2

CINEMATICA DE LA PARTICULA

2.1 GENERAL 2.1.1

Sistemas de Referencia y de Coordenadas

La descripción del movimiento de una partícula requiere disponer de un sistema de referencia, que es un ente físico real, respecto del cual se define la posición, y por lo tanto la velocidad y aceleración de la partícula. Un sistema de coordenadas es un modelo matemático que permite describir la posición de la partícula con respecto al sistema de referencia. Para un sistema de referencia dado se pueden utilizar infinitos sistemas de coordenadas. Ejemplos de sistemas de coordenadas son el Sistema Cartesiano (x-y-z) y los sistemas de coordenadas curvilíneas ortogonales, como las cilíndricas y las esféricas.

V3

3

V e2

e3 e1 V1

V2

O

2

1

La figura muestra un sistema de coordenadas (1,2,3) en un sistema de referencia S, y un vector V, el que podría ser la posición de un punto, su velocidad, etc. El vector V se puede escribir en términos de sus componentes Vj y de los vectores unitarios perpendiculares entre sí e1, e2 y e3, que son la base del sistema.

V=

2.1.2

 V1    V2  = V   3

∑V e j

j

= V1 e 1 + V2 e 2 + V3 e 3

j

Cambio y Derivada de un Vector

Supóngase un vector V tal que sus propiedades son función del tiempo y de la posición en un sistema de referencia dado. En términos generales, el vector puede cambiar tanto en magnitud como en dirección. Como ejemplo, en la figura se muestra el vector V, definido por el segmento entre los puntos A y B fijos a la superficie de un disco rígido que gira en torno a su eje. Para un observador en un sistema de referencia fijo, externo al disco, los puntos A y B se mueven a A’ y B’ respectivamente después de una rotación, definiendo el vector V’. Aún cuando la magnitud del vector, que es igual a la distancia entre los puntos, no cambia en el tiempo por la condición de cuerpo rígido, el vector V’ no es igual a V debido al cambio de dirección del vector. Para este observador, el cambio ∆V del vector V es:

A A’

V’

V B

B’

∆V

∆V = V'−V Sin embargo, un observador fijo al disco verá los puntos A y B siempre en la misma posición y, por lo tanto, no verá cambios en V. En general, para un vector V que cambia en el tiempo, la derivada temporal es:

dV & = V dt

=

 V(t + ∆t ) − V( t )   ∆t → 0  ∆t  lim

En el ejemplo anterior, esta derivada es nula para un observador en un sistema de referencia fijo al disco, para el cual el vector V no cambia. Estos resultados muestran claramente que la derivada del vector depende directamente del sistema de referencia en que se evalúe esta derivada. Cuando sea necesario entonces, se indicará el sistema en que se evalúa la derivada con la siguiente notación:

 dV  & Derivada de V en S =   =V  dt  S En términos de las componentes del vector:

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-1

 dV j   de j   dV  & & jej + Vj  V V j e& j   ej +  =  dt  = V = dt  dt   S     S j j j j S

∑

∑

∑

∑

Nótese que la expresión contiene las derivadas de las componentes Vj, que son escalares, y de los vectores unitarios ej. Sin embargo, tal como ocurrió con la magnitud del vector en el ejemplo anterior, los escalares no dependen del sistema de referencia. Por lo tanto, la derivada de un escalar no depende del sistema donde se evalúe esta derivada.

 dV j   dV j    =   dt  S  dt  2.1.3

Velocidad Angular

Supóngase un vector V que cambia en el tiempo, como se muestra en la figura. El cambio de dirección está caracterizado por el cambio de posición angular ∆θ. Se define la rapidez de rotación o rapidez angular ω de V como:

ω=

lim  θ(t + ∆t ) − θ(t )  dθ = θ& =  dt ∆t → 0  ∆t 

Vectorialmente, la velocidad angular ω tiene la magnitud ω y la dirección normal al plano que describe V en su rotación.

2.2 GEOMETRIA DEL MOVIMIENTO 2.2.1

∆V V+∆V ∆θ V

ω O

3 P

Posición

Supóngase un sistema de coordenadas S(1-2-3) con origen O. La posición de la partícula P está definida por el vector r, medido desde el origen del sistema. Si x1, x2 y x3 son las coordenadas del punto P, y e1, e2, e3 son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes del sistema 1-2-3 (la base del sistema), entonces el vector posición de P en S es:

 x1    r = x 2  = x 1 e 1 + x 2 e 2 + x 3 e 3 x   3

Trayectoria

r O

2

1

La trayectoria es el lugar geométrico de los puntos que ocupa P en el tiempo.

2.2.2

Grados de Libertad y Restricciones

Los grados de libertad de un sistema corresponden a las diferentes formas independientes en que se puede mover el sistema. Por ejemplo, una partícula libre en el espacio puede moverse en cualquier dirección. En particular, se puede mover en tres direcciones perpendiculares entre sí, siendo el movimiento en cada dirección independiente de los movimientos en las otras dos. En el ejemplo de la figura, el sistema consiste en un cilindro vacío de centro C y radio R, que rueda sin deslizar sobre una superficie horizontal fija, y un segundo cilindro de centro D y radio r, que rueda sin deslizar al interior del primero. P es un punto fijo en la superficie del cilindro interior. El punto P tiene dos formas independientes de moverse: el movimiento del primer cilindro grande sobre el suelo y el movimiento del cilindro menor al interior del primero. CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

y P r C

D u

x

R

2-2

El número de grados de libertad del sistema corresponde al número de coordenadas independientes necesarias para especificar la configuración del sistema en un instante cualquiera. Por ejemplo, la partícula libre de moverse en el espacio tiene tres grados de libertad, y las coordenadas a usar podrían ser las cartesianas o curvilíneas. En el ejemplo anterior, el punto P tiene dos grados de libertad, y las correspondientes coordenadas podrían ser las posiciones angulares de los centros de los cilindros. Las restricciones limitan, en forma total o parcial, el movimiento en alguna dirección dada. En general, las restricciones satisfacen una ecuación de la forma φ(r,t)=0. Por ejemplo, la posición de una partícula obligada a moverse sobre la superficie de una esfera debe satisfacer la ecuación r2=x2+y2+z2, donde x, y, z son las coordenadas cartesianas y r es el radio de la esfera. En este caso, la partícula tiene dos grados de libertad. Nótese sin embargo que no es posible usar las coordenadas cartesianas para definir la posición de la partícula, ya que dados los valores del par (x, y) por ejemplo, existen dos valores de z que satisfacen la condición de la restricción. Debe usarse entonces el par φ,z de las coordenadas cilíndricas o el par θ,φ de las esféricas. La existencia de una restricción genera una reacción en la dirección en que el desplazamiento está restringido. Usualmente estas reacciones son incógnitas a resolver en el problema.

2.2.3

Velocidad

En la figura siguiente se muestra la trayectoria curvilínea que sigue una partícula en el espacio. En el tiempo t la partícula se encuentra en A y su posición está definida por el vector r. Después de un intervalo de tiempo ∆t la partícula se ha movido hasta el punto A’. El cambio de posición es el vector ∆r entre los puntos A y A’, dirigido desde A hacia A’. En el tiempo (t+∆t) la posición es el vector (r+∆r). Durante el intervalo ∆t el camino recorrido por la partícula es el arco ∆s. La velocidad media de la partícula en el intervalo ∆t es: ∆r v= ∆t La dirección de la velocidad media corresponde a la dirección de la secante a la curva entre los puntos A y A’, que es la dirección del vector ∆r.

Trayectoria A’ ∆s

∆r r+∆r

A

r O

La velocidad media medida en un intervalo de tiempo muy pequeño, ∆t Æ 0, es la velocidad instantánea v: lim  ∆ r  d r v= = r&  = ∆t → 0  ∆t  dt

Cuando ∆t Æ 0, la dirección de ∆r tiende a la dirección tangente a la curva en el punto A. La velocidad instantánea v tiene entonces la dirección de la tangente a la curva de la trayectoria en cualquier punto.

2.2.4

Aceleración

v+∆v

En la figura se muestra los vectores velocidad en A y A’. El cambio de velocidad en el intervalo ∆t es ∆v. Se define la aceleración media de la partícula en el intervalo ∆t como:

a=

∆r ∆t

v+∆v

v

Similar al caso de la velocidad, se define la aceleración instantánea a como:

a=

∆v A’

2

dv d r = v& = 2 = &r& dt dt

v a

A

A

Trayectoria

A diferencia de la velocidad, el vector aceleración instantánea no tiene una dirección definida con respecto a la trayectoria.

