LECCIÓN

CONDENSADA

Diagrama de barras y gráficas de puntos

1.1 En esta lección ● ● ●

interpretarás y crearás una variedad de gráficos encontrarás algunos valores sumarios de un conjunto de datos llegarás a conclusiones con respecto a un conjunto de datos, basándote en gráficos y valores sumarios

Este pictograma muestra el número de mascotas de diferentes tipos que fueron atendidas en el hospital de animales Uptown en una semana.

Mascotas atendidas en una semana Perros Gatos Hurones Pájaros Hámsters Lagartos

A la información específica, como el número de mascotas de cada tipo, se le conoce como datos. A menudo puedes presentar los datos en tablas y gráficos.

 2 mascotas

䊳

EJEMPLO

Crea una tabla de datos y un diagrama de barras a partir del pictograma anterior.

Solución

Esta tabla muestra el número de mascotas de cada tipo. Recuerda que cada símbolo del pictograma representa dos mascotas.

Mascotas atendidas en una semana Perros

Gatos

Hurones

Pájaros

Hámsters

Lagartos

17

12

8

5

4

2

El diagrama de barras muestra los mismos datos. La altura de una barra muestra el total de esa categoría, en este caso, un tipo particular de mascota. Puedes usar la escala del eje vertical para medir la altura de cada barra.

Mascotas atendidas en una semana 16 12 8 4 0

Perros

Gatos Hurones Pájaros Hámsters Lagartos

Los diagramas de barras reúnen los datos en categorías, lo que permite comparar valores de cada categoría rápidamente. Una gráfica de puntos muestra cada elemento de un conjunto de datos numéricos por encima de una recta numérica, o eje horizontal. Las gráficas de puntos facilitan ver los espacios vacíos y los agrupamientos en un conjunto de datos, así como ver la manera en que se distribuyen los datos a lo largo del eje.

Investigación: Una mirada al pulso sanguíneo En esta investigación se usan datos sobre rapidez de pulso. El pulso varía de una persona a otra, pero por lo general, el pulso de una persona saludable en reposo se mantiene entre ciertos valores. Una persona con un pulso muy rapido o muy lento podría necesitar atención médica. Discovering Algebra Condensed Lessons in Spanish ©2008 Key Curriculum Press

(continúa) CHAPTER 1

11

Lección 1.1 • Diagrama de barras y gráficas de puntos (continuación) Este conjunto de datos refleja los pulsos, expresados en pulsaciones por minuto (ppm), de un grupo de 30 estudiantes. 68

60

76

68

64

80

72

76

92

68

56

72

68

60

84

72

56

88

76

80

68

80

84

64

80

72

64

68

76

72

Para este conjunto de datos, el valor mínimo (más bajo) es 56 y el valor máximo (más alto) es 92. El mínimo y el máximo describen la dispersión de los datos. Por ejemplo, podrías decir: “los pulsos se encuentran entre 56 y 92 ppm”. Sobre la base de estos datos solamente, parece que un pulso de 80 ppm sería “normal”, mientras que un pulso de 36 ppm sería demasiado bajo. Para hacer una gráfica de puntos sobre los pulsos, primero traza una recta numérica con el valor mínimo, 56, en el extremo izquierdo. Selecciona una escala y marca intervalos iguales hasta que alcances un valor máximo de 92. El pulso mínimo es 56 ppm. 60

64

68

72

76

80

84

88

92

冦

56

El pulso máximo es 92 ppm.

Cada intervalo de 4 ppm tiene la misma longitud. Por cada valor del conjunto de datos, coloca un punto sobre el valor en la recta numérica. Cuando un valor aparece más de una vez, apila los puntos. Por ejemplo, el valor 64 aparece tres veces en el conjunto de datos, de modo que hay tres puntos encima de 64. Asegúrate de rotular el eje de manera que quede claro cuáles son los datos.

