Capitulo 1:

TRIGONOMETRÍA

1.1. TRIGONOMETRIA PLANA Se dice que a los antiguos egipcios se les planteó el siguiente problema: ¿cómo medir, calcular o estimar la distancia de un barco a un punto determinado de la playa? Mandar un bote con una cuerda lo suficientemente larga no parece ser una buena solución: ¿y si el barco es un barco de guerra enemigo que se apresta a atacar el puerto? Conocer la distancia a que se encuentra podría tener como objetivo el poder lanzarle algún objeto contundente.

Figura 1.1 Existen otros problemas similares, mas cotidianos: ¿cómo calcular o medir la altura de un árbol? Tal como antes, uno podría intentar subir hasta la punta del árbol con una huincha lo suficientemente larga. Pero el método tampoco parece muy bueno: aparte de lo trabajoso que es, hay el claro peligro de romper la última rama y precipitarse hasta el suelo.

1

Figura 1.2

Más interesante y difícil aún parece ser el problema de calcular la altura de un cerro, haciendo mediciones desde su base.

Figura 1.3

2

Una solución ingeniosa de todos estos problemas queda ya insinuada en los dibujos que se han presentado: no es difícil medir en el terreno los ángulos indicados, medir la distancia que es accesible, hacer un dibujo a escala en un papel y medir con una regla la distancia a escala que se busca. Solo se necesita multiplicar por el factor de escala para obtener la distancia buscada. Esta solución tiene, al menos, tres desventajas: ñ lentitud del procedimiento ñ precisión precaria, sobretodo si las escalas a tomar son muy grandes: allí el simple grosor del trazado del lápiz con que se hace el dibujo influye en el resultado final ñ dificultades manuales en realizar el dibujo en un papel. Por otro lado la solución obtenida dibujando a escala tiene una hipótesis oculta que es necesario esclarecer y discutir:

Figura 1.4 Si T V œ 5T w V w , entonces se supone que también T F œ 5T w F w con el mismo factor de escala 5 . Esta hipótesis es correcta pues los triángulos ?T VF y ?T w V w F w son semejantes ya que , por construcción, tienen todos sus ángulos iguales: ¡Teorema de Thales! Dividiendo las igualdades anteriores resulta: TF TV

œ

5T w F w 5T w Vw

3

œ

T w Fw T w Vw

Es decir, las razones entre los lados del triángulo no dependen de la escala. Sólo dependerá de los ángulos α y " . Si llamamos: 3 Ðα ß " Ñ œ

TF TV

entonces bastará con conocer el número 3Ðαß " Ñ para resolver nuestro problema. En efecto, la longitud T F (buscada) será 3Ðαß " Ñ multiplicada por T V (medida) : T F œ 3Ðαß " ÑT V . El problema se solucionaría si pudiéramos fabricar listas de esas razones para una gama bastante amplia de ángulos α y " . Tales listas existen y se llaman Tablas Trigonométricas. Sin embargo, tales Tablas ya pertenecen a la Historia: el desarrollo de las calculadoras de bolsillo proporcionan con un solo toque los números que se han estado buscando en las Tablas. Cómo hacer estas listas es un problema cuya solución más completa exige un cierto desarrollo del cálculo infinitesimal. Sin embargo, en principio se pueden hacer con un despliegue de mucha paciencia, midiendo con acuciosidad los ángulos y los trazos en cuestión. 1.2. DEFINICIONES BÁSICAS (para ángulos agudos) Históricamente surgen las siguientes razones, convencionales, definidas para un triángulo rectángulo:

Figura 1.5 ñ =/8 α œ +, : es el seno del ángulo α ñ -9= α œ -, À es el coseno del ángulo α ñ >1 α œ +- : es la tangente del ángulo α

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Se definen también los inversos multiplicativos de las funciones anteriores: ñ -9=/- α œ +, : es la cosecante de α ñ =/- α œ -, À es la secante de α ñ -9>1 α œ +- : es la cotangente de α Las funciones coseno, cotangente y cosecante se denominan también cofunciones de las funciones seno, tangente y secante respectivamente. Es necesario destacar que estas definiciones, tal como han sido hechas, solo tienen sentido si el ángulo α es agudo: en un triángulo rectángulo los ángulos, salvo el recto, deben ser agudos. Veremos más adelante la forma de extenderlas a ángulos cualquiera. EJEMPLOS 1. Si tomamos α œ %&‰ , entonces el ?ABC de la figura 1.5 es isóceles y por lo tanto + œ - . Luego , œ È+#  - # œ È#+# œ +È# y por lo tanto: ñ =/8 %&‰ œ +, œ È"# ñ -9= %&‰ œ ñ >1 %&‰ œ

+ -

,

œ

œ"

+ ,

œ

" È#

2. Si tomamos α œ '!‰ , entonces el ?ABC resulta ser la mitad de un triángulo equilátero:

Figura 1.6 De aqui se obtiene:

5

ñ ñ ñ ñ

È$

=/8 '!‰ œ # œ -9= $!‰ -9= '!‰ œ "# œ =/8 $!‰ >1 '!‰ œ È$ œ -9> $!‰ =/- '!‰ œ # œ -9=/- $!‰

