CÁLCULO Ingeniería Industrial. Curso 2009-2010. Departamento de Matemática Aplicada II. Universidad de Sevilla.

Lección 5. Series. Resumen de la lección. 5.1. Sucesiones y series. Sucesión convergente. Se de…ne una sucesión como una secuencia de números reales, uno por cada número natural n, (a1 ; a2 ; : : : ; an ; : : :) : A cada uno de los números que forman la secuencia se le denomina término, así al término ak con k 2 N se le llama término k-ésimo. El término inicial de una sucesión no tiene por qué ser n = 1 sino que puede ser cualquier número k 2 N[ f0g. Si se tiene una fórmula que permite calcular cada término en función de n; que denotamos an , entonces se le denomina a dicha fórmula término general y se escribe la sucesión como (an )n2N . Se dice que L 2 R (o L = 1) es el límite de la sucesión (an )n2N , y se denota como l m an = L; n!+1

si en cualquier entorno de L pueden encontrarse todos los términos de la sucesión a partir de uno dado. El límite de una sucesión es único. En caso de que una sucesión (an )n2N tenga límite …nito L 2 R se dice que es convergente y si su límite no es …nito se denomina divergente. Las sucesiones que no tienen límite se llaman oscilantes. La convergencia o no de una sucesión es independiente del término inicial tomado. Los límites de sucesiones veri…can las mismas propiedades con respecto a las operaciones algebraicas que los límites de funciones. Teorema del límite de una sucesión. Sea f (x) una función de modo que existe l m f (x) : Si (an )n2N es una sucesión tal que an = f (n) a partir de un x!+1

cierto término (esto es, existe n0 2 N tal que an = f (n) para todo n entonces también existe su límite y

n0 ),

l m an = l m f (x) :

n!+1

x!+1

Ley del emparedado para sucesiones. Si los términos generales de tres sucesiones dadas satisfacen que an bn cn a partir de un cierto término y ocurre que l m an = l m cn = L entonces también l m bn = L. n!+1

n!+1

n!+1

Sucesión acotada. Se dice que una sucesión (an )n2N es acotada superiormente si existe M 2 R tal que an M para todo n 2 N. La sucesión (an )n2N es acotada inferiormente si existe M 2 R tal que an M para todo n 2 N: Sucesión monótona. Una sucesión (an )n2N es creciente si a partir de un cierto término ocurre que an an+1 : La sucesión (an )n2N es decreciente si a partir de un cierto término ocurre que an an+1 : La sucesión (an )n2N es monótona si es creciente o decreciente. Convergencia de sucesiones monótonas. Toda sucesión monótona tiene límite, es decir, no puede ser oscilante. Sea (an )n2N una sucesión creciente entonces es convergente si, y sólo si, es acotada superiormente. Sea (an )n2N una sucesión decreciente entonces es convergente si, y sólo si, es acotada inferiormente. Serie numérica convergente. Dada (an )n2N una sucesión, la sucesión de sumas parciales de (an )n2N es una nueva sucesión (Sn )n2N que tiene como término general Sn = a1 + + an : La serie numérica generada por la sucesión (an )n2N se denota 1 P como an y se de…ne por n=1

1 X

an = l m S n :

n=1

La serie

1 P

n!+1

an se denomina convergente cuando la sucesión de sumas parciales

n=1

es convergente y al resultado de la serie se le llama suma in…nita. En cualquier otro caso se dirá que la serie es divergente. Si la sucesión comienza en n = k 1 X an denominándose a su resultado, si fuese entonces la serie se denota como n=k

convergente la serie, suma in…nita desde el término k-ésimo. 1 1 P P Operaciones con series convergentes. Si an y bn son series convern=1

gentes entonces 1.

1 P

an también es convergente y

n=1

2.

