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Ejercicios para practicar 1. Dado los
conjuntos A = {2, 4, 6, 8,10,12,14} y B = {1, 3, 5, 7, 9,11,13,15};
Construya la siguiente relación de A en B R1 = {( x, y ) / y = x + 1} . Adicionalmente determine el dominio y el rango de cada una de las relaciones. 2. Determinar el dominio de las siguientes funciones de variable real. a) f ( x ) = 4 − 2 x b) f ( x ) =x 2 − 4 x + 3 c) 𝑓 𝑥 = 𝑥 − 4 d) 𝑓 𝑥 = 2 − 𝑥 𝑥 − 4 3. Identifique en las siguientes gráficas cual es función inyectiva.
4. Fractorizar: a) 6 x 2 − 7 x − 20 b) 18 x 2 − 98 5. Simplificar las siguientes expresiones: 2
3
⎛ 2 x ⎞ ⎛ 3 ⎞ a) ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 4 x ⎠ 2
3
⎛ 2 x ⎞ ⎛ 3 x ⎞ b) ⎜ ⎟ ÷ ⎜ ⎟ ⎝ 9 ⎠ ⎝ 4 ⎠ c)
7 x 2 − 3x − 8 12
6. Exprese
( 3 − 2)3en la forma a
3 + b , donde a, b ∈ Z
7. Considere las funciones f ( x ) = 2 x y g ( x ) =
1 , x ≠ 3. x−3
a) Calcule (f o g) (4). b) Halle g – 1(x). c) Escriba el dominio de g – 1(x).
8. Dada la ecuación p = r 2 + 2qr
a) Calcule el valor exacto de p cuando q = 3,6 y r = 24.
b) Escriba la respuesta aproximada con dos cifras significativas
c) Exprese la respuesta del apartado (b) en la forma a × 10k con 1 ≤ a ≤ 10 y
k ∈ Z 9. a) Factorice la expresión x2 – 25. b) Factorice la expresión x2 – 3x – 4. 10. Dos funciones f, g están definidas de la siguiente manera: f : x → 3x + 5 g : x → 2(1 – x) Encuentre: (a)
11.
f –1(2);
(b)
(g o f)(–4).
La función f se define por
f : x 3 − 2x ,
x≤
3 2
Calcule f-‐ – 1(5).
12. Los conjuntos A, B y C son subconjuntos de U. estos están definidos de la siguiente manera: U = {enteros positivos menores que 16} A = {números primos} B = {factores de 36} C = {múltiplos de 4}
(a)
Haga una lista de los elementos de:
(i)
A;
(ii)
B;
(iii)
C;
(iv)
A ∩ B ∩ C.
13. Las siguientes figuras muestran las gráficas de cinco funciones.
I
y
y
II
2 1
2 1 –2 –1 –1 –2
III
1
2
x
–2 –1 –1 –2
y
2
x
1
2
x
y
IV
2
2 1 –2 –1 –1 –2
1
1 1
2
V
x
–2 –1 –1 –2
y
2 1 –2 –1 –1 –2
1
2
x
Cada uno de los siguientes conjuntos representa en recorrido de una de las funciones de las gráficas anteriores. (a) {y / y∈ R}
(b) {y / y ≥ 2} (c)
{y / y > 0}
(d) {y / 1
≤ y ≤ 2}
(e) {y / 0
≤ y ≤ 2}
14. . Las gráficas:
D 3
g
2
1
C
a b c
representan las funciones f : A → B y g : C → D donde C = {a, b, c} y D = {1,2,3} . Determine ¿cuál de las siguientes composiciones NO ES POSIBLE efectuar? a)
f g
b) g f c) f −1 f d) g g −1 e)
f −1 g −1
c)
15. Sean los conjuntos A = {?,$,1,*} y B = {1,2,3,*} , y sea f : A → B y g : B → A dos funciones tales que: i f = {(?,1), ($,∗), (1,∗), (∗,1)} y g = {(1, ?), (2,$), (∗,1), (3,∗)} . Determine ¿cuál de las siguientes proposiciones es FALSA? g es una función inyectiva pero f no lo es. El dominio de g f es {?,$,1,∗} . El rango de f g es {1,∗} .
d)
(1,1) ∈ ( f g )
e)
El rango de
a) b)
g f
es igual al rango de
g
.
