Representación algebraica Plan de clase (1/8) Escuela: _________________________________________ Fecha: ___________________ Profr. (a): _________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios. Intenciones didácticas: Que los alumnos identifiquen las reglas para resolver multiplicaciones de monomios y polinomios, en particular la aplicación de la propiedad distributiva. Consigna: Organizados en equipos consideren los siguientes rectángulos y completen la tabla escribiendo la expresión algebraica que corresponda en cada caso.

FIGURA 1

FIGURA 2

FIGURA 3

a

m z

a m

b

b

2 x

1

1

FIGURA 5

FIGURA 4 d p

e

q e p

p

p d

e

e

c

Figura

Base

Altura

Área

1 2 3 4 5

Consideraciones previas: Los antecedentes que los alumnos ya han trabajado y que les permitirán lograr la intención didáctica son:     

El trabajo con expresiones algebraicas a partir de modelos geométricos. Multiplicación de números enteros. Trabajo con exponentes (aunque por el momento todas las expresiones que multiplican son lineales) Lo que es un monomio y un polinomio. Reducción de términos semejantes.

Es importante señalar que no se debe ocupar tiempo en hacer un recordatorio de todos estos contenidos, ya que deben ser los alumnos quienes los pongan en juego y de esa manera evidencien sus fortaleza o debilidades en el conocimiento que tengan de ellos. Una de las limitantes del modelo geométrico empleado en este desafío es que sólo permite trabajar con términos positivos y exponentes uno y dos. No obstante se eligió este modelo porque lo importante ahora es que los alumnos concluyan que:  

Para multiplicar un monomio por un polinomio se multiplica el monomio por cada término del polinomio. Para multiplicar un polinomio por un polinomio se multiplica cada término de uno de los polinomios por cada término del otro polinomio.

En la puesta en común se debe poner énfasis en dos aspectos: 1) Tratar de que se llegue a las expresiones simplificadas de la base, altura y área. Por ejemplo, para la figura 5, las posibles maneras de llenar la tabla son:

Base

Altura

Área

d+e+e

d+e+e

e2 + e2 + e2+ e2 + ed + ed + ed+ ed+ d2

d + 2e

d + 2e

4e2 + 4ed + d2

En la tabla que quede al frente de todos es importante que se llegue a la forma simplificada. 2) Una vez que se tenga la forma simplificada trabajar con los alumnos la notación: (d + 2e) (d + 2e)= d2 + 4ed + 4e2 Para ello, se puede hacer la siguiente pregunta: Si no tuvieran las figuras, ¿cómo podrían obtener el resultado a partir de la multiplicación? Al terminar de trabajar el desafío es importante que los alumnos exploren cómo multiplicar las expresiones involucradas sin necesidad de recurrir al modelo geométrico. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ __________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ __________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Representaciones simbólicas Plan de clase (2/8) Escuela: ________________________________________ Fecha: ___________________ Profr. (a): _________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios. Intenciones didácticas: Que los alumnos resuelvan problemas que impliquen multiplicación de monomios y polinomios donde se presenten coeficientes negativos y reflexionen acerca del signo de los coeficientes . Consigna: Organizados en equipos, calculen en cada caso el área de la parte de color.

Consideraciones previas: La principal diferencia de este desafío en relación con el anterior es la introducción de términos con coeficiente negativo. Con respecto al primer problema, es probable que algunos alumnos tengan dificultad en determinar la medida del largo del rectángulo blanco, pero hay que darles tiempo para que ellos solos lleguen a deducir que dicha medida es (12 – 2x)

También es probable que algunos alumnos expresen el área del rectángulo blanco como A  12  2 x  4 . Aquí hay que inducir los alumnos a que reflexionen para determinar si la expresión 12  2 x  4 es equivalente a (12  2 x)(4) .

