(0,M-1)

...

...

...

...

...

...

...

...

(N-1,M-1)

...

32

33

34

43

50

52

56

65

...

...

34

35

37

39

45

47

55

61

...

...

31

34

36

40

42

46

55

57

...

...

28

32

35

45

46

47

52

53

...

...

27

27

35

46

47

48

50

51

...

...

23

31

36

44

46

47

50

61

...

14

30

46

57

48

56

84

73

...

12

32

50

55

57

76

96

85

...

(0,0)

...

...

...

...

...

...

...

...

(N-1,0)

Índice

...

...

Digitalización de Imagen

¾ Función Imagen ¾ Digitalización de Imágenes

Muestreo y Cuantización Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes: Muestreo y Cuantizació Cuantización

2

Señ Señal Una Imagen es una Señal

Función Imagen

Terremoto

Los Modelos Matemáticos se emplean para describir señales Una señal es una función dependiente de alguna variable con significado físico F:A →B

b = f (a) Significado intuitivo de los Conceptos

Funció Función Imagen

Tipos de Funciones

4

Funció Función Imagen Una Función Imagen (señal) puede ser modelada mediante una función continua de dos o tres variables

¾ Unidimensional (p.e. tiempo) ¾ Bidimensional (p.e. coordenadas en el plano) ¾ Tridimensional (p.e. coordenadas en el espacio)

Los argumentos son las coordenadas (x, y) en el plano; si la imagen varia en el tiempo se añade un tercer argumento t f ( x , y , t)

¾ Multidimensional Rango F:A →B

Dominio

Funció Función Imagen

Continuo

Discreto Los valores de la función imagen (expresan en general cantidades físicas como temperatura, presión, distancia, ...) se corresponden con el brillo de los puntos de la imagen

Continuo Continua Discreto

Discreta

Digital 5

Funció Función Imagen

6

1

Brillo El Brillo de una función imagen integra diversas cantidades ópticas

Proyecció Proyección f ( x , y , t)

El mundo real es tridimensional Las imágenes de intensidad, bidimensionales, son el resultado de una proyección en perspectiva de escenas tridimensionales

Usar el brillo como una cantidad básica permite evitar tener que realizar una descripción exhaustiva de los complicados procesos de formación de la imagen (reflectancia de la superficie, focos de iluminación, orientación de la superficie, ...)

Cuando se obtiene una imagen bidimensional del mundo tridimensional desaparece gran cantidad de información

Se llama Imagen de Intensidad (Imagen) a una función imagen bidimensional en un instante t que contiene información acerca del brillo de los puntos Funció Función Imagen

7

Tratamiento Computacional

Funció Función Imagen

8

Calidad de la Imagen

Las imágenes son estáticas, el tiempo t es constante

¾ Resolución Espacial: Proximidad de las muestras de imagen en el plano imagen

Las imágenes se representan por funciones imagen bidimensionales f(x,y), en las cuales los argumentos son coordenadas en un plano

¾ Resolución Espectral: Ancho de banda de las frecuencias de luz capturadas por el sensor

Las imágenes son funciones imagen digitales con dominio (píxeles) usualmente representadas por matrices cuyas coordenadas son números enteros

¾ Resolución Radiométrica: Número de niveles de gris distinguibles

Las imágenes tienen valores limitados en su rango; el menor valor corresponde al negro y el mayor valor corresponde al blanco

¾ Resolución Temporal: Intervalo entre imágenes capturadas

Las imágenes tienen valores de brillo entre esos límites denominados Niveles de Gris Funció Función Imagen

9

Funció Función Imagen

10

Captura de Imagen Una Imagen capturada por un sensor se expresa como una función imagen continua de dos coordenadas en el plano

Digitalización de Imágenes

f(x,y)

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

12

2

Muestreo

Cuantizació Cuantización

El proceso de Digitalización, que permite manejar una imagen en un ordenador, implica que la función imagen f(x,y) se muestrea en una matriz con M filas y N columnas (0,M-1) ... ... ... ... ... ... ... ... (N-1,M-1) ...

X X X X X X X X

...

...

X X X X X X X X

...

