DOCENTE: JESÚS E. BARRIOS P.

DEFINICIONES Es larga la historia del uso de las matrices para resolver ecuaciones lineales. Un texto matemático chino que proviene del año 300 A. C. a 200 A. C., Nueve capítulos sobre el Arte de las Matemáticas (Jiu Zhang Suan Shu), es el primer ejemplo conocido de uso del método de matrices para resolver un sistema de ecuaciones simultáneas. En el capítulo séptimo, "Ni mucho ni poco", el concepto de determinante apareció por primera vez, dos mil años antes de su publicación por el matemático japonés Seki Kowa en 1683 y el matemático alemán Gottfried Leibniz en 1693. El concepto de matriz alcanza múltiples aplicaciones tanto en la representación y manipulación de datos como en el cálculo numérico y simbólico que se deriva de los modelos matemáticos utilizados para resolver problemas en diferentes disciplinas como, por ejemplo, las ciencias sociales, las ingenierías, economía, física, estadística y las diferentes ramas de las matemáticas entre las que destacamos las ecuaciones diferenciales, el cálculo numérico y, por supuesto, el álgebra. Una matriz m×n es un arreglo rectangular de números reales con m filas y n columnas. Los números m y n (números naturales) son las dimensiones de la matriz. En general las matrices se denotan con letras mayúsculas. Los números reales que forman la matriz se llaman elementos. Los elementos de la matriz forman líneas horizontales llamadas filas y líneas verticales llamadas columnas. Si una matriz tiene m filas y n columnas, se dice que su orden es m×n (se lee m por n). En los ejemplos siguientes de matrices, identificaremos el orden, elementos de la segunda fila, elementos de la primera columna, los valores de los elementos a11 y a21.

A=[

] orden: 2×2; segunda fila: 0,6 -5; primera columna: 1 0,6; a11=1 a21=0,6

A=[

] orden: 3×2; segunda fila: 0,4 1; primera columna: 0 0,4 -1; a11=0 a21=0,4

A=[

] orden: 3×3; segunda fila: 4 5 6; primera columna: 1 4 7; a11=1 a21=4

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Algunos tipos de Matrices:  Matriz Fila: son aquellas matrices que tienen una sola fila. ] A1n = [  Matriz Columna: son aquellas matrices que tienen una sola columna. Am1 = [

]

 Matriz Cuadrada: es aquella que tiene igual número m de filas que de columnas (m=n).  Matriz Nula: una matriz es nula si todos sus elementos son iguales a cero.  Matriz Diagonal: una matriz cuadrada, A = [aij], es diagonal si aij=0, para i ≠ j. Es decir, si todos los elementos situados fuera de la diagonal principal son cero.  Matriz Identidad: es una matriz cuadrada de orden m×m donde todos sus elementos de la diagonal principal son iguales a la unidad y los restantes elementos son ceros.  Matrices Iguales: dos matrices son iguales si tienen el mismo orden m×n y sus elementos correspondientes en el cuadro son iguales.  Matriz Traspuesta: La matriz traspuesta, AT, de la matriz A es la matriz que se obtiene cambiando las filas por las columnas (o viceversa) en la matriz A. Sea A una matriz m×n y B = AT, entonces B es la matriz n×m con bij = aji. Ejemplo: Dada la Matriz A. Determinar traspuesta de A (AT). [

]

Entonces:

[

]

 Matriz Regular: una matriz regular es una matriz cuadrada que tiene inversa.  Matriz Singular: una matriz singular no tiene matriz inversa.  Matriz de Cofactores: Dada una matriz cuadrada A, su matriz de cofactores Ac es la resultante de sustituir cada término aij de A por el cofactor aij de A.

La matriz de cofactores es:

Las matrices se utilizan para múltiples aplicaciones y sirven, en particular, para representar los coeficientes de los sistemas de ecuaciones lineales o para representar las aplicaciones lineales; en este último caso las matrices desempeñan el mismo papel que los datos de un vector para las aplicaciones lineales.

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OPERACIONES CON MATRICES 1.- Suma Algebraica de Matrices: Sea A y B matrices con las mismas dimensiones, entonces sus suma, A+B, se obtiene sumando entradas correspondientes. En símbolos, (A+B)ij = Aij + Bij. En forma parecida, su resta, A-B, obtiene restando entradas correspondientes. En símbolos, (A-B)ij = Aij - Bij. Ejemplo 1. [

]

[

[

]

] [

]

[

]

[

]

[

]

[

]

Ejemplo 2.

