Integral definida e indefinida

Facultad de Contaduría y Administración. UNAM

Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

MATEMÁTICAS BÁSICAS INTEGRAL DEFINIDA E INDEFINIDA SUMA DE RIEMANN

[a, b] , al conjunto de puntos intervalo se le conoce como partición del intervalo [a, b] .

Sea un intervalo cerrado

Esto implica que:

Pn = { xo , x1 , x2 ,⋅ ⋅ ⋅, xn

}

contenidos en dicho

x0 = a, xn = b, xi −1 < xi donde i = 1, 2, 3, 4, ⋅ ⋅ ⋅ n

A cada subintervalo se le conoce como celda. A la distancia entre los puntos extremos de cada celda se le conoce como amplitud de la celda. La amplitud de la primera celda es:

∆1 x = x1 − x0

La amplitud de la segunda celda es:

∆ 2 x = x2 − x1

La amplitud de la tercera celda es:

∆ 3 x = x3 − x 2

Gráficamente:

a

b

x xo x1

x2

x3

x4

x5

x6

x7

x8

x9

x 10 x 11

x 12 x n

Como se puede advertir, la amplitud de las celdas viene dado por la diferencia de sus valores finales e iniciales. Por lo tanto, en general, la amplitud de cada celda viene dada por:

∆ i x = xi − xi−1 A la mayor amplitud de las celdas de una partición se le denomina norma de la partición y se le denota por

∆

.

Ejemplo. Dado el intervalo [0,6], efectuar dos particiones diferentes de seis celdas y en cada caso determinar cuál es su norma. 1

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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

Solución. a) Si se hace una partición de igual amplitud:

x0

x1

x2

x3

x4

x5

x6

0

1

2

3

4

5

6

x

∆1 x = x1 − x0 = 1 − 0 = 1

∆ 2 x = x2 − x1 = 2 −1 = 1 ∆ 3 x = x3 − x 2 = 3 − 2 = 1 ∆ 4 x = x4 − x3 = 4 − 3 = 1 ∆ 5 x = x5 − x 4 = 5 − 4 = 1 ∆ 6 x = x6 − x5 = 6 − 5 = 1 ∴ su norma es

∆ =1

b) Se hace una partición de la manera que se indica:

x0

0

x1

x2

x3

x4

x5

0 .8

1 .7

2 .9

3 .6

4 .9

2

x6

6

x

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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

∆1 x = x1 − x0 = 0.8 − 0 = 0.8 ∆ 2 x = x2 − x1 = 1.7 − 0.8 = 0.9 ∆ 3 x = x 3 − x 2 = 2 .9 − 1 .7 = 1 .2 ∆ 4 x = x4 − x3 = 3.6 − 2.9 = 0.7 ∆ 5 x = x5 − x4 = 4.9 − 3.6 = 1.3

∆ 6 x = x6 − x5 = 6 − 4.9 = 1.1 ∴ la norma de esta partición es

∆ = 1.3

()

Sea una función y = f x definida y limitada en un conjunto D. Considérese una partición en dicho conjunto que contenga n subintervalos. Si se escoge un punto ξ en cada subintervalo de la partición de forma tal que:

ξ1 ∈ [x0 , x1 ] ξ2 ∈ [x1 , x2 ] ξ 3 ∈ [x2 , x3 ]

o bien:

o bien:

x1 ≤ ξ2 ≤ x2 x 2 ≤ ξ 3 ≤ x3

o bien:

xi −1 ≤ ξ i ≤ xi

o bien:

y en general:

ξi ∈

[xi−1 , xi ]

x0 ≤ ξ1 ≤ x1

Si se forma la suma de productos del valor de f en cada punto ξ por la amplitud de la celda respectiva, se tendrá:

f (ξ1 )∆1 x + f (ξ 2 )∆ 2 x + f (ξ 3 )∆ 3 x + f (ξ 4 )∆ 4 x + ⋅ ⋅ ⋅ + f (ξ i )∆ i x + ⋅ ⋅ ⋅ + f (ξ n )∆ n x que en forma concentrada se puede representar como: n

∑ f (ξ )∆ x i

i =1

i

expresión que se conoce como Suma de Riemann. Esta expresión calcula la suma de cada una de las bases (las celdas,

( )

∆x ) por su respectiva altura (que

son las f ξ ) de una función, dada una partición. Esto determina la suma de las áreas de los rectángulos formados. Ejemplo.

y = − x 2 + 16 con 0.5 ≤ x1 ≤ 3 , obtener la suma de Riemann para la función dada la partición: x0 = 0.5, x1 = 1, x2 = 1.3, x3 = 1.9, x4 = 2.1, x5 = 2.5, x6 = 2.9, x7 = 3

Dada la función

Solución: Los puntos elegidos de cada celda son:

ξ1 = 0.8, ξ 2 = 1.2, ξ 3 = 1.5, ξ 4 = 2, ξ 5 = 2.3, ξ 6 = 2.7, ξ 7 = 2.95

Graficando se tiene:

3

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y

16

12

8

4

0.5

1

0.8

1.3

1.2

1.9 2.1

1.5

2

2.5

2.3

x

2.9 3

2.7 2.95

La suma de Riemann es: 7

∑ f (ξ )∆ x = f (ξ )∆ x + f (ξ )∆ i =1

i

i

1

1

2

2

x + f (ξ 3 )∆ 3 x + f (ξ 4 )∆ 4 x + f (ξ 5 )∆ 5 x + f (ξ 6 )∆ i x + f (ξ 7 )∆ 7 x

= f (0.8)(1 − 0.5) + f (1.2)(1.3 −1) + f (1.5)(1.9 −1.3) + f (2)(2.1 −1.9) + f (2.3)(2.5 − 2.1) + f (2.7 )(2.9 − 2.5) + f (2.95 )(3 − 2.9 ) = 15.36(0.5 ) + 14.56(0.3) + 13.75(0.6 ) + 12(0.2 ) + 10.71(0.4 ) + 8.71(0.4 ) + 7.29(0.1)

∴

7

∑ f (ξ )∆ x = 31.195 i =1

y

i

i

ξ6

ξ7

ξ8 ξ9

x6 x7

x8

∆ = 0.6 .

