Ejercicios de Estad´ıstica y Probabilidad (2/3) Profr. Fausto Cervantes Ortiz

Distribuciones de probabilidad 1. Determine el valor c de modo que cada una de las siguientes funciones sirva como distribuci´on de probabilidad de la variable aleatoria discreta X: a) f (x) = c(x2 + 4), para x = 0, 1, 2, 3;    2 3 b) f (x) = c , para x = 0, 1, 2. x 3−x

R: 1/30 R: 1/10

2. La vida u ´til, en d´ıas, para frascos de cierta medicina de prescripci´on es una variable aleatoria que tiene la funci´ on de densidad  f (x) =

20000 (x+100)3

x>0 en cualquier otro caso.

0,

(1)

Encuentre la probabilidad de que un frasco de esta medicina tenga una vida u ´til de a) al menos 200 d´ıas;

R: 1/9

b) cualquier lapso entre 80 a 120 d´ıas.

R: 1000/9801

3. El n´ umero total de horas, medidas en unidades de 100 horas, que una familia utiliza una aspiradora en un periodo de un a˜ no es una variable aleatoria continua X que tiene la funci´on de densidad

f (x) =

 

x 0 < x < 1, 2−x 1 ≤ x < 2,  0, en cualquier otro caso.

(2)

Encuentre la probabilidad de que en un periodo de un a˜ no, una familia utilice su aspiradora a) menos de 120 horas;

R: 0.68

b) entre 50 y 100 horas.

R: 0.375

4. La proporci´ on de personas que responden a cierta encuesta enviada por correo es una variable aleatoria continua X que tiene la funci´ on de densidad  f (x) =

2(x+2) , 5

0 < x < 1, en cualquier otro caso.

0,

a) Muestre que P (0 < X < 1) = 1.

(3) R:

b) Encuentre la probabilidad de que m´as de 1/4 pero menos de 1/2 de las personas contactadas respondan a este tipo de encuesta. R: 19180 5. Un embarque de 7 televisores contiene 2 unidades defectuosas. Un hotel realiza una compra azar de 3 de los televisores. Si x es el n´ umero unidades defectuosas que compra el hotel, encuentre la distribuci´ on de probabilidad de X. Exprese los resultados de forma gr´afica como un histograma de probabilidad. R: (0,2/7), (1,4/7), (2,1/7)

1

6. Encuentre la funci´ on de distribuci´ on acumulada de la variable aleatoria X que represente el n´ umero de unidades defectuosas en el ejercicio 3.11. Con F (x), encuentre a) P (X = 1);

R: 4/7

b) P (0 < X < 2).

R: 5/7  0, x < 0,    2 , 0 ≤ x < 1, 7 F (x) = 6 , 1 ≤ x < 2,   7  1, x ≥ 2.

7. Una firma de inversiones ofrece a sus clientes bonos municipales que vencen despu´es de varios a˜ nos. Dado que la funci´ on de distribuci´ on acumulada de T , el n´ umero de a˜ nos de vencimiento para un bono que se elige al azar, es  0, t < 1,    1  , 1 ≤ t < 3,  4 1 , 3 ≤ t < 5, f (x) = 2  3  , 5 ≤ t < 7,  4   1, t ≥ 7.

(4)

encontrar a) P (T = 5);

R: 3/4

b) P (T > 3);

R: 3/4

c) P (1.4 < T < 6).

R: 1/2

8. La distribuci´ on de probabilidad de X, el n´ umero de imperfecciones por 10 metros de una tela sint´etica en rollos continuos de ancho uniforme, est´a dada por x 0 1 2 3 4

f (x) 0.41 0.37 0.16 0.05 0.01

Construya la funci´ on de distribuci´ on acumulada de X.

R: 0.41, 0.78, 0.94, 0.99, 1.00

9. El tiempo de espera, en horas, entre conductores sucesivos que exceden los l´ımites de velocidad detectados por un radar es una variable aleatoria continua con distribuci´on acumulada  F (x) =

0, x < 0, 1 − e−8x , x ≥ 0.

(5)

Encuentre la probabilidad de esperar menos de 12 minutos entre conductores sucesivos que exceden los l´ımites de velocidad a) usando la funci´ on de distribuci´ on acumulada de X;

R: 1 − e−96

b) utilizando la funci´ on de densidad de probabilidad de X.

R: 1 − e−96

10. Una variable aleatoria continua X que puede tomar valores entre x = 1 y x = 3 tiene una funci´ on de densidad dada por f (x) = 1/2. a) Mostrar que el ´ area bajo la curva es igual a 1.

R:

b) Encuentre P (2 < X < 2,5).

R: 1/4

c) Encuentre P (X < 1.6).

R: 0.3

2

Media y varianza de una variable aleatoria 1. La distribuci´ on de probabilidad de la variable aleatoria discreta X es 

3 x

f (x) =

  x  3−x 1 3 , 4 4

x = 0, 1, 2, 3.

Encuentre la media y la varianza de X.

R: 3/4,

2. La distribuci´ on de probabilidad de X, el n´ umero de imperfecciones por cada 10 metros de una tela sint´etica, en rollos continuos de ancho uniforme, est´a dada como x f (x)

0 0.41

1 0.37

2 0.16

3 0.05

4 0.01

Encuentre el n´ umero promedio de imperfecciones en 10 metros de esta tela, y la varianza.