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-3

2.3 MOVIMIENTO EN COORDENADAS CARTESIANAS 2.3.1

z

Posición

Supóngase un sistema de coordenadas cartesianas x-y-z con origen O. Supóngase que el sistema de coordenadas está fijo al sistema de referencia S en el cual se evalúa el movimiento, es decir, la posición del origen O y las direcciones de los ejes no varían en el tiempo. La posición de la partícula P está definida por el vector r, medido desde el origen del sistema.

r O

x    r = y  = xe x + ye y + ze z z   

y

x

donde x, y, z son las coordenadas cartesianas del punto P y ex , ey , ez son los vectores unitarios en las direcciones de los ejes x-y-z del sistema (son la base del sistema).

2.3.2

Velocidad

Recordando que la derivada del vector se puede escribir en términos de las derivadas de sus componentes, y considerando que el sistema de coordenadas está fijo al sistema de referencia, por lo que las derivadas de los vectores unitarios son nulas, se tiene la siguiente expresión para la velocidad en S:

v=

2.3.3

dr = dt

 dx   dt   dy  dx dy dz ex + ey + e z = x& e x + y& e y + z& e z  = dt dt  dt  dt  dz   dt 

Aceleración

Con las mismas consideraciones anteriores, la expresión para la aceleración instantánea a en S es:

dv d 2 r a= = dt dt 2

 &x&     &y&  = &x&e x + &y&e y + &z&e z  &z&   

EJEMPLO 2-1

CINPAR12.DOC - C1-2004-1

Un sistema consiste en un disco rígido de radio r, que permanece siempre en el plano vertical, pivoteado en su centro a un punto fijo O. Una cuerda inextensible de longitud l tiene uno de sus extremos fijo a un punto A en el borde del disco, y una partícula P fija en su otro extremo. El sistema es tal que todos los elementos se encuentran en todo instante en un plano vertical único y la cuerda permanece siempre en tensión. Se determinará la velocidad absoluta de la partícula P utilizando coordenadas cartesianas absolutas.

y

P

yP

l

l

A

r

O ϕ

x ω

O

r

ϕ

A x

ω

Las figuras siguientes muestran la configuración del sistema. Se elige un sistema de coordenadas cartesianas x-yz, con origen O coincidente con el centro del disco, y orientado en tal forma que el plano x-y coincide con el plano en que se encuentra el sistema, quedando el eje z normal al plano. A izquierda se muestra el caso correspondiente a un instante antes que la cuerda se enrolle en torno al disco. A la derecha se muestra la configuración en que parte de la cuerda está enrollada en torno al disco. CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-4

Para resolver el problema se debe analizar por separado ambos casos, definiendo para cada uno de ellos el número de grados de libertad y las coordenadas elegidas para representar el movimiento. a) Caso (1): antes que la cuerda se enrolle en torno al disco ƒ Supóngase que el disco está fijo. P se mueve describiendo un movimento circular en torno a punto A. La posición de P queda totalmente definida en cualquier instante por el ángulo θ. ƒ

el

y y

Supóngase ahora que θ está fijo (el movimeinto anterior no existe), pero el disco puede rotar. En este caso la partícula se mueve según la rotación del disco, y su posición en un instante cualquiera queda definida por el ángulo ϕ.

eθ y’

l θ A

r O ϕ

Nótese que ambas formas de moverse son totalmente independientes entre sí. Es decir, la partícula tiene 2 grados de libertad, y se requiere dos coordenadas para describir la configuración del sistema en un instante cualquiera.

P x’

x

x

ω

Las componentes cartesianas x-y se pueden escriben en términos de los águlos ϕ y θ:

x = r cos ϕ + l cos(ϕ + θ)

y = r sin ϕ + l sin( ϕ + θ)

Las componentes de la velocidad se determinan derivando las expresiones de la posición:

x& = −r sin ϕ ϕ& − l sin( ϕ + θ)(ϕ& + θ& ) = rω sin ϕ − l sin( ϕ + θ)(θ& − ω) y& = r cos ϕ ϕ& + l cos(ϕ + θ )(ϕ& + θ& ) = − rω cos ϕ + l cos(ϕ + θ )( − ω + θ& ) b) Caso (2) parte de la cuerda está enrollada en torno al disco La partícula tiene 2 grados de libertad, definidos por los ángulos ϕ y β. La longitud total de la cuerda es:

y P

y’

s

l = rβ + s Las componentes cartesianas x-y y sus derivadas se escriben en términos de los ángulos ϕ y β:

x = r cos(ϕ + β) − s sin(ϕ + β ) = r cos(ϕ + β) − (l − rβ ) sin( ϕ + β ) x& = − r sin( ϕ + β )(ϕ& + β& ) + rβ& sin( ϕ + β ) − (l − rβ ) cos(ϕ + β )(ϕ& + β& ) = = rβ& sin( ϕ + β) − [r sin( ϕ + β ) + (l − rβ ) cos(ϕ + β )](β& − ω) = = rω sin( ϕ + β ) − (l − rβ )(β& − ω) cos(ϕ + β )

r O

x’

β A ϕ x ω

y = r sin( ϕ + β) + s cos(ϕ + β ) = r sin( ϕ + β) + (l − rβ) cos(ϕ + β) y& = r cos(ϕ + β)(ϕ& + β& ) − rβ& cos(ϕ + β) − (l − rβ ) sin( ϕ + β )(ϕ& + β& ) = = − rβ& cos(ϕ + β ) + [r cos(ϕ + β) − (l − rβ ) sin( ϕ + β )](β& − ω) = = − rω cos(ϕ + β ) − (l − rβ) sin( ϕ + β)(β& − ω)

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-5

2.4 MOVIMIENTO EN COORDENADAS CURVILINEAS ORTOGONALES 2.4.1

Sistema Ortogonal de Superficies

Supóngase un conjunto de relaciones q1, q2, q3 definidas por:

q 1 = q 1 ( x, y , z ) q 2 = q 2 ( x, y , z ) q 3 = q 3 ( x, y , z ) Cada una de las tres ecuaciones qj(x,y,z) = Cte. define una familia de superficies en el espacio. Por ejemplo, la relación q = x2+y2+z2 = Cte. representa la superficie de una esfera, con centro en el origen del sistema de coordenadas, de radio igual a la raíz cuadrada de la Cte. La familia de superficies queda definida por los diferentes valores de la Cte. Supóngase que las relaciones son tales que, para un punto dado P en el espacio, se tiene que un miembro de cada familia qj de curvas que pasa por el punto dado, y las tres superficies son ortogonales entre sí en el punto P. Esto quiere decir que P es el punto único de intersección de las tres superficies y que los vectores normales a cada superficie en P son perpendiculares entre sí. Las ecuaciones que definen las tres superficies que pasan por el punto P quedan determinadas haciendo la ctej igual a la correspondiente relación qj(x,y,z) evaluada en las coordenadas de P:

q 1 ( x, y , z ) = q 1 ( x P , y P , z P ) = q 1 ( P ) q 2 ( x, y , z ) = q 2 ( x P , y P , z P ) = q 2 ( P ) q 3 ( x, y , z ) = q 3 ( x P , y P , z P ) = q 3 ( P ) Por ejemplo, las siguientes tres relaciones 2

q1 = x + y

z 2

y q 2 = tan −1   x q3 = z

zP

corresponden a (ver figura): ƒ ƒ ƒ

plano horizontal

P rP

la superficie de un cilindro de eje coincidente con el eje z un plano vertical que pasa por el eje z un plano horizontal

Para un punto dado P, existen los valores de q1, q2 y q3 tales que las tres superficies se intersectan en el punto P, y los vectores normales a las superficies en P son perpendiculares entre sí.

yP y

xP

cilindro

x

plano vertical

Las ecuaciones de las tres superficies son: 2

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

q1 = x 2 + y 2 = x P + y P

2

y y q 2 = tan −1   = tan −1  P x  xP q3 = z = zP

  

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-6

2.4.2

z

Sistema de Coordenadas Curvilíneas Ortogonales

Para un sistema ortogonal de superficies qj , los vectores unitarios en las direcciones de los vectores normales a las superficies en el punto P forman una base para el sistema. Los valores q1(P), q2(P) y q3(P) son las coordenadas del punto P en el sistema de coordenadas curvilíneas ortogonales. El caso mostrado en el ejemplo anterior corresponde a las coordenadas cilíndricas, definidas como:

ρ = x2 + y 2

zP

Pe

φ

eρ rP

x = ρ cos φ

y φ = tan −1   x z=z

ez

y = ρ sin φ

xP

φ

yP

ρ

y

x

ρ corresponde al radio del cilindro φ es el ángulo que forma la proyección de r con el eje x z es la coordenada del plano horizontal

