Didáctica de sistemas de notación de los números naturales (DIDÁCTICA BABILÓNICO-HINDÚ DE LA ARITMÉTICA ELEMENTAL) CARLOS LUQUE ARIAS LYDA MORA JOHANA TORRES

Presentación Se entiende la Didáctica como la disciplina que estudia los procesos relacionados con la enseñanza y el aprendizaje de un área del saber, entre los cuales, el estudio es el proceso fundamental. En particular, el estudio de las matemáticas comprende la adquisición de conocimientos ya establecidos, la aplicación de dichos conocimientos y el quehacer matemático en sí, es decir la ejecución de las actividades que hacen los matemáticos: conjeturar, formular teoremas y construir teorías. Desde esta perspectiva, el aprendizaje, como meta del estudio, es un proceso constructivo y dinámico, en el cual el sujeto es el responsable directo (de su aprendizaje), pues él es quien construye su propio conocimiento a través del papel activo que debe asumir como protagonista de los procesos de exploración, análisis, síntesis, generalización y formulación de los contenidos matemáticos (Moreno L. y Waldegg G., 1998). Así, se considera necesario estimular al estudiante para que sea agente activo de su aprendizaje, y las actividades de descubrimiento contribuyen a tal fin, pues conllevan que él aprecie las matemáticas como un proceso y no como un producto acabado. En este sentido, se enfatiza en que, para comprender y aprehender el conocimiento matemático, se requiere "hacer matemáticas". Por eso, en las actividades didácticas que proponemos tenemos en cuenta que "el trabajo intelectual de los alumnos debe ser en muchas situaciones, comparable con el de los propios matemáticos" (Godino C., Batanero V. y Navarro, 1995) y, que el maestro debe constituirse en un mediador entre el alumno y el conocimiento, en la medida que debe ofrecer los elementos necesarios para promover la actividad cognitiva a partir del conocimiento responsable de los objetos de estudio y a la vez fomentar la interacción con sus estudiantes. Con las actividades propuestas se pretende que las personas, para quien va dirigida la propuesta, tengan la oportunidad de investigar sobre los problemas, formular, probar,

construir modelos, lenguajes, conceptos, teorías, intercambiar sus ideas con otros, reconocer los tratamientos propios de la cultura matemática, adoptar ideas que sean útiles, descartar propuestas, criticar resultados, proponer procedimientos, formular hipótesis, etc. La propuesta que se presenta a continuación es una didáctica de las matemáticas por cuanto se ocupa de presentar actividades que invitan a las personas a estudiar matemáticas, a construir teorías matemáticas y, en suma, se trata de despertar en ellas, creatividad y pasión en la construcción de su saber matemático.

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Libro I Antecedentes históricos de sistemas de notación de los números naturales Introducción Se presentan algunas soluciones que culturas antiguas notables le dieron al problema de contar y los sistemas de notación de números naturales inventados por ellas. Una excelente presentación de parte de este tema se encuentra en el libro Las cifras de Georges Ifrah 1 . Se inicia con un breve recuento de las formas más primitivas de conteo no posicional, incluyendo el sistema romano. Luego se estudian algunos sistemas posicionales de notación como, uno de los sistemas de la cultura maya, por tener una dificultad intrínseca de cálculo debido a su forma de construcción; y el sistema de los incas, que es un sistema posicional de base 10, donde se privilegia el uso de instrumentos como la yupana y el quipu, la primera similar a un ábaco y el segundo, un arreglo de cuerdas anudadas, para realizar operaciones básicas. Finalmente, se tratan los sistemas babilónico y egipcio, donde se resalta el uso de algoritmos para realizar las operaciones básicas.

I. 1) Los primitivos La idea de contar es una de las más primitivas 2 en los seres humanos, bien sea con los dedos, como los indios de las islas de Borneo contando uno, dos, tres, muchos; o con complejas construcciones, como el agrupamiento de grandes piedras (Stonehenge, en el sur de Inglaterra), o con instrumentos como ábacos o los más modernos ordenadores.

1

IFRAH, G., Las Cifras: Historia de una gran invención, Alianza Editorial, 1987. En el año 1937, Karl Absolom encontró en una excavación en Checoslovaquia, un fósil de hueso de lobo de 30.000 años de antigüedad, sobre el cual se distinguen claramente marcas talladas, las cuales sugieren la existencia de secuencias de conteo. Se observaron sobre el hueso 55 marcas agrupadas de cinco en cinco, lo que lleva a pensar que la agrupación natural de los dedos sirvió de base para su organización. 3 2

El proceso de contar consiste en establecer una correspondencia entre los objetos a contar y un conjunto de objetos o símbolos que representan a los objetos iniciales, pero que son más fáciles de manipular; por ejemplo, los dedos de una persona o los nudos en una cuerda o algunos signos dibujados en un trozo de piedra o de madera, poniendo uno o varios símbolos por cada objeto a contar. A partir de estos símbolos, el hombre generó diversas maneras de registrar cantidades, ideando palabras y signos que expresaban el conjunto de números representados; estas formas se conocen como sistemas de notación para los números. Inicialmente, se desarrollaron sistemas primitivos de notación de números, que les permitían diseñar calendarios y efectuar algunos cálculos simples, luego en culturas más avanzadas, se implementaron notaciones numéricas más perfeccionadas, hasta conseguir los sistemas de notación posicionales. En algunos pueblos, los números recibían nombres comunes; por ejemplo, los Tumanacos, una cultura sudamericana, usaban para 5 la misma palabra que usaban para decir “una mano entera”. El término que designaba al 6 significaba “uno de la otra mano“; el siete eran “dos de la otra mano“, y análogamente para el 8 y el 9; el 10 era “ambas manos”. Para expresar de 11 a 14, los tumanacos extendían ambas manos y contaban “uno del pie, dos del pie...”, y así sucesivamente, hasta el 15, que era “un pie completo”. El sistema continuaba expresando el 16 como “uno del otro pie” y así hasta 19. La palabra que expresaba veinte era la misma empleada para decir “un indio”. El 21 era “uno de la mano del otro indio”, “dos indios” significaba 40, “tres indios” 60, etc. Algunos pueblos del África 3 descubrieron, como muchos otros pueblos, que resulta sumamente difícil contar y calcular si se emplea una palabra o un símbolo distinto para cada número. En lugar de inventar una nueva palabra para cada número, forman términos a partir de los que se designan los números de base y se establecen relaciones aritméticas entre ellos. En los sistemas orales de numeración africanos existen muchos ejemplos de este procedimiento. Los bulanda de África Occidental, tienen un sistema cuyo principal número era el seis, de modo que siete se dice seis más uno; ocho, seis más dos, etc. Entre los huku, de Uganda, se forman los términos correspondientes a trece, catorce, quince, agregando uno, dos, tres, al número doce; así, bakumba igimo (trece), significa 12 + 1. Un número pequeño, como es el caso del cinco, presenta la ventaja de facilitar el cálculo oral o mental. Por ejemplo, 7 + 8 equivale en ese sistema a: (5 + 2) + (5 + 3). Como 2 + 3 = 5, se llega fácilmente a encontrar como equivalente 5 + 5 + 5, o sea 10 + 5, o lo que equivale a 3 veces 5. 2 × 7 equivale a (4 + 3) + (4 + 3), pero como 4 + 3 + 3 = 10, la respuesta puede formularse también como 10 + 4.