16. Sean las funciones g = {(1,2), (2,3), (3,4), (4,5)} y valor de (h g )(1) es: a) 1 b) 2 c) 3
h = {(2,3), (3,4), (4,5), (5,6), (6,7)} .
d)
4
e)
Entonces el
5
17. Si Re = IR el conjunto de los números Reales; Q es el conjunto de los números Racionales; I es el conjunto de números irracionales; Z es el conjunto de los números enteros, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA: a) IR ∩ I = I b) (Q ∪ Z ) ∪ I = IR c) Q ∩ I = φ d) IR − I = Z e) ( I ∩ Z ) ∪ Q = Q
18. Si se consideran los siguientes conjuntos de números:
N:
IR : Reales Z : Enteros I : Irracionales Naturales Una de las siguientes proposiciones es INCORRECTA, identifíquela. a) ( N ∪ Q) ⊆ IR b) I ∩ Q = IR c) Z ⊆ Q
Q:
d)
Racionales
N⊆Z
e)
N ⊆ (Q ∪ I )
19. Identifique ¿cuál de las proposiciones es FALSA?: a) Q ∩ I = φ b) Q ∪ N = Q c) ( N ∩ I )C = IR d) Q − N = Q
20. Dados N = números naturales, Z = números enteros, Q = números racionales, números irracionales y IR = números reales, entonces una de las siguientes proposiciones es FALSA: a) N ⊂ IR b) Q ∩ I = φ c) ( N ∪ I ) ⊂ IR d) IR = (Q ∪ I ) e) a)
e)
IR − Q = I ∩ IR
I
=
N ⊂ Z ⊂ I ⊂ IR
21. Una de las siguientes proposiciones es FALSA, identifíquela: 4 = −2 siempre que −2π es un número racional.
b)
⎛ 10 ⎞ 5 + ⎜ ⎟ = 3 ⎝ 5 ⎠
ó (− 15)−2 es un número negativo.
c)
El número
(2e) e
es racional.
d) Si 1 es irracional, entonces −3 = 1 − 4 . e) Una de las afirmaciones es falsa 22. Sea la siguiente operación: * : Z × Z → Z , tal que x * y = x 2 + y , Entonces es VERDAD que: a) ∗ no es una operación binaria. b) (1 ∗ 0) ∗ 2 = 1 ∗ (0 ∗ 2) c) La operación es conmutativa. d) La operación es asociativa. e) (2 ∗ 1) ∗ 0 = 0 23. Sea S = {a, b, c} ; sobre este conjunto se define la operación binaria " Δ " por medio de la tabla: Identificar cuál de las siguientes proposiciones es VERDADERA: Δ a b c a) (aΔa ) = c a b a a b) La operación binaria “ Δ ” es conmutativa c) (aΔa ) = [(bΔc)Δa ] b b c b d) (bΔb) = [(bΔc)Δc ] c a b c e) [(aΔb)Δ(aΔc)] ≠ (cΔb) x+
24. Si se simplifica la expresión
x
1 x −1 1
x2
se obtiene:
a) 1 b) x
c) 1 x
d)
1
x2
e) x − x 2
25. Al simplificar la expresión algebraica: u w
b) v
e) 1 26. Al SIMPLIFICAR:
x2 + 2 x−2 x− x +1
se obtiene: a)
(a + b) (ab + 1)
⎡ a + 1 ⎢ ab + 1 + ⎣ ⎡ a + 1 ⎢ ab + 1 − ⎣
b) a
d) 1
c) a − b 1+ x 1− x − 1− x 1+ x 1 1 − 1+ x 1− x
ab
a)m (ab)m−1
ab
, se obtiene:
es EQUIVALENTE a:
b)m (ab
c)m−1 (ab)m
)
30. Al SIMPLIFICAR la siguiente expresión: 2
m 3
a)
5
b) m −
1
3
m n2 3
5 4n 6
m3n m n 2
m2n
d )m
m n3
c) m −
1
1
(ab )
5
− m 4n 6
3 4n 4
5
1
a) 2 a b 3
a 2 b
1
d)
m 4n 6
1 ⎤ ⎡ − ⎢ 3 27a b−3 a 3 b ⎥ ⎥ Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica ⎢ ⎢ ⎥ −1 2 b 16a ⎢ ⎥ ⎣ ⎦
e) 3
e)m−1 (ab)
se obtiene:
n 6
31.
e) 1
a
c) 1 − x d) −2 e) 2
29. La siguiente expresión: m−1 m
3
d) 3x + 2 e) x − 1
ab + a ⎤ −1 ab + 1 ⎥⎦ ab + a ⎤ +1 ab + 1 ⎥⎦
28. Al SIMPLIFICAR la expresión algebraica:
w
c) 5x − 1
a) 1 b) 1 + x
d) v
se obtiene: a) 8 x + 5 b) 4 x 27. Al SIMPLIFICAR la expresión:
u +1 v
v
x −1 x+2−
se obtiene:
c ) u
u
u v w
1+ w−
a)
u
u−
b) 2
a 3 b
c) 3
2
a b
−1
se obtiene: d) 3
2
b a
e)
32.