2.4.3

Vectores Unitarios

Sean P un punto en el espacio y Sj(P) las superficies definidas por qj(P) para j = 1,2,3. El vector unitario ej(P) = ej es normal a Sj(P) en el punto P y apunta en la dirección en que qj crece. El vector unitario ej es entonces tangente a la línea Lj(P) definida por la intersección de las superficies Si(P) y Sk(P), con i ≠ j ≠ k. Recordando que el gradiente de una función escalar Φ tiene la dirección de la máxima tasa de crecimiento de Φ, y que esta dirección es normal a la superficie en cualquier punto, la expresión para el vector unitario en la dirección j, en el punto P, es: ∇q ( P ) j e j (P) = ∇q ( P ) j donde:

 ∂q j ∂q j ∂q j , , ∇ q j ( P ) =   ∂x ∂y ∂z

   

x = x ( P ), y = y ( P ), z = z ( P )

Nótese que los vectores unitarios ej resultan ortogonales entre sí en cualquier punto P. Para el sistema de coordenadas cilíndricas definido anteriormente, los vectores unitarios son:

∂ρ ∂ρ ∂ρ ex + ey + ez ∂x ∂y ∂z ∇ρ eρ = = = ∇ρ ∂ρ ∂ρ ∂ρ ex + ey + e ∂x ∂y ∂z z

eφ =

∇φ = ∇φ

−y x2 + y 2

x x2 + y2

ex +

ez =

ex +

x x2 + y 2

y x2 + y2

e y = cos φe x + sin φ e y

e y = − sin φe x + cos φe y

∇z = ez ∇z

Nótese que estos vectores están dados en componentes cartesianas, las que a su vez están en función de las coordenadas cartesianas (x-y-z), y en función de las coordenadas cilíndricas (ρ - φ - z). Nótese además que los vectores pueden ser obtenidos directamente a partir de su definición. eρ es normal a la superficie del cilindro en P, es decir, está contenido en el plano horizontal y tiene la dirección definida por φ . Si el módulo es 1, entonces la componente en x es cosφ y en y es senφ . De igual forma se obtienen los otros. CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-7

2.4.4

Transformación de Coordenadas

Un vector V cualquiera se puede representar mediante sus componentes en un sistema cartesiano, o mediante sus componentes en un sistema curvilíneo ortogonal:

Comp. cartesianas : V = Vx e x + Vy e y + Vz e z Comp. curvilíneas : V q = V1 e 1 + V2 e 2 + V3 e 3 Supóngase que se conoce las componentes cartesianas. Entonces, cada una de las componentes curvilíneas Vj está dada por la suma de las proyecciones de cada componente de V en la dirección de ej:

Vj = Vx e x ⋅ e j + Vy e y ⋅ e j + Vz e z ⋅ e j

j = 1,2,3

En notación matricial:

e x ⋅ e1 e ⋅ e  x 2 e x ⋅ e 3

 V1    V2  = V   3

e y ⋅ e1 ey ⋅ e2

e z ⋅ e1  e z ⋅ e 2  e z ⋅ e 3 

ey ⋅ e3

 Vx    Vy  V   z

En forma abreviada:

Vq = [ T] V Donde [T] es la matriz de transformación de coordenadas. Dadas las propiedades de la matriz [T], la transformación inversa está dada por:

V = [ T ] −1Vq = [ T ] Vq T

Es conveniente remarcar que las componentes del vector, cualquiera sea el sistema usado, pueden ser expresadas en función de las coordenadas de cualquiera de los sistemas. Por ejemplo, las componentes cartesianas pueden estar en función de las coordenadas curvilíneas, etc. En el caso del sistema cilíndrico, la matriz de transformación de coordenadas es:

[T ]

2.4.5

 cos φ sin φ 0   =  − sin φ cos φ 0  0 0 1

Derivadas Espaciales de un Vector en Coordenadas Curvilíneas Ortogonales

Supóngase un vector V tal que sus componentes están expresadas en función de las coordenadas curvilíneas ortogonales q1, q2, q3. Las derivadas del vector con respecto a las coordenadas qj pueden evaluarse en el sistema cartesiano y en el sistema curvilíneo: Vector en componentes Cartesianas:

V(q) = Vx (q)e x + Vy (q)e y + Vz (q)e z ∂Vy (q ) ∂ V (q ) ∂Vx (q ) ∂Vz (q ) = ex + ey + ez ∂q j ∂q j ∂q j ∂q j Vector en componentes curvilíneas:

V (q ) =

∂ V (q ) ∂q j

=

∂V1 (q ) ∂q j

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

e1 +

∂V2 (q ) ∂q j

V 1 ( q )e 1 + V 2 ( q )e 2 + V 3 ( q )e 3

e2 +

∂V3 (q ) ∂q j

e 3 + V1

Cap 2 Cinemática de la Partícula

∂ e 1 (q ) ∂q j

+ V2

∂ e 2 (q ) ∂q j

+ V3

∂ e 3 (q ) ∂q j 2-8

Derivadas espaciales de los vectores unitarios del sistema cilíndrico:

∂e ρ = eφ ∂φ ∂e φ = −e ρ ∂φ ∂e z =0 ∂φ

∂e ρ =0 ∂ρ ∂e φ =0 ∂ρ ∂e z =0 ∂ρ 2.4.6

∂e ρ =0 ∂z ∂e φ =0 ∂z ∂e z =0 ∂z

Derivadas Temporales de un Vector en Coordenadas Curvilíneas Ortogonales

Supóngase un vector V tal que sus propiedades son función del tiempo y de la posición, expresadas en términos de coordenadas curvilíneas ortogonales, es decir, V = V (q,t). La derivada temporal del vector es:

dV & = = V dt

∑

∂ V(q, t ) ∂q j

j

q& j +

∂ V(q, t ) ∂t

Si el vector se representa mediante sus componentes curvilíneas:

V=

∑V e j

j

j

Entonces

dV & = = V dt

∑ V& j e j + ∑ Vj e& j j

j

donde

e& j =

∑ k

∂ e j (q ) ∂q k

q& k

Derivadas temporales de los vectores unitarios del sistema cilíndrico

e& ρ = (− sin φ e x + cos φ e y ) φ& = φ& e φ e& φ = (− cos φ e x − sin φ e y ) φ& = −φ& e ρ e& z = 0

2.4.7

Interpretación Física de las Derivadas de los Vectores Unitarios

Las derivadas de los vectores unitarios han sido obtenidas en O forma analítica. En esta sección se estudia el significado físico de estas derivadas. En la figura aparece el vector eρ del φ sistema de coordenadas cilíndricas, el cual está contenido en el plano x-y. Se examinará el efecto que producen sobre eρ variaciones de las coordenadas ρ, φ, z. Dado que su módulo no cambia, la única variación posible de este vector es de dirección. x

y

ρ

∆φ e’ ρ

φ

∆φ

e’ ρ

eρ eρ

∆ eρ

x

Suponiendo primero una variación ∆ρ de la coordenada ρ, eρ mantiene su dirección, no sufriendo cambios. Esto significa que ∂eρ / ∂ρ = 0. Lo mismo ocurre con respecto a z. Supóngase ahora una variación ∆φ. El vector eρ cambia a e’ρ, sufriendo una variación ∆eρ como se muestra en la figura. El módulo de ∆eρ es:

∆e ρ = 2 e ρ sin ∆φ / 2 = 2 sin ∆φ / 2 CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-9

Suponiendo que el cambio ocurre en un intervalo de tiempo ∆t muy pequeño, entonces ∆φ. es pequeño y ∆eρ tiende a ser perpendicular a eρ, es decir, tiene la dirección de eφ. ∆eρ es entonces

∆ e ρ = (2 sin ∆φ / 2) e φ

para

∆φ pequeño

La variación de eρ con respecto a φ. es:

∆ e ρ (2 sin ∆φ / 2 ) = eφ ∆φ ∆φ

En el límite:

para ∆φ pequeño

lim ∆e ρ lim  (2 sin ∆φ / 2 )  lim  (2 ∆φ / 2 ) ∂e ρ eφ  = = =  ∆φ → 0  ∆φ ∂φ ∆ φ → 0 ∆ φ ∆ φ → 0  ∆φ 

  eφ = eφ 

De igual forma

lim ∆e ρ lim  (2 sin ∆φ / 2 )  lim  (2 ∆φ / 2 ) ∂e ρ = = eφ  =  ∆t → 0  ∆t ∂t ∆t → 0 ∆t ∆t → 0  ∆t 

