Algebra Lineal Gustavo Rodríguez Gómez INAOE

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Espacios Vectoriales

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Contenido

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Espacios Vectoriales Terminología De…niciones Bases Dimensión de un espacio vectorial Sumas y sumas directas

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Terminología

El conjunto de números enteros positivos es denotado por N = f1, 2, . . .g. El conjunto de todos los enteros es denotado por Z.

El conjunto de números reales es denotado por R = ( ∞, ∞). El conjunto de números complejos es denotado por C. El conjunto de números racionales es denotado por Q.

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Campos

Sea K C. Diremos que K es un campo si satisface las siguientes condiciones 1

Si x, y 2 K , entonces x + y y xy son también elementos de K .

2

Si x 2 K , entonces x es también elemento de K . Si además x 6= 0, entonces x 1 es un elemento de K .

3

Los elementos 0 y 1 son elementos de K . El conjunto de números reales R y el conjunto de números complejos C y el conjunto de números racionales Q son campos. El conjunto de todos los enteros Z no es un campo.

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Subcampos

Sean K , L campos y supongamos que K subcampo de L.

L, diremos que K es un

Observemos que los campos que estamos considerando todos son subcampos de C. A los elementos de un campo K los llamaremos números o escalares.

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Espacios vectoriales Un espacio vectorial V sobre un campo K (V /K )es un conjunto de objetos que pueden ser sumados y multiplicados por elementos de K tal que: 1

2 3

4

5 6 7 8 9

8u, v 2 V se cumple u + v 2 V y 8λ 2 K y 8u 2 V se cumple λu 2 V . 8u, v , w 2 V se cumple (u + v ) + w = u + (v + w ). Existe un elemento de V , denotado por 0, tal que 0 + u = u + 0 8u 2 V Dado un elemento u 2 V , el elemento ( 1)u es tal que u + ( 1)u = 0. 8u, v 2 V , se tiene u + v = v + u. Si λ 2 K , entonces λ(u + v ) = λu + λv 8u, v 2 V . Si α, β 2 K , entonces (α + β)v = αv + βv . Si α, β 2 K , entonces (αβ)v = α( βv ) 8v 2 V . 8u 2 V , se cumple 1 u = u 1, 1 2 K .

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Subespacios vectoriales

De…nición Sea V un espacio vectorial y W vectorial de V si satisface 1 2 3

V . Diremos que W es un subespacio

Si v , w 2 W , entonces v + w 2 W .

Si v 2 W y λ 2 K , entonces λv 2 W .

El elemento 0 2 V es también un elemento de W .

Lema Si W1 y W2 son subespacios de V entonces W1 \ W2 es también un subespacio de V .

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Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales

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Si V = Rn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números reales.

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Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales

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Si V = Rn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números reales. Si V = Cn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números complejos.

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Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales

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2

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Si V = Rn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números reales. Si V = Cn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números complejos. Si V = Qn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números racionales.

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Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales

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Si V = Rn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números reales. Si V = Cn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números complejos. Si V = Qn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números racionales. Rn no es un espacio vectorial sobre el campo de los complejos.

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Ejemplos de espacios y subespacios vectoriales

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2

3

4 5

Si V = Rn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números reales. Si V = Cn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números complejos. Si V = Qn , entonces V es un espacio vectorial sobre el campo de números racionales. Rn no es un espacio vectorial sobre el campo de los complejos. Sea V = Rn y W = fv 2 Rn : v = (v1 , v2 , . . . , vn 1 , 0)g Rn , entonces W es un subespacio de Rn . Al subespacio W se le identi…ca con Rn 1 .

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Generadores (span) Ejemplo Sea V un espacio vectorial arbitrario y v1 , v2 , . . . , vn 2 V . Sean x1 , x2 , . . . , xn 2 K escalares. Una expresión del tipo de x1 v1 + x2 v2 +

+ xn vn ,

es llamada combinación lineal de v1 , v2 , . . . , vn . Sea W el conjunto de todas las combinaciones lineales de v1 , v2 , . . . , vn . Entonces W es un subespacio de V . Observación W = span fv1 , v2 , . . . , vn g =

(

n

∑ xi vi : vi 2 V ,

i =1

xi 2 K i = 1, 2, . . . , n

Al subespacio W se le llama el subespacio generado por v1 , v2 , . . . , vn . Si W = V entonces decimos que v1 , v2 , . . . , vn genera V sobre K . Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE)

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)

Bases

De…nición Sea V /K un espacio vectorial y v1 , v2 , . . . , vn 2 V . Diremos que v1 , v2 , . . . , vn son linealmente dependiente sobre K si existen elementos a1 , a2 , . . . , an 2 K no todos iguales a 0 tal que a1 v1 + a2 v2 +

+ an vn = 0.

Si no existen tales elementos diremos que v1 , v2 , . . . , vn son linealmente independiente sobre K .

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Bases

Lema Sea V un espacio vectorial sobre el campo K y v1 , v2 , . . . , vn elementos linealmente independientes de V . Entonces dos combinaciones de v1 , v2 , . . . , vn son iguales.

De…nición Una base de V sobre K es una sucesión de elementos fv1 , v2 , . . . , v g de V que satisfacen 1

span(v1 , v2 , . . . , vn ) = V ,

2

fv1 , v2 , . . . , v g son linealmente independientes.