En el caso de la figura 2, un posible procedimiento es obtener el área de la figura completa multiplicando 2n(n – 1) y al resultado restar el área de la parte que está en blanco n (n- 2). (

)

(

)

Los principales errores que los alumnos pueden cometer al hacer los cálculos anteriores son: 

Que sólo multipliquen el primer término que está en el paréntesis por el monomio y ya no lo hagan con los siguientes términos. Por ejemplo: (



)

Otro error muy común es el manejo de los signos en las cantidades que se restan, por ejemplo: (

)

(

)

En el momento de la puesta en común, se puede aprovechar para comentar este tipo de errores. Finalmente, se puede plantear la siguiente multiplicación: (

)

Y que den propuestas de cómo creen que se resuelve. Después de lo anterior, se sugiere plantear otras multiplicaciones para practicar la técnica que hayan concluido. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ __________________

2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ __________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

Varios entre uno Plan de clase (3/8) Escuela: ____________________________________________ Fecha: ______________ Profr. (a): ________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios.

Intenciones didácticas: Que los alumnos realicen divisiones de un polinomio entre un monomio al resolver problemas.

Consigna: Organizados en equipos, determinen la expresión algebraica que representa el largo de cada rectángulo.

6x 3a

A = 12x2 - 18x + 6

A = 6a2 + 15a ? ?

Consideraciones previas: Para resolver este problema los alumnos pueden optar por dos vías que en esencia son la misma. Es poco probable que directamente dividan el área entre la medida del ancho, lo más probable es que calculen por cuánto tienen que multiplicar el ancho para obtener el área. En caso de que ningún equipo utilice la primera vía conviene que, a partir del resultado obtenido se analice cómo se puede obtener la expresión buscada haciendo la división. Por ejemplo:

Preguntar:

 

¿Cómo se puede obtener le denominador? ¿Cómo se puede obtener

a partir de a partir de

?, ¿cómo podemos dividir el numerador entre ?

De ser necesario, hay que apoyar a los estudiantes a concluir que para dividir un polinomio entre un monomio se divide cada término del polinomio entre el monomio. Para seguir practicando se puede plantear algunos ejercicios, por ejemplo:

18a 2  6ab  3a

64 x 2 y  12 xy  2 xy

Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ____________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ____________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

El cuadrado de la suma Plan de clase (4/8) Escuela: __________________________________________ Fecha: _______________ Profr. (a): ______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios. Intenciones didácticas: Que los alumnos obtengan la regla para calcular el cuadrado de la suma de dos números. Consigna. Trabajen en equipos. Consideren las siguientes figuras:

Fig. A

Fig. B

1

Fig. C 1

x

x

1

x Con ellas se pueden formar cuadrados cada vez más grandes. Por ejemplo:

Cuadrado 1

Cuadrado 2

Cuadrado 3

Con base en esta información completen la tabla que aparece enseguida.

Núm. de cuadrado

1 2 3 4 5

Expresión algebraica que representa la medida de un lado x+1

Expresión algebraica que representa su Perímetro

Expresión algebraica que representa su Área

4(x+1)=

(x+1)2 =(x+1)(x+1)=x2+x+x+1=x2+2x+1

6 a

(x + a)2 = (x + a)(x + a) =

x+a

La expresión algebraica, ya simplificada, que representa el área tiene tres términos que se pueden encontrar a partir de una regla, analicen y escriba esa regla. __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

Consideraciones previas: Para esta actividad los alumnos pueden usar su material recortable del desafío del contenido 8.2.3 Antes de que los alumnos empiecen a llenar la tabla es necesario aclarar que lo que hay en ella se deriva de lo que pasa con las figuras. Conviene preguntar, por ejemplo, por las expresiones algebraicas que representan las medidas de la primera figura y su área y analizar cómo se completó el primer renglón de la tabla. Después de estas aclaraciones invitarlos a que completen la tabla de la misma manera para los otros cuadrados. En la puesta en común es conveniente hacer notar que en la expresión ( ) lo que está dentro es un binomio por lo que esta expresión recibe el nombre de binomio al cuadrado, el primer término del binomio es y el segundo es . Es importante llegar a la regla que se pide que puede ser redactada de otra manera pero en esencia es: 

El resultado de elevar un binomio al cuadrado está formado por el cuadrado del primer término más el doble del primero por el segundo más el cuadrado del segundo término.