2.4.8

dφ  &  e φ = dt e φ = φ e φ 

z

Velocidad y Aceleración en Coordenadas Cilíndricas

Obtenidas las expresiones para las derivadas de los vectores, la velocidad y la aceleración se obtienen derivando el vector posición. Por ejemplo, para el caso de coordenadas cilíndricas se tiene:

zP

ez

Pe

φ

eρ

Posición :

r = ρe ρ + ze z

Velocidad :

v = ρ& e ρ + ρe& ρ + z& e z + ze& z = ρ& e ρ + ρφ& e φ + z& e z a=ρ &&e ρ + ρ& e& ρ + ρ& φ& e φ + ρ&φ&e φ + ρφ& e& φ + &z&e z

Aceleraciòn :

(

)

2 = ρ && − ρφ& e ρ + (ρ&φ& + 2ρ& φ& )e φ + &z&e z

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

rP xP

φ

ρ

yP y

x

2-10

z

EJEMPLO 2-2 Una partícula P Desliza con rapidez constante vo a lo largo de una espiral cilíndrica de eje vertical, radio r y paso h. Determine la aceleración de P en un instante cualquiera. CINPAR14 Cert. 2 -05-1 SOLUCION

z

a) General En la figura se muestra la partícula, un sistema de referencia x-y-z absoluto, y las coordenadas cilíndricas del punto.

h

r

b) Solución usando coordenadas cilíndricas Las ecuaciones generales son:

Posición :

r = ρe ρ + ze z

Velocidad :

v = ρ& e ρ + ρe& ρ + z& e z + ze& z = ρ& e ρ + ρφ& e φ + z& e z a=ρ &&e ρ + ρ& e& ρ + ρ& φ& e φ + ρ&φ&e φ + ρφ& e& φ + &z&e z

Aceleraciòn :

(

)

2 = ρ && − ρφ& e ρ + (ρ&φ& + 2ρ& φ& )e φ + &z&e z

Inclinación del espiral

tan α =

ρ

h 2πr

⇒

sin α =

h

φ& =

v o cos α v o = r r

cos α =

h2 + (2πr )2

ρ = r = cte

⇒

2πr h + (2πr ) 2

z& = v o sin α =

2

2πr h2 + (2πr )2

ρ& = ρ && = 0

=

2π v o h + (2πr )

h vo h + (2πr ) 2

x

y

φ

2

2

2

⇒ &φ& = 0

⇒ &z& = 0

Reemplazando en la ecuación de la aceleración:

 2π v o a = −r   h 2 + (2πr )2  c)

2

 ( )2  e ρ = − 2π v o r e ρ  h 2 + (2πr )2 

Solución directa

La velocidad es tangente a la trayectoria, teniendo las siguientes componentes:

v φ = − v o cos α

v z = − v o sin α

La componente en z es constante. La componente en φ es constante en módulo, pero cambia de dirección, generándose entonces una aceleración centrípeta de valor:

ac CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

v o cos α )2 ( = r

2π v o )2 r ( = h 2 + (2πr )2

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-11

2.4.9

z

Coordenadas Esféricas

er

r, θ, φ definidas según: 2

2

eφ

r= x +y +z

2

 x2 + y2 θ = tan −1   z  y φ = tan −1   x

x = r sin θ cos φ

r

   

y = r sin θ sin φ

θ

z = r cos θ

x

eθ

r y

φ

La primera relación define la superficie de una esfera de radio r, centrada en el origen del sistema. La segunda es la superficie de un cono de eje vertical, vértice en el origen y ángulo θ entre la generatriz y el eje. La tercera corresponde a un plano vertical que pasa por el eje z y forma un ángulo φ con el eje x.

e r = sin θ cos φe x + sin θ sin φe y + cos θe z

Vectores unitarios:

e θ = cos θ cos φe x + cos θ sin φe y − sin θe z e φ = − sin φe x + cos φe y

Matriz de transformación de Coordenadas:

[T] =

 sin θ cos φ sin θ sin φ cos θ    cos θ cos φ cos θ sin φ − sin θ  − sin φ cos φ 0 

Derivadas espaciales de los vectores unitarios:

∂e r =0 ∂r ∂e θ =0 ∂r ∂e φ =0 ∂r

∂e r = eθ ∂θ ∂e θ = −e r ∂θ ∂e φ =0 ∂θ

∂e r = sin θe φ ∂φ ∂e θ = cos θe φ ∂φ ∂e φ = − sin θe r − cos θ e θ ∂φ

Derivadas temporales de los vectores unitarios:

e& r = θ& e θ + sin θ φ& e φ e& θ = − θ& e r + cos θ φ& e φ e& φ = − sin θ φ& e r − cos θ φ& e θ Movimiento:

Posición : Velocidad :

r = r er v = r& e r + rθ& e θ + r φ& sin θ e φ

Aceleración :

a = &r& − rθ& 2 − r φ& 2 sin 2 θ e r + r &θ& + 2r& θ& − r φ& 2 sin θ cos θ e θ + (r &φ& sin θ + 2r& φ& sin θ + 2r θ& φ& cos θ ) e φ

(

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

)

(

Cap 2 Cinemática de la Partícula

)

2-12

EJEMPLO 2-3 El sistema de la figura consiste en un tubo de forma semi-circular de radio R, pivoteado en uno de sus extremos a un punto fijo O. El tubo se mueve en forma tal que en cualquier instante, todos sus puntos se encuentran en un plano vertical único, y dicho plano rota en torno al eje z con una velocidad angular constante Ω Suponiendo que al interior del tubo circula una partícula con una rapidez vo constante, se determinará la velocidad y la aceleración absolutas de la partícula utilizando coordenadas esféricas. CINPAR13.DOC C1-2004-1

z

z

En la figura siguiente se muestra es sistema, indicando las cordenadas a usar: b (es r) y φ. Al lado derecho se dibuja el plano del anillo, indicándose la coordenada θ. Se muestran además los vectores unitarios utilizados en la resolución del problema.

er eθ

R

vo

R γ

α

vo R

b

Las ecuaciones generales para el movimiento en coordenadas esféricas son:

θ b

eγ

α

R

β

O

O y

φ x

eφ

Posición : Velocidad :

r = r er v = r& e r + rθ& e θ + r φ& sin θ e φ

Aceleración :

a = &r& − rθ& 2 − r φ& 2 sin 2 θ e r + r &θ& + 2r& θ& − r φ& 2 sin θ cos θ e θ + (r &φ& sin θ + 2r& φ& sin θ + 2r θ& φ& cos θ) e φ

(

)

(

)

Identificando los términos:

(

2 && = −2R sin α α &r& = b && + cosα α&

r = b = 2R cosα ⇒ r& = b& = −2R sin α α& α=

γ γ& v ⇒ α& = = o 2 2 2R

α && =

θ = β + α ⇒ θ& = β& + α& = β& + φ& = Ω

&γ& =0 2

vo 2r

)

2

⇒

b& = − v o sin α

&& = − b

vo cosα 2R

&θ& = β && + α && && = β

&φ& = 0

Evaluando en las expresiones generales se tiene:

v   v = − v o sin α e r + 2R cos α  β& + o  e θ + 2RΩ cos α sin (β + α ) e φ 2 R 

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-13

2  v 2   & vo  o a = − cos α − 2R cos α  β +  − 2RΩ 2 cos α sin 2 (β + α ) e r + 2R   2R     v && + 2(− v o sin α )  β& + o  − 2R cos α Ω 2 sin(β + α ) cos(β + α ) e θ +  2R cos α β 2R    

  vo    Ω cos(β + α ) e φ =  2(− v o sin α ) Ω sin(β + α ) + 2(2R cos α )  β& + 2R      vo2  = − cos α  + 2Rβ& 2 + 2 v o β& + 2RΩ 2 sin 2 (β + α ) e r +  R 

(

)

  v && − Ω 2 sin(β + α ) cos(β + α ) − v o  β& + o  sin α  e θ + 2  R cos α β 2R       v   2Ω  − v o sin α sin(β + α ) + 2R cos α β& + o  cos(β + α ) e φ 2R    

2.4.10 Coordenadas Polares En el caso de una partícula que se mueve en un plano único, se puede utilizar el sistema de coordenadas cilíndricas, ubicando el eje z perpendicular al plano, con el origen en el plano. El sistema resultante se conoce como coordenadas polares. La posición, velocidad y aceleración de una partícula en este sistema se obtienen haciendo z=cte=0 en las ecuaciones generales del sistema cilíndrico. Usualmente se denota r en lugar de ρ:

r = re r v = r& e r + rφ& e φ

Posición : Velocidad :

