromagnetics de N. Ida. ·q a
e0 e
Problema 5.15
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´ Campos Electromagneticos. Bolet´ın 6. Enero de 2003 Problemas b´ asicos 6.1. Sup´ ongase que se sit´ ua una carga puntual q en la posici´ on aux y una carga q2 en auy . ¿Qu´e valor debe tener q2 para que, al traer una carga q3 desde el infinito al punto −aux no se realice trabajo? Suponiendo que se da el caso anterior, ¿cu´ al debe ser el valor de q3 para que al traer una carga q4 = q desde el infinito al punto −auy tampoco se realice trabajo? Supuesto que se ha construido la configuraci´ on anterior, ¿qu´e trabajo se debe realizar para intercambiar las posiciones de las cargas q3 y q4 ? 6.2. Calc´ ulese la energ´ıa libre electrost´ atica de: (a) Una carga Q distribuida uniformemente sobre la superficie de una esfera de radio R. (b) Una carga Q distribuida uniformemente en el volumen de una esfera de radio R ¿Cu´ al de las dos configuraciones posee una menor energ´ıa almacenada? ¿C´ omo se interpreta este resultado si se usa la integral de la densidad de energ´ıa ε0 E 2 /2? 6.3. Un cable coaxial est´ a formado por un n´ ucleo met´ alico cil´ındrico, de radio a, rodeado de una capa alica de peque˜ no de diel´ectrico, de permitividad ε1 , con radio exterior b y una corteza exterior met´ espesor. Rodeando a esta corteza hay otra capa de diel´ectrico de permitividad ε2 , de radio exterior c. La permeabilidad de todos los materiales es igual a la del vac´ıo. La corteza met´ alica exterior se encuentra permanentemente a tierra, mientras que el n´ ucleo se halla a una tensi´ on V . H´ allese la energ´ıa almacenada en un segmento de cable de longitud h a partir del campo el´ectrico. A partir de esta energ´ıa, calc´ ulese la capacidad por unidad de longitud del cable coaxial, suponiendo que no se conoce la capacidad de un condensador cil´ındrico. 6.4. En una esfera met´ alica de radio R se han hecho dos cavidades, tambi´en esf´ericas, de radio R/2. Conc´entricas con cada una de estos huecos se hallan sendas esferas met´ alicas de radio R/4. No hay m´ as conductores en el sistema. Sup´ ongase que la esfera exterior se encuentra aislada y descargada, allese la energ´ıa mientras que las interiores se encuentran a tensi´ on V0 y 0, respectivamente. H´ almacenada en el sistema.
a
V0
s®¥ s=0,e1 s®¥ s=0,e2
c b Problema 6.3
Problemas 6.4
Departamento de F´ısica Aplicada III ´ Campos Electromagneticos
6.2
6.5. Las figuras representan dos configuraciones. En ambas tenemos dos placas met´ alicas planas cuadradas, de lado L. Se hallan dispuestas horizontalmente y separadas una distancia a. El volumen entre las placas est´ a repartido mitad y mitad entre dos diel´ectricos de permitividades ε1 y ε2 . Sup´ ongase que sobre las placas met´ alicas hay cargas ±Q. ¿Cu´ al es la energ´ıa de cada configuraci´ on? ¿Cu´ al es mayor? Sup´ ongase que los diel´ ectricos son l´ıquidos de igual densidad de masa que pueden fluir y distribuirse por el volumen. ¿A cu´ al de las dos configuraciones tender´ a el sistema?
Problemas de nivel medio 6.6. El llamado radio cl´ asico del electr´ on se obtiene describiendo esta part´ıcula como una peque˜ na esfera de radio a, cargada uniformemente en su superficie. Suponiendo que la energ´ıa electrost´ atica allese almacenada en el sistema equivale a la masa del electr´ on de acuerdo con la ley E = mc2 , h´ erico del radio que debe tener el electr´ on. el valor num´ Rep´ıtase ahora el c´ alculo para el caso de un prot´ on. ¿Es l´ ogico el resultado que se obtiene? 6.7. H´ allese la energ´ıa electrost´ atica almacenada en el sistema de tres conductores ilustrado en la figura, cuando los potenciales de las semiesferas interiores son ±V respectivamente y el exterior est´ aa tierra. 6.8. Calc´ ulese la energ´ıa electrost´ atica almacenada en un sistema formado por dos placas met´ alicas planas y paralelas, de secci´ on S, separadas una distancia b, entre las cuales hay un diel´ectrico no homog´eneo que presenta una permitividad variable como ε(z) =
εa a+z
cuando entre sus placas se establece una tensi´ on V0
+Q
a
+Q
e2
e1
e1
e2 -Q
-Q Problema 6.5
b c w
Problema 6.7
Departamento de Física Aplicada III Escuela Superior de Ingenieros Camino de los Descubrimientos s/n 41092 Sevilla
´ Campos Electromagneticos. Bolet´ın 7. Febrero de 2003 Problemas b´ asicos 7.1. Se tiene un cable de cobre de 1 mm2 de secci´ on, por el cual circula una corriente de 1 A. Determ´ınese la velocidad media de los electrones en esta corriente, as´ı como el n´ umero de electrones que atraviesan una secci´ on del cable en la unidad de tiempo. omico P = 63.546 g/mol. N´ umero Datos: Densidad de masa del cobre ρm = 8.96 g/cm 3 . Peso at´ atomos/mol. de Avogadro NA = 6.023 × 1023 ´ 7.2. Un cable de alta tensi´ on est´ a formado por un n´ ucleo de acero (σ = 1.11 × 106 S · m−1 ) de radio a = 0.5 cm, rodeado de un recubrimiento de aluminio (σ1 = 3.82 × 107 S · m−1 ) de radio exterior b = 1.5 cm. Sup´ ongase que por el cable circula una corriente de 1000 A. (a) H´ allese la cantidad de corriente que va por cada metal. (b) Calc´ ulese la diferencia de potencial entre dos postes separados 300 m. ´hmico en forma de arco 7.3. H´ allese la resistencia entre los extremos de un bloque de conductor o semicircular de secci´ on cuadrada, El radio medio es b y el lado de la secci´ on es a. ¿A qu´e se reduce el resultado si b a? 7.4. Se tienen tres resistencias de 1 Ω, 2 Ω y 4 Ω. Calc´ ulense todos los posibles valores de resistencias que se pueden conseguir con ellas (no es indispensable conectar las tres). ´ xido, que incrementa la resistividad 7.5. Una soldadura en un cable produce una acumulaci´ on de o del material. Sup´ ongase que se tiene un cable de aluminio, que podemos considerar de longitud infinita, de secci´ on circular de radio a = 1 mm y conductividad σ1 = 3 × 107 S/m. Debido a un corte y una posterior soldadura, un segmento de longitud l = 3 mm pasa a tener una conductividad σ2 = 3.2 × 103 S/m. (a) Si se hace pasar una corriente I por el cable, ¿d´ onde es mayor la potencia disipada por unidad de volumen, en el cable o en la soldadura? ¿D´ onde es mayor el campo el´ectrico? ¿Y la densidad de corriente? (b) Sup´ ongase que, para evitar el peligro de fusi´ on, la potencia disipada por unidad de volumen al era la corriente m´ axima que pod´ıa pasar no puede superar el valor p = 3500 W/m3 . ¿Cu´ por el cable antes del corte? ¿Cu´ al es la corriente m´ axima que puede pasar una vez hecha la soldadura? (c) ¿Cu´ al es el incremento en la resistencia del cable al hacer la soldadura?
a b
Problema 7.3
e,s V0 Problema 7.7
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7.2
7.6. Sup´ ongase se sumergen dos conductores perfectos en un material de permitividad ε y conductividad σ y se aplica entre ellos una diferencia de potencial constante V0 la corriente que llega a uno al ser´ a la corriente si el voltaje var´ıa como V0 cos ωt? de ellos vale I0 . ¿Cu´ 7.7. Entre dos placas planas y paralelas, perfectamente conductoras, de secci´ on S, y separadas una distancia a se encuentra un medio resistivo, de permitividad ε y conductividad σ. Entre las placas hay establecida una tensi´ o n V0 . (a) H´ allese la corriente que circula entre las placas y la carga almacenada en cada una, as´ı como la energ´ıa almacenada en el sistema. (b) En t = 0 se desconecta el generador. Determ´ınese la evoluci´ on de la carga en las placas a partir de ese momento. (c) H´ allese la energ´ıa disipada en el medio durante el proceso de descarga del condensador. (d) Descr´ıbase el comportamiento del sistema mediante un circuito equivalente.
Problemas de nivel medio 7.8. La resistividad del aire en la atm´ osfera decrece exponencialmente con la altura como σ −1 = r = r1 e−α1 z + r2 e−α2 z + r3 e−α3 z donde
i ri (1012 Ω · m) αi (km−1 ) 1 46.9 4.527 2 22.2 0.375 3 5.9 0.121
El campo el´ ectrico en zonas despejadas de la superficie de la Tierra vale E0 = −100 V/m. Este campo es pr´ acticamente constante y va siempre en la direcci´ on vertical. A partir de estos datos h´ allese (a) El valor del campo el´ ectrico para un punto situado entre la superficie de la Tierra y la ionosfera (z = 100 km). (b) La diferencia de potencial entre la superficie y la ionosfera. (c) La distribuci´ on de cargas en la atm´ osfera. (d) La corriente total que llega a la superficie de la Tierra. (e) La potencia necesaria para mantener esta corriente estacionaria (f) Est´ımese el tiempo que tardar´ıa la atm´ osfera en descargarse si no existiera un mecanismo generador 7.9. Entre dos placas met´ alicas planas y paralelas, de secci´ on S y separadas una distancia a, se encuen´ hmico no homog´ tra un medio o eneo, cuya resistividad (inversa de la conductividad) var´ıa con la posici´ on como r2 − r1 z r = r1 + a
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7.3
siendo r1 y r2 constantes, y z la coordenada perpendicular a las placas (situadas en z = 0 y z = a). La permitividad del material es homog´enea y vale ε. Entre las placas hay establecida una tensi´ on constante V0 . Para este sistema, determ´ınese (a) (b) (c) (d)
Los campos J, E y D entre las placas. Las densidades de carga libre en el sistema. La resistencia del elemento. La energ´ıa almacenada y la potencia disipada en el sistema.
