4. FUNCIONES 4.1 Conceptos básicos

Sean A y B dos conjuntos dados, una función de A en B es una regla de correspondencia que asigna a cada elemento de A uno y solamente uno de B. En una función: A es el dominio de la función. B es el contradominio de la función. El conjunto de elementos de B a los que corresponde alguno de A es el rango o imagen de la función. Definición: Una función de A en B es un conjunto de pares ordenados (x, y), donde x ∈ A , y y es el elemento que le corresponde de B. Además si (x, y) está en la función y (x, y’) también está en la función, entonces y = y’. EJERCICIOS 1. ¿Cuál de las siguientes son funciones?

A = { 1, 2 , 3 , 4 } B = { 5, 6, 7, 8 , 9,10 } a) f a = { ( 1, 5 ), ( 2 , 5 ) , ( 3 , 5 ), ( 4 , 5 ) }

b) f b = { ( 1, 3 ), ( 2 , 4 ) , ( 3 , 5 ) , ( 4 , 6 ) }

c) f c = { ( 0 , 1 ), ( 1, 3 ) , ( 2 , 5 ) , ( 3 , 7 ), ( 4 , 9 ), ( 5 , 11 ) } 2. Si f es la función f (−1) , f (1) , f (3 / 2) . 3. Sea f ( x) =

{ ( − 1, 4 ) , ( 0 , 2 ) , ( 1, 4 ) , ( 3 / 2 , − 2 / 3 ) , ( 2 ,

2

)},

encuéntrese

1 , encuentre f (1 / x ) , f (cx) , f ( x + y ) , f ( x) + f ( y ) , f ( f ( x)) . 1+ x

4. Si A = { 1, 2 , 3 } y B = { 0,1, 2, K , 9 ¿cuáles son las parejas que integran a f ?

} y f es una función de A en B definida por

y = x2 −1,

5. Sea la función t : R → R definida por t ( x) = x + 3 , encuentra 5 pares que pertenezcan a la función y 5 pares que no pertenezcan a ella. 6. Escribe la expresión algebraica que define cada una de las siguientes funciones y determínese el rango de dichas funciones. a) A = { 12,10, 8, 6 ,4, 2 , 0 } , b = Z

f = { ( 12 , 7 ), ( 10 , 5 ), ( 8 , 3 ), ( 6 , 1 ), ( 4 , − 1 ), ( 2 , − 3 ), ( 0 , − 5 ) } b) g : Z → Z g = { K , ( − 4 ,− 12 ), ( − 3 , − 9 ), ( − 2 , − 6 ), ( − 1, − 3 ), ( 0 , 0 ), ( 1, 3 ), ( 2 , 6 ), ( 3 , 9 ), ( 4 , 12 ), K } 7. Sea h : N → R definida por y 2 = x , ¿es h una función de N en R?

8. ¿Es la siguiente una función de Z en Z?

f = { ( x, y ) / y = 2 x }

{

}

9. Sea f : ( x, y ) / x 2 + y 2 = 1 , ¿es f una función de [ − 1,1 ] en R? 10. Determina cuales de las siguientes relaciones son funciones

a)

b)

.. ..

.. . y

x

d)

. ..

. . . .

x

.. .

.. . .

x

y

c)

.. ..

.. . y

x

e)

.. .

.. .

x

y

y

Las funciones podemos clasificarlas en inyectivas, suprayectivas y biyectivas Definición: Una función f : X → Y se dice que es uno a uno (1-1) ó inyectiva si ∀ x ∈ X ∧ ∀ y ∈ Y , f ( x) ≠ f ( y ) , cuando x ≠ y . Es decir, si f ( x) = f ( y ) ⇒ x = y .

f : X → Y se dice que es sobre o suprayectiva si y solo si f ( x) = y.

Definición: Una función

∀ y ∈Y

∃ x∈ X ∋

Definición: Una función f : X → Y se dice que es biyectiva si y solo si es uno a uno y sobre.

