CÁLCULO Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.

Lección 3. Curvas en polares. Resumen de la lección. 3.1. Gráficas en coordenadas polares. Sistema de coordenadas polares. El sistema de coordenadas polares en el plano se basa en la elección como sistema de referencia para R2 el punto O (el origen de coordenadas) y el semieje polar, correspondiente a la parte positiva del eje OX cartesiano. Las coordenadas polares de un punto del plano P ∈ R2 son (r, θ) donde: r es el radio polar, esto es la distancia del punto P al origen de coordenadas O; y θ es el ángulo polar, esto es el ángulo que forma el segmento OP con el semieje polar medido en sentido positivo (contrario al movimiento del reloj). Cada punto del plano distinto del origen puede representarse de manera única en coordenadas polares, con la salvedad de que el ángulo polar queda determinado salvo múltiplos enteros de 2π. Así, conocidas las coordenadas polares de un punto P = (r, θ) se calculan sus coordenadas cartesianas, P = (x, y) como x = r cos θ, y = r sen θ. Al contrario, si son conocidas las coordenadas cartesianas del punto P = (x, y) entonces sus coordenadas polares P = (r, θ) se calculan como: p x2 + y 2 , r = ³y ´ θ = arctan , x

tomando en cada caso la rama de la arcotangente en [0, 2π] de forma que su coseno tenga el mismo signo que la coordenada x (o su seno el mismo signo que la coordenada y). Para el caso del origen O la representación del ángulo es cualquiera, luego bastará con que el radio sea cero para que quede determinado. Curva en coordenadas polares. Una curva en coordenadas polares es la gráfica de una función de la forma r = r (θ) con θ ∈ I (I un intervalo cualquiera), es decir donde se interpreta la variable independiente como el ángulo polar de los puntos y la variable dependiente como el radio polar de los mismos. Esto es, la curva es

el conjunto {(r (θ) , θ) : θ ∈ I} con (r (θ) , θ) coordenadas polares de puntos del plano. Papel polar. La situación de los puntos en el plano polar depende del ángulo y el radio polar, por ello interesa el uso, como marcas de localización o mallado, de las curvas en coordenadas polares más sencillas. La curva de ecuación r = r0 es la circunferencia de centro el origen O y radio r0 . La curva de ecuación θ = θ0 es la semirecta que parte del origen O formando un ángulo de θ0 radianes con el semieje polar. Simetrías en coordenadas polares. El estudio de las simetrías respecto de los ejes cartesianos y respecto del origen cuando la curva viene descrita en coordenadas polares, r = r (θ) , se realiza de la siguiente forma: 1. Simetría respecto del eje OX. La curva en polares definida por r = r (θ) es simétrica respecto del eje OX si se verifica para todo θ del dominio de la función que r (−θ) = r (θ) . 2. Simetría respecto del eje OY. La curva en polares definida por r = r (θ) es simétrica respecto del eje OY si se verifica para todo θ del dominio de la función que r (π − θ) = r (θ) . 3. Simetría respecto del origen O. La curva en polares definida por r = r (θ) es simétrica respecto del origen O si se verifica para todo θ del dominio de la función que r (π + θ) = r (θ) . Recta tangente en coordenadas polares. Sea una curva en coordenadas polares definida por la función r = r (θ) para θ ∈ (α, β) . Si r es derivable en θ0 ∈ (α, β) entonces la pendiente de la recta tangente a la curva en el punto (r (θ0 ) , θ0 ) es r0 (θ0 ) sen θ0 + r (θ0 ) cos θ0 . m (θ0 ) = 0 r (θ0 ) cos θ0 − r (θ0 ) sen θ0 En particular, para calcular los puntos donde las rectas tangentes son horizontales se plantean las siguientes condiciones r0 (θ) sen θ + r (θ) cos θ = 0 r0 (θ) cos θ − r (θ) sen θ 6= 0. O bien, para que las rectas tangentes sean verticales estas otras condiciones r0 (θ) sen θ + r (θ) cos θ 6= 0 r0 (θ) cos θ − r (θ) sen θ = 0. 2

