Dpto. Matem´ atica Aplicada, Facultad de Inform´atica, UPM

1.

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Funciones matriciales. Matriz exponencial

1.1.

Funciones vectoriales

Sea el cuerpo IK que puede ser C I o´ IR y sea I ⊂ IR un intervalo. Entonces C 0 (I, IKn ) designar´a al conjunto de todas las funciones definidas en I y con valores en IKn que sean continuas. O sea, C 0 (I, IKn ) = {X = (x1 , . . . , xn )T : xi : I −→ IK continua∀i, 1 ≤ i ≤ n}. C 1 (I, IKn ) denotar´a al conjunto de todas las funciones vectoriales de I a IKn diferenciables con continuidad. As´ı, C 1 (I, IKn ) = {X = (x1 , . . . , xn )T : ∃ x0i : I −→ IK continua ∀i, 1 ≤ i ≤ n}. Es inmediato comprobar que estos conjuntos tienen estructura de espacio vectorial sobre el cuerpo IK con las operaciones suma de funciones vectoriales, (X + Y )(t) = X(t) + Y (t), y producto por escalares, (λX)(t) = λX(t).

1.2.

Funciones matriciales

Denotamos por M(n, IK) al espacio vectorial sobre IK de dimensi´on n2 de todas las matrices n × n de elementos de IK. Consideramos una funci´on A : IR −→ M(n, IK) t A(t) = (aij (t))1≤i,j≤n Diremos que A(t) es continua en t0 si todas las componentes aij (t) son continuas en t0 . Si A(t) es continua en cada punto t ∈ I se dice que A(t) es continua en I. Representaremos por C 0 (I, M(n, IK)) al conjunto de todas las funciones de I a M(n, IK) continuas, esto es, C 0 (I, M(n, IK)) = {A(t) = (aij (t))1≤i,j≤n : aij : I −→ IK continua, 1 ≤ i, j ≤ n} Diremos que A(t) es diferenciable en t0 si todas las componentes aij (t) son derivables en t0 y se define su derivada como la matriz dA (t0 ) = A0 (t0 ) = (a0ij (t0 ))1≤i,j≤n . dt Si A(t) es diferenciable en cada t ∈ I diremos que A es diferenciable en I. Representaremos por C 1 (I, M(n, IK)) al conjunto de todas la aplicaciones de I a M(n, IK) diferenciables con continuidad. As´ı, C 1 (I, M(n, IK)) = {A(t) = (aij (t))1≤i,j≤n : ∃ a0ij : I −→ IK continua ∀ 1 ≤ i, j ≤ n}. Del mismo modo, diremos que A(t) es integrable en un intervalo (c, d) ⊂ IR si todas las componentes aij (t) son integrables en (c, d) y se define la integral de A(t) sobre (c, d) como la matriz Z  Z d

d

A(t)dt = c

aij (t)dt c

. 1≤i,j≤n

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LLamaremos primitiva de A(t) a la matriz Z  Z A(t)dt = aij (t)dt

2

.

1≤i,j≤n

Propiedades 1.1. Sean A(t) = (aij (t))1≤i,j≤n y B(t) = (bij (t))1≤i,j≤n diferenciables en un punto t0 . Entonces se verifica: (i) (A + B)0 (t0 ) = A0 (t0 ) + B 0 (t0 ). (ii) (λA)0 (t0 ) = λA0 (t0 )

∀λ ∈ IK.

(iii) (AB)0 (t0 ) = A0 (t0 )B(t0 ) + A(t0 )B 0 (t0 ). (iv) (P A)0 (t0 ) = P A0 (t0 )

1.3.

∀P ∈ M(n, IK).