Formas de determinar si una función es inyectiva . Forma gráfica: La prueba de la línea horizontal. Si al trazar cualquier línea horizontal paralela al eje x, ésta corta a la gráfica de la función en un solo punto entonces la función es inyectiva. Veamos los siguientes ejemplos:

Figura 1 Figura 2

En la figura 1 al trazar la línea punteada vemos que corta a la gráfica de la función en 2 puntos, por lo tanto la función no es inyectiva. En la figura 2 la línea punteada corta a la gráfica de la función en un solo punto, por lo tanto la función es inyectiva. Forma algebraica:

Considere f : R → R f ( x) = 2 x − 1 . ¿Es f ( x) inyectiva? Solución: Sean x1 , x 2 tales que

f ( x1 ) = f ( x 2 )

2 x1 − 1 = 2 x 2 − 1 x1 = x 2 Por lo tanto f ( x) es inyectiva. También podemos hacernos la pregunta, ¿Es f ( x) sobre?

y +1 2 y +1 ⎛ y +1⎞ ⎛ y + 1⎞ ∃ x∈R ,x = ∋ f⎜ Por lo tanto ⎟ = 2⎜ ⎟ −1 = y +1−1 = y , 2 ⎝ 2 ⎠ ⎝ 2 ⎠ ∃ x ∈ R , ∋ f ( x) = y . Por lo tanto f ( x) es sobre. Conclusión: Como f ( x) es inyectiva y sobre ⇒ f ( x) es biyectiva.

Sea y ∈ R ⇒ y = 2 x − 1 ⇒ x =

es

decir,

EJERCICIOS 1. ¿Cuáles de las siguientes funciones son inyectivas? ¿Cuáles son sobre? ¿Cuáles son biyectivas?

1 x+2 2 c) f ( x) = x 2 − 1

d) f ( x) = x − 5

e) f ( x) = x

f) f ( x) =

a) f ( x) =

1/ 3

b) f ( x) = 4 − x 2

+1

x−2

4.2 Gráfica de una función Definición: Si f es una función, entonces la gráfica de f es el conjunto de todos los puntos (x, y) del plano cartesiano ( R 2 ) para los cuales (x, y) es un par ordenado de f. De esta definición se deduce que la gráfica de una función f es la misma que la gráfica de la ecuación y = f(x).

Recuerda que en una función existe un solo valor de la variable dependiente (y) para cada valor de la variable independiente (x) del dominio de la función. En términos geométricos esto significa que:

Una recta vertical intersecta la gráfica de una función a lo más en un punto.

EJERCICIOS 1. Determina si las siguientes gráficas representan a una función.

4.3Funciones especiales y sus gráficas I. FUNCIONES ALGEBRAICAS ( Aquellas que pueden construirse usando operaciones algebraicas a partir de polinomios ) FUNCIÓN

DOMINIO RANGO Constante f : A → B f (a) = b ∀a ∈ A

GRÁFICA

f ( x) = 2 y=2

y=2

R = ( − ∞ , ∞)

{2 }

Polinomial f : A → B f ( x ) = a0 + a1 x + ... + an x n n , a 0 , a1 , K , a n ∈ R

Función lineal Función polinomial de grado 1. Ejemplo: f ( x) = x + 2

y = x + 2

R = ( − ∞ , ∞)

R = ( − ∞ , ∞)

y = x+2

y=x

Función identidad

f ( x) = x y=x

Función cuadrática Función polinomial de grado 2. Ejemplo: f ( x) = x 2

y = x2

R = ( − ∞ , ∞)

R = ( − ∞ , ∞)

y = x2

R = ( − ∞ , ∞)

[0,∞ )

y = x3

Función cúbica Función polinomial de grado 3. Ejemplo: f ( x) = x 3

R = ( − ∞ , ∞)

R = ( − ∞ , ∞)

y = x3

Radical f : A → B , f ( x ) =

Raíz cuadrada

f ( x)

y= x

f ( x) = 2 f ( x) Ejemplo: f ( x) =

n

x

[ 0 , ∞]

[0,∞)

y= x

Racional f : A → B f ( x) =

f ( x) , h( x) ≠ 0 f ( x) , h( x) son funciones polinomiales. h( x )

1 Ejemplo: f ( x) = x 1 y= x

y=

R − {0 }

1 x

R − {0 }

Valor Absoluto f : R → R , f ( x ) = x

y = x

f ( x) = x y= x

II.