Despr´eciense los efectos de borde. 7.10. Entre dos placas met´ alicas planas y paralelas, de secci´ on S y separadas una distancia a, se encuentran cuatro medios diel´ ectricos con p´erdidas, como indica la figura. Cada medio llena un volumen con la mitad de espesor y de secci´ on que el sistema completo. Entre las placas hay establecida una diferencia de potencial estacionaria, V0 . (a) Calc´ ulese, a partir de los campos en las diferentes regiones, la potencia disipada en los medios ´ ohmicos. (b) H´ allese la energ´ıa almacenada en este dispositivo. (c) ¿Cu´ anto valen las densidades de carga libre en el sistema? 7.11. Consid´erese el sistema de la figura, formado por dos semiesferas met´ alicas de radio a y que distan una cantidad w. Rodeando a los dos casquetes se encuentra una corteza esf´erica, tambi´en met´ alica, de radio interior b y exterior c. Sup´ ongase que el espacio entre los conductores est´ a relleno de un material de permitividad ε y conductividad σ, mientras que el exterior de la corteza est´ a vac´ıo. (a) Calc´ ulese la matriz de conductancias del sistema, ¿c´ omo se relaciona con los coeficientes de capacidad? (b) Determ´ınense las corrientes que circulan en el sistema y las cargas almacenadas en los conductores cuando un casquete est´ a a potencial V , el otro est´ a a tierra, y la corteza no se encuentra conectada a ning´ un generador. (c) Para la situaci´ on anterior, calc´ ulense la energ´ıa almacenada en el sistema y la potencia disipada en el mismo. 7.12. Una varilla de hierro (σ = 1.0 × 107 S/m) de radio a = 2 mm y longitud h = 10 cm atraviesa dos arandelas de aluminio (σ = 3.8 × 107 S/m) de radio interior a y exterior b = 1 cm, con espesor c = 1 mm. Las arandelas se colocan a h/4 de los extremos. El conjunto es introducido dentro de un tubo de cobre (σ = 5.7 × 107 S/m), de radio b y espesor e = 1 mm. La longitud del tubo es tambi´en h. El sistema queda como en la figura.
e0
e,s a
S/2 a
e1,s2
e2,s2
e1,s1
e2,s1
a/2
b c
V0 w
Problema 7.10
Problema 7.11
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7.4
(a) Sup´ ongase que se mide la resistencia entre los extremos del tubo de cobre, ¿cu´ al ser´ a el resultado? (b) ¿Cu´ anto vale la resistencia medida entre los extremos de la varilla de hierro? (c) ¿C´ omo cambian los resultados si las arandelas se alejan entre s´ı, acerc´ andose a los extremos? Sugerencia: Calc´ ulese previamente la resistencia de una corona circular suponiendo potenciales distintos en sus radios interior y exterior. 7.13. La ca´ıda de un rayo puede modelarse como un pulso de corriente de intensidad I0 que, durante un tiempo muy corto incide sobre el suelo. (a) Admitiendo que la corriente se distribuye por el suelo en todas direcciones por igual como J = J(r)ur y no se produce acumulaci´ on de carga en ning´ un punto, h´ allese la densidad de corriente en funci´ on de I0 y la distancia al punto de impacto. (b) Si la conductividad del suelo es σ, h´ allese el campo el´ectrico y el potencial el´ectrico en el suelo. Sup´ ongase que en el infinito el potencial se anula. (c) Un animal, como una vaca, puede modelarse como una resistencia R en paralelo con el suelo con los puntos de contacto a una distancia a y a + b del punto de impacto. A partir del resultado anterior, h´ allese la diferencia de potencial entre las patas de la vaca, la corriente que circula por ella y la potencia disipada. (d) Calc´ ulese el valor num´ erico para el caso en que I0 = 50 kA, σ = 10−2 S/m, a = 10 m, b = 2 m y R = 50 Ω. (e) Consid´ erense las dos situaciones siguientes: Un hombre andando (con b = 1 m, la distancia entre los pies) y un hombre parado (b = 20 cm, la longitud del pie). ¿En cual de los dos casos ser´ a mayor la descarga el´ ectrica? 7.14. Los primeros sistemas de distribuci´ on de corriente para iluminaci´ on eran en serie (esquema a), con todas las bombillas conectadas en serie y la fuente puesta al voltaje necesario. Los sistemas actuales son casi siempre en paralelo (esquema b). Sup´ ongase que se desea calcular qu´ e sistema es el m´ as econ´ omico en t´erminos de la disipaci´ on de energ´ıa en el cable. Una calle mide L = 1 km y las farolas est´ an separadas una distancia a = 50 m, funcionando cada una a V0 = 240 V y con una potencia P0 = 500 W. La resistencia del hilo de cobre es mucho menor que la de las bombillas, de forma que a la hora de hallar las corrientes en cada rama no es necesario considerarla (a la hora de hallar las p´erdidas s´ı). Sup´ ongase que el sistema trabaja con corriente continua. (a) ¿Cu´ al es la secci´ on m´ınima necesaria para el cable en cada montaje si la densidad de corriente no puede superar los Jm = 106 A/m2 y debe tener la misma anchura en todos sus puntos (σ = 5.7 × 107 S/m para el cobre). c
h/4
I0 a b h
Problema 7.12
e
a
s J Problema 7.13
b
R
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7.5
(b) Se usa el hilo calculado en (a). H´ allese: (1). El peso total de cobre usado en el sistema en serie y en paralelo (la densidad del cobre es aproximadamente ρm = 9000 kg/m3 ) (2). La potencia disipada en el cobre en cada caso. (3). ¿Qu´ e sistema es m´ as econ´ omico en t´erminos de la cantidad de cobre y en t´erminos de la potencia disipada? (c) A la vista de lo anterior, ¿por qu´e se usan montajes en paralelo en lugar de en serie? Dato: Puede ser necesario saber que n2 + (n − 1)2 + (n − 2)2 + · · · + 1 =
n3 n(n + 1)(2n + 1) ∼ 6 3
(n grande)
7.15. (2.5 puntos) Se tiene un sistema formado por dos superficies met´ alicas esf´ericas conc´entricas, de radio a y 2a, respectivamente. De cada esfera sale un cable al exterior, de resistencia R y capacidad despreciable. No hay m´ as conductores en el sistema. Los cables est´ an conectados como indica la figura. (a) Inicialmente los dos interruptores est´ an abiertos y la esfera interior almacena una carga Q0 , mientras que la exterior est´ a descargada. ¿Cu´ anto vale la energ´ıa almacenada en el sistema? (b) Las dos resistencias son puestas en contacto (cerrando el interruptor A), de forma que las dos esferas quedan conectadas. Cuando se alcanza de nuevo el equilibrio electrost´ atico, ¿cu´ al es la nueva energ´ıa almacenada? ¿Cu´ anto ha variado respecto al estado anterior? ¿D´ onde ha ido a parar la diferencia? (c) Si, tras la conexi´ on anterior, se conecta un generador de tensi´ on continua V0 al punto de contacto (cerrando B) y se restablece el equilibrio, ¿cu´ al es la nueva energ´ıa almacenada? ¿y el trabajo realizado por el generador? ¿Y la energ´ıa disipada en la resistencia? (d) Sup´ ongase que se vuelve al estado inicial y se cierra el interruptor B dejando el A abierto. ¿Cu´ anto vale en este caso la variaci´ on de la energ´ıa almacenada, el trabajo del generador y la energ´ıa disipada? (e) Si tras la conexi´ on anterior, se cierra el interruptor A, ¿cu´ anto valen las mismas cantidades?. Comparando los dos procesos, ¿es igual la variaci´ on total en la energ´ıa almacenada? ¿Y el trabajo total del generador? ¿Y la energ´ıa disipada?
R (a)
R
A
V0 B
(b)
Problema 7.14
2a
a Problema 7.15
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7.6
7.16. Una esfera met´ alica perfectamente conductora, de radio a, se encuentra rodeada de una corteza ´hmico, de permitividad ε0 y conductividad σ. La corteza tiene radio interior a y material de o exterior b. Inicialmente la esfera y la corteza est´ an descargadas. En t = 0 la esfera interior se conecta, a trav´ es de un cable, con un generador que fija su potencial en V0 . (a) Determ´ınese la evoluci´ on en el tiempo de la carga almacenada sobre la esfera y en la superficie exterior. Adm´ıtase que la densidad de carga es siempre uniforme en cada superficie uyase un circuito equivalente). (Sugerencia: Constr´ ´hmico. ¿Cu´ (b) Calc´ ulese la energ´ıa total disipada en el medio o al es la energ´ıa total proporcionada por el generador? ¿en que caso ´esta es nula? (c) Sup´ ongase que en lugar de una se˜ nal escal´ on, se aplica una tensi´ on alterna V0 cos(ωt) a la esfera interior. ¿Cu´ al es la corriente I(t) que llega a esta esfera? ¿Cu´ anto vale la energ´ıa promedio (sobre un periodo) almacenada en el sistema? ¿Y la energ´ıa disipada? ¿Y la energ´ıa aportada por el generador? 7.17. Entre dos placas planas y paralelas separadas una distancia a + b se coloca una capa de espesor a de un medio de permitividad ε1 y conductividad σ2 . El resto del espacio lo ocupa una capa de espesor b de un material de permitividad ε2 y conductividad σ2 . En el instante t = 0 se conecta una diferencia de potencial V0 . (a) ¿Cu´ anto valen E, D y J inmediatamente despu´es de conectar el potencial? (b) ¿Cu´ anto valen un tiempo largo despu´es de que se haya establecido? (c) ¿Cu´ anto valen en cualquier instante? (d) Sup´ ongase que en lugar de un voltaje escal´ on se aplica un voltaje que var´ıa como V = anto valen los campos? ¿Cu´ al es el circuito equivalente? V0 cos ωt. ¿Cu´ a e0,s
b
b
e2,s2 e1,s1 V1
Problema 7.16
a V0
Problema 7.17
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7.7
Problemas de ampliaci´ on 7.18. Entre dos placas de un condensador plano, de secci´ on S y separadas una distancia d, se establece una diferencia de potencial V . Sobre una de las placas se deposita una peque˜ na part´ıcula de polvo. ´ se puede modelar suponiendo que es un peque˜ Esta no disco de radio R y espesor despreciable, de masa m y perfectamente conductor. (a) ¿Qu´ e le ocurre a la part´ıcula al entrar en contacto con la placa? (b) ¿Cu´ al es el efecto del campo el´ectrico del condensador sobre la part´ıcula? (despr´eciese el campo creado por la propia part´ıcula). (c) Calc´ ulese el tiempo que tarda en llegar hasta la otra placa. ¿Qu´e le ocurre entonces? ¿C´ omo es el movimiento subsiguiente de la part´ıcula? (d) H´ allese un valor aproximado para la corriente el´ectrica que, debido a la part´ıcula, atraviesa el condensador. ¿Verifica esta corriente la ley de Ohm?