Norma de una matriz

En el espacio vectorial M(n, IK) de las matrices cuadradas n × n con coeficientes reales (IK = IR) o complejos (IK = C) I se define k · k1 : M(n, IK) −→ [0, ∞) que a cada matriz A = (aij )1≤i,j≤n , le hace corresponder la suma de los m´odulos de todos sus elementos, es decir, n X n X kAk1 = |aij |. (1) i=1 j=1

Se puede comprobar f´acilmente que k · k1 cumple las propiedades de una norma: Sean A, B ∈ M(n, IK) y λ ∈ IK. 1. kAk1 = 0 si, y s´olo si, A = (0), donde (0) es la matriz id´enticamente nula. 2. kλAk1 = |λ|kAk1 . 3. kA + Bk1 ≤ kAk1 + kBk1 . Adem´as, se verifica la siguiente propiedad: 4. kABk1 ≤ kAk1 kBk1 . En efecto, escribiendo A = (aij )1≤i,j≤n y B = (bij )1≤i,j≤n tenemos P AB = ( nk=1 aik bkj )1≤i,j≤n , as´ı que n n X n X n X n n n X n X X X X kABk1 = aik bkj ≤ |aik | |bjk | ≤ |aik |kBk1 = kAk1 kBk1 . i=1 j=1

k=1

i=1 k=1

j=1

i=1 k=1

Esta norma convierte al espacio M(n, IK) en un espacio vectorial normado. As´ı, se puede hablar de l´ımite matricial estableciendo que una sucesi´on de matrices {An }∞ n=1 converge a una matriz A si l´ım kAn − Ak1 = 0. n→∞

Puesto que se tiene kAk1 ≤ n2 m´ax |aij | 1≤i,j≤n

y kAk1 ≥ m´ax |aij | 1≤i,j≤n

resulta que la definici´on de convergencia matricial dada equivale a la convergencia componente a componente.

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Lema 1.2. Sea A ∈ M(n, IK). Para todo k ∈ IN, se verifica kAk k1 ≤ kAkk1 . .Demostraci´on: Si aplicamos la propiedad 4. de la norma uno tomando B = A, la desigualdad mostrada all´ı se convierte en kA2 k1 ≤ kAk21 . Por inducci´on se sigue trivialmente que kAk k1 ≤ kAkk1 , para todo k ∈ IN./

1.4.

Funci´ on exponencial compleja de variable real

Dado λ = a + ib ∈ C I se define la funci´on exponencial compleja de variable real como eλt = eat (cos bt + i sen bt)

∀t ∈ IR

y tendremos que Re(eλt ) = eat cos bt y Im(eλt ) = eat sen bt. De estas definiciones se obtienen f´acilmente las siguientes propiedades. Propiedades Sean λ = a + ib, λ1 , λ2 ∈ C I y (c, d) ⊂ IR, se verifica: (i) eλ1 t eλ2 t = e(λ1 +λ2 )t para todo t ∈ IR. En particular, eλt e−λt = 1.
(ii) d eλt = λeλt para todo t ∈ IR. dx (iii) Si λ 6= 0, entonces una primitiva de eλt es la funci´on 1 eλt para todo t ∈ IR y λ Z d 1 eλt dt = eλ(d−c) . λ c (iv) |eλt | = eat para todo t ∈ IR, donde la notaci´on |·| representa el m´odulo de un n´ umero complejo.

1.5.

Matriz exponencial

Denotaremos por In la matriz identidad en el espacio M(n, IK) y, por convenio, A0 = In . Proposici´ on 1.3. Dada A ∈ M(n, IK), IK = IR o C, I la serie matricial ∞ X 1 k A k! k=0

es convergente en el espacio M(n, IK). A su suma, que denotaremos por eA , le llamaremos matriz exponencial.

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.Demostraci´on: Teniendo en cuenta que M(n, IK) es un espacio vectorial normado de dimensi´on finita, esto es, M(n, IK) es un espacio de Banach, para probar la convergencia de la serie es suficiente con ver que la sucesi´on de las sumas parciales {SN }∞ N =1 , donde PN 1 k SN = k=0 A , es de Cauchy en M(n, IK) con la norma uno definida por (1). Se trata k! pues de probar que para todo ε > 0 existe un kε ∈ IN tal que kSN +M − SN k1 < ε,

∀N ≥ kε .

