UNIVERSIDAD NACIONAL DE LA PATAGONIA AUSTRAL Unidad Académica Río Turbio Programa de: ALGEBRA Carrera: Analista de Sistemas

Cod. EC. Cod. Carr.

1528 016

Ciclo Académico: 2011 - 2012 Año de la Carrera:

Horas de Clases Semanales Teoría

Práctica

5

5

1°

Régimen de Cursado i

Otros (1)

Anual

1er.Cuatr. 2do.Cuatr.

Otros (2)

X

(1) Observaciones: (2) Observaciones: El dictado de esta disciplina se realiza de forma anual, en acuerdo con Análisis Matemático I, con 4 er do horas semanales en el 1 cuatrimestre y 6 en el 2 , con lo que no se modifica su carga horaria total.

Docente/s Teoría R/ I

ii

Apellido y Nombres

Práctica Departamento/Divisi ón

R/ I

Apellido y Nombres

R

MANNUCCI, Marcos

R

MANNUCCI, Marcos

I

GASPAR, César

I

GASPAR, César

Departamento/Divisi ón

Observaciones: Espacios Curriculares Correlativos Precedentes Aprobada/s

Cod. Asig.

Cursada/s (1)

Cod. Asig.

Espacios Curriculares Correlativos Subsiguientes

1-

Aprobada/s

Cod. Asig.

Cursada/s

Cod. Asig.

Estructura de Datos

1656

Matemática Discreta

1650

FUNDAMENTACIÓN

Este curso pretende brindar una visión de los sistemas de ecuaciones lineales, y de las distintas herramientas de cálculo utilizadas en la determinación de soluciones. Constituye el elemento básico para ingresar en otras disciplinas tales como la programación lineal, así como es el instrumento imprescindible en la resolución de cierto tipo de problemas en análisis matemático, entre otras de sus muchas aplicaciones. Siempre que ello sea posible, se recurrirá a ejemplos tomados de 2

3

los espacios ℝ y ℝ , para apelar a nociones geométricas representables; no obstante, se tendrá siempre en la mira el er carácter general de los resultados del álgebra lineal. Al ser una materia del 1 año, se hará previamente una revisión de los conceptos básicos necesarios: conjuntos numéricos (desde los naturales a los complejos, operaciones y propiedades) y polinomios.

2-

OBJETIVOS GENERALES:

Enriquecer el espectro de actividades que reconoce como relativas al trabajo matemático incorporando las siguientes: establecer conjeturas, validar resultados, establecer contraejemplos para invalidar un posible resultado, determinar el dominio de validez de una fórmula, modelar, analizar diferentes estrategias de resolución para un mismo problema. Que tenga disponible herramientas de tipo algebraica, numéricas o geométricas y sepa seleccionar la más adecuada para progresar en la resolución de un problema dado. •

Propiciar el manejo del método de inducción completa en sus distintas aplicaciones.

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OBJETIVOS GENERALES: •

Revisar las operaciones y propiedades de los sistemas numéricos, así como de los polinomios en una indeterminada sobre un cuerpo.

•

Adquirir destreza en el cálculo de matrices y determinantes y sus aplicaciones, especialmente en la resolución de sistemas lineales.

•

Obtener conocimientos básicos de los elementos del álgebra lineal: sistemas lineales, espacios vectoriales, subespacios, dependencia e independencia lineal de vectores, bases, transformaciones y funcionales lineales.

•

Utilizar dichos conocimientos en las distintas aplicaciones del álgebra lineal: geometría, solución de sistemas, análisis matemático.

•

Alcanzar el concepto de producto interno y sus aplicaciones en la geometría analítica.

•

Reconocer distintos tipos de transformaciones lineales y adquirir dominio en el cálculo.

•

Usar algún paquete computacional para resolver problemas relativos al álgebra lineal.

•

Lograr capacidad de abstracción, para aplicarlo en las argumentaciones lógicas necesarias en la obtención de los resultados principales de la materia.

•

Conseguir dominio en el uso del lenguaje técnico específico, para traducir y expresar correctamente las situaciones que pueden ser tratadas matemáticamente.

•

Introducir los desarrollos posteriores que usan ampliamente las herramientas del álgebra lineal.