3

GERDES, P y CHERINDA M., “Contar en África”, El correo de la Unesco (París), vol 46, noviembre de 1993, pp. 37 – 39. 4

En otras lenguas africanas, para formar los vocablos que designan los números, no sólo utilizan la adición y la multiplicación, sino también la sustracción. Así, los yoruba, de Nigeria, utilizan, para decir dieciséis, la expresión eerin din logun, que significa “cuatro antes que veinte”, mientras que entre los luba – hemba, del Zaire, siete se dice habulwa mwanda (ocho menos uno), y nueve habulwa likumi (diez menos uno).

I.2) El sistema de los romanos El sistema introducido por los romanos hace unos 2.000 años y probablemente derivado del inventado por los etruscos 4 , fue de uso común en Europa hasta fines de la Edad Media. Los romanos hicieron uso del alfabeto latino para los símbolos de sus números, como lo muestra la siguiente tabla: 1 I

5 V

10 X

50 L

100 C

500 D

1000 M

Tabla 1 Los símbolos son de dos tipos: Primarios: I: uno, X: diez, C: cien, M: mil, y secundarios: V: cinco, L: cincuenta, D: quinientos. Las reglas de escritura son: 1. Si el número está conformado por dos símbolos diferentes, se debe tener en cuenta que si el número menor está a la derecha del mayor, entonces se adiciona a éste y si está a la izquierda se le resta. 2. Un símbolo primario no debe repetirse más de tres veces en la escritura de una misma cantidad y los símbolos secundarios deben escribirse sólo una vez.

4

El pueblo etrusco conoció el alfabeto, procedente de la antigua lengua ática, orientándose su escritura de derecha a izquierda. No se conoce una literatura etrusca, limitándose los textos encontrados a libros sagrados. Sin embargo, tenían conocimiento de las matemáticas, y se les asigna la creación de las llamadas cifras romanas. Conocían la astronomía, y estudiaron los fenómenos celestes. Medían el tiempo en un año de trescientos cuarenta días, divididos en diez meses. 5

3. Una raya escrita encima de un símbolo, significa que éste ha sido multiplicado por 1.000; dos rayas significa que ha sido multiplicado por 1.000.000; por lo tanto, para cantidades mayores que 3.999; es decir, MMMCMXCIX, se escriben símbolos que representen números menores que éste y se le colocan las rayas necesarias.

I.3) Un sistema de notación de los mayas La civilización maya 5 centró sus esfuerzos en el tiempo y su medida, tanto que crearon tres calendarios: uno era denominado Tzolkin (dioses) constaba de 260 días y era dedicado a sus celebraciones místicas; el segundo tenía como función medir el tiempo desde un remoto origen; y el tercero (que es el más conocido y estudiado, ya que con base en él fue creado su sistema numérico), llamado haab o calendario solar, constaba de 18 meses de veinte días cada uno y un período extra de cinco días y un cuarto de día. Los manuscritos mayas, especialmente el códice Dresde (un tratado de astronomía y de adivinación, copiado en el siglo IX, de un original redactado tres o cuatro siglos antes) revelan que descubrieron el principio de notación posicional para los números e inventaron el cero, aproximadamente cien años antes de la invención del sistema arábigo; por lo menos, entre los sacerdotes mayas existía un sistema de base 20, con un cero, donde el valor de la cifras estaba determinado por su posición en la escritura de los números. Los símbolos principales fueron • y ⎯ que designaban respectivamente a los números 1 y 5; ellos se combinaban para formar otros hasta el 19, por ejemplo: 1 •

5 ⎯

7 •• ⎯

10 ⎯ ⎯

13 ••• ⎯ ⎯

Figura 1 Escribían los números de abajo hacia arriba. El cero lo representaban con una concha de . Las unidades de cada orden caracol marino, que aquí se representa con el símbolo van aumentando como potencias de veinte 6 , excepto las unidades de tercer orden que corresponden a 18 de segundo orden; esto motivado en que en su calendario solar 7 , un año es de 18 meses y no de 20. 5

VON HAGEN, V.W., El mundo de los mayas, Editorial Diana, México, 1960. Los mayas contaban con los dedos de las manos y de los pies. En la lengua quiché el número 20 significa: toda la persona 7 En su calendario se tenían las siguientes correspondencias: 20 kines = 1 uinal, o 20 días. 18 uinales = 1 tun, o 360 días. 6 6

Para escribir un número compuesto por dos órdenes, se colocaba la cifra de las unidades en el nivel inferior y la cifra de las veintenas en el segundo. Así, 21 se escribe: z z

el primer punto, de arriba hacia abajo, indica 1 × 20 = 20 y el segundo, 1. 79 que es igual a 3 × 20 + 19, se escribe: zzz

: 3 × 20

zzzz

: 19 El tercer nivel, de abajo hacia arriba, indicaba los múltiplos de 360, por ejemplo: zz

zzz zzzz

Corresponde a: 4399 = 12 × 360 + 3 × 20 + 19 El número 13 495 se escribe:

20 tunes 20 katunes 20 baktunes 20 pictunes 20 calabtunes 20 kinchiltunes

= 1 katún, 7.200 días. = 1 baktún, o 144.000 días. = 1 pictún, o 2.880.000 días. = 1 calabtún, o 57.600.000 días. = 1 kinchiltún, o 1.152.000.000 días. = 1 alautún, o 23.040.000.000 días. 7

z zz

zzz

puesto que 1 × 7200 + 17 × 360 + 8 × 20 + 15 = 13 495 Y para escribir 115 212, se utiliza el cero dos veces: z

zz

debido a que 115 212 = 16 × 7200 + 0 ×360 + 0×20 + 12. El sistema de notación maya, que se ha descrito, tiene ventajas teóricas frente a otros sistemas más conocidos, como el sistema de los números romanos; por ejemplo, para escribir los números del 1 al 19, inclusive, en la notación romana son necesarios tres símbolos, o sea las letras I, V y X, y hacer dos operaciones aritméticas, adición y sustracción. En el sistema maya se necesitan solamente dos símbolos, la barra y el punto, y basta una sola operación aritmética: la adición. Los mayas inventaron otro sistema de numeración llamado “de cabezas”, donde se disponía de 20 símbolos individuales para los números del 0 al 19. Este sistema se forma con una sucesión básica de 14 jeroglíficos o glifos con figuras de cabezas humanas, diferenciadas entre sí por sus rasgos específicos; las 14 cabezas correspondían a 14 deidades patronas de cada número, del 0 al 13. Los 6 símbolos faltantes se forman colocando una parte representativa de la cabeza del 10 (el maxilar inferior, pues este símbolo era una calavera), debajo de las cabezas del 4 al 9, para tener así los glifos del 14 al 19 y completar las 20 cifras necesarias.

8

I.4) El sistema de numeración inca Los incas poseían un sistema de pesas y balanzas de gran exactitud y en su calendario los meses tenían una duración de 27 + 1/3 días y un año tenía 328 noches. Entre los cancha-camayos, existía una clase de trabajadores quienes eran los encargados de hacer los registros y las cuentas; tales registros se hacían en quipus 8 .