Aplicando el lema 1.2 se obtiene que

+M NX +M NX +M

NX 1 k 1 k 1

kSN +M − SN k1 = A ≤ kA k1 ≤ kAkk1 .

k! k! k! k=N +1 k=N +1 k=N +1 Ahora como se tiene NX +M

1 k A kk1 = 0, k↑∞ k! k=N +1 l´ım

P 1 k kAk1 puesto que la serie ∞ , se sigue que para todo k=1 k! k A k1 es convergente en IR a e ε > 0 existe un kε ∈ IN tal que kSN +M − SN k1 ≤

NX +M

1 k A kk1 < ε, ∀N ≥ kε . k! k=N +1

Por lo tanto, {SN }N ≥1 es una sucesi´on de Cauchy en M(n, IK)./ Observaci´ on: La matriz exponencial satisface keA k1 ≤

∞ ∞ X X 1 k 1 kA k1 ≤ kAkk1 ≤ ekAk1 k! k! k=0 k=0

y, en consecuencia, la serie eA es absolutamente convergente. Propiedades 1.4. Sean A, B ∈ M(n, IK), se verifica: (i) e(0) = In . (ii) ecIn = ec In para todo c ∈ IK. (iii) Si AB = BA entonces eA+B = eA eB . (iv) eA es siempre inversible y su inversa es e−A . (v) eP AP

−1

= P eA P −1 para toda P ∈ M(n, IK) inversible.

.Demostraci´on: Las propiedades (i) y (ii) se verifican trivialmente. Probemos (iii). Puesto que A y B conmutan y dado que las series eA y eB son absolutamente convergentes son v´alidas las siguientes identidades ! ∞ ! ! ∞ ∞ X X 1 X X 1 1 eA eB = Ak Bk = Ai B j k! k! i!j! k=0 k=0 k=0 i+j=k !   ∞ ∞ X X X 1 1 k = Ai B j = (A + B)k = eA+B i k! k! k=0 i+j=k k=0

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(iv) Aplicando la propiedad anterior resulta eA e−A = e(0) = In con lo que se tiene (eA )−1 = e−A . Por tanto, la matriz eA es siempre inversible. (v) Observemos que se cumple (P AP −1 )k = P Ak P −1 , luego e

P AP −1

∞ ∞ X X 1 1 −1 k = (P AP ) = P AK P −1 = P k! k! k=0 k=0

∞ X 1 k A k! k=0

! P −1 = P eA P −1 ,

lo que concluye la demostraci´on de las propiedades./ En general, si A es una matriz n × n diagonal con los coeficientes λ1 , λ2 , . . . , λn en su diagonal principal, A = diag(λ1 , . . . , λn ), entonces Ak = diag(λk1 , . . . , λkn ) para todo k = 0, 1, 2, . . .. Por consiguiente eA es una matriz diagonal dada por ! ∞ ∞ k k X X λ λ n 1 ,..., = diag(eλ1 , . . . , eλn ). eA = diag k! k! k=0 k=0

1.6.

Funci´ on matriz exponencial

Si A es una funci´on matricial definida sobre I podemos definir mediante la exponencial la siguiente aplicaci´on: eA(·) : I −→ M(n, IK) ∞ X (A(t))k A(t) t e = k! k=0 A esta aplicaci´on le llamaremos funci´ on exponencial matricial. Teorema 1.5. Sea A ∈ C 1 (I, M(n, IR)) tal que A(t)A0 (t) = A0 (t)A(t), entonces eA(t) es diferenciable en I y d eA(t) = A0 (t)eA(t) . dt .Demostraci´on: Observemos en primer lugar que ((A(t))k )0 = k(A(t))k−1 A0 (t) como se puede demostrar f´acilmente por inducci´on teniendo en cuenta la f´ormula de derivaci´on para el producto de matrices y usando la hip´otesis de que A(t) commuta con A0 (t). As´ı , se tiene que !0 N N X X 1 1 0 k SN = (A(t)) = k(A(t))k−1 A0 (t) = A0 (t)SN −1 . k! k! k=0 k=1 Entonces, 0 l´ım SN = l´ım (A0 (t)SN −1 ) = A0 (t)eA(t) .

N −→∞

N −→∞

0 Por el teorema de convergencia de series se tiene que (l´ımN −→∞ SN )0 = l´ımN −→∞ SN y, en A(t) 0 0 A(t) consecuencia, (e ) = A (t)e como queriamos probar./