CONTENIDOS MÍNIMOS:

Principio de inducción completa. Vectores, matrices, operaciones con vectores y matrices. Dependencia e independencia lineal. Rango de una matriz. Determinante. Matrices semejantes. Matrices simétricas. Sistemas de ecuaciones lineales, aplicaciones de la eliminación de Gauss en matrices de orden 2 y 3 y generalización. Espacios vectoriales. Transformaciones lineales y matrices. Producto escalar. Normas de matrices y vectores. Proyecciones ortogonales. Diagonalización de matrices, autovalores y autovectores. Aplicaciones. Cónicas y cuádricas. Álgebra vectorial en el espacio tridimensional

4-

ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS – PROGRAMA ANALÍTICO

Unidad I ELEMENTOS BÁSICOS a) Conjuntos. Definición. Pertenencia, inclusión e igualdad. Operaciones: unión, intersección, diferencia y complemento. Par ordenado. Producto cartesiano. Relaciones. b) Números naturales. Operaciones. Orden. Sumatoria. Principio del elemento mínimo. Inducción completa. Ejemplos. Aplicaciones: factoriales, triángulo de Pascal, números combinatorios, binomio de Newton. c) Enteros. Operaciones. Orden. Divisibilidad. Números primos. Máximo común divisor. Propiedades. d) Los números racionales. Operaciones y propiedades. Orden. Densidad. Potencias y raíces. Cuerpos. e) Números reales. Operaciones y propiedades. Orden. Valor absoluto. Existencia de raíces. f) Números complejos. Operaciones. Conjugado. Módulo. Forma binómica y trigonométrica. Representación geométrica. Fórmula de De Moivre. Potencias y raíces. g) Monomios. Polinomios. Operaciones: suma, multiplicación y división. Polinomios mónicos. Raíces. Raíces múltiples. Factorización. Polinomios irreducibles. Cálculo de raíces Unidad II MATRICES Y SISTEMAS LINEALES a) Matrices: definición. Dimensiones. Matrices especiales. Operaciones: suma, producto; propiedades de las operaciones. Matrices transpuesta e inversa. Operaciones elementales de fila. Matrices reducida y escalonada. Matrices elementales. Cálculo de la matriz inversa. Sistemas de ecuaciones lineales. Representación matricial. Resolución de sistemas lineales. Sistemas equivalentes. Sistemas homogéneos y no - homogéneos. Diagonalización. Existencia de solución, sistemas incompatibles. Solución VIGENCIA AÑOS prg_1528_016_uart_pact

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4- ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS – PROGRAMA ANALÍTICO única. Método de Gauss - Jordan. Uso de inversas para la resolución de sistemas Unidad III DETERMINANTES a) Definición. Propiedades. Cálculo de determinantes de matrices de orden 2 y 3. Menor complementario y cofactor de un elemento. Propiedades. Producto de determinantes. Desarrollo por fila o columna. b) Adjunta de una matriz. Propiedades. Aplicaciones. Cálculo de inversas usando determinantes. Solución de sistemas lineales por determinantes, regla de Cramer Unidad IV ESPACIOS VECTORIALES – SUBESPACIOS – DIMENSIÓN Y BASES a) Espacios vectoriales. Definición de espacios vectoriales. Ejemplos: espacios de funciones, de funciones continuas, de n polinomios, de matrices, los espacios R . Propiedades elementales de los espacios vectoriales. b) Subespacios. Concepto y propiedades. Ejemplos. Intersección de subespacios. c) Dependencia e independencia lineal. Combinación lineal de vectores. Vectores linealmente dependientes e independientes. Ejemplos y propiedades. Conjunto de vectores linealmente independiente y maximal. Subespacio generado por un conjunto de vectores. d) Dimensión. Espacios vectoriales de dimensión finita. Existencia de bases. Bases de un espacio vectorial. Aplicaciones. Completamiento. Coordenadas de un vector. Bases canónicas de los espacios vectoriales usuales. Cambio de base. e) Suma. Suma de espacios vectoriales. Representación de vectores. Suma directa. Dimensión de la suma de dos espacios vectoriales 4-

ORGANIZACIÓN DE LOS CONTENIDOS – PROGRAMA ANALÍTICO (Cont.)