3. ¿Será una mera casualidad que las co-funciones de un ángulo sean precisamente las funciones del ángulo complementario? Desde luego que no: basta hacer un dibujo para darse cuenta que el ángulo complementario se encuentra precisamente en el vertice opuesto y la afirmación resulta directamente de las definiciones:

Figura 1.7 En efecto À =/8Ð*!  αÑ œ -, œ -9= α à -9=Ð*!  αÑ œ >1Ð*!  αÑ œ +- œ -9>1 α à =/-Ð*!  αÑ œ +, œ -9=/- αÞ

+ ,

œ =/8 α à

TEOREMA 1 En un ?ABC (con ángulos agudos) vale: 1. =/8+ α œ =/8, " œ =/8- # œ #< , donde < es el radio de la circunferencia circunscrita. (Teorema de los senos) 2. +# œ , #  - #  #,- -9= α ÐTeorema de los cosenos o Teorema general de Pitágoras). Por simple cambio de nombre de lados y ángulos, valen también : , # œ - #  +#  #+- -9= " à - # œ +#  , #  #+, -9= #

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DEMOSTRACIÓN

Figura1.8 En ?ADC se tiene: =/8 α œ 2,En ?DBC se tiene: =/8 " œ 2+Luego 2- œ , =/8 α œ + =/8 " , de donde =/8+ α œ =/8, " . De modo totalmente análogo : =/8, " œ =/8- # . Por otro lado , llamando O al centro de la circunferencia circunscrita y prolongando la recta AO , se obtiene el punto C' . Por el correspondiente Teorema de Thales, el ?ABC' es rectángulo en el vértice B y el ángulo tAC'B es nuevamente el mismo # . Por lo tanto =/8 # œ #1 α œ FG EF , es decir FG œ EF >1 α ñ El problema de la altura del cerro es un poco más complicada, pero igual es elemental: en el ?OO'B de la Figura 1.3 podemos aplicar el SF SS w Teorema de los senos: =/8 " œ =/8Ð")!α" ) Þ Por otro lado, en el ?OAB, 2 que es rectángulo en A, se tiene: SF œ =/8 # , por lo tanto, la altura 2 buscada se expresa: =/8 " =/8 # 2 œ SF=/8 # œ SS w =/8Ð")! α " Ñ w donde la distancia SS es medible sobre la base del cerro.

1.3. ALGUNAS EXTENSIONES Nuestras consideraciones anteriores tienen una limitación muy molesta, no solo teórica sino completamente práctica: debemos atenernos a ángulos agudos. En particular, los teoremas del seno y el coseno han sido demostrados bajo esa restricción, sin la cual nuestras definiciones de las funciones trigonométricas no tienen sentido. ¿Que ocurre si nuestros triángulos no son acutángulos? Para ver la necesidad de extender estas nociones a triángulos cualesquiera, supongamos que hay un faro en lo alto de un acantilado y que se desea calcular la distancia de un barco que navega a cierta distancia:

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Figura 1.9 En el triángulo ?ABC podrá medirse la altura del faro AC pero tendrá necesariamente un ángulo obtuso en " . DEFINICIÓN Consideremos los ángulos dibujados en un sistema de referencia formado por una recta fija y una semirecta que gira en torno al origen en un sentido u otro. La semirecta podrá girar arbitrariamente en sentido positivo (contrario a los punteros del reloj) o negativo (el sentido de los punteros del reloj) lo que permite considerar ángulos mayores que 3609 o ángulos negativos.

Figura 1.10

9

Si dibujamos el círculo unitario, es decir, el círculo de radio 1 centrado en el origen, entonces las semirecta cortará al círculo en un único punto de coordenadas ÐBß CÑ. Se define entonces: ñ =/8 ) œ C ñ -9= ) œ B Es claro que, si el ángulo ) es agudo y positivo: ! Ÿ ) Ÿ *!9 , entonces las nuevas definiciones coinciden con las antiguas, es decir, estas nuevas definiciones extienden las nociones de seno y coseno a ángulos cualesquiera. Las demás funciones trigonométricas se definen: >1 ) œ

=/8 ) -9= )

à -9> ) œ

" >1 )

à =/- ) œ

" -9= )

à -9=/- œ

" =/8 )

A estas alturas es conveniente introducir otra medida de los ángulos: la razón entre la longitud del arco medido sobre la circunferencia y su radio, en sentido positivo o negativo. Como la longitud de la circunferencia completa es #1< ß entonces 3609 corresponderá a #1< < œ #1 en la nueva unidad. Esta unidad se llama radián , de modo que, por ejemplo, el ángulo recto tendrá una medida de #1 radianes. Una de las ventajas de esta forma de medir los ángulos es que ella es a-dimensional , no depende de las unidades de medida, puesto que se obtiene por una razón entre longitudes. Resulta muy sencillo demostrar que los teoremas del seno y el coseno se pueden extender a triángulos cualquiera. Lo dejaremos como ejercicio. Finalmente indiquemos que muchas veces surge la necesidad de conocer aquellos ángulos cuyo seno es un cierto número conocido. Es claro que habrá, en general, una infinidad de tales ángulos puesto que, con la extensión que hemos introducido, nuestras funciones trigonométricas tienen caracter periódico, es decir, repiten sus valores cuando el ángulo se desplaza en una cantidad apropiada. Se denomina arco-seno de un número B a aquellos ángulos cuyo seno es BÞ Generalmente se buscan ángulos agudos o, al menos, entre 0 y 180 grados. En las calculadoras de bolsillo es éste tipo de ángulos el que aparece como arco-seno , denotado también =38" . Lo mismo puede decirse de los ángulos cuyo coseno es B , denominados arco-coseno ./ x y , análogamente, arco-tangente de B . Más adelante discutiremos estos conceptos con mayor detalle. Una posibilidad de construir una tabla trigonométrica, sería poder calcular senos y cosenos de ángulos pequeños y poder establecer las

