MINISTERIO DE EDUCACION Y JUSTICIA

Universidad Nacional de San Juan FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS, FISICAS Y NATURALES

Cátedra: Física de la Tierra er

3 año de la Licenciatura en Geofísica

Departamento de Geofísica y Astronomía

Capítulo 3: Temperatura en el Interior de la Tierra "Ecuación de Conducción del Calor"

Prof. Titular: Ing. Marcelo Millán Prof. Adjunto: Lic. Patricia Alvarado

1999

Ecuación de Conducción del Calor

Cátedra "Física de la Tierra" - 1.999

TEMPERATURA EN EL INTERIOR DE LA TIERRA El calor Los volcanes, los procesos de intrusión magmática, la actividad sísmica, las montañas y cadenas montañosas y los procesos de metamorfismo en las rocas, son algunos de los fenómenos naturales controlados por la generación y transferencia del calor en la tierra. Así, la distribución de temperaturas en la tierra es la responsable de la actividad que se produce en la porción más superficial (litósfera y astenósfera) como así también, de los distintos procesos que tienen lugar en la estructura más interna de la tierra. El calor que llega a la superficie terrestre, proviene desde su interior y desde el sol. Podría pensarse que todo el calor procede del sol; una simple experiencia para comprobarlo consiste en ver los efectos del bronceado de la piel en un día de sol, considerando aún que solamente una proporción es recibida en la tierra ya que esta fuente irradia todo el calor al espacio. Sin embargo, las observaciones numéricas establecen que la cantidad de calor que recibe la tierra y se irradia es de 2 1017W, aproximadamente o bien, ∼4 102W/m2, promediada en toda su superficie. Comparando este valor con 4 1013W ó 8 10-2W/m2, que es el valor promedio de la pérdida de calor interno de la tierra o, con 1011W, estimación de la energía liberada en forma de terremotos o, con 2 1013W/m2, correspondiente al calor liberado por un cuerpo humano vestido, en un día de invierno muy frío (-30°C) y ventoso (10m/s), es posible evidenciar, que la energía que proviene del sol es insuficiente para explicar los fenómenos señalados anteriormente y por lo tanto deben existir otras fuentes de calor de origen interno. No obstante, desde una perspectiva geológica, el calor que proviene del sol y que llega a la superficie terrestre, es importante ya que genera el ciclo del agua, las lluvias y en consecuencia, la erosión. Pero en el caso de intrusiones ígneas, procesos metamórficos y tectónicos, es evidente que la fuente de calor está dentro de la tierra, siendo esta fuente interna la que origina la mayoría de los fenómenos geológicos, además de los ya señalados. Haciendo un análisis en una escala de tiempo geológico macroscópica, puede decirse que el sol y la biósfera han mantenido la temperatura superficial dentro del rango de estabilidad del agua líquida, es decir, 15 - 25°C. Por lo tanto, la transferencia de calor desde el interior, ha gobernado la evolución geológica de la tierra, controlando la tectónica de placas, la actividad ígnea, los procesos metamórficos, la evolución del núcleo y consecuentemente también, las características del campo magnético terrestre.

Procesos de transmisión del calor Existen cuatro mecanismos de propagación del calor en la tierra: conducción, convección, radiación y advección. 1