I.4.1) La representación de los números en el quipu El quipu consiste en una cuerda delgada de la cual penden otros cordones, con distintas longitudes y colores, en los cuales hay varios nudos, que pueden ser simples, dobles o triples. El quipu se utilizaba para registrar datos importantes, como la cantidad de producción en las cosechas, el número de habitantes, etc., y sólo podía ser leído por personas especializadas, denominados kipucamayocs. En la figura 2, se muestran cómo se escribían los números 1, 2, 9 y 8624 en el sistema de numeración incaico; las unidades se representaban en el extremo de las cuerdas y se ascendía de acuerdo a si los nudos simbolizaban decenas, centenas, etc.

Figura 2 El quipu permitía en forma fácil efectuar la suma de cantidades previamente anotadas en cuerdas contiguas, como se muestra en la figura 3. Se suman las unidades de los tres números 4 + 3 + 7 = 14, se anuda en la cuerda de la izquierda, que representa la suma, el 4 en el nivel de las unidades y se lleva 1 para el nivel de las decenas. Se suman las decenas 1 + 3 + 2 + 6 = 12, se anuda el dos en el nivel de las decenas y llevamos una centena. Finalmente, se suman las centenas; el resultado se puede leer en la primera cuerda de izquierda a derecha. Al terminar la operación, se ajustaban los nudos de la parte superior y las cuatro cuerdas se ataban en el extremo opuesto. Con esto se indicaba que en el quipu se había efectuado una adición. 8

Quipu en quechua significa nudo. 9

Figura 3

I.4.2) La Yupana, el "ábaco precolombino" La primera representación conocida de la yupana 9 apareció en 1615 en la obra Nueva corónica y buen gobierno, la tabla allí expuesta es de forma rectangular constituida por cinco filas y cuatro columnas, en cada una de las casillas se encuentran círculos negros y blancos distribuidos por columnas, en la primera se encuentran cinco, en la segunda tres, en la tercera dos y en la última un círculo, como se muestra enseguida:

Figura 4

9

El nombre yupana proviene del vocablo quechua yupay, que significa contar. Actualmente se conoce como tabla de cálculo de los incas. 10

A raíz de este esquema surgieron diferentes interpretaciones con respecto al significado de los círculos negros y los círculos blancos; algunos personajes afirmaban que los círculos blancos indicaban posiciones desocupadas y los negros representaban números, los cuales eran simbolizados por los incas con granos de maíz, piedrecillas, semillas, etc. Otros, por el contrario, aseguran que los círculos negros indicaban posiciones para sumar y los blancos para restar; sin embargo, de esta última acepción no se conoce desarrollo alguno. Personas que se han interesado por estudiar las matemáticas desarrolladas por la cultura inca, como William Burns Glynn, proponen que en los círculos se ubican granos, piedras, etc. de tal manera que cada círculo tenga un valor de uno, pero adquieren valor diferente de acuerdo a la fila donde se encuentran ubicados; además, la casilla donde sólo hay un círculo se utiliza como memoria. Enseguida mostraremos cómo representar números en la yupana y cómo sumar de acuerdo a la propuesta realizada por Burns: La yupana se coloca en posición horizontal, como se muestra en la figura 5: |

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| | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | | Figura 5 Cada círculo tiene un valor de acuerdo a la columna donde se encuentra; es decir, si éste pertenece a la segunda columna (de derecha a izquierda), cada círculo tendrá un valor de 10, si pertenece a la tercera, tendrá un valor de 102, y así sucesivamente. Esto, debido a que el sistema de numeración usado por los incas es decimal. Los círculos de la primera fila (de arriba hacia abajo) se utilizan como memoria y las otras filas son posiciones para ubicar granos, piedrecillas, etc. Cada vez que se completen los diez círculos de una columna, se barren y se coloca uno en la memoria, que luego será trasladado a la columna posterior, de la siguiente forma:

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Decenas

Unidades

Unidades

Unidades

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z

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z z

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z z z

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zz zzz

z | | | | | | | | |

Figura 6 Un procedimiento para sumar en la yupana, con las reglas establecidas, es el siguiente: Por ejemplo, para sumar: 328 y 253. Inicialmente se coloca uno de los sumandos, representado con piedras, canicas, maíces, etc., en la yupana y el otro en la parte superior de ésta, así:

z z

z z z z z

z z z

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| | | z | | | | | | z z | | | | z z z z | | | z z z | | | z z z Figura 7 Se colocan las piedrecillas de la parte superior sobre la yupana, conservando las columnas; es decir, en la columna uno, se transfieren las tres piedrecillas a la columna de las unidades, y así sucesivamente. Como en la primera columna quedan los diez círculos llenos y una canica por fuera, se barren y se lleva una a la memoria; así, se ubica la piedrecilla que sobraba en la yupana. De manera similar, se realizan las demás sumas en cada columna. Luego, la suma será igual a 690, que se representa de la siguiente manera:

12

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z z z

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| | | | | z | z | | | | | | | | z z z z z z | | z Figura 8 Hay propuestas 10 para usar la yupana como herramienta de ayuda en las aulas escolares, pero el tema aún está en exploración.

I.5) El sistema de notación de Babilonia La civilización babilónica fue un conjunto de pueblos que vivieron en Mesopotamia desde 5700 años antes de Cristo, hasta los primeros tiempos del cristianismo, época ésta conocida como seléucida; estuvo conformada por los pueblos – sumerios, acadios, caldeos, asirios, babilonios y otros A mediados del siglo XIX, encontraron en las ruinas de Mesopotamia casi medio millón de tabletas de arcilla, de las cuales más de 300 contienen conocimientos matemáticos, procedentes del último período sumerio. Las tablillas miden entre 12 y 450 cm2 y contienen series de números, relaciones geométricas, multiplicaciones, números con sus inversos, cuadrados y cubos. Los antiguos Sumerios 11 construyeron una aritmética para elaborar un calendario; ellos mismos desarrollaron un sistema numérico con 60 símbolos que luego fue heredado y utilizado con mucha habilidad por los babilonios. Las tablillas matemáticas datan principalmente de dos períodos: unas, de alrededor del año 2000 a.C. y la mayoría pertenecen a un periodo entre el año 600 a. C. y el año 300 d.C. La lengua y la escritura utilizadas en las tablillas de período más antiguo es el acadio, superpuesta al lenguaje y la escritura sumerios; los acadios utilizaban para escribir un prisma de sección triangular, que apoyaban sobre la tablilla en una posición inclinada, 10

MORA, L., VALERO, N., LUQUE, C., La yupana como herramienta pedagógica, Memorias del X Encuentro de Geometría y sus aplicaciones, Bogotá, Junio de 1999, p. 155. 11 CHURCHILL, E. M., Contando y midiendo, Uteha, 1965, p. 30. 13

produciendo así unas señales en forma de cuña orientadas en distintas direcciones, por ello su escritura se llamó cuneiforme. Estas tablillas de arcilla no sólo las utilizaron los sumerios, caldeos y babilonios, sino también los hititas, asirios y otros pueblos de la antigüedad. Como en otras culturas, fueron los astrónomos babilonios quienes desarrollaron su sistema de numeración, era un sistema posicional mixto (base 10 y base 60), constituido por dos símbolos principales:

que representa la unidad y se repite hasta nueve veces y

que representa el número 10 y se repite combinándolo con la unidad para representar los números del 11 al 59. A partir del 60, se utilizan las mismas combinaciones de dos signos, teniendo en cuenta la posición. Hacia el año 1700 a.C. representaban el cero con un espacio en blanco, pero en la época seléucida, utilizaban el símbolo

Aunque muy rara vez se usaba al final de una representación numérica. Por ejemplo, el número 7424 se escribía

que significa 2 × 602 + 3 × 60 + 44 Esta representación fue modificada posteriormente por

14

Donde los espacios fueron sustituidos por

Es interesante observar la manera cómo se obtiene alguna información de tablillas antiguas en una labor de adivinación por ensayo y error; se presenta, en la figura 10, un ejemplo tomado del libro Matemáticas, episodios históricos 12 , de Asger Aaboe. En la figura 9 se observa la reproducción del haz (anverso) y del envés (reverso) de una tablilla de la Antigua Babilonia; en ambas caras la escritura consiste en signos simples colocados en dos columnas, señalados por Col. I y Col. II. En total hay 24 renglones, pero de momento se ignorará el último.