R: 0.88

3. A un dependiente de un autolavado se le paga de acuerdo con el n´ umero de autom´oviles que lava. Suponga que las probabilidades son 1/12, 1/12, 1/4, 1/4, 1/6, y 1/6, respectivamente, de que el dependiente reciba $7, $9, $11, $13, $15 o $17 entre 4:00 p.m. y 5:00 p.m. en cualquier viernes soleado. Encuentre las ganancias que espera el dependiente para este periodo espec´ıfico, as´ı como la varianza. R: $12.67 4. Al invertir en unas acciones particulares, en un a˜ no un individuo puede obtener una ganancia de $4000 con probabilidad de 0.3, o tener una p´erdida de $1000 con probabilidad de 0.7. ¿Cu´al es la ganancia esperada por esta persona? Encuentre la varianza de la misma. R: $500 5. Suponga que un distribuidor de joyer´ıa antigua se interesa en comprar un collar de oro, para el que las probabilidades son 0.22, 0.36, 0.28 y 0.14, respectivamente, de que pueda venderlo con una ganancia de $250, venderlo con una ganancia de $150, venderlo al costo o venderlo con una p´erdida de $150. ¿Cu´ al es su ganancia esperada? ¿Cu´ al es la varianza? R: $88 6. Un piloto privado desea asegurar su avi´on por $200,000. La compa˜ n´ıa de seguros estima que puede ocurrir una p´erdida total con probabilidad de 0.002, una p´erdida de 50 % con probabilidad de 0.01 y una p´erdida de 25 % con probabilidad de 0.1. Si se ignoran todas las dem´as p´erdidas parciales, ¿qu´e prima deber´ıa cobrar cada a˜ no la compa˜ n´ıa de seguros para tener una utilidad promedio de $500? ¿Cu´al es la varianza asociada? R: $6900 7. Si la ganancia de un distribuidor, en unidades de $5000, para un autom´ovil nuevo se puede ver como una variable aleatoria X que tiene la funci´on de densidad  f (x) =

2(1 − x) 0 < x01, 0, en cualquier otro caso.

Encuentre la ganancia promedio por autom´ovil. Calcule la varianza.

R: $1667.67

8. Sea X una variable aleatoria con la siguiente distribuci´on de probabilidad: x f (x)

-2 0.3

3 0.2

Encuentre la media y la desviaci´ on est´andar de X.

5 0.5

R: 3.041

9. La variable aleatoria X, que representa el n´ umero de errores por 100 l´ıneas de c´odigo de programaci´ on, tiene la siguiente distribuci´ on de probabilidad: Encuentre la media y la varianza de X.

R: 0.74 3

x f (x)

2 0.01

3 0.25

4 0.4

5 0.3

6 0.04

10. Suponga que las probabilidades son 0.4, 0.3, 0.2 y 0.1, respectivamente, de que 0, 1, 2 ´o 3 fallas de energ´ıa el´ectrica afecten cierta subdivisi´ on en cualquier a˜ no dado. Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria X que representa el n´ umero de fallas de energ´ıa que afectan esta subdivisi´on. R: 1.0

Teorema de Chebishev 1. Suponga que lanza 500 veces un dado balanceado de 10 lados (0, 1, 2,..., 9). Con el teorema de Chebyshev, calcule la probabilidad de que la media de la muestra, X, est´e entre 4 y 5. R: 0.9340 2. Una variable aleatoria X tiene una media µ = 12, una varianza σ 2 = 9, y una distribuci´on de probabilidad desconocida. Usando el teorema de Chebyshev, estime a) P (6 < X < 18);

R: 3/4

b) P (3 < X < 21).

R: 8/9

3. Una variable aleatoria X tiene una media µ = 10 y una varianzaσ 2 = 4. Utilizando el teorema de Chebyshev, encuentre a) P (|X − 10| ≥ 3);

R: 4/9

b) P (|X − 10| < 3);

R: 5/9

c) P (5 < X < 15);

R: 21/25

d) el valor de la constante c tal que P (|X − 10| > c) ≤ 0.04.

R: 10

4. Calcule P (µ − 2σ < X < µ + 2σ) donde X tiene la funci´on de densidad  f (x) =

6x(1 − x), 0 < x < 1, 0, en cualquier otro caso.

y compare con el resultado dado por el teorema de Chebyshev.

R: 0.9839,0.75

5. Considere una variable aleatoria X con funci´on de densidad  f (x) =

1 5,

0,

0 ≤ x ≤ 5, en cualquier otro caso.

a) Encuentre µ = E(X) y σ 2 = E[(X − µ)2 ].

R: 2.5, 2.08

b) Demuestre que el teorema de Chebyshev es v´alido para k = 2 y k = 3.

Distribuciones discretas 1. Se elige a un empleado de un equipo de 10 para supervisar cierto proyecto, mediante la selecci´on de una etiqueta al azar de una caja que contiene 10 etiquetas numeradas del 1 al 10. Encuentre la f´ormula para la distribuci´ on de probabilidad de X que represente el n´ umero en la etiqueta que se saca. ¿Cu´ al es la probabilidad de que el n´ umero que se extrae sea menor que 4? R: 3/10 2. Se dan dos altavoces id´enticos a doce personas para que escuchen diferencias, si las hubiera. Suponga que estas personas responden s´ olo adivinando. Encuentre la probabilidad de que tres personas afirmen haber escuchado alguna diferencia entre los dos altavoces. R: 0.0537

4

3. En cierto distrito de la ciudad la necesidad de dinero para comprar drogas se establece como la raz´ on del 75 % de todos los robos. Encuentre la probabilidad de que entre los siguientes cinco casos de robo que se reporten en este distrito, a) exactamente 2 resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas;

R: 0.0879

b) al menos 3 resulten de la necesidad de dinero para comprar drogas.

R: 0.3672

4. De acuerdo con Chemical Engineering Progress (noviembre de 1990), aproximadamente 30 % de todas las fallas de operaci´ on en las tuber´ıas de plantas qu´ımicas son ocasionadas por errores del operador. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que de las siguientes 20 fallas en las tuber´ıas al menos 10 se deban a un error del operador? R: 0.0480 b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que no m´as de 4 de 20 fallas se deban al error del operador?