Los puntos donde r0 (θ) sen θ + r (θ) cos θ = r0 (θ) cos θ − r (θ) sen θ = 0 producen una indeterminación en la fórmula anterior de la pendiente y deben ser estudiados de forma particular. Esbozo de una curva en coordenadas polares. Para realizar un trazado elemental de una curva en polares r = r (θ) pueden seguirse las siguientes indicaciones. 1. Determinar el periodo de la función, si lo tuviese. 2. Encontrar los intervalos de existencia, su dominio. Debe tenerse en cuenta que, para interpretarse las variables como coordenadas polares, el radio r debe ser siempre no negativo. 3. Realizar un estudio de las posibles simetrías. 4. Hallar algunas rectas tangentes notables, por ejemplo las horizontales y las verticales. 5. Realizar una tabla de valores para aquellos ángulos significativos. 6. Estudio del comportamiento de r frente a θ. 3.2. Área y longitud en coordenadas polares. Región encerrada por la gráfica de una función en coordenadas polares. Sea la curva en coordenadas polares definida por la función r = r (θ) donde θ ∈ [α, β] . La región D encerrada por la curva cuando θ ∈ [α, β] es el área que queda encerrada entre las semirectas θ = α y θ = β, y la propia curva. Esto es, el conjunto de puntos en coordenadas polares D = {(r, θ) : θ ∈ [α, β] , 0 ≤ r ≤ r (θ)} .

y r = r (θ )

β

D

α x

Región encerrada en coordenadas polares 3

Área de la región encerrada por la gráfica de una función en coordenadas polares. Sea r = r (θ) la ecuación de una curva en coordenadas polares de forma que r (θ) sea una función continua en el intervalo [α, β] . El área de la región D encerrada por la curva en coordenadas polares es Z 1 β 2 a´rea (D) = r (θ) dθ. 2 α Longitud de un arco de curva en coordenadas polares. Sea r = r (θ) la ecuación de una curva en coordenadas polares de forma que r (θ) sea una función de clase C 1 en el intervalo [α, β] . La longitud del arco C de dicha curva encerrado en el intervalo [α, β] es long (C) =

Z

β

α

q [r (θ)]2 + [r0 (θ)]2 dθ.

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Ejercicios de la lección. Ejercicio 1. Esboza las siguientes curvas en coordenadas polares para: 1. La espiral de arquímedes de ecuación r = aθ con θ ∈ [0, 4π] y a > 0. 2. La cardioide de ecuación r = a (1 − cos θ) con θ ∈ R y a > 0. p 3. La lemniscata de ecuación r = cos (2θ) con θ ∈ R.

4. La rosa de cuatro hojas de ecuación r = 4 |cos (2θ)| con θ ∈ R.

5. La curva de ecuación r = 1 + sen θ con θ ∈ R. 6. (Septiembre 08-09) La curva de ecuación r = cos θ − sen θ con θ ∈ R. 7. La curva de ecuación r =

2 − cos θ con θ ∈ R. 3 + sen2 θ

8. (Primer Parcial 08-09) La curva de ecuación r = 2 sen θ cos2 θ con θ ∈ R. Ejercicio 2. Calcula las siguientes áreas: 1. El área encerrada por la cardioide r = 1 − cos θ. 2. El área encerrada por un lóbulo de la lemniscata r = 3. El área encerrada por la curva r = 1 + sen θ.

p cos (2θ).

4. El área encerrada por una de las hojas de la curva rosa de cuatro hojas r = 4 |cos (2θ)| . Ejercicio 3. Determina las longitudes de los siguientes arcos de curva: 1. La espiral de arquímedes r = θ con θ ∈ [0, 4π] . 2. La cardioide r = 1 − cos θ. 3. (Septiembre 08-09) La curva de ecuación r (θ) = sen θ − cos θ. Ejercicio 4. Se consideran las curvas en coordenadas polares de ecuaciones r = 2 − 2 cos θ y r = −6 cos θ. 1. Esboza ambas curvas en un mismo dibujo determinando los puntos de corte entre ellas. 2. Halla el área de la región encerrada por ambas curvas. 5

