FACULTAD DE CIENCIAS EXACTAS Y NATURALES

GRADO: 10 TALLER Nº: 4

SEMILLERO DE MATEMÁTICAS

SEMESTRE II

Aplicaciones de la línea recta RESEÑA HISTÓRICA RESEÑA HISTÓRICA EUCLÍDES Nació: 365 AC en Alejandría, Egipto y falleció alrededor del 300 AC. Muy poco se sabe con certeza de su vida. Probablemente, fue llamado a Alejandría en el año300 AC. Sin duda que la gran reputación de Euclídes se debe a su famosa obra titulada Los elementos Geométricos, conocida simplemente por Los Elementos. Tal es la importancia de esta obra que se ha usado como texto de estudios cerca de 2000 años, veinte siglos, sin que se le hicieran correcciones de importancia, salvo pequeñas modificaciones. Los Elementos están constituidos por trece libros. A aquellos se ha agregado un XIV libro que comprende un trabajo de Hipsicles del siglo II de nuestra era, y aún un XV libro con un trabajo de menor importancia. Entre sus definiciones de elementos, algunas de las cuales seguimos usando, se encuentran: Punto, que lo define como "una cosa que no tiene parte"; línea "es una cosa que no tiene sino largo; es una longitud sin ancho"; línea recta, es la que está igualmente situada con respecto a sus puntos.

 OBJETIVO GENERAL Interpretar situaciones que tienen que ver con diferentes áreas para plantear ecuaciones y resolver problemas relacionados con la línea recta y diversas formas de la ecuación de ésta.  OBJETIVO ESPECÍFICOS Resolver diferentes problemas asociados con línea recta. Relacionar la pendiente de una recta con diferentes aplicaciones.  PALABRAS CLAVES Producto Nacional Bruto (PNB): Magnitud económica que expresa la actividad de la economía en un período de tiempo específico. Razón de Cambio: Cuando se establece el cambio en “y” en relación con el cambio en unidades en “x”, lo que se está determina e la pendiente como una razón de cambio Propensión Marginal al Consumo (PMC): Es la razón de cambio de los gastos de consumo con respecto al ingreso disponible.

1

 Propensión Marginal al Ahorro (PMA): Diferencia entre la unidad y el PMC. Razón de cambio de los gastos con respecto al ahorro.  Punto de Equilibrio: Aquel que no representa pérdidas ni utilidades en una operación comercial. .  DESARROLLO TEÓRICO EJERCICIOS RESUELTOS 1.

En cierto país el porcentaje del producto nacional bruto (PNB) dedicado a los gastos médicos pasó del 10.3%, en 1984, al 10.9%, en 1987. Suponiendo que el nivel de crecimiento continúa a esta misma razón, escribir una ecuación lineal que permita describir el porcentaje del producto nacional bruto dedicado a los gastos médicos, y, en el año x. Solución: El planteamiento del problema indica que: y : Porcentaje del PNB dedicado a gastos médicos x : Año En 1984 (x1) el PNB era 10.3% (y1), es decir P1 ( 1984, 10.3) En 1987 (x2) el PNB era 10.9% (y2), es decir P2 ( 1987, 10.9) Con los puntos P1( 1984, 10.3) y P2( 1987, 10.9), se puede determinar la pendiente m = y2–y1 x2 –x1 m = 10.9 – 10.3 m = 0.6 m = 0.2 1987 – 1984 3 La pendiente representa en este caso la razón a la que se da el nivel de crecimiento, es decir, la variación del PNB con respecto a los años. Sustituyendo el valor de la pendiente y las coordenadas de uno de los puntos en la forma general de la ecuación, es posible obtener el valor de b. (forma pendiente-intercepto) Empleando el punto P2( 1987, 10.9) y la pendiente m = 0.2, se tiene que: y=mx+b 10.9 = 0.2(1987) + b 10.9 = 397.4 + b 10.9 – 397.4 + b -386.5 = b. La ecuación lineal que describe el porcentaje (y) del PNB dedicado a los gastos médicos en un año (x) será: Y = 0.2X -386.5 .

2

2.

