4º ESO – VECTORES y RECTAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.

SAGRADO CORAZÓN COPIRRAI_Julio César Abad Martínez-Losa

ARNEDO (LA RIOJA)

VECTORES y RECTAS 1.- Calcula las coordenadas del punto C(Cx,Cy) para que forme el paralelogramo ABCD junto con los puntos: A(3,7), B(15,5) y D(6,-2). Dibujo. _Sol: C (18,-4) 2.- Los módulos de dos vectores son 6 y 10. Halla el producto escalar de ambos vectores si el ángulo que forman es   de 180º. _Sol: u  v  -60  3.- Calcula el valor de x para que el vector u  (x,5) :

 a) sea paralelo con v  (2,7)

_Sol: x =

10 7

 b) su producto escalar con w  (-3,9) sea 11

_Sol: x =

34 3

 c) sea perpendicular con v  (2,7)  4.- Dado el vector u  (5, y) . Calcula el valor de “y” en cada uno de los siguientes casos:   a) u sea equipolente al vector AB , con A(3,1) y B(7,2)   b) u sea perpendicular a v  (15,8) .

_Sol: x =

- 35 2

_Sol: Imposible, _Sol: y =

∄y

- 75 8

5.- Dados los puntos A(–2,–5) y B(x,–3), calcula el valor de “x” para que:   a) el producto escalar de AB con v  (4,7) sea 2. b) forme 90º con el eje vertical.

_Sol: x = –5 _Sol: Imposible,

∄x

 6.- Halla los valores que debe tomar “m” para que el módulo del vector AB sea igual a 5, siendo A(-2,-1) y B(1,m). Dibujo. _Sol: m = –5 y m = 3  7.- Dado el vector u  (12, y) . Calcula el valor de “y” para que:  a) el módulo de u sea 13. Dibujo.   b) el vector u sea paralelo al vector v  (15,8) .

_Sol: y = ± 5 _Sol: y =

32 5

8.- Calcula el valor de x para que el punto P(–1,x) esté a una distancia 5 del punto Q(2,3).

_Sol: x = –1 y x = 7

  9.- Calcula el ángulo que forman los vectores u  (0,6) y v  (3,3 3 ) .

_Sol: α = 30º

10.- Las coordenadas del punto medio de un segmento AB son MAB (4,–3). Sabiendo que las coordenadas del punto B son B (9,–15), calcula las coordenadas de A (x,y) y la d(A,B). _Sol: A (-1,9) y d(A,B) = 26 11.- Dada la recta r: (x,y) = (-1,3) + t (2,5). Calcula el valor de “y” para que el punto A(13,y) pertenezca a la recta r. _Sol: y = 38

12.- Dados los puntos C(5,7) y D(-7,5). Calcula su punto medio. Calcula el ángulo que forman los vectores de posición de C y D. _Sol: MCD (-1,6) y α = 90º 13.- Calcula el valor de “a” para que el punto A (a,8) cumpla, independientemente: a) A sea el punto medio de P (7,2) y Q (13,4)  b) El módulo del vector AB sea 13, con B (6,–4)

_Sol: Imposible,

14.- Halla las coordenadas del simétrico del punto C(3,-2) respecto del punto D(-2,1).

_Sol: C´(-7,4)

15.- Dado el punto A(x,20). Calcula el valor de “x” para que: a) d(O,A) = 29.

_Sol: x = ± 21

  b) el vector OA sea perpendicular al vector v  (3,8) .