alvula de vac´ıo se basa en el llamado efecto termoi´ onico, seg´ un el cual, cuando se tiene un 7.19. Una v´ electrodo caliente, la energ´ıa t´ ermica de los electrones es suficiente para que puedan abandonar el material. La v´ alvula se construye enfrentando un electrodo caliente puesto a tierra frente a otro fr´ıo (del cual los electrones no pueden salir) puesto a una tensi´ on V0 . Se desprecian los efectos de borde. a corriente en el sistema? (a) Si V0 < 0, ¿habr´ (b) A partir de la ley de conservaci´ on de la energ´ıa mec´ anica, ¿cu´ al es la velocidad, v, de un electr´ on en un punto en el que φ = φ(z)? Adm´ıtase que los electrones son emitidos con velocidad nula. (c) Escr´ıbase la ecuaci´ on de Poisson para el potencial. (d) En el estado estacionario, ¿a qu´e se reduce la ley de conservaci´ on de la carga? ¿C´ omo se relaciona J con ρ y v? Sustit´ uyase el resultado en la ecuaci´ on de Poisson. (e) Resu´ elvase esta ecuaci´ on, suponiendo una soluci´ on de la forma φ = az p . (f) H´ allese la corriente que atraviesa el elemento y la caracter´ıstica I − V . (g) ¿Que utilidad pr´ actica tiene este elemento?
Problemas propuestos Los probelmas propuestos son el 7.13 y 7.20 del libro Engineering electromagnetics de N. Ida.
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´ Campos Electromagneticos. Bolet´ın 8. Marzo de 2003 Problemas b´ asicos 8.1. Una l´ınea de alta tensi´ on est´ a formada por dos cables, que podemos suponer como hilos rectil´ıneos infinitos y paralelos situados a una distancia d = 6 m entre s´ı y a una altura h = 10 m. Por estos cables circulan corrientes ±I, con I = 2 kA. (a) H´ allese el campo magn´ etico al nivel del suelo. (b) Calc´ ulese la fuerza magn´ etica que los hilos se ejercen entre s´ı. 8.2. Una part´ıcula de masa m y carga q se mueve en el interior de un campo magn´etico uniforme B = B0 uz . Si la part´ıcula se halla inicialmente en el origen y movi´endose con velocidad v = v0 . ¿Cu´ al es la trayectoria posterior? ¿Cu´ al es la posici´ on en un instante de tiempo t? 8.3. Una espira plana de forma irregular se coloca de forma que parte de ella se encuentra en un campo magn´etico uniforme B (en la figura el campo ocupa la regi´ on sombreada y apunta perpendicularmente al plano de la espira). Por la espira circula una corriente I. Pru´ebese que la fuerza magn´ etica neta sobre la espira es F = IBs, donde s es la cuerda subtendida. General´ıcese este resultado para el caso de que la forma de la regi´ on ocupada por el campo magn´etico sea tambi´ en irregular. ¿En qu´e direcci´ on apunta la fuerza? 8.4. Se tiene una varilla de longitud l y secci´ on despreciable, por la cual circula una corriente I (esto s´ olo tiene sentido si consideramos la varilla como parte de un sistema mayor). H´ allese el campo magn´etico creado por dicha varilla. A partir de este resultado, dada una espira en forma de medio hex´ agono regular, como indica la figura, por la cual circula una corriente I, h´ allese el campo magn´etico en el punto A, coplanario con la espira H´ allese igualmente el campo en el punto C, situado en un v´ertice del hex´ agono, no perteneciente a la espira.
·A
-l
l
B a
I -I
I
d
s I
Problema 8.1
60º
Problema 8.3
·C Problema 8.4
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8.2
8.5. Un solenoide de radio a, altura h y n espiras por unidad de longitud, puede aproximarse por una distribuci´ on de corriente superficial sobre un cilindro. (a) H´ allese el valor K equivalente a que por las espiras circule una corriente I. (b) Empleando la ley de Amp` ere, calc´ ulese el campo producido por el solenoide, si h → ∞. (c) Mediante integraci´ on directa, h´ allese el campo magn´etico en los puntos del eje del cilindro si h es finito. Est´ udiese el l´ımite h a 8.6. Sobre un cilindro de radio a y longitud infinita fluye una corriente superficial de densidad uniforme K. H´ allese el campo magn´ etico en todos los puntos del espacio. 8.7. Sobre la superficie de una esfera de radio R se traza una espira por la cual circula una corriente I. Demu´estrese que el campo magn´ etico en el centro de la esfera es µ0 m B= 2πR3 siendo m el momento magn´ etico de la espira. Demu´estrese igualmente que el potencial vector en el mismo punto es nulo. ¿C´ omo se extiende este resultado al caso de una densidad de corriente superficial, K sobre la misma esfera? ¿Cu´ anto vale, seg´ un esto, el campo en el centro de una c´ ascara esf´erica cargada uniformemente que se encuentre en rotaci´ on? 8.8. Para la espira en forma de cuadril´ atero del problema 8.4, h´ allese el campo magn´etico y el potencial vector en puntos alejados de ella.
Problemas de nivel medio 8.9. Se desea construir una balanza que en lugar de un resorte funcione por fuerzas magn´eticas. Para on rectangular. En el interior ello, se produce un campo magn´ etico uniforme B = B0 uz en una regi´ de este campo se coloca una espira, por la cual se hace circular una corriente continua, I. (a) Sup´ ongase que se usa como espira un tri´ angulo rect´ angulo de hipotenusa a, masa m0 , resistencia el´ ectrica R y autoinducci´ on despreciable. En el v´ertice inferior se coloca una aguja indicadora. Aplicando el resultado del problema anterior, calc´ ulese a qu´e distancia del borde inferior estar´ a la aguja cuando no hay colgado ning´ un peso. (b) ¿Cu´ al ser´ a la posici´ on de la aguja cuando se cuelga una masa m de la balanza? ¿Cu´ al es el peso m´ aximo que puede medir esta balanza? (c) ¿Funcionar´ıa la balanza con una espira cuadrada? ¿Y con una espira triangular invertida? (Sugerencia: pi´ ensese en lo que ocurre si la balanza se aleja ligeramente de su posici´ on de equilibrio)
B
a I I R Problema 8.7
g
y
m
z
Problema 8.9
x
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8.3
8.10. Se tienen dos cilindros infinitamente largos y paralelos. Por los cilindros circulan densidades de corriente uniformes +J y −J, respectivamente. Los ejes de los cilindros distan una distancia a < 2R, por lo que intersecan, tal como muestra la figura. (a) Demu´ estrese que el campo magn´etico en la zona de intersecci´ on es constante. H´ allese su valor. (b) Calc´ ulese el campo magn´ etico lejos de los dos cilindros. (c) Consid´ erese el l´ımite a → 0, J → ∞ con aJ → K0 =cte. H´ allese la densidad de corriente superficial resultante. 8.11. Se tiene una espira plana que puede expresarse mediante las ecuaciones ρ=
p(1 + e) 1 + e cos ϕ
z=0
esto es, se trata de una c´ onica: circunferencia (e = 0), elipse (e < 1) par´ abola (e = 1) o hip´erbola (e > 1). Por esta espira circula una corriente I. Determ´ınese el campo magn´etico en el origen de coordenadas. 8.12. Se tiene un solenoide cil´ındrico de gran longitud formado por un hilo, arrollado formando una h´elice, de radio R y paso de rosca (distancia entre dos espiras consecutivas) b. Por el cable circula una corriente I. H´ allese el campo magn´ etico en todos los puntos del espacio, teniendo en cuenta la inclinaci´ on de las espiras. (Sugerencia: Comb´ınense los resultados de los problemas 8.5 y 8.6.) 8.13. Se dispone de una espira de radio R en el plano xy, con centro el origen por la cual circula una corriente I. A una distancia d sobre ella se coloca una espira id´entica, por la cual circula la misma corriente. (a) ¿Cu´ anto vale el campo en el eje que pasa por los centros de las espiras? (b) ¿Cuanto debe valer d si se desea que el campo en el eje sea pr´ acticamente constante? A esta disposici´ on se la conoce como bobina de Helmholtz. 8.14. Una espira rectangular de lados a y b, recorrida por una corriente I1 , es coplanaria con un conductor allese rectil´ıneo, por el que circula una corriente I2 . La distancia del centro de la espira al hilo es d. H´ la fuerza que aparece entre el hilo y la espira.
I
R
+
J
a
ÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄ ÄÄÄÄ Ä Ä Ä Ä ÄÄÄÄ ÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄÄ ÄÄÄ
Problema 8.10
I b
-J
p
R Problema 8.11
Problema 8.12
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8.4
8.15. H´ allese la expresi´ on del momento dipolar magn´etico correspondiente a una cierta distribuci´ on de carga que gira en torno a un eje con velocidad angular ω. Apl´ıquese a las siguientes distribuciones: (a) Un anillo de radio R sobre el cual hay distribuida uniformemente una carga total Q. (b) Un disco de radio R sobre el cual hay distribuida la misma carga Q. (c) Una superficie esf´ erica de radio R. (d) Una esfera maciza de radio R. En todos los casos la rotaci´ on se produce en torno al eje de revoluci´ on. Sup´ ongase que en cada punto de estas distribuciones, la densidad de masa es proporcional a la de carga (porque corresponde a una distribuci´ on de part´ıculas todas del mismo tipo), esto es, al es en este caso la relaci´ on entre el momento dipolar magn´etico y el momento ρq = γρm . Cu´ angular de la distribuci´ on? no im´ an (equivalente 8.16. Por un cable vertical muy largo, se hace circular una corriente I0 . Un peque˜ a un dipolo magn´ etico m), de peso M g, se suspende de un hilo ideal, de longitud l, cuyo punto de sujeci´ on se encuentra a una distancia a del cable. El im´ an est´ a sujeto por su punto central, de forma que puede orientarse libremente. ¿En que direcci´ on apuntar´ a el im´ an? Calc´ ulese la fuerza magn´etica sobre el im´ an, cuando se encuentra a una distancia x del cable. H´ allese la ecuaci´ on para el ´angulo que el hilo forma con la vertical. 8.17. Sobre una mesa horizontal se colocan dos br´ ujulas (equivalentes a dipolos magn´eticos) iguales, de forma que sus centros distan una cantidad a. Las dos br´ ujulas pueden girar en el plano horizontal. Considerando que la interacci´ on br´ ujula-br´ ujula es mucho mayor que la acci´ on del campo magn´etico terrestre, ord´ enense las cuatro configuraciones de la figura de menor a mayor energ´ıa. ¿C´ omo se orientar´ an las br´ ujulas?