Tomada de AABOE, A., op.cit. p. 21.

Figura 9 En la columna I del primer renglón, la primera anotación es una cuña vertical; la segunda, dos cuñas verticales; la tercera es tres, y así sucesivamente. Es natural interpretar estos 9 renglones como 1, 2, 3... 7, 8, 9 porque este es el número de cuñas en cada renglón. En cada fila, los trazos se agrupan en ternas, con lo que se facilita la lectura; después del 9 aparece un símbolo nuevo: una cuña angular. Si se admite que ésta representa 10, 12

AABOE, A., Matemáticas Episodios Históricos, Norma, p. 21 15

entonces no hay dificultad en los ocho renglones siguientes ya que constan de esta cuña y los signos del 1 al 8; se deduce, en consecuencia, leerlos como 11, 12, 13, ...,18. En la línea siguiente se encuentra 13 un signo especial para el 19, pero corrientemente se representa por una cuña angular y nueve cuñas verticales. En los siguientes renglones se hallan, dos, tres, cuatro, cinco cuñas angulares que deben representar el 20, 30, 40 y 50 respectivamente. En la columna II, se lee en los seis primeros renglones 9, 18, 27, 36, 45, 54; lanzando una hipótesis, se puede decir que esta columna es una tabla de multiplicar por 9, entonces el séptimo renglón debe expresar el 63 y el octavo el 72, pero en estos renglones hay una cuña vertical seguida de un 3 en el séptimo, y de un 12 en el octavo. Al parecer, la cuña vertical representa el 60; si se transcriben esas dos líneas como 1,3 y 1,12 y se le da al primer 1 el significado de 60, se obtiene: 1,3 = 1 × 60 + 3 = 63

y

1,12 = 1 × 60 + 12 = 72

Los siguientes renglones se pueden transcribir como: 1,21 = 81 1,30 = 90 1,39 = 99 1,48 = 108 1,57 = 117 Todo, si se considera válida la hipótesis ya establecida, de que la segunda columna es una tabla de multiplicar por 9. El décimo renglón tiene dos cuñas verticales y un 6, se puede transcribir como 2,6 que debe corresponder a 14 × 9 = 126. Así, es posible interpretar los siguientes renglones como: 2,15 = 135 2,24 = 144 2,33 = 153 2,42 = 162 2,51 = 171 En el siguiente renglón hay 3 cuñas verticales cuyo significado es 180; si estuviera seguido por algún signo se podría identificar como el cero, y transcribirlo de la forma 3,0 que sería 3 × 60 + 0 = 180. En consecuencia, se dará por sentado que los babilonios 13

AABOE, A., op.cit. p.22. 16

no tenían símbolo para el cero en el extremo derecho de un número, sino que procuraban darle a entender al lector que se ha dejado un espacio vacío. Dos renglones más abajo se puede comprobar esta afirmación; frente al 40 de la columna I aparece un 6 en la columna II, que se transcribe como 6,0, esto es, 6× 60 + 0 = 360, que concuerda con 40 × 9. Las otras dos líneas, también se confirma el supuesto: 4,30 = 4 × 60 + 30 = 270 = 9 × 30 7,30 = 7 × 60 + 30 = 450 = 9 × 50 Se ha comprobado que el texto tiene un significado si se acepta que los signos numéricos alteran su valor de acuerdo al lugar que ocupan, de tal manera que si un signo se desplaza un espacio hacia su izquierda, su valor numérico se multiplica por 60. Si se analizan otros textos, el supuesto quedará ampliamente confirmado. Por ejemplo, un número trascrito como 1,25,30 corresponde a: 1 × 602 + 25 × 60 + 30 = 5130 Pero no todo es tan claro; el número anterior pudo ser trascrito como 1,25,30,0 o como 1,25,30,0,0, pero este no es un defecto muy grande ya que en general el contexto aclara a cual número se refiere 14 .

I.5.1) Las operaciones aritméticas Como en el sistema babilónico los símbolos para el uno y para el diez eran los símbolos básicos, los números del 1 al 59 se construían combinando estos símbolos, de manera que las operaciones de restar y sumar se reducían a añadir o quitar símbolos. Para representar la suma, los babilonios reunían las dos expresiones en una sola. Las multiplicaciones las efectuaban usando tablas, "los babilonios fueron de los más infatigables compiladores de tablas aritméticas de la historia" 15 ; construyeron tablas de multiplicar (similares a la tabla del nueve enseñada atrás), en donde se encontraban los múltiplos de p (siendo éste el número principal 16 de la tabla de multiplicar) así:

14

AABOE, A., op.cit., p. 24. BELL, E. T., Historia de las matemáticas, Fondo de Cultura Económica, 1995, p. 40. 16 Término usado por AABOE, A., op.cit., p. 37. 17 15

1 2 3 . . . 19 20

p 2p 3p . . . 19p 20p Tabla 2

que culminan, por lo general, en p2. Con base en tablas de este estilo es posible encontrar cualquier múltiplo de p; por ejemplo, si se deseara conocer 32p a la manera de los babilonios, se efectuaría la adición entre 30p y 2p, valores dados en la tabla.

I.6) El sistema egipcio La información que se tiene de la matemática Egipcia proviene fundamentalmente de dos papiros: el papiro de Moscú y el papiro Rhind, que se conoce también como papiro de Ahmes por el nombre de su autor. El papiro de Rhind tiene 30 cm de alto y 6 de largo y se encuentra actualmente en el British Museum, excepto unos pocos fragmentos que se conservan en el Broklyn Museum. Fue comprado en 1858 en una ciudad del Nilo por el escocés Henry Rhind, del cual se deriva su nombre. Este papiro no está escrito en forma jeroglífica sino con tinta y en cursiva; en éste se encuentra expuesto el sistema de numeración y algunas operaciones, entre ellas, una forma sumativa de multiplicar. Los papiros contienen problemas con soluciones: 85 en el papiro Rhind y 25 en el papiro Moscú. Los egipcios utilizaron dos sistemas de escritura: uno pictórico jeroglífico grabado en madera o en piedra, con dibujos de objetos o animales que significaban de alguna manera la idea del número que se quería representar17 y el otro hierático, de forma cursiva, más apropiado para la escritura sobre los papiros. Estos símbolos fueron creados alrededor del año 3000 a.C. El sistema jeroglífico de numeración es decimal y dispone de un símbolo particular para cada potencia de 10, se rige por un principio de adición; es decir, se adiciona el valor de los diferentes símbolos que componen la escritura de un número, sin que el orden sea importante.