3. Determina la longitud del contorno que rodea al área del apartado anterior. Ejercicio 5. (Primer Parcial 03-04) Se considera la curva Ca que en coordenadas polares tiene la ecuación r = a (3 − cos (4θ)) con a > 0, y el cono D de ecuación x2 + y 2 = 16z 2 . 1. Estudia si la curva Ca es simétrica respecto al eje OX y al eje OY. 2. Encuentra, y descríbelos en coordenadas cartesianas, los puntos de corte de la curva Ca con la circunferencia de centro el origen y radio 4a y con la circunferencia de centro el origen y radio 2a. 3. Calcula la ecuación de las rectas tangentes a la curva Ca en los puntos obtenidos en el apartado anterior que se encuentran en el primer cuadrante. 4. Con los datos obtenidos en los apartados anteriores esboza la curva Ca . 5. Sea H el sólido que tiene sección plana para z = a la región encerrada por Ca . Halla el volumen del sólido interior al cono D y exterior a H con z ∈ [0, 1]. Ejercicio 6. (Junio 03-04) Sea la curva r = 2 + cos (2θ) con θ ∈ [0, 2π]. 1. Realiza un esbozo de la curva estudiando los siguientes elementos: simetrías respecto de los ejes cartesianos y los puntos donde las tangentes son paralelas a dichos ejes. 2. Halla el área encerrada por la curva en el primer cuadrante. Ejercicio 7. (Primer pparcial 04-05) Sea C la curva en coordenadas polares dada por la ecuación r = sen (2θ). 1. Estudia los valores de θ para los que dicha curva está definida y analiza las simetrías respecto de los ejes cartesianos y respecto del origen de la misma.

2. Calcula la pendiente de la recta tangente a la curva C en función del ángulo θ. Determina los puntos de la curva C que tienen tangente horizontal o tangente vertical. 3. Esboza la gráfica de la curva C. 4. Calcula el área de la región encerrada por la curva C e interior a la circun√ 2 2 ferencia de ecuación x + y − 2y = 0.

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Ejercicio 8. (Junio 04-05) Considera la curva en coordenadas polares de ecuación h πi 1 r=√ . , θ ∈ 0, 2 1 + sen θ cos θ ³π ´ 1. Prueba que r (θ) = r − θ . ¿Qué interpretación geométrica se puede 2 deducir de esta igualdad? π y 2. Halla las rectas tangentes a dicha curva para los ángulos θ = 0, θ = 2 π θ = . Haz un esbozo de la curva. 4 3. Calcula el área de la región plana del primer cuadrante encerrada por la curva y los ejes coordenados. (Ten en cuenta para ello el ejercicio 24 de la relación anterior) Ejercicio 9. (Septiembre 04-05) Sea la curva C dada en coordenadas polares por la ecuación: ⎧ ¸ h π i ∙ 5π ⎪ ⎪ ∪ , 2π ⎨ 1 + cos θ, si θ ∈ 0, ∙ 3 ¸ 3 r= π 5π ⎪ ⎪ , . ⎩ 2 − cos θ, si θ ∈ 3 3 1. Esboza la curva estudiando previamente simetrías respecto de los ejes cartesianos y respecto del origen, así como las tangentes horizontales y verticales. 2. Halla el área de la región del primer cuadrante interior a la curva C. Ejercicio 10. (Primer Parcial 05-06) Sea C la curva dada en coordenadas polares por la ecuación r = 1 + 2 cos θ. 1. Estudia los valores de θ para los que dicha curva está definida y analiza las simetrías respecto de los ejes cartesianos y respecto del origen de la misma. π 2. Halla las rectas tangentes a dicha curva para los ángulos θ = 0, θ = y 2 2π . Haz un esbozo de la curva. θ= 3 3. Calcula el área de la región encerrada por la curva C comprendida entre las rectas y = 0 e y = x. Ejercicio 11. (Primer parcial 06-07) Sea C la curva en polares dada por la ecuación r = cos (3θ). 1. Esboza la gráfica de la curva, estudiando al menos los siguientes elementos: dominio, simetrías y rectas tangentes en θ = 0, π/6, π/2, 2π/3, 5π/6. 7

2. Halla el área de la región encerrada por la curva C. Ejercicio 12. (Junio 06-07) Considera la curva s µ ¶ θ . r = tan 2 1. Representa la curva r (θ) estudiando previamente las siguientes cuestiones: π ¿Qué dominio, rectas tangentes horizontales y recta tangente en θ = 2 ocurre cuando θ tiende a π? 2. ¿Existe el área encerrada por r (θ) en el intervalo [0, π]? Justifica la respuesta usando algún criterio de convergencia para integrales impropias. 3. Si la respuesta del apartado anterior es afirmativa h π icalcula dicho área, en caso contrario halla el área encerrada para θ ∈ 0, . 2

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