R: 0.2375

c) Suponga, para una planta espec´ıfica, que de la muestra aleatoria de 20 de tales fallas, exactamente 5 sean errores de operaci´ on. ¿Considera que la cifra de 30 %. anterior se aplique a esta planta? Comente. R: 0.1789 5. De acuerdo con una investigaci´ on de la Administrative Management Society, la mitad de las compa˜ n´ıas estadounidenses dan a sus empleados 4 semanas de vacaciones despu´es de 15 a˜ nos de servicio en la compa˜ n´ıa. Encuentre la probabilidad de que entre 6 compa˜ n´ıas encuestadas al azar, el n´ umero que da a sus empleados 4 semanas de vacaciones despu´es de 15 a˜ nos de servicio es a) cualquiera entre 2 y 5;

R: 0.875

b) menor que 3.

R: 0.3438

6. Un prominente m´edico afirma que 70 % de las personas con c´ancer pulmonar son fumadores empedernidos. Si su aseveraci´ on es correcta, a) encuentre la probabilidad de que de 10 de tales pacientes con ingreso reciente en un hospital, menos de la mitad sean fumadores empedernidos; R: 0.0474 b) encuentre la probabilidad de que de 20 de tales pacientes que recientemente hayan ingresado a un hospital, menos de la mitad sean fumadores empedernidos. R: 0.0171 7. De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de soci´ologos de la Universidad de Massachusetts, aproximadamente 60 % de los consumidores de Valium en el estado de Massachusetts tomaron Valium por primera vez a causa de problemas psicol´ogicos. Encuentre la probabilidad de que entre los siguientes 8 consumidores entrevistados de este estado, a) exactamente 3 comenzar´ an a tomar Valium por problemas psicol´ogicos;

R: 0.1239

b) al menos 5 comenzar´ an a consumir Valium por problemas que no fueron psicol´ogicos.

R: 0.5941

8. Al probar cierta clase de neum´ atico para cami´on en un terreno accidentado, se encuentra que 25 % de los camiones no completaban la prueba de recorrido sin ponchaduras. De los siguientes 15 camiones probados, encuentre la probabilidad de que a) de 3 a 6 tengan ponchaduras;

R: 0.7073

b) menos de 4 tengan ponchaduras;

R: 0.4613

c) m´ as de 5 tengan ponchaduras.

R: 0.1484

9. Seg´ un un reportaje publicado en la revista Parade, una encuesta a nivel nacional de la Universidad de Michigan a estudiantes universitarios de u ´ltimo a˜ no revela que casi 70 % desaprueban el consumo de mariguana. Si se seleccionan 12 estudiantes al azar y se les pide su opini´on, encuentre la probabilidad de que el n´ umero de los que desaprueban fumar mariguana sea a) cualquier valor entre 7 y 9;

R: 0.6294

b) a lo m´ as 5;

R: 0.0386

c) no menos de 8.

R: 0.7237

5

10. La probabilidad de que un paciente se recupere luego de una delicada operaci´on de coraz´on es 0.9. ¿Cu´ al es la probabilidad de que exactamente 5 de los siguientes 7 pacientes intervenidos sobrevivan? R: 0.1240 11. Un ingeniero de control de tr´ afico reporta que 75 % de los veh´ıculos que pasan por un punto de verificaci´ on son de residentes del estado. ¿Cu´ al es la probabilidad de que menos de 4 de los siguientes 9 veh´ıculos sean de otro estado? R: 0.8343 12. Un estudio examin´ o las actitudes nacionales acerca de los antidepresivos. El estudio revel´o que aproximadamente 70 % cree que “los antidepresivos en realidad no curan nada, s´olo disfrazan el problema real”. De acuerdo con este estudio, ¿cu´ al es la probabilidad de que al menos 3 de las siguientes 5 personas seleccionadas al azar tengan esta opini´on? R: 0.8369 13. Se sabe que el porcentaje de victorias para que el equipo de baloncesto Toros de Chicago pasara a las finales en la temporada 1996 1997 fue 87.7. Redondee 87.7 a 90 con la finalidad de utilizar la tabla A. 1. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que los Toros ganen los primeros 4 de los 7 de la serie final?

R: 0.6561

b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que los Toros ganen toda la serie final?

R: 0.0131

c) ¿Qu´e suposici´ on importante se realiza para contestar los incisos a) y b)?

R: 0.9

14. Se sabe que 60 % de los ratones inoculados con un suero quedan protegidos contra cierta enfermedad. Si se inoculan 5 ratones, encuentre la probabilidad de que a) ninguno contraiga la enfermedad;

R: 0.0778

b) menos de 2 contraigan la enfermedad;

R: 0.3370

c) m´ as de 3 contraigan la enfermedad.

R: 0.0870

15. Suponga que los motores de un avi´ on operan de forma independiente y fallan con probabilidad igual a 0.4. Suponiendo que un avi´ on tiene un vuelo seguro si funcionan al menos la mitad de sus motores, determine si un avi´ on de 4 motores o uno de 2 tiene la probabilidad m´as alta de un vuelo exitoso. R: el de 2 motores 16. Si X representa el n´ umero de personas del ejercicio 5.13 que creen que los antidepresivos no curan sino que s´ olo disfrazan el problema real, encuentre la media y la varianza de X cuando se seleccionan al azar 5 personas y despu´es utilice el teorema de Chebyshev para interpretar el intervalo µ ± 2σ. R: 3.5,1.05 17. a) ¿En el ejercicio 5.9 cu´ antos de los 15 camiones esperar´ıa que tuviera ponchaduras?