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La conducción, es la transferencia de calor a través de un material mediante interacción molecular o atómica en el interior del mismo. En la convección, la transferencia de calor ocurre por el transporte de las moléculas, las cuales son capaces de moverse en el interior del material (es importante en líquidos y gases). Un experimento sencillo para visualizar este proceso, consiste en encender una vela; al establecerse las corrientes de aire, son capaces de mover la llama encendida, y mostrar como el aire caliente asciende alejándose del fuego mientras que el aire frío, más denso, se mueve hacia el fuego. La convección es un mecanismo más rápido para propagar el calor que la conducción, esto puede comprobarse, al hervir agua en un recipiente metálico; el calor se propaga a través del metal por conducción pero primeramente, lo hace a través del agua mediante la convección. La radiación, comprende una transferencia directa de calor mediante radiación electromagnética, ya sea desde el sol o desde un calentador eléctrico. La advección, es una forma especial de la convección. Si una región caliente se eleva por efectos tectónicos o por erosión y equilibrio isostático, el calor (llamado calor advectivo), físicamente asciende con las rocas. En el interior de la tierra, el calor se mueve principalmente por conducción en la parte comprendida entre el núcleo interno sólido y la litósfera (continental y oceánica). Aunque la convección no puede establecerse en sólidos rígidos, cuando se observa el comportamiento del manto terrestre a lo largo del tiempo geológico, se comprueba que éste, parece comportarse como un líquido de muy alta viscosidad; esta observación pone de manifiesto, que es posible que se produzca convección en el manto; de esta manera el calor se transfiere por convección a través de la mayor parte del manto como así también, a través del núcleo externo líquido. Finalmente puede decirse que así como la lava caliente irradia calor, los cristales situados en niveles profundos y calientes del manto, también lo hacen; sin embargo, comparativamente, la radiación es un mecanismo de menor importancia en los procesos de transmisión de calor en el interior de la tierra. Es importante destacar, que la temperatura no puede medirse "directamente" a medida que la profundidad en la tierra es mayor. La temperatura y el gradiente de temperaturas pueden medirse solamente, a profundidades someras, esto es, en pozos o minas o en sedimentos oceánicos. La estructura térmica más profunda, debe inferirse mediante extrapolación teniendo en cuenta las observaciones sismológicas, el conocimiento del comportamiento de los materiales a altas presiones y temperaturas y, utilizando modelos que involucren procesos y rocas metamórficas entre otros y también, modelos de distribución de generación de calor y de la evolución térmica de la tierra.

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Flujo de calor El calor fluye desde un cuerpo caliente hacia un cuerpo frío. La conducción que se establece a través de un sólido, es proporcional al gradiente de temperaturas, es decir, a la diferencia de temperaturas por unidad de longitud (dT/dz). Esta conducción será más rápida si el gradiente de temperaturas es alto y por el contrario, será más lenta cuando el gradiente de temperaturas sea bajo. El proceso se interrumpe cuando las temperaturas hayan sido igualadas. Suponiendo una placa sólida e infinitamente larga y ancha, de un espesor d, con una superficie inferior que se mantiene a una temperatura T1 y una superficie superior a una temperatura T2,, donde T2 > T1, el flujo de calor, por unidad de área, que se produce atravesando la placa es proporcional a: T2 − T1 d

(1)

Así, el flujo de calor que se establece a través de la placa, por unidad de área (Q), en la dirección indicada, estará representado por:

Q = −k

T2 − T1 d

(2)

donde k, es la constante de proporcionalidad llamada conductividad térmica. La conductividad térmica es una propiedad física del material y es una medida de su capacidad física para conducir el calor. El flujo de calor por unidad de área Q, se mide en W m2, mientras que, la conductividad térmica k, se mide W/m °C. En el sistema c.g.s.: 1 hgu (unidad de generación de calor) = 10-13cal/cm3s = 4,2 10-7 W/m3 1 hfu (unidad de flujo calórico) = 10-6cal/cm2s = 4,2 10-2 W/m2 1 unidad de conductividad térmica = 0,0006 cal/cm s °C = 2,52 W/m °C. El valor de la conductividad térmica de los sólidos varía ampliamente: 418 W/m °C para la plata 159 W/m °C para el Mg 1,2 W/m °C para el vidrio 1,7 - 3.3 W/m °C para las rocas 0,1 W/m °C para la madera. 3

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Para expresar la Ec.2 como una ecuación diferencial, puede suponerse que la superficie inferior, situada a una profundidad z, está a una temperatura T y que la temperatura de la superficie superior, situada a una profundidad z+δz, es T+δT (Fig. 1). Sustituyendo estos valores en la Ec.2, se obtiene:

Q( z ) = −k

T + δT − T δz

Q( z ) = −k

δT δz

(3)

Tomando el límite cuando δz→0, la Ec.3 se transforma en la siguiente:

Q( z ) = −k

∂T ∂z

(4)

La Ec.4 es la expresión para el Flujo de calor. El signo menos en la Ec.4, se debe a que la temperatura se incrementa en la dirección positiva de z, mientras que el calor fluye en la dirección negativa de z, es decir desde la región caliente a la región fría. Si interpretamos la Ec.4 para la tierra, z denota la profundidad. A medida que la profundidad aumenta, se encuentra un gradiente de temperaturas positivo (la temperatura aumenta con la profundidad) obteniéndose entonces un flujo de calor saliente hacia afuera de la superficie terrestre. Las medidas de gradientes de temperatura y de conductividades térmicas obtenidas en pozos superficiales y en minas, brindan estimaciones de la pérdida de calor para la tierra.