1 P

1 P

an =

n=1

(an + bn ) también es convergente y

n=1

n=1

1 P

an :

n=1 1 P

n=1

(an + bn ) =

1 P

n=1

an +

1 P

bn :

n=1

Serie geométrica. Para un número real r 2 R se de…ne la serie geométrica de 1 X razón r como la serie numérica rn generada por la sucesión (rn )n2N : La serie n=1

2

geométrica es convergente cuando jrj < 1 y en dicho caso su suma in…nita desde el término k-ésimo es 1 X rk : rn = 1 r n=k Condición necesaria de convergencia. Si la serie numérica

1 X

an es conver-

n=1

gente entonces l m an = 0. n!+1

5.2. Criterios particulares de convergencia para series. 1 X Serie de términos positivos. Se dice que una serie an es de términos pon=1

sitivos si los términos de la sucesión (an )n2N son positivos a partir de un cierto término: Criterio integral. Sea f (x) una función continua, positiva y decreciente en el intervalo [k; +1) con k 2 N[ f0g. Para la sucesión de términos positivos (an )n2N cuyo término general es an = f (n) se veri…ca que la integral impropia 1 X R +1 f (x) dx es convergente si, y sólo si, la serie an es convergente. k n=k

Serie armónica generalizada. La serie armónica generalizada se de…ne como la serie 1 X 1 np n=1

donde p 2 R. El caso particular p = 1 se denomina serie armónica. La serie armónica generalizada converge cuando p > 1 y diverge cuando p 1. 1 X Criterio de comparación. Sea an una serie de términos positivos. n=1

1. Si existe (bn )n2N tal que an bn a partir de un cierto término y de forma 1 1 X X que bn sea convergente entonces an es convergente. n=1

n=1

2. Si existe (bn )n2N tal que 0 bn an a partir de un cierto término y de 1 1 X X forma que bn sea divergente entonces an es divergente. n=1

n=1

3

Criterio de comparación por paso al límite. Sea

1 X

an una serie de términos

n=1

positivos. 1. Si existe una serie de términos positivos

1 X

bn tal que

n=1

an = L 6= 0; +1 n!+1 bn lm

entonces

1 X

an es convergente si, y sólo si,

n=1

1 X

bn es convergente.

n=1

2. Si existe una serie de términos positivos

1 X

bn tal que

n=1

an =0 n!+1 bn lm

y

1 X

bn es convergente entonces

n=1

1 X

an es convergente.

n=1

3. Si existe una serie de términos positivos

1 X

bn tal que

n=1

an = +1 n!+1 bn lm

y

1 X

bn es divergente entonces

1 X

an es divergente.

n=1

n=1

Serie alternada. Una serie se dice alternada si sus términos van alternando el signo positivo y el signo negativo o viceversa. La serie!alternada puede escribirse 1 1 X X n 1 en general como ( 1) bn o bien ( 1)n bn donde bn > 0, es decir, es n=1

n=1

la serie numérica generada por la sucesión de término general an = ( 1)n Criterio de Leibnitz. Sea

1 X

( 1)n

1

(bn )n2N es una sucesión decreciente y l m bn = 0, entonces n!+1

4

bn :

bn una serie alternada de manera que

n=1

convergente.

1

1 X n=1

( 1)n

1

bn es

5.3. Criterios generales de convergencia para series. 1 X Serie absolutamente convergente. Se dice que una serie an es absolutamente convergente si la serie de términos positivos

1 X n=1

n=1

jan j es convergente.

Condición su…ciente por convergencia absoluta. Si una serie solutamente convergente entonces

1 X

1 X

an es ab-

n=1

an es convergente.

n=1

Criterio del cociente. Sea

1 X

an una serie numérica tal que existe el límite

n=1

an+1 = L: an

lm

n!+1

1. Si se veri…ca que L < 1 entonces

1 X

an es absolutamente convergente y por

n=1

tanto convergente. 2. Si se veri…ca que L > 1 entonces

1 X

an es divergente.

n=1

Criterio de la raíz. Sea

1 X

an una serie numércia tal que existe el límite

n=1

lm

n!+1

p n

1. Si se veri…ca que L < 1 entonces

jan j = L:

1 X

an es absolutamente convergente y por

n=1

tanto convergente. 2. Si se veri…ca que L > 1 entonces

1 X

an es divergente.

n=1

5.4. Series de potencias. Serie de potencias. Una serie de potencias centrada en el punto a 2 R es una familia de series de la forma +1 X

cn (x

n=0

5

a)n ;

una por cada x 2 R; donde (cn )n2N[f0g es una sucesión independiente de x. A los términos de la sucesión (cn )n2N[f0g se les denomina coe…cientes de la serie de potencias y al punto a centro de la serie de potencias. +1 X El conjunto de convergencia de una serie de potencias cn (x a)n es n=0

(

x2R:

+1 X

)

a)n es convergente :

cn (x

n=0

Teorema de Hadamard. Dada una serie de potencias

+1 X

cn (x

a)n sólo hay

n=0

una de estas tres posibilidades para su conjunto de convergencia: 1. Está formado por un único punto, su centro a; donde además converge absolutamente: 2. Es toda la recta real, donde, además, converge absolutamente. 3. Tiene forma de intervalo centrado en su centro a; de manera que converge absolutamente en el interior del intervalo y diverge fuera del intervalo, no pudiéndose a…mar nada acerca del comportamiento de la serie en los extremos del intervalo. Esto signi…ca que existe un número real R > 0 de forma que se veri…ca el siguiente diagrama

a-R

a+R a absolutamente convergente

divergente no se tiene información

divergente no se tiene información

Intervalo de convergencia Pensando que el caso uno se puede ver como un intervalo de centro a con R = 0 y el segundo como un intervalo de centro a con R = +1; se puede resumir el resultado diciendo lo siguiente: El conjunto de convergencia de una serie de potencias es un intervalo I centrado en a con radio R 2 [0; +1] de manera que (a R; a + R) I [a R; a + R] : Además se asegura que la convergencia en (a R; a + R) es absoluta. A I lo llamaremos intervalo de convergencia y a R radio de convergencia de la serie de potencias.

6

Fórmula del radio de convergencia. Sea

+1 X

a)n una serie de poten-

cn (x

n=0

cias centrada en a. Cuando alguno de los siguientes límites exista, su radio de convergencia R puede calcularse como: R= lm

n!+1

cn

1 = lm p : n!+1 n jc j n

cn+1

Función suma de una serie de potencias. Una serie de potencias

+1 X

cn (x

a)n

n=0

centrada en a con intervalo de convergencia I de…ne una función S : I R ! R que asigna a cada punto del intervalo de convergencia la suma de la serie numérica obtenida, esto es +1 X S (x) = cn (x a)n 8x 2 I: n=0

A la función S (x) se le denomina función suma. Propiedades de la función suma. Sea

+1 X

cn (x

a)n una serie de potencias

n=0

centrada en a con radio de convergencia R e intervalo de convergencia I. Su función suma S (x) tiene las siguientes propiedades: 1. S (x) es una función continua en su dominio I. 2. S (x) es una función derivable en (a 0

S (x) =

+1 X

R; a + R) y además ncn (x

a)n

1

:

n=1

3. La primitiva de S (x) en el intervalo (a Z

x

S (t) dt =

a

R; a + R) que se anula en a es

+1 X cn (x n + 1 n=0

a)n+1 :

Es más, puede escribirse en general que para todo b y c 2 (a Z

c

b

+1 X

S (t) dt =

+1 Z X n=0

c

cn (t

R; a + R)

a)n dt:

b

+1 X cn (x a)n+1 tienen como Las series de potencias ncn (x a) y n+1 n=1 n=0 radio de convergencia R pero su intervalo de convergencia no tiene por qué ser I. n 1

7

5.5. Series de Taylor. Serie de Taylor de una función. Sea f (x) una función de clase C 1 en un entorno del punto a 2 R. La serie de Taylor de f centrada en a es la serie de potencias +1 (n) X f (a) (x a)n ; n! n=0 es decir aquélla que tiene como coe…cientes cn = denomina serie de Maclaurin de f .

f (n) (a) . Cuando a = 0 se le n!

Convergencia de la serie de Taylor. Sea f (x) una función de clase C 1 en un entorno del punto a 2 R. La función suma de la serie de Taylor centrada en a de f no tiene por qué coincidir con f (x) : Sin embargo, la única serie de potencias centrada en a cuya función suma puede ser f (x) es la serie de Taylor de f centrada en a. Función analítica. Se dice que una función f (x) es analítica en un punto a 2 R si existe una serie de potencias centrada en a de manera que su función suma sea f (x) para x en un cierto intervalo centrado en a: Teniendo en cuenta que en ese caso debe ser la serie de Taylor de f centrada en a, cuando la función f es analítica en a ocurre que f (x) =

+1 (n) X f (a) n=0

n!