Si los alumnos no encuentran solos esta relación, es conveniente apoyarlos. Finalmente hay que decirles que la expresión que resulta de elevar al cuadrado un binomio se llama trinomio cuadrado perfecto. Como ya se ha comentado, el principal error que suelen cometer los alumnos al elevar un binomio al cuadrado es hacer lo siguiente: (

)

El modelo geométrico empleado en este desafìo les permitirá a los alumnos notar que faltan los rectángulos que completan el trinomio cuadrado perfecto.

a+b

b2

a2

a+b

Para consolidar lo aprendido se sugiere plantear otros ejercicios para resolver en el salón de clase y de tarea. Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ____________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ____________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

El cuadrado de la resta Plan de clase (5/8) Escuela: ________________________________________ Fecha:___________________ Profr. (a): _________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios. Intenciones didácticas: Que los alumnos obtengan la regla para calcular el cuadrado de la diferencia de dos números. Consigna. En equipos, resuelvan el siguiente problema: ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la parte sombreada? ________________ 5

x

5

x

Consideraciones previas: El problema planteado se presta para ser resuelto de diversas maneras, por ejemplo: 

Darse cuenta de que la medida de un lado de la parte sombreada se puede expresar como x - 5 y entonces multiplicar (x - 5)(x - 5) para encontrar el resultado.



De la expresión algebraica que representa el área total del cuadrado de lado x, que es x2, restar las expresiones algebraicas que representan las áreas de los dos rectángulos y del cuadrado pequeño. Estos es: x2 – 5 (x – 55) – 5 ( x − 5) − 25, o bien, x2 − 5x − 5( x − 5 )



Sumar primero las expresiones algebraicas que representan las áreas de los dos rectángulos y del cuadrado pequeño y el resultado restarlo a la expresión algebraica que representa el área total que es x2.

Es importante hacer notar que en este caso, igual que cuando se trata de la suma de dos números elevada al cuadrado, el resultado es un trinomio cuadrado perfecto, sólo que, el segundo término es negativo. Para consolidar lo aprendido se sugiere plantear otros ejercicios para resolver en el salón y de tarea. Por ejemplo: a) b) c) d) e)

(x + 9)2 = (x – 10)2 = (2x +y)2= (x + m)(x + m) = (x - 6)(x -6 ) =

Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ____________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ____________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil

Útil

Uso limitado

Pobre

Como producto Plan de clase (6/8) Escuela: ________________________________________ Fecha: ___________________ Profr. (a): ________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2. Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios. Intenciones didácticas: Que los alumnos factoricen trinomios cuadrados perfectos. Consigna: En equipos, resuelvan el siguiente problema: La figura está dividida en cuatro partes, un cuadrado grande, un cuadrado chico y dos rectángulos iguales. La expresión algebraica que representa el área de la figura completa es el trinomio cuadrado perfecto: x2 + 16x + 64

a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa la medida de cada lado de la figura completa? __________________________ (Pista: ubiquen los términos al cuadrado en los cuadrados de la figura.) b) ¿Cuál es el binomio que hay que elevar al cuadrado para obtener este trinomio cuadrado perfecto? ________________________________________________ c) Completen la siguiente expresión algebraica: x2 + 16x + 64 = (

)2

Consideraciones previas: Como resultado de esta actividad se espera que los alumnos se den cuenta de que un trinomio cuadrado perfecto se puede expresar como el cuadrado de un binomio o como el producto de dos factores iguales. Comentar que este último proceso se llama factorización.

En la puesta en común es importante poner énfasis en los siguientes aspectos: 

No todos los trinomios son cuadrados perfectos.



