(Apuntes en revisión para orientar el aprendizaje)

Capítulo III La derivada y algunas aplicaciones INTRODUCCIÓN Uno de los problemas fundamentales del Cálculo Diferencial se refiere a la determinación de la pendiente de la recta tangente a una curva en un punto dado. Para ilustrar este concepto matemático, considérense los casos siguientes: 1) Ángulo entre curvas. 2) Velocidad y la aceleración en un instante determinado. 3) Razones de variación de una variable con respecto a otra. 4) Aproximación de valores de una función 5) Valores máximos y mínimos de una función.

RAZÓN MEDIA DE VARIACIÓN Sea f ( x ) = x 2 + 3 x − 2 y supóngase que la variable " x " aumenta de 2 a 2.4 . Entonces, el incremento será Δx = 2.4 − 2 ⇒ Δx = 0.4 Para obtener el incremento Δy de la función, se hace lo siguiente: 2 y = x 2 + 3 x − 2 ; y + Δy = ( x + Δ x ) + 3 ( x + Δ x ) − 2 Se restan ambas expresiones y, 2 Δy = ( x + Δx ) + 3 ( x + Δx ) − 2 − x 2 + 3 x − 2

(

)

2

Δy = x 2 + 2 xΔx + Δx + 3 x + 3Δx − 2 − x 2 − 3 x + 2 2

Δy = 2 xΔx + Δx + 3Δx Si se dividen ambos miembros entre Δx se tiene que: 2

Δy 2 xΔx + Δx + 3Δx = Δx Δx

⇒

Δy = 2 x + Δx + 3 Δx

Definición. La razón media de variación de la función y = f ( x) con respecto a " x" cuando esta variable experimenta un incremento Δx , es igual al cociente del ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

2

incremento de la función entre el incremento de la variable Δy independiente, esto es, . Δx y

f y + Δy recta secante

y x + Δx

x

x

Δy , que representa a la razón media Δx de variación de la función con respecto a la variable independiente, es la pendiente de la recta secante. Por otro lado, la ecuación de una recta cuya pendiente es " m " y con ordenada al origen " b " es y = mx + b y si se determina en esta función su razón media de variación se tendrá: y = mx + b ; y + Δy = m ( x + Δx ) + b ⇒ y + Δy = mx + mΔx + b Δy Δy = mx + mΔx + b − mx − b ⇒ Δy = mΔx ∴ =m Δx Para el caso de una recta, la razón media de variación es constante y equivale a la pendiente " m " de la recta. y

Se puede apreciar que

y = mx + b

f ( x + Δx )

Δy f ( x)

Δx

x

x + Δx

Δy =m Δx

x

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CONCEPTO DE RECTA TANGENTE Se debe al célebre matemático francés Pierre de Fermat, de los grandes matemáticos del siglo XVII. Se basa en el siguiente razonamiento: La recta tangente en un punto " A " de una curva puede interpretarse como la posición límite de la secante, que es la tangente, cuando el punto " B " tiende al punto " A " . y f recta secante

B

lim ( secante ) = tangente B→ A

A

recta tangente

x LA DERIVADA COMO RAZÓN INSTANTÁNEA DE VARIACIÓN Si el punto "B" tiende al punto " A " , esto implica necesariamente que el incremento Δx tiende a cero y si Δy se conoce como la esto sucede, entonces el límite lim Δx → 0 Δx razón instantánea de variación de " y " con respecto a " x " . Para la función analizada con anterioridad, es decir, y = x2 + 3 x − 2 , la razón media de variación es Δy = 2 x + Δx + 3 . Y si se calcula la razón instantánea de Δx Δy variación se tendrá: lim = lim ( 2 x + Δx + 3 ) = 2 x + 3 y Δx → 0 Δx Δx → 0 cuando x = 2 , la razón instantánea de variación es 7 . Definición. A la razón instantánea de variación de una función f con respecto a " x " , se le conoce como la derivada de la función con respecto a la variable independiente, es decir, ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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Δy = derivada de f con respecto a " x " Δx → 0 Δx De acuerdo con lo ya tratado, se puede escribir que: dy Δy = lim ; Δy = f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) dx Δx→0 Δx f ( x0 + Δx ) − f ( x0 ) dy = lim Δx dx Δx→0 y si además se considera que Δx = x − x0 , entonces f ( x ) − f ( x0 ) dy Δx → 0 ⇔ x → x0 ∴ = lim dx x → x0 x − x0 Esta expresión define a la derivada de la función, específicamente en el punto en el que x = x0 .

lim

INTERPRETACIÓN GEOMÉTRICA DE LA DERIVADA f y secante

f ( x + Δx )

B

Δy

f ( x)

