´ ALGEBRA MATRICIAL. 1. La traspuesta de A0 es A; (A0 )0 = A. 2. La inversa de A−1 es A; (A−1 )−1 = A. 3. (AB)0 = B 0 A0 . 4. Las matrices A0 A y AA0 son sim´etricas. 5. (AB)−1 = B −1 A−1 , si A y B son no singulares. 6. Los escalares conmutan con las matrices; kA = Ak. 7. Si D1 y D2 son matrices diagonales, entonces la matriz producto es diagonal; D1 D2 = D2 D1 = D. 8. Sean X e Y son vectores y A una matriz no singular, si se verifica la ecuaci´on Y = AX entonces X = A−1 Y . 9. El rango de la matriz producto AB es menor o igual que el rango de la matriz A y de la matriz B. 10. El rango de la matriz suma A + B es menor o igual que la suma del rango de la matriz A y el de la matriz B. 11. Sea A una matriz n × n. El rango de A es menor que n si y solo si |A| = 0. 12. Si el rango de A es menor que n entonces los vectores filas de A no son independientes; los vectores columnas de A tampoco son independientes. 13. Si el rango de A es m ≤ n, entonces el n´ umero de vectores filas (columnas) linealmente independientes es m. 14. Si A0 A = 0 entonces A = 0. 15. Sea A una matriz no singular. El rango de las matrices AB y BA coincide con el rango de B. 1

16. Si AB = 0 entonces o bien A = 0 o B = 0 o A y B son singulares. 17. Si A y B son matrices n × n de rango r y s, respectivamente, entonces el rango de AB es menor o igual que r + s − n. 18. Los rangos de las matrices AA0 , A0 A, A y A0 son todos iguales.

Formas Cuadr´ aticas. Una matriz A se dice que es semidefinida positiva si Y 0 AY ≥ 0 para todo vector Y = 6 0. Diremos que es definida positiva si Y 0 AY > 0 para todo vector Y 6= 0. Una matriz C es ortogonal si C 0 C = I.

Diremos que un escalar λ es una ra´ız caracter´ıstica de la matriz A si para alg´ un vector X 6= 0 se verifica que AX = λX. Las ra´ıces caracter´ısticas coinciden con las ra´ıces del polinomio caracter´ıstico |A − λI| = 0. 1. Si P es una matriz no singular y si A es definida positiva (semidefinida positiva) entonces P 0 AP es definida positiva (semidefinida positiva). 2. Una condici´on necesaria y suficiente para que la matriz sim´etrica A sea definida positiva es que exista una matriz no singular P tal que A = P 0 P (A = P P 0 ). 3. Una condici´on necesaria y suficiente para que una matriz sea definida positiva es que sus mayores principales sean positivos. 4. Si A es una matriz n × m de rango m < n, entonces A0 A es definida positiva y AA0 es semidefinida positiva. 5. Si A es una matriz n × m de rango k, k < n y k < m, entonces A0 A y y AA0 son semidefinidas positivas. 6. Sea C es una matriz ortogonal y Y = CZ entonces Y 0 Y = Y 0 IY = Z 0 C 0 ICZ = Z 0 C 0 CZ = Z 0 Z. 7. El n´ umero de ra´ıces caracter´ısticas no nulas de una matriz coincide con su rango. 2

8. Las ra´ıces caracter´ısticas de A coinciden con las ra´ıces caracter´ısticas de CAC −1 . Si C es una matriz ortogonal, entonces las ra´ıces caracter´ısticas de A y de CAC 0 son id´enticas. 9. Las ra´ıces caracter´ısticas de una matriz sim´etrica son reales. 10. Las ra´ıces caracter´ısticas de una matriz definida positiva son positivas, las de una matriz semidefinida positiva son no negativas. 11. Para cualquier matriz sim´etrica A existe una matriz ortogonal C tal que C 0 AC = D, donde D es una matriz diagonal cuyos elementos son las ra´ıces caracter´ısticas de A. 12. Sean A1 , A2 , . . . , Ak matrices n × n sim´etricas. Una condici´on necesaria y suficiente para que exista una matriz ortogonal C tal que C 0 A1 C, C 0 A2 C, . . . , C 0 Ak C sean matrices diagonales es que las matrices producto Ai Aj sean sim´etricas (o Ai Aj = Aj Ai ) para todo i y j.

