Potencial eléctrico Física II Grado en Ingeniería de Organización Industrial Primer Curso Joaquín Bernal Méndez Curso 2011-2012

Departamento de Física Aplicada III Universidad de Sevilla

Índice Introducción: energía potencial electrostática Diferencia de potencial Significado físico Propiedades Superficies equipotenciales

Potencial de un sistema de cargas puntuales Determinación del campo eléctrico a partir del potencial Potencial de distribuciones continuas de carga Energía potencial electrostática 2/31

Introducción (I) La fuerza asociada a campos eléctricos estáticos (o electrostáticos) es conservativa El trabajo realizado por la fuerza cuando actúa en una determinada trayectoria solamente depende del punto inicial y final, no del camino recorrido. El trabajo realizado en un camino cerrado es nulo. Puede definirse una función energía potencial.

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Introducción (II) El trabajo realizado por el campo gravitatorio sobre una masa m equivale a la disminución de energía potencial gravitatoria El trabajo realizado por el campo electrostático sobre la carga +q es igual a la disminución de energía potencial electrostática

Tierra

Carga negativa 4/31

Energía potencial Sea una carga q0 en un campo externo Trabajo realizado por la fuerza   conservativa: dW  F  dl Variación de energía potencial

 v q0

 E

   dl F  q0 E

    dU   F  dl  q0 E  dl 5/31

Índice Introducción: energía potencial electrostática Diferencia de potencial Significado físico Propiedades Superficies equipotenciales

Potencial de un sistema de cargas puntuales Determinación del campo eléctrico a partir del potencial Potencial de distribuciones continuas de carga Energía potencial electrostática 6/31

Diferencia de potencial (I) La variación de U es proporcional a q0 Diferencia de potencial:

  dU dV    E  dl q0 Incremento entre dos puntos: integral de línea

  V  VB  VA    E  dl A  Menos circulación de E B

¡No depende del camino!

B

A 7/31

Diferencia de potencial (II) La diferencia de potencial (VB-VA) es el menos trabajo realizado por el campo electrostático cuando desplazamos la unidad de carga positiva desde A hasta B La diferencia de potencial (VB-VA) es el trabajo que debe realizarse para desplazar la unidad de carga positiva desde A hasta B en el seno de un campo electrostático El proceso tiene que ser cuasi-estático Para que no aparezca un término de variación de energía cinética Para que no exista pérdida de energía en forma de radiación electromagnética, que aparece cuando hay cargas aceleradas 8/31

Propiedades de V



Es un campo escalar: función de la posición V ( r ) La diferencia de potencial entre dos puntos tiene significado físico, pero no el valor concreto de V en cada punto El “origen de potencial” es arbitrario

La función V es continua en todos los puntos, excepto donde el campo eléctrico sea infinito Demostración:

  dV   E  dl   Edl cos 

Entonces si E es finito dV es infinitesimal

V disminuye en la dirección indicada por las líneas de campo Unidades: voltio (V); 1V=1J/C=1Nm/C → 1V/m=1N/C

  dV   E  dl

dU  q0 dV

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Campo eléctrico uniforme: superficies equipotenciales   E  Ei

y

  dV   E  dl   Edx



x

B

A

B

dV  VB  VA    E dx A

B

V1

V2

V3

V  VB  VA   E  dx   E x A

Superficies equipotenciales: superficies tales que en todos sus puntos V=cte. En este ejemplo son todos los planos de x=cte

V1  V2  V3

El trabajo para desplazar una carga de un punto a otro de una superficie equipotencial es nulo 10/31

Aplicación ¿Cuánto vale la diferencia de potencial entre dos puntos cualesquiera de un conductor en equilibrio electrostático? V  VB  VA   

B

A

  E  dl  0

Se puede hablar del potencial de un conductor en equilibrio electrostático. Su superficie es una superficie equipotencial

B

A 11/31

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Potencial de un sistema de cargas puntuales Determinación del campo eléctrico a partir del potencial Potencial de distribuciones continuas de carga Energía potencial electrostática 12/31