56

60

64

68

72 76 Pulso (ppm)

80

84

88

92

El rango del conjunto de datos es la diferencia entre los valores máximo y mínimo. Para estos datos, el rango es 92 – 56, ó 36 ppm. Observa que el rango no te dice nada sobre los valores reales del conjunto de datos. Si un paramédico te dice que los pulsos normales tienen un rango de 12, no sabrías nada sobre los valores mínimos y máximos ni sobre ningún valor que esté entre estos dos. Al observar la gráfica de puntos, puedes ver que hay unos cuantos valores cerca del máximo y del mínimo, pero la mayoría de los valores se agrupan entre 64 y 80. El valor 68 es el que más se presenta, seguido por 72. Esta información te da idea de qué es un pulso normal para esta clase, pero no se puede usar para determinar cuál es el pulso “normal” para todas las personas. Hay muchos factores, incluida la edad, que afectan la rapidez de pulso.

Estadística en una palabra que usamos de muchas maneras. A menudo se le usa para referirse a números que describen o resumen datos. Por ejemplo, podrías recabar datos sobre el pulso de miles de personas y luego determinar un solo valor que se puede considerar “normal”. Este valor sencillo se conoce como estadística. 12

CHAPTER 1

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LECCIÓN

CONDENSADA

Resumen de datos con medidas centrales

1.2 En esta lección ● ● ●

encontrarás medidas centrales para un conjunto de datos elegirás la medida central más significativa para una situación observarás la influencia de los externos sobre la media de un conjunto de datos

Lee las afirmaciones que están al inicio de la lección. Cada afirmación utiliza un solo número, conocido como medida central, para describir lo que es típico con respecto al conjunto de datos. En la primera afirmación se utiliza la media, o promedio. En la segunda se usa la mediana, o valor de en medio. En la tercera se usa la moda, o el valor más frecuente.

Investigación: Entender el centro Puedes usar esta colección de pennies (monedas de un centavo) para ayudarte a entender la media, la mediana, y la moda. 2004 2002

1997

1990

2000

2006

1998

1986

1997

2000

2005 2004

1997

2005

1990

1988

1999

1979

1994 1983

2000

2003

1999

1997

1992

Para encontrar la mediana, ordena los pennies del más viejo al más nuevo. 12 valores

12 valores

1992 1992 1994 1997 1997 1997 1997 1998 1999 1999 2000 2000 2000 2002 1996 2000

La mediana es el valor del medio, 1998.

Para encontrar la moda, apila los pennies con el mismo año de acuñación.

1979

1983

1986

1988

1990

1992

1994

1997

1998

1999

2000

2002

2003

2004

2005

2006

La moda es el año con la pila más alta, 1997.

Para encontrar la media, suma los años de acuñación de todos los pennies y divide el resultado entre el número de pennies.

Moda Mediana

suma de años 49,917 ᎏ ᎏᎏ media ⫽ ᎏ numero de pennies ⫽ 25 ⫽ 1996.68. Puedes redondear a 1997. He aquí una gráfica de puntos de los años de acuñación con la mediana, la moda, y la media rotuladas.

1978

1982

1986

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1990 1994 Años de acuñación

1998 1996.68 Media

2002

2006 (continúa) CHAPTER 1

13

Lección 1.2 • Resumen de datos con medidas centrales (continuación) Ahora introduce los datos de los pennies en una lista de calculadora y usa la calculadora para encontrar la media y la mediana. (Consulta Calculator Notes 1B y 1C. Consulta Calculator Note 1A para verificar las especificaciones de tu calculadora.)

Lee la descripción de las medidas centrales de la página 45 de tu libro. La media y la mediana de un conjunto de datos pueden ser muy diferentes; y es posible que la moda, si existe, no sea de utilidad. Necesitarás decidir qué medida es más significativa para una situación dada.

EJEMPLO

Este conjunto de datos muestra el número de videos rentados diariamente en un centro de videos durante 14 días. {54, 75, 2, 68, 49, 53, 5, 63, 54, 70, 65, 68, 71, 60} a. Encuentra las medidas centrales. b. ¿Qué medida representa mejor los datos?

䊳

Solución

a. La media es de aproximadamente 54 videos. Suma de los valores

54  75  2  68  49  53  5  63  54  70  65  68  71  60 ___________________________________________________________ ⬇ 54 14 Media

Número de valores

Puesto que hay un número par de datos, la mediana es el número que está a la mitad entre los dos valores de en medio. En este caso, la mediana es 61.5. Valores ordenados

冦

2, 5, 49, 53, 54, 54, 60, 63, 65, 68, 68, 70, 71, 75 La mediana es el valor que está a la mitad entre 60 y 63.