a
a
I d I1
I2
b
I
lq m
R Problema 8.13
d
Problema 8.14
Problema 8.16
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8.5
Problema de ampliaci´ on 8.18. En la regi´ on alrededor del origen existe un campo magn´etico de la forma B(ρ, z) = C(ρ uρ − 2z uz ) Sup´ ongase que en este campo se encuentra un anillo de masa m y radio a con una carga total q uniformemente distribuida. Este anillo se encuentra inicialmente en reposo en el plano z = 0 con centro el origen. En t = 0 se le comunica una velocidad vertical inicial v0 = v0 uz . (a) Raz´ onese que, como consecuencia de su movimiento, el anillo comienza a girar en su plano. ¿Hacia d´ onde? Calc´ ulese el par total ejercido sobre el anillo cuando se encuentra a una altura z y se mueve con una velocidad v; h´ allese una ecuaci´ on para la variaci´ on de la velocidad angular. Nota: dL = r ∧ dF L = ma2 ω τ = dt (b) Justif´ıquese que, debido a la rotaci´ on, aparece una fuerza vertical sobre el anillo. Calc´ ulese su valor cuando el anillo se encuentra a una altura z y gira con velocidad angular ω; h´ allese una ecuaci´ on para la variaci´ on de la velocidad vertical. (c) Demu´ estrese que la cantidad
1 1 mv 2 + ma2 ω 2 2 2 permanece constante en el tiempo. ¿Que representa esta cantidad? ¿Cu´ al es el papel del campo magn´ etico desde el punto de vista energ´etico?
(d) Resu´ elvase el sistema de ecuaciones para v y ω. Descr´ıbase el movimiento resultante. 8.19. ¿C´ omo cambian los resultados del problema 8.17 si adem´ as se considera el efecto del campo magn´etico terrestre? Sup´ onganse dos casos: (a) Que el campo de la Tierra es paralelo a la l´ınea que une los centros de las br´ ujulas. (b) Que es perpendicular a esta direcci´ on.
Problemas propuestos Los problemas propuestos son el 5.39 y el 5.41 del texto de J.D. Griffiths Introduction to electrodynamics, 3a ed.
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´ Campos Electromagneticos. Bolet´ın 9. Abril de 2003 Problemas b´ asicos ´tomo de hierro es aproximadamente 9.1. El momento dipolar magn´ etico de un a m 2.22
e¯h 2me
¿Cu´ al es el valor m´ aximo que puede tener la magnetizaci´ on de un trozo de hierro? Sup´ ongase que se tiene un im´ an cil´ındrico de gran longitud, magnetizado a lo largo de su eje. ulese el Sabiendo que el campo en el extremo de la barra es aproximadamente B µ0 M/2, calc´ campo que producir´ a este im´ an. Est´ımese el valor de las corrientes de magnetizaci´ on equivalentes a esta imanaci´ on. Datos: Carga del electr´ on e = 1.6 × 10−19 C; masa del electr´ on me = 9.1 × 10−31 kg; constante omico del hierro pm = 55.8 dalton; densidad de masa del de Planck ¯ h = 1.054 × 10−34 J·s; peso at´ hierro ρm = 7.87g/cm3 ; permeabilidad del vac´ıo µ0 = 4π × 10−7 T·m/A. 9.2. Sup´ ongase que se tienen un conjunto de cu˜ nas de hierro y se magnetizan las mismas de forma que la punta es el polo sur y la base el polo norte. Acto seguido se construye una esfera con estas cu˜ nas, de forma que todos los polos sur apunten al centro de la misma y los polos norte queden en la cara exterior de la esfera. ¿Se apreciar´ a campo magn´etico en el exterior de la misma? ¿Y en el interior? 9.3. Se tiene un cilindro de longitud L y radio R, magnetizado seg´ un la ley M = Ayux estando situado el origen de coordenadas en el centro del cilindro y siendo el eje z coincidente con el del im´ an. H´ allense las fuentes vectoriales equivalentes a esta magnetizaci´ on. Calc´ ulese tambi´en la distribuci´ on de fuentes escalares equivalente.
N
N
N
N N
S
N
S S
N S
N N
N
N
N
Problema 9.2
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9.2
9.4. El campo magn´ etico en el exterior de un material magn´etico cuya superficie es plana tiene por ´ngulo de π/6 con la normal. El campo en el interior del medio forma m´ odulo 0.5 T y forma un a ´ngulo de π/3 con la normal. Por la superficie no circulan corrientes libres. un a H´ allese la permeabilidad relativa del medio, el m´ odulo del campo en el interior del material y las corrientes y cargas de magnetizaci´ on en la superficie.
Problemas de nivel medio 9.5. Se dispone de una esfera de radio R con una imanaci´ on permanente M = M0 uz . (a) ¿Cu´ al es la expresi´ on integral para el potencial vector? (b) H´ allense las corrientes de magnetizaci´ on equivalentes y las ecuaciones y condiciones de contorno para B (c) Expr´ esese el problema de ecuaciones y condiciones de contorno para H. (d) Calc´ ulense las cargas de magnetizaci´ on. (e) Descr´ıbase cualitativamente la forma de B, H y M (f) Resu´ elvase el problema exactamente por alguna de las formas anteriores. 9.6. Se construye un im´ an cil´ındrico de radio R = 1 cm y longitud L, con una magnetizaci´ on uniforme y paralela a su eje M0 = 105 A/m. (a) Determ´ınese aproximadamente los campos H y B cuando L = 1 mm, en el centro del im´ an y en un punto ligeramente por encima de su base superior. • A partir de las corrientes de magnetizaci´ on. • A partir de las cargas magn´eticas. (b) Est´ımense H y B cuando L = 1 m en los mismos puntos y con los mismos m´etodos (c) Determ´ınense exactamente H y B en todos los puntos del eje del im´ an, tanto dentro como fuera de ´el. Comp´ arese con los resultados anteriores 9.7. Se tiene una esfera de radio R magnetizada permanentemente con una magnetizaci´ on dada, en esf´ericas, por M = Ar sen θuϕ . (a) H´ allense las ecuaciones y condiciones de contorno para H. Obt´engase este campo en todo el espacio. (b) A partir del resultado anterior calc´ ulese el campo B ¿C´ omo son las l´ıneas de campo magn´ etico? (c) Determ´ınense las corrientes de magnetizaci´ on. ¿C´ omo son las l´ıneas de corriente?
m0 p/6
R
B=0.5 T
p/3
Problema 9.4
m
M0 Problema 9.6
L
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9.3
9.8. El campo magn´ etico de la Tierra corresponde aproximadamente al creado por un dipolo magn´ etico situado en su centro. Sabiendo que el valor absoluto del campo magn´etico en Sevilla (latitud 37.4◦ ) ulese: es de (5 ± 2) × 10−5 T y que el radio de la tierra es de 6370 ± 10 km, calc´ (a) El momento magn´ etico de la Tierra. ´ngulo que, en Sevilla, formar´ (b) El a a con la horizontal una aguja suspendida libremente. (c) El campo magn´ etico en el Polo Norte y en un punto del ecuador. ¿Qu´e ´angulo formar´ a con la horizontal en esos puntos? Adm´ıtase que el Polo Norte Magn´ etico coincide con el Polo Norte Geogr´ afico. 9.9. Sup´ ongase que se tiene una esfera de radio R un material magn´etico lineal (de permeabilidad µ) alrededor de la cual hay vac´ıo. En puntos alejados de la esfera hay impuesto un campo magn´ etico uniforme B0 . (a) Sabiendo que la magnetizaci´ on que aparece en la esfera es uniforme, h´ allese el valor de dicha magnetizaci´ on, del momento dipolar inducido en la esfera, y del campo magn´etico en todos los puntos del espacio. (b) ¿En qu´ e se diferencia el resultado para un material diamagn´etico (µ < µ0 ) de uno paramagn´ etico? ¿A qu´ e se reducen los resultados en los casos de un paramagn´etico ideal (µ → ∞) y un superconductor (µ = 0)? (c) H´ allense las corrientes de magnetizaci´ on que aparecen en la esfera. (d) Calc´ ulense los valores num´ ericos para los apartados anteriores con un campo externo B0 = 10 mT aplicado sobre una esfera para los siguientes materiales: i. Oro, χm = −3.0 × 10−5 ii. Aluminio χm = 2.1 × 10−5 iii. Hierro χm = 150 iv. Superconductor χm = −1
Problemas de ampliaci´ on 9.10. El descubrimiento del paramagnetismo y el diamagnetismo se realiz´ o midiendo la fuerza que un campo no uniforme ejerce sobre estos materiales. Sup´ ongase que se dispone una bobina de longitud h = 16 cm y radio R = 13 mm, con N = 300 espiras, por la que circula una corriente I = 1 A. En el extremo superior de la bobina, sobre el eje, se coloca una peque˜ na muestra, aproximadamente esf´erica, de radio a = 1 mm, de un material magn´etico de susceptibilidad χm . H´ allese la expresi´ on para el momento magn´etico inducido en la muestra, y para la fuerza que la bobina ejerce sobre ella. ¿En que se diferencia el comportamiento de un material diamagn´etico de uno paramagn´ etico? Calc´ ulese el valor de la fuerza para una muestra de grafito (χm = −4.4×10−5 ) y para una de platino (χm = 2.9 × 10−4 ). 9.11. Sea un medio semiinfinito de permitividad µ, situado en x < 0. El resto del espacio est´ a vac´ıo. Paralelamente a su superficie y a una distancia a de la misma se coloca un hilo, por el cual circula una corriente I. Introduciendo las corrientes imagen adecuadas (an´ alogamente al caso el´ectrico), h´ allese el campo magn´ etico en todo el espacio. ¿Cu´ anto valen las corrientes de magnetizaci´ on? ´nicamente los l´ımites µ = 0 (superconductor) y µ → ∞ (material perfectamente Consid´erense u paramagn´ etico).
Problema propuesto El problema propuesto es el 6.8 del manual Introduction to electrodynamics, 3a de J. D. Griffiths (este problema es tambi´ en el 6.8 en la segunda edici´ on).
