Capitulo 01 Introducción

Índice

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Tema Procesamiento digital de señales Arquitecturas de procesadores Concepción conjuntista de funciones Sobre las funciones de tiempo continuo Herramientas matemáticas para el estudio y procesamiento de señales

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1.1 Procesamiento Digital de Señales La figura 1.1 ilustra gráficamente y en forma simplificada, las acvidades que involucra el procesamiento de señales. Nótese que se trata de un ciclo cuya función principal es resolver un problema. Todo comienza con un problema, en el cual se especifica como se desea estudiar una entidad. Las entidades de estudio pueden ser: •

Ser activas, es decir, emiten sus propias señales

•

Ser pasivas, es decir, se les alimenta con una señal y se espera que reacionen enviando una señal de respuesta.

Algunos problemas que pueden resultar de interés son: •

La detección, por radar, de un aeroplano.

•

La detección, por sonar, de submarinos.

•

El escaneo, por ultrasonido, de un vientre materno.

•

Ecualizar audio.

•

Mezclar imágenes, una real y otra creada con un fondo verde.

•

Reconstrucción tridimensional para la televisón, el cine y la telefonía.

Problema: entidad

Información

Información

Transductor entrada

Transductor salida

ADC

DAC

Datos De entrada

Datos De salida

Filtro Digital (procesamiento)

Illustration 1.1: Etapas del procesamiento de señales

En cualquiera de estos problemas, las señales implican información sobre la entidad de interés, la cual debe ser procesada para su estudio y posterior interpretación. Para lograr el procesamiento digital de las señales, éstas deben convertirse a una forma eléctrica mediante un transductor y posteriormente deben digitalizarse por un proceso de conversión análogo a digital (ADC). Al final del proceso ADC se espera obtener un secuencia de datos, los cuales tienen una estructura que puede se usada por un filtro digital, el cual es un procesador. Los tipos de datos que suelen manejarse en un filtro digital son: •

Naturales

•

Enteros con signo

•

Punto fijo (representación, mediante enteros, de números con punto decimal)

•

Punto flotante

El filtro digital es sí, un dispositivo electrónico digital, en la cual se ha programado el agloritmo de procesamiento. Las conputadoras que realizan el procesamiento digital de señales varían en costo, poder de procesamiento y forma. Este dispositivo puede ser: •

Un procesador genérico

•

Un microcontrolador

•

Un “Digital Signal Processor” o DSP

•

Un “Digital Signal Controller” o DSC

•

Una laptop

El microprocesador •

Se puede programar para cualquier función imaginable.

•

Requiere de una memoria externa.

•

Se requiere de hardware externo para el proceso ADC

•

Se requiere de hardware externo para el proceso DAC (conversión digital a analógico)

•

Puede multiplicar natuales

•

Puede sumar naturales

•

Ejemplos: el Zilog, el HC11, el 8080

Un procesador genérico podrá realizar procesamiento de señales cuyo ancho de banda es muy bajo o bien, se puede esperar el tiempo necesario para que el procesamiento se realice. En el caso de señales de baja fecuencia se tienen los registros sísmicos, para los cuales basta un registro de 10 a 50 muestras por segundo. Otro caso de estudio es el de la composición de una linea de imagen en las impresoras láser.

Un microcontrolador •

Se planearon para el control de procesos mediante un algoritmo conocido como autómata y en función de señales especializadas que envían un conjunto de sensores.

•

Tiene una memoria interna.

•

Incluye hardware para el proceso ADC.

•

Pueden generar señales PWM y mediante un filtro externo se completa el proceso DAC.

•

Puede sumar números natuales.

•

Algunos pueden multiplicar naturales (esto dificulta el procesamiento de señales ya que se requieren operaciones con enteros).

•

Ejemplos: PIC16F84 de MicroStar, el 68HC11 de motorola

En resumen, el microcontrolador es mas bien un dispositivo programado para responder a estímulos externos.

Un DSP •

Es un dispositivo orientado al procesamiento de señales.

•

Tiene memoria interna.

•

Incluye hardware para el proceso ADC.

•

Pueden generar señales PWM y mediante un filtro externo se completa el proceso DAC.

•

Puede realizar dos operaciones aritméticas sobre enteros (multiplicación y suma) a la vez y en un solo ciclo de reloj.

•

Incluye una tabla con la función seno muestreada.

•

Ejemplos: Texas Instruments.

El DSP, aún cuando incluye hardaware para funcionar por sí solo, está orientado a operar como un elemento más de un sistema de desarrollo. Para el año en que se realizó el presente escrito los DSP ya podían operar en punto flotante. Estas capacaidades permiten sobrellevar las limitaciones de precisión que implica el punto fijo.

Un DSC •

Es un dispositivo que está: ◦

Orientado al procesamiento de señales.

◦

Orientado al control de procesos por algoritmo.

•

Tiene memoria interna.

•

Incluye hardware para el proceso ADC.

•

Pueden generar señales PWM y mediante un filtro externo se completa el proceso DAC.

•

Puede realizar multiplicaciones con naturales, enteros.

•

Puede realizar sumas con naturales y enteros.

•

Ejemplos: DSPIC

1.2 Arquitecturas de procesadores La figura 1.2.a ilustra la principal característica de la arquitectura von Newman, es decir, el circuito de memoria contiene tanto instrucciones de programa como datos. Así el procesador invierte un ciclo en traer la instrucción y luego invierte otro ciclo en traer el dato. La figura 1.2.b ilustra la principal característica de la arquitectura Harvard, es decir, hay un circuito de memoria dedicado a instrucciones y hay otro circuito de memoria dedicado a datos. Así el procesador invierte un ciclo en traer tanto una instrucción como un dato.