R: 3.75

b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev, ¿hay una probabilidad de al menos 3/4 de que el n´ umero de camiones entre los siguientes 15 que tengan ponchaduras caiga en un intervalo? ¿En cu´al? R: [0.396,7.104] 18. Un estudiante que maneja hacia su escuela encuentra un sem´aforo. Este sem´aforo permanece verde por 35 segundos, ´ ambar cinco segundos, y rojo 60 segundos. Suponga que el estudiante va a la escuela toda la semana entre 8.00 y 8:30. Sea X1 el n´ umero de veces que encuentra una luz verde, X2 el n´ umero de veces que encuentra una luz ´ ambar y X3 el n´ umero de veces que encuentra una luz roja. Encuentre la distribuci´ on conjunta de X1 , X2 y X3 . R: 19. Seg´ un el peri´ odico USA Today (18 de marzo de 1997) de 4 millones de trabajadores en la fuerza laboral, 5.8 % result´ o positivo en una prueba de drogas. De quienes resultaron positivos, 22.5 % fueron usuarios de coca´ına y 54.4 % de mariguana. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que de 10 trabajadores que resultaron positivos, 2 sean usuarios de coca´ına, 5 de mariguana y 3 de otras drogas? R: 0.0749 b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que de 10 trabajadores que resultaron positivos, todos sean usuarios de mariguana? R: 0.0023 c) ¿Cu´ al es la probabilidad de que de 10 trabajadores que resultaron positivos, ninguno sea usuario de coca´ına? R: 0.0782

6

20. La superficie de un tablero circular para dardos tiene un peque˜ no c´ırculo central llamado ojo de toro y 20 regiones en forma de rebanada de pastel numeradas del 1 al 20. Asimismo, cada una de estas regiones est´ a dividida en tres partes, de manera que una persona que lanza un dardo que cae en un n´ umero espec´ıfico obtiene una puntuaci´ on igual al valor del n´ umero, el doble del n´ umero o el triple de ´este, seg´ un en cu´ al de las tres partes caiga el dardo. Si una persona atina al ojo de toro con probabilidad de 0.01, atina un doble con probabilidad de 0.10, un triple con probabilidad de 0.05 y no le atina al tablero con probabilidad de 0.02, ¿cu´ al es la probabilidad de que 7 lanzamientos tengan como resultado ning´ un ojo de toro, ning´ un triple, un doble dos veces y dar fuera del tablero? R: 0.0095 21. De acuerdo con la teor´ıa gen´etica, cierta cruza de conejillos de Indias tendr´a cr´ıas rojas, negras y blancas con la relaci´ on 8:4:4. Encuentre la probabilidad de que entre 8 cr´ıas 5 sean rojas, 2 negras y 1 blanca. R: 21/256 22. Las probabilidades de que un delegado a cierta convenci´on llegue por avi´on, autob´ us, autom´ovil o tren son, respectivamente, 0.4, 0.2, 0.3 y 0.1. ¿Cu´al es la probabilidad de que entre 9 delegados a esta convenci´ on seleccionados al azar, 3 lleguen por avi´on, 3 por autob´ us, 1 en autom´ovil y 2 en tren? R: 0.0077 23. Un ingeniero de seguridad afirma que s´olo 40 % de todos los trabajadores utilizan cascos de seguridad cuando comen en el lugar de trabajo. Suponga que esta afirmaci´on es cierta, y encuentre la probabilidad de que 4 de 6 trabajadores elegidos al azar utilicen sus cascos mientras comen en el lugar de trabajo. R: 0.1382 24. Suponga que para un embarque muy grande de chips de circuitos integrados, la probabilidad de falla para cualquier chip es 0.10. Suponga que se cumplen las suposiciones en que se basan las distribuciones binomiales y encuentre la probabilidad de que a lo m´as 3 chips fallen en una muestra aleatoria de 20. R: 0.8670 25. Suponga que 6 de 10 accidentes automovil´ısticos se deben principalmente a que no se respeta el l´ımite de velocidad, y encuentre la probabilidad de que entre 8 accidentes automovil´ısticos 6 se deban principalmente a no respetar el l´ımite de velocidad a) mediante el uso de la f´ ormula para la distribuci´on binomial;

R: 0.2090

b) usando la tabla binomial.

R: 0.2090

26. Si la probabilidad de que una luz fluorescente tenga una vida u ´til de al menos 800 horas es 0.9, encuentre las probabilidades de que entre 20 de tales luces a) exactamente 18 tengan una vida u ´til de al menos 800 horas;

R: 0.2852

b) al menos 15 tengan una vida u ´til de al menos 800 horas;

R: 0.9887

c) al menos 2 no tengan una vida u ´til de al menos 800 horas.

R: 0.6083

27. Un fabricante sabe que, en promedio, 20 % de los tostadores el´ectricos que fabrica requerir´an reparaciones dentro de 1 a˜ no despu´es de su venta. Cuando se seleccionan al azar 20 tostadores, encuentre los n´ umeros x y y adecuados tales que a) la probabilidad de que al menos x de ellos requieran reparaciones sea menor que 0.5;

R: 0.20

b) la probabilidad de que al menos y de ellos no requieran reparaciones sea mayor que 0.8.5.42 R: 0.80 28. La probabilidad de que una persona, que vive en cierta ciudad, tenga un perro se estima en 0.3. Encuentre la probabilidad de que la d´ecima persona entrevistada al azar en esta ciudad sea la quinta que tiene un perro. R: 0.0515 29. Un cient´ıfico inocula a varios ratones, uno a la vez, con el germen de una enfermedad hasta que encuentra a 2 que contraen la enfermedad. Si la probabilidad de contraer la enfermedad es 1/6, ¿cu´al es la probabilidad de que se requieran 8 ratones? R: 0.0651

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30. El estudio de un inventario determina que, en promedio, las demandas de un art´ıculo particular en un almac´en se realizan 5 veces al d´ıa. ¿Cu´al es la probabilidad de que en un d´ıa dado se pida este art´ıculo a) m´ as de 5 veces?

R: 0.3840

b) ninguna vez?