En el caso siguiente: y

ξ1 ξ2 x0 x1

ξ3 ξ4 x2

x3 x4

ξ5 x5

4

ξ10 x9

x10

x

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se aprecia que algunas de las áreas son negativas, por lo tanto, la interpretación geométrica de la suma de Riemann es: 10

∑ f (ξ )∆ x = A + A i

i =1

puesto que

i

1

2

− A3 − A4 − A5 + A6 + A7 − A8 − A9 − A10

f (ξ 3 ), f (ξ 4 ), f (ξ 5 ), f (ξ 8 ), f (ξ 9 ), f (ξ10 ) son números negativos.

INTEGRAL DEFINIDA Si f es una función definida en el intervalo cerrado se define como: b

[a, b] , entonces la integral definida de

f de a a b

n

∫ f (x)dx = lim ∑ f (ξi )∆ i x ∆ →0

a

f (x ) se llama integrando. a y b son los extremos o límites de integración ( a

∫

se llama signo de integración.

Si

∆ →0

(si el límite existe)

i =1

es el extremo inferior y

b es el extremo superior)

n → ∞ , por lo tanto:

implica que

b

∫ a

n

f ( x )dx = lim ∑ f (ξ i )∆ i x n→∞

i =1

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA INTEGRAL DEFINIDA n

La suma de Riemann

∑ f (ξ )∆ x representa la suma de los n i =1

i

i

rectángulos. Si la norma de la partición

tiende a cero implica que el número de celdas se incrementa, es decir que cada vez se tienen más y más rectángulos que se aproximan al área real bajo la curva. Por lo tanto, por definición: la integral definida es el área bajo la curva en sus límites.

5

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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

y

n=5

f(ξ ξ 1)

y=f(x)

f(ξ ξ 2) f(ξ ξ 3) f(ξ ξ 4)

x0 ξ1

ξ2 x2

x1

ξ3

x3

f(ξ ξ 5)

ξ4 x4

ξ5

a

X

x5 b

y

n = 12

f(ξ ξ 3) y=f(x)

f(ξ ξ 8) f(ξ ξ 10) x0

ξ3

ξ8

a

ξ10

x12 b

6

x

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Autor: Dr. José Manuel Becerra Espinosa

y

n→∞

f(ξ ξ9)

f(ξ ξ17)

y=f(x)

f(ξ ξ26)

ξ9

x0

ξ26

ξ17

x33

a

x

b

Las figuras anteriores muestran como la suma de rectángulos se aproxima al área real bajo la curva si n →∞. Ejemplo. 4

Obtener

∫

x 2 dx en forma aproximada utilizando una partición de ocho celdas.

1

Solución. Efectuando la partición:

x0 = 1,

x1 = 1.25,

x2 = 1.5,

x3 = 1.75,

x4 = 2,

x5 = 2.5,

x6 = 3,

x7 = 3.5,

los puntos elegidos de cada celda son:

x8 = 4

ξ1 = 1.1, ξ 2 = 1.3, ξ 3 = 1.6, ξ 4 = 1.8, ξ 5 = 2.4, ξ 6 = 2.8, ξ 7 = 3.25, ξ8 = 3.75

graficando se tiene: y 16

12

A ≅ 21.28 u2

8

4

1

2

3

x

4

7

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4

∫

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x 2 dx = f (1.1)[1.25 − 1] + f (1.3)[1.5 − 1.25] + f (1.6 )[1.75 − 1.5] + f (1.8)[2 − 1.75] + f (2.4 )[2.5 − 2] +

1

f (2.8)[3 − 2.5] + f (3.25)[3.5 − 3] + f (3.75)[4 − 3.5] = 1.21(0.25) + 1.69(0.25) + 2.56(0.25) + 3.24(0.25) + 5.76(0.5) + 7.84(0.5) +10.5625(0.5) + 14.0625(0.5) 4

∴

∫

x 2 dx ≅ 21.28 u 2 .

1

PROPIEDADES DE LA INTEGRAL DEFINIDA

()

Si f x y cualquiera:

g (x)

son dos funciones continuas en el intervalo de integración

[a, b] y k

una constante

[a, b]

F ' ( x) = f (x)

a

1)

∫ f (x) dx = 0 a b

2)

∫

a

f ( x ) dx = −∫ f ( x )dx

a

3)

b

b

b

a

a

∫ k f (x) dx = k ∫ f (x)dx b

4)

b

∫ [ f (x) ± g (x)] dx = ∫ f (x)dx ± ∫ g (x)dx a

5)

b

a

a

b

c

b

a

a

c

∫ f (x) dx = ∫ f (x)dx + ∫ f (x)dx

cuando

a