Potencial de una carga puntual Sea una carga q calculamos dV en r:

   q dV   E  dl  k 2 rˆ  dl   r Donde: rˆ  dl  dl cos   dr q dV   k 2 dr r

Punto de referencia

Punto campo

Integrando:

rP

VP  Vref    k rref

q q q dr  k  k r2 rP rref 13/31

Potencial de una carga puntual La referencia de potencial es arbitraria Tomamos: Punto de

rref   y V ()  0

referencia

Punto campo

Entonces:

0 0 q q V ( r )  V ( )  k  k r  q V (r )  k r POTENCIAL DE COULOMB: Potencial de una carga puntual 14/31

Potencial de una carga puntual Superficies equipotenciales: esferas centradas en la carga

Vi  k

q ri

 r2  r3

V1

V2

V3

 r1

V1  V2  V3

Relación con la energía potencial Energía potencial electrostática de un sistema de dos cargas tomando U(∞)=0 : Trabajo para llevar q

U (r )  q0V (r )  k

qq0 r

desde ∞ hasta r en presencia de q

0

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Sistema de cargas puntuales El potencial de un sistema de cargas puntuales en un punto P es la suma de los potenciales de cada carga en ese punto

VP   k i

qi ri

q3

 r3

q2

P  r2

 r1

q1

Esto es una consecuencia del principio de superposición para el campo eléctrico La suma es escalar, no vectorial: a veces resulta más fácil calcular V como paso previo para obtener el campo eléctrico ¿Cómo se determina el campo eléctrico a partir del potencial? 16/31

Determinación del campo eléctrico a partir del potencial  dl

   dV   E  dl   E cos dl   Et dl E  dV Et Et   dl   Si dl  E  cos   0  dV  0  Si dl  E  cos   1  dV es máximo El campo eléctrico indica la dirección de máxima variación de V El módulo del campo eléctrico en ese punto es la derivada direccional máxima dV

E 

dl

max 17/31

Determinación del campo eléctrico a partir el potencial El gradiente de una función escalar (ya visto en Física I) es un vector cuya dirección es la de máxima variación de esa función y cuyo módulo es la derivada en esa dirección Cálculo del gradiente: En consecuencia:   E  V Ejemplo: campo uniforme paralelo al eje x

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Potencial de un sistema de cargas puntuales Determinación del campo eléctrico a partir del potencial Potencial de distribuciones continuas de carga Energía potencial electrostática 19/31

Potencial de distribuciones continuas de carga (I) q Para una carga puntual: V  k r Entonces, dV creado por dq en P:

dV  k

dq r

Potencial en P:

z x

dq d   k  r  r

V  k



dq  d   P r

y Integro en el volumen 

Esta ecuación supone V(∞)=0 y por tanto no puede usarse para distribuciones de carga que se extiendan hasta el infinito. En estos casos suele poder calcularse V a partir del campo eléctrico, obtenido a su vez mediante Ley de Gauss 20/31

Potencial de distribuciones continuas de carga (II) Distribución superficial de carga: z

dq  dS

dS s r

V  k

 r x P y Distribución lineal de carga:

z x

P r dl dq  dl y

dl l r

V  k

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Cálculo del potencial (I) Ejemplo: Campo eléctrico y potencial en puntos del eje de un anillo con carga uniforme

Q

V k l

Q dq k   dq  k r l r x2  a2

r  x2  a2   dV  E  V   i dx

Ex  

Es el mismo ∀dq

dV Qx k 2 3 dx ( x  a2 ) 2 22/31

Cálculo del potencial (II) Ejemplo: Campo eléctrico y potencial en puntos del eje de un anillo con carga uniforme

Q

Q

V k

  E  Ex i Si x>>a (puntos alejados del anillo): En el centro del anillo (x=0):

x2  a2 Qx Ex  k 2 3 ( x  a2 ) 2 V k

Q x

Ex  0 V (0)  k

Potencial de una carga puntual

Q a

Máximo en el eje x 23/31

Cálculo del potencial (III) Ejemplo: potencial debido a una corteza esférica

Q

S r1

En principio se puede calcular V por integración directa

R

Sr 2 rR

rR

Alta simetría: es más fácil calcular primero el campo eléctrico mediante Ley de Gauss