R: 0.0067

31. Encuentre la probabilidad de que una persona que lanza una moneda obtenga a) la tercera cara en el s´eptimo lanzamiento;

R: 0.1172

b) la primera cara en el cuarto lanzamiento.

R: 1/16

32. Tres personas lanzan una moneda legal y el disparejo paga los caf´es. Si todas las monedas tienen el mismo resultado, se lanzan de nuevo. Encuentre la probabilidad de que se necesiten menos de 4 lanzamientos. R: 63/64 33. De acuerdo con un estudio publicado por un grupo de soci´ologos de la Universidad de Massachusetts, en Estados Unidos cerca de dos tercios de los 20 millones de personas que consumen Valium son mujeres. Suponga que esta cifra es una estimaci´on v´alida, y encuentre la probabilidad de que en un d´ıa dado la quinta prescripci´ on de Valium que da un m´edico sea a) la primera que prescribe Valium para una mujer;

R: 2/243

b) la tercera que prescribe Valium para una mujer.

R: 16/81

34. La probabilidad de que un estudiante para piloto apruebe el examen escrito para obtener una licencia de piloto privado es 0.7. Encuentre la probabilidad de que el estudiante aprobar´a el examen a) en el tercer intento;

R: 0.0630

b) antes del cuarto intento.

R: 0.9730

35. En promedio en cierto crucero ocurren tres accidentes de tr´ansito por mes. ¿Cu´al es la probabilidad de que para cualquier mes dado en este crucero a) ocurran exactamente 5 accidentes?

R: 0.1008

b) ocurran menos de 3 accidentes?

R: 0.4232

c) ocurran al menos 2 accidentes?

R: 0.8009

36. Una secretaria comete dos errores por p´agina, en promedio. ¿Cu´al es la probabilidad de que en la siguiente p´ agina cometa a) 4 o m´ as errores?

R: 0.1429

b) ning´ un error.

R: 0.1353

37. Cierta a´rea del este de Estados Unidos resulta, en promedio, afectada por 6 huracanes al a˜ no. Encuentre la probabilidad de que para cierto a˜ no esta ´area resulte afectada por a) menos de 4 huracanes;

R: 0.1512

b) cualquier cantidad entre 6 a 8 huracanes.

R: 0.4015

38. Suponga que la probabilidad de que una persona dada crea un rumor acerca de las transgresiones de cierta actriz famosa es 0.8. ¿Cu´ al es la probabilidad de que a) la sexta persona en escuchar este rumor sea la cuarta en creerlo? b) la tercera persona en escuchar este rumor sea la primera en creerlo?

R: 0.1638 R: 0.032

39. El n´ umero promedio de ratas de campo por acre en un campo de 5 acres de trigo se estima en 12. Encuentre la probabilidad de que se encuentrean menos de 7 ratas de campo a) en un acre dado;

R: 0.0458

b) en 2 de los siguientes 3 acres que se inspeccionen.

R: 0.0060

8

40. El chef de un restaurante prepara una ensalada revuelta que contiene, en promedio, 5 vegetales. Encuentre la probabilidad de que la ensalada contenga m´as de 5 vegetales a) en un d´ıa dado;

R: 0.3840

b) en 3 de los siguientes 4 d´ıas;

R: 0.1395

c) por primera vez en abril el d´ıa 5.

R: 0.0553

41. La probabilidad de que una persona muera de cierta infecci´on respiratoria es 0.002. Encuentre la probabilidad de que mueran menos de 5 de los siguientes 2000 infectados de esta forma. R: 0.6288 42. Suponga que, en promedio, 1 persona en 1000 comete un error num´erico al preparar su declaraci´ on de impuestos. Si se seleccionan 10,000 formas al azar y se examinan, encuentre la probabilidad de que 6, 7 u 8 de las formas contengan un error. R: 0.2657 43. Se sabe que la probabilidad de que un estudiante de una preparatoria local presente escoliosis (curvatura de la espina dorsal) es 0.004. De los siguientes 1875 estudiantes que se revisen en b´ usqueda de escoliosis, encuentre la probabilidad de que a) menos de 5 presenten el problema;

R: 0.1321

b) 8, 9 ´ o 10 presenten el problema.

R: 0.3376

44. a) Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria X, que representa el n´ umero de personas entre 2000 que mueren de la infecci´ on respiratoria del ejercicio 5.64. R: 4,4 b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev, ¿hay una probabilidad de al menos 3/4 de que el n´ umero de personas que morir´ an entre las 2000 infectadas caiga dentro de un intervalo? ¿De cu´al? R: 2,[0,8] 45. a) Encuentre la media y la varianza de la variable aleatoria X, que representa el n´ umero de personas entre 10,000 que cometen un error al preparar su declaraci´on de impuestos del ejercicio 5.55. R: 10,10 b) De acuerdo con el teorema de Chebyshev, ¿hay una probabilidad de al menos 8/9 de que el n´ umero de personas que cometer´ an errores al preparar sus declaraciones de impuestos entre 10,000 est´e dentro de un intervalo? ¿De cu´ al? R: 3,[0.51,19.49] 46. Un fabricante de autom´ oviles se preocupa por una falla en el mecanismo de freno de un modelo espec´ıfico. La falla puede causar en raras ocasiones una cat´astrofe a alta velocidad. Suponga que la distribuci´ on del n´ umero de autom´ oviles por a˜ no que experimentar´a la falla es una variable aleatoria de Poisson con λ = 5. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que, a lo m´as, 3 autom´oviles por a˜ no sufran una cat´astrofe?

R: 0.2650

b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que m´as de 1 autom´ovil por a˜ no experimente una cat´astrofe? R: 0.9596 47. Los cambios en los procedimientos de los aeropuertos requieren una planeaci´on considerable. Los ´ındices de llegadas de los aviones son factores importantes que deben tomarse en cuenta. Suponga que los aviones peque˜ nos llegan a cierto aeropuerto, de acuerdo con un proceso de Poisson, con un ´ındice de 6 por hora. De esta manera, el par´ ametro de Poisson para las llegadas en un periodo de horas es µ = 6t. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que exactamente 4 aviones peque˜ nos lleguen durante un periodo de 1 hora? R: 0.1339 b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que al menos 4 lleguen durante un periodo de 1 hora?