Estos datos son bimodales, es decir, tienen dos modas, 54 y 68. b. Para determinar qué medida representa mejor los datos, busca patrones en los datos y considera la forma de la gráfica. Moda

0

10

20

30

40 Videos rentados

50

61.5 Moda Mediana 60

70

80

Media

Excepto por dos valores (2 y 5), los datos se agrupan entre 49 y 75. Debido a los valores 2 y 5, conocidos como externos (outliers), la media, 54, se encuentra a la izquierda, lejos de la mayoría de los valores. En este caso la media no es la mejor medida central. Una moda es la misma que la media. La otra es demasiado grande. La mediana, 61.5, parece resumir mejor los datos. En el ejemplo de tu libro, los externos son mucho más grandes que el resto de los datos. Estos valores suben la media. Usar la media para describir datos que incluyen externos puede conducir a conclusiones erróneas. Entonces, necesitas tener cuidado cuando leas propaganda e informes que dan medidas centrales.

14

CHAPTER 1

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LECCIÓN

CONDENSADA

1.3

Resúmenes de cinco números y gráficas de caja

En esta lección ● ● ● ●

encontrarás resúmenes de cinco números para conjuntos de datos interpretarás y crearás gráficas de caja obtendrás conclusiones con respecto a un conjunto de datos basado en gráficos y en valores sumarios usarás una calculadora para hacer una gráfica de caja

La tabla de la página 52 de tu libro muestra el número total de puntos obtenidos por cada jugador del equipo Chicago Bulls durante la temporada 1997–98 de la NBA. El resumen de cinco números puede darte un buen panorama de cómo los Bulls se desempeñaron como equipo. Un resumen de cinco números usa cinco puntos frontera: el mínimo y el máximo, la mediana (que divide los datos en dos), el primer cuartil (la mediana de la primera mitad), y el tercer cuartil (la mediana de la segunda mitad). El primer cuartil (Q1), la mediana, y el tercer cuartil (Q3) dividen los datos en cuatro grupos iguales. El ejemplo de tu libro ilustra cómo encontrar el resumen de cinco números. Primer cuartil, Q1 Tercer cuartil, Q3 Una gráfica de caja, o gráfica de caja y bigotes, es una manera visual de mostrar Mínimo Mediana el resumen de cinco números. Esta gráfica de caja muestra el rango de los datos del puntaje de los Bulls. Observa cómo 0 500 1000 1500 el resumen de cinco números se muestra Puntos marcados en la gráfica.

Máximo Bulls 2000

2500

A pesar de que las cuatro secciones de la gráfica (los dos bigotes y las dos partes de la caja) tienen longitudes diferentes, cada una representa ᎏ14ᎏ de los datos. Así pues, por ejemplo, el bigote largo de la derecha representa el mismo número de datos que el bigote corto de la izquierda. Observa que la mayoría de los valores están concentrados en la parte izquierda de la gráfica. El bigote largo que ocupa la mayor parte de la gráfica representa sólo ᎏ14ᎏ de los valores (incluyendo los de Michael Jordan).

Investigación: Pennies en un caja En esta investigación, harás una gráfica de caja a partir de los datos sobre los pennies de la Lección 1.2. (continúa)

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CHAPTER 1

15

Lección 1.3 • Resúmenes de cinco números y gráficas de caja (continuación) Pasos 1–6 Primero necesitas listar los valores en orden y encontrar el resumen de cinco números. Aquí se ve una muestra de datos en la que están marcados el mínimo, el máximo, la mediana, y los cuartiles. Te conviene seguir los pasos con los datos de la Lección 1.2.

Mínimo

El primer cuartil es 1992, la mediana de la primera mitad.

Primera mitad de los datos

1979 1983 1986 1988 1990 1992 1992 1994 1997 1997 1997 1997

Segunda mitad de los datos

1999 1999 2000 2000 2000 2002 2003 2004 2004 2005 2005 2006

Mediana

1998

El tercer cuartil es 2002.5, la mediana de la segunda mitad.

Máximo

Para construir una gráfica de caja, traza el eje horizontal. (Puedes usar la misma escala que utilizaste para la gráfica de puntos de la Lección 1.2.) Traza un segmento corto vertical, justo encima del valor de la mediana. Haz lo mismo para el primer y tercer cuartiles. Después traza puntos sobre los valores mínimo y máximo. Q1

Med

Q3

Mínimo 1978

Máximo 1982

1986

1990 1994 Año de acuñación

1998

2002

2006

Para terminar la gráfica, traza una “caja” con sus extremos en el primer y tercer cuartiles, y traza “bigotes” que se extiendan de los extremos de la caja hasta los valores mínimo y máximo.