(x

a)n

8x 2 I;

donde I es el intervalo de convergencia de la serie de Taylor de f centrada en a. Series de Maclaurin de las funciones elementales. Las funciones elementales que aparecen en la siguiente lista son todas analíticas en el 0: ex =

+1 n X x

; 8x 2 R n! n=0 +1 X x2n+1 sen x = ( 1)n ; 8x 2 R (2n + 1)! n=0 +1 X x2n cos x = ( 1)n ; 8x 2 R (2n)! n=0 +1 n X n 1 x log (1 + x) = ( 1) ; 8x 2 ( 1; 1] n n=1 +1 X (1 + x) = xn ; 8x 2 ( 1; 1) ; 2 R n n=0

8

Operaciones de funciones analíticas. Sean f y g dos funciones analíticas en a 2 R; entonces son también analíticas en a las funciones: f + g; f g; f =g (si g (a) 6= 0) ; f 0 y F (si F 0 = f en un entorno de a). Si g es analítica en a 2 R y f es analítica en g (a) entonces f g es analítica en a:

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Ejercicios de la lección. Ejercicio 1. Calcula los siguientes límites de sucesiones. p 3 n p : 1. l m n!+1 1 + n n+1 2. l m n!+1 n

n : n!+1 2n

4. l m

7. l m n log 1 n!+1

2n

5. l m 8n [sen (2

:

n

n!+1

n

3. l m (a) con a 2 R. 6. l m n!+1

n!+1

)

2

n

1 n

:

n! : n!+1 nn an 9. l m con a 2 R. n!+1 n! 8. l m

]:

sen n p : n

Ejercicio 2. Estudia la convergencia de las siguientes series numéricas. 1. 2. 3.

+1 X n=2 +1 X

n=1 +1 X n=1

n (n2

2:

1)

cos2 n : n2 n + log n : n2

+1 X

1 1 4. sen n cos n : 2 2 n=1 +1 X log n 5. : n2 n=1 +1 X ne n : 6.

7. 8.

+1 X

n=0 +1 X n=1

9.

+1 X

1 n 2n+( 1)

( 1)n p n: n+1 n

n=1

n=1

:

1 e

n

:

Ejercicio 3. Estudia la convergencia de las siguientes series numéricas.

1. 2. 3.

+1 n X a n=1 +1 X n=1 +1 X n=1

4.

+1 X n=2

n!

con a 2 R. 5.

n! : nn

6.

n2 2+1 : 3n

7.

n+1 n+3

+1 X n=1

+1 X

n=1 1 X n=2

n2

:

p

n! : 2n

( 1)n

2 : n log2 n n=2 +1 X ( 1)n log 10. 9.

nn : n!

1 [cos (n) + sen (3n)] : n!

+1 X n! : 8. 23n n=1

+1 X

11.

n=1 +1 X n=1

( 1)n

n+1 n

2n + 1 : (n + 1)2

n2

+1 X n! (4n)! 12. : (2n)! (3n)! n=0

Ejercicio 4. 1. Halla el valor de la integral

Z

+1 2

dx en función de p 2 R. x (log x)p

2. Usando el apartado anterior determina, según los valores de p 2 R, la +1 X 2 convergencia de la serie p. n (log n) n=2 10

:

Ejercicio 5. Estudia la convergencia de la serie +1 X n=1

1 + an a+n

n2

;

en función del parámetro a 2 R. Ejercicio 6. Se considera la serie para cada a 2 R +1 X ( 1)n a: (1 + n) n=0

1. Determina según los valores de a 2 R cuándo la serie es absolutamente convergente. 2. Encuentra los valores de a 2 R para los cuales la serie es convergente. Ejercicio 7. Estudiar según los valores de a 2 R la convergencia de la serie +1 X 1 tan n : 2an 2 n=3

Ejercicio 8. (Septiembre 08-09) Estudiar según los valores de convergencia de la serie +1 X 2n cosn : 1 + cosn n=1

2 [0; =2] la

Ejercicio 9. Determina el intervalo de convergencia de las siguientes series de potencias:

1. 2. 3. 4.

+1 X n! n (n + 2) (2x + 3)n : ( 1) n x : 5. n n=1 n=1 +1 +1 X X 1 n n n n (x + 2) : 6. x : n2 n=1 n=1 +1 +1 X X 4 3 n nx : 7. xn : n (n 1) n=1 n=2 +1 n +1 X X x (3x 1)n 8. : n! 1 n2 n=1 n=2 +1 X

n

11

9.