(

)

a = &r& − rφ& 2 e r + (r&φ& + 2r&φ& ) e φ

Aceleraciòn :

El significado físico de estas expresiones se puede entender de la figura, donde se muestra la trayectoria y el sistema de coordenadas polares para una partícula en movimiento plano. eφ A’ y

r’=r+∆r

∆φ

∆r

∆rφ A

er

v'r

A’

∆rr

vφ A

r

φ

v’

v’φ

v vr

Trayectoria

Cambio de posición

x

Cambio de velocidad

∆vφ

(∆vφ)φ

(∆vφ)r

(∆vr)φ

∆vr

vφ v’φ

v'r

∆φ φ

vr

(∆vr)r

Componentes del cambio de velocidad

En el instante t la partícula está en A, en una posición r, definida por r y φ. Un instante ∆t después está en A’, siendo ∆r el cambio de posición. Las componentes polares de ∆r son:

∆r = ∆r r + ∆r φ CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-14

donde ∆rr y ∆rφ son las componentes de ∆r en las direcciones r y φ respectivamente. Suponiendo un intervalo muy pequeño de tiempo, el módulo de ∆rr es igual a la variación del módulo de r, es decir, ∆r, y el módulo de ∆rφ se puede aproximar a la longitud del arco r∆φ. Se tiene entonces:

∆ r = ∆r e r + r ∆φ e φ eφ

a

Dividiendo por ∆t, y en el límite cuando ∆t tiende a cero, se tiene:

v=

dr dφ er + r e φ = r& e r + rφ& e φ dt dt

aφ

A’ er

y A

Para estudiar la aceleración, la velocidad en ambas posiciones A y A’ es representada en sus componentes polares vr y vφ Las variaciones de estas componentes, ∆vr y ∆vφ respectivamente, se representan en sus componentes polares.

ar

r

φ

∆ v r = (∆ v r )r + (∆ v r )φ

Trayectoria

Aceleración

∆ v φ = (∆ v φ )r + (∆ v φ )φ

x

Las magnitudes de estas componentes se pueden obtener de la figura:

Cambio de magnitud de v r ⇒ ( ∆ v r ) r

y

( ∆ v r ) r = ∆ ( r& )

Cambio de dirección de v r ⇒ ( ∆ v r ) φ

y

( ∆ v r ) φ = r& ∆ φ

Cambio de magnitud de v φ ⇒ ( ∆ v φ ) φ

y

( ∆ v φ ) φ = ∆ ( rφ& )

Cambio de dirección de v φ ⇒ ( ∆ v φ ) r

y

( ∆ v φ ) r = v φ ∆ φ = rφ& ∆ φ

Dividiendo por ∆t, en el límite cuando ∆t tiende a cero, y agrupando términos, se tiene:

(

)

dφ   d ( r& )  d φ d ( rφ& )  a = &r& =  e r +  r& − rφ& e φ = &r& − rφ& 2 e r + (2r& φ& + r&φ& ) e φ +  dt  dt   dt  dt Examinando las variaciones de los vectores involucrados se ha obtenido para v y a las mismas expresiones antes derivadas en forma totalmente analítica.

Movimiento circular El movimiento circular de una partícula en torno a un punto cualquiera se describe fácilmente utilizando un sistema de coordenadas polares con el origen en el centro de rotación, haciendo r = R = cte. En este caso es usual usar la siguiente notación: &φ& = α aceleració n angular φ& = ω velocidad angular La velocidad y aceleración están dadas por las siguientes expresiones

Velocidad : Aceleraciò n :

v = rω e φ a = − rω 2 e r + rα e φ

La velocidad, que en todo instante es tangente a la circunferencia, es perpendicular al radio. El término -rω2 corresponde a la aceleración centrípeta y es una medida del cambio de la dirección de la velocidad. El segundo término, rα, es la aceleración tangencial y mide el cambio de módulo de la velocidad.

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-15

y

EJEMPLO 2-4 Dos partículas comienzan simultáneamente sus movimientos en el punto A, con rapidez vo. La partícula 1 se desplaza con movimiento uniformemente retardado con aceleración -ao a lo largo del diámetro AB de la circunferencia de radio r contenida en el plano horizontal. La partícula 2 se desplaza a lo largo de la semi- A circunferencia AB con aceleración tangencial constante ao. Suponiendo que ambas partículas alcanzan simultáneamente el punto B, determine el valor de ao para que esta situación sea posible y el valor de la aceleración de la partícula 2 cuando alcanza el punto B.

2r

B

x

CINPAR15 Cert. 1 -05-1 SOLUCION Sea t1 el tiempo que demoran las partículas en llegar al punto B. Ec. Trayectoria partícula 1 que se mueve a lo largo del eje x:

v = vo − aot

x = v o t − 12 a o t 2

⇒

Ec. Trayectoria partícula 2 que se mueve a lo largo del semicírculo AB:

v t = vo + aot

s = v o t + 12 a o t 2

⇒

Haciendo x=2r y s=2πr para t=t1, se tiene

2r = v o t 1 − 12 a o t 1

2

πr = v o t 1 + 12 a o t 1

2

Sumando ambas ecuaciones:

2r + πr = 2v o t 1

⇒

t1 =

r (π + 2) vo 2

ao se obtiene reemplazando t1 en cualquiera de las ecuaciones anteriores:

ao = 2

v o t 1 − 2r t1

2

v =4 o r

2

(π − 2) (π + 2)2

Aceleración de partícula 2 en B: La aceleración de la partícula 2 determina mediante sus componentes tangencial y normal. tangencial de a2 tiene módulo constante igual a ao En B:

a 2t

v = −a o e y = −4 o r

2

La componente

(π − 2) e y (π + 2) 2

La componente normal de a2 es la aceleración centrípeta. En B es:

a 2n

a 2n

2 [ v 2 (t 1 )] =− e

r

v =− o r

2

x

=−

(3π − 2)2 e x (π + 2)2

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

(v o + a o t 1 )2 r

2      v +  4 v o (π − 2)  r (π + 2)    o  r (π + 2)2  v o 2       ex = − r

v a2 = − o r

2

2

(3π − 2)2 e − 4 v o 2 (π − 2) e y x r (π + 2) 2 (π + 2)2

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-16

2.4.11 Coordenadas Locales Supóngase una partícula que describe una cierta trayectoria en un plano dado. Para un y instante t, el movimiento de la partícula se puede representar como un movimiento circular en torno a un punto O, conocido como centro instantáneo de rotación. La distancia ρ entre O y el punto A de la trayectoria es el radio instantáneo de curvatura. Dadas estas condiciones, la velocidad es perpendicular al radio instantáneo de curvatura. En general, tanto la posición de O como el radio ρ cambian de instante a instante.

v’

et

∆v O

A’

∆θ ρ

∆vn

v

∆s = ρ∆θ en

v’

A

v

Componentes del cambio de velocidad

Trayectoria Cambio de posición

∆θ

x

Las componentes tangencial y normal se definen con respecto a la trayectoria. correspondientes, et y en, cambian a cada instante.

Los vectores unitarios

La velocidad tiene la dirección de et Supóngase un intervalo de tiempo pequeño. Entonces, se puede considerar que O y ρ no cambian en el intervalo. El camino recorrido en el intervalo se puede calcular como ∆s=ρ∆θ. El módulo de la velocidad media en el intervalo es ∆s/∆t = ρ∆θ./∆t. En el límite, el módulo de la velocidad instantánea resulta v = ρdθ./dt . La velocidad es entonces:

v = ρθ& e t La variación de la velocidad en el mismo intervalo se puede representar en las componentes tangencial y normal (ver figura). La componente normal ∆vn se debe el cambio de dirección de v. Su módulo es v∆θ La componente tangencial ∆vt se debe al cambio de la magnitud de v. Su módulo es ∆(ρdθ./dt). Dividendo por ∆t, en el límite, se obtiene la siguiente expresión para la aceleración:

a = vθ& e n + (ρ&θ& + ρ& θ& ) e t

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-17

2.5 MOVIMIENTO RELATIVO 2.5.1

z’

Definiciones

Supóngase una partícula P que se mueve sobre la superficie de un disco, el cual a su vez se mueve y rota en el espacio. El movimiento absoluto de la partícula se evalúa utilizando un sistema S(x,y,z) fijo en el espacio. Este análisis, que puede ser bastante complejo, se puede facilitar considerando por separando el movimiento de la partícula con respecto al disco, y agregando los efectos del movimiento del disco. Para estudiar el movimiento en el disco, se puede utilizar un sistema S’ (x’,y’,z’) fijo al disco y que, por lo tanto, se mueve con el disco. En lo que sigue se estudiará las relaciones entre ambos sistemas. x

O’ x’ z y’ O

Sean S y S’ dos sistemas de referencia en coordenadas cartesianas, con orígenes O y O’ respectivamente. En el caso general, ambos sistemas tienen orígenes diferentes y los ejes tienen inclinaciones o posiciones angulares diferentes, tal como se muestra en la figura. La siguiente es la notación utilizada para representar un vector cualquiera en ambos sistemas.

