Capítulo 2. Álgebra matricial. Inversa de una matriz

Capítulo 2 ÁLGEBRA MATRICIAL. INVERSA DE UNA MATRIZ 2.1. Matrices En el capítulo anterior se introdujo el concepto de matriz, definiéndose una matriz A = aij de tamaño m x n con elementos en un cuerpo K (generalmente consideraremos

c h

R o C) como una colección de m x n escalares aij ∈K , organizados en m filas y n columnas, de la forma: a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A=

F GG GG Ha

m1

am 2

amn

I JJ JJ K

mxn

donde el elemento aij (1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n) denota aquel elemento de la matriz que se sitúa en la intersección de la fila i-ésima y la columna j-ésima de A.

Se suele hablar de matrices rectangulares o cuadradas, según sea m ≠ n o m = n, respectivamente. En general, se dice que A es una matriz de orden m x n.

c h

En lo que respecta a la igualdad de matrices, se dirá que dos matrices A = aij y

c h

B = bij son iguales si y sólo si: aij = bij ; 1 ≤ i ≤ m , 1 ≤ j ≤ n.

2.2. Distintos tipos de matrices

Como se mencionó anteriormente, se dice que una matriz A es matriz cuadrada o de orden n si m = n: a11 a12 a1n a21 a22 a2 n A=

F GG GG Ha

n1

an 2

ann

I JJ JJ K

nxn

Los elementos a11 , a22 ,…, ann de una matriz cuadrada A forman lo que se denomina la diagonal principal de A, mientras que los elementos a1n , a2 ( n −1) , a3( n − 2 ) ,…, an1 forman su diagonal secundaria. Una matriz cuadrada en la que los elementos situados por encima (por debajo) de la diagonal principal son todos nulos se denomina matriz triangular inferior (respectivamente, matriz triangular superior):

Juan Rocha Martín y Kishin Sadarangani

Álgebra Lineal. Curso 2005/06.

Fa Ga A=G GG Ha

11

0

21

a22

n1

an 2

I 0J JJ J a K

Fa G0 A=G GG H0

0

nn

11

nxn

a12

a1n

a22

a2 n

0

ann

I JJ JJ K

nxn

Una matriz diagonal es un caso particular de matriz triangular, en la que todos los elementos por encima y por debajo de la diagonal principal son nulos:

Fa G0 A=G GG H0

11

0 a22 0

I 0J JJ J a K 0

nn

nxn

Si A es una matriz diagonal y a11 = a22 = … = ann = a (donde a es un escalar cualquiera), entonces se dice que A es una matriz escalar:

Fa G0 A=G GG H0

0 a 0

I JJ JJ aK

0 0

nxn

En particular, si a = 1 se dice que es la matriz identidad, y se denota por:

In

F1 G0 =G GG H0

0 1 0

I 0J JJ J 1K 0

nxn

y si a = 0, se dice que es la matriz nula, y se denota por 0:

F0 G0 0=G GG H0

0 0 0

I JJ JJ 0K 0 0

nxn

Matriz Simétrica: Si una matriz cuadrada A es tal que todos los elementos situados simétricamente respecto de su diagonal principal son iguales, es decir aij = a ji , se dice que A es una matriz simétrica: a11 a12 a1n a12 a22 a2 n A=

F GG GG Ha

1n

a2 n

ann

I JJ JJ K

nxn

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Matriz fila y matriz columna: Consideremos aquellas matrices rectangulares que sólo tienen una fila o una columna; ellas reciben el nombre de matriz fila y matriz columna, respectivamente: a1 a2 b T = b1 b2 bn 1 xn a=

F I GG JJ GG JJ Ha K n

b

g

nx1

Habitualmente utilizamos matrices fila y matrices columna para representar vectores. En general, siempre que se traten matrices, los vectores suelen representarse como matrices columna, de ahí que se utilice la notación bT para representar una matriz fila (notación que quedará justificada más adelante cuando se introduzca la noción de matriz traspuesta). 2.3. Operaciones con matrices

Dado que, en particular, las matrices fila y matrices columna se utilizan para representar vectores, las distintas operaciones que se definan entre matrices deben ser compatibles con las operaciones que conocemos para vectores.