⎛ ⎞ ⎜ 2 x − 1 ⎟ ⎜ − x + ⎟ 2 − x ⎟ Al SIMPLIFICAR la expresión ⎜ −1 ⎜ ⎛ x − 2 ⎞ ⎟ ⎟ + 2 x ⎟ ⎜ ⎜ 5 x − 1 ⎠ ⎝ ⎝ ⎠
a)
x x +1
b) −
x x +1
33. Al SIMPLIFICAR la expresión:
1 2+ x
a 3 + a 2 b + ab 2
(a
2
− b2
−1
) (a
)
3
− b 3 (a + b )
34. Al SIMPLIFICAR la expresión:
e)
1 1− x
se obtiene:
c) a
2 ⎤ ⎡ 2 3 ⎤ ⎡ ⎢ a − 3a ⎥ ⎢ 27 − a ⎥ ⎢ 9 − a 2 ⎥ ⎢ (a + 3)2 − 3a ⎥ ⎦ ⎢⎣ ⎥⎦ ⎣ 4 2 a − 9a
d)
(a − b)2
)
(
2
+ 2 , se obtiene:
c) x − 1 d)
a) (a + b)2 b) b e) (a − b)
a) (a − 3a ) (3 + a )
−1
(a
2
+ 3a
se obtiene:
2
)
b) a 3 − 3a 2 c) (a + 3a ) d) a 3 + 3a 2 (3 + a ) 2
e) 3 +2a a
35. El diagrama muestra parte de la gráfica de y = f (x) la cual pasa por los puntos A(-‐1,3), B(0,2), C(1,0), D(2,1) y E(3,5). 10
9
8
7
y
6
5
4
A
E
3 2 B
1
0
D C
x
-‐5 -‐4 -‐3 -‐2 -‐ 1 0 1 2 3 4 5
-1
-2
-3 -4
Una segunda función está definida por g(x) = f (x) +1 . -5
a. Calcule g (0), g (1), g (2), g -6 (3) . -7
b. En los mismos ejes, trace un dibujo aproximado de la gráfica de la función g (x) .
-8
36. Considere los números 5, 0,5, 5 y –5. Rellene la tabla a continuación, mostrando a cuál de los conjuntos de números N, R y Q pertenecen estos números. 5 0,5
N O O
5 -‐5
R P
Q P
37. Las siguientes figuras muestran inecuaciones en x. a.
-‐2 -‐1 0 1 2 3 4 -‐2 -‐1 0 1 2 3 4
b.
-‐3 -‐2 -‐1 0 1 2 3 4 c. -‐3 -‐2 -‐1 0 1 2 3 d. -‐3 -‐2 -‐1 0 1 2 3 Escriba la inecuación representada en cada una de las figuras. 38. La Sra. Harvey desea colocar una cerca de 50 m de longitud alrededor de su jardín rectangular. Sólo necesita cercar 3 lados, ya que el otro es el costado de la casa.
casa
x
jardín y
Sea x el ancho del jardín y y su longitud. a. Escribas una función de y en función de x. b. Escriba una expresión del área A del jardín en función de x.
39. Sea f (0) = 2
f
una función de variable real tal que f ( x) = ax 2 + bx + c .Si ; f (−3) = 5 ; f (1) = −1 , entonces el VALOR de f (−2) es: a) 5 b) 6 c)–1 d)–4 e) 2
40. El número 5,212121… es igual a a) 5212121 b) 364847 c) 172 1000000
70000
33
d) 520479 99900
e) 858 165
41. La representación fraccionaria del número decimal periódico 2.518181818… es a) 2518 b) 295 c) 277 d) π − 31 e) 2518 1000
110
110
50
999
42. La representación fraccional del número decimal 7.066066066… es a) 2658/333 b) 2633/33 c) 2353/333 d) 2331/33 e) 222/33 2.313131... − 0.101010... 43. Al realizarse las siguientes operaciones se obtiene 3.161616... 239 219 238 237 a. b) c) d) 313 313 331 332 139 e) 313