V = Vx e x + Vy e y + Vz e z V ' = V x' e x' + V y ' e y ' + V z ' e z '

Vector Vector

en en

componente s

sistema

componente s

P

y

z z’ rP/O=r

S

sistema

P rP/O’=r’

O

S'

x Nótese que cada una de las componentes de los vectores puede estar expresada en función de las coordenadas de cualquiera de los sistemas. La posición de un punto P cualquiera se puede representar en ambos sistemas:

r = rP/O

Vector posición de P en sistema S

r' = r P / O '

Vector posición de P en sistema S'

y rO’/O=R

O’

x’

La posición de O’ con respecto a O, medida en S, es:

R = r O '/ O La relación entre los vectores posición medidos en ambos sistemas es:

r = R + r' La velocidad y la aceleración de P se pueden obtener derivando la expresión anterior en el sistema S:

dr d dR dr' = (R + r') = + dt dt dt dt 2 2 2 d r d d R d 2 r' = 2 = 2 (R + r') = + 2 dt dt dt 2 dt

v = vP/O = a = aP /O

Conocido el movimiento relativo entre dos sistemas de referencia, y utilizando las relaciones entre las posiciones medidas en ambos sistemas, se puede encontrar las relaciones entre el movimiento evaluado en ambos sistemas. En lo que sigue se estudiará la forma de evaluar estas relaciones. Se supondrá que el sistema S’, conocido como sistema relativo, se mueve con respecto al sistema S.

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-18

y’

2.5.2

Movimiento Relativo entre Sistemas de Referencia

a) Caracterización del movimiento En el caso general, el movimiento relativo entre sistemas incluye traslaciones y rotaciones. La traslación corresponde al caso en que todos los puntos fijos al sistema S’, en particular el origen O’, se mueven con la misma velocidad con respecto a O. Esto significa que los ejes del sistema S’ no rotan, es decir, mantienen sus posiciones angulares con respecto a los ejes de S. El movimiento relativo entre los sistemas queda definido por el movimiento de O’ con respecto a O.

& = v O' / O = V r& O' / O = R & = a O' / O = A &r&O' / O = V

Velocidad de O' en sistema S Aceleración de O' en sistema S'

En el caso de movimiento de rotación, la posición angular de los ejes del sistema S’ cambia en el tiempo. Cualquier recta fija a S’ rota con la misma velocidad angular ω con respecto a S. En particular, los ejes x’, y’, z’, rotan con la misma velocidad ω. El movimiento de rotación queda entonces definido esta velocidad angular ω .

ω S '/ S = ω

Velocidad de rotación de S' con respecto a S

b) Derivadas temporales Resulta claro que la medición de los cambios de ciertas cantidades físicas dependerá del sistema de referencia en que se evalúe la medición. Es importante entonces definir claramente el sistema de referencia en que se evalúa las derivadas temporales de estas cantidades físicas. Por ejemplo, la velocidad V y la aceleración A del punto O’, así como la velocidad angular ω de S’ con respecto a S han sido definidas en S, por lo que deben ser evaluadas en este sistema. Se estudiarán las derivadas temporales de cantidades físicas con respecto a ambos sistemas, utilizando la siguiente notación:  dV  & Derivada temporal de V evaluada en S =   =V  dt  S

 dV  &' Derivada temporal de V evaluada en S' =  =V  dt   S' Las velocidades y aceleraciones de la partícula en ambos sistemas son: Velocidad de P en sistema S :

 dr  v P / O =   = r& P / O = v  dt  S

Velocidad de P en sistema S' :

 d r'  ' v P / O' =   = r& ' P / O' = v' dt   S'

Aceleración de P en sistema S :

 dv  a P / O =   = v& P / O = a  dt  S

Aceleración de P en sistema S' :

 d v'  ' a P / O' =   = v& ' P / O' = a'  dt  S'

Se estudiará las relaciones entre las derivadas evaluadas en ambos sistemas, tanto para vectores como para escalares. Escalares: Para una cantidad escalar cualquiera B, la derivada temporal evaluada en ambos sistemas es la misma:

& =B &' B CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-19

Vectores: Sea V un vector cualquiera. La expresión de V en componentes de S’ es:

V = V1' e1' + V2' e 2' + V3' e 3' =

∑ Vj' e j' j'

La derivada temporal de V medida en S es:

& = V

∑ V& j' e j' + ∑ Vj' e& j'

j' j' Nótese que en esta expresión aparecen las derivadas temporales de los vectores unitarios ej’ de S’ los que varían en el tiempo al estar rotando. La derivada temporal de V medida en S’ es:

& '= V

∑ V& ' j' e j' j'

Nótese que en esta expresión no aparecen las derivadas temporales de los vectores unitarios ej’ ya que están fijos a S’. Además, dado que Vj’ es un escalar, sus derivadas temporales en ambos sistemas son iguales, es decir:

& ' j' = V & j' V Comparando ambas expresiones para la derivada de V, se obtiene la siguiente relación entre las derivadas evaluadas en ambos sistemas:

& =V & '+ ∑ Vj' e& j' V j'

Los resultados obtenidos serán utilizados para estudiar el movimiento relativo entre ambos sistemas.

2.5.3

Movimiento Relativo a Ejes en Traslación

De acuerdo a la definición anterior de traslación, los ejes del sistema S’ no rotan, es decir, mantienen sus posiciones angulares con respecto a S. En este caso, las derivadas en S de los vectores unitarios de S’ son nulas. Esto quiere decir que la derivada temporal de un vector es la misma en ambos sistemas. Reemplazando en la ecuación anterior:

& =V &' V

Recordando las ecuaciones obtenidas para la velocidad y aceleración de P:

dr d d R dr ' dr ' = (R + r') = + =V+ dt dt dt dt dt 2 2 2 2 d r d d R d r' d 2 r' = 2 = 2 (R + r') = + = + A dt dt dt 2 dt 2 dt 2

v = vP/O = a = aP /O

En estas ecuaciones las derivadas están evaluadas en S. Los términos R, V y A están definidos en S, por lo que calcular sus derivadas no representa problemas. Sin embargo, r’ es un vector definido en S’. Su derivada en S puede ser calculada en términos de su derivada en S´. Recordando el resultado anterior, se puede escribir:

 dr '   dr '    =  = r& ' = v'  dt  S  dt  S'  d 2 r'   2    =  d r'  = v& ' = a'  dt 2   2    S  dt  S'

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-20

Reemplazando en las ecuaciones de movimiento relativo se llega a :

v = V + v' a = A + a' 2.5.4

Ejes en Rotación

z

a) Derivadas temporales Supóngase el caso en que los orígenes de ambos sistemas S y S´ coinciden en todo instante, pero S’ rota con respecto a S con una velocidad angular ω. Esto significa que cualquier recta fija a S´, en particular los ejes x’, y’, z’, rotan con la misma velocidad ω.. Los vectores unitarios de S’ cambian en el tiempo en S. Para determinar las derivadas temporales de los ej’ se estudiará el efecto de una variación infinitesimal dθ de la posición angular de los ejes de S´ con respecto a S. En términos de sus componentes en S’, dθ es:

z’

dθ

ω

y’

O– O’

y

x

dθ = dθx'ex' + dθy' ey' + dθz' ez'

x’ z’

En la figura se aprecia el cambio dex’ debido al cambio de posición de ex’. Las componentes de dex’ se calculan en términos de las componentes de la rotación:

dθz’

dθ x' : no produce var iación

dθ y' : var iación = de x' dθ y' (− e z' ) = − dθ y' e z'

dθx’

dθ z' : var iación = de x' dθ z' (e y' ) = dθ z' e y ' ⇒ d e x' = dθ z ' e y ' − dθ y ' e z '

ex’

dθy’

dθz’ ey’

x’ -dθy’ ez’

La derivada temporal de ex’ es entonces:

e’x’

dθ

dex’

 de x'   = e& x' = ω z' e y' − ω y' e z'   dt  S Esta expresión se puede escribir como:

e& x' = ω × e x'