1978

1982

1986

1990 1994 Año de acuñación

1998

2002

2006

Compara la gráfica de caja con una gráfica de puntos de los mismos datos.

1978

1982

1986

1990 1994 Año de acuñación

1998

2002

2006

Ambas gráficas muestran que la mayoría de los valores son mayores que 1992. La gráfica de caja hace más fácil localizar el resumen de cinco números, pero, a diferencia de la gráfica de puntos, no muestra valores individuales ni cuántos valores existen. Si es importante ver el valor de cada dato, una gráfica de caja no es la mejor manera de presentar los datos. Recuerda que cada una de las cuatro secciones de una gráfica de caja (los dos bigotes y las dos partes de la caja) representa aproximadamente el mismo número de datos. La gráfica de caja muestra que ᎏ34ᎏ de los años de acuñación están entre 1992 y 2006, mientras que sólo ᎏ14ᎏ están entre 1979 y 1992. (continúa)

16

CHAPTER 1

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Lección 1.3 • Resúmenes de cinco números y gráficas de caja (continuación) Pasos 7–9 Borra los datos viejos de tu calculadora e introduce los años de acuñación en la lista L1. Traza una gráfica de caja en tu calculadora. (Consulta Calculator Note 1D.) Compara la gráfica de tu calculadora con la que mostramos anteriormente. Si utilizas la función trace, puedes ver el resumen de cinco números de los datos. Paso 10 La diferencia entre el primer cuartil y el tercero es el rango intercuartil (interquartile range, abreviado IQR). Al igual que el rango, el rango intercuartil ayuda a describir la dispersión de los datos. Para los datos de la muestra de pennies anterior, el rango es 2006 ⫺ 1979 ó 27, y el rango intercuartil es 2002.5 ⫺ 1992 ó 10.5.

Puedes comparar dos conjuntos de datos si construyes dos gráficas de caja en el mismo eje. Las gráficas de caja de la página 54 de tu libro resumen los resultados del examen final de dos clases de álgebra. Puedes ver que la Clase A tiene el mayor rango de resultados y el mayor IQR. En ambos grupos, la mitad de los estudiantes obtuvieron resultados superiores a 80. En la Clase B, todos los estudiantes obtuvieron resultados superiores a 65, mientras que en la Clase A, menos de tres cuartos de los estudiantes obtuvieron resultados superiores a 65.

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CHAPTER 1

17

LECCIÓN

CONDENSADA

1.4

Histogramas y gráficas de tallo y hojas

En esta lección ● ● ● ●

interpretarás y crearás histogramas interpretarás gráficas de tallo y hojas elegirás anchos de caja (bin) apropiados para los histogramas usarás una calculadora para hacer histogramas

Una gráfica de puntos incluye un punto por cada valor del conjunto de datos. Si éste contiene un número grande de valores, es posible que la gráfica de puntos no sea práctica. Un histograma está relacionado con una gráfica de puntos, pero es más útil cuando tienes un conjunto grande de datos. Lee la información sobre histogramas en la página 59 de tu libro. Observa cómo el ancho de la caja (bin width) escogido para el histograma afecta la apariencia del diagrama.

Investigación: Cuartas Una cuarta es la distancia que va desde la punta de tu dedo pulgar hasta la punta de tu dedo meñique cuando extiendes la mano completamente.

Cuarta

Pasos 1–6 A continuación presentamos medidas de cuartas, redondeadas al medio centímetro más cercano, de los estudiantes de una clase de álgebra. 19 18.5 20.5 21.5 18.5 17.5 22 22.5 19.5 20 24 18

16.5 28 19 20 20.5 24 15 17 19 18 21 21 Para construir un histograma de estos datos, hay que escoger un ancho de caja. Como regla general, intenta elegir un intervalo que te dé de 5 a 10 cajas. Para estos datos, el rango es 28 ⫺ 15 ó 13. Si tomas un ancho de caja de 2, tendrás 7 cajas. Ahora encuentra el número de valores de datos de cada caja. Estos valores se conocen como frecuencias. Observa que una caja contiene el valor frontera de la izquierda, pero no el valor de la derecha. Así pues, la caja que va de 17 a 19 incluye los valores 17, 17.5, 18, y 18.5, pero no incluye 19. El valor 19 pertenece a la caja que va de 19 a 21.