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funciones trigonométricas de sus sumas. El siguiente teorema permite llevar a cabo este método. TEOREMA 2 Sean α y " ángulos cualesquiera. Entonces: (a) -9=Ðα  " Ñ œ -9=α -9="  =/8α =/8" Ð,Ñ =/8Ðα  " Ñ œ =/8α -9="  -9=α =/8" >1α>1" Ð-Ñ >1Ðα  " Ñ œ ">1 α >1" DEMOSTRACIÓN. Haremos la demostración para ángulos agudos por mayor claridad del dibujo. Se invita al lector a extender esta demostración para cualquier tipo de ángulos.

Figura 1.11 Los triángulos ?BOP y ?AOD son claramente congruentes, pues ambos contienen el ángulo α  " en su vértice O. Por lo tanto las longitudes de las cuerdas BP y AD son iguales. Para calcular estas longitudes en términos de las coordenadas de los puntos respectivos, usamos el teorerma de Pitágoras (restringido):

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Figura 1.12

La distancia PQ será : ÈÐB  ?Ñ#  ÐC  @Ñ# Þ En nuestro caso las coordenadas del punto B son Ð-9=Ðα  " Ñ ß =/8Ðα  " ÑÑ, mientras que las del punto A son Ð-9= αß =/8 αÑ y las de D : Ð-9=Ð  " Ñß =/8Ð  " ÑÑ œ Ð-9= " ß  =/8" Ñ Finalmente las coordenadas de P son simplemente Ð1,0). Aplicando la fórmula anterior a la igualdad FT œ EH, resulta: ÈÒÐ-9=Ðα  " Ñ  "Ó#  =/8# Ðα  " Ñ œ œ ÈÐ-9=α  -9=" Ñ#  Ð=/8α  =/8" Ñ# de donde, elevando al cuadrado y utilizando la identidad básica =/8# )  -9=# ) œ " (ver problemas 1.4) se obtiene: #  #-9=Ðα  " Ñ œ #  #-9=α-9="  #=/8α=/8" de donde se sigue directamente la fórmula (a) Para demostrar (b) se puede usar la identidad : =/8) œ -9=Ð 1#  )Ñ y aplicar la fórmula ya demostrada. Finalmente para demostrar la fórmula (c) basta poner: α " Ñ =/8α -9=" -9=α =/8" >1Ðα  " Ñ œ =/8Ð -9=Ðα" Ñ œ -9=α -9=" =/8α =/8" y dividir el numerador y el denominador por el factor -9=α -9=" … COROLARIOS: 1. =/8 # α œ #=/8 α -9= α #Þ -9=# α œ # -9=# α  " œ "  #=/8# α

α $Þ =/8 α# œ „ É "-9= (signo según cuadrante en que está #

α 4. -9= α# œ „ É "-9= (signo según cuadrante en que está #

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α #

)

α #

)

Para demostrar estos corolarios basta aplicar el teorema anterior con α œ " y proceder de modo inverso para las fórmulas del ángulo medio. Con estos resultados podemos, en principio, calcular las funciones trigonométricas para, prácticamente , cualquier ángulo. En efecto, puesto È que, por ejemplo, =/8 $!9 œ "# y -9= $!9 œ #$ ß entonces: $! ñ =/8 "&9 œ É "-9= # $! ñ -9= "&9 œ É "-9= # 9

ñ =/8 (ß & œ ñ -9= (ß &9 œ

9

9

"&9 É "-9= # "&9 É "-9= #

œÊ

œÊ

È

" #$ # È

" #$ #

" œË

œ

Ê "

È$ #

#

# È$ " # #

Ê Ë " #

De este modo, con suficiente paciencia, podemos calcular senos y cosenos de ángulos tan pequeños como sea necesario. Enseguida podemos sumarlos apropiadamente y obtener así las funciones trigonométricas que necesitamos. No podemos ocultar el hecho de que existen otros métodos más prácticos, pero esos métodos requieren cálculo infinitesimal. En ese sentido, es interesante hacerse la pregunta: ¿cómo calculan estas funciones trigonométricas las calculadoras electrónicas? ¿ qué precisión pueden asegurar?