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´ Campos Electromagneticos. Bolet´ın 10. Abril de 2003 Problemas b´ asicos 10.1. Se tiene un solenoide largo de secci´ on S, por el cual circula una corriente variable en el tiempo K0 (t). Dos volt´ımetros miden el voltaje entre dos puntos A y B, diametralmente opuestos, de un allense las lecturas de circuito formado por dos resistencias R1 y R2 , tal como se ve en la figura. H´ los volt´ımetros. ¿Coincidir´ an ´ estas? ¿Por qu´e? 10.2. Sup´ ongase que se posee una casa en el campo, sobre la cual pasa una l´ınea de alta tensi´ on por la on. cual circula una corriente I0 cos(ωt), y se decide aprovechar esta molesta situaci´ Para ello, se dispone de una cierta cantidad de hilo de cobre de di´ ametro D. Con este hilo se construye un rect´ angulo de lados a y b, que se dispone paralelamente al cable de alta tensi´ on. Por motivos de seguridad, la distancia m´ınima al hilo es c. A este hilo se conecta una resistencia R, que puede ser la de una bombilla. H´ allese la fuerza electromotriz inducida en el circuito por la intensidad que circula por el cable de alta tensi´ on, la energ´ıa W consumida en la resistencia R en un periodo y la potencia promedio W/T . ¿Para que valor de R es m´ axima esta potencia? Calc´ ulese el valor num´ erico de esta potencia si I0 = 4 kA, ω = 100π s−1 , a = 6 m, b = 50, m, ametro del hilo es 1 mm. ¿Podr´ a c = 1 m. La conductividad del cobre es σ = 5.9 × 107 S/m y el di´ encenderse una bombilla? 10.3. Se tienen dos anillos met´ alicos. Ambos anillos est´ an centrados en el origen de coordenadas. Uno de ellos posee radio b y est´ a situado en el plano xy. El otro es de radio a est´ a inclinado, de forma ´ngulo θ con el eje z. El radio b es mucho mayor que a. que su normal forma un a (a) Determ´ınese el coeficiente de inducci´ on mutua entre los dos anillos a partir del flujo del campo del anillo exterior a trav´ es del anillo interior (t´engase en cuenta que ´este es muy peque˜ no), cuando por el anillo exterior circula una corriente I1 . (b) H´ allese el coeficiente de inducci´ on mutua a partir del flujo del campo del anillo interior (que es pr´ acticamente un dipolo) a trav´es del anillo exterior cuando por el anillo interior circula una corriente I2 . ¿Son iguales los dos coeficientes?
A
I0cost
uz
c
V1
R1
K0(t) B Problema 10.1
V2
R2
a
n
a b Problema 10.2
R
b Problema 10.3
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10.2
10.4. Sup´ ongase la misma configuraci´ on geom´etrica del problema 10.3. Por el anillo exterior se hace circular una corriente constante I0 . El anillo interior se hace girar en torno al di´ ametro com´ un, de forma que el ´ angulo θ var´ıa con velocidad constante ω. Despreciando los efectos de la autoinducci´ on, h´ allese la corriente que circula por el anillo interior. Calc´ ulese la energ´ıa disipada en este anillo durante un periodo de revoluci´ on. ¿De d´ onde procede esta energ´ıa? 10.5. Tres solenoides cil´ındricos muy largos se disponen conc´entricamente. Dichos solenoides poseen la misma longitud L y el mismo n´ umero de espiras, las cuales est´ an arrolladas en el mismo sentido. Los radios de las bobinas son, respectivamente, a, b y c (a < b < c). (a) Determ´ınese la matriz de inducciones mutuas del sistema. (b) Sup´ ongase que se conectan el extremo superior de la bobina interior con el extremo superior de la exterior. ¿C´ omo queda entonces la matriz de inducciones mutuas del nuevo sistema de dos conductores? 10.6. Dos peque˜ nas espiras circulares, de radio a, se encuentran situadas en los puntos r1 = 3bux
r2 = 4buy
Las superficies de las espiras est´ an orientadas de forma que las normales a estas espiras tienen la direcci´ on 1 2 2 3 4 n2 = ux + uy n1 = − ux − uy + uz 3 3 3 5 5 (a) H´ allese el coeficiente de inducci´ on mutua entre ambas espiras. (b) Calc´ ulese la energ´ıa de interacci´ on entre las dos espiras cuando por ellas circulan corrientes I1 e I2 . (c) En la misma situaci´ on, calc´ ulese el par de fuerzas, τ = m ∧ B, que cada espira ejerce sobre la otra. 10.7. Se tiene un cable coaxial formado por un n´ ucleo conductor macizo de radio a y una c´ ascara met´ alica conc´ entrica de radio b (a < b). Por el cilindro interior circula una corriente total +I distribuida homog´ eneamente por el volumen, mientras que por el exterior circula una corriente −I. H´ allese el coeficiente de autoinducci´ on por unidad de longitud del cable coaxial, a partir de la energ´ıa acumulada por unidad de longitud.
(a)
(c)
B
a
B
a
A
l h
(b)
c b
a
Problema 10.5
b
a
Problema 10.7
l/2 (d)
B
a
A
A
A
l/2
B
a l/2
Problema 10.8
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10.3
Problemas de nivel medio 10.8. Dos cables paralelos, de longitud l, secci´ on s y conductividad σ, que distan una cantidad a, est´ an unidos por uno de sus extremos por un hilo sin resistencia. En la regi´ on rectangular de lados l y a existe un campo magn´ etico uniforme en el espacio y variable en el tiempo B0 (t). Si el circuito se cierra con un amper´ımetro de resistencia interna despreciable, ¿cu´ al ser´ a la corriente que indicar´ a ´este si el amper´ımetro est´ a en la posici´ on (a)? ¿Y si est´ a en la (b)? ¿Y si est´ a en la (c)? ¿Y en la (d)? Si colocamos simult´ aneamente tres amper´ımetros en las posiciones (b), (c) y (d), ¿que indicar´ a cada uno? 10.9. En una regi´ on rectangular existe un campo magn´etico constante y uniforme B = B0 uz . Sumergida en este campo se encuentra una espira rectangular, formada por cables perfectamente conductores. En uno de los lados se encuentra un amper´ımetro ideal y en el opuesto un volt´ımetro, tambi´en ideal. Entre estos dos lados se encuentra una barra, que posee una resistencia R. Esta barra se mueve ales son las lecturas del amper´ımetro y del volt´ımetro? con velocidad v = vux . ¿Cu´ Sup´ ongase que se intercambian las posiciones de la barra y el volt´ımetro, siendo ´este el que se mueve, ¿Cu´ ales son entonces las lecturas? 10.10. Se tiene un solenoide muy largo, de radio b = 1 cm y longitud h = 15 cm, hecho de un hilo circular de cobre de 1 mm de radio. Las espiras del solenoide est´ an densamente arrolladas, de forma que no hay espacio entre ellas. Los extremos del solenoide est´ an cortocircuitados por el mismo cable. En el interior del solenoide se encuentra una espira cuadrada, de lado a = 1 cm. Esta espira gira en torno a un eje perpendicular al del solenoide, con velocidad angular constante ω = 100πrad/s. Por la espira se hace pasar una corriente constante I0 = 1 A. H´ allese la corriente que circula por el solenoide. Sugerencia: Apl´ıquense las propiedades de los coeficientes de inducci´ on mutua. 10.11. Se disponen dos solenoides ideales (sin resistencia) como en la figura. La autoinducci´ on de las on mutua en la orientaci´ on bobinas es L1 = 40 mH y L2 = 20 mH, respectivamente, y la inducci´ indicada vale M = 15 mH. Los terminales A, B, C, D, E y F pueden ser unidos por cables ideales, o dejarse abiertos. H´ allense los 9 valores posibles de autoinducci´ on equivalente que pueden obtenerse en este sistema.
y
B V
v R
A
B
z x
(a)
R
v
V
(b)
Problema 10.9
I0
A
b
a
Problema 10.10
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10.4
10.12. La figura representa un carril met´ alico superconductor por el cual puede deslizarse una varilla horizontal, tambi´ en superconductora. Esta varilla est´ a inmersa en un campo uniforme B0 y cae por la acci´ on de la gravedad. Inicialmente se encuentra en reposo y no circula intensidad por el circuito. En este momento se suelta. Determ´ınese la ecuaci´ on de movimiento y la posici´ on de la varilla en funci´ on del tiempo si el circuito est´ a cerrado por: (a) Una resistencia R
(b) Un condensador C
(c) Una autoinducci´ on L.
Est´ udiese en cada caso el balance energ´etico del sistema. 10.13. Se tienen dos solenoides cil´ındricos conc´entricos de longitud h, muy grande. Los solenoides tienen radios a y 2a, respectivamente, y est´ an construidos con N espiras de un material superconductor, arrolladas en el mismo sentido. Sup´ ongase que los extremos del cilindro interior est´ an cortocircuitados por un hilo tambi´en superconductor y que, inicialmente, no circula corriente por este solenoide. Los extremos de la bobina exterior est´ an inicialmente unidos a un generador de intensidad que produce una corriente I0 . En t = 0, esta bobina se desconecta del generador y se cierra el circuito a trav´es de una resistencia R. (a) Calc´ ulense las corrientes que circulan por cada solenoide en cualquier instante posterior. (b) H´ allese la energ´ıa almacenada inicialmente, la energ´ıa final y la potencia disipada en la resistencia a lo largo del tiempo.
Problemas de ampliaci´ on 10.14. Una esfera conductora que se encuentra imanada axialmente gira con velocidad angular constante, on. Un volt´ımetro se conecta, mediante contactos deslizantes, al ω0 , en torno al eje de la imanaci´ ecuador y al polo norte de la esfera. ¿Habr´ a lectura en el volt´ımetro? ¿Cu´ al es la causa de esta f.e.m.? Calc´ ulese cu´ anto se˜ nalar´ a el volt´ımetro para una magnetizaci´ on de 105 A/m en una esfera de 2 cm de radio que gira con un periodo de 1 s.