Ecuación de conducción del calor Considerando un pequeño elemento de volumen, de altura δz y sección transversal a (Fig. 2), cualquier cambio de temperatura δT en este pequeño elemento, que ocurra en un tiempo δt, estará dado por: 1. Flujo de calor que atraviesa la superficie del elemento (flujo entrante o saliente) 2. Calor generado en el elemento (presencia de fuentes internas) 3. Capacidad térmica (calor específico) del material. 4

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Fig. 1: Conducción del calor a través de una placa infinitamente extendida, de espesor δz. El calor fluye desde el sector a mayor temperatura hacia la parte más fría, es decir, en la dirección negativa de z.

El calor entrante por unidad de tiempo, que atraviesa el elemento de volumen en la cara que está a la profundidad z, es a x Q(z); del mismo modo, el calor saliente por unidad de tiempo de este elemento, en su cara opuesta situada a la profundidad z+δz es a Q(z+δz). Desarrollando Q(z+δz) en serie de Taylor, se obtiene:

Q ( z + δ z ) = Q ( z ) + δz

∂Q (δz ) 2 ∂ 2 Q + ... + 2 ∂z 2 ∂z

(5)

El término (δz)2 y aquellos de orden superior, son muy pequeños comparados con los primeros y por lo tanto, pueden ser ignorados en el desarrollo en serie. A partir de la Ec.5, la acumulación de calor por unidad de tiempo, en el elemento de volumen, está dada por la diferencia entre el calor entrante a la profundidad z y calor saliente a la profundidad z+δz. Es decir:

5

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= aQ( z ) − aQ( z + δz ) =

= − aδz

∂Q ∂z

(6)

Considerando ahora, que existen fuentes de origen interno, las cuales generan una cantidad de calor A dentro del elemento de volumen, por unidad de volumen y por unidad de tiempo, la cantidad total de calor generado por unidad de tiempo será:

Aaδz

(7)

En este sentido, el calor radioactivo es la principal fuente de calor interno en la tierra en su conjunto; sin embargo, existen también otras fuentes locales y fuentes sumergidas como calor latente, calor de deformación y reacciones químicas endotérmica y exotérmicas. La generación de calor radioactivo se discutirá más adelante. Combinando las Ecs.6 y 7, se obtiene la ganancia de calor por unidad de tiempo, de primer orden en δz, teniendo en cuenta las fuentes de calor internas y externas:

Aaδz − aδz∂z

∂Q ∂z

(8)

Finalmente, el calor específico c p del material del cual está formado el elemento de volumen, determinará el ascenso de temperatura en el mismo, puesto que el calor específico se define como la cantidad de calor necesario para elevar 1 Kg masa de material en 1°C. cp se mide en unidades de W/Kg °C.

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Fig. 2. Elemento de volumen de altura δz y sección transversal unitaria a. El calor se transmite hacia adentro y hacia afuera del elemento a través de las superficies sombreadas, solamente. Se supone que no existe transferencia de calor a través de las otras cuatro caras.

Si el material de densidad ρ, calor específico cp experimenta un aumento de temperatura δT en un tiempo δt, el calor que puede acumularse es entonces:

c p a δz ρ

δT δt

(9)

Así, igualando las expresiones 8 y 9, se obtendrá la cantidad de calor que se acumula en el elemento de volumen: c p aδzρ

∂Q δT = Aaδz − aδz δt ∂z 7

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cpρ

∂Q δT = A− δt ∂z

(10)

Tomando el límite cuando δz→0, δt→0, la Ec.10 se convierte en:

cpρ

∂Q ∂T = A− ∂t ∂z

(11)

Recordando la Ec.4 para Q (flujo de calor por unidad de área), la Ec.11 puede escribirse como sigue:

cpρ

∂T ∂ 2T = A+k 2 ∂t ∂z

(12)

o bien, ∂T k ∂ 2T A = + ∂t ρc p ∂z 2 ρc p

(13)