R = ( − ∞ , ∞)

[0,∞ )

FUNCIONES TRASCENDENTES (Funciones que no son algebraicas)

Función exponencial

f ( x) = e x y = ex

y = ex

R = ( − ∞ , ∞)

(0 , ∞ ) 1

y =

Función logaritmo

f ( x) = ln x y = ln x

(0 , ∞ )

ln

x

R = ( − ∞ , ∞)

Funciones trigonométricas

Dominio Función seno

f ( x) = sen( x) y = sen( x)

R = ( − ∞ , ∞)

− 3π / 2 − 2π

π /2 −π

2π

π

Rango

[ − 1,1]

−π / 2

3π / 2

Dominio Función coseno

f ( x) = cos( x) y = cos( x)

R = ( − ∞ , ∞)

Rango

[ − 1,1]

− 2π

−π / 2

− 3π / 2

−π

π /2

3π / 2

π

2π

Dominio

R − (2n + 1)(π / 2)

Función tangente

f ( x) = tan( x) y = tan(x)

Rango

− 3π / 2

− π

− π /2

π π /2

3π / 2

R = ( − ∞ , ∞)

EJERCICIOS

1 1+ x 2 x −9 2. La función h está definida por h( x) = . Determine el dominio y el rango de h. x−3 1. Determina el dominio de la función f ( x) =

3. Determina el dominio y rango de f ( x) = x 2 + 1 y grafica la función.

4.4. Efecto de los parámetros de una función

Pero ¿Cómo graficar funciones? Una forma sería situar en el plano cartesiano varios puntos de la forma ( x, f ( x)) y luego unirlos. La gráfica que se forme será la gráfica de la función. Sin embargo este procedimiento requiere de tiempo y suele ser impreciso. Algunas funciones (no todas, claro) se podrán graficar de una manera más rápida. La función del ejemplo anterior es parecida a la función y = x 2 , solo que aumentada 1 unidad. Nota que la gráfica y = x 2 + 1 es muy parecida a la gráfica de y = x 2 vista anteriormente, solo que desplazada 1 unidad sobre el eje y. ¿Cuál será la gráfica de y = x 2 − 1 ? En general, al aplicar ciertas transformaciones a la gráfica de una función dada podemos obtener las gráficas de ciertas funciones relacionadas. Supóngase que c > 0 . Para obtener la gráfica de: y = f ( x) + c , se desplaza la gráfica de y = f ( x) una distancia de c unidades hacia arriba. y = f ( x) − c , se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia abajo. y = f ( x − c) , se desplaza la gráfica de y = f (x) una distancia de c unidades hacia la derecha. y = f ( x + c) , se desplaza la gráfica de y = f ( x) una distancia de c unidades hacia la izquierda. Supóngase que c > 1 . Para obtener la gráfica de: y = cf ( x) , alárguese la gráfica de y = f ( x) verticalmente un factor de c.

y = (1 / c) f ( x) , comprímase la gráfica de y = f ( x) verticalmente un factor de c. y = f (cx) , comprímase la gráfica de y = f ( x) horizontalmente un factor de c. y = f ( x / c) , alárguese la gráfica de y = f (x) horizontalmente un factor de c. y = − f ( x) , refléjese la gráfica de y = f ( x) respecto al eje x. y = f (− x) , refléjese la gráfica de y = f ( x) respecto al eje y. EJERCICIOS 1. Dada la gráfica y =

x , use las transformadas para graficar y = x − 2 , y = x − 2 ,

y=− x, y= −x. 2. Trace la gráfica de y = ln( x − 2) − 1 3. Clasifica las siguientes funciones.

a) f ( x) = 5 x b) g ( x) = tan(2 x) c) h( x) = x 9 + x 4

x2 +1 x3 + x e) j ( x) = 2 x 2 + x f) k ( x) = x 10

d) i ( x) =

4. Relaciona las ecuaciones que a continuación se presentan con su gráfica correspondiente.

a) y = 3 x + 2

b) y = x 3 − 2

c) y =

( x − 2) 2 2

5. Suponga que se tiene la gráfica y = x . Escriba las ecuaciones para las gráficas que se obtienen a partir de f, como se indica: a) Desplácela 3 unidades hacia arriba. b) Desplácela 3 unidades hacia abajo. c) Desplácela 3 unidades hacia la derecha. d) Desplácela 3 unidades hacia la izquierda. e) Refléjela respecto al eje x. f) Refléjela respecto al eje y. g) Alárguela verticalmente un factor 3. h) Contráigala verticalmente un factor de 3.