∄a

_Sol: A1 (1,8) y A2 (11,8)

_Sol: x =

- 160 3

16.- Indica un punto y la pendiente de las rectas: s:

3x - 6 -3



4-y 10

r: (2x–3) = 3 (4–2y)

_Sol: Ps (2,4) y ms = 10

_Sol: Pr (0,

5

) y mr =

- 1 3

2

t : 3x + 4y + 8 = 0

_Sol: Pt (0,-2) y mt =

- 3 4

1

4º ESO – VECTORES y RECTAS

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ARNEDO (LA RIOJA)

17.- Dada la recta r: 3x + 5y – 15 = 0 y la recta s: (x,y) = (4,–12) + t (2,3). Escribe: a) La ecuación continua de s.

x - 4

_Sol: s :

y  12



2

b) La ecuación punto pendiente de t1, paralela a r, que pasa por el corte de r y s. c) Escribe la ecuación segmentaria de s.

 3

_Sol: t 1 : (y  3) 

_Sol:

x

(x  10)

5

y



12

d) La ecuación explícita de t2, que tiene la pendiente de r y la ordenada en el origen de s.

3

 1

- 18  3

_Sol: t 1 : y 

x - 18

5

18.- Dados los puntos A(3,7) y B(15,5). Calcula la ecuación general de la recta “r” que pasa por el punto D(6,-2) y por el punto medio de AB, M(MX,MY). _Sol: r: 8x – 3y – 54 = 0 19.- Escribe la ecuación que se pide en cada caso:  a) Ecuación VECTORIAL Pasa por A (1,3) y vector u  (5,4) b) Ecuación PARAMÉTRICA

y = 5x – 2

c) Ecuación CONTINUA

_Sol: (x,y) = (1,3) + t(5,4)

_Sol:

Pasa por H (1,3) e I (2,1)

x   y 

0  t -2  5 t

x - 1

_Sol: s :



y - 3

1

d) Ecuación GENERAL

(y – 2) =

1 3

(x – 3)

- 2

_Sol: x – 3y + 3 = 0

20.- Escribe la ecuación que se pide en cada caso: a) Ecuación EXPLÍCITA

b) Ecuación PUNTO – PENDIENTE

x  3  2t  y  5  3t

_Sol: y 

3x + 4y – 6 = 0

_Sol: (y - 0) 

 3

x 

2

19 2

 3

(x  2)

4

c) Ecuación SEGMENTARIA

(x,y) = (4,2) + t (3,6)

_Sol:

x

y



3

 1

- 6

21.- Dadas las rectas r: 2x + 7y – 14 = 0 y s: x + y + 3 = 0. Indica la posición relativa de r y s. Si son secantes, calcula el punto de corte. Dibujo. _Sol: Secantes: P(-7,4) 22.- Dadas r: (x,y) = (1,3) + t (4,5) y s : y 

5

x  n . Calcula “n” para que r y s sean coincidentes.

4 23.- Dados los puntos A(12,7) y B(-4,-5). a) Calcula las coordenadas del punto medio de A y B.   b) Calcula el ángulo que forma el vector AB y el vector u  (4,3) .

_Sol: n =

7 4

_Sol: MAB = (4,1) _Sol: α = 180º

24.- Dados los puntos A(12,7) y B(-4,-5). a) Escribe la ecuación explícita de r que pasa por A y B.

_Sol: r : y 

3

x  2

4

b) Escribe la ecuación general de “s”, paralela a r y que pasa por C (8,1).

25.- Dada la recta r :

x  3  2t  y  4  3t

_Sol: s : 3x - 4y  20  0

, sabemos que el punto Q(8,☺) pertenece a r, donde ☺, es un símbolo que un virus

informático ha insertado, borrando el verdadero valor de la coordenada. Haz el favor de calcular el valor de dicha coordenada pues he olvidado cuál era.

_Sol: Q (8,

- 7

)

2

26.- Escribe la ecuación que se pide en cada caso: 1

a) Ecuación VECTORIAL

(y – 2) =

b) Ecuación PARAMÉTRICA

Pasa por A (0,–5) y B (0, 6)

c) Ecuación CONTINUA

x 3



y  2

3

(x – 3)

 1

_Sol: (x,y) = (3,2) + t(3,1)

_Sol:

_Sol:

x   y  x - 3 3

0 6  t



y - 0 2

2

4º ESO – VECTORES y RECTAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.