La utilidad que obtiene una empresa de suministros agrícolas, está dada por “a”,que puede ser calculada mediante la función lineal a = 10b - 20.000 en la que “b” representa la cantidad de suministros vendidos cada año. a. Graficar la utilidad con respecto a una venta hasta de 8000 suministros b. Determinar el número de suministros que la empresa debe vender para que esté en un punto de equilibrio c. Calcule el número de suministros vendidos si la empresa obtiene una utilidad de $25.000 dólares

SOLUCIÓN a. La utilidad “a”, es una función del número de suministros vendidos “b”, es decir; la utilidad depende del número de suministros vendidos; por lo tanto “b” es la variable independiente correspondiente al eje horizontal y “a”, es la variable dependiente que corresponde al eje vertical del plano cartesiano. Como el número mínimo de suministros que se pueden vender es cero, no es necesario el eje y negativo

3.

b.

El punto de equilibrio corresponde al número de suministros que se deben vender para que la empresa no tenga ganancias ni pérdidas. En la gráfica, este punto se da donde la recta interfecta al eje x (en este caso eje b), pues allí la utilidad es cero.

c.

Para obtener una utilidad de $25.000 se deben vender 4.500 suministros a = 10b – 20.000 25.000 = 10b – 20.000 b = 25.000 + 20.000 10 b = 4500

En la tabla que se presenta a continuación se muestra una relación entre el ingreso disponible de una nación, “x” (en miles de millones de dólares) y los gastos de consumo personal, “y” (en miles de millones de dólares). Determinar la razón de cambio de los gastos de consumo personal con respecto al ingreso disponible.

3

x 56 76

y 50 67.2

Solución: La razón de cambio es la pendiente de la recta que contiene los puntos (56, 50) y (76, 67.2) m = y2–y1 x2 –x1 m = 67.2 – 50 m = 17.2 m = 0.86 76 – 56 20 m = 0.86 significa que por cada dólar en que se incremente el ingreso disponible, el consumo se incrementa en 0.86 dólares. En otras palabras, el 86% de cada dólar adicional ganado se gasta y el 14% es ahorrado (propensión marginal al consumo)

EJERCICIOS PROPUESTOS 1.

El gerente de una fábrica de muebles establece que cuesta 2.200 dólares fabricar 100 sillas en un día y 4.800 dólares fabricar 300 sillas en un día. a. Suponiendo que la relación es lineal obtener una ecuación que exprese esta relación y luego grafique. b. Cuál es la pendiente de la recta del inciso a. y que representa. c. Cuál es la intersección en y , y que representa. 2.

Teniendo en cuenta que para los economistas la propensión marginal al consumo (PMC) es la razón de cambio de los gastos de consumo con respecto al ingreso disponible. Con los datos de la tabla, en la que el ingreso disponible de una nación se representa por x y los gastos de consumo personal están representados por y. x 48

y 44

68

60

a. Calcular la propensión marginal al consumo (PMC) b. Suponer que el ingreso disponible promedio por familia aumenta 1805 dólares en un año. De a acuerdo con la PMC, ¿Cuánto debería incrementarse el consumo? 3.

Otra de las razones de cambio consideradas por los economistas es la propensión marginal al ahorro (PMA) dada por : PMA = 1 – PMC

a. Calcular la propensión marginal al ahorro (PMA) para los datos del ejercicio anterior. b. Si el ingreso disponible fuese incrementado como en la parte b del ejercicio anterior, ¿cuántos dólares adicionales ahorraría la familia promedio?

4

4.

a. b. c. 5.

a. b. c.

la utilidad anual, y, de una tienda de repuestos de maquinaria liviana puede calcularse por medio de la función lineal y = 20x – 30,000, en la que x es el número de repuestos de una misma categoría vendidos por año. Trace una gráfica de la utilidad en relación con la venta de hasta 6000 repuestos. Calcule el número de repuestos que deben venderse para que la compañía no pierda ni gane (punto de equilibrio) Calcule el número de repuestos vendidos si la compañía tiene una utilidad de $40,000 Dadas las siguientes ecuaciones: Oferta: y 0.45 p 4 Demanda: y 0.65 p 28 Trace la gráfica de las dos ecuaciones. Estime el punto de equilibrio de la gráfica. Estime el precio y la cantidad de la mercancía producida y vendida en el punto de equilibrio.

6.

Un fabricante de pequeños aparatos domésticos encuentra que si produce x hornos con tostador en un mes, su costo de producción está dado por la ecuación y 6x 3000 ( y en dólares). a. Trace la gráfica de esta ecuación. b. Que representa la pendiente y la intersección en y de está gráfica. 7.