1.4. PROBLEMAS 1. Demuestre los teoremas del seno y del coseno para triángulos cualquiera. Para esto demuestre previamente que, si α es un ángulo obtuso, entonces À =/8Ð1  αÑ œ =/8 α à -9= Ð1  αÑ œ  -9= α 2. Sea ) un ángulo cualquiera. Demuestre: ñ =/8# )  -9=# ) œ " ñ =/8Ð)  1# Ñ œ -9=) ñ -9=Ð)  1# Ñ œ  =/8) ñ =/8Ð  )Ñ œ  =/8) (el seno es una función impar)

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ñ -9=Ð  )Ñ œ -9=) (el coseno es una función par) ñ =/8Ð)  #1Ñ œ =/8) ñ -9=Ð)  #1Ñ œ -9=) (seno y coseno son funciones periódicas) 3 Calcule al área de un triángulo en términos de sus lados y ángulos 4. Sobre una colina hay una torre : ¿cómo calcularía Ud. su altura observándola desde el valle? 5. Desde la cúspide de un faro de altura 2 situado sobre un acantilado se mide el ángulo α que forma la visual hacia el barco respecto de la vertical y desde la base se mide el ángulo " que forma la visual hacia el barco respecto de la vertical.(Ver Figura 1.9) ¿A qué distancia se encuentra el barco? Haga el cálculo para el caso: 2 œ (Þ)Ò7Ó ß α œ )(Þ* 9 ß " œ *"Þ(9 6. Desde un helicóptero que pasa justo al medio de dos iglesias separadas por una distancia . que el piloto conoce, se mide el ángulo que subtienden las iglesias. Calcule la altura a que vuela el helicóptero. Una vez obtenida una buena fórmula, póngale estos números: α œ &'9 ß . œ #&!Ò7Ó 7. ¿Qué ocurre en el problema anterior si el helicóptero no pasa justo al medio de las iglesias? ¿Debe hacer nuevas mediciones?. Discuta la situación según diversos casos. 8. Una escala de 3[m] de largo está apoyada sobre la pared de un edificio. Si su base está a 1.3[m] del edificio ¿qué ángulo forma la escalera con el piso? ¿Qué ocurre si el edificio es la torre de Pisa? 9. Justo frente a la ventana de mi departamento, al otro lado de la calle, se eleva un edificio nuevo en construcción. Por razones personales deseo calcular su altura: mido desde mi ventana el ángulo que forma la visual hacia la punta del edificio con la horizontal : 39 Þ Después bajo hasta la puerta de calle de mi departamento y hago la misma medición: 59 . Como estos datos no son suficientes, mido con una lienza la altura a que se encuentra mi ventana: son 8 metros. ¿Qué altura tenía el edificio? ¿a que distancia del mío se encontraba?

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10. Se entiende por resolver un triángulo, el obtener fórmulas explícitas o valores numéricos de los distintos elementos de un triángulo, en función de otros elementos dados: resolver un ?ABC dados: ñ un lado y dos ángulos ñ dos lados y el ángulo comprendido entre ellos ñ dos lados y el ángulo opuesto al mayor ñ los tres lados 11. La paralaje de la estrella proxima centaurii (la más cercana conocida) es de 0,765 segundos de arco. Si la distancia de la Tierra al sol es de, aproximadamente, 150 millones de kilómetros, ¿cuál será la distancia de esta estrella a nuestro sistema solar? Calcúlela también en años-luz, suponiendo que la luz viaja a 300.000 kilómetros por segundo. 12. La torre de Pisa tiene una inclinación aproximada de 89 respecto a la vertical. Calcular la altura de la torre, si un observador que se encuentra a 29 metros de distancia vé la cúspide con un ángulo de elevación de 38.59 Þ ¿Le faltan datos? ¿Cuáles? 13. El palo central de una tienda de campaña de forma de un cono circular tiene una altura de 6 metros y su parte superior está sostenida por cuerda de 12 metros de largo amarradas a estacas clavadas en la tierra. ¿A qué distancia están las estacas del pié del mástil? ¿Cuál es la inclinación de los cables con la tierra? 14. El terreno ocupado por un granero es de 2(m] por 1$[m] y la inclinación de las alas del techo es de 359 Þ Hallar la longitud de las vigas y el área del techo completo, siendo la proyección horizontal de la cornisa de 45[cm] 15. Desde lo alto de una roca de 150 pies de altura los ángulos de depresión de dos botes situados al sur del observador son de 159 y 759 Þ Determinar la distancia que hay entre ellos. 16. Dos vias férreas se cortan en un ángulo de 269 "'w . Del punto de intersección parten dos trenes simultáneamente, una por cada vía. Una viaja a 20 millas por hora. ¿ A qué velocidad debe viajar la otra para que al cabo de tres horas la distancia entre ellas sea de 30 millas? Discuta el realismo de este problema.