Típicamente se considera que los microṕrocesadores genéricos emplean la arquitectura vonNewman, en tanto que los DSP emplean la arquitectura Harvard. Los DSP están diseñados teniendo en cuenta las tareas más habituales del procesado de señales que son: sumas, multiplicaciones y retrasos en un sólo ciclo de reloj. Los DSP incluyen características adicionales como: •

Ejecución fuera de orden.

•

Predictor de saltos condicionales

ALU

Memoria de datos e instrucciones

Procesador

ALU

Memoria de Instrucc.

Procesador

E/S

E/S

(a)

(b)

Illustration 1.2: Arquitecturas básicas de procesadores: (a) von Newman (b) Harvard

Memoria de datos

1.3 Concepción conjuntista de las funciones Definición 1.1 Función. Una función matemática o mapeo f es una relación entre un conjunto dado, X (el conjunto domino) y otro conjunto Y (el conjunto codominio o un subconjunto del codominio llamado recorrido o imagen) de tal forma que a cada elemento del conjunto dominio le corresponde un único (uno y solo uno) elemento del conjunto codominio [BIBLIOGRAFÍA]. La representación matemática de tal relación se expresa como f : X →Y

(1.1)

Definición 1.2 Funciones numéricas de variable numérica. Es un tipo de función en el cual los respectivos conjuntos dominio y codominio son subconjuntos impropios de los números Naturales o Enteros o Racionales o Reales o Complejos. Desde el punto de vista conjuntista, las funciones pueden clasificarse en según las características de los conjuntos dominio y codominio. La figura 1.3 ilustra la conceptción conjuntista para clasificar a las funciones . Nótese que el conjunto dominio corresponde al tiempo, como subconjunto de los reales y en tanto que el codominio es el conjutno de los reales. El estudio de las funciones de tiempo continuo (conjunto dominio no numerable) corponde al Cálculo infinitesimal. El estudio de las funciones de tiempo discreto (conjunto dominio numerable) corresponde al Cálculo de las Diferencias Finitas.

R Conjunto no numerable

Función de tiempo discreto

Función de tiempo continuo

Conjunto numerable

Función multinivel de tiempo discreto

Función multinivel de tiempo continuo

TCR Conjunto numerable

Illustration 1.3: Concepción conjuntista de los tipos de funciones.

Conjunto no numerable

1.3 Sobre las funciones de tiempo continuo La funciones de tiempo continuo se pueden dividir en: •

Funciones continuas

•

Funciones discontinuas

Definición 1.3 Un función x(t) es continua, en un intervalo de tiempo, si para cada instante de tal intervalo se cumple + + que x(t 1 )=x (t 1 ) donde t 1−t 1 y t 1 −t 1 son números infinitesimamente positivos. Definición 1.4. Una función x(t) es discontinua, rústicamente hablando, si en un instante t 1 , la función x(t) salta de un valor a otro. Visualmente, la función tiene saltos. Dos casos básicos de señales discontinuas son el escalón unitario y la función pulso unitario. Un ejemplo típico de funciones discontinuas son las señales muestreadas que se estudian en los cursos de Sistemas de Comunicaciones. La figura 1.4 ilustra como una señal limitada en banda se multiplica por un tren de pulsos (señal discontinua) y así se obtiene una señal, que los ingenieros en Telecomunicaciones dicen, es discreta.

Illustration 1.4: Muestreo de una señal limitada en banda. Ejemplo de una señal discontinua

1.4 Herramientas matemáticas para el estudio y procesamiento de señales El conjunto de herramientas matemáticas que se emplean en el estudio de las señales consta de: •

Transformada de Laplace

•

Transformada Z

•

Series de Fourier

•

Transformadas de Fourier

•

Wavelets

1.3.1 Nomenclatura Las diversas operaciones matemáticas empleadas en el análisis de señales tienen una representación simbólica, misma que se anota a continuación. •

Transformada de Laplace L{ }

•

Transformada Zeta Z { }

•

Transformada de Fourier de tiempo continuo

•

Serie Trigonométrica de Fourier de tiempo continuo

•

Serie Exponencial de Fourier de tiempo continuo

•

Transformada de Fourier de tiempo discreto

•

Serie Trigonométrica de Fourier de tiempo discreto

•

Serie Exponencial de Fourier de tiempo discreto

F{ } FT { } Fe { }

DTF { } DTF T { } DTF e { }

La figura 1.5 ilustra la aplicación de las diversas herramientas utilizadas en el estudio de señales determinísticas (Se conoce la amplitud de la señal en cada instante de tiempo) La serie expoencial de Fourier para tiempo discreto es también conocida como la Transformada Discreta de Fourier. Esta es la transformada más empleada en el análisis de señales digitales. Debido a que su cálculo requiere de una gran cantidad de operaciones aritméticas y por tanto de mucho tiempo para su evaluación, los científicos han diseñado diversos algoritmos rápidos para su cálculo. Uno de ellos es la Fast Fourier Transform o FFT.

Tiempo Discreto

DTFT{ } DTFe{ }

Tiempo continuo

Z{ } DTF{ }

FT{ }

L{ }

Fe{ }

F{ }

Señales periódicas

Señales aperiódicas

Illustration 1.5: Herramientas matemáticas disponibles y su aplicación a la correspondiente señal.

Conclusión En el presente escrito y en posteriores se tratarán funciones cuyo conjunto dominio es numerable en tanto que el conjunto codomino es no numerable, es decir, se tratarán funciones de tiempo dsicreto. Sólo cuando se programan procesadores para operar señales se trabaja con funciones multinivel de tiempo discreto, y cuya amplitud es codificada a 2-ario.