6. Variable aleatoria continua Un diálogo entre C3PO y Han Solo, en El Imperio Contraataca, cuando el Halcón Milenario se dispone a entrar en un campo de asteroides: - C3PO: Señor, la probabilidad de sobrevivir al paso por el campo de asteroides es, aproximadamente, de una entre 3721. - HAN SOLO: ¡No me hables de probabilidades!

1

Variable aleatoria continua versus discreta. Considera el siguiente ejemplo: • Tenemos dos dados: el primero es un dado convencional que tiene 6 caras, todas ellas equiprobables. • El segundo, es un dado ‘continuo’, es decir, al tirar el dado podemos obtener cualquier número real comprendido en el intervalo [0,6]. Todos los números son equiprobables. - Por Laplace, sabemos que en el primer caso, P(X=x)=1/6 - En el segundo caso, P(X=x)=1/∞ = 0!! En general, para toda v.a. continua X, la probabilidad de que tome un determinado valor, p(X = x), es simpre igual a cero. Este hecho es, junto al uso de la integral en lugar de sumatorios, la diferencia fundamental entre ambos tipos de variables. ¿Cómo calcular entonces probabilidades?

Función de densidad de probabilidad

La función de densidad per se NO ES UNA PROBABILIDAD Es decir, NO es verdad que f(x) = P(X = x) Recuerda que P(X=x) es siempre igual a cero si X es una v.a. continua.

La probabilidad de que X esté entre a y b se puede calcular como el área que queda debajo de la curva f(x)

f(x) El área delimitada por la curva f(x) en el intervalor [a,b] se calcula como la integral de la función en dicho intervalo.

a

b

X

Al igual que la función de masa de probabilidad, la función de densidad siempre toma valores positivos. Pero, dado que no es una probabilidad, PUEDE TOMAR VALORES SUPERIORES A 1.

Imaginemos una ruleta de la fortuna con un perímetro circular de longitud 1. Como la flecha puede señalar infinitos valores no numerables, todo resultado tiene probabilidad 0. ¿Cómo podemos definir entonces probabilidades? Podemos hacerlo asignando probabilidades a intervalos, p. ej.: la probabilidad de que el resultado esté entre 0 y 0,5 es 1/2, puesto que se trata de la mitad del círculo. ¿Cómo podemos representarlo mediante una gráfica?

p (x)

 0  1 p( x) =  b − a  0

1

Área = 1 x 0

1

x1 4

p (x)

p (x)

1

1

0

a

x 1

El área sobre un punto como a, es cero.

0

a

b

x 1

La probabilidad de que obtengamos un valor entre a y b es b - a. 5

Función de distribución de una variable aleatoria continua Para una variable aleatoria continua disponemos de un conjunto no numerable de valores. No es posible definir una probabilidad para cada uno. Por eso definimos previamente la función de distribución de probabilidad, que sí tiene un significado inmediato y semejante al caso discreto:

F : ℜ → [0,1] x → F ( x) = P( X ≤ x) 6

Definimos la función de distribución para la variable aleatoria continua como: x

F ( x) =

∫ p(t )dt

∀x ∈ ℜ

−∞

Donde p(x) se llama función densidad de probabilidad de la distribución F(x), es continua y definida no negativa. Diferenciando tenemos:

dF ( x) = p( x) dx

para cada x donde p(x) es continua.

7

Función de densidad de probabilidad

0.20

0.15

P ( a ≤ x ≤ b) =

0.10

F (b) − F (a ) =

0.05

a

a

15

14

13

12

11

10

9

8

7

6

5

4

= ∫ p ( x)dx

0.00 3

b

2

Se puede pensar como la generalización de un histograma de frecuencias relativas para variable continua.

0.25

1

Es una función no negativa de integral 1.

b 8

Observa que:

∞

∫ p(v)dv = 1

−∞

A partir de la definición es fácil ver que: b

P(a ≤ X ≤ b) = F (b) − F (a) = ∫ p(v)dv a

De modo que la probabilidad es el área bajo la curva densidad p(x) entre x = a y x = b. Nota: para cualquier par de valores a y b, en el caso de una variable aleatoria continua, las probabilidades correspondientes a los intervalos a < X ≤ b, a < X < b, a ≤ X < b y a ≤ X ≤ b son la misma. No así en variable discreta. 9

Supongamos que X tiene como función densidad a p(x) = 0.75(1-x2) si -1≤ x ≤1 y cero en otro caso. Encuentra la función de distribución y las probabilidades P(-1/2 ≤ X ≤ 1/2) y P(1/4 ≤ X ≤ 2). Y x tal que P(X ≤ x) = 0.95

F(x) = 0 si x ≤ -1 x

F ( x) = 0.75 ∫ (1 − v 2 )dv = 0.50 + 0.75 x − 0.25 x 3

si - 1 < x ≤ 1

−1

F(x) = 1 si x >1. 1 2

P(− 12 ≤ X ≤ 12 ) = F ( 12 ) − F (− 12 ) = 0.75 ∫ (1 − v 2 )dv = 0.6875 − 12

1

2 1 = ≤ ≤ = − − P( X 2) F (2) F ( 4 ) 0.75∫ (1 v )dv = 0.3164 1 4

1 4

P( X ≤ x) = F ( x) = 0.5 + 0.75 x − 0.25 x 3 = 0.95 ⇒ x ≈ 0.73

Un cartero llega cada mañana entre las 8 y las 10. Definimos X = tiempo transcurrido (medido en horas) hasta que llega el cartero. Por tanto, X está entre 0 y 2. Si la función de densidad de X es  Si X está entre 0 y 2

k f (x) =  0

En caso contrario

Calcula el valor de k ¿Cuál es la probabilidad de que el cartero llegue entre las 9 y las 10? ¿Cuál es la probabilidad de que llegue a las 9 en punto?