En forma similar se obtiene:

e& y' = ω × e y' e& z' = ω × e z' Reemplazando en la expresión para la derivada temporal:

& )' + = (V

& V

∑ Vj' ω × e j'

& )' + = (V

j'

∑ ω × (Vj' e j' ) j'

ó & V

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

& )' + ω × V = (V

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-21

y’

b)

Propiedades del Vector Velocidad Angular

ωs' / s = − ω s / s' ωs'' / s = − ω s' / s + ω s'' / s' ω & s' / s = ω & 's' / s

2.5.5

(la derivada temporal de ω es la misma en ambos sistemas)

Movimiento Relativo a Ejes en Rotación

Se estudia ahora el caso general en que el sistema S’ se traslada y rota con respecto a S. Conocidas las relaciones entre los vectores posición y entre las derivadas de vectores en ambos sistemas, se obtienen las relaciones entre las velocidades y aceleraciones de una partícula medidas en ambos sistemas. a)

Posición:

r = R + r'

b) Velocidad: Derivando la expresión para la posición se obtiene:

r&

=

& + r& ' R

Donde las derivadas temporales se evalúan en el sistema S. De los resultados anteriores se tiene

r& = r& P / O = v P / O = v Velocidad de P en sistema S & = r& O'/ O = v O'/ O = V R Velocidad de O' en sistema S d [r']S = Derivada de r' en S r& ' = dt d [r']S' + ω × r' = Velocidad de P en S' + ω × r' = dt = v'+ ω × r' Por lo tanto:

v

=

V + v' + ω × r'

Esta ecuación es la expresión general para la velocidad relativa en un sistema en traslación y rotación simultáneas. c) Aceleración: Derivando la expresión para la velocidad se obtiene:

v&

=

& + V

d [v'+ ω × r' ] S dt

donde:

d [v'+ ω × r' ] S = d [v'+ ω × r' ] S' + ω × [v'+ ω × r' ] dt dt d [v'] S' + d [ω] S' × r' + ω × d [r'] S' + ω × v' + ω × (ω × r') = dt dt dt = a' + ω & × r' + 2 ω × v' + ω × (ω × r') La aceleración es:

a = A + a' + ω & × r' + ω × (ω × r') + 2 ω × v' Esta ecuación es la expresión general para la aceleración relativa en un sistema en traslación y rotación simultáneas. CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-22

ω & × r' representa la componente tangencial de la aceleración de un punto coincidente con P en el instante dado pero fijo a S’

ω × (ω × r') representa la componente normal de la aceleración de un punto coincidente con P en el instante dado pero fijo a S’

2 ω × v' corresponde a la aceleración de Coriolis

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Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-23

EJEMPLO 2-1-a CINPAR12.DOC - C1-2004-1

Se estudiará el sistema del Ejemplo 2.1, utilizando los principios del movimiento relativo. a) Caso (1) Sistema x’-y’ con origen O’ coincidiendo con A y orientado según ángulo ϕ como se muestra en figura. Se usarán los vectores unitarios mostrados en la misma figura.

el

y y

eθ y’

r

P

l θ A

O ϕ

x

r' = l cos θ e x' + l sin θ e y' = l e l

x’

x

v' = lθ& e θ ω = − ω e z' V = −rω e y' v =

⇒ ω x r' = − ω l e θ

v'+ V + ω x r' = lθ& e θ − rω e y' − ωl e θ

= − l(θ& − ω) sin θe x' + [− rω + l(θ& − ω) cos θ]e y' = =

ω = l(θ& − ω) e θ − rω e y' =

[− l(θ& − ω) sin θ cos ϕ − [− rω + l(θ& − ω) cos θ]sin ϕ]e x + [− l(θ& − ω) sin θ sin ϕ + [− rω + l(θ& − ω) cos θ]cos ϕ]e y = [rω sin ϕ − l(θ& − ω) sin(θ + ϕ)]e x + [− rω cos ϕ + l(θ& − ω) cos(θ + ϕ)]e y

c)

y

Caso (2)

Sistema x’-y’ con origen O’ coincidiendo con punto de despegue de la cuerda, orientado según se muestra en la figura.

P

y’

s

x’

Se usarán los vectores unitarios mostrados en la misma figura.

r O

β A ϕ x

r' = se y' = (l − rβ)e y' v' = −rβ& e y' ω = (ϕ& + β& ) e z' = (β& − ω) e z' V = r(ϕ& + β& ) e y' = r(β& − ω)e y' v = =

=

v'+ V + ω x r' =

⇒ ω x r' = −(β& − ω)(l − rβ) e x'

ω

− rβ& e y' − (β& − ω)(l − rβ) e x' + r(β& − ω)e y'

− (β& − ω)(l − rβ) e x' − rωe y'

[− (β& − ω)(l − rβ) cos(ϕ + β) + rω sin(ϕ + β)]e x + [− (β& − ω)(l − rβ) sin(ϕ + β) − rω cos(ϕ + β)]e y

Los resultados obtenidos de ambas formas son los mismos

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Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-24

z

z

EJEMPLO 2-3-a

z’

CINPAR13.DOC - C1-2004-1

Se estudiará el sistema del Ejemplo 2.3, utilizando los principios del movimiento relativo.

er

En la figura siguiente se muestra el sistema, indicando las cordenadas a usar. El sistema realativo x’-y’-z’ tiene origen coincidente con el sistema fijo X-Y-Z. z’ está dirigido según los extremos del anillo. x’ se define en el plano del anillo, normal a z’. y’ resulta entonces coincidente con la dirección φ. x Las ecuaciones generales velocidad y aceleración son:

para

eθ

R

vo

vo

b

R

R γ

α

θ b

eγ

α

R

β

O

O y

φ

x’

eφ

la

v = V + v' + ω × r' a =

A + a' + ω & × r' + ω × (ω × r') + 2 ω × v'

Evaluando los términos, considerando los vectores en componentes esféricas, se tiene:

V=0

A=0

ω = β& e φ + Ω e z = Ω cos(α + β) e r + β& e φ − Ω sin( α + β) e θ

(

)

&& e φ + β& e& φ = β && e φ + β& ω × e φ = β && e φ + β& [Ω cos(α + β) e r − Ω sin( α + β) e θ ] × e φ = ω & =β && e φ − β& Ω cos(α + β) e θ = −β& Ω sin( α + β ) e r + β r' = 2 r cos α e r v' = v o e γ = − v o sin α e r + v o cos α e θ v 2 a' = − o [ cos α e r + sin α e θ ] r

[

]

ω × r' = Ω cos(α + β ) e r + β& e φ − Ω sin(α + β) e θ × 2 r cos α e r = = 2 r Ω cos α sin(α + β ) e φ + 2 r β& cos α e θ

[

] [

]

ω × (ω × r') = Ω cos(α + β) e r + β& e φ − Ω sin( α + β ) e θ × 2rΩ cos α sin( α + β ) e φ + 2rβ& cos α e θ =

[ + [− 2rΩ

]

= − 2rβ& 2 cos α − 2rΩ 2 cos α sin 2 (α + β ) e r + [2rβ& Ω cos α cos(α + β )] e φ +

]

2 cos α cos(α + β ) sin( α + β ) e = θ

[

]

= −2r cos α β& 2 + Ω 2 sin 2 (α + β ) e r + 2rβ& Ω cos α cos(α + β ) e φ − − 2rΩ 2 cos α cos(α + β) sin( α + β ) e θ

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Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-25

[

]

&& e φ − β& Ω cos(α + β ) e θ × [2 r cos α e r ] = ω & × r' = − β& Ω sin( α + β ) e r + β && cos α e θ = 2 r Ω β& cos α cos(α + β ) e φ + 2 r β

[

]

2ω × v' = 2 Ω cos(α + β ) e r + β& e φ − Ω sin( α + β ) e θ × [− v o sin α e r + v o cos α e θ ] =

= −2 v o β& cos α e r + 2 v o Ω[cos α cos(α + β ) − sin α sin( α + β )] e φ − 2 v o β& sin α e θ = v = [− v o sin α e r + v o cos α e θ ] + 2rΩ cos α sin( α + β )e φ + 2rβ& cos α e θ = − v o sin α e r + 2rΩ cos α sin( α + β )e φ + cos α[v o + 2rβ& ]e θ

v 2 && cos α e θ + a = − o cos α e r + sin α e θ + 2r Ω β& cos α cos(α + β) e φ + 2r β r

[

] {

}

{− 2r cos α [ β& 2 + Ω 2 sin 2 (α + β)]er + 2r β& Ω cos α cos(α + β) eφ − 2r Ω 2 cos α cos(α + β) sin(α + β) eθ }+

{− 2v oβ& cos α er + 2v o Ω [ cos α cos(α + β) − sin α sin(α + β)] e φ − 2v oβ& sin α e θ } =

[

]

 v 2  =  − o cos α − 2r cos α β& 2 + Ω 2 sin 2 (α + β ) − 2 v o β& cos α  e r +  r 

[ 2r Ωβ& cos α cos(α + β) + 2r β& Ω cos α cos(α + β) + 2 v o Ω [cos α cos(α + β) − sin α sin(α + β)]] e φ +  v 2 && cos α − 2r Ω 2 cos α cos(α + β ) sin( α + β) − 2 v o β& sin α  − o sin α + 2r β r 

  eθ 

 v 2  = − cos α  o + 2r β& 2 + 2r Ω 2 sin 2 ( α + β) + 2 v o β&  e r +  r  2Ω [2r β& cos α cos(α + β ) + v o cos( 2α + β ) ] e φ +  v 2 && cos α − rΩ 2 cos α cos(α + β ) sin( α + β) − v oβ& sin α 2  − o sin α + rβ 2 r 

  eθ 

Resultado idéntico al obtenido por coordenadas esféricas.