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17. Obtenga una fórmula explícita y exacta para el seno de un ángulo menor que un grado sexagesimal, usando la fórmula del ángulo medio para el ángulo de 459 18. Demuestre las identidades (indicando el conjunto de excepciones): ñ "  >1# B œ =/- # B ñ Ð-9=# B  "ÑÐ-9># B  "Ñ  " œ ! ñ -9=# Ðα  " Ñ  -9=# Ðα  " Ñ  -9= #α-9= #" œ 1 ñ -9= $B œ % -9=$ B  $-9= B ">1 α #α ñ "=/8 -9= #α œ ">1 α

1.5 LAS FUNCIONES TRIGONOMÉTRICAS COMO FUNCIONES DE VARIABLE REAL ¿Qué significa medir un ángulo? A nuestro entender significa poder asociarle unívocamente un número real. Con nuestro sistema de asociar a cada ángulo, positivo o negativo, la longitud del arco de un círculo de radio unitario que recorre la semirecta que define el ángulo, tenemos un buen método para medir ángulos. La unidad de medida será en este caso el radián. Si cambiamos de unidad de medida, el número real asociado será otro. Recíprocamente, para cada número real nos gustaría poder definir un ángulo con esa medida. Aquí tropezamos con una dificultad matemática no trivial: poder definir en buena forma la longitud de una curva en el plano y poder calcular dicha longitud. ¿Es que cualquier curva plana tiene longitud? ¿Cuáles curvas tienen longitud y cuales no? En nuestro caso la cosa no es tan complicada: solo tenemos que poder calcular la longitud de un arco de circunferencia, cuya existencia damos por sentada. Aceptando esto, podemos asociar a cada número real, positivo o negativo, un ángulo (positivo si se mide la longitud del arco recorrido en el sentido contrario a los punteros del reloj, y negativo cuando se recorre el arco al revés). Pero a cada ángulo podemos asociar las funciones trigonométricas, de modo que, combinando ambos procedimientos, podemos definir las funciones trigonométricas como funciones reales de variable real:

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Figura 1.13 Sea B un número real, si llamamos )ÐBÑ al ángulo asociado medido en radianes, entonces podemos definir las funciones reales: =/8ÐBÑ œ =/8Ð)ÐBÑÑà -9=ÐBÑ œ -9=Ð)ÐBÑÑ à >1ÐBÑ œ >1Ð)ÐBÑß />-Þ Podemos bosquejar sus gráficas:

Figura 1.14 Se observa que todas estas funciones son periódicas, es decir, repiten sus mismos valores cada cierta distancia fija. En general, una función real 0 À ‘ Ò ‘ se llama periódica si existe un número 3  ! tal que 0 ÐB  3Ñ œ 0 ÐBÑß aB − ‘Þ El menor número positivo 3 que realiza esta igualdad se llama período.

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Figura 1.15 Por amplitud se entiende la mitad de la diferencia entre el mayor y el menor valor posible. Por diferencia de fase se entiende el desplazamiento a izquierda o derecha respecto a una posición considerada de referencia ("fase cero"). Veamos esto mediante algunos ejemplos: EJEMPLOS 1. 0 ÐBÑ œ =/8 B À período œ #1 amplitud œ " diferencia de fase œ ! #Þ 0 ÐBÑ œ $-9=ÐB  1% Ñ : período œ #1 amplitud œ $ diferencia de fase œ  1% ( B se ha desplazado 1% hacia la izquierda respecto a la fase cero) 3. 0 ÐBÑ œ #=/8Ð$B  "Ñ À período œ #$1 amplitud œ # diferencia de fase œ "$ Notar que, para obtener la diferencia de fase en este caso se ha planteado la ecuación: $B  " œ ! : B œ "$ o sea, B se ha desplazado "$ a la derecha respecto a la fase cero.

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Figura 1.16 Todas las funciones anteriores suelen recibir el nombre de sinusoides, es decir, parecidas al seno. Consideremos ahora la función seno restringida al intervalo Ò  1# ß 1# Ó: se observa que esta función es biyectiva y por lo tanto posee una inversa, llamada arco-seno: +1" ">1# "

œ

#Ð "B "B Ñ # "Ð "B "B Ñ

œ

#Ð"B# Ñ %B

de donde B œ „ È"$ . Pero B debe estar en el intervalo [0,2], luego la única solución es:

" È$ .

1.6 PROBLEMAS 1. Determinar período, amplitud y diferencia de fase de las siguientes sinusoides y dibujar sus gráficas: ñ 0 ÐBÑ œ #=/8Ð#B  1$ Ñ ñ 0 ÐBÑ œ #-9=Ð$B  1# Ñ  " ñ 0 ÐBÑ œ $  -9=ÐB  1% Ñ 2. Escribir la ecuación de una sinusoide con las siguientes características: ñ período œ 1# à amplitud œ " à dif. de fase œ  ñ período œ 1 à amplitud œ "# à dif. de fase œ 1 3. Encuentre : +1 α =/8 ,

SI SH SH SF

HI IF IF SI

œ =/8 α =/8 -

œ -9= , -9= +

œ -9= α >1 -

o Sea ahora ? ABC un triángulo esférico cualquiera. Por el vértice C y el centro O de la esfera podemos trazar un plano perpendicular al plano AOB, lo que corresponde a la altura 2 :

Figura 1.$! Este plano corta al arco AB en un punto D determinándose los lados 7 y -  7 ( o bien 7  - si la altura corta fuera de AB). Se determinan así dos triángulos esféricos rectángulos en el vértice D y podemos aplicar las relaciones obtenidas más arribaÞ

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1. Demostremos ahora la ley de los senos À

o =/8 2 œ =/8 α =/8 , ( usando (1) en ?ADC ) o =/8 2 œ =/8 " =/8 + ( usando (1) en ?DBC )