D ·
B
·F
E M ·
v
I0 h
L1
L2 · B·
R y
·C ·
·A
Problema 10.11
z
g x
Z
Problema 10.12
2a a Problema 10.13
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10.5
10.15. Para construir un solenoide, se hace un devanado de N espiras de un material muy buen conductor (podemos suponerlo perfecto) de radio a y longitud h. Las espiras se arrollan sobre una corteza cil´ındrica de radio a y espesor δ (δ a). La corteza posee una cierta conductividad σ. El hilo de la bobina est´ a esmaltado para evitar el contacto el´ectrico entre dos vueltas consecutivas o con el cilindro soporte. H´ allese la impedancia del elemento de circuito teniendo en cuenta la resistencia del cilindro soporte (pero despreciando su autoinducci´ on) y constr´ uyase un circuito equivalente. 10.16. Una de las consecuencias de las corrientes inducidas por un campo magn´etico variable es el efecto pelicular o skin. ´hmico de conductividad σ y permeabilidad µ que se extiende Sup´ ongase que tenemos un medio o para x > 0. En x < 0 hay vac´ıo. Debido a una fuente externa, en x = 0 hay establecido un campo magn´etico oscilante tangente a la superficie, B = B0 cos(ωt)uz . ´hmico. (a) H´ allense las ecuaciones vectoriales para el campo magn´etico en el medio o (b) Resu´ elvanse estas ecuaciones, admitiendo que, en todos los puntos del material
iωt ˜ uz B = Re B(x)e
imp´ ongase que en x → ∞ el campo debe tender a cero. (c) ¿C´ omo decae el campo al penetrar en el material? ¿Qu´e distancia hay que recorrer para que la amplitud se reduzca en un factor 1/e? H´ allese este espesor para un bloque de cobre (σ = 5.9 × 107 S/m) y un campo oscilante de frecuencia f = 2.45 GHz (d) ¿C´ omo var´ıa la fase de oscilaci´ on del campo al profundizar en el material?
Problemas propuestos Los problemas propuestos son el 10.6 y el 10.12 del libro Engineering electromagnetics de N. Ida.
0
a
V
M0
Problema 10.14
δ
A
V
Problema 10.15
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´ Campos Electromagneticos. Bolet´ın 11. Mayo de 2003 11.1. Se tiene un condensador formado por dos placas circulares planas y paralelas, de radio b y separadas una distancia a (a b); entre ellas hay vac´ıo. Entre los centros de las placas se establece una tensi´ on V0 cos ωt. (a) H´ allese, en primera aproximaci´ on, el campo el´ectrico que se establece entre las placas. (b) Determ´ınese el campo magn´ etico inducido entre las mismas, seg´ un la ley de Amp`ere-Maxwell, para una distancia r del eje que une los centros de los discos. (c) Calc´ ulese, la primera correcci´ on en el campo el´ectrico obtenido en (a), de acuerdo con la ley de Faraday. ¿Para qu´ e valor del radio empieza a ser importante esta correcci´ on (esto es, comparable al campo est´ atico)? (d) Ind´ıquese como ser´ıan las siguientes correcciones, tanto en E como en B. 11.2. El campo magn´ etico debido a un segmento rectil´ıneo por el cual circula una corriente estacionaria I viene dado por µ0 I (sen α2 − sen α1 )uϕ B= 4πρ tal como se establece en el problema 8.4 (a) ¿Verifica este campo la ley de Amp`ere para corrientes estacionarias? (b) Para que se cumpla la ley de conservaci´ on de la carga, debe existir una densidad de carga variable en este sistema. ¿Donde estar´ıa y que tipo de densidad ser´ıa? ¿Como var´ıan estas cargas en el tiempo? (c) H´ allese el campo el´ ectrico debido a esta densidad de carga. (d) Calc´ ulese la densidad de corriente de desplazamiento en todos los puntos del espacio. (e) ¿Se verifica la ley de Amp` ere-Maxwell? 11.3. El espacio entre dos placas circulares perfectamente conductoras, planas y paralelas, se encuen´ hmico, de permitividad ε, conductividad σ, y permeabilidad magn´ tra lleno de un material o etica a µ0 . El radio de las placas es b, y la distancia entre ellas es a (a b). La placa superior est´ permanentemente a tierra, mientras que el centro de la inferior se encuentra a una tensi´ on V (t). (a) Despreciando los efectos de borde y la inducci´ on electromagn´etica, h´ allese el campo el´ ectrico entre las placas y la corriente total que fluye entre ellas. (b) Calc´ ulese el campo magn´ etico entre las placas, teniendo en cuenta que en el eje B = 0. (c) H´ allese el vector de Poynting en el espacio entre las placas, as´ı como su flujo a trav´es de una superficie cil´ındrica de radio b y altura a, conc´entrica con el sistema. (d) ¿A qu´ e equivale este flujo del vector de Poynting? ¿En qu´e caso es nulo? ¿Qu´e representa este caso?
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11.2
11.4. Sup´ ongase un cable coaxial como el descrito en el problema 6.3, formado por un n´ ucleo met´ alico cil´ındrico, de radio a, rodeado de una capa de diel´ectrico, de permitividad ε1 , con radio exterior b y una corteza exterior met´ alica de peque˜ no espesor. Rodeando a esta corteza hay otra capa de diel´ectrico de permitividad ε2 , de radio exterior c. La permeabilidad de todos los materiales es igual a la del vac´ıo. La corteza met´ alica exterior se encuentra permanentemente a tierra, mientras que el n´ ucleo se halla a una tensi´ on V . Sup´ ongase que el cable se alinea con el eje z y que se aplica un campo magn´etico uniforme en la direcci´ on del eje x. H´ allese la densidad de flujo de energ´ıa electromagn´etica en cada punto del espacio y la cantidad de energ´ıa que fluye a trav´es de una secci´ on transversal del cable coaxial. 11.5. En la regi´ on en torno al origen de coordenadas, existe un campo electromagn´etico que deriva de los potenciales (en esf´ ericas) k(2r 3 + 3c2 vt3 ) kvrt2 ur V = 2 6 (k y v son constantes). Calc´ ulense los campos E y B en esta regi´ on. Rep´ıtanse los c´ alculos para los potenciales kr 2 (3vt − 2r) A=0 V =− 6 y para el caso krt (vt − 2r) ur V =0 A=− 2 ¿Cu´ anto valen las fuentes de los campos electromagn´eticos en cada caso? A=−
11.6. En una regi´ on del espacio vac´ıo existe un campo electromagn´etico dado por At2 x uz 2 (a) Demu´ estrese que este campo es soluci´ on de las ecuaciones de Maxwell. (b) Calc´ ulense las fuentes del campo y compru´ebese que se cumple la ley de conservaci´ on de la carga. (c) H´ allese la densidad de energ´ıa electromagn´etica, el vector de Poynting y la potencia desarrollada por el campo electromagn´etico sobre las fuentes. Verif´ıquese que se satisface el teorema de Poynting en forma diferencial. E = Axytux
B=
a B
s®¥ s=0,e1 s®¥ a
e,s,m0
s=0,e2
b
V(t) Problema 11.3
b
c
Problema 11.4
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11.3
11.7. En un plasma, la densidad de corriente se relaciona con el campo el´ectrico en la forma ∂J = ε0 ωp2 E ∂t Demu´estrese que el teorema de Poynting en forma diferencial puede, para este medio, escribirse como ∂w =0 ∇·P+ ∂t ¿que representa la cantidad w? 11.8. En una regi´ on del vac´ıo libre de cargas y de corrientes, el campo el´ectrico vale E = E0 cos(ωt) cos(kz)ux A partir de este campo, h´ allese (a) El campo magn´ etico (b) La relaci´ on entre ω y k. (c) La densidad de energ´ıa el´ ectrica (d) La densidad de energ´ıa magn´ etica. (e) La densidad de energ´ıa total. (f) El promedio temporal de las cantidades anteriores, definiendo el promedio de una cantidad como 2π 1 T A(t)dt T = A = T 0 ω (g) El vector de Poynting y su promedio. ¿A qu´e corresponde este campo el´ ectrico? 11.9. En una regi´ on del espacio, se tiene el campo electromagn´etico E = E0 cos(ωt − kx)(ux + uy )
B=
E0 cos(ωt − kx)uz c
(con c la velocidad de la luz) (a) Compru´ ebese que este campo es soluci´ on de las ecuaciones de Maxwell si ω = ck. (b) H´ allense las densidades de carga y de corriente que originan este campo. (c) Calc´ ulese la energ´ıa el´ ectrica y magn´etica almacenadas por unidad de volumen, el vector de Poynting y la potencia consumida por unidad de volumen. Compru´ebese que se verifica el teorema de Poynting.
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Primer Parcial, Febrero de 2003 ´ Optica ´ptica paraxial de la matriz de refracci´ O.1. (1.25 puntos) Ded´ uzcase la expresi´ on en o on correspondiente a un dioptrio esf´ erico. O.2. (1.25 puntos) Un haz de rayos paralelos procedente de un objeto lejano incide en el espejo grande de la figura (|r| = R = 5 m) y se refleja en un espejo peque˜ no que est´ a a D = 2 m del grande. Este espejo peque˜ no es realmente esf´ erico (no plano como se indica en la figura). La luz se enfoca en el v´ertice del espejo grande, como muestra la figura. (a) ¿Cu´ al es el radio de curvatura del espejo peque˜ no? (b) El espejo peque˜ no ¿es c´ oncavo o convexo? Dibuja el sistema real en una figura.
Teor´ıa (2.5 puntos) Coeficientes de capacidad e inducci´ on. ¿C´ omo se definen? ¿Qu´e representa el coeficiente ales son sus principales propiedades (simetr´ıas, anulaci´ on, signos,. . . )? Cij ? ¿Cu´ Aplicaci´ on: Se tiene un sistema formado por cuatro conductores esf´ericos de radio a, cuyos centros est´ an situados en los v´ertices de un tetraedro regular de arista b. Sup´ ongase que, en este sistema C11 = 4C, C12 = −C. 1. ¿Cu´ anto valen los dem´ as coeficientes de capacidad e inducci´ on en este sistema? 2. Sup´ ongase que inicialmente uno de los conductores almacena una carga Q, mientras que los otros tres est´ an descargados. ¿Cu´ anto vale el potencial de cada conductor? ¿Y la energ´ıa almacenada? 3. Si en el sistema anterior los cuatro conductores se conectan todos entre s´ı, ¿cuanto valen la carga, el potencial y la energ´ıa electrost´ atica?