Unidad V TRANSFORMACIONES LINEALES a) Transformaciones. Concepto de transformaciones lineales. Propiedades y ejemplos. Existencia de transformaciones lineales. Transformaciones y matrices. b) Algebra de transformaciones. El espacio de las transformaciones lineales. Operaciones con transformaciones lineales. Representación de transformaciones por matrices. c) Núcleo e imagen. Concepto de núcleo y de imagen. Propiedades. Teorema del núcleo y de la imagen. Transformaciones injectoras y sobreyectoras. Aplicaciones. Sistemas lineales. Rango de una matriz. d) Transformaciones invertibles. Inversa de una transformación lineal. Propiedades. Isomorfismo de espacios vectoriales Unidad VI PRODUCTO INTERNO – ESPACIOS CON PRODUCTO INTERNO a) Producto interno. Concepto y ejemplos. Espacios vectoriales con producto interno. Norma. Ortogonalidad. Complementos ortogonales. Proyecciones. Desigualdad de Cauchy - Schwarz. Aplicaciones. Bases ortogonales. Proceso de Gram - Schmidt. Bases ortonormales. b) Funcionales lineales. Representación de los funcionales lineales. Bases duales. Teorema de la representación de los funcionales. Ejemplos y aplicaciones. Transformaciones adjuntas. Propiedades. Norma de matrices Unidad VII AUTOVALORES Y AUTOVECTORES a) Autovalores y autovectores. Definición. Cálculo de los valores y vectores propios. Polinomio característico Propiedades. Autovalores de matrices. b) Transformaciones especiales. Transformaciones autoadjuntas. Definición y propiedades. Ejemplos. Subespacios invariantes. Diagonalización de transformaciones. c) Transformaciones unitarias. Definición y propiedades. Ejemplos. d) Transformaciones normales. Definición y propiedades. Ejemplos. e) Movimientos rígidos en el plano y en el espacio. Aplicaciones. Formas bilineales y cuadráticas. La ecuación general de segundo grado: clasificación de las cónicas y cuádricas. VIGENCIA AÑOS prg_1528_016_uart_pact

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CRITERIOS DE EVALUACIÓN

La evaluación se hará de acuerdo a los siguientes ítems:


Uso apropiado del lenguaje matemático;




Dominio de las técnicas operatorias;




Conocimiento y aplicación de los fundamentos teóricos;




Resolución de problemas utilizando algún programa computacional.

6-

METODOLOGÍA DE TRABAJO PARA LA MODALIDAD PRESENCIAL:

El desarrollo de la asignatura se realizará por medio de clases teórico – prácticas. El contenido teórico se efectuará del modo más completo posible; no obstante, algunas extensiones de los mismos serán dejados para completar a través de la lectura del material bibliográfico. Asimismo se dejará un espacio para consulta sobre los trabajos prácticos. Como está prevista la utilización de programas computacionales, se impletarán una serie de proyectos para ser realizados en forma individual o grupal. 7-

ACREDITACIÓN: Alumnos Presenciales. Regularización o

Corrección y aprobación del 75% de los trabajos prácticos. Los trabajos prácticos podrán presentarse individual o grupalmente.

o

Aprobación de tres parciales (cada uno de los cuales contará con un recuperatorio).

o

Asistencia: 75%..

Aprobación Final Examen final escrito y oral, teórico y práctico, sobre los contenidos del programa analítico desarrollados. 8-

METODOLOGÍA DE TRABAJO PARA ALUMNOS EN EL SISTEMA DE ASISTENCIA TÉCNICA PEDAGÓGICA (SATEP)

Esta asignatura está en el nivel 0 del SATEP. Alumnos en esta modalidad deberán cumplimentar los trabajos prácticos, previa lectura del material bibliográfico, que serán enviados por medio de la dirección electrónica del sistema, la que también podrá ser utilizada para realizar consultas.

9-

ACREDITACIÓN : Alumnos No Presenciales (SATEP) Regularización Aprobación Final

Previa aprobación de los trabajos prácticos, rendirán un examen final, escrito y eliminatorio, y de carácter práctico sobre los contenidos completos del programa analítico. Pasada esa instancia, rendirán un examen teórico. 10-

METODOLOGÍA DE TRABAJO SUGERIDA PARA EL APRENDIZAJE AUTOASISTIDO (Alumnos Libres)

Los alumnos libres deberán realizar una lectura del material bibliográfico obligatorio, en vistas de la presentación del trabajo práctico integrativo. Podrán realizar consultas con los profesores responsables. El trabajo sugerido se hallará a disposición del alumno antes del mes de noviembre.

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ACREDITACIÓN : Alumnos Libres Aprobación Final •

Presentación y aprobación de un trabajo práctico integrativo. Dicho trabajo deberá ser presentado con una antelación de 3 (tres) semanas antes de la fecha establecida para el examen final.

•

Aprobación de un examen escrito eliminatorio, de carácter práctico, sobre el contenido completo del programa analítico.

•

Aprobación de un examen escrito y oral, en el contexto descripto para alumnos presenciales regulares (punto 7 arriba).

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12- BIBLIOGRAFÍA —

Libros (Bibliografía Obligatoria)

Ref er.

Apellido/s ROJO

—

Nombre/s A.

Año Edición 1998

Título de la Obra Álgebra I y II

Biblio SIU tec NP UA A

Capítulo/ Tomo / Pag.

Lugar de Edición

Editorial

Unidad

Completo

Bs. As.

El Ateneo

1–7

X

1–7

X

Reverté, 2

da

APOSTOL

T. M.

1982

Calculus, volumen II

1a5

Barcelona

COTLAR

M.