=/8 + =/8 , Luego: =/8 α œ =/8 " Þ Bajando la otra altura se completa la igualdad =/8 con el cuociente =/8 #

2. Para demostrar la ley de los cosenos para los lados observamos: o (5) >1 2 œ >1 α =/8 7 Ðusando (2) en ?ADC ) o (6) =/8 2 œ =/8 , =/8 α (usando (1) en ?ADC) o (7) -9= , œ -9= 2 -9= 7 (usando (3) en ?ADC ) o (8) -9= + œ -9= 2 -9=Ð-  7Ñ (usando (3) en ?DBC ) Luego, usando el teorema del coseno de la suma en (8), tenemos: -9= + œ -9= 2 Ð-9= - -9= 7  =/8 - =/8 7Ñ reemplazando aquí -9= 7 y =/8 7 de (7) y (5) respectivamente: -9= , =/8 2 -9= α -9= + œ -9= 2Ð-9= - -9= 2  =/8 - -9= 2 =/8α Ñ œ α œ -9= - -9= ,  =/8 - =/8 2 -9= =/8α reemplazando finalmente =/8 2 de (6) se obtiene la ley del coseno para el lado - . Las otras dos leyes se obtienen simplemente cambiando el nombre a los elementos. Aquí conviene notar que, en caso que la altura corte fuera de AB el lado -  7 deberá ser reemplazado por 7  - y el coseno no cambia en la relación (8). 3. Para demostrar la ley de los cosenos para los ángulos diedros es preciso o pasar al triángulo polar ?Ew F w G w Þ Apliquemos el teorema de los cosenos o para los lados al triángulo polar ?Ew F w G w : -9= +w œ -9= , w -9= - w  =/8 , w =/8- w -9= αw Pero por el Lema, +w œ 1  α à , w œ 1  " à - w œ 1  # ß además, como o o ?EFG es el triángulo polar de ?Ew F w G w , + œ 1  αw ß es decir, αw œ 1  +Þ Sustituyendo estas relaciones en la igualdad anterior: -9=Ð1  αÑ œ -9=Ð1  " Ñ-9=Ð1  # Ñ   =/8Ð1  " Ñ=/8Ð1  # Ñ-9=Ð1  +Ñ luego, utilizando la relación de las funciones trigonométricas con los ángulos suplementarios, se tiene:  -9= α œ Ð  -9= " ÑÐ  -9=# Ñ  =/8 " =/8 # Ð  -9= +Ñ

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es decir: -9= α œ  -9= " -9= #  =/8 " =/8 # -9= + que era lo que queríamos demostrar. Las otras dos leyes se obtienen nuevamente cambiando el nombre a los elementos. …

LOS PROBLEMAS DE LA NAVEGACIÓN Para resolver los dos problemas clásicos de la navegación, debemos introducir un sistema de coordenadas apropiado: uno de los "ejes" es el llamado meridiano de Greewich que es el arco de círculo máximo que pasa por los polos y por la ciudad de Greenwich (cerca de Londres). El otro es el Ecuador, que es el círculo máximo situado en el plano perpendicular a la recta que pasa por los polos. Un punto A sobre la esfera quedará determinado por el ángulo α entre los planos que pasan por los polos y A y el plano que contiene al meridiano de Greenwich. Este ángulo se llama longitud y se mide entre 0 y 1809 hacia el Este o hacia el Oeste. La otra coordenada es la llamada latitud , que es el ángulo sobre el meridiano que va desde el ecuador hasta el punto A. La latitud se medirá entonces desde 0 a 909 hacia el norte o hacia el sur.

Figura 1.3"

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Se entiende por rumbo de un de un navío que se mueve sobre un arco de círculo máximo sobre la superficie de la tierra, al ángulo que forma su movimiento medido desde el meridiano que pasa por la posición en que se encuentra. Este ángulo se mide de 0 a 1809 hacia el Este o hacia el Oeste.

Figura 1.3# El rumbo se puede medir también de 0 a 909 hacia el NE (noreste), hacia el NO (noroeste), hacia el SE (sureste) o hacia el SO (suroeste). Nótese que el rumbo depende de la dirección del movimiento y que, a menos que se navegue por un meridiano o por el Ecuador, el rumbo cambia constantemente.

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Figura 1.3$

El problema del Rumbo Dados los puntos A y B, determinar el rumbo de salida, el rumbo de llegada y la distancia que los separa. En este caso se forma un triángulo esférico tomando como tercer vértice el polo norte ( o el polo sur):

Figura 1.3% Los datos son: ñ el lado a: 909 „ latitud de B (se tomará el signo  si B se encuentra en el hemisferio Norte y el signo + si está en el Sur)

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ñ el lado b : 909 „ latitud de A (se tomará el signo  si A se encuentra en el hemisferio Norte y el signo + si está en el Sur) ñ el ángulo # : la diferencia de longitudes de A y B Se busca: rumbo de salida : α ; rumbo de llegada: 1809  " y distancia : c ñ La distancia se obtiene directamente del teorema del coseno para los lados: -9= - œ -9= + -9= ,  =/8 + =/8 ,-9= # ñ Para calcular el rumbo de salida α usamos el teorema de los senos: =/8 α œ