R
D ´ Optica
Aplicaci´ on
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Primer Parcial, Febrero de 2003 Problemas P.1. (2.5 puntos) Un modelo de ´ atomo es el constituido por una carga puntual positiva q, situada en el centro de una nube esf´ erica de radio a y con densidad de carga uniforme ρ0 . (a) Si el ´ atomo es neutro, ¿cu´ anto debe valer ρ0 ? (b) Para este valor, h´ allese el campo y el potencial el´ectrico en todos los puntos del espacio ´tomo). (sup´ ongase el origen de coordenadas en el centro del a (c) Sup´ ongase que se coloca una carga puntual q1 en el interior de la nube, en el punto r1 = al es el trabajo para mover esta carga desde este punto al r2 = −(a/2)uz a lo (a/2)uz . ¿Cu´ largo de una semicircunferencia? ¿Cu´ al ser´ıa el trabajo si en lugar de una carga puntual tenemos un dipolo que movemos a lo largo de la misma curva, siendo su orientaci´ on en todo momento p = puz ? ¿Y si su orientaci´ on es en todo momento p = pux ? P.2. (2.5 puntos)Sobre una placa met´ alica plana, de secci´ on S (que supondremos en z = 0), se coloca ua una l´ amina una capa de diel´ ectrico de permitividad ε1 con espesor a. Sobre esta capa se sit´ met´ alica, de secci´ on S0 < S, el resto de la superficie se deja libre y descargado. Se superpone una ´ ltimo, el sistema se cierra con una segunda capa de diel´ ectrico de permitividad ε2 y espesor b. Por u segunda l´ amina met´ alica de secci´ on S. (a) Si las placas inferior, intermedia y superior se colocan, respectivamente, a potenciales V1 , V2 y V3 , ¿Cu´ anto vale la carga (libre) almacenada en cada conductor? Despr´eciense totalmente los efectos de borde (suponiendo E = Euz ) y los posibles campos exteriores al sistema. (b) Sup´ ongase que la placa inferior se sit´ ua a tierra, mientras que la superior se deja aislada y descargada. Si la placa intermedia se encuentra a una tensi´ on V , ¿qu´e carga aparece en la placa inferior? ¿Y en la intermedia? (c) Si, en la situaci´ on anterior se desconectan los generadores y se conecta la placa inferior a la superior, ¿como se redistribuyen las cargas?
S
z q·
r0
y
b
e2
a
e1
x
S0 P.1
P.2
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Segundo Parcial, Junio de 2003 ´ Optica O.1. (1.25 puntos) ¿En qu´ e se diferencia un emisor luminoso is´ otropo de uno perfecto (o lambertiano)? Deduzca razonadamente la ley de Lambert. En la figura, se tienen dos elementos de superficie, on de dA1 y dA2 , que podemos considerar lambertianos, tanto emisores como difusores. En funci´ ´ los angulos y distancias del dibujo, ¿cu´ al es la iluminaci´ on que recibe dA1 procedente de dA2 ? ¿Y la que dA2 recibe de dA1 ? O.2. (1.25 puntos) Un foco luminoso S, de peque˜ nas dimensiones que emite luz visible de frecuencia ν, est´ a sumergido en un lago a una profundidad h. A gran distancia de este foco, un receptor est´ a sumergido en el mismo lago a una profundidad variable y. Cuando el receptor se desplaza sobre su vertical, a una distancia fija D de la fuente S, registra peri´ odicamente m´ aximos y m´ınimos de intensidad luminosa. (a) Explique el fen´ omeno. (b) Calcule la distancia vertical entre dos posiciones consecutivas del receptor correspondientes a dos m´ aximos. El ´ındice de refracci´ on del agua puede tomarse igual a 4/3. Nota: Sup´ ongase D h y D y.
Teor´ıa (2.5 puntos) ¿Qu´ e establece f´ısicamente la ley de conservaci´ on de la carga? Establ´ezcase dicha ley en forma integral y, a partir de esta forma, en´ unciese en forma diferencial. ¿Se deduce esta ley de las ecuaciones de Maxwell o constituye un hecho f´ısico independiente? Si se deduce, ¿c´ omo? ´hmico se tiene la relaci´ Para un condensador relleno de un medio o on dQ + J · dS I= dt ¿C´ omo se interpreta esta ecuaci´ on? ¿C´ omo se deduce de la ley de conservaci´ on de la carga? Aplicaci´ on: Una nube esf´ erica de carga (compuesta de una distribuci´ on de cargas puntuales flotando en el vac´ıo) se encuentra en expansi´ on, creciendo el radio de la esfera como R(t) = R0 + vt. La carga total de la nube, Q0 , se encuentra distribuida en todo momento de forma uniforme en el volumen de la esfera. A partir de la ley de conservaci´ on de la carga, calc´ ulese la densidad de corriente de conducci´ on en la nube. Puede suponerse que J = J(r)ur y que esta densidad no es infinita en el centro de la esfera. Calc´ ulese el campo el´ ectrico en los puntos de la nube y, a partir de ´este, la corriente de desplazamiento. ¿Cu´ anto vale la densidad de corriente total? ¿Habr´ a campo magn´ etico en el sistema? ´ hmico. Nota: La nube de carga se encuentra en el vac´ıo y no puede considerarse un material o y
N1
h
a1
r
a2
N2
S
dA 2
dA1 O.1
R D
O.2
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Problemas
Segundo Parcial, Junio de 2003
Nota: En los dos problemas, los valores num´ericos deben sustituirse al final de cada c´ alculo, no antes. P.1. (2.5 puntos) La conductividad del cobre var´ıa con la temperatura como σ0 σ= 1 + α(T − T0 ) donde σ0 = 5.9 × 107 S/m, α = 0.0039(◦ C)−1 , T es la temperatura ambiente y T0 una temperatura de referencia (normalmente T0 = 20◦ C) a la cual se ha medido σ0 . Se hace pasar un cable de cobre de radio a = 0.5 mm a trav´es de la pared de una habitaci´ on, de espesor b = 30 cm. El cable va y vuelve del interior de la habitaci´ on a la calle. Las longitudes del peque˜ no arco exterior y del cierre interior son despreciables. La temperatura interior de la habitaci´ on puede suponerse constante e igual a Tint = 22◦ C, mientras que la exterior var´ıa desde Text = 5◦ C en invierno a Text = 40◦ C en verano. La temperatura a lo largo de la pared var´ıa linealmente como funci´ on de x desde la temperatura interior (en x = 0) a la exterior (en x = b). (a) ¿Cu´ anto vale la resistencia del cable como funci´ on de la temperatura exterior? ¿Cu´ al es su valor en verano? ¿Y en invierno? (b) Teniendo en cuenta el efecto Joule, ¿podr´ıa usarse este dispositivo como term´ ometro, conect´ andolo a una fuente de tensi´ on de, por ejemplo 1 V, y midiendo la corriente resultante? ¿Por qu´ e? ¿Y si se emplea una tensi´ on de 0.1 mV? ´ltimo caso, si la precisi´ (c) En este u on del amper´ımetro es de 1 mA, ¿cu´ al es el m´ınimo intervalo de temperaturas medible? P.2. Se construye un solenoide cil´ındrico de radio b = 2 cm y longitud h = 20 cm con un hilo de cobre ametro d = 1 mm. El hilo se arrolla de forma densa, sin espacios entre (σ = 5.9 × 107 S/m) de di´ vueltas. En el interior del solenoide se coloca una barra, tambi´en cil´ındrica, de radio a = 1 cm, de un material superconductor (σ → ∞, µ = 0). A los extremos del solenoide se conecta una fuente de continua de tensi´ on V0 = 10 mV. El circuito se cierra por un interruptor que se conecta en t = 0. (a) Descr´ıbase cualitativamente el comportamiento del sistema tras la conexi´ on del circuito. ¿Qu´ e ocurre en el n´ ucleo superconductor? (b) H´ allese la autoinducci´ on y la resistencia del sistema. (c) Determ´ınese la corriente que circula por el solenoide como funci´ on del tiempo, tras el cierre del interruptor. (d) ¿Habr´ a campo el´ ectrico en el interior del n´ ucleo superconductor? ¿Y en el espacio intermedio entre el n´ ucleo y el solenoide? ¿Y en el exterior de ´este? De existir este campo, ¿cu´ al ser´ıa su valor?
Tint
Text
V0
h
A x=0
P.1
x=b
x
b P.2
a
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Examen Final, Julio de 2003 • Aquellos que tengan pendiente s´ olo el Primer Parcial, deber´ an responder a los ejercicios O.1, O.2 y T.1 • Aquellos que tengan pendiente s´ olo el Segundo Parcial, deber´ an responder a los ejercicios O.3, O.4 y T.2 • Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deber´ an responder los ejercicios O.1, O.4 y T.2 No se corregir´ an respuestas a problemas diferentes de los indicados
´ Optica O.1. [1P-T] (1.25 puntos) Escriba la ecuaci´ on diferencial de un rayo luminoso. A partir de esta ecuaci´ on, demuestre: (a) La propagaci´ on rectil´ınea de la luz en un medio homog´eneo. (b) La existencia de espejismos durante el verano en carreteras y terrenos con intensa insolaci´ on. O.2. [1P] (1.25 puntos) Se tiene un sistema formado por una lente convergente de focal f1 , una lente divergente de focal f2 y un espejo de radio r, tal como muestra la figura. Se coloca un objeto de altura h a una distancia a delante de la lente convergente. Calcule el tama˜ no final de la imagen producida por el espejo. Datos: |f1 | = 30 cm, |f2 | = 15 cm, |r| = 24 cm, distancia entre lentes d1 = 10 cm, distancia de la segunda lente al espejo d2 = 110 cm, h = 5 cm, a = 30 cm.
h
r
Objeto
a
d1
Problema O.2
d2
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Examen Final, Julio de 2003 • Aquellos que tengan pendiente s´ olo el Primer Parcial, deber´ an responder a los ejercicios O.1, O.2 y T.1 • Aquellos que tengan pendiente s´ olo el Segundo Parcial, deber´ an responder a los ejercicios O.3, O.4 y T.2 • Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deber´ an responder los ejercicios O.1, O.4 y T.2 No se corregir´ an respuestas a problemas diferentes de los indicados
´ Optica O.3. [2P] (1.25 puntos) ¿C´ omo se construye la curva de sensibilidad espectral del ojo? ¿A qu´e se llama al es el flujo luminoso correspondiente eficiencia luminosa relativa o factor de visibilidad, Vλ . ¿Cu´ atica de λ1 = 520 nm? Si emitimos con luz a un flujo radiante Fe = 20 W de luz verde monocrom´ roja de λ2 = 680 nm y queremos obtener el mismo flujo luminoso, ¿qu´e flujo radiante se precisa? Datos: Vλ1 = 0.7100 para λ1 = 520 nm; Vλ2 = 0.0170 para λ2 = 680 nm; Km = 683 lm/W. O.4. [2P-T] (1.25 puntos) En la figura se muestran dos ondas planas, cuyos vectores E son paralelos y tienen la direcci´ on del eje OX, y que se propagan en las direcciones k1 y k2 . La frecuencia angular de ambas ondas es de ω = 3.5 × 1015 rad/s y la amplitud de una de ellas es 10 veces menor que la de la otra. (a) Escriba la expresi´ on de los campos el´ectricos asociados a cada onda. (b) Calcule la distribuci´ on de la intensidad en el plano y = 0. (c) Si se coloca una pel´ıcula fotogr´ afica de alta resoluci´ on (2800 l´ıneas/mm) determine si, exponiendo adecuadamente, se podr´ a registrar el diagrama interferencial.