La pista que se da en el problema tiene el propósito de que los alumnos noten que en lo primero que tienen que fijarse es si el trinomio tiene dos términos que están al cuadrado. Por ejemplo, x2 + 8x + 7, no es trinomio cuadrado perfecto porque no tiene dos términos al cuadrado. En cambio, x2 + 10x + 25, tiene dos términos cuadráticos que corresponden a los cuadrados que forman la figura que representa un trinomio cuadrado perfecto. 25

x2



Una vez identificados los términos al cuadrado, se obtiene su raíz cuadrada y esos términos forman el binomio que se busca: 25

x2

x



5

Falta un último paso: Comprobar que el otro término del trinomio cuadrado perfecto (10x) corresponda al área de los dos rectángulos Es decir, el otro término debe ser el doble de x por 5.

5x

25

x2

5x

x

5

Cabe aclarar que hay trinomios que tienen dos términos cuadráticos pero el tercer término no cumple con la condición pedida. Por ejemplo, x2 + 8x + 25, no es trinomio cuadrado perfecto a pesar de que tiene dos términos cuadráticos. Es importante trabajar estas ideas con los alumnos, pues antes de factorizar el trinomio cuadrado perfecto deben saber identificarlo. Después de analizar lo anterior es necesario plantearles varios ejercicios, en primer lugar para que determinen si se trata de trinomios cuadrados perfectos y en segundo lugar para factorizarlos.

Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ____________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ ____________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

Diferencia de cuadrados Plan de clase (7/8) Escuela: ________________________________________ Fecha:___________________ Profr. (a): _________________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios. Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren la relación entre una diferencia de cuadrados y su correspondiente producto de dos binomios conjugados. Consigna. En equipos resuelvan los siguientes problemas: 1. Resuelvan las siguientes multiplicaciones, simplifiquen el resultado. a) (m + n) (m – n) = _____________________________________________ b) (x + y) (x – y) = ______________________________________________ c) (2a + b) (2a - b) = ____________________________________________ d) (5x – 2y) (5x + 2y) = __________________________________________ e) (3e2 + 1) (3e2 – 1) = __________________________________________

Analicen los factores que están multiplicando y el resultado ya multiplicado. Traten de encontrar una regla que les permita encontrar el resultado de este tipo de multiplicaciones de manera inmediata. Anótenla: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

2. De un cuadrado de lado x, se corta un cuadrado más pequeño de lado y, como se muestra en la figura 1. Después, con las partes que quedan, se forma el rectángulo de la figura 2. Con base en esta información contesten: Fig. 2

Fig. 1

y x

x

y

a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la figura 1, antes de cortar el cuadrado pequeño? ________________________ b) ¿Y después de cortarlo? ____________________ c) Anoten las expresiones algebraicas que representan las medidas del rectángulo de la figura 2. base:___________

altura:_____________

d) Expresen algebraicamente el área de la figura 2 como el producto de su base por su altura. A=_______________________________ e) Expliquen el siguiente enunciado usando las figuras 1 y 2 junto con sus respuestas a los incisos anteriores: Una diferencia de cuadrados es igual al producto de la suma por la diferencia de las raíces de los cuadrados.

Consideraciones previas: En este desafio se introducirán dos nuevas expresiones usadas en álgebra: 

binomios conjugados (dos binomios que tienen los mismos términos pero uno tiene signo contrario)



diferencia de cuadrados

Por lo que es importante mostrar ejemplos de ambos a los alumnos. Se espera que en el primer problema los alumnos noten la regularidad que se da cuando se multiplica una suma por la diferencia de los mismos términos, como en estos momentos no saben lo que son binomios conjugados es probable que sus redacciones queden imprecias, ambiguas o parcialmente correctas. Lo importante es el esfuerzo que hagan por generalizar la regla. En la puesta en común y después de introducir la expresión binomios conjugados, hay que apoyarlos para que lleguen a concluir que: El producto de dos binomios conjugados es el cuadrado del término común menos el cuadrado de los términos conjugados.