=/8 + =/8 # =/8 -

donde =/8 - œ È"  -9=# - ß ya que el -9= - ha sido calculado. ñ El rumbo de llegada se calcula análogamente: =/8 " œ

=/8 , =/8 # =/8 -

Apliquemos estos resultados a un problema concreto: partimos de Buenos Aires (359 6+>ÞW ß '!9 6981Þ S ) y queremos llegar a las Islas Canarias (309 6+> R ß #!9 6981Þ S )

Figura 1.35 Entonces: # œ %!9 ß + œ *!9  $!9 œ '!9 ß , œ *!9  $&9 œ "#&9 Por lo tanto, la distancia será:

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-9= - œ Ð!Þ&ÑÐ  !Þ&(Ñ  Ð!Þ)(ÑÐ!Þ)#ÑÐ!Þ((Ñ œ !Þ#' luego - œ (%ß '(9 œ %%)!w œ %Þ%)! millas marinas (una milla marina es aproximadamente un minuto de arco sobre la esfera terrestre. Como una milla marina corresponde a 1,852 Km, la distancia será de 8.297 Km. aproximadamente. Por otro lado =/8 - œ =/8 (%Þ'(9 œ !Þ*' y por lo tanto À =/8 α œ Ð!Þ)'ÑÐ!Þ'%Ñ œ !Þ&( ß α œ $%ß *)9 I Ð!Þ*'Ñ Análogamente, resulta " œ $$ß #'9 IÞ Resulta interesante calcular esta distancia como si la tierra fuese plana. Para esto aplicamos el teorema del coseno al triángulo BCN, considerado plano. Los lados serán + œ 'Þ''( [Km] ß , œ "$Þ)*! [Km] , luego: - œ È+#  , #  #+,-9= # œ *Þ((# [Km]

que contrasta con los 8.297 Km calculados anteriormente

El problema de Colón Partimos de un punto dado A con un rumbo de salida α dado y recorremos una distancia - siguiendo un arco de círculo máximo: ¿ cuáles son las coordenadas (latitud y longitud) del punto B de llegada? Nuevamente podemos tomar como tercer vértice el polo Norte. Esta vez los datos son (ver Figura 1.27): ñ el ángulo α (rumbo de salida) ñ el lado b : 909 „ latitud de A (se tomará el signo  si A se encuentra en el hemisferio Norte y el signo + si está en el Sur) ñ el lado - (medido en millas marinas nos dará el ángulo en minutos) El lado + lo podemos calcular directamente de la ley de los cosenos: -9= + œ -9= , -9= -  =/8 , =/8 - -9= α La latitud del punto B será À 909  + o +  *!9 ß según + resulte ser menor o mayor que 909 . Si + es menor que 909 significa que el punto de llagada B se encuentra en el hemisferio norte. Usando la ley de los senos, se tiene: - =/8 α =/8 # œ =/8=/8 + La longitud de B será igual a la longitud de A más (o menos) el ángulo # , según sin el rumbo tomado fué Este u Oeste.

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Apliquemos estos resultados a un problema concreto: partimos de Valparaíso (339 6+>Þ S , 729 6981Þ O) con rumbo de salida 459 O y recorremos 3000 millas marinas. ¿ dónde nos encontramos?

Figura 1.36 En este caso : α œ %&9 ß - œ 3000w œ 509 ß , œ *!9  $$9 œ "#$9 -9= + œ Ð  !Þ&%ÑÐ!Þ643Ñ  Ð!Þ)%ÑÐ!Þ766ÑÐ!Þ("Ñ œ  !Þ129 Luego + œ 84ß 0#9 y por lo tanto la latitud de B será 5,989 NÞ =/8 # œ

Ð!Þ!'ÑÐ!Þ("Ñ !Þ995

œ !Þ545

luego # œ 3#ß 999 y por lo tanto la longitud del punto B será de 104,999 O. OBSERVACIONES. 1. En el cálculo de los ángulos aparece con frecuencia el seno del ángulo buscado. Pero en general habrá dos ángulos, en el intervalo Ò!ß 1Ó que tienen el mismo seno. En efecto: =/8Ð 1#  αÑ œ =/8Ð1  Ð 1#  αÑÑ œ =/8Ð 1#  αÑ

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¿ cuál será el ángulo buscado, el agudo o el obtuso? Para responder a esta pregunta es necesario analizar el problema concreto. Veámoslo con un ejemplo: Se zarpa desde Valparaíso con rumbo 309 R S hasta alcanzar una diferencia de longitud de 209 Þ ¿se ha cruzado el ecuador?