1977

Introducción al álgebra

5 a 10

Bs. As.

EUDEBA

ed.

1–7

SADOSKY

C. R.

GENTILE

E.

1976

Notas de álgebra I

1 – 4, 5, 6

Bs. As.

EUDEBA

1–5

X

LANG

S.

1997

Introduction to linear algebra

Completo

New York

Springer – Verlag

1–7

X

GROSSMAN

S.

1996

Álgebra lineal

HERNÁNDEZ

E.

1994

Álgebra y geometría

Otr o

X

Completo

México

McGraw-Hill

1–7

X

1 – 2, 4 a 8

Madrid

Addison Wesley

1–7

X

Capítulo/ Tomo / Pag.

Lugar de Edición

Editorial

Unidad

1, 3, 6, 9

México

Prentice - Hall

1–3

X

Libros (Bibliografía Complementaria)

Ref er.

Apellido/s

Nombre/s

SOBER

Año Edición

Título de la Obra

Biblio SIU tec NP UA A

1996

Álgebra

1999

Álgebra superior

1 – 5, 7 –10

México

Trillas

1–4

X

1985

Álgebra moderna

1 – 5,7, 10

Barcelona

Editorial Vicens – Vives

1 – 4, 7

X

Otr o

LERNER CÁRDENAS

H.

RAGGI

F.

BIRKHOFF

G. B.

MAC LANE

S.

VIGENCIA AÑOS

2011

2012 Pag - 6 -

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Ref er.

Apellido/s

Nombre/s

Año Edición 1976

Capítulo/ Tomo / Pag.

Lugar de Edición

Álgebra lineal

1–5

Título de la Obra

Editorial

Unidad

Washingto n

OEA

1–6

Biblio SIU tec NP UA A

VILLAMAYOR

O.

HALMOS

P.

1974

Finite – dimensional vector spaces

1–3

New York

Springer – Verlag

1–7

GOLOVINÁ

L.

1974

Álgebra lineal y algunas de sus aplicaciones

1a7

Moscú

MIR

1–7

USPENSKY

J.

2000

Teoría de ecuaciones

1a3

México

Limusa

1–3

X

HOFFMAN

K.

1973

Álgebra lineal

1a3

México

Pearson

1–7

X

KUNZE

R.

KOLMAN

B.

1999

Álgebra lineal con aplicaciones MATLAB

1a7

Prentice-Hall

X

ANTON

H.

2001

Introducción al álgebra lineal

1a7

Limusa Wiley

X

Otr o X

X X

5 a 10

Artículos de Revistas Apellido/s

—

Cod. Carr.

1528 016

Libros (Bibliografía Complementaria)

—

—

Cod. EC.

Nombre/s

Título del Artículo

Título de la Revista

Tomo/Volumen/ Pág.

Fecha

Unidad

Bibliotec SIUNPA UA

Otro

Recursos en Internet Autor/es Apellido/s

VIGENCIA AÑOS

Autor/es Nombre/s

Título

Datos adicionales

Disponibilidad / Dirección electrónica

Sitio del Departamento de Matemáticas de la Facultad de Cs. Exactas y Naturales UBA

Listado de Materias

http://www.dm.uba.ar/materias

Geogebra

Software de matemática, libre, para enseñar y aprender.

http://www.geogebra.org/cms/es

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2012 Pag - 7 -

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Otros Materiales

VIGENCIA AÑOS

2011

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13-

Cod. Carr.

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VIGENCIA DEL PROGRAMA AÑO

14-

Cod. EC.

Firma Profesor Responsable

Aclaración Firma

2011

Lic. Marcos Mannucci

2012

Lic. Marcos Mannucci

Observaciones

El presente programa se considera un documento que, a modo de "contrato pedagógico", relaciona a los protagonistas del proceso de enseñanza-aprendizaje y constituye un acuerdo entre la Universidad y el Alumno. Los cuatrimestres tienen como mínimo una duración de 15 semanas.

i

Si el espacio curricular está implementado en una modalidad diferente de teóricos y prácticos, tildar en Otros y consignar esta característica en observaciones

ii

Si el espacio curricular está implementado en una modalidad consignada por Otros y no pueden ser discriminados los miembros del equipo, incluirlos todos en la columna de teóricas y consignar esta característica en observaciones. En R/I se debe registrar si el docente es Responsable o Integrante. El Responsable del espacio curricular debe estar registrado en la columna de la Teoría. El responsable del espacio curricular no puede estar únicamente en la Práctica.

VISADO

División

Fecha:

Departamento

Fecha:

Secretaría Académica

Fecha:

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