...

X X X X X X X X

...

...

X X X X X X X X

...

...

X X X X X X X X

...

...

X X X X X X X X

...

...

X X X X X X X X

...

...

X X X X X X X X

...

(0,0)

... ... ... ... ... ... ... ...

(N-1,0)

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

13

Grado de Aproximació Aproximación

El proceso de cuantización asigna a cada muestra de la matriz un valor entero (0,M-1) ... ... ... ... ... ... ... ... (N-1,M-1) ...

32 33 34 43 50 52 56 65

...

...

34 35 37 39 45 47 55 61

...

...

31 34 36 40 42 46 55 57

...

...

28 32 35 45 46 47 52 53

...

...

27 27 35 46 47 48 50 51

...

...

23 31 36 44 46 47 50 61

...

...

14 30 46 57 48 56 84 73

...

12 32 50 55 57 76 96 85

...

(0,0)

... ... ... ... ... ... ... ...

(N-1,0)

El rango continuo de la función imagen f(x,y) se discretiza en K intervalos

...

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

14

Intervalo de Muestreo

La “fineza” del muestreo (valor de M y N) y el “grado” de cuantización (valor de K) determinan el grado de aproximación de la imagen digital a la función imagen continua f(x,y)

Una función imagen continua f(x,y) puede muestrearse usando una rejilla discreta de muestras en el plano La imagen se muestrea en los puntos

x = j∆ x ¿Qué valores de Muestreo es necesario para obtener una Buena Aproximación?

Dos muestras vecinas están separadas por ∆x en el eje x y por ∆y en el eje y

y = k∆y k = 1,..., N

¿ M, N ? ¿Cuál debe ser el Grado de Cuantización de las muestras para una Buena Aproximación?

∆x y ∆y se denominan intervalo de muestreo

La matriz de muestras f(j∆x, k∆y) constituye la imagen discreta

¿K? Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

j = 1,..., M

15

Muestreo Ideal

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

16

Imagen Muestreada La imagen muestreada fs(x,y) es el producto de la imagen continua f(x,y) por la función de muestreo s(x,y)

El muestreo ideal s(x,y) en una rejilla regular se puede representar mediante una colección regular de distribuciones delta de Dirac

fs (x , y ) = f (x , y ) s (x , y ) M

N

= f (x , y )∑ ∑ δ(x − j∆x , y − k∆y ) j=1 k =1

M

N

s( x , y ) = ∑ ∑ δ( x − j∆x , y − k∆y ) j =1 k =1

X

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

17

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

=

18

3

Expansió Expansión Series de Fourier

Expansió Expansión Series de Fourier

La colección de distribuciones delta de Dirac se puede interpretar como una función periódica con periodos ∆x y ∆y

amn =

...entonces se puede expandir en series de Fourier (asumiendo que la rejilla de muestreo cubre todo el plano)

amn =

1 ∆ x∆ y

∆x 2 − ∆x 2

∆y ∞ ∞ 2 − ∆y 2 j= −∞ k = −∞

∫ ∫ ∑ ∑ δ(x − j∆x , y − k∆y ) e

19

1 ∆x∆y

∞

∑ δ(x − j∆x , y − k∆y ) 

∞

j

k 





La Transformada de Fourier de la Imagen Muestreada es la suma de Repeticiones Periódicas de la Transformada de Fourier de la Función Imagen Continua Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

21

∆y ≤

∆x 2 − ∆x 2

∆y 2 − ∆y 2

∫ ∫

δ(x , y )e

 mx ny  − 2 πi +   ∆x ∆y 

dxdy

1 ∆x∆y

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

20

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

22

Interpretació Interpretación

El solapamiento de las repeticiones periódicas de la Transformada de Fourier de una Imagen con espectro limitado se puede prevenir si el intervalo de muestreo se elige con las siguientes condiciones 1 2U

1 ∆x∆y

La Imagen Digital no presenta problemas de aliasing cuando su espectro está limitado y es nulo fuera del intervalo [-U,U] [-V,V]