Figura 1.37 Llamemos B al punto en que la trayectoria cruzaría al ecuador. En el o triángulo ?BVN calculemos el ángulo # : si este ángulo resulta menor que 209 ß entonces no se habría cruzado el ecuador. Apliquemos el teorema de los senos a este triángulo: =/8R F =/8R Z =/8$! œ =/8" Pero el arco NB es de 909 y el arco NV es de 90+33 œ "#$9 , luego: #%ß )9 =/8 $! =/8 " œ =/8"#$ œ =/8"#$ =/8$! , de donde " œ œ "&&ß #9 =/8 *! ¿cuál de las dos soluciones es la correcta? Para dilucidarlo apliquemos el o teorema de los cosenos al ?BVN: -9= "#$ œ -9=FR -9=FZ  =/8FR =/8FZ -9=" œ =/8F V-9=" Pero el coseno de 1239 es negativo mientras que el seno del arco BV es positivo: luego el coseno de " debe ser negativo y por lo tanto el ángulo " debe ser el ángulo obtuso: " œ "&&Þ#Þ De la igualdad anterior se obtiene

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el seno del arco BN y nuevamente aplicando el teorema de los senos, se tiene: =/8# œ =/8$! =/8 FR de donde : # œ "(9 ß %& Þ Por lo tanto el barco cruza el ecuador. 2. La distancia más corta entre un punto en el plano y una recta es la distancia del punto al pié de la perpendicular. ¿Será válida esta propiedad en la esfera? . Tomemos un punto P en la esfera y una "recta" EF en la esfera, es decir un arco de círculo máximo:

Figura 1.38 o Si aplicamos el teorema de los cosenos al ?ABP, obtenemos: -9= , œ -9= + -9= -  =/8 + =/8 , -9= *!9 œ -9= + -9= - Ÿ -9= + Luego, si +ß ,ß - Ÿ *!9 ß es decir, si A, B, C se encuentran en el mismo hemisferio, entonces el coseno es decreciente, por lo tanto + Ÿ , Nótese que esto no es ya válido para arcos mayores de 909 , más aún, es fácil ver que el arco PA perpendicular al arco AB corta a este último en dos puntos, uno de los cuales provee la distancia más corta y el otro la más larga.

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1.8.

PROBLEMAS

1. El rumbo inicial de un barco que parte desde Nueva York (409 %#w R à (%9 "!w O ) es de $!9 "!w R IÞ Localizar el punto M del recorrido que sea el más cercano al polo Norte y calcular las distancias desde M al polo y a Nueva York. 2. Un barco parte de San Francisco (379 %)w R à "##9 #%w S) con un rumbo inicial de 409 $!w WS. Calcule la distancia hasta el cruce con el Ecuador. ¿Cuál será la longitud en ese punto? Localice además el punto en que se encuentra el barco después de recorrer 340 millas marinas. 3. Un aeroplano sale de Honolulú (219 ")w R à "&(9 &#w S) con rumbo inicial de 409 %$ R IÞ Encuentre el punto más cercano al polo Norte de su trayectoria y calcule la latitud en que se encuentra cuando la longitud es de 749 S 4. Un barco parte de Valparaíso (339 Wà (#9 SÑ con un rumbo inicial de 329 WSÞ ¿ Qué distancia se puede recorrer de modo que el error cometido en el cálculo de la latitud usando Trigonometría Plana sea menor o igual a un grado sexagesimal? Use el Polo Sur como tercer vértice. (Indicación: use el método de ensayo y error) 5. Un barco que navega en la polinesia francesa (159 W à "%!9 SÑ necesita ser guiado a Valparaíso (339 Wà (#9 SÑ : calcule el rumbo de salida. Calcule este rumbo como si la tierra fuese plana (use el polo sur como tercer vértice): ¿adónde iría a parar en Chile si se usa ese rumbo erróneo? 6. Un barco parte de un punto A (209 R à !9 6981Þ) con rumbo 309 R I y recorre 3000 millas marinas alcanzando el punto B. ñ Calcule latitud y longitud de B ñ Si el capitán no sabe trigonometría esférica y aplica plana, encuentre los valores de latitud y longitud calculados de este modo erróneo. ñ La (falsa) posición calculada por este capitán ¿se encuentra más al Sur o más al Norte, más al Oeste o más al Este de la verdadera? ñ ¿Cuál es el error total cometido? (es decir, la distancia en millas entre la posición falsa y la verdadera?

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7. Un barco parte de Valparaíso con la intención de llegar a Isla de Pascua (279 Wà "!*9 SÑ pero parte con un rumbo levemente equivocado de 869 SS . Calcule la distáncia mínima a Isla de Pascua por la que pasa el barco. ¿Cuál debió ser el rumbo (de salida) correcto? 8. Dos barcos A y B parten desde un mismo punto a las 12:00 hrs. y se alejan uno de otro según un ángulo de 79 . Si el barco A se desplaza en línea recta a 8 nudos y B a 6 nudos, ¿ A qué distancia estará uno de otro a las 16:00 hrs.? Use Trigonometría Plana y Esférica y calcule el error cometido. Estudie cómo aumenta el error a medida que los barcos se alejan. (1 nudo œ 1 milla marina por hora œ 1.852 Km/hora ) 9. Dos submarinos zarpan desde un mismo punto y al mismo tiempo en rumbos que difieren en un ángulo α . Uno navega con un a velocidad de 25 nudos y el otro a 23 nudos. Tres horas después de partir distan entre si 10 millas. ¿cuál es el ángulo comprendido entre sus cursos? (Haga un análisis como en el problema anterior). ¿Que puede Ud. concluir ?

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