17

MESERVE, B., SOBEL M., Introducción a las matemáticas, Editorial Reverté, 1967. 18

Usaban símbolos distintos para cada potencia de diez 18 , pero no consideraron el valor posicional; por lo tanto, la posición de los símbolos no afectaba el número que se quería representar. | ∩ y ∩ | son formas diferentes de escribir once, o sea, diferentes nombres o símbolos para el mismo número; la primera notación es la más frecuente en los jeroglíficos y los papiros, donde se aprecian una serie de anotaciones escritas a manera de contabilidad comercial 19 . Desde el 1 hasta el 9 trazaban líneas verticales; el diez tenía un símbolo parecido a una herradura o cuenco boca a bajo; cien, una espiral o rollo de pergamino; mil, estaba representado por una flor de loto; diez mil, por un dedo apuntando; cien mil, por un renacuajo, y un millón, por el dibujo de un hombre con las manos extendidas en actitud de asombro, como se muestra en la figura 10:

Figura 10 Cada símbolo se podía repetir hasta 9 veces, para formar otros números, por ejemplo: ⏐ 1

⏐⏐ 2 ∩∩ ∩∩∩ 50

⏐⏐⏐ 3

⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐⏐ 9 ∩∩⏐⏐⏐⏐ 24

I.6.1) Las Operaciones La aritmética egipcia fue esencialmente aditiva; para las sumas y las restas usuales se limitaban a combinar o a cancelar los diferentes símbolos hasta llegar al resultado

18

BALDOR, A., Aritmética, Cultural Colombiana, 1972, p. 36. MESERVE, B.E., SOBEL, M., Introducción a las Matemáticas, Editorial Reverte Mexicana S.A, México, 1971. 19 19

concreto. La multiplicación y la división también se reducían a procesos aditivos, pero el cálculo era un poco más complejo. La multiplicación se hacía inicialmente mediante un proceso de duplicación, basado en el hecho de que cualquier número puede expresarse como una suma de potencias de dos. Por ejemplo, como 19 = 1 + 2 + 16, entonces el producto de 19 × 25 se determina duplicando sucesivamente el número 25, así : 1 × 25 = 25 2 ×25 = 50 4 × 25 = 100 8 × 25 = 200 16 × 25 = 400

Luego se suman los múltiplos de 25 que correspondan a 1, 2, 16: 19 × 25 = (1 + 2 + 16) × 25 = 25 + 50 + 400 = 475 Con el tiempo, adoptaron un procedimiento más rápido para multiplicar, conocido como el método de duplicación y mediación, que consiste en duplicar uno de los factores y sacar la mitad del otro. Por ejemplo para determinar el producto 19 × 25 se va sacando mitad a 19 sucesivamente, sin tener en cuenta los residuos de cada paso, y al mismo tiempo se va multiplicando el 25, como se expone a continuación : 19 Æ 25 9 Æ 50 4 Æ 100 2 Æ 200 1 Æ 400 20

El proceso se termina cuando se obtiene un 1 en la columna de los números que se han ido dividiendo entre dos. A cada uno de los números de esta columna le corresponde un número en la columna de los números que se han duplicado. El producto de 19 × 25 se obtiene como la suma de los números que se oponen a los números impares de la columna de las mitades: 19 × 25 = 25 + 50 + 400 = 475 Para dividir un número por otro. Por ejemplo, para dividir 19 por 8 procedían de la siguiente manera: 1 8 2

16

1/2

4

1/4

2

1/8

1

y obtenían como respuesta: 2 + 1/4 + 1/8 La idea consiste en tomar el número de ochos y de partes de ochos que sumen 19. Los egipcios utilizaron la matemática en la administración de los templos y asuntos de estado, en el cálculo de salarios pagados a los trabajadores, en el cálculo de volúmenes de los graneros y áreas de los campos, en el cobro de impuestos estimados según el área de tierra, en el cálculo de número de ladrillos para la construcción de edificios, etc. Los papiros contienen problemas relativos a la cantidad de granos necesarios para producir cantidades de cerveza o la cantidad de granos necesarios para obtener un grano de otra calidad cuya proporción relativa a la de la primera fuera conocida.

21

Didáctica de sistemas de notación de los números naturales Libro II Actividades En el estudio de la evolución histórica de los sistemas notacionales para los números naturales en las diversas culturas se encuentran constantes como la aparición inicial de sistemas no posicionales, dando solución al problema de representar los números correspondientes a una cantidad de objetos contados. En la medida en que las culturas fueron creciendo en grado de civilización, en cantidad de miembros y en complejidad, surgió la necesidad de representar números cada vez más grandes, lo que implicó la creación de sistemas posicionales de notación y desarrollo de algoritmos en ellos para las operaciones básicas. Las operaciones superiores de la aritmética surgen de manera natural por analogía con la multiplicación, como una actividad matemática, pero no siempre en relación con actividades cotidianas. Vinculada a la noción de número natural está la noción de sucesión y con ella, la idea de un ordenamiento natural en el conteo, a cada número le sigue otro determinado y en algunas secuencias podemos prever cuál es el elemento siguiente observando los que le preceden. Esto genera una actividad matemática más abstracta: la inducción; el establecimiento de una regla general de formación a partir de la observación de casos particulares. Pero con la solución aparece un nuevo problema, surgen conjeturas que son válidas para un número finito de casos, pero no para todos los números naturales, y con el problema la necesidad de un método de prueba, el método de inducción matemática. El método produce adicionalmente una manera de abstraer la noción de número natural y permite hacer una teoría axiomática de los números naturales. Las actividades que se presentan a continuación, toman estos hitos de la historia, adaptados a situaciones que invitan a los estudiantes a plantear soluciones a los problemas propuestos. 22

Se entiende el aprendizaje como un proceso constructivo y dinámico en el cual el sujeto es el responsable directo, pues él es quien construye su propio conocimiento a través del papel activo que asume como protagonista de los procesos de exploración, análisis, síntesis, generalización y formulación de los contenidos matemáticos (Moreno L. y Waldegg G., 1998). Se considera necesario estimular a la persona para que sea agente activo de su aprendizaje y las actividades de descubrimiento o construcción, contribuyen a tal fin, pues conllevan a que ella aprecie las matemáticas como un proceso y no como un producto terminado. Se enfatiza en que para comprender y aprender matemáticas se requiere "hacer matemáticas"; por eso, en las actividades didácticas que se proponen, tenemos en cuenta que "el trabajo intelectual de los alumnos debe ser en muchas situaciones, comparable con el de los propios matemáticos" (Brosseau, 1986; Godino C., et. al., 1995). Se pretende que las personas, para quienes va dirigida la propuesta, tengan la oportunidad de actuar sobre los problemas, formular, probar, construir modelos, lenguajes, conceptos, teorías, intercambiar sus ideas con otros, reconocer los tratamientos propios de la cultura matemática, adoptar ideas que sean útiles, descartar propuestas, criticar resultados, proponer procedimientos, formular hipótesis, etc. En suma, se trata de despertar en el aprendiz, creatividad y pasión en la construcción de su saber matemático. En particular se espera construir una teoría sobre los números naturales, la de Peano, basada en los sistemas de notación, construyendo cada uno de ellos como una subteoría.