Frecuencia

15 a 17

17 a 19

19 a 21

21 a 23

23 a 25

25 a 27

27 a 29

2

6

8

5

2

0

1

19 21 23 25 Cuarta (cm)

27

Ahora dibuja los ejes. Presenta la escala del eje horizontal de modo que muestres valores de cuartas desde 15 hasta 29, en intervalos de 2. Presenta la escala del eje vertical de modo que muestres valores de frecuencia entre 0 y 8. Finalmente, dibuja barras para mostrar los valores de frecuencia de tu tabla.

8

6 Frecuencia

Caja

4

2

0 15

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17

29

(continúa) CHAPTER 1

19

Lección 1.4 • Histogramas y gráficas de tallo y hojas (continuación) Pasos 7–9 Si introduces los datos sobre las cuartas en la lista L1 de tu calculadora, puedes experimentar con diferentes anchos de caja. (Consulta Calculator Note 1E para obtener instrucciones sobre cómo crear histogramas.) He aquí unos histogramas de los mismos datos con diferentes anchos de caja.

[15, 29, 1.5, 0, 15, 1]

[15, 30, 3, 0, 15, 1]

Para estos datos, una caja del ancho 1.5 ó 2 funciona bien. Ambos anchos de caja dan un buen panorama de cómo están distribuidos los valores, y indican dónde los valores están agrupados y dónde hay un espacio vacío entre los valores. Un ancho de caja de 1 muestra espacios vacíos adicionales pero tiene muchas barras. Con un ancho de caja de 3, hay insuficientes barras para obtener un buen panorama de la distribución, y el espacio vacío de la derecha queda oculto. A la derecha, se ha dibujado una gráfica de caja en los mismos ejes que el histograma. A diferencia del histograma, la gráfica de caja no muestra el espacio vacío en los datos y no da ninguna indicación de cuántos valores hay en cada intervalo.

8

6 Frecuencia

[15, 29, 1, 0, 5, 1]

4

2

0 15

17

19 21 23 25 Cuarta (cm)

27

29

Al igual que el histograma, una gráfica de tallo, o gráfica de tallo y hojas, agrupa los valores de datos en intervalos. Sin embargo, una gráfica de este tipo muestra cada dato individual. Por esta razón, las gráficas de tallo son más útiles cuando se tienen conjuntos de datos bastante pequeños. Estudia la gráfica de tallo de la página 61 de tu libro. Asegúrate de entender cómo leer los valores. El ejemplo de las páginas 61 – 62 de tu libro muestra cómo usar los datos de una gráfica de tallo para crear un histograma. Los valores en la gráfica son años; los valores del tallo muestran los primeros tres dígitos del año y las hojas muestran el último digito. Así, por ejemplo, los valores que están próximos al tallo 185 representan los años 1852, 1852, 1853, y 1857. Lee el ejemplo para ver cómo se crea el histograma. Después introduce los datos en tu calculadora y experimenta con diferentes anchos de caja. He aquí algunas posibilidades.

[1850, 2000, 10, 0, 15, 1] [1850, 2000, 15, 0, 20, 1] [1850, 2000, 25, 0, 25, 1] Piensa en cuáles son los anchos de caja que muestran mejor la dispersión y la distribución de los valores. 20

CHAPTER 1

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LECCIÓN

CONDENSADA

1.6

Datos de dos variables

En esta lección ● ● ● ●

practicarás la graficación de puntos en un plano de coordenadas crearás una gráfica de dispersión buscarás una relación entre dos variables basándote en un gráfico usarás tu calculadora para crear una gráfica de dispersión

Una variable es una cantidad, como un pulso o un año de acuñación, cuyo valor puede variar. Hasta este momento has trabajado con datos de una variable. Has utilizado gráficas de puntos, gráficas de caja, histogramas, y gráficas de tallo para presentar datos de una variable. A menudo es interesante observar información sobre dos variables para intentar descubrir una relación. Por ejemplo, puedes reunir datos sobre estatura y número de calzado para ver si las personas más altas tienden a tener pies más grandes que la gente baja. Hacer una gráfica de dispersión es una buena manera de buscar una relación en datos de dos variables. Lee la información sobre gráficas de dos variables en la página 70 de tu libro.