Esta es la Ecuación de conducción del calor para el caso unidimensional. En la forma diferencial descripta anteriormente, la temperatura se consideró solamente como una función del tiempo t y la profundidad z. Para el caso general, se debe considerar su variación en las direcciones x e y. De esta manera, la temperatura es entonces una función de x, y, z, y t y, es posible deducir la ecuación de conducción del calor para el caso tridimensional, siguiendo el mismo camino que para el caso unidimensional. Esta demostración no se llevará a cabo en este desarrollo y solamente se mostrará la generalización de la Ec.13, para un sistema de coordenadas cartesianas:

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∂T k ∂ 2T ∂ 2T ∂ 2T A = + 2 + 2 + 2 ρc p ∂t ρc p ∂x ∂y ∂z

(14)

Utilizando otra notación, esta ecuación puede escribirse como sigue:

k A ∂T = ∇ 2T + ∂t ρc p ρc p

(15)

Las Ecs.14 y 15 son conocidas como Ecuación de conducción del calor. El factor k / ρc p , se conoce como difusibilidad térmica K. La difusibilidad térmica expresa la capacidad de un material para transmitir el calor por conducción. Si bien, esta ecuación se ha obtenido para un sistema de coordenadas cartesiano, también puede expresarse en cualquier otro sistema de coordenadas (cilindrico o esférico), tomando en cuenta la definición del operador Laplaciano ( ∇ 2 ) en el sistema de coordenadas deseado. Considerando un estado estacionario, es decir cuando no existen cambios de temperatura con el tiempo, la Ec.15 se expresará:

∇ 2T = −

A k

(16)

En ausencia de fuentes de generación de calor, la expresión para la Ec.15 es la siguiente:

k ∂T = ∇ 2T ∂t ρc p

(17)

La expresión 17, es la Ecuación de Difusión. 9

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Hasta aquí, se ha supuesto que no existe movimiento relativo entre el elemento de pequeño volumen de material y el medio circundante. Ahora, se considerará que la temperatura de ese elemento de volumen puede cambiar con el tiempo si dicho volumen tiene un movimiento relativo dentro de una región donde la temperatura varía con la profundidad. Como se ha mencionado, este efecto no se consideró previamente y, por lo tanto, la Ec.13 y su análoga para el caso tridimensional (Ec.15), deberán modificarse. Para ello, se considerará que el elemento de volumen se mueve con velocidad u z , en la dirección z; para cualquier tiempo t, el elemento estará a una profundidad z + u z t . La ∂T / ∂t en la Ec.13, se deberá reemplazar entonces, por ∂T / ∂t + (dz / dt )(∂T / ∂z ) . El primer término de esta última expresión, representa la variación de la temperatura con el tiempo, a una profundidad z. El segundo término (dz / dt )(∂T / ∂z ) , o bien, u z (∂T / ∂z ) , tiene en cuenta el efecto del movimiento del material en toda la región donde la temperatura varía con la profundidad. Así, las Ecs.13 y 15 se expresarán como las Ecs.18 y 19, respectivamente:

∂T ∂T k ∂ 2T A = + − u z ∂t ρc p ∂z 2 ρc p ∂z

(18)

∂T A k = ∇ 2T + − u∇T ρc p ∂t ρc p

(19)

En la Ec.19, u es la velocidad del material en tres dimensiones. El término u∇T es el término de propagación advectiva para la transmisión del calor, dentro del elemento de pequeño volumen. El movimiento relativo entre ese elemento y su alrededor, puede ocurrir por varias razones. La dificultad que trae aparejada encontrar la solución de las Ecs.18 y 19, depende de la causa de este movimiento relativo. Si el material es erosionado en su parte superior, o bien, si se produce una acumulación de materia en esa sección, el elemento de pequeño volumen sufrirá un movimiento acercándose o alejándose de la superficie fría de la tierra. En estos casos, u representa los procesos de erosión o de depositación que se relacionan con el mecanismo de advección, mencionado al comienzo. Cabe destacar, que el elemento de volumen, puede formar parte de una celda de convección térmica, generada por una diferencia de densidad cuya responsable sea la temperatura. En este caso, el valor de u z depende del campo de temperaturas propiamente dicho más que de otros factores externos tales como la 10

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erosión. En efecto, para el caso de la convección, u z representa una función de la temperatura no lineal dada por las Ecs.18 y 19, la cual es más difícil de resolver.

Bibliografía The solid earth. An Introduction to Global Geophysics. C.M.R. Fowler, 1990. Cambridge University Press, Canadá. 472 páginas.

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