Descripción de las actividades Actividad 1. La primera actividad consiste en la construcción de un sistema de notación para los números naturales partiendo de un problema de conteo (los dedos de una persona normal, los días de un mes, etc.) sin utilizar los símbolos usuales del conocido sistema decimal. Se invita a los participantes a construir un sistema numérico propio, del que se espera no sólo el desarrollo de la creatividad y con ella la habilidad para detectar las dificultades y éxitos en los métodos que utilizan los matemáticos para hacer su trabajo, sino también la vivencia de los problemas que surgen en el proceso de construcción y en el planteo de soluciones no siempre correctas. 23

Contrariamente a la concepción usual de que cada problema tiene una solución correcta y esa es la que debe aprenderse, ya que lo demás se considera como error, se plantea la posibilidad de proponer soluciones, algunas mejores que otras, casi todas susceptibles de ser mejoradas. En la primera parte de esta actividad, que consiste en la proposición de un conjunto de símbolos y reglas de escritura que sirvan para contar cantidades relativamente pequeñas, se enfatiza en los procesos matemáticos de simbolización, codificación y decodificación, crítica y argumentación de sistemas propuestos, consecución y respeto de acuerdos. La segunda parte se dedica a la proposición, discusión y selección de algoritmos para efectuar las operaciones básicas, teniendo como criterios fundamentales la comprensión, la sencillez y la eficiencia. La tercera parte, se ocupa de hacer una analogía entre la suma y la multiplicación para obtener la potenciación, resaltando el modo de crecimiento de los resultados, lo que obliga a replantear los sistemas propuestos para escribir números grandes. En la última parte, de la primera actividad, se busca que los participantes propongan alternativas de solución al problema de la representación de los números grandes, sin incluir nuevos símbolos y enfatizando en el establecimiento de regularidades básicas que permitan simplificar los procedimientos en las operaciones.

Actividad 2. La segunda actividad trata el problema de escribir números grandes con el sistema creado en la actividad anterior, mediante preguntas se conduce a los estudiantes hacia la construcción de sistemas posicionales. Seguidamente, se estimula la proposición de algoritmos para realizar las operaciones elementales en cualquier base numérica 20 . Se anima a los participantes a la discusión, revisión y validación de algoritmos formales y de algunos algoritmos no convencionales. A continuación, se invita, a los participantes, a establecer las propiedades de las operaciones elementales, que se cumplen independientemente de una base particular.

20

Se hace énfasis en el manejo de los cálculos aritméticos en cualquier base para facilitar una iniciación al álgebra, al observar resultados que son independientes de su representación y que tan sólo dependen de las relaciones intrínsecas de los números. 24

Luego, se propone la tarea de traducir expresiones numéricas de una base a otra, primero haciendo tránsito por la base diez y luego sin hacer uso de ella.

Actividad 3. En esta actividad se tratan las operaciones superiores de la Aritmética; en la primera parte se construyen la potenciación, en analogía con la multiplicación, como otra operación definible en los números naturales y estudiamos sus propiedades. Además, se pretende que los estudiantes, usando los conocimientos que ya poseen, identifiquen la radicación y la logaritmación como formas de representación equivalentes a la potenciación. En la segunda parte, se busca inferir las propiedades de la potenciación de la observación de ejemplos, para luego advertir las características que dichas propiedades adquieren en la radicación y la logaritmación. Finalmente, se invita a los participantes a demostrar las propiedades de la radicación y la logaritmación por medio de traducciones a la potenciación. En la tercera parte, se utiliza la estrategia de descomposición en factores primos como recurso para resolver problemas de radicación. En el desarrollo de la sección, los participantes deben descubrir, mediante la observación de listas, criterios de divisibilidad por dos y por tres, en cualquier base. En la cuarta parte, de esta actividad, se ilustra la interconexión del razonamiento geométrico y el algebraico en la resolución de ecuaciones cuadráticas, a la manera que lo expusieron los matemáticos griegos; inicialmente se proponen ejemplos y luego se invita a los participantes a copiar el método en ecuaciones que tengan formas similares. En la quinta parte se invita a las personas a desarrollar su capacidad de estimación del cardinal de un conjunto, en casos en que el cardinal es muy grande y es necesario expresarlo en términos de potencias.

Actividad 4. En esta actividad se estudian soluciones que algunas culturas antiguas: maya, inca, babilonia y egipcia, le dieron al problema de contar para resaltar sus ventajas y desventajas en los contextos históricos en que fueron creados y para compararlas con el sistema desarrollado por los participantes durante el desarrollo de la primera actividad.

25

Inicialmente, se pretende que las personas, después de estudiar el sistema numérico de los Mayas, caractericen las dificultades para realizar operaciones en ese sistema y propongan soluciones a ellas. Luego, después de estudiar el sistema inca, se anima a los participantes a la construcción y utilización de instrumentos de cálculo, como ábacos y yupanas, en bases distintas a la base diez, y a hacer propuestas sobre las maneras de operar empleando estos instrumentos. Seguidamente, se estimula a las personas a producir explicaciones de las diversas maneras de operar en las culturas babilonia y egipcia, buscando que apliquen los algoritmos para hacer cálculos, estudien sus dificultades y sus aciertos.

Actividad 5. La quinta actividad se dedica a presentar situaciones y problemas relacionados con otras ramas de la matemática, como la geometría, la teoría de números, la topología, la combinatoria y la teoría de conjuntos. Mediante el planteamiento y solución de problemas, se observa cómo el proceso de contar está inmerso en casi todas las ramas de las matemáticas, desde maneras elementales hasta formas muy sutiles. En todas las situaciones se presentan varios niveles de complejidad, para desarrollar diferentes niveles de desempeño en los participantes; inicialmente, se examinan las situaciones en casos sencillos por conteo directo, luego se invita a las personas a extender el análisis para casos en que se requieren manipular cantidades más grandes, que implican procesos extensos y dispendiosos, lo cual exige la búsqueda de regularidades para simplificar procesos; posteriormente, se estimula a los participantes a explicitar las regularidades en una secuencia que permita resolver el problema y, por último, se invita a construir y proponer una generalización del problema en cuestión y una manera para resolver tal situación.

Actividad 6. Aquí se aborda el problema de encontrar regularidades en secuencias numéricas. Partiendo de un conjunto finito de observaciones, los participantes deben proponer fórmulas y describir el término general de ellas.

26

Inicialmente, se presentan situaciones geométricas que son intuitivamente más cercanas, luego se pasa a la observación y análisis de secuencias numéricas más abstractas, utilizando para ello conceptos sencillos de la teoría de números. Se utilizan como herramientas: gráficos, listas y propiedades elementales de los números para ejercitar la inducción intuitiva, sin hacer un desarrollo lineal de los contenidos matemáticos involucrados. Se pretende conseguir la identificación de la idea de sucesión como la idea fundamental en el concepto de número natural.