A

α

C

Δx

β

x

tangente

x

x + Δx

lim ( recta secante ) = recta tangente

B→A

B→ A

⇔

Δx → 0

;

lim β = α

Δx → 0

∴

lim tan β = tanα

Δx → 0

Δy Δy dy ∴ lim = tanα = Δx → 0 Δx dx Δx Por lo tanto la derivada es la tangente trigonométrica del ángulo que forma la tangente geométrica con el eje de las abscisas. Equivale a la pendiente de la recta tangente dy = tanα = mT dx donde mT es la pendiente de la recta tangente. tan BAC=tanβ =

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NOTACIONES DE LA DERIVADA Las notaciones más conocidas son: y ' ó f '( x ) notación de Lagrange Dx y ó Dx f ( x ) notación de Cauchy dy d ó f ( x ) notación de Leibniz dx dx i

y

ó

i

f ( x)

notación de Newton

Ejemplo. Supóngase que parte de la trayectoria de un juego mecánico de montaña rusa tiene la forma mostrada en la figura, donde el recorrido de A a B y de B a C , son curvas parabólicas distintas, y el recorrido de C a D es una media circunferencia.

D

C

B

A

Si se denota con " θ " el ángulo que forma el piso del carrito con la línea horizontal: i) ¿Qué valor tiene θ en el punto más alto? ii) ¿Qué valor tiene θ en el punto más bajo? iii) ¿Existen otros puntos en donde tenga el mismo valor que los que tuvo en los primeros incisos? Solución. θ =0 θ B

A

D

C

θ =0 θ =0

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Ejemplo. Se tiene una pila de cemento colocada junto a una pared vertical sobre un piso horizontal. Considerando el origen de coordenadas en la intersección de piso y pared, el perfil del cemento está descrito, con una buena aproximación, por la curva y = − x 2 + 9 . Supóngase además que hay una escalera perfectamente recta e indeformable que se apoya simultáneamente en la pared, el cemento y el suelo. i) Demostrar que si la abscisa del punto de contacto de la escalera con la pila de cemento es 1.5 , entonces la ecuación de la escalera se puede expresar como y = −3 x + 11.25 . ii) Determinar la longitud de la escalera. Solución. i) Un modelo geométrico del problema planteado es el siguiente: y

Pared

Escalera

Pila de cemento

Piso

y = − x2 + 9 x

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Ejemplo. Determinar la ecuación de la recta que pasa por el punto ( −4,0 ) y es tangente a la curva y = + x − 1. Obtener también las coordenadas del punto de tangencia y hacer un dibujo del problema planteado. Solución. La gráfica de la curva con la recta tangente y el punto de tangencia se muestran a continuación:

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Ejemplo. El volumen de un cierto tipo de bacterias en un cultivo de laboratorio es inversamente proporcional al número de días " n " que pasan sin nutrientes, de tal forma que el modelo para esta relación es: 10,000 V= n función que se satisface a partir del primer día, es decir, cuando n = 1 y V = 10,000 bacterias. Obtener la razón de cambio en la que decrece el número de bacterias con respecto a los días sin alimento, cuando n = 4 . Solución.

Ejemplo. El costo de una cierta aleación de metales depende de la cantidad de oro que contiene. La mínima cantidad que debe contener es de 3 gramos y su costo es de $ 81,000 y aumenta este de acuerdo con el modelo: C = 5000 x 3 − 6000 x 2 donde " C " es el costo en pesos y " x " el oro en gramos. Determinar la razón de cambio del costo de la aleación, con respecto a la cantidad de oro, cuando tiene " 5 " gramos de este metal precioso. ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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Solución.

MÉTODO DE LOS CUATRO PASOS PARA DERIVAR Considérese la función: y = f ( x) (1) Primer paso: Se incrementa en Δx el valor de la variable independiente, con lo que la variable dependiente experimenta el correspondiente incremento Δy : y + Δy = f ( x + Δx ) (2) Segundo paso: Se resta la expresión que se obtiene el incremento Δy : Δy = f ( x + Δx ) − f ( x )

(1)

de la

(2) ,

con lo

(3)

Tercer paso: Se calcula el cociente de incrementos dividiendo la expresión

(3)

entre el incremento Δx . Así,

Δy , Δx

Δy f ( x + Δx ) − f ( x ) = (4) Δx Δx Cuarto paso: Se calcula el límite del cociente anterior cuando el incremento Δx tiende a cero: ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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f ( x + Δx ) − f ( x ) Δy = lim Δx → 0 Δx Δx → 0 Δx Si este límite existe, entonces se obtiene la derivada de la función considerada: dy ∴ = f '( x ) dx y se dice que la función dada es derivable. lim