R: 0.8488

c) Si definimos un d´ıa laboral como 12 horas, ¿cu´al es la probabilidad de que al menos 75 aviones peque˜ nos lleguen durante un d´ıa? R: 0.3773 48. El n´ umero de clientes que llegan por hora a ciertas instalaciones de servicio automotriz se supone que sigue una distribuci´ on de Poisson con media λ = 7. a) Calcule la probabilidad de que m´ as de 10 clientes lleguen en un periodo de 2 horas. b) ¿Cu´ al es el n´ umero medio de llegadas durante un periodo de 2 horas? 49. Considerar el ejercicio 5.66. ¿Cu´ al es el n´ umero medio de estudiantes que fallan en el examen? 9

R: 0.8243 R: 14 R: 7.5

50. La probabilidad de que una persona muera cuando contrae una infecci´on por virus es 0.001. De los siguientes 4000 infectados con virus, ¿cu´al es el n´ umero medio que morir´a? R: 4 51. Una compa˜ n´ıa compra lotes grandes de cierta clase de dispositivo electr´onico. Se utiliza un m´etodo que rechaza un lote si se encuentran 2 o m´as unidades defectuosas en una muestra aleatoria de 100 unidades. a) ¿Cu´ al es el n´ umero medio de unidades defectuosas que se encuentran en una muestra de 100 unidades si el lote tiene 1 % de defectuosas? R: 1 b) ¿Cu´ al es la varianza?

R: 0.99

52. En el caso de cierto tipo de alambre de cobre, se sabe que, en promedio, ocurren 1.5 fallas por mil´ımetro. Suponiendo que el n´ umero de fallas es una variable aleatoria de Poisson, ¿cu´al es la probabilidad de que no ocurran fallas en cierta porci´ on de alambre con longitud de 5 mil´ımetros? ¿Cu´al es el n´ umero medio de fallas en una porci´ on de 5 mil´ımetros de longitud? R: 0.000553 53. Los baches en ciertas carreteras pueden ser un problema grave y tener la necesidad constante de repararse. Con un tipo espec´ıfico de terreno y mezcla de concreto, la experiencia sugiere que hay, en promedio, 2 baches por milla despu´es de cierta cantidad de uso. Se supone que el proceso de Poisson se aplica a la variable aleatoria “n´ umero de baches”. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que no m´as de un bache aparezca en un tramo de una milla?

R: 0.4060

b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que no m´as de 4 baches ocurrir´an en un tramo dado de 5 millas? 0.0293

R:

54. En ciudades grandes los administradores de los hospitales se preocupan por la cuesti´on del tr´ afico de personas en las salas de urgencias de los nosocomios. Para un hospital espec´ıfico en una ciudad grande, el personal disponible no puede alojar el tr´afico de pacientes cuando hay m´as de 10 casos de emergencia en una hora dada. Se supone que la llegada del paciente sigue un proceso de Poisson y los datos hist´ oricos sugieren que, en promedio, llegan 5 emergencias cada hora. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que en una hora dada el personal no pueda alojar m´as al tr´afico? 0.0137

R:

b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que m´as de 20 emergencias lleguen durante un turno de 3 horas del personal? R: 0.0830 55. En las revisiones de equipaje en el aeropuerto se sabe que 3 % de la gente inspeccionada lleva objetos cuestionables en su equipaje. ¿Cu´ al es la probabilidad de que una serie de 15 personas cruce sin problemas antes de que se atrape a un individuo con un objeto cuestionable? ¿Cu´al es el n´ umero esperado en una fila que pasa antes de que se detenga a un individuo? R: 32.33 56. La tecnolog´ıa cibern´etica gener´ o un ambiente donde los “robots”funcionan con el uso de microprocesadores. La probabilidad de que un robot falle durante cualquier turno de 6 horas es 0.10. ¿Cu´ al es la probabilidad de que un robot funcionar´a durante al menos 5 turnos antes de fallar? R: 0.4686 57. Se sabe que la tasa de rechazo en las encuestas telef´onicas es de aproximadamente 20 %. Un reportaje del peri´ odico indica que se encuestaron a 50 personas antes de que la primera rechazara. a) Comente acerca de la validez del reportaje. Utilice una probabilidad en su argumento. b) ¿Cu´ al es el n´ umero esperado de personas encuestadas antes de un rechazo?

R: 0.00001 R: 4

Distribuciones continuas 1. Dada una distribuci´ on normal est´ andar, encuentre el ´area bajo la curva que est´a a) a la izquierda de z = 1.43;

R: 0.9236

b) a la derecha de z = −0.89;

R: 0.8133

c) entre z = −2.16 y z = −0.65;

R: 0.2424

10

d) a la izquierda de z = −1.39;

R: 0.0823

e) a la derecha de z = 1.96;

R: 0.0250

f) entre z = −0.48 y z = 1.74.

R: 0.6435

2. Encuentre el valor de z si el ´ area bajo una curva normal est´andar a) a la derecha de z es 0.3622;

R: 0.35 R: −1.21

b) a la izquierda de z es 0.1131; c) entre 0 y z, con z ¿0, es 0.4838;

R: 2.14

d) entre −z y z, con z > 0, es 0.9500.

R: 1.96

3. Dada una distribuci´ on normal est´ andar, encuentre el valor de k tal que a) P (Z < k) = 0.0427;

R: −1.72

b) P (Z > k) = 0.2946;

R: 0.54

c) P (−0.93 < Z < k) = 0.7235.