c h

c h

Suma: Si A = aij y B = bij son dos matrices de orden m x n, se define la suma y

diferencia entre ellas como sigue: C = A + B = ( aij + bij ) = (cij ) D = A − B = ( aij − bij ) = ( dij ) teniéndose como propiedades de estas operaciones las siguientes: -

(A+B)+C = A+(B+C) A+0 = 0+A = A A+(-A) = (-A)+A=0 A+B = B+A

(P. asociativa) (La matriz nula es el elemento neutro) (Elemento opuesto) (P. conmutativa)

donde A, B y C son matrices de igual tamaño.

c h

Producto por un escalar: Si A = aij es una matriz y α ∈ R o C, se define el producto

de α por A como sigue:

B = α ⋅ A = (α ⋅ aij ) = (bij ) es decir, para multiplicar un escalar por una matriz se multiplican todos los elementos de la matriz por dicho escalar. Las principales propiedades de esta operación son las siguientes: -

α ( β ⋅ A) = (αβ ) ⋅ A α ⋅ ( A + C ) = (α ⋅ A) + (α ⋅ C ) (α + β ) ⋅ A = (α ⋅ A) + ( β ⋅ A)

(Asociatividad mixta) (P. distributiva) (P. distributiva)

1⋅ A = A

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Álgebra Lineal. Curso 2005/06.

donde A y C son dos matrices cualesquiera (ambas de igual tamaño), α y β escalares reales o complejos y 1 la unidad real. Producto de matrices: Al igual que las operaciones anteriores, el producto de matrices puede ser motivado atendiendo a conceptos de álgebra vectorial. En concreto, T

T

atendiendo al producto escalar de vectores se tiene que si a ( a1 a2 a3 ) y b (b1 b2 b3 ) son dos vectores de R3, entonces: a ⋅ b = a ⋅ b ⋅ cos(θ ) donde θ es el ángulo que forman ambos vectores. Además, es bien conocido que el producto escalar usual en R3 se obtiene como sigue:

a ⋅ b = a1b1 + a2 b2 + a3b3

n

y que se generaliza a R como: a ⋅ b = a1b1 + a2 b2 + T

cuando a ( a1 a2

T

an ) y b (b1 b2

+ an bn

bn ) .

Así, podría escribirse el producto de una matriz fila por una matriz columna en Rn como:

Fb I a )⋅G J = a b + a b + GH b JK 1

T

a ⋅ b = ( a1 a2

1 1

n

2 2

+ an bn

n

siendo ésta la base que puede utilizarse para generalizar dicho producto hasta obtener el producto de matrices cualesquiera. En este sentido si A es una matriz de orden m x l, con m filas aiT (1 ≤ i ≤ m ) de tamaño l, y B es una matriz de orden l x n, con n columnas de longitud l, entonces se define el producto de A por B como: A ⋅ B = C = (cij ) con cij = aiT ⋅ b j

es decir:

Fa I Ga J A ⋅ B = G J ⋅ bb b GG JJ Ha K T 1 T 2

1

T m

2

Fa Ga b g=G GG Ha

(1 ≤ i ≤ m; 1 ≤ j ≤ n)

I JJ JJ ⋅b K

T 1 T 2

⋅ b1 ⋅ b1

a1T ⋅ b2 a2T ⋅ b2

a1T ⋅ bn a2T ⋅ bn

T m

⋅ b1

amT ⋅ b2

amT

n

n

l

Además, como aiT ⋅ b j = ∑ aik bkj se tiene que: k =1

I F A⋅ B = G∑ a b J H K l

m, n

ik kj

k =1

i , j =1

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Suele decirse que se multiplican filas de A por columnas de B, siendo evidente que el número de filas de B debe coincidir con el número de columnas de A, pues de lo contrario la multiplicación no sería posible:

Am x l ⋅ Bl x n = Cm x n En general, A ⋅ B ≠ B ⋅ A aún en el caso en que se pueda hacer B ⋅ A . Las principales propiedades del producto de matrices son las siguientes: -

(C ⋅ B) ⋅ A = C ⋅ ( B ⋅ A) (P. asociativa) (P. distributiva por la izquierda) C ⋅ ( A + B) = C ⋅ A + C ⋅ B ( B + C) ⋅ A = B ⋅ A + C ⋅ A (P. distributiva por la derecha) Si A es de orden m x n ⇒ A ⋅ In = Im ⋅ A = A α ⋅ ( A ⋅ B) = A ⋅ (α ⋅ B) = (α ⋅ A) ⋅ B

donde A, B y C son matrices que, en cada caso, hacen compatibles las operaciones en las que intervienen y donde α es un escalar real o complejo. Observaciones.