Ejemplo. Calcular la derivada de las siguientes funciones mediante el método de los cuatro pasos: i) y = x 3 − 6 x + 1 ;

ii) y =

3−x x+5

;

iii) y = 5 − 2 x

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Teorema. Derivada de la función constante Sea la función constante y = f ( x ) = k, con k una constante . Entonces su derivada es igual a cero, es decir, dy =0 dx y

y=k

mT = k

dy =0 dx x

y=k

;

dy k−k = lim dx Δx →0 Δx

⇒

dy dy = lim ( 0 ) ∴ =0 dx Δx →0 dx ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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Teorema. Derivada de la función identidad Sea la función identidad y = f ( x ) = x . Entonces su derivada es igual a la unidad, esto es, dy =1 dx y

y=x 450

y=x

;

dy x + Δx − x = lim dx Δx →0 Δx

⇒

mT =

dy =1 dx x

dy dy = lim (1) ∴ =1 dx Δx →0 dx

Teorema. Derivada de la función identidad elevada a un exponente real. Aquí sólo se verá el caso del exponente natural. Elevada a un exponente real también es demostrable. Sea entonces la función y = x n ; n ∈ . Entonces su derivada está dada por: dy = nx n−1 dx Prueba.

x + Δx ) − x n ( dy = lim dx Δx →0 Δx A través del desarrollo del binomio de Newton, se llega a: n n ( n − 1) n− 2 2 n x n + x n−1Δx + x Δ x + … + Δx − x n dy 1! 2! = lim Δx dx Δx →0 ⎛n n ( n − 1) n− 2 n−1 ⎞ dy = lim ⎜ x n−1 + x Δ x + … + Δx ⎟ dx Δx →0 ⎝ 1! 2! ⎠ n

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dy = nx n−1 dx

Ejemplo. Calcular la derivada de las funciones siguientes: i) f ( x ) = x 5 ; ii) y = 4

Teorema. Derivada de la suma de funciones Considérese la función h ( x ) = f ( x ) + g ( x ) . Entonces, la derivada de la función " h " es igual a: h'( x ) = f '( x ) + g '( x ) Prueba.

Teorema. Derivada del producto de una función por un escalar Sea la función h ( x ) = α f ( x ) ; α ∈ . Entonces su derivada será: h'( x ) = α f '( x ) Prueba.

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Ejemplo. Obtener la derivada de la función: f ( x ) = 5 x6

Ejemplo. Derivar las siguientes funciones: i) f ( x ) = 3 x + 2 x − x + 7 4

2

;

1 2 1 2 ii) y = 2 − 8 x + x 3x

Teorema. Derivada de una función como radicando de una raíz cuadrada. Sea la función h ( x ) = f ( x ) . Entonces su derivada es igual a: h'( x ) =

f '( x )

2 f ( x)

Prueba.

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Ejemplo. Obtener la derivada de la función 1 3

y = 3x − 5

Teorema. Derivada del producto de dos funciones Sea la función h ( x ) = f ( x ) ⋅ g ( x ) . Entonces, la derivada de " h " es:

h'( x ) = f ( x ) ⋅ g '( x ) + g ( x ) ⋅ f '( x )

Prueba.

Ejemplo. Obtener la derivada de:

(

f ( x ) = x3 − 3 x2

)

1+ x 2

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Teorema. Derivada de un cociente de funciones. f ( x) Sea la función " h " dada por h ( x ) = , esto es, cuya regla g( x) de correspondencia involucra el cociente de las funciones " f " y " g " . Entonces su derivada es igual a: g ( x ) ⋅ f '( x ) − f ( x ) ⋅ g '( x ) h'( x ) = 2 ⎡⎣ g ( x ) ⎤⎦ Prueba.

Ejemplo. Derivar las siguientes funciones: 3 x 2 − 6 x −2 i) f ( x ) = 1− x

;

2 − x3 ii) y = 2 x − 5x + 6

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Teorema. Regla de la cadena (Derivada de una función de función) Sean las funciones y = f (u ) y u = g ( x ) , ambas derivables, tales que con ellas se logra la función compuesta y = f ( g ( x ) ) ∀ x ∈ { x x ∈ Dg ; g ( x ) ∈ Df } Entonces se cumple que:

dy dy du = dx du dx

Prueba. A cada incremento Δx de la variable independiente " x " le corresponde un incremento Δu de la variable intermedia " u " y un incremento Δy de la variable " y " . Si se multiplican numerador y dependiente Δy por Δu , se llega a la denominador del cociente Δx siguiente identidad: Δy Δy Δu Δy Δy Δu = ⇒ = ; Δu ≠ 0 Δx Δx Δu Δ x Δ u Δx Como u = g ( x ) es derivable, será también continua, por lo que si Δx → 0 , entonces Δu → 0 . Entonces, tomando límites en la expresión antes obtenida, se llega a: Δy Δy Δu lim lim = lim Δx → 0 Δx Δu→ 0 Δu Δx → 0 Δx Y, por la definición de derivada, se tiene que: dy dy du = dx du dx y queda demostrado el teorema. Ejemplo. Obtener la derivada de la función ⎛ 1− x 2 ⎞ y=⎜ 2 ⎟ ⎝ 1+ x ⎠