  2 E  dA  E 4  r  4kQ r  sr1   2 E  dA  E 4  r  4kQint  0 r  sr 2

Er  k

Q r2

Er  0

El campo eléctrico en el exterior de la esfera coincide con el campo creado por una carga puntual de valor Q situada en su centro 24/31

Cálculo del potencial (IV) Ejemplo: potencial debido a una corteza esférica

Q

R

r rR Q

R

r

rR

0 r  r dr  Q V (r )  V ()    E  dr  kQ  2  k   r r Q V (r )  k r  r  R dr r 0  V (r )    E  dr  kQ  2   Edr R   r Q V r k ( )   R 25/31

Cálculo del potencial (V) Ejemplo: potencial debido a una corteza esférica El potencial y el campo fuera de la esfera son iguales que los que crearía una carga puntual Q en su centro El potencial es continuo al atravesar la corteza esférica En el interior de la esfera el campo eléctrico es nulo y el potencial es constante Si E=0 en una región, no implica V=0 sino V constante 26/31

Índice Introducción: energía potencial electrostática Diferencia de potencial Significado físico Propiedades Superficies equipotenciales

Potencial de un sistema de cargas puntuales Determinación del campo eléctrico a partir del potencial Potencial de distribuciones continuas de carga Energía potencial electrostática 27/31

Energía potencial electrostática Para traer una carga q2 desde el infinito a las proximidades de otra q1 necesitamos realizar un trabajo: qq q2 q1 d Wext  U  q2V1 (d )  k 1 2 + + d Donde hemos tomadoU ()  q2V1 ()  0 En general, para un sistema de n cargas puntuales: 1 n U   qiVi 2 i 1

ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE UN SISTEMA DE CARGAS PUNTUALES

La ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA de un sistema de cargas puntuales es el trabajo necesario para transportar las cargas desde una distancia infinita hasta sus posiciones finales 28/31

Energía potencial de conductores en equilibrio q Para un conductor esférico con carga q: V  k R + + Trabajo para añadir una carga dq: + R + + q dU  Vdq  k dq + + R + La energía potencial electrostática del conductor en equilibrio electrostático se obtiene integrando: Válida aunque el k Q kQ 2 1 U   qdq   QV conductor no sea esférico R 0 2R 2 Si se tiene un sistema de n conductores: 1 n U   QV i i 2 i 1

ENERGÍA POTENCIAL ELECTROSTÁTICA DE UN SISTEMA DE CONDUCTORES 29/31

Energía potencial de conductores (visión alternativa) El conductor puede considerarse un sistema de cargas puntuales infinitesimales dq situadas todas al mismo potencial V :

1 n U   qiVi 2 i 1

U

1 1 dQ V  QV 2 2

La “suma” de todas las cargas infinitesimales es una integral

No es necesario asumir que el conductor es esférico

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Resumen Las fuerzas electrostáticas son conservativas y, por tanto, puede definirse una función energía potencial como el menos trabajo realizado por la fuerza conservativa La variación del potencial electrostático es el incremento de energía potencial electrostática por unidad de carga Se calcula como una integral de línea del campo eléctrico. Significado físico de V: trabajo que hay que realizar para desplazar la unidad de carga positiva entre dos puntos El origen de potencial es arbitrario Representación gráfica: superficies equipotenciales   Conocido V es posible calcular el campo: E   V Cálculo del potencial: Distribuciones finitas de carga: integración (distribuciones continuas) o sumatorio (distribuciones discretas) Distribuciones con alta simetría: puede resultar más sencillo calcular previamente el campo eléctrico mediante Ley de Gauss Distribuciones infinitas: debe calcularse primero el campo eléctrico La energía potencial electrostática de una distribución de cargas es el trabajo que hay que realizar para crear la distribución 31/31