Muestreo de Shannon

∆x ≤

sólo el término con j=k=0 es distinto de cero, en el intervalo de integración

La distorsión se produce cuando las componentes individuales de la transformada se solapan

∑ ∑ F u − ∆x , v − ∆y 

j = −∞ k = −∞

dxdy

La repetición periódica de la Transformada de Fourier de la Imagen Continua, bajo determinadas condiciones, causa una distorsión en la Imagen Digital conocida como Aliasing

∞

j= −∞ k = −∞

Fs (u, v ) =

 mx ny  − 2 πi +   ∆x ∆y 

Aliasing

Para M,N →∞ fs (x , y ) = f (x , y ) ∑

∫ ∫ ∑ ∑ δ(x − j∆x , y − k∆y ) e

amn =

Expansió Expansión Series de Fourier ∞

∆y ∞ ∞ 2 − ∆y 2 j= −∞ k = −∞

la integral es uniformemente igual a uno

dxdy

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

∆x 2 − ∆x 2

amn =

 mx ny 

∞ ∞  2 πi +  ∞ ∞  F  ∑ ∑ δ(x − j∆x , y − k∆y ) = ∑ ∑ amn e  ∆x ∆y   j= −∞ k = −∞  m= −∞ n= −∞

 mx ny  − 2 πi +   ∆x ∆y 

1 ∆x∆y

El teorema del Muestreo de Shannon tiene una interpretación física muy simple en el análisis de imagen El intervalo de muestreo debe ser escogido de un tamaño menor o igual a la mitad del menor detalle de interés en la imagen

1 2V

Teorema del Muestreo de Shanon

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

23

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

24

4

Consideraciones Muestreo

Ejemplo Muestreo N=M=512

La función de muestreo, en los digitalizadores reales, no es una distribución de Dirac

Por tanto, en la digitalización de imágenes con dispositivos reales se debe tomar un valor de intervalo de muestreo al menos 10 veces menor que el indicado por el Teorema de Shannon

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

N=M=256

N=M=64

25

N=M=128

N=M=32

N=M=16

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

26

Píxel

Rejilla La Imagen Continua se digitaliza en puntos muestra

Un punto muestra (x,y), infinitamente pequeño, en la rejilla se denomina un elemento de imagen (Picture Element) o píxel de la imagen digital

Los puntos muestra pueden ordenarse en el plano según diferentes relaciones geométricas

El conjunto de píxeles cubre la imagen por completo Las rejillas usadas habitualmente son cuadradas o hexagonales

Los píxeles capturados en la digitalización real tienen tamaños finitos El píxel es la unidad indivisible de una imagen

27

¿Cuá Cuánto “Mide” Mide” 1 Pí Píxel?

16x16

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

1

2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16

29

225

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

x1

x1 02

4

Número de Píxeles Ancho por Número de Píxeles Alto

25 6

28

12 00

25 6x

Resolución de una Imagen Digital:

512 x 512

768 1024 x

211 x 337

Número de Píxeles que forman la imagen en la dimensión horizontal

32 x 16

16x16

Número de Píxeles que forman la imagen en la dimensión vertical

76 8

16x16

16x16

28

Resolució Resolución

¿Cuáles son las dimensiones físicas de un píxel? 16x16

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

12 0x

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

30

5

Cuantizació Cuantización

Ejemplo Cuantizació Cuantización b=8; k=256

La valor de la función imagen se expresa, en procesado de imagen, mediante valores digitales La transición entre los valores continuos de la función imagen (niveles de brillo) y sus equivalente digitales se denomina proceso de cuantización

b=4; k=16 b=1; k=2

El número de niveles de cuantización es fundamental para la percepción humana de los detalles finos de la escena La mayor parte de los dispositivos de digitalización usan k intervalos iguales (normalmente k=2b; b=8; b=12) Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

31

Digitalizació Digitalización de Imá Imágenes

32

Niveles Número de Valores (o Combinaciones de Valores) Diferentes que puede tener un Píxel

Ni ve

1024 Niveles de Gris

les de

16

Alto, Ancho y Fondo

s

re s

e lor Co 6 25

Gr is

Co lo

16 Millones de Colores

25 6

33

6