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Representación de los elementos de V

Los elementos de V se pueden representar como n adas relativas a su base fv1 , v2 , . . . , vn g. Si v 2 V entonces se puede representar como una combinación lineal v = λ1 v1 + λ2 v2 +

+ λn vn

de los elementos de la base.

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Representación de los elementos de V

Los elementos de V se pueden representar como n adas relativas a su base fv1 , v2 , . . . , vn g. Si v 2 V entonces se puede representar como una combinación lineal v = λ1 v1 + λ2 v2 +

+ λn vn

de los elementos de la base. A (λ1 , λ2 , . . . , λn ) se le llaman las coordenadas de v respecto a la base fv1 , v2 , . . . , vn g de V .

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Subconjunto máximo linealmente independiente

De…nición Sea V un espacio vectorial sobre un campo K . Sea fv1 , v2 , . . . , vn g V y r n, diremos que fv1 , v2 , . . . , vr g es un subconjunto máximo de elementos linealmente independientes si v1 , v2 , . . . , vr son linealmente independientes, y si dada cualquier vi con i > r , los elementos v1 , v2 , . . . , vr , vi son linealmente dependientes.

Teorema Sea V un espacio vectorial, fv1 , v2 , . . . , vn g V tal que span(v1 , v2 , . . . , vn ) = V . Sea fv1 , v2 , . . . , vr g un subconjunto máximo de elementos linealmente independientes. Entonces fv1 , v2 , . . . , vr g es una base de V .

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Dimensión de un espacio vectorial Nuestro objetivo es demostrar que cualesquiera dos bases de un espacio vectorial tienen el mismo número de elementos. A partir de este resultado se podrá de…nir la dimensión de un espacio vectorial.

Teorema Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y fv1 , v2 , . . . , vm g una base de V . Sea w1 , w2 , . . . , wn son elementos de V y n > m, entonces w1 , w2 , . . . , wn son linealmente dependientes.

Teorema Sea V un espacio vectorial con dos bases. Suponga que una base tiene n elementos y la otra m elementos. Entonces m = n.

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Dimensión de un espacio vectorial De…nición Sea V un espacio vectorial con una base que consiste de n elementos. Diremos que n es la dimensión de V . Si V contiene únicamente el 0, entonces V no tiene base y diremos que V tiene dimensión 0.

Ejemplos El espacio vectorial Rn tiene dimensión n sobre R, el espacio vectorial Cn tiene dimensión n sobre C. En general, para cualquier campo K , el espacio vectorial K n tiene dimensión n sobre K .

De…nición Un espacio vectorial con una base que consista de un número …nito de elementos, o el espacio vectorial cero, es llamado espacio de dimensión …nita. Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE)

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Dimensión de un espacio vectorial Ejemplo Sea K un campo. Entonces K es un espacio vectorial sobre si mismo y tiene dimensión 1. Observe que el elemento 1 2 K forma una base de K .

De…nición Sea fv1 , v2 , . . . , vn g

V elementos linealmente independientes, diremos que forman un conjunto máximo de elementos linealmente independientes de V , si dado cualquier elemento w 2 V , los elementos fv1 , v2 , . . . , vn , w g son linealmente dependientes.

Teorema Sea V un espacio vectorial de dimensión n y fv1 , v2 , . . . , vn g V un conjunto linealmente independiente. Entonces fv1 , v2 , . . . , vn g constituye una base de V . Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE)

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Dimensión de un espacio vectorial Corolario Sea V un espacio vectorial y W un subespacio. Si dim V = dim W , entonces V = W .

Teorema Sea V un espacio vectorial con una base que consiste de n elementos. Sea W un subespacio diferente el nulo. Entonces W tiene una base y la dim W n.

Teorema Sea V un espacio vectorial de dimensión n y fv1 , v2 , . . . , vr g V elementos que son linealmente independientes. Entonces existen fvr +1 , vr +2 , . . . , vn g V tal que fv1 , v2 , . . . , vn g forman una base de V . Gustavo Rodríguez Gómez (INAOE)

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Sumas y sumas directas

De…nición Sea V un espacio vectorial sobre un campo K . Sean U, W subespacios de V . De…nimos la suma de U y W como U + W = fu + w : u 2 U, w 2 W g . Además, U + W es un subespacio de V .

De…nición Diremos que V es la suma directa, V = U W , si para cada elemento v 2 V existen elementos únicos u 2 U y w 2 W tal que v = u + w .

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Sumas y sumas directas

Teorema Sea V un espacio vectorial sobre un campo K y U, W subespacios de V . Si V = U + W , y si U \ V = f0g, entonces V es la suma directa de U y W.

Teorema Sea V un espacio vectorial de dimensión …nita sobre un campo K . Sea W un subespacio de V . Entonces existe un subespacio U de V tal que V = U W.

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Sumas y sumas directas

Teorema Si V es un subespacio vectorial de dimensión …nita sobre K , y es la suma directa de los subespacios U, W entonces dim V = dim U + dim W .

Ejemplo Sea V = R 3 sobre el campo R. Considere W como el subespacio generado por (1, 0, 0) y sea U el subespacio generado por (1, 1, 0) y (0, 1, 1). Entonces V = U W .

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