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ARNEDO (LA RIOJA)

d) Ecuación GENERAL

(x,y) = (1,–1) + t (–3,5) 5- x

e) Ecuación EXPLÍCITA

-2

f) Ecuación PUNTO – PENDIENTE



_Sol: 5x  3y  2  0

2y  2

_Sol: y  2x  11

8

 Pasa por A (2,7) y vector u  (5,4)

_Sol: (y - 7) 

4

(x  2)

5

g) Ecuación SEGMENTARIA

y 

5 2

x 5

x

_Sol:

y



- 2

 1

5

 27.- Dados los puntos A(3,7) y B(15,5). Calcula su punto medio y comprueba, utilizando el producto escalar, que BM     y AB forman un ángulo de 180º. _Sol: MAB = (-6,1) y cos ( BM , AB ) = – 1

28.- Dados los puntos P(3,7), Q(0,6) y R(7,5). Calcula el punto medio del segmento PR y el baricentro del triángulo PQR.

_Sol: MPR (5,6) y Bar (

10

,6)

3

29.- Calcula la ecuación punto pendiente de la recta paralela a la recta t :

2- x 2



3y  10 6

corte con el eje de abscisas de la recta r: 4x + 7y – 28 = 0.

que pasa por el punto E, _Sol: (y – 0) = –1 · (x – 7)

30.- Dadas las rectas r: 3x + 5y – 2n = 0 y s: mx – 10y + n = 0. a) Indica un valor de m que haga que r y s sean secantes. b) Calcula m para que r y s sean paralelas o coincidentes. c) Para ese valor de m, calcula el valor de n que hace que r y s sean coincidentes.

_Sol: m ≠ – 6 _Sol: m = – 6 _Sol: n = 0

31.- Calcula el valor de “a” para que el punto A (8,a) cumpla, independientemente: a) A sea un vértice del paralelogramo ABCD, siendo B (12,3), C (13,8) y D (9,7) b) La distancia del punto A al punto E (–4,6), sea 15.

_Sol: a = 2 _Sol: A1 (8,11) y A2 (8,1)

32.- Dados los puntos A(–2,–5) y B(x,–3), calcula el valor de “x” para que: a) M(1,–4) sea el punto medio de AB

_Sol: x = 4

 5 b) AB tenga módulo igual a 2

_Sol: x =

- 1

- 7

,x=

2

2

33.- Calcula la ecuación punto pendiente de “r” que pasa por A(5,8) y B(11,9). Demuestra que el punto C(–13,4) no pertenece a la recta “r”. Escribe la ecuación explícita de la recta “t” paralela a la recta “r” y que pasa por C. _Sol: r : (y - 8) 

1

1

(x  5) , t : y 

6

34.- Dadas las rectas r:

x  1  4t  y  3  5t

x 

6

37 6

y s: 5x – 4y + C = 0. Calcula el valor de “C” para que r y s sean coincidentes.

Dibuja la recta.

_Sol: C = 7

  35.- Calcula el ángulo que forman los vectores u  ( 3,0) y v  (4 3,4) .

_Sol: α = 30º

36.- Dado el punto B(15,5). Calcula las coordenadas del punto E(x,y) situado en el eje de abscisas para que el módulo  del vector BE sea 13. _Sol: E1 (27,0) y E2 (3,0) 37.- Comprueba, usando rectas, si los puntos D(6,-2), B(15,5) y F(105,65) están alineados.

_Sol: No, rBD: 7x – 9y – 60 = 0

38.- Dada la recta r: (y – 5) = 3 (x + 1) y la recta s: (x,y) = (–2,5) + t (2,3). Escribe: x  2

y - 5

a) La ecuación continua de s.

_Sol: s :

b) La ecuación general de t1, paralela a r, que pasa por el punto de corte de r y s.