z k1 30º 20º k2
x
Problema O.4
y
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Examen Final, Julio de 2003 • Aquellos que tengan pendiente s´ olo el Primer Parcial, deber´ an responder a los ejercicios O.1, O.2 y T.1 • Aquellos que tengan pendiente s´ olo el Segundo Parcial, deber´ an responder a los ejercicios O.3, O.4 y T.2 • Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deber´ an responder los ejercicios O.1, O.4 y T.2 No se corregir´ an respuestas a problemas diferentes de los indicados
Teor´ıa T.1. [1P] (2.5 puntos) ¿Cu´ anto vale el trabajo para introducir una carga en un campo externo constante? Raz´ onese la respuesta. A partir de aqu´ı, ¿cu´ anto trabajo se necesita para reunir una distribuci´ on de cargas puntuales? ¿Adonde va a parar este trabajo? ¿C´ omo se expresa el resultado de forma sim´etrica en t´erminos de cargas y potenciales? Si se tiene una configuraci´ on dada de cargas puntuales, y la distancia entre todas ellas se reduce en anto var´ıa la energ´ıa almacenada? un factor λ < 1 (de ser dij pasa a ser λdij ), ¿cu´ Aplicaci´ on Cuatro cargas puntuales se sit´ uan en los v´ertices de un cuadrado de lado a. Dos de ellas, situadas en v´ertices adyacentes, son de valor +q, mientras que las otras dos valen −q. Calc´ ulese el trabajo para reunir esta distribuci´ on de cargas. Sup´ ongase que una de las cargas positivas se intercambia con la negativa situada en el v´ ertice opuesto, ¿qu´ e trabajo hay que realizar para esta operaci´ on? Si la carga positiva se permuta con la negativa situada en el v´ertice vecino, ¿cu´ al ser´ a en este caso, el trabajo realizado? T.2. [2P-T] (2.5 puntos) En´ unciese la ley de Faraday en forma integral. ¿C´ omo se aplica esta ley a una espira m´ ovil en un campo magn´etico constante? Demu´estrese que en este caso la ley de Faraday puede demostrarse a partir de la ley de fuerza de Lorentz. ¿C´ omo se aplica al caso de un circuito fijo en un campo magn´etico variable? ¿Qu´e consecuencias tiene esto para el campo el´ ectrico? Aplicaci´ on Por un hilo de longitud infinita circula una corriente continua I0 . Cerca de este hilo se encuentra un peque˜ no anillo met´ alico, de radio a, coplanario con el hilo, y cuyo centro se encuentra a una distancia b de ´ este (b a). El anillo posee resistencia R y autoinducci´ on despreciable. Si la corriente que circula por el hilo se reduce pasando de valer I0 en t = 0 hasta ser nula en t = T , h´ allese la carga que pasa por un punto del anillo durante el intervalo T . Sup´ ongase ahora que el anillo tuviera autoinducci´ on L y resistencia nula, ¿qu´e ocurrir´ıa en el anillo, si se cortara la corriente del hilo en la misma forma que en la situaci´ on anterior?
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Examen Final, Julio de 2003 • Aquellos que tengan pendiente s´ olo el Primer Parcial, deber´ an responder a los ejercicios P.1 y P.2 • Aquellos que tengan pendiente s´ olo el Segundo Parcial, deber´ an responder a los ejercicios P.3 y P.4 • Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deber´ an responder los ejercicios P.2 y P.3 No se corregir´ an respuestas a problemas diferentes de los indicados
Problemas P.1. [1P] (2.5 puntos) Una corteza esf´ erica de radio interior a y exterior b est´ a hecha de diel´ectrico polarizado seg´ un la ley k P = ur r No hay m´ as cargas en el sistema (a) Calc´ ulense las densidades de carga de polarizaci´ on en el sistema. ¿Cu´ anto vale la carga total de polarizaci´ on? (b) H´ allense los campos D y E en todo el espacio. (c) Determ´ınese el valor del potencial el´ectrico en todo el espacio. P.2. [1P-T] (2.5 puntos) Se tiene un condensador esf´erico, formado por dos superficies met´ alicas de radios a y b. Para mantenerla en su posici´ on, la esfera central est´ a sujeta por dos cu˜ nas diel´ectricas nas tienen forma de sectores esf´ericos, valiendo el semi´ angulo s´ olidas, de permitividad ε1 . Las cu˜ nas. El resto del espacio entre las esferas queda vac´ıo. θ0 = π/3 para las dos cu˜ (a) H´ allese la capacidad de este condensador. (b) El hueco entre las cu˜ nas y las esferas se llena hasta la mitad con un aceite diel´ectrico de anto? permitividad ε2 . La capacidad del sistema, ¿aumenta o disminuye? ¿Cu´ (c) Sup´ ongase que el sistema, antes de llenarse de aceite, se carg´ o poniendo la esfera exterior a o la esfera interior. Despu´es se llen´ o tierra y la interior a tensi´ on V0 . Acto seguido se desconect´ de aceite, ¿cu´ anto vale el nuevo potencial de la esfera interior? q0=p/3
e0 e1
b
a
Problema P.2
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Examen Final, Julio de 2003 • Aquellos que tengan pendiente s´ olo el Primer Parcial, deber´ an responder a los ejercicios P.1 y P.2 • Aquellos que tengan pendiente s´ olo el Segundo Parcial, deber´ an responder a los ejercicios P.3 y P.4 • Aquellos que tengan pendiente toda la asignatura, deber´ an responder los ejercicios P.2 y P.3 No se corregir´ an respuestas a problemas diferentes de los indicados
Problemas P.3. [2P-T] (2.5 puntos) Se tiene un anillo grueso, de secci´ on cuadrada. El radio medio vale b y el lado de la secci´ on a. El anillo no est´ a cerrado, sino que tiene un peque˜ no corte, de anchura e (e a). Las dos caras del corte se pueden suponer paralelas. El anillo no es homog´ eneo, sino que est´ a formado por dos materiales de diferente conductividad, ´ngulo α y el 2 el resto σ1 y σ2 . La permitividad de ambos materiales es ε. El material 1 ocupa un a de la circunferencia. En los dos extremos del anillo se colocan dos placas met´ alicas muy finas, cuyas tensiones se fijan en 0 y V0 . (a) Calc´ ulese la corriente que fluye de una placa a la otra. (b) H´ allese la carga almacenada en cada placa met´ alica. ¿Es nula la carga total almacenada en las dos placas? ¿Por qu´ e? (c) ¿Cu´ al ser´ıa el circuito equivalente a este sistema? P.4. [2P] (2.5 puntos) En el plano z = 0 se encuentran dos anillos coplanarios conc´entricos, de radios a y b (b > a). Por el anillo interior circula una corriente I0 . (a) H´ allese la corriente I1 que debe circular por el anillo exterior para que el campo magn´etico en el centro de los anillos se anule. (b) Calc´ ulese el campo magn´ etico en todos los puntos del eje del sistema. (c) H´ allese el campo en todos los puntos del espacio alejados de los anillos. (d) Sup´ ongase que b = 2a y que nos situamos a una altura z = 10a. ¿Cu´ al es el error relativo cometido al aproximar el valor exacto del campo por la aproximaci´ on dipolar? s1,e a
s2,e a
b
Problema P.3
V0
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Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2003 ´ Optica O.1. (1.25 puntos) Expl´ıquese en qu´ e consiste el fen´ omeno de la reflexi´ on total y por qu´e permite la ´ptica. transmisi´ on de informaci´ on a lo largo de un fibra o ´ ptica para que un rayo Determ´ınese el ´ındice de refracci´ on m´ınimo que ha de poseer una fibra o que incida con un ´ angulo cualquiera θ sobre un extremo quede confinado dentro de la fibra hasta que salga por el extremo opuesto. O.2. (1.25 puntos) Dos rendijas de Young situadas en una pantalla opaca E y separadas una distancia a est´ an iluminadas por la luz que proviene de una fuente puntual de radiaci´ on monocrom´ atica (λ = 500 nm) situada en el foco de una lente convergente L (ver figura) (a) Descr´ıbase el diagrama interferencial producido en una pantalla Q situada a una distancia D a. Calc´ ulese el orden de interferencia en el centro de la pantalla coincidente con el eje ´ ptico. o ´ ptico una distancia b, ¿cambia el orden (b) Si la fuente puntual se separa verticalmente del eje o interferencial en el centro de la pantalla? Si es as´ı, calc´ ulese su valor. ¿Y el valor de la interfranja?
Teor´ıa (2.5 puntos) Expl´ıquese en qu´ e consisten las dos descripciones alternativas en t´erminos de fuentes vectoriales o escalares, equivalentes a la magnetizaci´ on de un material. Ded´ uzcase como quedan las ecuaciones de la magnetost´ atica cuando se emplean cada una de estas descripciones alternativas. ¿Qu´e ventajas e inconvenientes pueden presentar estas descripciones?
Aplicaci´ on: Una esfera de un material magn´ etico se caracteriza por una imanaci´ on dada por
M=
Aρ uρ 0
rR
siendo ρ la coordenada cil´ındrica radial. H´ allense las distribuciones de fuentes escalares y vectoriales equivalentes a esta magnetizaci´ on. ¿Cu´ anto vale el campo magn´ etico B en el centro de la esfera? ¿Y el campo H? f q
D
Fuente puntual
a b
·
a L
O.1
E
O.2
x Q
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Convocatoria ordinaria, Septiembre de 2003 Problemas P.1. (2.5 puntos) El campo el´ ectrico creado por una banda de espesor b cargada uniformemente por una densidad ρ0 , es ⎧ b ⎪ ⎪ ρ0 b uz ⎪ z> ⎪ ⎪ 2ε 2 ⎪ 0 ⎪ ⎪ ⎨ρ z b b 0 E= uz −