+1 X

n=1 +1 X

10.

n=2

11. 12.

n+1 n

n=2

xn :

2n + 8 xn : (n + 1) (n + 2) (n + 3)

+1 n X 5 n=1 +1 X

n2

n2

x

1 3

n

:

n3 n + 5 n x : n2 + n

Ejercicio 10. Para cada una de las siguientes series de potencias calcula su suma: +1 +1 X X 4 n 1. (n + 2) (2x + 3) : 3. xn : n (n 1) n=1 n=2 +1 +1 X X 1 n 2. x : 4. n (x 1)n : (Junio 05-06) 2 n n=1 n=1

Ejercicio 11. (Junio 04-05) Halla el intervalo de convergencia de la serie +1 3 X n

n2

n=2

n+5 n x +n

y calcula su suma. Ejercicio 12. Halla el intervalo de convergencia de la serie de potencias +1 X n+2 n x n2 2n+1 n=1

y calcula su función su suma. Ejercicio 13. Considera la serie de potencias +1 X

n2 +

n=1

1 n x : n

1. Calcula su intervalo de convergencia. 2. Encuentra su función suma. 3. Suma la serie numérica

+1 2 X n

2n

n=3

:

Ejercicio 14. Considera la serie de potencias +1 2 X n n=1

1 n

(x + 1)n :

1. Calcula su intervalo de convergencia. 2. Encuentra su función suma. Ejercicio 15. (Primer Parcial 04-05) Considera la serie de potencias +1 X (1 n=1

2x)n : n

12

1. Calcula su intervalo de convergencia. 2. Encuentra su función suma. +1 X ( 1)n . 3. Determina la suma numérica n n=0

Ejercicio 16. Considera la serie de potencias +1 2 X n n=2

2n

n+1 (x (n 1)

1)n :

1. Calcula su intervalo de convergencia. 2. Encuentra su función suma. Ejercicio 17. (Primer Parcial 05-06) Considera la serie de potencias +1 X n=0

1 xn : (n + 1) (n + 2)

1. Calcula su intervalo de convergencia. 2. Encuentra su función suma. +1 X

3. Obtén el valor de la serie numérica

n=0

1 : (n + 1) (n + 2)

Ejercicio 18. Considera la serie de potencias +1 X n+1 n=0

n!

(x + 1)n :

1. Calcula su intervalo de convergencia. 2. Encuentra su función suma. 3. Determina la suma de la serie

+1 X n+1 n=0

2n n!

:

Ejercicio 19. Determina la serie de Maclaurin de las siguientes funciones, razonando en cada caso por qué son analíticas en el cero. Rx 2 1. f (x) = 0 e t dt: 4. f (x) = arctan x: R x sen t dt: 5. f (x) = arc cos x: 2. f (x) = 0 t 3. f (x) = 4x : 6. f (x) = cosh x: 13

Ejercicio 20. Suma las series numéricas: +1 X 1 2n n! n=2 +1 X 2. ( 1)n

+1 X ( 1)n+1 32n n n=3 +1 X 1=3 ( 1)n+1 5. n 2n n=1 +1 2n X 6. ( 1)n n 16 (2n)! n=0

1.

n=0

3.

+1 X n=1

( 1)n

4.

3n (2n + 1)! 2n+1

(2n + 1)!

Ejercicio 21. (Primer parcial 06-07) Dada la serie de potencias 1 X 2n+1 n n x : 2 n 1 n=2

1. Halla el intervalo de convergencia de la serie. 2. Calcula la función suma de la serie de potencias. Ejercicio 22. (Junio 06-07) Dada la serie de potencias 1 X 1 2n n=2

n2 +

1 n!

xn ;

encuentra su intervalo de convergencia y su función suma. Ejercicio 23. (Septiembre 06-07)Dada la serie de potencias +1 X n=2

4n (2n 1)2

1

x2n ;

se pide: 1. Determinar su intervalo de convergencia. 2. Calcular su función suma. Ejercicio 24. (Primer Parcial 07-08) Dada la serie de potencias 1 X n=1

1 (2x + 1)n : n+2 14

Halla el intervalo de convergencia I de dicha serie y calcula la suma de la serie para todo x 2 I: Ejercicio 25. (Junio 07-08) Considera la serie de potencias +1 X

(2n + 1) 2

2n n

x :

n=1

1. Halla su intervalo de convergencia. 2. Calcula su función suma S (x) : 3. Prueba que la ecuación xS (x) = 2 tiene una única solución en el intervalo [0; 2] ; y calcula dicha solución de forma aproximada mediante dos iteraciones del método de Newton.

15