• •

k

La potencia k-ésima de una matriz cuadrada A se representa como A k = A ⋅ A ⋅ ⋅ A , conviniéndose que A0 = I . Cuando estudiamos la representación matricial de un sistema de ecuaciones, expresamos el sistema de forma simbólica como: A X = B. Teniendo en cuenta ahora como se ha definido el producto de matrices queda totalmente justificada esta forma de expresar un sistema de ecuaciones, pues: a11 a12 a1n x1 b1 a11 x1 + a12 x2 + + a1n xn = b1 a21 x1 + a22 x2 + + a2 n xn = b2 a21 a22 a 2 n x2 b2 ⇔ = am1 x1 + am 2 x2 +

+ amn xn

Ejercicio. Comprobar que:

F GG GG Ha

= bm

m1

FG 2 −1IJ = FG 8 H0 2 K H0 3

am2

amn

IF I JJ GG JJ JJ GG JJ K Hx K n

F I GG JJ GG JJ Hb K m

IJ K

−12 8

2.4. Matriz traspuesta

c h

Dada una matriz A = aij se define la matriz traspuesta de A, que se representa por At , como aquella matriz que tiene como elemento en la posición (i, j) al elemento a ji de A. En otras palabras, At es una matriz que tiene por filas las columnas de A, o lo que es lo mismo, por columnas las filas de A.

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Algunas de las propiedades de la transposición de matrices son las siguientes: -

Si A es una matriz de orden m x n ⇒ At es una matriz de orden n x m. Si A es una matriz columna ⇒ At es una matriz fila. Si A es una matriz fila ⇒ At es una matriz columna. A es una matriz simétrica ⇔ A = At . ( A + B) t = At + B t . (α ⋅ A) t = α ⋅ At . ( A ⋅ B) t = B t ⋅ At . ( At ) t = A .

donde A y B son matrices que, en cada caso, hacen compatibles las operaciones en las que intervienen y donde α es un escalar real o complejo. Otro concepto relacionado con la transposición de matrices es el de matriz antisimétrica. Se dice que una matriz A es antisimétrica si A = − At . Ejercicio. Comprobar que la siguiente matriz es antisimétrica: 0 −2 −3 A = 2 0 −2

F GG H3

2

I JJ 0K

2.5. La inversa de una matriz

c h

Si A = aij es una matriz cuadrada de orden n, se dice que A es invertible o no singular si existe una matriz B tal que:

A ⋅ B = B ⋅ A = In .

Si existe tal matriz B se dice que es matriz inversa de A. En caso de que no exista matriz inversa de A se dice que la matriz A es singular o no invertible. Teorema. Si una matriz A tiene inversa, ésta es única.

Demostración. Supongamos que A admite matriz inversa y que tanto B como C son inversas de A, siendo B ≠ C . En tal caso se tendría que: B ⋅ A = A ⋅ C = In Por tanto:

B = B ⋅ I n = B ⋅ ( A ⋅ C) = ( B ⋅ A) ⋅ C = I n ⋅ C = C ⇒ B = C

lo cual significa que hemos obtenido un resultado absurdo (pues contradice la hipótesis de partida), debiéndose concluir que sólo puede existir una única matriz inversa de A. —

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Capítulo 2. Álgebra matricial. Inversa de una matriz

El resultado establecido en el teorema anterior permite que podamos hablar de la inversa de una matriz, puesto que es única. También cabe mencionar que a la inversa de una matriz A suele denotársele por A −1 . Ejemplos. 1. Dadas las matrices:

A=

FG 2 3IJ H 2 2K

;

B=

F −1 GH 1

3

I JK

2 −1

comprobar que A es invertible y que B es su inversa. Solución: Para resolver este problema basta comprobar que A ⋅ B = B ⋅ A = I 2 . En primer lugar: 2 3 −1 3 1 0 2 = A⋅ B = ⋅ = I2 2 2 0 1 1 −1

FG H

IJ F K GH

I F I JK GH JK

y análogamente ocurre cuando hacemos B ⋅ A. Por tanto deberá concluirse que A es invertible y que B es su inversa. 2. Encontrar la matriz inversa de:

A=

FG 1 2IJ . H 3 4K

Solución: Para resolver este problema consideraremos la matriz inversa como una matriz incógnita: x1 y1 A −1 = x2 y2

FG H

IJ K

a la que exigiremos que verifique: A ⋅ A −1 = I 2 . Así se obtienen dos sistemas de ecuaciones: x1 + 2 x2 = 1 y1 + 2 y2 = 0 3x1 + 4 x2 = 0 3 y1 + 4 y2 = 1 cuyas soluciones son precisamente los elementos de la matriz inversa A −1 . A la hora de utilizar el método de eliminación de Gauss-Jordan para resolver los sistemas anteriores, se observa que ambos comparten la misma matriz de los coeficientes, mientras que la matriz ampliada de los mismos varía solamente en la columna correspondiente a los términos independientes. Por tanto, podemos considerar que los pasos a seguir en el proceso de eliminación en ambos sistemas son los mismos, surgiendo diferencias únicamente en la columna correspondiente a los términos independientes. Motivados por este hecho podemos convenir que la resolución de los dos sistemas se realice de forma simultánea. Para ello construimos una matriz formada por la matriz de los coeficientes (común a ambos) seguida de dos columnas: la primera de ellas la matriz columna de los términos independientes del primer sistema y la segunda la de los términos independientes del segundo sistema:

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F1 GH 3

I JK

2 1 0 4 0 1

Aplicando el método de eliminación de Gauss-Jordan a esta matriz se obtiene la matriz:

F1 GH 0

1 0 −2 1 3 2 − 12

I JK

la cual proporciona directamente la solución de ambos sistemas: la del primero en la primera columna de términos independientes y la del segundo en la segunda columna. En otras palabras, y dado que tales soluciones son los elementos de la matriz inversa de A, se ha obtenido A −1 :

F GH

I JK

1 −2 A −1 = 3 1 . − 2 2 Algoritmo de Gauss-Jordan para el cálculo de la matriz inversa

El procedimiento seguido en el ejemplo anterior puede generalizarse para determinar la matriz inversa de cualquier matriz cuadrada no singular A. Para ello, si A es una matriz de orden n, basta considerar la matriz A I n y aplicar a la misma el método de

c

h

eliminación de Gauss-Jordan hasta convertir A en una matriz escalonada reducida por filas. En concreto, el objetivo es convetir A en la matriz identidad I n . Siempre que esto sea posible se tiene que la matriz de la derecha es la matriz inversa de A, es decir habremos convertido A I n en I n A −1 .

c

h c

h

En realidad, lo que consigue este algoritmo es resolver simultáneamente n sistemas de ecuaciones lineales que comparten la misma matriz de los coeficientes (A), teniendo cada uno de ellos como términos independientes a una de las columnas de la matriz identidad. Nota: Tal y como se indicaba con anterioridad la matriz inversa de una matriz A no siempre existe, por lo que no es de extrañar que en muchos casos al aplicar el algoritmo de Gauss-Jordan no sea posible convertir A en la matriz identidad de orden n. Este hecho significaría que A no es una matriz invertible. Ejercicio: Determinar, si es posible, la matriz inversa de

A=

FG 1 2IJ H 2 4K

Juan Rocha Martín y Kishin Sadarangani

Capítulo 2. Álgebra matricial. Inversa de una matriz

Propiedades de la inversa de una matriz

-

( A ⋅ B) −1 = B −1 ⋅ A −1 . ( A t ) −1 = ( A − 1 ) t . ( A −1 ) − 1 = A .

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