[

]

[

[

]

] [

]

[

[

]

]

2.- Multiplicación de un escalar por una Matriz: Sea A una matriz y c un número (llamado un escalar en este contexto), definimos el múltiple escalar, cA, como la matriz que se obtiene multiplicando cada entrada de A por c. En símbolos, (cA)ij = c(Aij). Ejemplo 3. [

]

[

]

[

]

3.- Producto de Matrices: Sea A una matriz con dimensiones m×n y B una matriz con dimensiones n×p, entonces el producto AB está definido, y tiene dimensiones m×p. La entrada (AB)ij se obtiene por multiplicar reglón i de A por columna j de B, hecho por multiplicar sus entradas correspondientes y sumar los resultados. Ejemplo 4. [

] [

]

[

]

[

]

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4.- Inversa de una Matriz: Se dice que una matriz cuadrada A es invertible, si existe una matriz B con la propiedad de que: A·B = B·A = I siendo I la matriz identidad. Denominamos a la matriz B la inversa de A y la denotamos por A-1. Una matriz se dice que es invertible o regular si posee inversa. En caso contrario, se dice que es singular. En el ejemplo 5 se describen los pasos a seguir (o usar el método de reducción Gauss-Jordán). Ejemplo 5. Dada la matriz:

] determinar su inversa si es posible. Verificarla.

[

Paso 1: se halla el determinante de la matriz A (debe ser diferente de cero para que sea invertible). | |

|

|

Paso 2: se halla la matriz de cofactores. [

]

Paso 3: se traspone la matriz de cofactores. [

]

Paso 4: se aplica la fórmula. ⁄

⁄

⁄

| |

[ ⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

Entonces la solución es:

⁄ [ ⁄

]

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

]

Paso 5: se verifica. , donde I es la matriz identidad de orden 3 ⁄ ⁄ [ ⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

⁄

[

]

[

] = I, lo que se quería demostrar…

]

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DETERMINANTES El determinante es una notación matemática formada por una tabla cuadrada de números y otros elementos, entre dos líneas verticales; el valor de la expresión se calcula mediante su desarrollo siguiendo ciertas reglas. Los determinantes fueron originalmente investigados por el matemático japonés Seki Kowa alrededor de 1683 y, además, por el filósofo y matemático alemán Gottfried Wilhhelm Leibniz alrededor de 1693. Esta notación se utiliza en casi todas las ramas de las matemáticas y en las ciencias naturales. Existen determinantes de distinto orden, para los cuales existen diferentes formas de resolución, como lo son el de 2x2 y 3x3. 2x2 En este caso los elementos se multiplican cruzado y se restan.

[

| |

]

|

|

| | 3x3 En este caso, la resolución de la matriz se hace de la siguiente forma:

[

]

| |

|

|

| | También podemos utilizar la Regla de Sarrus (acá algunas variaciones):

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RESOLUCIÓN DE SISTEMAS DE ECUACIONES LINEALES Es aplicable si el sistema tiene igual número de ecuaciones que de incógnitas (m = n) y es compatible determinado. El valor de cada incógnita xi se obtiene de un cociente cuyo denominador es el determinante de la matriz de coeficientes, y cuyo numerador es el determinante que se obtiene al cambiar la columna i del determinante anterior por la columna de los términos independientes. La Regla de Cramer es un teorema del álgebra lineal que da la solución de un sistema lineal de ecuaciones en términos de determinantes. Ejemplo 6. Resolver el siguiente Sistema de Ecuaciones Lineales (Utilizando la Regla de Cramer). { Solución:

{

(

| | |

|

)

|

|

| |

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| |

|

|

| |

|

|

| | | |

| | | |

| | | |

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EJERCICIOS

1.- Dadas las matrices: Calcular: a) A+B b) A−C c) A∙B d) C∙A e) A-1, B-1 y C-1 f) 2A-3B g) 3B+4C-10B

[

]

[

]

[

]

(si es posible y verificarlo).

2

2.- Demostrar que: A − A − 2I = 0, siendo:

[

]

3.- Resolver los siguiente Sistemas de Ecuaciones Lineales (utilizando la Regla de Cramer).

a) {

b) {

c) {

d) {

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