• • •

∞

∫

f ( x )dx = 1

−∞

∞ 2 2 ∫ f ( x )dx = ∫ kdx = kx ]0 = 2k − 0 = 1; −∞ 0 2

∫ 1 / 2dx = 1 / 2 x] = 1 / 2(2 − 1) = 1 / 2 2

1

1

k = 1/ 2

Esperanza matemática o media μ = ∑ x j p( x j )

(Distribución discreta)

j

∞

μ=

∫ xp( x)dx

(Distribución continua)

−∞

Decimos que una distribución es simétrica si existe un valor c tal que para cada real x: p (c + x) = p(c - x). Observa que si una distribución es simétrica con respecto a c, entonces su media µ es µ = c.

15

Varianza y desviación típica σ 2 = ∑ ( x j − μ) 2 p ( x j )

(Distribución discreta)

j

∞

σ 2 = ∫ ( x − μ) 2 p ( x)dx

(Distribución continua)

−∞

La desviación típica o estándar es el valor positivo de la raíz cuadrada de σ2 . Ambas miden la dispersión de la distribución. Observa que la varianza siempre es σ2 > 0, excepto para una distribución con p(x) = 1 en un punto y p(x) = 0 en el resto (una delta de Dirac), en cuyo caso σ2 =0. 16

Distribución de probabilidad uniforme U(a,b) Función de densidad de probabilidad:  1  p ( x ) = U ( a, b) =  b − a  0

si a ≤ x ≤ b en otro caso

Recordemos que la función de distribución se define como: x

F ( x) =

∫ p(t )dt

1 b−a

p (x)

Área = 1 a

x

b

∀x ∈ ℜ

−∞

Entonces:

0 x −a F ( x) =  b − a 1

xb

17

Igualmente, partiendo de la función de distribución:

0 x −a F ( x) =  b − a 1

xb

Podemos calcular la función de densidad de probabilidad:

dF ( x) = p( x) dx

 1  p( x) =  b − a  0

si a ≤ x ≤ b en otro caso 18

Ejemplo:

 1  47 − 41  = p( x)    0

para

41 ≤ x ≤ 47

para el resto de valores 45 − 42 1 = 47 − 41 2

p (x)

Calcula la probabilidad

P(42 ≤ x ≤ 45)

1 1 = 47 − 41 6

Area = 0.5

41 45

x1 − x2 P(x1 ≤ x ≤ x2 ) = b−a

42 47 x

45 − 42 1 P(42 ≤ x ≤ 45) = = 47 − 41 2 19

Calcula la media, la varianza y la desviación típica de la distribución de probabilidad uniforme. b

 x  x b2 − a2 a + b dx =  = μ=∫  = b−a 2  2(b − a )  a 2(b − a ) a b

2

b−a (b − a) a+b 1  2 dx = ; σ= σ = ∫x −  2  b−a 12 12 a 2

b

1

1 p(x)

(σ2=1/12)

p(x)

0

2

x

1

-1

0

(σ2=3/4)

1

2 x

Nota: Observa que estas distribuciones tienen la misma media pero distinta varianza. Mayor varianza implica mayor dispersión alrededor de la media. 20

Momentos de orden k centrados en el origen y en la media. E (T ( X )) = ∑ T ( x j ) p ( x j )

(Distribución discreta)

j

E ( X k ) = ∑ x j p( x j ) k

Momentos de orden k

j

E (( X − μ) k ) = ∑ ( x j - μ) k p ( x j ) j

∞

E (T ( X )) = ∫ T ( x) p ( x)dx

(Distribución continua)

−∞

∞

E( X k ) =

k x ∫ p( x)dx

−∞

∞

E (( X − μ) k ) = ∫ ( x − μ) k p ( x)dx −∞

Observa que para k = 2: σ2 = E((X - µ)2) 22

Otras medidas de la anchura de la distribución: − Desviación absoluta media, Δx:

1 ∆x ≡ N

∞

N

∑ x −x i =1

i

o

∆x ≡

∫

x − x p ( x)dx

−∞

− Intervalo R ≡ xmax − xmin, b

− Nivel de confianza al 68.3% [a,b] tal que:

a

y el intervalo [a,b] es mínimo. a

− Cuartiles [a,b] tal que

∫ p( x)dx = 0.25

−∞

∫ p( x)dx = 0.683

y

∞

∫ p( x)dx = 0.25 b

25

Otros valores típicos o medidas del valor central son: mediana

xmed

si N es impar  x( N +1) / 2 ≡ si N es par 1 / 2( x N / 2 + x( N +1) / 2 )

F ( xmed ) = P( X ≥ x) = P( X ≤ x) = 0.5

Discr.

Cont.

moda xmod: es el valor para el cuál la distribución toma su máximo absoluto. Siguen un orden alfabético

p( x) =

dF ( x) dx

x

F ( x) =

∫ p(t )dt

−∞

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Los momentos de orden superior son menos robustos y, por lo tanto, menos utilizados 3er momento: describe la asimetría de la distribución. Asimetría (skewness)

1 m3 ≡ N

3 ( ) x − x ∑i =1 i N

σ3

∞

m3 ≡ ∫ ( x − x ) 3 p ( x)dx −∞

4o momento: describe el aplanamiento de la distribución. Kurtosis

4 − x x ( ) 1 ∑i =1 i m4 ≡ N σ4 N

Se suele medir en una escala que toma 3 como su cero, ya que éste es el valor de la kurtosis de una distribución normal estándar

∞

m4 ≡ ∫ ( x − x ) 4 p ( x)dx −∞

(Figs. © Press et al., “Numerical Recipes”)

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33

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