_Sol: t1 : 3x – y + 8 = 0

c) La ecuación explícita de t2, que tiene la pendiente de s y la ordenada en el origen de r.

_Sol: t



2

: y 

_Sol: s :

3

x  8

2

2

d) Escribe la ecuación segmentaria de s.

3

x  16



y

 1

8

3

39.- Escribe la ecuación vectorial de la recta que pasa por los puntos A(8,–3) y B(–4,6). Represéntala y escribe la ecuación explícita y la ecuación paramétrica.

_Sol: (x,y) = (8,-3) + t(-4,3), y 

- 3 4

x  3

y

x   y 

8 4t -3  9t

3

4º ESO – VECTORES y RECTAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.

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ARNEDO (LA RIOJA)

40.- Halla la recta “r” que pasa por el punto M (-1,2) y pertenece al mismo haz de rectas que las rectas de ecuaciones t1: 2x + y -1 = 0 y t2: 3x + y = 0. _Sol: r: x = –1    41.- Dos vectores u y v tienen misma dirección y sentido. El producto escalar de ambos es 187. Siendo v  (15,8) ,   calcula el módulo del vector u . _Sol: u  11

42.- Escribe la ecuación que se pide en cada caso: a) Ecuación VECTORIAL 5x + 3y – 2 = 0 3x

b) Ecuación PARAMÉTRICA

16

c) Ecuación CONTINUA



y 16

_Sol: (x,y) = (1,-1) + t(3,-5)

 1

_Sol:

y = 5x – 2

_Sol:

x   y 

0t 16  3t

x - 0

y  2



1

d) Ecuación GENERAL

Pasa por H (1,3) e I (2,1) x

e) Ecuación EXPLÍCITA

2

f) Ecuación PUNTO – PENDIENTE



y 5

5

_Sol: 2x + y – 5 = 0

 1

5

_Sol: y 

x  5

2

Pasa por D (6,-2) y O (0,0)

_Sol: (y  2) 

- 1

(x  6)

3

x  5  t  y  8  4t

g) Ecuación SEGMENTARIA

_Sol:

x

y



7

43.- Demuestra que el triángulo de vértices E(6,4), F(2,10) y G(3,2) es rectángulo.

 1

28

_Sol: Cumple Pitágoras

44.- Indica un punto y un vector de las siguientes rectas: r1 : r2 :

x 3



y 2

5- x



 1



_Sol: Pr1 (0,-2) y u  (3,2)

2y  6



_Sol: Pr2 (5,-3) y u  (3,1)

3 2 r3 : (y+8) = 3 (x–2)



_Sol: Pr3 (2,-8) y u  (1,3)

45.- Dada la recta r: (x,y) = (3,2) + t (1,7) y la recta s: 4x + y – 3 = 0. a) Calcula su posición relativa. Si son secantes calcula el punto de corte. Dibujo. _Sol: Secantes P(2,-5) b) Escribe la ecuación explícita de una recta “t” paralela a la recta “r” y que pasa por la ordenada en el origen de “s”. _Sol: y = 7x + 3  46.- Dado el vector u  (5, y) . Calcula el valor de “y” en cada uno de los siguientes casos: 17  a) el módulo de u sea 3   b) u forme un ángulo de 45º, con el vector w  (5,5)

_Sol: y = 

8 3

_Sol: y = 0

47.- Calcula el punto de corte de la recta r: x=2 con la recta s: y= 5. Dibujo.

_Sol: P (2,5)

48.- Dada la recta r: 3x + 4y – 12 = 0. Escribe la ecuación de r en forma continua y segmentaria. Estudia el paralelismo entre r y la recta s : (x, y)  (6,

-3 2

)  t  (4,3) .

_Sol: r :

x - 0 4



y  3

, r :

- 3

x

y



4

49.- Dados los puntos A(-5,-4) y B(3,11). a) Calcula la distancia entre A y B. b) Escribe la ecuación general de la recta r que pasa por A y B.