Actividad 7. En la primera parte de esta actividad, se intenta lograr que los participantes evalúen y critiquen las fórmulas obtenidas en la actividad anterior, mostrando con contraejemplos el peligro de generalizar fórmulas que se verifican en un número finito de casos, pero no en todos. Luego, se trata el método de demostración por inducción matemática como recurso para decidir la validez de una proposición que incluya en su enunciado el conjunto de los números naturales. Se muestra cómo el proceso para garantizar la validez de las afirmaciones antes intuidas, se encuentra separado del proceso de validación. Se utiliza el método para establecer la veracidad de las fórmulas generales alcanzadas a través de las otras actividades. Finalmente, se estudia el método de definición por recurrencia y la presentación axiomática de los números naturales de Peano y se hacen demostraciones de sus propiedades fundamentales.

2. Ejemplos de algunas actividades 1. En la actividad 3, se estudian las operaciones superiores de la aritmética (potenciación, logaritmación y radicación) lo que nos conduce a utilizar la estrategia de descomposición en factores primos y de paso al estudio de criterios de divisibilidad en cualquier base. Para descubrir, por ejemplo algún criterio de divisibilidad por 2, se presenta a los participantes una tabla como: 27

16 2 4 6 8 A C E 10 12 14

10 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20

9 2 4 6 8 11 13 15 17 20 22

8 2 4 6 10 12 14 16 20 22 24

Número de la Base 7 6 5 2 2 2 4 4 4 6 10 11 11 12 13 13 14 20 15 20 22 20 22 24 22 24 31 24 30 33 26 32 40

4 2 10 12 20 22 30 32 100 102 110

3 2 11 20 22 121 220 222 1001 1010 1012

2 10 100 110 1000 1010 1100 1110 10000 10010 10100

De ella, en las prácticas llevadas a cabo, ha surgido la hipótesis: •

Un número es par en base 3, si la suma de sus cifras es par 21 y en base par, si la cifra de las unidades es par.

De una tabla similar de los múltiplos de 3, en diferentes bases, se han propuesto conjeturas como: •

Un número es divisible por tres en bases múltiplos de tres si la cifra de las unidades lo es, en bases de la forma 3k + 1, lo determina la suma de las cifras y en las demás bases, la diferencia entre la suma de las cifras que ocupan posiciones impares con la suma de las cifras que ocupan posiciones pares. 22

2. En la sexta actividad se presentan situaciones como: "Si sobre un plano trazamos una recta, éste queda dividido en dos partes; si trazamos dos, queda dividido, a lo más en cuatro partes; si trazamos tres, en siete y así sucesivamente; entonces, en cuántas partes queda dividido el plano si trazamos 8 rectas, 25 rectas,…, n rectas" Inicialmente se dibujan rectas y se hace conteo manual, de ellos se elabora una lista, observando las regularidades en la lista se conjetura el resultado para un natural cualquiera n, de aquí surge la necesidad de encontrar la suma de los primeros n números naturales, obteniendo los números triangulares; esto a su vez genera nuevas listas, y nuevas observaciones, esta vez, acerca de los números triangulares, buscando respuestas a preguntas como: ¿La suma de números pares es un número par?, ¿la suma 21 El resultado es válido en cualquier base impar, su demostración se basa en la afirmación “( 2n +1 )k - 1 es par para todo número natural n y k” , que se demuestra por inducción. 22 Estas son conjeturas realizadas por algunos de los estudiantes de primer semestre de la Licenciatura en Matemáticas en la Universidad Pedagógica Nacional de Colombia y de la Universidad Sergio Arboleda donde también trabajamos con niños entre 10 y 12 años.

28

de números cuadrados es cuadrado?, ¿la suma de números triangulares es triangular?, ¿la suma de números cúbicos es un cubo? ... ¿en qué condiciones se cumplen tales afirmaciones?, estos cuestionamientos se abordan a través de observaciones que conlleven a proponer fórmulas y describir generalidades.

3. Algunos resultados en torno a la propuesta 1. Sobre Números Triangulares: En la lista de los números triangulares, cuyos primeros elementos son: T1 1

T2 3

T3 6

T4 10

T5 15

T6 21

T7 28

T8 36

T9 45

Hay casos en los cuales la suma de dos números triangulares resulta ser un número triangular, por ejemplo: T3 + T5 = T6 T4 + T9 = T10 T5 + T14 = T15 T6 + T20 = T21 En los casos mencionados hay una particularidad entre la segunda y tercera columnas; los subíndices respectivos difieren en una unidad, pero éstos no son todos los casos; por ejemplo, se tiene que: T18 + T25 = T31 Por lo tanto, es necesario obtener una generalización que contenga todas las diferencias entre los subíndices. Para ello, organizan diversas tríadas pitagóricas triangulares a partir de la diferencia entre los subíndices, como se aprecia en la siguiente tabla (esta idea fue propuesta por Liza Pinzón -17 años-, estudiante de primer semestre de matemáticas de la USA):

29

1

2

3

4

5

T1 + T0 = T1 T2 + T2 = T3 T3 + T5 = T6 T4+T9 = T10 T5+T14 = T15

T2 + T0 = T2 T5 + T6 = T8 T6 + T9 = T11 T9+ T21 = T23 T10+T26 = T28

T3 + T0 = T3 T8 + T10 = T13 T9 + T13 = T16 T11+ T20 = T23 T12+ T24 = T27

T4 + T0 = T4 T11 + T14 = T18 T12 + T17 = T21 T19 + T45 = T49 T20 + T50 = T54

T5 + T0 = T5 T14 + T18 = T23 T15 + T21 = T26 T19 + T35 = T40 T20 + T39 = T44

k

..

Tk + T0 = Tk

Observando la secuencia en la primera columna, obtienen: Tn + T⎛ Tn −1 ⎞ = T⎛ Tn −1 ⎞

⎟ +1 ⎜ ⎝ 1 ⎠

⎟ ⎜ ⎝ 1 ⎠

Para la segunda columna: Tn + T⎛ Tn −3 ⎞ = T⎛ Tn −3 ⎞ ⎟ ⎜ ⎝ 2 ⎠

⎟+ 2 ⎜ ⎝ 2 ⎠

Para la tercera: Tn + T⎛ Tn −6 ⎞ = T⎛ Tn −6 ⎞ ⎜ ⎝

⎟ 3 ⎠

⎜ ⎝

⎟+3 3 ⎠

En la cuarta: Tn + T⎛ Tn −10 ⎞ = T⎛ Tn −10 ⎞ ⎜ ⎝

4

⎟ ⎠

⎜ ⎝

4

⎟+ 4 ⎠

2. Sobre números cuadrados Utilizando la herramienta pitagórica del gnomon 23

se encuentran las relaciones entre: • •

La suma de los primeros n números impares y un número cuadrado. La suma de dos triangulares consecutivos y un número cuadrado.

23 La palabra gnomon significó en Babilonia, una varilla vertical cuya sombra marcaba la hora. En la época de Pitágoras significaba una escuadra de carpintero. También significó lo que queda de un cuadrado al cortar otro cuadrado más pequeño de una de sus esquinas y más tarde, con Euclides, su significado se amplió a lo que queda de un paralelogramo al cortar otro más pequeño de una de sus esquinas, siempre que este fuera semejante al primero.

30

12 = 1 22 = 1 + 2 + 1 2 3 = 1 + 2 +3+2+1 •

La suma de los n primeros números cuadrados.