El propietario de una juguetería, se ha fijado un salario mensual de $200 dólares más el 10% de las ventas. a. Escriba una ecuación que exprese su salario mensual, x en relación con las ventas de la tienda, y. b. Trace una gráfica de su salario mensual para ventas de $20,000 y superiores. c. Si en el mes de julio las ventas de la tienda fueron de $15,000, ¿cuál fue el salario del propietario de la juguetería en ese mes? 8.

a. b. c. d. e.

El costo mensual de conducir un automóvil depende del número de millas recorridas. Alberto observó que durante el mes de mayo gasto 380 dólares por 480 millas y en junio 460 dólares por 800 millas. Exprese el costo mensual C en función de la distancia recorrida d , suponiendo que la relación es lineal. Utilice la parte a. para predecir el costo de conducir 1.500 millas por mes. Trace la gráfica de la ecuación. ¿Qué representa la pendiente? ¿Qué representa la intersección con el eje y de la gráfica?

9.

Una pequeña empresa adquiere una computadora por 4.000 dólares. Después de 4 años se espera que el valor de la misma sea 200 dólares. Para fines de contabilización, el negocio utiliza la depreciación lineal para obtener el valor de la computadora en un tiempo dado. Esto quiere decir que si v es el valor de la misma en el tiempo t , entonces se utiliza una ecuación lineal para relacionar v con t . a. Obtenga la ecuación lineal que relaciona v con t . 5

b. Determine el valor depreciado de la computadora después de 3 años de la fecha de adquisición. 10. Sara parte en su bicicleta a 10 kilómetros por hora. Al mismo tiempo Claudia parte en su bicicleta en la misma dirección desde un punto situado 5 kilómetros más delante de donde parte Sara. Claudia también conduce a 10 kilómetros por hora. Si las chicas continúan a la misma velocidad, ¿Alcanzará Sara a Claudia en algún momento? Explicar. 11. A una empresa le cuesta $1,050,000 producir 100 cajas de cierto producto y $1,250,000 producir 500 cajas. a. Hallar la función de costo b. Determinar el costo fijo y el costo variable por caja c. Dibujar la gráfica de la función de costo 12. La tibia es el hueso del cuerpo humano que conecta la rodilla con el tobillo. Un hombre con una tibia de 38.5cm de largo debería medir 173 cm. de alto, aproximadamente y un hombre con una tibia de 44.125 cm. De largo debería medir, aproximadamente, 188 cm. de alto. a. Escribe una ecuación lineal que relacione la estatura con la longitud de la tibia, x. b. Aproximadamente, ¿cuánto debería medir un hombre cuya tibia mide 40 cm ? 13. El radio es el hueso del cuerpo humano que conecta el codo con la muñeca. Una mujer con un radio de 22 cm. De largo debería medir 160 cm. De altura, aproximadamente, y una mujer con radio con un radio de 26 cm. De largo debería tener cerca de 174 cm. de altura. a. Escribir una ecuación lineal que relacione la estatura y con la longitud del radio, x. b. Aproximadamente ¿Cuál debería ser la longitud del radio de una mujer cuya estatura es 157.5 cm? 14. la población de una ciudad era de 2,352,000 habitantes en 1970. La población creció hasta 3,885,000 en 1990. Si x representa el año e y representa la población, halla la razón a la que se incrementa la población. 15. La gráfica representa una función lineal. Determinar la ecuación que la representa e interpretar lo que representa de acuerdo con los datos de cada eje del plano cartesiano. (Cada línea divisoria representa una unidad)

6

16. El gerente de un bazar de fin de semana sabe por experiencia que si cobra x dólares por un espacio rentado en el bazar entonces el número de espacios y que puede rentar está dado por la ecuación y 200 4x a. Trace la gráfica de esta ecuación. b. Que representan la pendiente, la intersección en y y la intersección en x de dicha gráfica. 17. Una compañía de transporte enfrenta problemas económicos desde 1985, sus gastos han crecido más rápido que los ingresos. En la siguiente tabla aparecen los gastos de la compañía en los años seleccionados. a. Trace estos puntos en una gráfica. b. conecte los puntos utilizando segmentos de recta. c. Determine la pendiente de cada uno de los tres segmentos de recta. d. ¿En qué período tuvo lugar la razón de cambio promedio más grande? Explique. Año

1985 1990 1995 2000

Gastos (en millones de dólares)

$1600 $2012 $2257 $2876

7