R: 1.28

4. Dada una distribuci´ on normal con µ = 30 y σ = 6, encuentre a) el ´ area de la curva normal a la derecha de x = 17;

R: 0.9850

b) el ´ area de la curva normal a la izquierda de x = 22;

R: 0.0918

c) el ´ area de la curva normal entre x = 32 y x = 41;

R: 0.3371

d) el valor de x que tiene 80 % del ´ area de la curva normal a la izquierda;

R: 35.04

e) los dos valores de x que contienen el 75 % central del ´area de la curva normal.

R: 36.9

5. Dada la variable X normalmente distribuida con media 18 y desviaci´on est´andar 2.5, encuentre a) P (X < 15);

R: 0.1151

b) el valor de k tal que P (X < k) = 0.2236;

R: 16.1

c) el valor de k tal que P (X > k) = 0.1814;

R: 20.275

d) P (17 < X < 21).

R: 0.5403

6. De acuerdo con el teorema de Chebyshev, la probabilidad de que cualquier variable aleatoria tome un valor dentro de tres desviaciones est´ andar de la media es al menos 8/9. Si se sabe que la distribuci´ on de probabilidad de una variable aleatoria X es normal con media µ, y varianza σ 2 , ¿cu´al es el valor exacto de P (µ − 3σ < X < µ + 3σ)? R: 0.9974 7. Un investigador cient´ıfico informa que unos ratones vivir´an un promedio de 40 meses cuando sus dietas se restringen dr´ asticamente y despu´es se enriquecen con vitaminas y prote´ınas. Suponiendo que la vidas de tales ratones se distribuyen normalmente con una desviaci´on est´andar de 6.3 meses, encuentre la probabilidad de que un rat´ on dado vivir´a a) m´ as de 32 meses;

R: 0.8980

b) menos de 28 meses;

R: 0.0287

c) entre 37 y 49 meses.

R: 0.6080

8. Las barras de pan de centeno que cierta panader´ıa distribuye a las tiendas locales tienen una longitud promedio de 30 cent´ımetros y una desviaci´on est´andar de 2 cent´ımetros. Suponiendo que las longitudes est´ an distribuidas normalmente, ¿qu´e porcentaje de las barras son a) m´ as largas que 31.7 cent´ımetros?

R: 0.1977

b) de entre 29.3 y 33.5 cent´ımetros de longitud?

R: 0.5967

c) m´ as cortas que 25.5 cent´ımetros?

R: 0.0122

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9. Una m´ aquina expendedora de bebidas gaseosas se regula para que sirva un promedio de 200 mililitros por vaso. Si la cantidad de bebida se distribuye normalmente con una desviaci´on est´andar igual a 15 mililitros, a) ¿qu´e fracci´ on de los vasos contendr´a m´as de 224 mililitros?

R: 0.0548

b) ¿cu´ al es la probabilidad de que un vaso contenga entre 191 y 209 mililitros?

R: 0.4514

c) ¿cu´ antos vasos probablemente se derramar´an si se utilizan vasos de 230 mililitros para las siguientes 1000 bebidas? R: 23 d) ¿por debajo de qu´e valor obtendremos el 25 % m´as peque˜ no de las bebidas?

R: 189.95 ml

10. El di´ ametro interior del anillo de un pist´on terminado se distribuye normalmente con una media de 10 cent´ımetros y una desviaci´ on est´ andar de 0.03 cent´ımetros. a) ¿Qu´e proporci´ on de anillos tendr´ an di´ametros interiores que excedan 10.075 cent´ımetros?

R: 0.0062

b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el anillo de un pist´on tenga un di´ametro interior entre 9.97 y 10.03 cent´ımetros? R: 0.6826 c) ¿Por debajo de qu´e valor del di´ ametro interior caer´a 15 % de los anillos de pist´on?

R: 9.969 cm

11. Un abogado viaja todos los d´ıas de su casa en los suburbios a su oficina en el centro de la ciudad. El tiempo promedio para un viaje s´ olo de ida es 24 minutos, con una desviaci´on est´andar de 3.8 minutos. Suponga que la distribuci´ on de los tiempos de viaje est´a distribuida normalmente. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que un viaje tome al menos 1/2 hora?

R: 0.0571

b) Si la oficina abre a las 9:00 a.m. y ´el sale diario de su casa a las 8:45 a.m., ¿qu´e porcentaje de las veces llegar´ a tarde al trabajo? R: 99.11 % c) Si sale de su casa a las 8:35 a.m. y el caf´e se sirve en la oficina de 8:50 a.m. a 9:00 a.m., cu´ al es la probabilidad de que se pierda el caf´e? R: 0.3974 d) Encuentre la longitud de tiempo por arriba de la cual encontramos el 15 % de los viajes m´as lentos. R: 27.952 minutos e) Encuentre la probabilidad de que 2 de los siguientes 3 viajes tomen al menos 1/2 hora.

R: 0.0092

12. En el ejemplar de noviembre de 1990 de Chemical Engineering Progress, un estudio analiza el porcentaje de pureza del ox´ıgeno de cierto proveedor. Suponga que la media fue 99.61 con una desviaci´on est´ andar de 0.08. Suponga que la distribuci´ on del porcentaje de pureza fue aproximadamente normal. a) ¿Qu´e porcentaje de los valores de pureza esperar´ıa que estuvieran entre 99.5 y 99.7? b) ¿Qu´e valor de pureza esperar´ıa que excediera exactamente 5 % de la poblaci´on?