⎧⎪ − x 2 + 4 x < 0 ⎪⎩ − x − 1 x ≥ 0

6. Dibuja la siguiente función: f ( x) = ⎨

( ) con la gráfica de f ?

7. Grafique y = sen x . ¿Cómo se relaciona la gráfica de y = f x 8. Grafica la función g ( x) = x 2 − 1 9. Para las siguientes funciones determine su dominio y rango.

a) y = 3 x − 2

b) y =

c) y =

d) y = x − 3

x2 +1

4 − x2

1 x −4 g) y = sen x

f) y = sen x h) y =

x−4

i) y = e x + 2

j) y =

x 2 + 5x + 6 x+2

1 +3 x−2 m) y = x + 1

l) y = ln( x + 1) n) y = − cos(x)

o) y = −1 / x

p) y = 2 −

e) y =

2

k) y =

q) y =

1 x − 16 + 4 − x 2

2

r) y =

x +1

sen( x) + 16 − x 2

4.5. Operaciones con funciones Definición: Para dos funciones f y g, la composición g o f se define como la función cuyo valor en x está dada

por (g o f ) ( x ) = g ( f (x) ) donde x es un elemento que está en D f y tal que f ( x) ∈ Dg . EJERCICIOS 1. Si f ( x ) =

x , g ( x ) = 4 - x 2 , encuentra las funciones f+g, f-g, fg y f/g, f o g y

define sus dominios correspondientes. 2. Encuentra f o g o h para cada inciso.

1 , g ( x ) = x 3 , h( x ) = x 2 + 2 x x b) f ( x ) = x , g ( x ) = , h( x ) = 3 x x-1 a) f ( x ) =

F 3. Expresa las funciones de la forma f o g y posteriormente halla g o f

x2 a) f ( x ) = ( x - 9) , g ( x ) = 2 x +4 2 b) f ( x ) = 1 − x , g ( x) = x 1 c) f ( x) = sen( x ) , g ( x) = x+3 5

4. Encuentra f o g , el dominio y rango de las siguientes funciones.

a) f ( x) =

2− x ,

g ( x) = x

b) f ( x) = 2 x 2 − x ,

g ( x) = 3x + 2

c) f ( x) = x 2 − 16 ,

g ( x) = x

d) f ( x) =

g ( x) = x − 1

1 , x +1 g) f ( x ) = ln ( x ) ,

g ( x) =

e) f ( x) =

i) f ( x) =

x2 −1 ,

x x−2 g ( x) = e x g ( x) =

x2 −1 ,

x+5 , g ( x) = x + 1 x2 +1 h) f ( x) = x 3 + x + 1 , g ( x) = x − 2 f) f ( x) =

1 x

4.6. Inversa de una función Función inversa: Si f es una función uno a uno con dominio en X y rango en Y, y g es una función con dominio en Y y rango en X, entonces g es la función inversa de f si y solo si ( f o g )( x) = x para toda x en el dominio de g y ( g o f )( x) = x para toda x en el dominio de f. EJERCICIOS 1. Verifica si las funciones siguientes son inversas entre si. a) f(x)=x-2 y g(x)= x+2 3

b) f(x)=x y c) f ( x ) =

1 x

f) f(x)= 3x + 4 y g(x)=

g(x)= 3 x y g(x ) =

1 x

d) f(x)=4x-8 y g(x)= (x/4) + 2

1 3

(x-4)

1 2

g) f(x)= 3- 2x y g(x)= - (x-3) h) f(x)= 2x + 6 y g(x) =

1 x 2

-3

e) f(x)=x3-8 y g(x)= 3 x + 8 2. Determina las inversas de las siguientes funciones, obtén su domino y rango y traza su gráfica a) f(x)=2x + 3 2x f) f ( x) = 2 x +1 b) f(x) = x – 4x, para x ≥ 2

c) f(x) =2x-3

g) f(x)=x2-4

d) f(x) =x2+1

h) f(x)=4x + 1

2 e) f ( x) = x−3

i) f(x)=2x3 + 5 j) f(x) = x2 – 4, para x ≥ 0