Investigación: ¡Déjalo rodar! Esta investigación implica la recolección y la graficaciónde datos de dos variables. Lee la introducción en la pagina 70 de tu libro. Pasos 1–3 Para recolectar los datos, marca un punto (el “punto de lanzamiento”) en Distancia rodada la rampa, mide su Altura de altura, y anota esa lanzamiento altura en una tabla. Luego, deja rodar el objeto, mide la distancia donde se detiene desde la base de la rampa, y anota esa distancia en la tabla. Repite con diferentes puntos de lanzamiento. He aquí algunos datos para esta actividad. He aquí algunos datos para esta actividad. Altura de lanzamiento (cm)

6

7

8

9

10

11

Distancia rodada (cm)

15

26

32

41

49

54

Para ver si hay una relación entre las variables altura de lanzamiento y distancia rodada, construye una gráfica de dispersión. Puedes poner cualquiera de las variables en cualquiera de los ejes. En la gráfica de la página siguiente, los valores de altura de lanzamiento están en el eje x y los valores de la distancia rodada están en el eje y. El mayor valor de altura de lanzamiento es 11, y el mayor valor de distancia rodada es 54. Si haces que cada marca del eje x represente 1 cm y cada marca del eje y represente 5 cm, todos los valores entrarán en una cuadrícula de 12 por 12. Asegúrate de rotular los ejes con los nombres de las variables.

Pasos 4–6

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(continúa) CHAPTER 1

21

Lección 1.6 • Datos de dos variables (continuación) Para graficar los datos, piensa en cada par de datos como un par ordenado. Por ejemplo, para graficar el primer par, grafica (6, 15) desplazándote por el eje horizontal hasta 6 y luego hacia arriba hasta que estés a la altura de 15. Abajo a la derecha está la gráfica de dispersión completa. y

60

60

50

50 Distancía rodada (cm)

Distancia desde el vértice (cm)

y

40 30 20 (6, 15) 10 0

(11, 54) (10, 49) (9, 41)

40

(8, 32)

30

(7, 26) 20 (6, 15) 10

2

4 6 8 Diámetro (cm)

10

12

x

0

2 4 6 8 10 Altura de lanzamiento (cm)

12

x

Pasos 7–8 Observa que los puntos aproximadamente forman un patrón de línea recta. La gráfica indica que cuanto más grande sea la altura de lanzamiento de un objeto, mayor será su distancia rodada.

Para construir una gráfica de dispersión en tu calculadora, necesitas introducir los datos en dos listas. Intenta hacer una gráfica de dispersión con los datos de la tabla anterior. (Consulta Calculator Note 1F para aprender hacer una gráfica de dispersión.)

Revisa el ejemplo de la página 72 de tu libro. La gráfica del ejemplo, al igual que la creada en la investigación, es una gráfica de primer cuadrante porque todos los valores son positivos. En ocasiones entre los datos hay valores negativos y se requiere más de un cuadrante.

䊳

Solución

Si haces cheques por más dinero del que tienes en tu cuenta, la cuenta tendrá un saldo negativo. La gráfica de la derecha muestra el saldo de una cuenta de cheques al final de cada día durante un periodo de cinco días. Describe el saldo de cada día. El punto (1, 150) muestra que el primer día el saldo fue de $150. El punto (2, ⫺50) muestra que el segundo día el saldo fue de ⫺$50. Los puntos (3, 350) y (4, 350) indican que los tercer y cuarto días el saldo fue de $350.

y 400 (3, 350)

(4, 350)

300 Saldo (dólares)

EJEMPLO

200 (1, 150) 100 0

100 200

1 (2, 50)

3 Día

4

5

x

(5, 200)

El punto (5, ⫺200) significa que el quinto día el saldo fue de ⫺$200. 22

CHAPTER 1

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LECCIÓN

CONDENSADA

1.7

Estimación

En esta lección ● ● ● ●

practicarás tus habilidades de estimación crearás una gráfica de dispersión obtendrás conclusiones sobre un conjunto de datos basándote en gráficas usarás tu calculadora para crear una gráfica de dispersión

En esta lección verás cómo usar una gráfica de dispersión para comparar valores estimados con valores reales.