R: 0.7852 R: 99.74

13. La vida promedio de cierto tipo de motor peque˜ no es de 10 a˜ nos con una desviaci´on est´andar de 2 a˜ nos. El fabricante reemplaza gratis todos los motores que fallen dentro del periodo de garant´ıa. Si ´el est´ a dispuesto a reemplazar s´ olo 3 % de los motores que fallan, ¿cu´anto tiempo de garant´ıa deber´ıa ofrecer? Suponga que la duraci´ on de un motor sigue una distribuci´on normal. R: 6.24 a˜ nos 14. Las alturas de 1000 estudiantes se distribuyen normalmente con una media de 174.5 cent´ımetros yuna desviaci´ on est´ andar de 6.9 cent´ımetros. Suponiendo que las alturas se registran al medio cent´ımetro m´ as cercano, ¿cu´ antos de estos estudiantes esperar´ıa que tuvieran alturas a) menores que 160.0 cent´ımetros?

R: 16

b) de entre 171.5 y 182.0 cent´ımetros inclusive?

R: 549

c) iguales a 175.0 cent´ımetros?

R: 28

d) mayores que o iguales a 188.0 cent´ımetros?

R: 27

15. Una compa˜ n´ıa paga a sus empleados un salario promedio de $15.90 por hora con una desviaci´on est´ andar de $1.50. Si los salarios se distribuyen aproximadamente de forma normal y se pagan al centavo m´ as cercano,

12

a) ¿qu´e porcentaje de los trabajadores reciben salarios entre $13.75 y $16.22 inclusive por hora? 0.5122 b) ¿el 5 % m´ as alto de los salarios por hora de los empleados es mayor a qu´e cantidad?

R:

R: 18.37

16. Los pesos de un n´ umero grande de poodle (caniche) miniatura se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 8 kilogramos y una desviaci´on est´andar de 0.9 kilogramos. Si las mediciones se registran al d´ecimo de kilogramo m´ as cercano, encuentre la fracci´on de estos poodle con pesos a) por arriba de 9.5 kilogramos;

R: 0.0427

b) a lo m´ as 8.6 kilogramos;

R: 0.7642

c) entre 7.3 y 9.1 kilogramos inclusive.

R: 0.6964

17. La resistencia a la tensi´ on de cierto componente de metal se distribuye normalmente con una media de 10,000 kilogramos por cent´ımetro cuadrado y una desviaci´on est´andar de 100 kilogramos por cent´ımetro cuadrado. Las mediciones se registran a los 50 kilogramos por cent´ımetro cuadrado m´as cercanos. a) ¿Qu´e proporci´ on de estos componentes excede 10,150 kilogramos por cent´ımetro cuadrado de resistencia a la tensi´ on? R: 0.0401 b) Si las especificaciones requieren que todos los componentes tengan resistencia a la tensi´on entre 9800 y 10,200 kilogramos por cent´ımetro cuadrado inclusive, ¿qu´e proporci´on de piezas esperar´ıa que se descartara? R: 0.0244 18. Si un conjunto de observaciones se distribuye de manera normal, ¿qu´e porcentaje de ´estas difieren de la media en a) m´ as de 1.3σ?

R: 0.1936

b) menos de 0.52σ?

R: 0.3970

19. Los CI de 600 aspirantes de cierta universidad se distribuyen aproximadamente de forma normal con una media de 115 y una desviaci´ on est´ andar de 12. Si la universidad requiere un ci de al menos 95, ¿cu´ antos de estos estudiantes ser´ an rechazados sobre esta base sin importar sus otras calificaciones? R: 26 20. Dada una distribuci´ on continua uniforme, demuestre que a) µ =

A+B 2 ,

b) σ 2 =

y

(B−A)2 . 12

21. La cantidad de caf´e diaria, en litros, que sirve una m´aquina que se localiza en el vest´ıbulo de un aeropuerto es una variable aleatoria X que tiene una distribuci´on continua uniforme con A = 7 y B = 10. Encuentre la probabilidad de que en un d´ıa dado la cantidad de caf´e que sirve esta m´aquina sea a) a lo m´ as 8.8 litros;

R: 0.60

b) m´ as de 7.4 litros, pero menos de 9.5 litros;

R: 0.70

c) al menos 8.5 litros.

R: 0.50

22. Un autob´ us llega cada 10 minutos a una parada. Se supone que el tiempo de espera para un individuo en particular es una variable aleatoria con distribuci´on continua uniforme. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el individuo espere m´as de 7 minutos?

R: 0.3

b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el individuo espere entre 2 y 7 minutos?

R: 0.5

23. La longitud de tiempo para que un individuo sea atendido en una cafeter´ıa es una variable aleatoria que tiene una distribuci´ on exponencial con una media de 4 minutos. ¿Cu´al es la probabilidad de que una persona sea atendida en menos de 3 minutos en, al menos. 4 de los siguientes 6 d´ıas? R: 0.3968 24. La vida, en a˜ nos, de cierto interruptor el´ectrico tiene una distribuci´on exponencial con una vida promedio de β = 2. Si 100 de estos interruptores se instalan en diferentes sistemas, ¿cu´al es la probabilidad de que a lo m´ as 30 fallen durante el primer a˜ no? R: 0.0352 13

25. El tiempo de respuesta de una computadora es una aplicaci´on importante de las distribuciones gamma y exponencial. Suponga que un estudio de cierto sistema de computadoras revela que el tiempo de respuesta, en segundos, tiene una distribuci´ on exponencial con una media de 3 segundos. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el tiempo de respuesta exceda 5 segundos?

R: 0.1889

b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que el tiempo de respuesta exceda 10 segundos?

R: 0.0357

26. El n´ umero de autom´ oviles que llegan a cierta intersecci´on por minuto tiene una distribuci´on de Poisson con una media de 5. El inter´es se centra alrededor del tiempo que transcurre antes de que 10 autom´ oviles aparezcan en la intersecci´ on. a) ¿Cu´ al es la probabilidad de que m´as de 10 autom´oviles aparezcan en la intersecci´on durante cualquier minuto dado? R: 0.0137 b) ¿Cu´ al es la probabilidad de que se requieran m´as de 2 minutos antes de que lleguen 10 autom´ oviles? R: 0.458

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