 1

y r-s coincidentes.

3

_Sol: d(A,B) = 17u _Sol: 15x – 8y + 43 = 0

c) Escribe la ecuación explícita de “s”, paralela a r y que pasa por C(8,5).

_Sol: y 

15

x  10

8

 15    d) Calcula el ángulo que forman los vectores AB y u  ( _Sol: cos ( u , AB ) = 0 ⇒ α = 90º ,-2) . 4 50.- Dada la recta 4x + 3y – 9 = 0. Escribe la ecuación paramétrica y general de la recta paralela a la dada que pasa

por el punto A (3,–1 ).

_Sol:

x   y 

3 - 3t

y 4x + 3y – 9 = 0 -1  4t

   51.- El producto escalar de los vectores u  (x, y) y v  (-2,1) es –3. Calcula las coordenadas de u sabiendo que su

módulo es

41 .





_Sol: u  (4,5) y u  (

 8 5

,

- 31

)

5

4

4º ESO – VECTORES y RECTAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.

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ARNEDO (LA RIOJA)

52.- Dados los puntos J(4,-5), K(3,2) y L(7,4). Calcula el punto simétrico de J respecto de K. Halla la ecuación continua y explícita de la mediana de vértice J, en el triángulo JKL.

x - 4

_Sol: J´(2,9);

y  5



1

;

y = 8x – 37

8

53.- Escribe la ecuación continua de la recta “t”, paralela a r: 4x + 8y – 12 = 0, y que pasa por la ordenada en el origen de la recta s: 2y = 4x – 6.

_Sol: t :

x - 0

y  3



8

- 4

54.- Dados los puntos A(3,7) y B(15,5). Escribe la ecuación explícita de “s”, paralela a la recta que une A y B, y que pasa por el punto de corte de las rectas s: 8x – 3y – 54 = 0 y t: (y + 2) =

-1 3

(x – 6).

 1

_Sol: y 

x  1

6

55.- Calcula el valor de A para que la recta r: Ax + y – 3 = 0 y la recta s: (x,y) = (0, –2) + t(2,5) se corten en el punto P(2,3). _Sol: A = 0

  56.- Dado el vector v  (x,8) , calcula el valor de x para que el módulo de v sea 17. 57.- Dada la recta r :

x 4



y 3

_Sol: x = ± 5

 1 . Represéntala. Escribe la ecuación general y punto pendiente.

_Sol: (y - 0) 

- 3

(x  4)

4

3x + 4y – 12 = 0

58.- Estudia la incidencia de las rectas (secantes, paralelas o coincidentes) de ecuaciones: r : s: (x,y) = (0, –2) + t (2,5)

c) Ecuación CONTINUA



2

y 1

y

5

_Sol: r y s Paralelas

59.- Escribe la ecuación que se pide en cada caso: a) Ecuación VECTORIAL Pasa por A(3,7) y B(15,5) b) Ecuación PARAMÉTRICA

x -3

3x + 2y – 19 = 0

(2y  2) 

 8 2

 (5  x)

_Sol: (x,y) = (3,7) + t · (12,-2)

_Sol:

_Sol:

x   y 

1 2t 8  3t

x - 0



y  11

1

2

d) Ecuación GENERAL

x  3  2t  y  5  3t

_Sol: 3x + 2y – 19 = 0

e) Ecuación EXPLÍCITA

Pasa por H (1,3) e I (2,1).

_Sol: y = –2x + 1

f) Ecuación PUNTO – PENDIENTE g) Ecuación SEGMENTARIA

5- x -2



2y  2 8

 Pasa por A (1,3) y vector u  (5,4)

4 3   60.- Halla el ángulo que forman los vectores u  (4,0) y v  (4, ). 3   61.- Siendo u  (5,3) y v  (x,5) , calcula:

a) el valor de x para que su producto escalar sea 55.   b) el valor de x para que u y v sean perpendiculares.