Investigación: Estimación conjetural Pasos 1–3 Para probar tus habilidades de estimación, puedes estimar la distancia desde un punto inicial a varios objetos, y después medir la distancia real. La tabla ofrece algunos datos de muestra. Tal vez quieras recolectar tus propios datos o sólo agregar algunos valores que tu hayas obtenido. Descripción

Distancia real (m), x

Distancia estimada (m), y

Escritorio de Ted

1.86

1.75

Escritorio de Zoe

1.50

1.50

Pizarrón

4.32

3.80

Escritorio del profesor

1.85

2.00

Mosaico azul

0.57

0.50

Esquina del aula

4.87

4.50

Bote de basura

2.35

2.75

Lápiz de Jing

0.29

0.25

Librero

3.87

4.25

Pasos 4–5 Puedes hacer una gráfica de dispersión para comparar las distancias estimadas con las distancias reales. Primero establece los ejes. Coloca las distancias reales en el eje x y las estimadas en el eje y. Usa la misma escala en ambos ejes.

Piensa en cómo se vería la gráfica si todos los valores estimados hubieran sido los mismos que las mediciones reales. Esto es, imagina que la gráfica tuviera los puntos (1.86, 1.86), (1.50, 1.50), (4.32, 4.32), etcétera. En este caso, los puntos caerían en una línea recta.

y 5 Distancia estimada (m)

Grafica un punto por cada pareja de valores de la tabla, usando la distancia real como valor de x y la distancia estimada como valor de y. Por ejemplo, grafica el punto (4.32, 3.80) para representar los datos correspondientes al pizarrón. Aquí se presenta la gráfica completa.

(4.87, 4.50) (3.87, 4.25) (4.32, 3.80)

4 3

(2.35, 2.75)

2 (1.85, 2.00)

(1.86, 1.75) (1.50, 1.50)

1

(0.57, 0.50) (0.29, 0.25)

0

1

2 3 4 Distancia real (m)

5

x

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CHAPTER 1

23

Lección 1.7 • Estimación (continuación) Pasos 6–9 Usa tu calculadora graficadora para hacer una gráfica de dispersión de los datos. Te mostramos cómo se vería la gráfica si utilizas la misma escala que en la gráfica anterior.

[0, 5, 0.5, 0, 5, 0.5] La recta y ⫽ x representa todos los puntos para los cuales el valor y es igual al valor x. En este caso, representa todos los puntos para los cuales la distancia estimada es igual a la distancia real. Grafica la recta y ⫽ x en la misma ventana que tu gráfica de dispersión. (Consulta Calculator Note 1J para construir una gráfica de dispersión y una ecuación de manera simultánea.)

Los puntos que se encuentran más cercanos a la recta representan mejores estimaciones que los puntos más alejados de la recta. Usa la función trace para ver las coordenadas de los puntos. Observa que los puntos para los cuales la estimación es demasiado baja están por debajo de la recta, y que los puntos para los que la estimación es demasiado alta están por encima de la recta. y (4.87, 4.50) (3.87, 4.25) La estimación es demasiado alta.

3 2

(4.32, 3.80)

x

4

y=

Distancia estimada (m)

5

(2.35, 2.75) (1.85, 2.00) (1.50, 1.50)

La estimación es demasiado baja.

(1.86, 1.75) La estimación es igual al valor real.

1 (0.57, 0.50) (0.29, 0.25)

0

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CHAPTER 1

1

2 3 4 Distancia real (m)

5

x

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LECCIÓN

CONDENSADA

1.8

Uso de matrices para organizar y combinar datos

En esta lección ● ●

usarás matrices para organizar y combinar datos usarás tu calculadora para efectuar operaciones con matrices

冤 冥

En la tabla de la página 83 de tu libro, se muestra el número promedio de horas que la gente de diferentes países trabajó cada semana durante los años 1900 y 2000. Al igual que en una tabla, en una matriz se organizan los datos en filas y columnas. La matriz a la derecha muestra los datos de las horas de trabajo.