La figura 1 le da significado a la expresión x2 – y2, mientras que la figura 2 le da significado a la expresión (x + y)(x - y), y, dado que las áreas son iguales, se puede concluir que las expresiones que las representan son equivalentes. Otra manera de comprobar la factorización de una diferencia de cuadrados es usando el siguiente modelo geométrico:

x

y

Se puede presentar a los alumnos y entre todos calcular el área azul en la primera y en la última figura. Es necesario que los alumnos resuelvan varios ejercicios, tanto para encontrar la diferencia de cuadrados como el producto de los binomios conjugados. Por ejemplo: a) (3m + 2n)(3m − 2n) =

e) 25x2 – 64 =

b) (4xy – 2x)(4xy + 2x) =

f) x2 – 400 =

c) a2 – b2 =

g) ___ – 16y2 = ( ___ + 4y )(5x − ___ )

d) x2 – 4n2 =

Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre

Dos binomios Plan de clase (8/8) Escuela: ____________________________________________ Fecha: ______________ Profr. (a): _______________________________________________________________ Curso: Matemáticas 2 Secundaria Eje temático: SN y PA Contenido: 8.3.2 Resolución de problemas multiplicativos que impliquen el uso de expresiones algebraicas, a excepción de la división entre polinomios. Intenciones didácticas: Que los alumnos encuentren el producto de dos binomios de la forma (a + a) (x + b) como x2 + (a + b)x + ab, con a y b constantes. Consigna. En equipo realicen las siguientes actividades: 1. Consideren la siguiente figura para responder las preguntas.

4

B

D

x

A

C

x

3

a) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la figura A? ___________________ b) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de las figuras B y C juntas? __________________ c) ¿Cuál es la expresión algebraica que representa el área de la figura D? ____________________ d) Expresen algebraicamente dos maneras diferentes el área de la figura completa: ____________________________ = ________________________ 2. Resuelvan las siguientes multiplicaciones, simplifiquen el resultado. a) (m - 8) (m + 3) = _____________________________________________ b) (x + 9) (x – 6) = ______________________________________________

c) (a + 8) (a − 5) = ____________________________________________ d) (x – 2) (x + 7) = __________________________________________ e) (e − 1) (e − 10) = __________________________________________

Analicen los factores que están multiplicando y el resultado ya multiplicado. Traten de encontrar una regla que les permita encontrar el resultado de este tipo de multiplicaciones de manera inmediata. Anótenla: __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________ __________________________________________________________________________

3. Encuentren el producto de dos binomios que den como resultado cada uno de los siguientes trinomios. a) x2 + 4x + 3 = ___________________ b) a2 − 4a + 3 = ___________________ c) m2 + 10m + 9 = ___________________ d) z2 – 5z − 6 = ___________________ e) x2 − x − 12 = ___________________

Consideraciones previas: Es conveniente aclarar a los alumnos que los dos binomios que representan las dimensiones de la figura completa de la actividad 1, son dos binomios con un término común (en este caso x). Con lo que han trabajado hasta el momento, se espera que no tengan problemas en las dos primeras actividades. La tercera actividad es la más compleja. Luego de analizar la regla que hayan escrito para multiplicar los dos binomios con un término común, invitar a los alumnos a que analicen cómo se obtiene cada término del trinomio. Quizá algunos estudiantes se den cuenta que para encontrar los términos no comunes basta con descomponer el término que no tiene literal en dos factores que sumados o restados den el coeficiente del término que tiene la literal. Para consolidar lo aprendido hay que plantearles otros ejercicios para resolver en el salón y de tarea; por ejemplo: Completa de manera que se cumpla la igualdad en cada caso:

a) m² – 3m – 10 = (m − 5 ) (m + ___ ) b) c² + 7c + 12 = (c + ___ ) (c + ___ ) c) x² − 22x + 120 = ( ___ − ___ ) (x − 12) d) x² + 11x + 18 = (

)(

)

e) (4x2 + 2y) (4x2 – 2y) = Observaciones posteriores: 1. ¿Cuáles fueron los aspectos más exitosos de la sesión? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ __________________ 2. ¿Cuáles cambios considera que deben hacerse para mejorar el plan de clase? ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ ________________________________________________________________________ __________________ 3. Por favor, califique el plan de clase con respecto a su claridad y facilidad de uso para usted. Muy útil Útil Uso limitado Pobre