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Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-26

EJEMPLO 2-5 El sistema de la figura z consiste en un disco rígido horizontal, de radio 2R, que rota en torno al eje vertical y p que pasa por su centro. Un segundo disco, vertical, de P radio R, se ubica en una ranura del primer disco, y rota en torno a su centro, unido por un pasador al primer x R disco. Una partícula P desliza 2R a lo largo de una ranura radial O en el disco vertical. Suponiendo que el disco horizontal rota con velocidad angular Ω constante, que el disco vertical rota con Ω velocidad angular p constante, y que la partícula se desplaza con rapidez vo a lo largo de la ranura, determine la velocidad y aceleración absolutas de la partícula utilizando: ƒ Principio de movimiento relativo. ƒ Coordenadas curvilíneas. ƒ Demuestre que ambos resultados son iguales. CINPAR16 Cert. 1 -05-1 SOLUCION a)

x’

General

En la figura se muestra la partícula y el sistema de referencia x-y-z absoluto. La posición angular del diámetro del disco está definida por el ángulo φ del sistema cilíndrico. La distancia entre el centro del disco y la partícula en un instante cualquiera es r. La posición angular de r con respecto al plano horizontal está definida por α.

b)

z

y p

y’

P r R

2R

eφ α

eρ

φ

x

O

Movimiento relativo

z’

Ω

Dadas las condiciones del sistema, es conveniente escoger un sistema relativo x’-y’-z’ fijo al disco. En la figura se muestra el plano x’-y’ que coincide con el plano del disco. x’ coincide con la ranura a lo largo de la cual se mueve la partícula. z’ es perpendicular entonces al disco y está en el plano de la plataforma horizontal. En la figura se indican además los vectores unitarios ρ y φ, que corresponden a las direcciones de las coordenadas cilíndricas.

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Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-27

Ecuaciones generales:

r = R + r' v = V + v' + ω × r '

A + a' + ω & × r' + ω × (ω × r') + 2 ω × v'

a = Identificando términos:

R = R eρ

A = − RΩ 2 e ρ a' = 0

V = RΩ e φ

r' = r e x'

v' = v o e x'

ω = Ω e z + p e z' ω & = p e& z' = p [ω × e z' ] = p [(Ω e z + p e z' ) × e z' ] = p Ω e ρ En términos de los vectores unitarios de S’:

e ρ = cos α e x' − sin α e y' Para la velocidad:

e φ = −e z'

e z = sin α e x' + cos α e y'

ω × r' = (Ωe z + pe z' ) × (re x' ) = − Ωr cos αe z' + pr e y'

Î

v = V + v' + ω × r' = RΩe φ + v o e x' − Ωr cos αe z' + pr e y' = − RΩe z' + v o e x' − Ωr cos αe z' + pr e y' = v o e x' + pr e y' − Ω[R + r cos α ] e z'

Para la aceleración:

(

)

ω × (ω × r') = (Ωe z + pe z' ) × − Ωr cos α e z' + pr e y' = −rΩ 2 cos α e ρ + rΩp sin α e z' − rp 2 e x' =

(

)

= −rp 2 e x' − rΩ 2 cos α cos α e x' − sin α e y' + rΩp sin α e z' =

[

]

= −r p 2 + Ω 2 cos 2 α e x' + rΩ 2 sin α cos α e y' + rΩp sin α e z' ω & × r' = p Ω e ρ × r e x' = p r Ω sin α e z' 2ω × v' = 2(Ωe z + pe z' ) × (v o e x' ) = −2Ωv o cos α e z' + 2pv o e y'

Î

a =

(

A + a' + ω & × r' + ω × (ω × r') + 2 ω × v' =

[ (

)

]

)

= − RΩ 2 e ρ + (p r Ω sin α e z' ) + − r p 2 + Ω 2 cos 2 α e x' + rΩ 2 sin α cos α e y' + rΩp sin α e z' + + − 2Ωv o cos α e z' + 2pv o e y'

[ − r( p [

(

]

)

)

[

]

2 + Ω 2 cos 2 α − RΩ 2 cos α e + rΩ 2 sin α cos α + 2pv + RΩ 2 sin α e + x' y' o

+ [p r Ω sin α + rΩp sin α − 2Ωv o cos α ] e z'

]

[

]

= − rp 2 + (R + r cos α )Ω 2 cos α e x' + 2pv o + (R + r cos α )Ω 2 sin α e y' + Ω[− 2 v o cos α + 2rp sin α ] e z'

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Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-28

c) Coordenadas Cilíndricas Ecuaciones generales

r = ρe ρ + z e z v = ρ& e ρ + ρφ& e φ + z& e z

Posición : Velocidad :

(

)

2 a= ρ && − ρφ& e ρ + (ρ&φ& + 2ρ& φ& )e φ + &z&e z

Aceleraciòn : Identificando términos

ρ = R + r cos α

⇒ ρ& = r& cos α − r sin αα& = v o cos α − r p sin α

φ:

⇒ρ && = − v o sin α α& − r& p sin α − r p cos αα& = −p (2 v o sin α + r p cos α ) &φ& = 0 φ& = Ω

z = r sin α

⇒ z& = r& sin α + r cos α α& = v o sin α + r p cos α

⇒ &z& = v o cos αα& + r& p cos α − r p sin α α& = p (2 v o cos α − r p sin α )

Velocidad:

v = ρ& e ρ + ρφ& e φ + z& e z

= (v o cos α − r p sin α )e ρ + (R + r cos α )Ωe φ + (v o sin α + r p cos α )e z =

(

)

(

)

= (v o cos α − r p sin α ) cos α e x' − sin α e y' + (R + r cos α )Ω (− e z' ) + (v o sin α + r p cos α ) sin α e x' + cos α e y' =

[

]

= v o cos 2 α − r p sin α cos α + v o sin 2 α + r p sin α cos α e x' +

[

]

+ − v o sin α cos α + r p sin 2 α + v o sin α cos α + r p cos 2 α e y' + [− (R + r cos α )Ω ] e z' = = v o e x' + r p e y' − (R + r cos α )Ω e z' Aceleración:

(

)

2 a= ρ && − ρφ& e ρ + ( ρ&φ& + 2ρ& φ& )e φ + &z&e z

[

]

= − p (2 v o sin α + r p cos α ) − (R + r cos α )Ω 2 e ρ + [2(v o cos α − r p sin α )Ω ] e φ + [p(2 v o cos α − r p sin α )] e z

[− p (2v

o sin α + r p cos α ) − (R + r cos α )Ω

(

](

)

2 cos α e − sin α e x' y' + [2(v o cos α − r p sin α )Ω ] (− e z' ) +

)

+ [ p (2 v o cos α − r p sin α )] sin αe x' + cos αe y' =

[ + [ p (2 v

]

= − p (2 v o sin α + r p cos α ) cos α − (R + r cos α ) cos αΩ 2 + p (2 v o cos α − r p sin α ) sin α e x' +

]

2 o sin α + r p cos α ) sin α + (R + r cos α ) sin α Ω + p (2 v o cos α − r p sin α ) cos α e y' +

+ [− 2(v o cos α − r p sin α )Ω ] e z' =

[

]

[

]

= − rp 2 + (R + r cos α )Ω 2 cos α e x' + 2 v o p + (R + r cos α )Ω 2 sin α e y' − 2[ v o cos α − r p sin α ]Ω e z'

CIV 202 Mecánica Racional - UTFSM

Cap 2 Cinemática de la Partícula

2-29