47.7 56.4 60.1 [A] ⫽ 64.2 55.9 50.2

Esta matriz tiene las dimensiones 6 ⫻ 2, ya que tiene seis filas y dos columnas. Trabaja el Ejemplo A de tu libro. En la parte c, la matriz de las horas de trabajo se multiplica por 50. Multiplicar una matriz por un número significa multiplicar cada entrada por dicho número. Así pues, para hallar 50  [A], multiplica cada entrada de la matriz [A] por 50. Tu calculadora puede hacer todas las multiplicaciones en un solo paso. (Consulta Calculator Notes 1L y 1M.)

35.9 30.6 30.8 26.9 37.6 33.1

Para sumar o restar dos matrices, suma o resta las entradas correspondientes. En el Ejemplo B se muestra cómo sumar dos matrices. Lee el ejemplo con cuidado y asegúrate de entenderlo. Para sumar o restar dos matrices, las matrices deben tener las mismas dimensiones. Si las dimensiones son diferentes, no podrás hacer una correspondencia entre entradas para hacer las operaciones. Ahora ya sabes cómo multiplicar una matriz por un número y cómo sumar o restar dos matrices. Como verás en la investigación, multiplicar dos matrices es más complicado.

Investigación: Multiplicación de la fila por la columna de dos matrices Pasos 1–3 La tabla y la matriz muestran los precios de productos grandes en dos restaurantes. Precios de productos grandes Pizza Palace

Tony’s Pizzeria

$11.40

$11.35

Ensalada grande

$3.35

$3.90

Bebida grande

$2.15

$2.10

Pizza grande

[D] ⫽

冤

11.40 3.35 2.15

11.35 3.90 2.10

冥

La primera columna de la matriz muestra los precios de Pizza Palace. Puedes encontrar el precio total de 4 pizzas grandes, 5 ensaladas grandes, y 10 bebidas grandes al multiplicar el número de elementos de cada producto por su precio.

io Pr ec

Nú

m er o Pr ec io Nú m er o Pr ec io Nú m er o Pr ec io

Pizza Ensalada Bebida Total 4  11.40  5  3.35  10  2.15  83.85

(continúa)

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CHAPTER 1

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Lección 1.8 • Uso de matrices para organizar y combinar datos (continuación) Pasos 4–13 La matriz fila [A] y la matriz columna [B] contienen toda la información que necesitas para calcular el precio total de la comida en Pizza Palace. La matriz [A] muestra el número de productos y la matriz [B] muestra los precios.

[A] ⫽ [4

5

10]

冤 冥

11.40 [B] ⫽ 3.35 2.15

Introduce [A] y [B] en tu calculadora y encuentra su producto, [A]  [B], ó [4

5

10] 

冤 冥 11.40 3.35 2.15

(Consulta Calculator Note 1P para aprender cómo multiplicar matrices.) Debes obtener la matriz con dimensiones 1 ⫻ 1 [83.85]. La entrada de la matriz, 83.85, es el precio total que calculamos en los Pasos 1 – 3. La calculadora multiplica cada entrada de la matriz fila por la entrada correspondiente de la matriz columna y suma los resultados. Éste es el mismo cálculo. [4

5

10] 

冤 冥

11.40 3.35 ⫽ [4  11.40 ⫹ 5  3.35 ⫹ 10  2.15] ⫽ [83.85] 2.15

Puedes encontrar el precio total de la comida en Tony’s Pizzeria multiplicando las matrices siguientes. Multiplica las matrices en tu calculadora. Debes obtener [85.90]. [4

5

10] 

冤 冥 11.35 3.90 2.10

Puedes hacer un cálculo matricial para encontrar el precio total para ambos restaurantes. [4

5

10] 

冤

11.40 3.35 2.15

11.35 3.90 2.10

冥

Haz este cálculo en tu calculadora. Debes obtener la matriz con dimensiones 2 ⫻ 1 [83.85 85.90]. Para obtener la primera entrada del producto, la calculadora multiplica la matriz fila por la primera columna. Para obtener la segunda entrada, la calculadora multiplica la matriz fila por la segunda columna. Si intentas multiplicar las matrices en el orden inverso, obtendrás un mensaje de error. Para multiplicar dos matrices, el número de columnas de la primera matriz debe ser igual al número de filas de la segunda, ya que cada entrada de columna de la primera matriz se multiplica por la correspondiente entrada de fila de la segunda.

Trabaja el Ejemplo C de tu libro para obtener más práctica en la multiplicación de matrices.

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