_Sol: (y + 1) = 2 (x – 5)

_Sol:

x



y

 11

11

4

5

 1

_Sol: α = 30º

_Sol: x =8 _Sol: x =-3

  62.- Calcula el ángulo que forman los vectores u  (7,0) y v  (5 3,5) .

_Sol: α = 30º

63.- Calcula las coordenadas de un punto B (x,7) cuya distancia al punto A (4,2) es 13.

_Sol: B1 (16,7) y B2 (-8,7)

64.- Dado el punto O(0,0) y el punto B(15,y), calcula el valor de y para que la d(O,B) = 17.

_Sol: y = ± 8

65.- Dada la recta r :

x  5  t , comprueba si el punto A(-2,25) pertenece a la recta r.  y  2  3t

_Sol: No

66.- Dada la recta r: (x,y) = (–3,–4) + t (5,2) , sabemos que el punto Q(8,☺) pertenece a r, donde ☺, es un símbolo que un virus informático ha insertado, borrando el verdadero valor de la coordenada. Haz el favor de calcular dicha coordenada pues he olvidado cuál era.

_Sol: Q(8,

2

)

5

5

4º ESO – VECTORES y RECTAS

DEPARTAMENTO DE MATEMÁTICAS.

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ARNEDO (LA RIOJA)

67.- Averigua si los puntos J(-2,3), K(1,5) y L(11,12) están alineados.

_Sol: No están alineados

68.- Dada la recta que pasa por A (3,–5) y B (–1, 6), expresa su ecuación vectorial y general.

_Sol: (x,y) = (3,-5) + t · (-4,11) y 11x + 4y – 13 = 0

69.- Dada la recta s: x + 5y – 7 = 0. Escribe la ecuación vectorial y punto pendiente de s. - 1

_Sol: (x,y) = (7,0) + t · (5,-1) y (y - 0) 

(x  7)

5

70.- Dada la recta r: 5x + 4y – 20 = 0. Calcula la ecuación vectorial y punto pendiente de r. - 5

_Sol: (x,y) = (0,5) + t · (4,-5) y (y - 5) 

(x  0)

4

71.- Escribe la ecuación continua de la recta “t”, paralela a r: 3x + 7y – 13 = 0, que pasa por la ordenada en el origen de la recta s: (y – 0) = 4 (x – 3).

_Sol: t :

x - 0

y  12



7

72.- Halla la ecuación en forma general y segmentaria de la recta r:

x  y

 2  t _Sol: 5x + y – 10 = 0 y

 5t

- 3 x

y



2

 1

10

73.- Dada la recta r: 4x + 7y – 28 = 0. Calcula la ecuación explícita y segmentaria. _Sol: y 

- 4

x  4

y (y - 4) 

7

- 4

(x  0)

7

74.- Dado el cuadrilátero de vértices A(1,3), B(8,2) y D(2,10). Dibuja los puntos y calcula: 74.1.- Las coordenadas del punto C simétrico de A respeto del punto medio de la diagonal BD.

_Sol: C (9,9)

74.2.- Las coordenadas del punto M, como corte de las diagonales del cuadrilátero.

_Sol: M (5,6)

74.3.- La ecuación del lado AD en forma punto pendiente y continua.

_Sol: (y – 3) = 7 (x – 1);

x - 1



y - 3

1

74.4.- La ecuación del lado AB en forma segmentaria y vectorial.

_Sol:

x



22

y

 1

7

; (x,y) = (1,3) + t (x – 1)

22 7

74.5.- La ecuación de la diagonal DB en forma paramétrica y general.

_Sol:

x   y 

74.6.- Los valores de “a” y “b” para que la recta r1: ax + 5y = b; sea paralela al lado AD.

8- 6t

, 4x + 3y – 38 = 0 2  8t

_Sol: a = –35 y b ≠20

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