Determinantes. La traza de una matriz es la suma de los elementos de su diagonal. 1. El determinante de una matriz diagonal es igual al producto de sus elementos diagonales. 2. Si A y B son matrices n × n, entonces |AB| = |BA| = |A| |B|. 3. Si A es singular entonces |A| = 0. 4. Si C es una matriz ortogonal entonces |C| = +1 o |C| = −1. 5. Si C es una matriz ortogonal entonces |C 0 AC| = |A|. 6. El determinante de una matriz definida positiva es positivo. 7. El determinante de una matriz triangular es igual al producto de los elementos de la diagonal.

3

8. Sea A una matriz cuadrada tal que A=

 

!

A11 A12 A21 A22

donde A11 y A22 son matrices cuadradas. Si A12 = 0 o A21 = 0 entonces |A| = |A11 | |A22 |. 9. Sean A1 y A2 matrices sim´etricas. Si A2 es definida positiva y A1 − A2 es definida positiva (o semidefinida positiva) entonces |A1 | ≥ |A2 |. 10. tr(AB) = tr(BA). 11. tr(ABC) = tr(CAB) = tr(BCA); esto es, la traza del producto de matrices es invariante bajo cualquier permutaci´on c´ıclica de matrices. 12. tr(I) = n. 13. Si C es una matriz ortogonal entonces tr(C 0 AC) = tr(A). 14. Sea A una matriz sim´etrica definida positiva tal que !

A=

 

A11 0 0 A22

−1

 

A−1 0 11 0 A−1 22

entonces A

=

!

.

15. Sea A una matriz sim´etrica definida positiva tal que A=

 

A11 A12 A21 A22

!

B=

 

B11 B12 B21 B22

!

y B su matriz inversa .

−1 −1 −1 Entonces A11 = B11 − B12 B22 B21 y A−1 22 = B22 − B21 B11 B12 .

4

16. Sea A una matriz cuadrada tal que A=

 

A11 A12 A21 A22

!

.

−1 A21 |. Si A11 es Si A22 es no singular entonces |A| = |A22 | |A11 − A12 A22 −1 no singular entonces |A| = |A11 | |A22 − A21 A11 A12 |.

Matrices Idempotentes. Una matriz cuadrada es A se dice que es idempotente si AA = A. 1. Las ra´ıces caracter´ısticas de una matriz idempotente son cero o uno. 2. Si A es idempotente y no singular, entonces A = I. 3. Si A es idempotente de rango k, existe una matriz ortogonal P tal que P 0 AP = Ek donde Ek es una matriz diagonal con los k primeros elementos uno y el resto ceros. 4. Todas las matrices idempotentes que no son de rango m´aximo son semidefinidas positivas. 5. Sea A una matriz idempotente. Si un elemento de la diagonal es nulo entonces la fila y la columna correspondientes son nulas. 6. Si A es idempotente de rango k entonces tr(A) = k. 7. Sean A y B matrices idempotentes, entonces AB es idempotente si AB = BA. 8. Si A es idempotente y P es ortogonal entonces P 0 AP es idempotente. 9. Si A es idempotente y A + B = I, entonces B es idempotente y AB = BA = 0. 10. Sean A1 , A2 , . . . , An matrices idempotentes. Una condici´on necesaria y suficiente para que exista una matriz ortogonal tal que P 0 A1 P, P 0 A2 P, . . . , P 0 An P sean matrices diagonales es que Ai Aj = Aj Ai para cada i y j. 5

11. Sean A1 , A2 , . . . , An matrices sim´etricas. Cualesquiera dos de las siguientes condiciones implica la tercera (a) A1 , A2 , . . . , An son matrices idempotentes. (b) La suma B =

n X

Ai es idempotente.

i=1

(c) Ai Aj = 0 para todo i 6= j. Si se satisfacen dos de las condiciones entonces el rango de la matriz B es igual a la suma de los rangos de las matrices Ai .

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