1

2

=

1

1 1

1 1

2

2

=

1

2 2

2 2

3

2

=

1

2 3

3 3

4

2

=

1

2 3

4 4

5

2

=

1

2 3

4 5

Y otras relaciones entre números poligonales, cuadrados y cúbicos. 3. Alrededor de un problema propuesta en la clase: Encontrar una fórmula para la suma de los primeros n números cúbicos a partir de la siguiente observación: 1=1 8=3+5 27 = 7 + 9 + 11 64 = 13 + 15 + 17 + 19 . . . Un estudiante de primer semestre de la USA, propone: Los números 1, 5, 11, 19, … son los últimos de la lista anterior son números impares, el primero, tercero, sexto, décimo, y en general las posiciones 1, 3, 6, 10, … Tn. Y como 1 + 3 + 5 + 7 + 9 + 11 + ... + (2n − 1) = n2 Entonces 1 + 23 + 33 + 43 + … + n3 = Tn2

31

4. Al crear un sistema de números para contar elegimos utilizar los siguientes símbolos: I O X donde O = I I I I I y X = O O O O y, teniendo en cuenta las siguientes reglas de escritura: 1. Escribir de izquierda a derecha (esto por seguir nuestras costumbres 24 ). 2. Escribir primero las X luego las O y finalmente los I. 3. Escribir la representación del número con el mínimo de símbolos posibles. Surge un problema al representar cantidades “grandes” y, con la condición de no introducir más símbolos dentro del sistema, se proponen dos soluciones: La notación multiplicativa: Como el problema consiste en repetir la X muchas veces para indicar números grandes, escribamos el número de veces que aparece la X, en lugar de escribir las X. Pero no requerimos escribir el símbolo de multiplicación, basta escribir el número de veces que aparece la X, en la parte inferior derecha de ella. Por ejemplo el número

XXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXXOOOIIII Lo escribimos XXOIIOOOIIII Si representamos un número cualquiera con una letra, por ejemplo m, n, etc, establecemos las siguientes propiedades 25 : XmXn= Xmn n • Xm = Xm• n X m • X n = X X m• n Las cuales se prueban teniendo en cuenta que Xm = m • X. 24

Los antiguos egipcios, en su sistema de jeroglíficos, leían los números de derecha a izquierda. En el idioma alemán los números de dos cifras se escriben de izquierda a derecha pero se leen de derecha a izquierda. 25 Es conveniente decir que en este sistema no hay signo para indicar la adición, dado que el sistema es aditivo; por lo cual, para m y n dos números cualesquiera, mn significa m más n. 32

La notación exponencial: Otra posibilidad es hacer una analogía de la misma idea anterior, cambiando la operación; esto es, en vez de usar la multiplicación usar la potenciación. Esta propuesta está basada en la observación de la manera como crecen los números cuando reiteramos la operación potenciación. Iniciemos con las potencias de O, así: OI = IIIII OII = O O O O O O III = O II O II O II O II O II O IIII = O III O III O III O III O III ¿qué tal si mezclamos las dos notaciones? (esta idea fue sugerida por Mónica Pulido 26 , 12 años, del Instituto Merani), veamos: OI = IIIII = O OII = O O O O O = XO O III = O II O II O II O II O II = XO XO XO XO XO = XOI O O IIII = O III O III O III O III O III = XOI O XOI O XOI O XOI O XOI O = XXOOI O O O = O IIII O IIII O IIII O IIII O IIII = XXOOI O XXOOI O XXOOI O XXOOI O XXOOI O = XXXXXXXXOOOIO = X X OII OOOI O Obviamente, la escritura es desastrosa; sin embargo, eso no es lo interesante, aquí se resaltan las siguientes observaciones: Hasta aquí, todas las potencias de O terminan en O y además con los subíndices de X hay una regularidad, escribámoslos en una tabla: Exponente X?

II I I

III OI OI

IIII XOOI (OI • O) I

O XOIIOOOI ((OI • O) I • O)I

De manera general se plantea entonces que: Si O n = Xm O entonces O n I = X (m • O)I O

26

Mónica desarrolló la propuesta a lo largo del semestre y la presentó en el XIII Encuentro de Geometría y sus Aplicaciones y II Encuentro de Aritmética, evento realizado en Junio de 2003 en la UPN y organizado por la USA y la UPN. 33

Lo cual es fácilmente deducible dado que: O n I = O n • OI = (Xm O) • O = (X m • O) (O • O) = (O •X m) (O • O) X m • O XO = X (m • O)I O También se observa que toda potencia de O es múltiplo de X más O; de otra manera, toda potencia de O menos O es múltiplo de X; en símbolos usuales: 5k - 5 es de la forma 20n, para todo k número natural. Lo cual se demuestra por inducción matemática como sigue:

Primero se hace inducción sobre k, para ello se demuestra que se cumple para k = 1; así: 51 – 5 = 0 y obviamente, 0 es múltiplo de 20. Ahora se supone para m: 5k – 5 = 20n Finalmente, se tiene que: 5k + 1 – 5 = 5 (5k – 1) = 5 (5k – 5 + 4) = 5 (20n + 4) = 20 (5n + 1) = 20 m Con lo cual queda demostrado el planteamiento anterior.

Ahora, haciendo el mismo ejercicio pero con OI como base de la potenciación, tenemos que: OII = OI OIII = OI OI OI OI OI OI = XOOOI OI III = OI II OI II OI II OI II OI II OI II = XOOOI • OI = XOOOOOI OI IIII = OI III OI III OI III OI III OI III OI III = XOOOOOI • OI = X X III IIII OOOI Hasta aquí se observa que toda potencia de OI termina en OOOI, si se hacen otras particularizaciones se puede verificar la conjetura; pero aquí vamos a plantear y a demostrar el teorema: Toda potencia de seis es múltiplo de veinte más diez y seis; en otra forma: 34

6k – 16 = 20n para todo k > 1 que pertenezca a los números naturales. La demostración es como sigue: Se comprueba para k = 2; se plantea la hipótesis de inducción: 6s – 16 = 20n para todo k > 1 que pertenezca a los números naturales. Demostrando para s + 1, tenemos: 6s + 1 – 16 = 6s + 1 – 96 + 80 = 6s • 6 – 96 + 80 = 6 (6s – 16) + 80 = 6 (20n) + 80 = 20t Así queda demostrado el teorema para todo k > 1 que sea número natural. En búsqueda de alguna regularidad para toda potencia de la forma ak , hacemos un listado para las potencias cuya base sea 7. Como ya hemos visto, lo esencial aquí dejó de ser la notación, por lo cual vamos a utilizar los símbolos usuales –vale decir que, sin embargo, las conjeturas planteadas devienen directamente de la notación I, O, X –; así: 71 = 7 72 = 49 = 20 • 2 + 9 73 = 343 = 20 • 17 + 3 74 = 2401 = 20 • 120 + 1 75 = 16807 = 20 • 840 + 7 76 = 117649 = 20 • 5882 + 9 77 = 823543 = 20 • 41177 + 3 Observando estos resultados escribimos las siguientes conjeturas, siendo k cualquier número natural: • • • •

74k – 1 es múltiplo de 20. 74k + 1 – 7 es múltiplo de 20. 74k + 2 – 9 es múltiplo de 20. 74k + 3 – 3 es múltiplo de 20.

Las demostraciones se hacen, al igual que las anteriores, por inducción matemática. Es posible que los resultados aquí obtenidos ya sean conocidos por otros; sin embargo, no lo eran para las personas que los hallaron, el camino está abierto para continuar explorando.

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