3

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Ejemplo. Obtener la derivada de: x2 f ( x) = 1− x 3

dy para la siguiente función, mediante la dx aplicación de la regla de la cadena, por pasos:

Ejemplo. Obtener

y=+

(

)

2

3 x2 + 1 − 2

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Ejemplo. Calcular las derivadas de las funciones siguientes y evaluarlas en el punto indicado. 2 x + 8) ( 3 + 9x 2 3 ; x = 1 ; ii) f ( x ) = ; x = −1 i) y = 3 x 5−x

Resumen de las fórmulas obtenidas: Sean u, v, w funciones de " x " y " C " una constante real: Entonces: Dx C = 0 Dx x = 1 Dx (u + v − w ) = Dxu + Dx v − Dx w Dx (uv ) = uDx v + vDxu u vDxu − uDx v Dx = Dx Cv = CDx v v v2 CD v C Dxun = nun−1Dxu Dx = − 2x v v Du Dx u = x Dx x n = nx n−1 2 u ING. PABLO GARCÍA Y COLOMÉ

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DERIVADA DE FUNCIONES EXPRESADAS EN FORMA IMPLÍCITA Cuando se tenga una función en forma implícita, se utiliza la regla de la cadena para derivarla cuantas veces se presente. Ejemplo. Calcular

Ejemplo. Calcular

dy en la ecuación x 2 + y 2 = 4 dx

dy para la ecuación: dx 2 x 4 y 2 − xy 3 + 8y = 4 y

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Ejemplo.

Considérese

Demostrar que

la

ecuación

y x +4 = 18 . x y

dy y = . dx x

DERIVADA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES DIRECTAS Teorema. Sea la función y = senu ; u = f ( x ) . Entonces: dy du = cos u dx dx Prueba.

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Teorema. Sea la función y = cos u ; u = f ( x ) . Entonces: dy du = − senu dx dx Prueba.

Teorema. Sea la función y = tan u ; u = f ( x ) . Entonces: dy du = sec2 u dx dx Prueba.

Teorema. Sea la función y = cot u ; u = f ( x ) . Entonces: dy du = − csc2 u dx dx Prueba.

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Teorema. Sea la función y = sec u ; u = f ( x ) . Entonces: dy du = sec u tan u dx dx Prueba.

Teorema. Sea la función y = csc u ; u = f ( x ) . Entonces: dy du = − csc u cot u dx dx Prueba.

Ejemplo. Derivar las siguientes funciones: 1− cos x ; ii) y = sen2 (1− 5 x ) ; iii) f ( x ) = tan x i) f ( x ) = 1+ cos x 1 iv) y = sec2 + csc2 x; v) f ( x ) = cot sen x 3 x

(

(

vi) y = sec 2 − 6 x

)

1 2 3

)

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23

24

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25

DERIVADA DE LAS FUNCIONES CIRCULARES INVERSAS Teorema. Sea la función y = angsenu du dy = dx dx 1− u2 Prueba.

; u = f ( x ) . Entonces:

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Teorema. Sea la función y = ang cos u du dy = − dx dx 1− u2 Prueba.

; u = f ( x ) . Entonces:

Teorema. Sea la función y = ang tan u du dy = dx 2 dx 1+ u Prueba.

; u = f ( x ) . Entonces:

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Teorema. Sea la función y = ang cot u du dy = − dx 2 dx 1+ u Prueba.

; u = f ( x ) . Entonces:

Teorema. Sea la función y = ang sec u du dy = dx dx u u2 − 1 Prueba.

; u = f ( x ) . Entonces:

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Teorema. Sea la función y = ang csc u ; u = f ( x ) . Entonces: du dy = − dx dx u u2 − 1 Prueba.

Ejemplo. Calcular la derivada de las siguientes funciones: i) f ( x ) = ang se n 1− x 2

;

ii) y = ang sec x

iii) f ( x ) = x 2 ang cot x ; iv) y = ang cos (1− x ) 1 v) f ( x ) = x ang tan ; vi) y = ang csc x 2 − 8 x

(

)

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29

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30

Resumen de las fórmulas para derivar funciones circulares directas e inversas: Sea u = f ( x ) . Entonces:

du dx du D cos u = − senu x dx du Dx tan u = sec2 u dx du Dx cot u = − csc2 u dx Dx senu = cos u

du dx du D csc u = − csc u cot u x dx Dx sec u = sec u tanu

Dx angsenu =

Dxu

1− u2 Dxu Dx ang cos u = − 1− u2 Du Dx ang tan u = x 2 1+ u Du Dx cot u = − x 1+ u2

Dx sec u =

Dxu = −

Dxu

u u2 − 1 Dxu

u u2 − 1

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